计数问题竞赛讲义题一
15《小学奥数六年级竞赛必考章节精讲共36讲·小升初必备》-第15讲15讲计数综合1
15讲计数综合1内容概述将关键的已知数据看作变量，得到一类结构相同的计数问题，通过建立这些问题的结果所构成数列的递推关系，逐步地求得原问题的答案．与分数、几何等相关联的计数综合题．典型问题1．一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分?【分析与解】一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分．同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字9的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分．第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4=12个部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分．所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26．2．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶．从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法?【分析与解】我们知道最后一步可以迈1级台阶、2级台阶或3级台阶，也就是说可以从倒数第1、2或3级台阶直接迈入最后一级台阶．即最后一级台阶的走法等于倒数第1、2和3级台阶的走法和．而倒数第l级台阶的走法等于倒数第2、3和4级台阶的走法和，……如果将1、2、3……级台阶的走法依次排成一个数列，那么从第4项开始，每一项等于前3项的和．有1，2，3级台阶的走法有1，2，4种走法，所以4，5，6，7，8，9，10级台阶的走法有7，13，24，44，81，149，274种走法．3．一个圆上有12个点A1，A2，A3，…，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?【分析与解】我们采用递推的方法．I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法．Ⅱ如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法．Ⅲ如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在：①A1所在三角形的一个边所对的弧上；②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上．在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧．如果是情形①，则由Ⅱ，这六个点有三种连法；如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法．共有12种连法．Ⅳ最后考虑圆周上有12个点．同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：①9个点都在同一段弧上：②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；③每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3．共有12×3+3×6+1＝55种．所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种.4．现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮．用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干挡不同的车速．“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有4个齿轮，齿数分别是36，24，16，12．问：这种变速车一共有多少挡不同的车速?【分析与解】算出全部的传动比，并列成表：这里有4对传动比是相同的：1，32，2，3，将重复的传动比去掉，剩下8个不同的比，所以共有8挡不同的车速．5．分子小于6，分母小于60的不可约真分数有多少个?【分析与解】 分子的取值范围是从1到5．当分子为1时，分母可从2到59，共有58个真分数，它们当然都是不可约分数． 由于2，3，5都是质数，因此当分子分别为2，3，5时，分母必须而且只需适合下列两个条件：①分母大于分子且小于60．⑦分母不是分子的倍数．易知：当分子为2时，适合条件的分母有29个；当分子为3时，适合条件的分母有38个：当分子为5时，适合条件的分母有44个；最后来看分子为4的情形，与分子为2基本相同，分母不能为偶数，此外分母不能为3．所以共有28(=29—1)个．总之，符合要求的分数共有58+29+38+44+28＝197个．6．一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?