3.1.1第二课时。_函数零点的存在性定理
高一数学新人教A版必修1课件：第3章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点
阅读教材 P86～P87“探究”以上部分，完成下列问题． 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与根的关系
Δ>0
Δ＝0
二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(a>0)的 图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
Δ<0 无交点
2.函数的零点
对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
法二 由x2－1x＝0，得x2＝1x. 令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x. 在同一坐标系中分别画出h(x)和g(x)的图象，如图所示．可知两函数图象只有 一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．
判断函数存在零点的 3 种方法 1．方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判
函数零点个数的判断
判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－1x. 【精彩点拨】 (1)中f(x)为二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程 的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法或转化为两个熟知的基本初等函数y＝ x2与y＝1x的图象交点的个数．
【自主解答】 (1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点． (2)法一 令f(x)＝0，即x2－1x＝0. ∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0. ∴x＝1或x2＋x＋1＝0. ∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0， ∴方程x2＋x＋1＝0无实数根． ∴函数f(x)只有一个零点．
【答案】 B
人教A版数学必修1课件：3.1.1方程的根和函数的零点(1、2)
例1 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数.
解法1 用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表： x f ( x) 1 2 3 4 5 6 7
y
8
9
-4 -1.3 1.1
3.4 5.6 7.8 10.0 12.1 14.2
10 f(x8)=lnx+2x－ 6 6 4 2
x
由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)· f(3)<0，
解法2： 数形结合
lnx+2x－6=0的根
y 6
lnx=-2x+6的根 可看成y=lnx与y=-2x+6 图像交点的横坐标
y=Байду номын сангаасlnx
O 1234 x
作业展示
又如：自主学习册P91 T2 T3
y=－2x +6
3. 零点存在性定理的应用
题型3：如何求函数零点所在的区间
如：自主学习册P92 T2 P94 T1
y y 1 函数是连续的。
y
a
2 定理不可逆。
O
O a b x O x b b 3 至少存在一个零点，不排除更多。
a
x
3. 零点存在性定理的应用
题型1：如何求函数零点
2 (1)f(x)=-x +3x+5 |x| (2)f(x)=2 -8
(3)f(x)=log2x
3. 零点存在性定理的应用
题型2：如何求函数零点的个数
归纳整理，整体认识 一个关系：函数零点与方程根的关系:
函数 方程
数 值 零点 存在性 根
个 数
两种思想：函数方程思想；数形结合思想． 三种题型：求函数零点、确定零点个数、 求零点所在区间．
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 3.1.1方程的根与
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点教案 新人教A 版必修1 教学目标 1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系； 2. 掌握零点存在的判定定理.自主学习：（预习教材P 86~ P 88，找出疑惑之处）1：一元二次方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的解法.判别式∆= .当∆ 0，方程有两根，为1,2x = ；当∆ 0，方程有一根，为0x = ；当∆ 0，方程无实根.2：方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的根与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象之间有什么关系？ 判别式 一元二次方程 二次函数图象0∆>0∆=0∆<合作探究：探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：① 方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .② 方程2210x x -+=的解为 ，函数221y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .③ 方程2230x x -+=的解为 ，函数223y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？小结：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点. 探究任务二：零点存在性定理问题：① 作出243y x x =-+的图象，求(2),(1),(0)f f f 的值，观察(2)f 和(0)f 的符号 ② 观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上 零点；()()f a f b g 0；在区间[,]b c 上 零点；()()f b f c g 0；在区间[,]c d 上 零点；()()f c f d g 0.