2013年天津市初中毕业生统一学业考试数学试题与答案
2013中考数学天津卷答案
2013年天津中考数学试卷参考答案一、选择题二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．a7． 12．6． 13．k＞0． 14．AC=BD（答案不唯一）．15．55． 16．． 17．7．18．（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG 即为所求．三、解答题19．不等式组的解集为﹣3＜x＜3．20．解：（Ⅰ）∵反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3），∴把点A的坐标代入解析式，得3=，解得，k=6，∴这个函数的解析式为：y=；（Ⅱ）∵反比例函数解析式y=，∴6=xy．分别把点B 、C的坐标代入，得（﹣1）×6=﹣6≠6，则点B不在该函数图象上．3×2=6，则点C中该函数图象上；（Ⅲ）∵当x=﹣3时，y=﹣2，当x=﹣1时，y=﹣6，又∵k＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，21．解：（1）根据条形图4+16+12+10+8=50（人），m=100﹣20﹣24﹣16﹣8=32；（2）∵=（5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）=16，∴这组数据的平均数为：16，∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次，∴这组数据的众数为：10，∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，∴这组数据的中位数为：（15=15）=15；（3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1900×32%=608，∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名．故答案为：50，32．22．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠BAC=∠DAC=30°；（Ⅱ）如图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B=180°，∴∠B=180°﹣108°=72°，∴∠BAF=90°﹣∠B=180°﹣72°=18°．23．解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，∴AD=CD，∵AD=AB+BD，∴BD=AD﹣AB=CD﹣112（m），∵在Rt△BCD中，tan∠BCD=，∠BCD=90°﹣∠CBD=36°，∴tan36°=，∴BD=CD•tan36°，∴CD•tan36°=CD﹣112，∴CD=≈≈415（m）．答：天塔的高度CD为：415m．24．解：（1）在甲商场：100+（290﹣100）×0.9=271，100+（290﹣100）×0.9x=0.9x+10；在乙商场：50+（290﹣50）×0.95=278，50+（290﹣50）×0.95x=0.95x+2.5；（2）根据题意得出：0.9x+10=0.95x+2.5，解得：x=150，∴当x=150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同，（3）由0.9x+10＜0.95x+2.5，解得：x＞150，0.9x+10＞0.95x+2.5，解得：x＜150，yB=0.95x+50（1﹣95%）=0.95x+2.5，正确；∴当小红累计购物大于150时上没封顶，选择甲商场实际花费少；当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少.25．解：（Ⅰ）如图①，∵点A（﹣2，0），点B（0，4），∴OA=2，OB=4．∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，∴△OAE∽△OBA，∴=，即=，解得，OE=1，∴点E的坐标为（0，1）；（Ⅱ）①如图②，连接EE′．由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2﹣m．在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20．∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=m．又BE=OB﹣OE=3，∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）．②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．易证△AB′A′≌△EBE′，∴B′A=BE′，∴A′B+BE′=A′B+B′A′．当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，∴==，∴AA′=×2=，∴EE′=AA′=，∴点E ′的坐标是（，1）．26．解：（Ⅰ）∵抛物线经过点（0，），∴c=．∴y1=ax2+bx+，∵点（﹣1，0）、（3，0）在抛物线y1=ax2+bx+上，∴，解得，∴y1与x之间的函数关系式为：y1=﹣x2+x+；（II）∵y1=﹣x2+x+，∴y1=﹣（x﹣1）2+3，∴直线l为x=1，顶点M（1，3）．①由题意得，t≠3，如图，记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，∴四边形ANMP为菱形，∴PA∥l，又∵点P（x，y2），∴点A（x，t）（x≠1），∴PM=PA=|y2﹣t|，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y2），∴QM=|y2﹣3|，PQ=AC=|x﹣1|，在Rt△PQM中，∵PM2=QM2+PQ2，即（y2﹣t）2=（y2﹣3）2+（x﹣1）2，整理得，y2=（x﹣1）2+，即y2=x3﹣x+，∵当点A与点C重合时，点B与点P重合，∴P（1，），∴P点坐标也满足上式，∴y2与x之间的函数关系式为y2=x2﹣x+（t≠3）；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），∵3＞，∴不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时，y1﹣y2=﹣（x﹣1）2+3﹣[（x﹣1）2+]=（x﹣1）2+，若3t﹣11≠0，要使y1＜y2恒成立，只要抛物线y=（x﹣1）2+开口方向向下，且顶点（1，）在x轴下方，∵3﹣t＜0，只要3t﹣11＞0，解得t ＞，符合题意；若3t﹣11=0，y1﹣y2=﹣＜0，即t=也符合题意．综上，可以使y1＜y2恒成立的t的取值范围是t ≥．。
【精校】2013年天津初中毕业生学业考试数学(含答案)
2013年天津市初中毕业生学业考试试卷数学第Ⅰ卷注意事项：1.每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。