【分析与解】方法一：如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点…时可剪出的三角形个数，需剪的刀数．不难看出，当正方形内部有n个点时，可以剪成2n＋2个三角形，需剪3n+l刀，现在内部有1996个点，所以可以剪成2×1996+2=3994个三角形，需剪3×1996+1=5989刀．方法二：我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有n个点时，共有360n+360度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n+360)÷180=2n+2个三角形．2n+2个三角形共有3×(2n+2)=6n+6条边，但是其中有4条是原有的正方形的边，所以正方形内部的三角形边有6n+6—4=6n+2条边，又知道每条边被2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用剪(6n+2)÷2＝3n+1刀．本题中n=1996，所以可剪成3994个三角形，需剪5989刀．7．如图15—3，某城市的街道由5条东西与7条南北向马路组成．现在要从西南角的A处沿最短路线走到东北角的B处，由于修路十字路口C不能通过，那么共有多少种不同走法?【分析与解】因为每个路口(点)只能由西边相邻点、南边相邻点走过来，所以达到每个点的走法为西边相邻点、南边相邻点的走法之和，并且最南方一排、最西方一排的所有点均只有1种走法．因为C点不能通过，所以C处所标的数字为0．如下图所示：所以，从A到B满足条件的走法共有120种8．经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在信封的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打．有一天共有9封信打，经理按第1封，第2封，…，第9封的顺序交给秘书．午饭时，秘书告诉同事，已把第8封信打印好了，但未透露上午工作的其他情况，这个同事很想知道是按什么顺序来打印．根据以上信息，下午打印的信的顺序有多少种可能?(没有要打的信也是一种可能)【分析与解】我们根据最后一封信来计数：(1)第9封信在上午送给秘书；于是，T={1，2，3，4，5，6，7，9}则下午打印的每种可能都是T的一个子集，因为秘书可以把不在子集中的信件上午一送来就打完了，而未打别的信．集T有8个元素，故有28=256个不同子集(包括空集)．(2)第9封信在午后才送给秘书．令S＝{1，2，3，4，5，6，7}，则上午未打印的信的号码是S的一个子集．若将9排在子集之后，则与⑴中的情形相同，故只有子集中至少有一封信已把号码9放在该子集的非最后的位置上．对于有k个元素的子集，号码9有k个位置可放，即可放在第i一1个元素之后和i个元素之前，i=1，2，…，k．于是不同的顺序总数为：0×C07+1×C17+2×C27+…+7×C77=7×27÷2=7×26=448即下午有448种可能的打印顺序．所以，下午共有256+448=704种打印的方法．。
2020年初中数学竞赛讲义：计数问题
【难度】★★
【解析】A，
无论是这三种情况中的哪一种，以这6个点为顶点作出所有不重叠的三角形个数都是7个，即 ．
故选A．
3.
【难度】★★★
【解析】19，
本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力．
经计算 ，知十位数字为奇数的只有 ．
然后，对两位数 ，有 ．
其十位数字为 的十位数字加上一个偶数，
所以所组成的数是3的倍数的概率是 ．故选C
9.
【难度】★★★
【解析】不妨设 ，由已知等式可得
①
令 ， ，则 ，其中 ， 均为自然数．
于是，等式①变为 ，即
②
由于 ， 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的 ， 只有两组：
和
⑴当 ， 时， ， ．
又 ， ， 为三角形的三边长，所以 ，
即 ，解得 ．
又因为三角形的周长不超过30，即 ，
， ，
二、
13.
A． B． C． D．
【难度】★★
【解析】B，
设摸出的15个球中有 个红球、 个黑球、 个白球，则 ， ， 都是正整数，且 ， ， ， ．因为 ，所以 可取值2，3，4，5．
当 时，只有一种可能，即 ， ；
当 时， ，有2种可能， ， 或 ， ；
当 时， ，有3种可能， ， 或 ，或 ， ；
到 ，结果都只各占4个数位，共占 个数位；
到 ，结果都只各占5个数位，共占 个数位；
此时还差 个数位．
到 ，结果都只各占6个数位，共占 个数位．
所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是 的个位数字，即为1．
当 时， ，有4种可能， ， 或 ， 或 ， 或 ， ．
因此，共有 种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为 ．故选B．
初中数学竞赛讲义(1)
初中数学竞赛讲义
1、证明：对于任意自然数k，存在无穷多个不含数码0的自然数t（十进制计数法），使得t与kt数码和相同。
2、设n是一个正整数，且d是十进制中的一个一位数，若
=0.d25d25d25…，求n
3、两位数
能整除十位数字为零的三位数。
求。
4、设n=99…9（100个9），则n3 的10进制表示中含有的数字9的个数为多少