新知：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()f a f b g <0，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.例1求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数.小结：函数零点的求法.① 代数法：求方程()0f x =的实数根；② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数()y f x =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．目标检测：A 级：必做题1. 求下列函数的零点：（1）254y x x =--；（2）2(1)(31)y x x x =--+B 级：选做题1.求函数()ln 2f x x x =+-的零点所在区间.2. 求函数23x y =-的零点所在的大致区间.三、总结提升①零点概念；②零点、与x 轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理 ※ 知识拓展图象连续的函数的零点的性质：（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号. 推论：函数在区间[,]a b 上的图象是连续的，且()()0f a f b <，那么函数()f x 在区间[,]a b 上至少有一个零点.（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.。
函数零点存在定理
函数零点存在定理一、函数零点的概念对于函数）（xfy=,我们把使xf=）（的实数x叫做函数）（xfy=的零点。
从几何角度来看，函数的零点就是函数图像与x轴交点的横坐标。
换句话说，函数的零点就是方程f(x)=0的实数解。
二、函数零点的性质函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根。
因此，求解函数的零点等价于求解对应的方程。
三、函数零点存在定理如果函数）（xfy=在区间[a,b]上的图像是连续不间断的一条曲线，并且有0bfaf）＜（）（∙,那么，函数）（xfy=在区间（a,b）内有零点推论（函数零点的唯一性）如果函数）（xfy=在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，在区间[a,b]上具有单调性，且bfaf）＜（）（∙，那么函数）（xfy=在区间[a,b]上有唯一零点四、定理的证明思路为了证明这个定理，我们可以采用反证法结合连续函数的性质进行证明。
这里简要说明证明思路：假设：假设在开区间(a,b)内不存在零点，即对于所有x∈(a,b)，都有f(x)≠0。
分类讨论：若f(x)在(a,b)内恒大于0或恒小于0，则与f(a)f(b)<0矛盾。
若f(x)在(a,b)内既有大于0的部分也有小于0的部分，则根据连续函数的介值性，存在某个点c∈(a,b)使得f(c)=0，与假设矛盾。
结论：因此，假设不成立，原命题得证。
五、零点个数的判断1、零点个数的定义对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x的个数即为该函数的零点个数。
从图象上看，函数的零点个数就是y=f(x)的图象与x轴交点的个数。
2、零点个数判断的主要方法（1）代数法解方程：最直接的方法是解方程f(x)=0。
如果方程可以求解，那么其解的个数即为函数的零点个数。
这种方法适用于能够直接求解的方程，如一元二次方程、一元一次方程等。
因式分解：对于多项式函数，可以通过因式分解将函数化为几个因式的乘积形式，然后令每个因式等于零，解得的解即为函数的零点。
高中数学人教A版必修1第三章3、1、1方程的根与函数的零点的近似值 - 教案
3.1.1 方程的根与函数的零点第二课一、教学目标：① 进一步巩固函数零点的概念，会求基本初等函数的零点；② 掌握方程的根与函数零点之间的等价关系，体会函数方程的转化思想； ③ 对函数零点，零点所在的区间及零点个数各题型有所思有所为。
二、课前预习：（务必课前总结）1、我们学习过的那些函数？它们的图像特点？①一次函数()0y kx b k =+≠：0k >时，是一条递增的直线；0k <时，是一条递减的直线。
b 是图像与y 轴交点的纵坐标，如0b =时，直线过原点。
②二次函数 ③指数函数 ④对数函数 ⑤幂函数2、默写函数零点定理与函数零点存在性定理三、教学过程探讨1：求函数()324f x x x =--+的零点。
探讨2：解决下列两个问题，并试图发现问题中的共性①确定正整数k 的值，使得函数()324f x x x =--+在区间(),1k k +上存在零点。
②试画出函数3y x =与24y x =-+的图像，并分析两个图像交点情况。
你所发现的共性：找出一个数0x 作为函数()324f x x x =--+零点的近似值。
（精度为0.1） 课堂练习：判断下列函数的零点个数①()22f x x x =-+②()lg 2f x x x =-+ ③()2log 2xf x x =+④()()2ln 23f x x x =-- ⑤()32221f x x x x =--+ 课后练习： 1.函数6)(2-+=x x x f 的零点为2.函数2)(+=ax x f 在区间)2,1(-上有零点，则a 的取值范围是3.函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.设函数3y x =与22xy -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是 （ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，5.根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间为))(1,(N k k k ∈+，则k 的值为 ；6、函数()11f x x =-的图像与函数()31y x =-的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ） A. 2 B.4 C.6 D8.7、已知函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且实数0a b c <<<满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是 （ ） A. 0x a < B. 0x c < C. 0x b > D. 0x c >8、确定正整数k 的值，使得函数()237xf x x =+-在区间(),1k k +上存在零点，并确定零点的一个近似值。