2.本卷共10题，共30分。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）计算（-3）+（-9）的结果等于（A）12 （B）-12 （C）6 （D）-6（2）tan60︒的值等于（A）1 （B）2（C）3（D）2（3）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（A）（B）（C）（D）（4）中国园林网4月22日消息：为建设生态滨海，2013年天津滨海新区将完成城市绿化面积共8 210 000m2.将8210 000用科学记数法表示应为（A）4⨯（D）70.82110⨯8.2110⨯（C）6⨯（B）58211082.110（5）七年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15.由此可知（A）（1）班比（2）班的成绩稳定（B）（2）班比（1）班的成绩稳定（C）两个班的成绩一样稳定（D）无法确定哪班的成绩更稳定（6）右图是一个由3个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（A）（B）（C）（D）（7）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（A）矩形（B）菱形（C）正方形（D）梯形（8）正六边形的边心距与边长之比为（A3（B:2（C）1:2（D2（9）若222112648xx yx y x y=-=---，，则的值等于（A）117-（B）117（C）116（D）115（10）如图，是一对变量满足的函数关系的图象.有下列3个不同的问题情境：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；第（6）题第（7）题FB②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速 向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x 分，桶内的水量为y 升；③矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，动点P 从点A 出发，依次沿对角线AC 、边CD 、边DA 运动至点A 停止，设点P 的运动路程为x ，当点P 与点A 不重合时，y ＝S △ABP ；当点P 与点A 重合时，y ＝0.其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ）3第Ⅱ卷 注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在“答题卡”上。
2013年天津中考数学真题卷含答案解析
2013年天津市初中毕业生学业考试数学试题（含答案全解全析）(满分:120分时间:120分钟)第Ⅰ卷(选择题,共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.计算(-3)+(-9)的结果等于()A.12B.-12C.6D.-62.tan60°的值等于()A.1B.√2C.√3D.23.下列标志中,可以看作是中心对称图形的是()4.中国园林网4月22日消息:为建设生态滨海,2013年天津滨海新区将完成城市绿化面积共8210000m2.将8210000用科学记数法表示应为()A.821×104B.82.1×105C.8.21×106D.0.821×1075.七年级(1)班与(2)班各选出20名学生进行英文打字比赛,通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计,两班成绩的平均数相同,(1)班成绩的方差为17.5,(2)班成绩的方差为15.由此可知()A.(1)班比(2)班的成绩稳定B.(2)班比(1)班的成绩稳定C.两个班的成绩一样稳定D.无法确定哪班的成绩更稳定6.下图是由3个相同的正方体组成的一个立体图形,它的三视图是()7.如图,在△ABC中,AC=BC,点D、E分别是边AB、AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°得△CFE,则四边形ADCF一定是()A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形8.正六边形的边心距与边长之比为()A.√3∶3B.√3∶2C.1∶2D.√2∶29.若x=-1,y=2,则2xx2-64y2-1x-8y的值等于()A.-117B.117C.116D.11510.如图,是一对变量满足的函数关系的图象.有下列3个不同的问题情境:①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分,在原地休息了4分,然后以500米/分的速度匀速骑回出发地,设时间为x分,离出发地的距离为y千米;②有一个容积为6升的开口空桶,小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水,注5分后停止,等4分后,再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水,设时间为x分,桶内的水量为y升;③矩形ABCD中,AB=4,BC=3,动点P从点A出发,依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止,设点P的运动路程为x,当点P与点A不重合时,y=S△ABP;当点P与点A重合时,y=0.其中,符合图中所示函数关系的问题情境的个数为()A.0B.1C.2D.3第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)11.计算a·a6的结果等于.12.一元二次方程x(x-6)=0的两个实数根中较大的根是.13.若一次函数y=kx+1(k为常数,k≠0)的图象经过第一、二、三象限,则k的取值范围是.相等的线14.如图,已知∠C=∠D,∠ABC=∠BAD,AC与BD相交于点O,请写出图中一组．．段.15.如图,PA、PB分别切☉O于点A、B,若∠P=70°,则∠C的大小为(度).16.在一个口袋中有4个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,随机地摸出一个小球然后放回,再随机地摸出一个小球,则两次摸出的小球的标号之和等于4的概率是. 17.如图,在边长为9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,则AE的长为.18.如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上.(Ⅰ)△ABC的面积等于;(Ⅱ)若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形,请你在如图所示的网格中,用直尺和三角尺画出该正方形,并简要说明画图方法(不要求证明).三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)19.(本小题6分)解不等式组{x-1<2,2x+9>3.已知反比例函数y=k(k为常数,k≠0)的图象经过点A(2,3).x(Ⅰ)求这个函数的解析式;(Ⅱ)判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由;(Ⅲ)当-3<x<-1时,求y的取值范围.21.(本小题8分)四川雅安发生地震后,某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动.为了解捐款情况,学生会随机调查了部分学生的捐款金额,并用得到的数据绘制了如下统计图①、②,请根据相关信息.解答下列问题:(Ⅰ)本次接受随机抽样调查的学生人数为,图①中m的值是;(Ⅱ)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;(Ⅲ)根据样本数据,估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.已知直线l与☉O,AB是☉O的直径,AD⊥l于点D.(Ⅰ)如图①,当直线l与☉O相切于点C时,若∠DAC=30°,求∠BAC的大小;(Ⅱ)如图②,当直线l与☉O相交于点E、F时,若∠DAE=18°,求∠BAF的大小.23.(本小题8分)天塔是天津市的标志性建筑之一.某校数学兴趣小组要测量天塔的高度.如图,他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°.