5、求
…，1234567892的和的个位数的数字
6、求数1,2,3…，10n -2,10n -1的所有数码之和
7、求最小的自然数，当它的最后一个数码排列到第一位时，它的值增加到原来的五倍
8、已知a是一个1988位的自然数且可被9整除，a的各位数字相加和为b，b的各位数字相加和为c，c的各位数字相加和为d，求d
9、求适合等式
中的数码x，y，z
10、设x=0.1234567…999中的数字依次写下整数1到999而得到的，那么小数点右边第1983位数字是什么
11、设x与y是两个有两位数码的自然数，且x<y，乘积xy是一个有四位数码的自然数.首位数是2，如果把这个首位数2去掉，剩下的数正好是x+y，例如x=30，y=70.除此之外还有一组数具有如上性质，试求出这两个数
12、试求满足下列条件的六位整数
，。
这里a,b,c,d,e,f表示不同的数码，且a，e≠0
13、求满足
=（a+b+c）3的所有三位数。
14、已知某三位整数是5的倍数，其各位数字之和是20，个位数字与百位数字的和是3的倍数，求此整数。
15、求使nn有k个数字，kk有n个数字的所有自然数n，k
16、证明：如果n是正奇数，那么数22n（22n+1-1）在十进制中的最后两位数是28。
初中数学竞赛讲座——数论部分1(进位制)
第一讲正整数的表示及进位制一、基础知识：1．我们通常接触的整数都是“十进制”整数，十进制计数法就是用0，1，2…9十个数码，采用“逢十进一”的法则进行计数的方法。
例如1999就是一个一千，9个一百，9个十，9个1组成的，故1999这个数也可以表示为：1999=1×1000+9×100+9×10+9底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：100=1(个位上的数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)，102=100(百位上的数---第3位)，…10n(第n+1位上的数)故1999=1×103+9×102+9×101+9×1003na记作：3na=10n-1+…+102a n-2+10其中最高位a1≠0，即，其它则是0≤a1，a．各位上的数字相同的正整数记法：999=1000－1104－1，∴999n个＝10n-1111n个＝1019n-，333n个＝103n555n个＝5(101)9n-解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据示0到9的整数这一性质进行讨论。
．二进制及其它进制二进制即计数法就是用0，1两个数码，采用“逢二进一”的法则进行计数的方法。
例如二进制中的111记为(111)2111=1×22+1×2+1=73na )2记作：3na=2n-1××a3+…+22×a其中最高位a1≠0，，其它则是0≤a1，a2，位数(n为正整数3na )b记作：3na=b n-1××a3+…+b2×a其中最高位a1≠0，，其它则是0≤a1，（一）十进制转二进制（整数部分）辗转相除直到结果为，将余数和最后的60/2 = 30 余 0 30/2 = 15 余 0 15/2 = 7 余 1 7/2 = 3 余 1 3/2 = 1 余 1所以十进制数60转为二进制数即为 (11100)2 （二）十进制小数转换为二进制小数 方法：乘2取整，顺次排列。
小学六年级数学竞赛讲座 第11讲 计数总复习
余数为 0 的有 21 个，余数为 1、2、3、4、5、6、7、8、9 的各有 22 个，余数为 10、11、…、16 的各 有 21 个。
第二年，新生了 2 只公羊，4 只母羊，所以总羊数是 7+6=13 只，其中有 1+4=5 只母羊明年可以生产；
另有 4 只母羊需要到第四年才能生产； 第三年，新生了 10 只公羊，20 只母羊，总羊数是 13+30=43 只，其中有 5+4=9 只母羊明年可以生产，
另有 20 只母羊需要到第五年才可以生产； 第四年，新生了 18 只公羊和 36 只母羊，总羊数是 43+54=97 只，其中有 9+20 只母羊明年可以生产； 第五年，新生了 29×6=174 只羊，总羊数是 97+174=271 只。
例 5．设 A、E 为正八边形 ABCDEFGH 的相对顶点，顶点 A 处有一只青蛙，除顶点 E 外青蛙可以从正八边
形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任意一个，落到顶点 E 的青蛙就停止跳动，则青蛙从顶点 A 出发恰好
跳 10 次后落到顶点 E 的方法总数为
种。
解：可以使用递推法。
E
F
G
H
A
B
C
D
E
1步
例 7．圆周上有 10 个点，将其中任意两个点相连，请问最多被划分为多少个不同的区域？ 解：易知圆内的每条线段增加的区域为这条直线段上的交点个数加 1，
因此，圆内的区域个数为交点数量＋线段数量＋1． 圆周上的 10 个点最多可将圆划分的区域数量为 210+45+1=256（个）． 注：圆内接四边形有 2 条对角线，它们交于 1 点． 圆周上有 10 个不同点，任选四个构造成一个内接四边形，就产生 1 个交点，
小学六年级数学竞赛讲座 第11讲 计数总复习讲课讲稿
第十一讲计数总复习模块一、排列组合例1．把同一排6张座位编号为1、2、3、4、5、6的电影票全部分给4个人，每人至少分一张，至多分2张，且这2张具有连续的编号，那么不同的分法为144 种。
