第四节 最大流问题

(5，3) (3,0)
(3，3) （0，∞） vs (5，1) （vs，4）
(1，1)
vt
(2，1)
v1
(2，2)
（-v2，1）
v3
（3）检查v1，在弧（v2，v1）上，f21>0， 给v2标号
(-1, l(v2)), l ( v2 ) min l ( v1 ), f 21 min 4 ,1 1,
1
可行流f*，截集(V1*，V1*), 若V(f*)=C( V1*，V1*），
则f*必是最大流， (V1*，V1*) 必是D的最小截集。
定理 若f*是网络G=（V，A，C）上的可行流，则
可行流f*为最大的充要条件为μ中不存在关 于f*的增广链。 最大流最小截量定理。任一个网络D中，从vs 到 vt的最 大流的流量等于分离vs，vt的最小截集的容量。
v4
(v2，1) (5，3)
(3，3) （0,∞）
vs
(5，1)
(1，1)
(3,0)
vt
(v3，1)
(2，1)
在弧（v2，v4）上，f24=3，c24=4，f24<c24, 给v4标号 (2, l(v4)), 其中
（vs，4）
v1
(2，2)
v3
（-v2,1）
l ( v4 ) min l ( v2 ),( c24 f 24 ) min ,1 1, 1
23
（-v2，2） v1
(5，1) (2，2) (2，2)
v3 （v1，2）
(6，3) (2,0) (5，2)
(3，3)
(0， +∞)
vs
(6，2)
vt
（v3，2）
（vs，4）
v2
(3，2)
v4
（v2，1）
24
（-v2，2）v1
(5，1)
(2，2) (2，2) (3，2)
v3
（v1，2）
(3，3)
第4节
网络最大流问题
例 连接某产品产地vs和销地vt的交通网如下： v1 v3 4
3 5 1 5 2 1 2
vs
vt v4
v2
2
弧（vi，vj）：从vi到vj的运输线，
弧旁数字：这条运输线的最大通过能力,
制定一个运输方案，使从vs到vt的产品数量最多。
1
v1
3
4
2
v3
5
弧旁数字：
运输能力。
vs
5
1
14
重复上述步骤，一旦vt被标号，则得到一条vs到vt的 增广链。若所有标号都已检查过，而vt尚未标号，结束， 这时可行流，即最大流。 （二）调整过程
从vt 开始，反向追踪，找出增广链 µ ，并在µ 上进 行流量调整。 （1）找增广链 如vt 的第一个标号为k（或-k），则弧（vk，vt） ∈µ（或弧（vt，vk) ∈µ)。检查vk 的第一个标号，若为i （或-i），则(vi,vk) ∈µ (或(vk,vi) ∈µ )。再检查vi 的第一 个标号,依此下去,直到vs 。被找出的弧构成了增广链 µ 。
容量：在有向图上，每条弧上给出的最大通过能力（最大可 能负载）。cij 流量：网络中加在弧上的负载量（实际负载量）。 fij
3
(a)图是一个网络
10
v2
3 4 8
5
v4
11 3
v1
弧旁数字：
容量
5
17
v6
v5
v3
6
v2
弧旁数字：
5 2
2
v4
6
流量
v1
3
1
1
3
2
v6
v5
4
v3
3
vi
v2
(10,5)
v1
(8,4)
(6,0)
v2
v3
(6,5)
v4
(3,3)
v5
(5,4)
v6
10
（6）. 截集与截量 对于有向网络G=(V,A,C） ，若S为V的子集，S=V - S ， 则称弧集 (S，S)= a|a=(u,v),u S,v S 为网络G的一个截集，并将截集中所有弧容量之和称为截容量， （ （ 为截集 (S,S ) 的截容量（简称为截量）。 即 C S, S）= C a）
（2）若弧（vj，vi）上，fji>0，则给vj 标号(-i， l (vj))， l (vj)=min[l (vi), fji], vj 成为标号而未检查的点。 vj vj (i , l(vj)) vi (-i , l(vj)) vi fij<cij f ji>0 l(vj)=min[l(vi),cij-fij], l(vj)=min[l(vi),fji]
(0， +∞)
vs
(6，3) (2,0) (5，2)
vt
（v3，2）
(6，2)
（vs，4）v2
7
（5）. 增广链 对可行流 f ={ fij }： 非饱和弧：fij < cij 非零流弧：fij >0 vt 。 饱和弧：fij =cij 零流弧：fij =0
链的方向：若µ 是联结vs和vt的一条链，定义链的方向是从vs到
v2
(10,5) (3,2) (4,1) (8,3) (5,1)
(5 ,2)
v3
(6,3)
µ - ={(v4,v5)}
9
增广 链 设 f 是一个可行流, µ 是从vs 到vt 的一条链,若µ 足下 满 列条件,称之为关于可行流 f 的一条增广 链。
+ (vi , vj ) ∈ µ (vi , vj ) ∈ µ
0≤ fij <cij 0 < fij ≤ cij
前向弧是 非饱和弧， 后向弧 是非零流弧，
f3t<c3t， 给vt标号 (3, l(vt)), 这里
（5）检查v3，在弧（v3，vt）上，f3t=1， c3t=2，
l ( vt ) minl ( v3 ),( c3t f 3t ) min ,1 1, 1
vt得到标号，标号过程结束。
19
（二）调整过程 ：从vt 开始逆向追踪，找到增广链。
1
2
vt
v4
v2
2
问题：这个运输网络中，从vs到vt的最大输送量是多少？
2
7.4.1最大流的基本概念与定理 （1）. 网络流
网络流 对于网络G=（V，A，C） ，定义在弧集合A上的 一个函数f = {f(vi ,vj)} 称为网络流， f(vi , vj) （简称fij）为弧 aij ∈A上的流。
a S, S） （