再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°,AB =112m.根据这个兴趣小组测得的数据,计算天塔的高度CD(tan36°≈0.73,结果保留整数).甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案:在甲商场累计购物超过100元后,超出100元的部分按90%收费;在乙商场累计购物超过50元后,超出50元的部分按95%收费.设小红在同一商场累计购物x元,其中x>100.(Ⅰ)根据题意,填写下表(单位:元):累计购物130290 (x)实际花费在甲商场127…在乙商场126…(Ⅱ)当x取何值时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同?(Ⅲ)当小红在同一商场累计购物超过100元时,在哪家商场的实际花费少?25.(本小题10分)在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),点B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠OBA.(Ⅰ)如图①,求点E的坐标;(Ⅱ)如图②,将△AEO沿x轴向右平移得到△A'E'O',连结A'B、BE'.①设AA'=m,其中0<m<2,试用含m的式子表示A'B2+BE'2,并求出使A'B2+BE'2取得最小值时点E'的坐标;②当A'B+BE'取得最小值时,求点E'的坐标(直接写出结果即可).26.(本小题10分)已知抛物线y 1=ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴是直线l,顶点为点M,若自变量x 和函数值y 1的部分对应值如下表所示:x … -1 0 3 … y 1=ax 2+bx+c…94…(Ⅰ)求y 1与x 之间的函数关系式;(Ⅱ)若经过点T(0,t)作垂直于y 轴的直线l',A 为直线l'上的动点,线段AM 的垂直平分线交直线l 于点B,点B 关于直线AM 的对称点为P,记P(x,y 2). ①求y 2与x 之间的函数关系式;②当x 取任意实数时,若对于同一个x,有y 1<y 2恒成立,求t 的取值范围.答案全解全析：1.B (-3)+(-9)=-(3+9)=-12,故选B.2.C tan 60°=√3,故选C.3.D A选项是轴对称图形;B、C选项既不是轴对称图形,也不是中心对称图形;D选项是中心对称图形,故选D.评析本题考查中心对称图形的概念,解题关键是寻找对称中心,然后绕对称中心旋转180°后与原图形重合的图形是中心对称图形.4.C 科学记数法的形式为a×10n,其中1≤|a|<10,故8 210 000=8.21×106.故选C.5.B 数据的方差反映一组数据的稳定性.方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小.(2)班成绩的方差比(1)班成绩的方差小,故(2)班的成绩比(1)班的成绩稳定, 故选B.6.A 从前面看到的图形有上下两层,上层是一个正方形,下层是左右并排的两个正方形,且上层的一个正方形放在下层的两个正方形中间,故排除B;从左面看到的是上下两个一样的正方形,且按要求左视图应该放在主视图的右边,故排除C;从上面看到的是一个正方形放在两个正方形的正中间,上层一个正方体和下层两个正方体的两条交线按要求应该画出来,故选A.7.A ∵△ADE绕E点旋转180°得到△CFE,∴AE=CE,DE=EF.∴四边形ADCF是平行四边形.又∵BC=AC,D是AB的中点,∴∠ADC=90°,∴平行四边形ADCF是矩形.8.B 如图所示:∵ABCDEF是正六边形,∴△OAB为正三角形.过O作OH⊥AB,垂足为H,则OHOA =sin 60°=√32,即边心距与边长的比为√3∶2,故选B.9.D 原式=2x (x+8y )(x -8y )-1x -8y =2x -(x+8y )(x+8y )(x -8y )=x -8y (x+8y )(x -8y )=1x+8y ,当x=-1,y=2时,原式=1-1+8×2=115.故选D.10.C 小明以400米/分的速度骑车5分钟,离开出发地的距离应该是2 000米而不是6米,故①不符合;小亮以1.2升/分的速度匀速向空桶注水,5分钟后正好注入6升,休息4分钟,这4分钟内桶里的水一直保持6升,再以2升/分的速度往外倒,正好3分钟倒完,故②符合;矩形ABCD 中,AB=4,BC=3,则AC=5,P 点从A 向C 运动的过程中,△ABP 的底AB=4不变,高从0增加到3,故面积从0增加到6,P 点从C 向D 运动的过程中,△ABP 的底和高分别是4和3,△PAB 的面积一直为6,P 点从D 到A 的运动过程中,△ABP 的底不变,高从3减小到0,面积从6减小到0,故③也符合,故选C.评析 “判断两个变量在运动变化过程中对应的函数图象是否正确”是本题考查的重点.解答本题的关键是找到变量在变化过程中的某一关键点或者某一关键段,观察关键点或者关键段对应的函数图象是否正确,把动态问题转化为静态问题来解决. 11.答案 a 7解析 a·a 6=a 1+6=a 7. 12.答案 6解析 x(x-6)=0,则x=0或x-6=0,即x=0或x=6,故较大的根为6. 13.答案 k>0解析 易知一次函数y=kx+1(k 为常数,k≠0)的图象过点(0,1),要使图象经过第一、二、三象限,只需k>0.14.答案 答案不唯一.AC=BD(或BC=AD,AO=BO,CO=DO)解析 在△ADB 和△BCA 中,∠C=∠D,∠ABC=∠BAD,AB=AB,故△ADB≌△BCA,则AC=BD,AD=BC, ∠ABD=∠BAC,∴OA=OB,又AC=BD,∴OC=OD.15.答案55解析如图,连结OA、OB,因为PA、PB是圆的切线,所以∠OAP=∠OBP=90°,又因为∠P=70°,所以∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°,又∠AOB=2∠C,所以∠C=55°.16.答案316解析1 2 3 41 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 8根据列表可得,总共有16个结果,和是4的有3个,故两次摸出的小球的标号之和等于4的概率为3.1617.答案7解析∵△ABC为等边三角形,∴∠B=60°.又∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC,∠ADE=60°,∴∠EDC=∠BAD.又∵∠B=∠C,∴△ABD∽△DCE,∴AB∶CD=BD∶CE.∵AB=9,BD=3, ∴CD=6, ∴CE=2,∴AE=7. 18.答案 (Ⅰ)6(Ⅱ)如图,取格点P,连结PC,则PC⊥BC.过点A 画PC 的平行线,与BC 交于点Q,连结PQ 与AC 相交于点D;过点D 画CB 的平行线,与AB 相交于点E,连结DE,分别过点D 、E 画PC 的平行线,与CB 相交于点G 、F.则四边形DEFG 即为所求.解析 如图所示,△ABC 中,c>b>a,EFGD 为△ABC 内一条边在BC 边上的正方形,设正方形的边长为x,BC 边上的高AH=h,△ABC 的面积为S.∵△ADG∽△ABC,∴x a =ℎ-xℎ,∴x=aℎa+ℎ=2Sa+2Sa.同理可得:当正方形的一边落在AC 或AB 边上时,有x=2Sb+2S b或x=2Sc+2S c.(a +2Sa)-(b +2Sb)=(a-b)+(2S a -2S b )=(a-b)-2S·a -b ab =(a-b)·ab -2S ab.∵ab>ah,即ab>2S,∴ab-2S>0.又∵b>a,∴a-b<0. ∴(a +2Sa)-(b +2Sb )=(a-b)·ab -2S ab<0,∴a+2S a <b+2S b ,∴2Sa+2Sa>2Sb+2S b.同理可得2S b+2S b>2S c+2S c,∴2Sa+2S a>2Sb+2S b>2S c+2S c,即当正方形一边落在三角形最短的边上, 另两个顶点落在其他两边上时,正方形为三角形中所包含的面积最大的正方形,所以本题所作正方形一边应该落在最短边BC 上. 