解：先把电影票分组，连续编号有(1、2)；(2、3)；(3、4)；(4、5)；(5、6)五组分法，在这五组中取2组，有2510C=中取法，但是其中有重复票的4种取法是错误的，所以合理的分法有10−4=6种，这样把4组票分给4个人，有4424A=种分法，一共有6×24=144种方法。
例2．体育课上，老师将小明、小强和另外7名同学分成3组，每组3人，一共有280 种分组方法；如果要求小明和小强分到同一组，有70 种分组方法。
解：9个人平均分成3组，有33963384202806C CA⨯⨯==种分组方法。
小明和小强分到同一组，则从7人中选1人与他们为一共组，剩下的6个人分成2组，有316722207702CCA⨯=⨯=种分组方法。
模块二、概率例3．甲、乙两人玩游戏，规则如流程框图所示，求甲连胜两局的概率。
解：把3个红球编号为红1，红2，红3，在4个球中任取一个有4种方法，再取一个有3种方法，一共有12种取法；若第一次是从3个红球中取得一个，有3种取法，第二次在2个红球中取得，有2种方法，所以甲胜的方法有6种，甲胜的概率为P=61 122=。
同样乙胜的概率也是12，则甲连胜两局的概率是12×12=14模块三、递推归纳：例4．一个牧民年初买了一头母羊，每年能生2只公羊，4只母羊，每只小母羊两年后，每年又可以生6只羊，其中2只公羊，4只母羊，这样从今年开始到第五年底，一共有多少只羊？解：能生育的母羊新生母羊公羊合计第1年1427第2年1+4=51×4=42+2=413第3年5+4=95×4=204+5×2=1443第4年20+9=299×4=3614+9×2=3297第5年29+36=6529×4=11632+29×2=90271今年是第一年，1头母羊，生了2只公羊，4只母羊，共7只羊，其中只有1只母羊到明年仍可生产；另有4只母羊要到第三年才可以生产；第二年，新生了2只公羊，4只母羊，所以总羊数是7+6=13只，其中有1+4=5只母羊明年可以生产；另有4只母羊需要到第四年才能生产；第三年，新生了10只公羊，20只母羊，总羊数是13+30=43只，其中有5+4=9只母羊明年可以生产，另有20只母羊需要到第五年才可以生产；第四年，新生了18只公羊和36只母羊，总羊数是43+54=97只，其中有9+20只母羊明年可以生产；第五年，新生了29×6=174只羊，总羊数是97+174=271只。
三年级上册数学《几何图形计数问题》竞赛试题-人教版(含答案)
几何图形计数问题☆基础题1、数一数下图中有多少条线段？2、从郑州到上海的一列火车，中间要停5站，那么在此次列车上，铁路部门要为旅客准备多少种不同的火车票？3、下图中有多少个三角形？4、下图中有多少个正方形？5、下图中有多少个长方形？☆☆提高题1、有20个钉子如图摆放，以钉子为顶点围成一个正方形，可以围成多少个正方形？2、下图中有多少个正方形？多少个三角形？3、下图中有多少个三角形？4、下图中，有多少个包含“★”的长方形。
5、下图中，有多少个长方形同时包含“★”和“☆”。
6、下图中梯形的个数与三角形的个数的差是多少？☆☆☆竞赛题1、如下图，边界上各条线段的长度依次是5厘米、12厘米、8厘米、1厘米、2厘米、4厘米、7厘米、3厘米。
（1）图中一共有多少个长方形？（2）这些长方形的面积和是多少平方厘米？2、下图中的正方形被分成了9个相同的小正方形，它们有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影三角形的面积一样大的三角形有多少个？3、下图中有多少个正方形？4、一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，……，共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？参考答案☆基础题1、答案：36条解析：基本线段是指：只有一条线段组成的线段叫做基本线段，本题中基本线段的条数是8条，所有线段的条数是：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（条）2、答案：42种解析：去时要准备：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（种）一共要准备：21×2＝42（种）3、答案：12个解析：可以把这个三角形分成两部分来看，上层红色部分有：3＋2＋1＝6（个），下层蓝色部分有：3＋2＋1＝6（个），所以一共有：6×2＝12（个）4、答案：32个解析：如下图，把原长方形分成两个同样大小的正方形，（3×3＋2×2＋1×1）×2＝28（个）在蓝色部分的长方形中，还有2个正方形，以蓝色长方形的长为边的正方形还有2个，所以正方形的总个数是：28＋2＋2＝32（个）5、答案：150个解析：先沿着长的方向数：基本线段的条数数是5个，则所有线段的条数是：5＋4＋3＋2＋1＝15（条）；再沿着宽的方向数：基本线段的条数是4个，则所有线段的条数是：4＋3＋2＋1＝10（条），则在这个图中所有长方形的个数：15×10＝150（个）☆☆提高题1、答案：21个解析：如下图，①形如玫红色正方形有：5＋4＝9（个）；②形如黄色正方形有：4个；③形如黑色正方形有：4个；④形如蓝色正方形有：2个；⑤形如红色正方形有2个，所有正方形的总个数是：9＋4＋4＋2＋2＝21（个）2、答案：正方形个数：10个；三角形个数：44个。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 五年级 第6讲-几何计数