（7）最小截与最小截量 若 （S*，S*） 是容量网络中所有截集中截量最小的截集，即
C S*,S*）= min C S,S）|（S,S）为网络G的一个截量 （ （
（ C （ 则称 S*，S*）为G上的最小截， S*,S*） 为上的最小截量。
11
性质 任何一个可行流的流量V(f)都不会超过任一截集的容 量。即 V ( f ) C(V ,V 1 )
=1的调整，得
可行流 f ′ 如右
(1，0)
(1，0)
vs
(5，2)
vt
20
(2，2)
图所示：
v1
(2，2)
v3
去掉各点标号，从vs开始，重新标号。
v2
(3，3) （0，∞）vs (5，2)
(4，3) (1，0) (1，0)
v4
(5，3)
点v1：标号过程
(3,0)
vt
无法进行，所以
f ′即为最大流。
cij fij
(5 ,2) (3,2)
vj v4
(11,6) (3,3)
v1
(8,3)
来自百度文库(4,1)
(5,1)
(17 ,2)
v6 v5
v3
(6,3)
5
（2）. 可行流
可行流 满足下述条件的流 f 称为可行流: 1)容量限制条件: 对每一弧(vi , vj )∈A 0≤fij ≤cij 2)平衡条件: 对中间点vi (i≠s,t ),有
l ( v1 ) min l ( vs ),( cs1 f s1 ) min ,5 1 4
17 在弧（vs，v2）上， fs2=cs2=3, 不满足标号条件。
fs1<cs1, 给v1标号(s, l(v1)), 其中
（-v1，1）
v2
(4，3) (1，1)
v4
如所有fij=0， V( f ) 零流。
V( f ) 称为可行流 f 的流量,即发点的净输出量。
6
（3）. 最大流
若 V（f *） 为网络可行流，且满足： V（f *）=Max{V（f ）∣f }为网络D中的任意 一个可行流，则称f *为网络的最大流。
（4）.前向弧与后向弧 设μ=（x,…,u，v,…A）是网络G中的一条初等链并且 定义链的方向是从x到A。若D中有弧（u，v），与μ方向 一致，则称（u，v）为链μ的前向弧，若D中有弧（u， v），与μ方向相反,则称（v, u），为链μ的后向弧。
(2，2)
v1
(2，2) （vs，3）
v3
V（f ′）=3+2=5
V1=(vs,v1)
V1=(v2,v3,v4, vt)
截集：[V1，V1]=[（vs，v2），（v1，v3）] V（f ′）=C[V1，V1]=5
问题：(v2,v1)是不是截集[V1，V1]中的弧？
21
例 用标号法求下图网络的最大流。弧旁的数字是( cij , fij)。
15
（2）流量调整
令调整量是 l(vt)，构造新的可行流 f ′，
令
f ij ' f ij f ij f ij
(v i , v j ) u (v i , v j ) u