又根据画图过程可得:图中所作四边形DEFG 为矩形, ∵△QDG∽△QPC,△ADE∽△ACB,△DPC∽△DQA, ∴DG PC =DQ PQ ,DE BC =AD AC ,AD AC =DQ PQ,∴DG PC =DEBC.又∵PC=BC,∴DG=DE,∴四边形DEFG 为正方形.∴所作四边形DEFG 为△ABC 内部面积最大的正方形.评析 本题主要考查“在一个三角形内部如何作出面积最大的正方形”这一作图方法,解题关键是综合运用正方形和相似三角形知识寻找满足正方形面积最大的位置(即正方形的一边应该落在三角形的最短边上,另外两个顶点分别在另外两条边上).正确作出图形的关键是“利用网格特点,找出使PC 和BC 垂直且相等的P 点”. 19.解析 {x -1<2,①2x +9>3,②解不等式①,得x<3. 解不等式②,得x>-3. ∴不等式组的解集为-3<x<3.20.解析 (Ⅰ)∵反比例函数y=kx 的图象经过点A(2,3), ∴3=k2,解得k=6.∴这个函数的解析式为y=6x . (Ⅱ)分别把点B,C 的坐标代入y=6x ,可知点B 的坐标不满足函数解析式,点C 的坐标满足函数解析式, ∴点B 不在这个函数的图象上,点C 在这个函数的图象上. (Ⅲ)∵当x=-3时,y=-2,当x=-1时,y=-6,又由k>0知,当x<0时,y随x的增大而减小,∴当-3<x<-1时,-6<y<-2.评析本题的第(Ⅰ)(Ⅱ)问主要考查用待定系数法求函数的解析式和函数图象的意义;第(Ⅲ)问考查反比例函数的性质,熟练掌握“当k>0时,在每个象限内y随x的增大而减小”这一性质是解答本题的关键.21.解析(Ⅰ)50;32.=16(元),(Ⅱ)∵x=5×4+10×16+15×12+20×10+30×850∴这组样本数据的平均数为16元.∵在这组样本数据中,10出现了16次,出现次数最多,∴这组样本数据的众数为10元.=15元, ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是15,有15+152∴这组样本数据的中位数为15元.(Ⅲ)∵在50名学生中,捐款金额为10元的学生人数比例为32%,∴由样本数据估计该校1 900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%,有1 900×32%= 608(名),∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名.评析本题重点考查学生对平均数、众数、中位数概念的理解,用样本估计总体以及学生的识图能力,易错处多因概念理解不透彻,易把16看成众数,把5元、10元、15元、20元、30元直接加起来除以4、16、12、10、8的和得到的结果作为平均数.22.解析(Ⅰ)如图,连结OC.∵直线l与☉O相切于点C,∴OC⊥l,∴∠OCD=90°.∵AD⊥l,∴∠ADC=90°.∴OC∥AD,∴∠ACO=∠DAC,在☉O中,∵OA=OC,∴∠BAC=∠ACO,∴∠BAC=∠DAC=30°.(Ⅱ)如图,连结BF.∵AB是☉O的直径,∴∠AFB=90°,∴∠BAF=90°-∠B.∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角,∠DAE=18°,∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°.在☉O中,四边形ABFE是圆内接四边形,∴∠AEF+∠B=180°,∴∠B=180°-108°=72°,∴∠BAF=90°-72°=18°.评析本题重点考查了“圆内接四边形对角互补”“直径所对的圆周角是直角”这两个重要的知识点,对“见切线连圆心和切点”“利用直径构造直角”这些常见辅助线作法的熟练掌握是正确解答本题的关键.23.解析如图,根据题意,有∠CAD=45°,∠CBD=54°,AB=112 m.∵在Rt△ACD 中,∠ACD=∠CAD=45°,∴AD=CD. 又AD=AB+BD,∴BD=AD-AB=(CD-112)m.∵在Rt△BCD 中,tan∠BCD=BDCD ,∠BCD=90°-∠CBD=36°, ∴tan 36°=BDCD ,∴BD=CD ·tan 36°.∴CD ·tan 36°=CD -112, ∴CD=1121-tan36°≈1121-0.73≈415 m.答:天塔的高度CD 约为415 m. 24.解析 (Ⅰ)在甲商场:271,0.9x+10; 在乙商场:278,0.95x+2.5.(Ⅱ)根据题意,有0.9x+10=0.95x+2.5,解得x=150, ∴当x=150时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同. (Ⅲ)由0.9x+10<0.95x+2.5,解得x>150, 由0.9x+10>0.95x+2.5,解得x<150,∴当小红累计购物超过150元时,在甲商场的实际花费少;当小红累计购物超过100元而不到150元时,在乙商场的实际花费少.评析 本题是函数与不等式综合应用的方案设计问题,解答此类问题的关键是按照各自的优惠方案正确写出在甲、乙两个商场购物时,实际所需费用和物品标价的关系式,然后利用方程和不等式解决问题.25.解析 (Ⅰ)∵点A(-2,0),点B(0,4), ∴OA=2,OB=4.∵∠OAE=∠OBA,∠EOA=∠AOB=90°, ∴△OAE∽△OBA,∴OA OB =OEOA,即24=OE2,∴OE=1.∴点E 的坐标为(0,1).(Ⅱ)①如图,连结EE',∵AA'=m,∴A'O=2-m,在Rt△A'BO 中,∵A'B 2=A'O 2+BO 2, ∴A'B 2=(2-m)2+42=m 2-4m+20.∵△A'E'O'是将△AEO 沿x 轴向右平移得到的, ∴EE'∥AA',且EE'=AA', ∴∠BEE'=90°,EE'=m. 又BE=OB-OE=3,于是,在Rt△BE'E 中,BE'2=E'E 2+BE 2=m 2+9, ∴A'B 2+BE'2=2m 2-4m+29(0<m<2), 即A'B 2+BE'2=2(m-1)2+27(0<m<2), 当m=1时,A'B 2+BE'2取得最小值, ∴点E'的坐标为(1,1). ②点E'的坐标为(67,1).26.解析 (Ⅰ)由已知,抛物线y 1=ax 2+bx+c 经过点(0,94),得c=94,∴y 1=ax 2+bx+94. ∵点(-1,0)、(3,0)在抛物线y 1=ax 2+bx+94上,∴{a −b +94=0,9a +3b +94=0,解得{a =-34,b =32.∴y 1与x 之间的函数关系式为y 1=-34x 2+32x+94.(Ⅱ)由y 1=-34x 2+32x+94配方得y 1=-34(x-1)2+3,∴直线l 为x=1,顶点M(1,3).①根据题意,得t≠3.如图,记直线l 与直线l'交于点C,则点C(1,t). 当点A 与点C 不重合时,由已知,得AM 与BP 互相垂直平分, ∴四边形ABMP 为菱形,∴PA∥l, 又点P(x,y 2),则点A(x,t),(x≠1) ∴PM=PA=|y 2-t|.过点P 作PQ⊥l 于点Q,则点Q(1,y 2), ∴QM=|y 2-3|,PQ=AC=|x-1|.在Rt△PQM 中,由PM 2=QM 2+PQ 2,得(y 2-t)2=(y 2-3)2+(x-1)2, 整理,得y 2=16-2t (x-1)2+t +32,即y 2=16-2t x 2-13-t x+10-t 26-2t .当点A 与点C 重合时,点B 与点P 重合,可知点P (1,t +32),其坐标也满足上式.∴y 2与x 之间的函数关系式为y 2=16-2t x 2-13-t x+10-t 26-2t (t≠3); ②根据题意,借助函数图象.当抛物线y 2开口方向向上时,6-2t>0,即t<3,抛物线y 1的顶点M(1,3),抛物线y 2的顶点(1,t +32),由3>t +32,可知不符合题意.当抛物线y 2开口方向向下时,6-2t<0,即t>3, y 1-y 2=-34(x-1)2+3-[16-2t (x -1)2+t +32]=3t -114(3-t )(x-1)2+3-t 2.若3t-11≠0,要使y 1<y 2恒成立, 只要抛物线y=3t -114(3-t )(x-1)2+3-t 2开口方向向下,且顶点(1,3-t 2)在x 轴下方,因为3-t<0,所以只要3t-11>0,解得t>113,符合题意; 若3t-11=0,y 1-y 2=-13<0,即t=113也符合题意. 综上,可以使y 1<y 2恒成立的t 的取值范围是t≥113.。
