有限单群分类100年

1832 年的某个清晨，革命中的法国见证了又一次决斗。

在某个瞬间，某位青年被对手的枪 射中腹部，随后去世。

在当时狂热的政治斗争中，只有寥寥数人意识到，法国，甚至世界， 又失去了另一个伟大的头脑。

这位青年姓伽罗华，他的最大遗产围绕着一个数学概念：群。

在接下来的一百多年后，一群在世界各地的数学家，沿着这位青年开辟的路径，对有限群的 结构进行了彻底的分析。

其中的发现，可能出乎所有人的意料。

这是一个关于群的故事，这是一个关于单群的故事。

高度抽象的对称交错群 A_5 的一个 Cayley 图（一种群的图示） 什么是群？一个数学家可能会给你这样的回答： 一个群是一个集合 G 以及在 G 上的一个运算—，满足以下三个条件： 1. 存在一个 G 中的元素 e，使得对于 G 中的任意元素 x，有 x=x—e=e—x。

这样的 e 叫做 群的单位元 2. 对于 G 中的任意元素 x,y,z，有(x—y)—z=x—(y—z)，这是结合律 3. 对于 G 中的任意元素 x，存在 G 中的一个元素 y，使得 e=x—y=y—x。

这样的 y 被称为 x 的逆元 这样的定义， 即使是对一名刚进大学的数学系学生来说也稍显抽象。

但数学的力量就在于它 的抽象。

它什么都不是，所以它什么都是。

整数和加法就构成一个群。

什么数加上 0 都不变， 所以 0 是单位元； a+(b+c)=(a+b)+c， 这是小学的加法结合律；一个数加上它的相反数是单位元 0，所以相反数就是逆元。

正实数 和乘法也构成一个群，1 是它的单位元，乘法有结合律，倒数是逆元。

如果我们认为 9 点 +5 点相当于 9 点的 5 个小时后，也就是 2 点的话，就连时钟也构成一个群。

宝石的晶体 构造，电脑的压缩校验算法，以至于魔方的还原，无不牵涉“群”这个概念。

而对于自然界的 各种对称性，群也是对其最自然的描述方式。

难怪有人会说，群就是对称，研究群，就是研 究各种对称性。

正是由于放弃了与现实的对应， 像群这样的抽象数学概念才能在现实中获得广泛的对应。

我 们研究群，并不关心它的具体元素是什么，是 x,y,z 还是姬十三、猛犸、桔子都无所谓，只 要知道元素通过运算产生的关系就够了，这就是群的全部。

只要符合群的公理，能应用到 x,y,z 上的结论就能应用到姬十三、猛犸、桔子上，这就是抽象的力量。

超越时代的孤独伽罗华的画像 也正由于这种抽象，群的概念在一开始并没有很快地被接受。

伽罗华是在研究一元五次方程的根式解时开始触及群的概念的。

对于一元二次方程来说， 我 们可以将方程的所有解写成有关方程系数的一个根式 （允许四则运算和开常数次方运算组成 的式子），这称为方程的根式解。

对于三次以及四次方程，也有这样的公式，可以直接从方 程的系数得到方程的所有解。

然而，对于五次以及更高次的方程来说，此前阿贝尔已经证明 一般的公式并不存在。

伽罗华要解决的，是判断何时存在这样的根式表达。

为了解决这个问题，他首次定义了群这种代数结构，仔细地研究了群的各种性质，以及它与 更高级的一种代数结构——域——的关系， 并以此发展了一套理论， 完整地解决了这个问题。