根的个数判定及一元二次方程根的分布
0 0
（1）已知方程 x2 (m 2)x 2m1 0 有一实根在0和1之间
练 另一实根在之外，求 m 的取值范围。 习 （2）已知关于 x 的方程 x2 (m 2)x 2m 0
的两根为 、 且满足 0 1 ，求 m的取值
范围。
（3）若方程 x2 (k 2)x k 0 的两实根均在区间
练习
已知关于x的一元二次 x2 2m x 2m 1 0
（1）若方程两根均为正，求m的取值范围； （2）若方程两根均为负，求m的取值范围； （3）若方程的一根为正另一根为负，求m范围；
（二）k分布
1.两根均大于k的条件
b2 4ac 0
b 2a
k
af (k ) 0
3.一根大于k一根小于k
比2小，求 m 的取值范围。
（三）区间分布
1. 一个根在区间内另一根在区间外
f (k1) f (k2) 0
2.两根均在区间内
b2 4ac 0
af (k1) 0
Байду номын сангаас
af k1
(k2) 0 b
2a
k2
3.两根分别位于两区间内
f f
(k1 ( p1
) )
f f
(k2 ) ( p2 )
2.两根均小于k的条件呢？
的条件
af (k) 0
练习
（1）已知方程 x2 11x m 2 0 的两实根都大于1，求
m 的取值范围。
（2）若一元二次方程 mx2 (m 1)x 3 0 的两实根都小于2，求 m 的取值范围。
（3）已知方程 x2 2m x 2m2 3 0 有一根大于2，另一根
在[-1，3]内有实根，求a的取值范围；
二、一元二次方程的根的分布
人教A版数学必修一第三章3.1.1《方程的根与函数的零点》讲解与例题
3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．辨误区函数的零点不是点我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )A．(±1,0) B．(1,0)C．0 D．±1解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．答案：D2函数零点(或零点个数)正比例函数y＝kx(k≠0)一个零点0反比例函数kyx=(k≠0)无零点一次函数y＝kx＋b(k≠0)一个零点b k -二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0Δ＞0两个零点－b±Δ2aΔ＝0一个零点－b2aΔ＜0无零点指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)无零点对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)一个零点1幂函数y＝xαα＞0一个零点0α≤0无零点【例2( )A．0 B．1 C．2 D．1或2解析：∵b2＝ac，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．故函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．【例3－1】若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点就是方程x2＋ax＋b＝0的根，故方程x2＋ax ＋b＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值．解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4), 2(4),ab+-=-⎧⎨⨯-=⎩即2,8.a b =⎧⎨=-⎩(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 f (x )＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象图象与x 轴交点 (x 1,0)，(x 2,0) (x 0,0) 无交点方程f (x )＝0的根 x ＝x 1，x ＝x 2 x ＝x 0 无实数根函数y ＝f (x )的零点x 1，x 2 x 0 无零点式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D点技巧 借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3． 故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝24122x xx+--．解析：分别解方程f(x)＝0得函数的零点．解：(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6．(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26．故函数的零点是log26．(4)解方程f(x)＝24122x xx+--＝0，得x＝－6．故函数的零点为－6．辨误区忽略验根出现错误本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f(x)＝ln x－11x-的零点的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：在同一坐标系中画出函数y＝ln x与11yx=-的图象如图所示，因为函数y＝ln x与11yx=-的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－11x-的零点个数为2．答案：C,5．判断零点所在的区间零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数． 错解 错解一：由题意，得f (1)＝2＞0，f (4)＝2＞0，因此函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上没有零点，即零点个数为0．