第6讲几何计数【例1】导引拓展篇第1题如图，数一数，图中有多少个三角形？包含1个小三角形的有25个包含4个小三角形的有13个包含9个小三角形的有6个包含16个小三角形的有3个包含25个小三角形的有1个++++=所以共有个251363148按照顺序数出图形个数【例2】导引拓展篇第2题数一数，两个图形中分别有多少个三角形？包含1块的三角形有5个；包含2块的三角形有4个；包含3块的三角形有1个；包含4块的三角形有1个；没有5块和6块的三角形；包含7块的大三角形1个；因此所有三角形一共有++++=5411112【例2】导引拓展篇第2题数一数，两个图形中分别有多少个三角形？ 共有12个三角形 增加10个三角形 增加10个三角形因此原图中共有个三角形． B C BA DEF12101032++=【例3】导引拓展篇第3题数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．整个五边形被分成了11块由1块构成的三角形有10个；由2块构成的三角形是10个；由3块构成的三角形共10个；由5块构成的三角形有5个．共有10＋10＋10＋5＝35个三角形。
【例3】导引拓展篇第3题数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．加上虚线就加上6个三角形变成35个三角形原图共有35－6＝29个三角形【例3】导引拓展篇第3题AB C增加了一条线段AC以AB为边增加三角形有4个，以BC为边增加三角形有2个，以AC为边增加三角形有6个，共增加12个共有35＋12＝47个三角形数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．【例4】导引拓展篇第4题数一数，图中有多少个三角形？两个部分中各有35个三角形第一种有10个第二种有5个原图中共有35×2＋10＋5＝85个三角形【例5】导引拓展篇第5题数一数图中共有多少个长方形？（正方形是特殊长方形）由1块组成的长方形共有7个由2块组成的长方形共有4个由3块组成的长方形共有2个由4块组成的长方形有1个由5块组成的长方形有1个由6块组成的长方形有1个由7块组成的长方形有1个图中共有长方形7＋4＋2＋1＋1＋1＋1＝17个【例6】导引拓展篇第5题如图所示的一个大菱形，那么图中共能数出多少个菱形？设最小的菱形边长为1边长为1的菱形共有4×4=16个边长为2的菱形共有3×3=9个边长为3的菱形共有2×2=4个边长为4的菱形有1×1=1个菱形共有16+9+4+1=30个2212＋（⋅⋅⋅⋅⋅⋅）1-nn＋＋【例7】导引拓展篇第7题这是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形．请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）包含黑点的长方形有多少个？(1)从5条横线中取2条横线共有种方法从10条竖线中取2条竖线共有中方法图中共有长方形 22510450C C ⨯=(2)黑点上面有2条横线，下面有3条横线所以有2×3=6种取法左边有6条竖线，右边有4条竖线 所以又4×6=24种取法 共有6×24=144个含黑点的长方形 21n 21m C C ++⨯m ×n 个网格中有 个长方形【例8】导引拓展篇第8题数一数，图中共有多少个长方形？左边阴影一共有长方形个 右方阴影一共有长方形个 被重复计算有个 图中一共包含长方形90+63-18=135个224690C C ⨯=227363C C ⨯=224318C C ⨯=【例9】导引拓展篇第9题图中共有多少个平行四边形？尖朝右、尖朝左和尖朝上三种最小的平行四边形有6个两个小平行四边形拼成的有6个三个小平行四边形拼成的有2个四个小平行四边形拼成的有1个共15个有15×3=45个平行四边形【例10】导引拓展篇第10题18个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形．数一数，图中共有多少个梯形？左上右下的斜线、左下右上的斜线和竖线三种左上右下：6×3+4=22个梯形左下右上： 6×3+4=22个梯形竖线梯形：5×2+2=12个所以共有22+22+12=56个梯形【例11】导引拓展篇第11题木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？三角形由不在同一直线的三点组的 从12个点中任意选择3个点有 共线三点组共有12+8=20个 所以共有220-20=200个三角形220C 312【例12】导引拓展篇第12题方格纸上放了20枚棋子，以棋子为顶点，可以连出多少正方形？最小方格有9个小正方形小正方形个数有4个小正方形个数有2个小正方形个数有4个小正方形个数有2个一共有9+4+2+4+2=21个【例13】导引拓展篇第13题图中，共有多少个不同的曲边形？中间是1个五角星，边上是5个小块1个小块：5+5=10个曲边型2个小块： 3个小块: 4个小块: 5个小块:1个共有10+10+10+5+1=36个曲边型10C 25=10C 35=5C 45=【例14】导引拓展篇第14题一个2×3的网格中，每个小正方形的面积都是1．那么以格点为顶点，可以连成多少个面积为1的三角形？底是2高是1、底是1高是2底是2高是1： 底是1高是2： 底是1高是2又是底是2高是1：直角三角形重复 重复直角三角形为1×2直角三角形1×2的长方形中由4个这样的直角三角形 重复共有4×7=28种面积为1的三角形共有：50+48-28=70种4×2 +4×2×2 +4×2 +9×2 =50种 3×4×2 +2×3×4 =48种本讲知识点汇总一、按照顺序数出图形个数二、m ×n 的方格中长方形的个数为 三、正方形以及菱形的个数为 四、可以通过对称或者图形相似简化计数过程21n 21m C C ++⨯22211-n n ＋＋）＋（⋅⋅⋅⋅⋅⋅下节课见！。