2013年天津市中考数学试卷-答案
6.【答案】A
【解析】所给图形的三视图是A选项所给的三个图形．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【考点】简单组合体的三视图
7.【答案】A
【解析】∵ 绕点E旋转 得 ，∴ ，∴四边形ADCF是平行四边形，∵ ，点D是边AB的中点，∴ ，∴四边形ADCF是矩形．
②小亮以 升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为： 升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，故②符合函数图象；
③如图所示：
当点P在AC上运动时， 的面积一直增加，当点P运动到点C时， ，这段时间为5；当点P在CD上运动时， 不变，这段时间为4；当点P在DA上运动时， 减小，这段时间为3，故③符合函数图象；
天津市2013年初中毕业生学业考试试卷
数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】B
【解析】 ；
【分析】根据有理数的加法法则，先确定出结果的符号，再把绝对值相加即可．
【考点】有理数的加法
2.【答案】C
【解析】 ．
【分析】根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．
【考点】特殊角的三角函数值
3.【答案】D
【解析】A．不是中心对称图形，故本选项错误；
③当点P在AC上运动时， 的面积一直增加，当点P运动到点C时， ，这段时间为5；当点P在CD上运动时， 不变，这段时间为4，；当点P在DA上运动时， 减小，这段时间为3，符合函数图象；
【考点】函数的图象
第Ⅱ卷
二、填空题
11.【答案】
【解析】 ．
故答案为：
【分析】利用同底数幂的法则计算即可得到结果．
2013年天津市中考数学试卷
2013年天津市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 计算(−3)+(−9)的结果等于（）A.12B.−12C.6D.−62. tan60∘的值等于（）A.1B.√2C.√3D.23. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是( )A. B. C. D.4. 中国园林网4月22日消息：为建设生态滨海，2013年天津滨海新区将完成城市绿化面积共8210 000m2，将8210 000用科学记数法表示应为（）A.821×102B.82.1×105C.8.21×106D.0.821×1075. 七年级(1)班与(2)班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，(1)班成绩的方差为17.5，(2)班成绩的方差为15，由此可知（）A.(1)班比(2)班的成绩稳定B.(2)班比(1)班的成绩稳定C.两个班的成绩一样稳定D.无法确定哪班的成绩更稳定6. 如图是由3个相同的正方体组成的一个立体图形，它的三视图是（）A. B. C. D.7. 如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180∘得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形8. 正六边形的边心距与边长之比为（）A.√3:3B.√3:2C.1:2D.√2:29. 若x=−1，y=2，则2xx2−64y2−1x−8y的值等于（）A.−117B.117C.116D.11510. 如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；③矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y＝S△ABP；当点P与点A重合时，y＝0．其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）计算a⋅a6的结果等于________．一元二次方程x(x−6)=0的两个实数根中较大的根是________．若一次函数y=kx+1(k为常数，k≠0)的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是________．如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段________．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70∘，则∠C的大小为________（度）．一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是________．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60∘，则AE的长为________．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（1）△ABC的面积等于________；（2）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）________．三、解答题（共8小题，满分66分）解不等式组{x−1<22x+9>3．已知反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2, 3)．（1）求这个函数的解析式；（2）判断点B(−1, 6)，C(3, 2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；（3）当−3<x<−1时，求y的取值范围．四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：(Ⅰ)本次接受随机抽样调查的学生人数为________，图①中m的值是________；(Ⅱ)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；(Ⅲ)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30∘，求∠BAC的大小；(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18∘，求∠BAF的大小．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45∘，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54∘，AB＝112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36∘≈0.73，结果保留整数）．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x元，其中x>100．（1）根据题意，填写下表（单位：元）；在乙商场126________…________+2.5（2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？（3）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？在平面直角坐标系中，已知点A(−2, 0)，点B(0, 4)，点E在OB上，且∠OAE=∠0BA．（I）如图①，求点E的坐标；（II）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．①设AA′=m，其中0<m<2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：（I）求y1与x之间的函数关系式；（II）若经过点T(0, t)作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B 关于直线AM的对称点为P，记P(x, y2)．（1）求y2与x之间的函数关系式；（2）当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1<y2恒成立，求t的取值范围．参考答案与试题解析2013年天津市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分。