错解二：∵f (1)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(1，2.5)内有一个零点；又∵f (4)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(2.5,4)内有一个零点．∴函数在区间[1,4]内有两个零点． 错因分析对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当f (a )·f (b )＞0时，区间(a ，b )内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f (a )·f (b )＜0时，区间(a ，b )内存在零点，但个数是不确定的．正解由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，所以函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数是2．【例5－2】函数f (x )＝lg x －x的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0． ∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)． 答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔ca＜0．④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0．(2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系． 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程x 1，x 2中有且仅有一个在区间 (k 1，k 2)内f (k 1)·f (k 2)＜0或f (k 1)＝0，k 1＜12<22k k b a +-或f (k 2)＝0，12<22k k b a+-＜k 2．__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)． 若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]．点技巧 研究函数图象性质有技巧 对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时， (1)方程有一根； (2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意； 当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-． 综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根．(2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．。
人教必修一数学《3.1.1.2函数与方程(2)函数零点的存在性定理》(课件)
C. a 1 或a 1 D. a 1 5
4 . 若方程2ax2 x 1 0在（0，1）内 恰有一个解，则a的取值范围是______。
「家庭作业」 1. 《考向标》 P71 — P72； 2. 自学教材：P89 — P91：
二分法求方程的近似解。
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
自我感悟
教材P87 — P88 通过对二次函数零 点所在区间其有的特点，得出一般函数 y = f (x)在区间［a，6］上是否存在零点 的“零点存在性定理”。
请你思考以下几个问题：
（1）为何规定函数 y = f (x)的图象是 连续不断的？
（2）为何只研究 f (a) ·f (b) < 0这个 情况？
（3）为何只说“存在 c (a，b) ，
使得 f (c) = 0”而不说到底有几个零点？ （4）要得出函数 y = f (x)在区间
［a，b］上零点个数，你认为应增加哪些 条件？
知识归纳
函数零点存在定理
如果函数y f ( x)在区间a，b上的图象
是连续不断的一条曲线，并且有f (a) f (b) 0， 那么，函数 y f ( x)在区间(a，b)内有零点，即 存在c (a，b)，使得f (c) 0，这个也就是方程 f ( x) 0的根.
知识运用
1.教材P92 A组T 2
2. 求函数f ( x) ln x 2x b的零点个数.
3 . 设f ( x) 3ax 1 2a在(1，1)上存在
x0，使f ( x0 ) 0，则a的取值范围是（ ）
A. a 1 B. a 1
5
5
方程的跟与零点定理
辨析4：若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则一定能够得出f(x)在 [a,b]上连续，或者一定有f(a)·f(b)<0么？ （不一定）
c1
c2 b
c1
c2
a
x
a
b
x
结论：函数零点存在性定理不可逆的。
例2、已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表:
X
1
2 9
3 -7
4 11
5 -5
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。 注意： 零点指的是一个实数；
零点是一个点吗?
函数零点的求法
①（代数法）求方程 f(x)=0的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程， 评注：求函数的零点就是求相应的方程的根，一般 可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并 可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的 利用函数的性质找出零点． 根，从而得出函数的零点。
6 -12
f(x) 23
问：那么函数在区间[1 , 6]上的零点至少有几个，哪些区 间上一定存在零点
答案：至少有3个零点 分别在区间 （2， 3），（3，4），（ห้องสมุดไป่ตู้，5）上
课堂小结：
１、函数零点的定义；
2、函数的零点与方程的根的关系； 3、确定函数的零点的方法。 4、估计函数的零点所在的区间。
2
y y y
.
2
－1
. .0
－3 －4
1
－1 －2
. .
1 2 3
2 1
. . .
1
.
3 2
5
x
－1
.