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计数问题竞赛讲义一一．分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类加法计数原理完成一件事情，有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法……在第n 类方案中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法. 说明：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2.分步乘法计数原理完成一件事情，需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.说明：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.4.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：①首先要确定“完成一件什么事”，然后确定怎样去完成？（即需要“分类”还是“分步”）②分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次要保证分类时做到“不重不漏”。
分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次要保证“步骤完整”，即必须并且只需连续完成这n 个步骤，这件事才算完成.【例题选讲】例1 .在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种? 使其和大于20的不同取法又共有多少种?例2.75600有多少个正约数?有多少个奇约数?例3.（排数问题）用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1） 可以组成多少个数字不重复的三位数？（2） 可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3） 可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？（4） 可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5） 可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？例4.（1）集合A },,,,{321n a a a a =的子集有多少个？为什么？（2）设B A ,，）（k i A i ≤≤1为集合， ①满足}{b a B A ，= 的集合有序对（A ，B ）有 对？为什么？②满足}{321n a a a a B A ，，，=的集合有序对（A ，B ）有 对？为什么？③满足}{32121n k a a a a A A A ，，，=的集合有序组},,,(21k A A A 有 组？为什么？ 例5.（染色问题）将4种不同的颜色涂在下列图中的区域上，每一个区域涂一种颜色，相邻区域涂不同颜色，则不同的涂法种数各有多少？分析：对每一块区域逐一涂色:第一块：有4种颜色选择；第二块有3种；第三块有2种；第四块有2种，只有四块区域全涂完这件事情才算完成了，所以涂色种数为：482234=⨯⨯⨯你还有别的解答方法吗？（能否从颜色的角度入手考虑？）①用4色：共有241234=⨯⨯⨯（种）；②用3色：共有24234=⨯⨯（种）；所以一共有482424=+（种）变式：（1）如图一，要给①,②,③,④四块区域分别涂上5种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为若变为图二呢?（2）在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，如图，要求每部分栽种一种植物，相邻部分不能栽种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则有多少种栽种方案？二．排列与组合 1.排列：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
2.排列数：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号mn A 表示。
3. 排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ =!()!n n m -，),,(n m N m n ≤∈*且 4.组合：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