2013年天津市中考数学试卷及答案(word解析版)
天津市2013年中考数学试卷、选择题（共 10小题，每小题3分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 .（ 3分）（2013 ?天津）计算（-3） + （- 9）的结果等于（ ） A . 12 B .- 12 C . 6|D .- 65 . （ 3分）（2013?天津）七年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单 词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为17.5, （2）班成绩的方差为15，由此可知（ ） A . （1）班比（2）班的成绩稳定 B . （2）班比（1）班的成绩稳定 C . 两个班的成绩一样稳定D . 无法确定哪班的成绩更稳定6. （3分）（2013?天津）如图是由3个相同的正方体组成的一个立体图形，它的三视图是（ ）考点：旋转的性质；矩形的判定.分析： 根据旋转的性质可得 AE=CE , DE=EF ,再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF 是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出/ ADC=90 °再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答.解答： 解：•••△ ADE 绕点E 旋转180°得厶CFE ,••• AE=CE , DE=EF ,•••四边形ADCF 是平行四边形， ••• AC=BC ，点D 是边AB 的中点， •••/ ADC=90 ° •四边形ADCF 矩形.8. （ 3分）（2013?天津）正六边形的边心距与边长之比为（）B .菱形C .正方形D .梯形 2. （ 3分）（2013?天津）tan60°的值等于（）…A . 1B ..二C . |二 |D . 23. （3分）（2013?天津）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）D . 0.821 X1072A . 821 X102B . 82.1 X105C . 8.21 XI06 7. （3分）（2013?天津）如图，在厶ABC 中，AC=BC ，点D 、E 分别是边 AB 、AC 的中点，将厶ADE 绕点E 旋转180° #△ CFE ，则四边形ADCF - -定是（）A .矩形A . 「： 3B . . -；： 2C . |1： 2 |D . :- 29.（ 3 分）（2013?天津）若 x= - 1, y=2U ；的值等于（ ）-64y 2 x-8yA. - 1B .T LC. JJD .口1T「羽16|10. （3分）（2013?天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列 3个不同的问题情境：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了 5分，在原地休息了 4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x 分，离出发地的距离为 y 千米；② 有一个容积为6升的开口空桶，小亮以 1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注 5分后停止，等4分后，再以2 升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x 分，桶内的水量为y 升；③矩形ABCD 中，AB=4 , BC=3，动点P 从点A 出发，依次沿对角线 AC 、边CD 、边DA 运动至点A 停止，设点P 的 运动路程为x ，当点P 与点A 不重合时，y=S △ ABP ；当点P 与点A 重合时，y=0 .考点：函数的图象.分析： ①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了 5分，所走路程为2000米，与图象不符合；② 小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注 5分后停止，注水量为 1.20=6升，等4分钟，这段时间水 量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0,符合函数图象；③ 当点P 在AC 上运动时，S A ABP 的面积一直增加，当点 P 运动到点C 时，ABP =6，这段时间为5当点P 在CD 上运动时，S A AB P 不变，这段时间为 4,;当点P 在DA 上运动时，S A AB P 减小，这段时间为 3,符合函 数图象；解答： 解：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了 5分，所走路程为2000米，与图象不符合； ② 小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注 5分后停止，注水量为 1.20=6升，等4分钟，这段时间水 量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则 3分钟后水量为0,符合函数图象；③ 如图所示：当点P 在AC 上运动时，S A ABP 的面积一直增加，当点 P 运动到点C 时，S A AB p =6，这段时间为5,;当点P 在 CD 上运动时，S A ABP 不变，这段时间为 4,;当点P 在DA 上运动时，S A AB P 减小，这段时间为 3,符合函数图 象； 综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的个数为 2.故选C .二、填空题（共 8小题，每小题3分，满分24分）G~711. （3分）（2013?天津）计算 a?a 的结果等于 —12.（3分）（2013?天津）一元二次方程 x （x - 6） =0的两个实数根中较大的根是 6 .13.（3分）A . 0B . 1（2013?天津）若一次函数y=kx+1 （k为常数，k旳）的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是k> 0 14. （3分）（2013?天津）如图，已知/ C=Z D,/ ABC= / BAD , AC与BD相交于点O,请写出图中一组相等的线段AC=BD （答案不唯一）考点：全等三角形的判定与性质.专题：开放型.分析：利用角角边”证明△ ABC和厶BAD全等，再根据全等三角形对应边相等解答即可.解答：解：•••在△ ABC和厶BAD中，f Zc=ZD' ZABC^ZBAD ,AB=BAL•••△ ABC ◎△ BAD （AAS ）,••• AC=BD , AD=BC .故答案为：AC=BD （答案不唯一）.15. （3分）（2013?天津）如图，PA、PB分别切O O于点A、B，若/ P=70°则/ C的大小为55 （度）.16 . （3分）（2013?天津）一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球,然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是—16—17. （3分）（2013?天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3 , / ADE=60 °贝U AE的长为7 .考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质.分析：先根据边长为9, BD=3，求出CD的长度，然后根据/ ADE=60。