他写下了关于这套理论与高次方程根式解的备忘录，并将其递交到法兰西科学院。

他的不幸从此开始。

这份备忘录的评审人是柯西。

虽然认识到了伽罗华工作的重要性， 柯西却没有接受这份备忘 录，而是建议伽罗华修改这份备忘录以竞逐科学院的数学奖。

伽罗华接受了这个建议，第二次提交了备忘录。

天意弄人，评审人傅里叶之后不久就逝世了，伽罗华的备忘录不知所踪。

伽罗华决定最后一搏，但这也被泊松驳回，理由是“无法理解”。

当消息传到伽罗华耳中时， 他早已因为政治斗争而身陷囹圄，此时离他的决斗只有半年时间。

没有人理解他的理论，或者说没有人愿意去理解他的理论。

就是这套理论，使伽罗华的名声流芳百世。

尽管他无法发表他的备忘录，但他此前发表的论 文讲述了这个理论的一些基础。

泊松的驳回理由，使他更认真地打磨他的理论，以冀数学界 的认同。

但死神的镰刀没有给他这个时间，上天不打算给他安排生前的荣耀。

1832 年 5 月 30 日， 年方二十的伽罗华， 迎来了他第一次也是最后一次的决斗。

这场决斗的细节已经被时间之砂 打磨掩盖，什么对手，什么原因，有人说是为了爱情，有人说对手背后有政治阴谋，众家各 执一词。

我们只知道，在这场决斗中，伽罗华腹部中枪，不久后魂归天国。

“不要哭，阿尔弗雷德！在二十岁死去，我需要我的全部勇气。

”这就是他对弟弟说的最后一 句话。

而决斗前夕给他的朋友 Chevalier 的信，可以算是他对世界的遗言。

信中密密麻麻地写着 他的数学理论， 他正在思考的问题， 他脑中的一切。

他大概冀图某天， 世界能够通过这封信， 理解他。

幸而， Chevalier 实现了他挚友的意愿。

伽罗华的理论， 现在以他的名字命名： 伽罗华理论。

也就是这封信，吹响了一场百年战役的号角。

构筑对称的砖块Z/6Z 的一个 Cayley 图，其中可以看出它可分解为两个单群 在伽罗华理论，乃至于更广泛的群的理论中，有一个很重要的概念：正规子群。

我们以下只讨论那些只有有限个元素的群，它们被称为有限群。

例如，魔方操作组成的群就 是有限群，因为变化的可能性是有限的。

而整数与加法组成的群则不是有限群，因为整数有 无限个。

在一个群里，有些元素自己会组成一个小圈子。

它们并非不与外界交流，但无疑它们喜欢抱 团： 小圈子内的元素经过运算得到的结果仍然在这个小圈子里， 而它们的逆元也在小圈子里。

简而言之，这个小圈子对于原来的运算也组成一个群。

这样的小圈子，叫做群的子群。

有些子群比别的子群更特别，它们不仅自己是一个群，如果“除”原来的群，得到的也是一个 群。

这样的子群叫做正规子群，而它们对原来的群作“除法”得到的群叫商群。

首先观察到并 提出正规子群这个概念的，正是伽罗华。

通过研究更简单的正规子群和商群， 我们可以得到群的很多性质。

这就是数学家特别钟爱正 规子群的原因。

如果我们将正规子群和商群看成群的一种分解的话， 那么必定有着不能被继续分解的群， 我 们将之称为单群。

对于任意的有限群，我们可以将其分解成一串单群，而且这样的分解是唯一的。

单群在有限 群论中的地位，跟素数在数论中的地位，还有原子在化学中的地位一样：它们都是构建它们 所在世界的砖块。

通过研究这些“砖块”，我们可以知道它们组成的各种结构的性质。

如果能 列出所有有限单群，就能从一个侧面了解所有离散的对称性的性质。

有限单群就是这个故事的主角。

与化学家当年寻找新元素的动机一样， 数学家也开始了对有限单群的寻找。

他们想做的跟化 学家做的差不多：列一个单群的“元素周期表”。

不过数学家要做的任务多了一项：证明这个 “周期表”包含了所有的单群。

这看起来不太容易，事实正是如此。

转眼百年的长征Higman-Sims 图，可导出散在单群 Higman-Sims 群 伽罗华是寻找有限单群当之无愧的第一人。