5.组合数：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素组合数。
6. 组合数公式：)!(!!!m n m n m A C m n mn-==，),,(n m N m n ≤∈*且 7．解排列、组合题的基本策略与方法（1）合理分类与准确分步 （2）有序排列，无序组合 （3）排列、组合混合问题先选后排（4）特殊元素、特殊位置优先 （5）正难则反，等价转化 （6）相邻问题捆绑处理（7）不相邻问题插空处理策略（8）定序问题除法处理（9）分排问题直排处理（10）构造模型的策略【基础题型选讲】例1．用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字。
（1）可以组成多少个六位数？ （2）可以组成多少个四位奇数？（3）可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个？（4）可以组成多少个能被3整除的四位数？ （5）可以组成多少个大于324105的六位数？例2．七个人排成一排，按下列要求的有多少种排法？（1）其中甲不站排头； （2）其中甲不站排头，乙不站排尾；（3）其中甲、乙两人必须相邻； （4）其中甲、乙两人必须不相邻；（5）甲乙相邻，丙丁不相邻； （6）甲乙不相邻，丙丁不相邻；（7）其中甲、乙中间有且只有1人； （8）其中甲必须排在乙的右边；（9）前排3人，后排4人； （10）甲站前排，乙站后排变式：（1）要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排在开头，并且任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数有（ ）A ．5836A AB ．3355A AC ．3555A AD ．3855A A（2）从6名运动员中选出4个参加m 1004⨯接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有 种不同的参赛方法。
（3）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）A ．152 B.126 C.90 D.54（4）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种（5） 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答)。
（6） 用1，2，3，4，5，6,7,8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻， 3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个（用数字作答）例3．从6男4女中，选出5人，按下列要求的有多少种不同的选法？（1）甲必须当选； （2）乙不能当选；（3）甲当选一不当选；（4）至少1名女生至少2名男生，变式：（1）某班级有20名男生和18名女生，从这38名学生中任选4名参加一个“Party ”。
（1）其中恰有2名女生的选法有多少种？ （2）其中至少有2名女生的选法有多少种？（2）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 种．（3）5个身高不等的学生站成一排合影，从中间到两边一个比一个矮的排法有（ ）种A. 6B. 8C. 10D.12（4）如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（ ）A. 60B.48C. 36D.24例4．从0 到9这10个数字中选出3个偶数和2个奇数（1）可组成多少个没有重复数字的5位数？（2）可组成多少个没有重复数字的被5整除的5位数？ 变式：（1）25人排成5×5方阵，从中选出3人分别担任三种不同的职务，要求这3人既不同行也不同列，则不同的任职方法有多少种？（3600）（2）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）（3）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为( )A.96B.48C.24D.0（4）以集合},,,{d c b a U =的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）b a ,都要选出；（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有B A ⊆或A B ⊆，那么共有 种不同的选法。
例5.（从集合角度） 10人组成的篮球队中，有5人只适于打锋，3人只适于打卫，2人打锋打卫即可，现选5人参加比赛3锋2卫，问共有多少种不同的选择？例6.（1） 以正方体的顶点为顶点的四面体共有 个。
（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 种（141）（3）变式：四面体的一个顶点为A ，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A 在同一个平面上，则不同的取法有 种（33）[例。