3.1.1方程的根与函数的零点
这个结论反过来，还成立吗？
本类相交型零点成立
二、零点存在性结论 观察课本P86的图
"结论"f(a)f(b)<0则存在零点 成立 "反面"存在零点则f(a)f(b)<0 成立 “结论”在两种零点中都对。 只有相交型零点中，"结论"的 正反面均成立。
"结论"f(a)f(b)<0则存在零点
不满足条件f(a)f(b)<0，是对的 "反面"存在零点则f(a)f(b)<0 满足条件有零点，但是错的
二、零点存在性结论 观察课本P86的图
相切型零点呢？
f(-2) > 0 f(0) < 0
f(2) > 0 f(a)f(b) < 0 f(4) < 0 如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是
连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)<0 ，那么，函数 y=f(x) 在区间 (a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得 f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
A.若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0
B.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0 C.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0 D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0
二、零点存在性结论 注意点小结
各函数分别有几个零点？ 2个；1个；0个
它们的零点形成方式有什么不同？ (1)穿过x轴形成；(2)与x轴相切形成。 给它们取个名字 (1)相交型(2)相切型
(完整word)函数的零点存在定理
《函数的零点存在定理》一、教材内容分析《函数的零点》第二课时，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。
1、教材的地位与作用函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性,而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起.方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础。
可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位。
2、内容分析本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理.函数零点是研究当函数)(xf的值为零时,相应的自变量x的取值，反映在函数图象上，也就是函数图象与x轴的交点横坐标。
由于函数)(xxf，其本身已是方程的形式，因而函数的零点)f的值为零亦即0(=必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程0f有解，则函数)(xf存在零(=)x点，且方程的根就是相应函数的零点,也是函数图象与x轴的交点横坐标。
顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题.这是函数与方程关系认识的第一步。
零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。
如果函数(<⋅bfaf，则函数))( (xf)y=在区间[]b a,上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足0y=在区间()b a,内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质f)(x进行判断.定理的逆命题不成立.方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了似的方法,同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想"。
二、教学内容诊断分析本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上,利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数。
零点存在性定理的探究课设计
零点存在性定理的探究课设计一、问题及教材分析教材原问题：3.1.1 方程的根与函数的零点观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象（如图1），我们发现函数32)(2--=x x x f 在区间[-2，1]上有零点。
计算)2(-f 与)1(f 的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2，4]上是否也具有这种特点呢？函数的零点是新课程新增的教学内容，引入了函数的零点，方程问题就转化为求函数零点的问题，于是方程就可化归到函数中来，从而让学生认识到知识的联系，构建以函数为核心的知识体系。
也就是说，函数的零点是方程与函数互相转化的桥梁。
对于复杂的方程，很难直接求出其根，我可以转化为对应函数的零点存在性问题，因此就有必要对函数的零点存在性进行讨论。
二、教学目标知识与能力目标：理解零点存在性定理的条件，会运用定理对函数零点的存在性进行判断。
过程与方法目标：通过零点存在的特征和定理条件的探究，培养学生的数学洞察能力、归纳 能力和自主探索思考的能力。
情感态度与价值观目标：通过本探究过程，培养学生自主思考、独立解决问题的习惯，同时 在解决问题的体验中增强学生的自信心。
三、重点难点教学重点：零点存在性定理的探究和理解。
教学难点：零点存在性定理的理解。