是他首先发现所谓的交错群 A_n 对于所有 n>=5 都是单群，从而不是可解群。

正是从这个结果出发，他证明了高于五次的方程一般 而言没有根式解。

而数学家此前对数论的研究也容易导出另一族的单群：素数阶的循环群 Z_p。

它们也是唯一的交换单群，也就是说运算满足交换律（a—b = b—a）的单群。

无需太纠结为何这些群取这样的名字。

对于数学家而言，群就像是宠物，给宠物取的名字可 能反映了宠物的性格，也可能是纯粹的趣味。

但名字毕竟只是名字，只是称呼这些群的一种 方式而已。

像这样整个家族出现的单群，还有 16 族所谓的有限李群，它们可以看作离散域上的矩阵组 成的群。

对它们的系统化研究是由挪威数学家 Sophus Lie 开始的，所以后人以此命名。

而 其中首先被发现的是所谓的射影特殊线性群 PSL_n(q)， 其中 q 是一个素数的幂。

在伽罗华 生命最后的那封信上， 就已经提到 PSL_2(p)对于大于 3 的素数 p 是单群。

后来 Chevalley 对其进行了更深入的研究，将其推广到一般的素数的幂。

对于其余的 15 族有限李群， Chevalley 也功不可没。

除了这一共 18 个有限单群家族之外，还有 26 个单独存在的有限单群。

它们不属于任何一 个家族，而它们之间也没有一个统一的联系，三三两两各自放浪于数学天地之间。

数学家给 他们起了个相当适合的名字：散在单群。

它们是单群中自成一派的例外。

成家族出现的单群 结构总是相似的，而散在单群却各有各的美丽。

同时进行的则是证明这就是所有的有限单群， 这就是所谓的有限单群分类定理。

如果将寻找 单群比作在森林里抓兔子的话， 有限单群分类定理的证明则是确保森林里所有的兔子都被抓 光了。

这就要求数学家对森林的地形——也就是有限群的结构——有一定的了解。

从某种意义上，整个证明可以追溯到 1872 年的 Sylow 定理。

这个定理不仅使数学家开始 明白有限群更深层的结构， 也为后来对各种群的分类讨论提供了武器。

而真正明确提出对有 限单群分类的，则是 1892 年的 Hölder。

他同时也证明了，每一个非交换有限单群的元素 个数，是至少四个不同素数的乘积。

从此开始便是百年的征程， 对数学家更不利的一面是， 出发的时候还不知道森林里有多少兔 子要抓。

事实上，分类定理的证明和对有限单群的寻找，很大程度上是交错叠积的。

有时是 证明的途中，忽然找到了又一个新的有限单群；有时是对于已有的单群的研究启发了证明。

这也是可以理解的，毕竟这是研究同一件事物的两条路径。

所以， 1983 年 Gorenstein 宣称有限单群分类定理被证明之时， 当 群论学界可是欢呼雀跃。

整个证明散落在各期刊的 500 多篇论文之中，合计过万页，每篇论文都对某种特殊情况进 行了处理。

将这些特殊情况合起来，覆盖了绝大多数的有限群类别，而 Gorenstein 认为， 他的新论文恰好补上了仍未处理的那些有限群，从而完成了整个分类定理的证明。

问题是，他弄错了。

他以为一类名为“拟薄群”（quasi-thin group）的类别已经被处理好 了，但事实上没有。

直到 2004 年，由 Aschbacher 和 Smith 撰写的一篇一千多页的论文 才将这个情况完全处理妥当，从而填补了这个漏洞。

此时，有限单群分类定理，这个有限群 理论的圣杯，才正式被圆满证明。

18 个有限单群家族，再加上 26 个散在单群，这就是所有的有限单群。

从伽罗华开始历时 一个多世纪，跨越两次世界大战的搜索，随着 1976 年最后一个散在单群被发现，2004 年 有限单群分类定理的最终证明， 这场数学家和有限单群之间的捉迷藏游戏才告结束。