2013年天津中考数学
2013年天津中考数学一、选择题（共10小题；共50分）1. 计算−3+−9的结果等于______A. 12B. −12C. 6D. −62. tan60∘的值等于______A. 1B. 2C. 3D. 23. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是______A. B.C. D.4. 中国园林网4 月22 日消息：为建设生态滨海，2013 年天津滨海新区将完成城市绿化面积共8210000 m2．将8210000用科学记数法表示应为______A. 821×104B. 82.1×105C. 8.21×106D. 0.821×1075. 七年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15．由此可知______A. （1）班比（2）班的成绩稳定B. （2）班比（1）班的成绩稳定C. 两个班的成绩一样稳定D. 无法确定哪班的成绩更稳定6. 下面图型是由3个相同的正方体组成的一个立体图形，它的三视图是______A. B.C. D.7. 如图，在△ABC中，AC=BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180∘得△CFE，则四边形ADCF一定是______A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形8. 正六边形的边心距与边长之比为______A. 3B. 2C. 1:2D. 29. 若x=−1，y=2，则2xx2−64y2−1x−8y的值等于______A. −117B. 117C. 116D. 11510. 如图，是一对变量满足的函数关系的图象．有下列3个不同的问题情境：①小明骑车以400 米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500 米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2 升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2 升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A 重合时，y=0．其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为______A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（共8小题；共40分）11. 计算a⋅a6的结果等于______．12. 一元二次方程x(x−6)=0的两个实数根中较大的根是______．13. 若一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一，二，三象限，则k的取值范围是______．14. 如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段______．15. 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，若∠P=70∘，则∠C的大小为______ 度．16. 一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是______．17. 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60∘，则AE的长为______．18. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积等于______；（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）．三、解答题（共8小题；共104分）19. 解不等式组x−1<2, 2x+9>3.20. 已知反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象经过点A2,3．（1）求这个函数的解析式；（2）判断点B−1,6，C3,2是否在这个函数的图象上，并说明理由；（3）当−3<x<−1时，求y的取值范围．21. 四川雅安发生地震后，某校学生会向全校 1900 名学生发起了“心系雅安”捐款活动．为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图 1 和图 2，请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图 1 中 m 的值是______； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数．22. 已知直线 l 与 ⊙O ，AB 是 ⊙O 的直径，AD ⊥l 于点 D ．（1）如图 1，当直线 l 与 ⊙O 相切于点 C 时，若 ∠DAC =30∘，求 ∠BAC 的大小； （2）如图 2，当直线 l 与 ⊙O 相交于点 E ，F 时，若 ∠DAE =18∘，求 ∠BAF 的大小．23. 天塔是天津市的标志性建筑之一．某校数学兴趣小组要测量天塔的高度．如图，他们在点 A 处测得天塔最高点 C 的仰角为 45∘，再往天塔方向前进至点 B 处测得最高点 C 的仰角为 54∘，AB =112 m ．根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度 CD （tan36∘≈0.73，结果保留整数）．24. 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按 90% 收费；在乙商场累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按 95% 收费．设小红在同一商场累计购物 x 元，其中 x >100．（1）根据题意，填写下表（单位：元）：累计购物实际花费130290⋯x 在甲商场127⋯在乙商场126⋯（2）当 x 取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同?（3）当小红在同一商场累计购物超过 100 元时，在哪家商场的实际花费少 ？25. 在平面直角坐标系中，已知点A−2,0，点B0,4，点E在OB上，且∠OAE=∠OBA．（1）如图 1，求点E的坐标；（2）如图 2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AʹEʹOʹ，连接AʹB，BEʹ．①设AAʹ=m，其中0<m<2，试用含m的式子表示AʹB2+BEʹ2,并求出使AʹB2+BEʹ2取得最小值时点Eʹ的坐标；②当AʹB+BEʹ取得最小值时，求点Eʹ的坐标（直接写出结果即可）．26. 