四、教学过程设计一）定理的探究问题1 如图2，区间[-5，-4]上有零点，计算(5)f -与(4)f -的乘积，有什么特点？对于区间[-2，-1],[1，2],[4，5]是否也有这样的特点？为什么？意图：引导学生探究，归纳出存在一个零点的区间的特征．图1 图2问题2 小组讨论：若有()()0f a f b <，函数()y f x =在区间[a ，b]上就一定有零点吗？ 意图：鼓励学生举出分段函数等反例，让学生深入探索零点存在的条件．问题3由以上可知，函数除了()()0f a f b <外，还需要什么条件才能保证区间上有零点？ 意图：引导学生总结归纳出零点存在性定理的“连续不断的曲线”这一条件．通过以上3个问题的探究，学生就很自然地得出零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[a ，b]上的图像是连续不断的一条曲线．并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈(a ，b),使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根．﹒二）定理的理解剖析问题4 填空．1）[-5，-4]有＿个零点，(5)(4)f f --＿0．2）[-5,-1]有＿个零点，(5)(1)f f --＿0．3) [-5，2]有＿个零点，(5)(2)f f -＿0．4）[-5，5]有＿个零点，(5)(5)f f -＿0．5）若[a ，b]有2n 个零点，(a)()f f b ＿0．6）若[a ，b]有2n+1个零点，(a)()f f b ＿0．意图：引导学生发现[a ，b]中零点个数和(a)()f f b 符号的关系．问题5 若()y f x =在[a ，b]上的图像是连续不断的曲线，并且()()0f a f b >，()y f x =一定没有零点吗？意图：引导学生变换角度思考，深入理解定理．问题6若()y f x =在[a ，b]上有零点，在[a ，b]上的图像是连续不断的曲线，一定有()()0f a f b <吗？意图：定理的逆命题不成立．问题7 若()y f x =在[a ，b]上的图像是连续不断的曲线，并且()()0f a f b <，()y f x =就只有一个零点吗？此时零点个数有什么特点？小组举例说明．意图：让学生注意定理只能判断零点的存在性，而不能具体确定零点的个数，但可进一步确定是奇数个．五、设计反思1、学情分析。
零点存在性定理
2
方程 y=0 函数
x2－2x－3=0 － y= x －2x－3
2
x －2x+1=0 y= x －2x+1
2
2
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
. 函数图象
－1
y
2 1
. .
－1 －2
.y
2
y
. . . 1 .
2
.
.
x
－1
5
0
1
2
3
x
－1
1
(简图） 简图） 简图
0
－3 －4
3 2 1
.
4
.
.
5
问题1：此图象是否能 问题 ： 表示函数？ 表示函数？ 问题2： 问题 ：你能从中分析 函数有哪些零点吗？ 函数有哪些零点吗？
-2
-1
2
3
6
设问激疑,延伸拓展 设问激疑 延伸拓展 例1:求函数 1:求函数
f ( x ) = 4 x 2 − 12 x + 9
的零点个数。 的零点个数。
再次思考问题： 再次思考问题：你能求出下列方程的实数根个数 吗?
∴选 B
15
方程的根与函数的零点
初步应用,理论迁移 初步应用 理论迁移
例2 求函数 y = ( x − 2) 2 ( x 2 − 2 x − 3) 的零点: 的零点
求函数零点的步骤： 求函数零点的步骤： (1)令 (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； 解方程f(x)=0 (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点 (3)写出零点 如何解下列方程
即存在 c ∈ ( a, b ) ，使得 f (c) = 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) = 0 的根。
高中数学 3.1.1《方程的根与函数的零点1》教案 新人教A版必修1
高中数学 3.1.1《方程的根与函数的零点1》教案 新人教A 版必修1四、教学过程【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题。
用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（1）2230x x --=；（2）062ln =-+x x .学生活动：回答，思考解法。
教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。
对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？学生活动：思考作答。
教师活动：用屏幕显示函数223y x x =--的图象。
学生活动：观察图像，思考作答。
教师活动：我们来认真地对比一下。
用屏幕显示表格，让学生填写2230x x --=的实数根和函数图象与x 轴的交点。
学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x 轴交点的横坐标的结论。
教师活动：我们就把使方程成立的实数x 称做函数的零点．【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。
板书（一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点）。
教师活动：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？学生活动：对比定义，思考作答。
教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？学生活动：思考作答。
教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。
板书（方程的根与函数零点的等价关系）。
教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系。
如果已知函数y=f(x)有零点，你怎样理解它？学生活动：思考作答。
人教A版2003课标高中数学必修1第三章3.1.1方程的根与函数的零点(共22张PPT)
探究三：零点存在性定理
探究三：零点存在性定理
（若不成立，利用图象举出反例）
23:27
学会了吗?
.
.