(v i , v j ) u -
去掉所有的标号,对新的可行流 f ′={ fij′},重新进 入标号过程。
v1
(3，3)
(5，1) (2，2) (2，2)
v3
(6，3) (2,0)
(5，2)
vs
(6，2)
vt
v2
(3，2)
v4
22
解： 第一轮 标号过程 （1）vs标（0，+∞），vs为已标号未检查点。 v 6 （2）检查vs，给v2标号（vs，l(v2)）l( 2 ) min ， - 2 4 ，vs成为已标号已检查的点，v2成为已标号未检查的点。 v （3）检查v2，给v1标号（-v2，l(v1)） l( 1 ) min 4，2 2 。同理给v4标号为（v2，1），v2成为已标号已检查的 点，v1，v4成为已标号未检查的点。 （4）检查v1，给v3标号为（v1，2），v3成为已标号未检 查的点。 （5）检查v3，给vt标号为（ v3 ，2）。 因为vt已被标号，所以说明找到一条增广链。 调整过程 按点的第一个标号，以vt点开始，回溯找到一条增广 链， 如下图红线所示：
( vi , v j ) A

f ij
sj
( v j , vi ) A

f ji 0
js
vs : vt :
( v s , v j )A
f

( v j , v s )A
f
V( f )
可行流总是 存在的
( v t ,v j )A
f
tj
( v j , v t )A
f
jt
（-v1,1）
v2
(4，3)
(1，1)
v4
(v2，1) (5，3)
(3，3) （0,∞）
vs
(5，1)
(1，1)
(3,0)
vt
(v3，1)
(2，1)
µ s,v1,v2,v3,vt） （v =1， 在µ 上进行流量
（vs，4）
v1
(2，2)
v3
（-v2,1）
v2
(3，3)
(4，3)
v4
(5，3)
(3,0)
12
7.4.2寻求最大流的标号法（Ford—Fulkerson） 从任一个可行流 f 出发（若网络中没有给定 f ， 则从零流开始），经过标号过程与调整过程。 （一）标号过程
已 检 查 标 号 点 网络中的点 未 检 查 未 标 号 点
13
标号： 开始，vs 标上（0，∞），vs 是标号未检查的点， 其余点都是未标号点，一般地，取一个标号未检查 的点vi ，对一切未标号的点vj 。 （1）若弧（vi，vj）上，fij<cij，则给vj 标号(i，l(vj))， l(vj)=min[l (vi), cij-fij], vj 成为标号而未检查的点。
1 (-2, l(v3)), 这里 l (v3 ) minl (v2 ), f32 min ,1 1,
18
在弧（v1，v3）上，f13=2， c13=2，不满足标号条件。 （4）检查v2，在弧（v3，v2）上，f32=1>0， 给v3标号
（-v1,1）
v2
(4，3) (1，1)
16
例 用标号法求下图网络的最大流。弧旁的数字是( cij , fij)。
v2
(3，3) （0，∞）vs
(4，3) (1，1) (1，1) (2，2)
v4
(5，3)
(3,0)
vt
(5，1)
(2，1)
解：（一）标号过程。
v （vs，4）1
v3
（1）给vs标上（0，∞）； （2）检查vs，在弧（vs，v1）上，fs1=1，cs1=5，
v4
(11,6)
v1
(3,3)
(17 ,2)
v6
v5
8
v3
(6,3)
v2
(10,5) (3,2) (4,1) (8,3) (5,1)
(5,2)
v4
(11,6)
v1
(3,3)
(17,2)
v6
v5
µ = (v1,v2,v3,v4,v5,v6 )
+ µ ={(v1,v2) ,(v2,v3), (v3 , v4),(v5,v6)}