已知抛物线y1=ax2+bx+c a≠0的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：x⋯−103⋯y1=ax2+bx+c⋯0940⋯（1）求y1与x之间的函数关系式；（2）若经过点T0,t作垂直于y轴的直线lʹ，A为直线lʹ上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P x,y2．①求y2与x之间的函数关系式；②当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1<y2恒成立，求t的取值范围．答案第一部分1. B2. C3. D4. C5. B6. A7. A8. B9. D 10. C第二部分11. a712. 613. k>014. AD=BC15. 5516. 31617. 718. （Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC 相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D，E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．第三部分19. x−1<2,①2x+9>3,②解不等式①，得x<3.解不等式②，得x>−3.所以不等式组的解集为−3<x<3.20. （1）因为反比例函数y=kx的图象经过点A2,3，把点A的坐标2,3代入解析式，得3=k2，解得k=6.所以这个函数的解析式为y=6x．（2）分别把点B，C的坐标代入y=6x，可知点B的坐标不满足函数解析式，点C的坐标满足函数解析式，所以点B不在这个函数的图象上，点C在这个函数的图象上．（3）因为当x=−3时，y=−2，当x=−1时，y=−6．又由k>0知，在x<0时，y随x的增大而减小，所以当−3<x<−1时，−6<y<−2．21. （1）50;32（2）∵x=5×4+10×16+15×12+20×10+30×850=16，∴这组样本数据的平均数为16．∵在这组样本数据中，10出现了16次，出现次数最多，∴这组样本数据的众数为10．∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，有15+152=15，∴这组样本数据的中位数为15．（3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1900×32%= 608．∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名．22. （1）OC．∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，得∠OCD=90∘．由AD⊥l，得∠ADC=90∘．∴OC∥AD，有∠ACO=∠DAC．在⊙O中，由OA=OC，得∠BAC=∠ACO，∴∠BAC=∠DAC=30∘．（2）BF．由AB是⊙O的直径，得∠AFB=90∘，∴∠BAF=90∘−∠B．∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE=18∘，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90∘+18∘=108∘．在⊙O中，四边形ABFE是圆内接四边形，有∠AEF+∠B=180∘，∴∠B=180∘−108∘=72∘．∴∠BAF=90∘−72∘=18∘．23. ∠CAD=45∘，∠CBD=54∘，AB=112．∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45∘，得AD=CD．又AD=AB+BD，∴BD=AD−AB=CD−112．∵在Rt△BCD中，tan∠BCD=BDCD，∠BCD=90∘−∠CBD=36∘，∴tan36∘=BDCD，得BD=CD⋅tan36∘．于是，CD⋅tan36∘=CD−112．∴CD=1121−tan36≈1121−0.73≈415．答：天塔的高度CD约为415 m．24. （1）累计购物实际花费130290⋯x 在甲商场127271⋯0.9x+10在乙商场126278⋯0.95x+2.5（2）根据题意，知0.9x+10=0.95x+2.5,解得x=150,∴当x=150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同．（3）当甲商场收费小于乙商场收费时，由0.9x+10<0.95x+2.5，解得x>150,当甲商场收费大于乙商场收费时，由0.9x+10>0.95x+2.5，解得x<150.∴当小红累计购物超过150元时，在甲商场的实际花费少；当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场的实际花费少．25. （1）因为点A的坐标为−2,0，点B的坐标为0,4，所以OA=2，OB=4．因为∠OAE=∠OBA，∠EOA=∠AOB=90∘，所以△OAE∽△OBA，所以OAOB =OEOA，即24=OE2，解得OE=1．所以点E的坐标为0,1．（2）EEʹ，由题设AAʹ=m，则AʹO=2−m．在Rt△AʹBO中，由AʹB2=AʹO2+BO2，得AʹB2=2−m2+42=m2−4m+20.因为△AʹEʹOʹ是将△AEO沿x轴向右平移得到的，所以EEʹ∥AAʹ，且EEʹ=AAʹ．有∠BEEʹ=90∘，EEʹ=m．又BE=OB−OE=3，于是，在Rt△BEʹE中，BEʹ2=EʹE2+BE2=m2+9．所以AʹB2+BEʹ2=2m2−4m+290<m<2．配方，得AʹB2+BEʹ2=2m−12+27,m=1时，AʹB2+BEʹ2可以取得最小值，所以点Eʹ的坐标为1,1．A作ABʹ⊥x轴，并使ABʹ=BE=3．易证△ABʹAʹ≌△EBEʹ，所以BʹAʹ=BEʹ，所以A’B+BE‘=AʹB+BʹAʹ．当点B、Aʹ、Bʹ在一条直线上时，AʹB+BʹAʹ最小，即此时AʹB+BEʹ取得最小值．易证△ABʹAʹ≌△OBAʹ，所以AAʹAʹO =ABʹOB=34，EEʹ=AAʹ=67，点Eʹ的坐标为67,1．26. （1）由题意可得a−b+c=0,9a+3b+c=0,c=94.解得a=−34,b=32,c=94.所以y1与x之间的函数关系式为y1=−34x2+3 2x+94．（2）y1=−34x2+32x+94=−34x−12+3.所以直线l为x=1，顶点M1,3．①根据题意，得t≠3．如图，记直线l与直线lʹ交于点C，则点C1,t．当点A与点C不重合时，由已知，AM与BP互相垂直平分，∴四边形ABMP为菱形，有PA∥l．又点P x,y2，则点A x,t x≠1．∴PM=PA=y2−t．过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q1,y2，∴QM=y2−3，PQ=AC= x−1．在Rt△PQM中，由PM2=QM2+PQ2，得y2−t2=y2−32+x−12,整理得y2=16−2tx−12+t+32,即y2=16−2tx2−13−tx+10−t26−2t.当点A与点C重合时，点B与点P重合，可知点P1,t+32，其坐标也满足上式．所以y2与x之间的函数关系式为y2=16−2t x2−13−tx+10−t26−2tt≠3.②根据题意，借助函数图象：I）当抛物线y2开口方向向上时，6−2t>0，即t<3时，抛物线y1的顶点M1,3，抛物线y2的顶点1,t+32，由3>t+32，可知不符合题意．II）当抛物线y2开口方向向下时，6−2t<0，即t>3时，y1−y2=−34x−12+3−16−2tx−12+t+32=3t−1143−tx−12+3−t2.i）若3t−11≠0，要使y1<y2恒成立，只要抛物线y=3t−11 43−t x−12+3−t2开口方向向下，且顶点1,3−t2在x轴下方．因为3−t<0，只要3t−11>0，解得t>113，符合题意；ii）若3t−11=0，得y1−y2=−13<0，即t=113也符合题意．综上，可以使y1<y2恒成立的t的取值范围是t≥113．。