23:27
探究四：零点存在性定理的拓展
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象 是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0， 且是单调函数 那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零唯点一.的一个零点.
择决定命运，环境造就人生！
从特殊到一般性的归纳
判别式△
方程ax2 +bx +c =0(a>0)的 根
△＞0
△=0
Байду номын сангаас
△< 0
这个结论对于一般的二次方程和对应函数成立吗？
上述结一论元：二一次元方程二的次实方数程根的实数二次根函就数是图相象应与函x轴数的图交象点的 横坐标(方程与实x轴数根交的点个的数横就坐是标对应. 函数图象与x轴的交点的个数）
记忆口诀： 零点不是点； 等价三相连． 上下不间断； 零点可呈现．
㈡数学思想方法
体会函数与方程和数形结合的数学思想
课后作业
⑴完成学案; ⑵ (选做)教材88页课后练习第2题.
小测试
①函数 f (x) (x2 2)( x2 3x 2) 的零点的个数是 （ ）
A .1 B.2
C. 3
D.4
②函数 f (x) 图象在[a,b]上是一条连续不断的曲线，
且 f (a) f (b) 0 ，则 f (x) 在[a,b]上
（）
A .一定没有零点 B.至少有一个零点 C. 只有一个零点 D.零点情况不确定
③函数 f (x) 2x 3x 的零点所在的大致区间是 （ ）
3.1.1函数零点存在性定理 课件
（3）f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一错
个零点。
y
y
y
2
a
a
0
0b
-5
x
a 0 x1 b x
0
x
b
函数零点存在定理的三个-2 注意点：
1 函数是连续的。 -4
2 定理不可逆。
3 至少-6 存在一个零点。
类型一：零点所在区间的判断
例题 1：函数 f(x)=lgx-9的零点所在的大致区间是
x
知识探究：函数零点存在性定理
数学实例探究: 观察二次函数 f (x) = x2 - 2x - 3 的图象：
○1 f (-2) · f (1) ___<__0（＜或＞），
函数 y = f (x) 在区间(-2,1)上是否 有零点？
○2 f (2) · f (4) ___<_0（＜或＞），
函数 y = f (x) 在区间(2,4)上是否 有零点？
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 能力提升：
已知a R,讨论关于 x 的方程
x2 - 6x + 8 = a 实数解的个数
知识总结：
函数零点存在性定理：
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有f(a)•f(b)<0，那么，函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0 的根.
知识探究：函数零点存在性定理
观察函数y=f(x)的图象； 则f(x)在 区间[a,b]上 有(有/无)零点;f(a)•f(b) < 0(“<”“>”) 区间[b,c]上 有(有/无)零点;f(b)•f(c) < 0(“<”“>”) 区间[c,d]上 有(有/无)零点;f(c)•f(d) < 0(“<”“>”)
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1 3.1.1第二课时。
函数零点的存在性定理
1x )
2.78 A.(－1,0) B ．2、函数f(x)＝lnx －2x
的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(e,3)
3、下列函数不存在零点的是( )
A ．y ＝x －1x
B ．y ＝2x 2－x －1
C ．y ＝⎩⎨⎧ x ＋1 x≤0x －1 x ＞0
D ．y ＝⎩⎨⎧ x ＋1 x≥0x －1 x ＜0
4、函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．无法确定
5、设函数y ＝x 3与y ＝(12
)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)
6、函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．
7、若函数f(x)＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________．
8、下列说法正确的有________：
①对于函数f(x)＝x 2＋mx ＋n ，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a ，b)内一定没有零点． ②函数f(x)＝2x －x 2有两个零点．
③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.
④当a ＝1时，函数f(x)＝|x 2－2x|－a 有三个零点．
9、 已知集合A = {x ∈R|x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0}，B = { x ∈R|x ＜0}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围.
10、 设集合A = {x | x 2 + 4x = 0，x ∈R}，B = {x | x 2 + 2 (a + 1) x + a 2 – 1 = 0， x ∈R}，若A ∪B = A ，求实数a 的值.。