计数问题竞赛讲义题一

计数问题竞赛讲义一

一．分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.分类加法计数原理

完成一件事情，有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法……在第n 类方案中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法. 说明：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.

2.分步乘法计数原理

完成一件事情，需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.

说明：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.

3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点

①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.

4.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：

①首先要确定“完成一件什么事”，然后确定怎样去完成？（即需要“分类”还是“分步”）

②分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次要保证分类时做到“不重不漏”。分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次要保证“步骤完整”，即必须并且只需连续完成这n 个步骤，这件事才算完成.

【例题选讲】

例1 .在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种? 使其和大于20的不同取法又共有多少种?

例2.75600有多少个正约数?有多少个奇约数?

例3.（排数问题）用0，1，2，3，4，5这六个数字，

（1） 可以组成多少个数字不重复的三位数？

（2） 可以组成多少个数字允许重复的三位数？

（3） 可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？

（4） 可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？

（5） 可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？

例4.（1）集合A },,,,{321n a a a a =的子集有多少个？为什么？

（2）设B A ,，）

（k i A i ≤≤1为集合， ①满足}{b a B A ，= 的集合有序对（A ，B ）有 对？为什么？

②满足}{321n a a a a B A ，，，=的集合有序对（A ，B ）有 对？为什么？

③满足}{32121n k a a a a A A A ，，，=的集合有序组},,,(21k A A A 有 组？为什么？ 例5.（染色问题）将4种不同的颜色涂在下列图中的区域上，每一个区域涂一种颜色，相邻区域涂不同颜色，则不同的涂法种数各有多少？

分析：对每一块区域逐一涂色:第一块：有4种颜色选择；第二块有3种；第三块有2种；第四块有2种，只有四块区域全涂完这件事情才算完成了，所以涂色种数为：482234=⨯⨯⨯

你还有别的解答方法吗？（能否从颜色的角度入手考虑？）

①用4色：共有241234=⨯⨯⨯（种）；

②用3色：共有24234=⨯⨯（种）；

所以一共有482424=+（种）

变式：

（1）如图一，要给①,②,③,④四块区域分别涂上5种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为

若变为图二呢?

（2）在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，如图，要求每部分栽种一种植物，相邻部分不能栽种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则有多少种栽种方案？

二．排列与组合 1.排列：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n

个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

2.排列数：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不

同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m

n A 表示。 3. 排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ =!()!

n n m -，),,(n m N m n ≤∈*且 4.组合：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

5.组合数：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素组合数。

6. 组合数公式：)!(!!!m n m n m A C m n m

n

-==，),,(n m N m n ≤∈*且 7．解排列、组合题的基本策略与方法

（1）合理分类与准确分步 （2）有序排列，无序组合 （3）排列、组合混合问题先选后排

（4）特殊元素、特殊位置优先 （5）正难则反，等价转化 （6）相邻问题捆绑处理

（7）不相邻问题插空处理策略（8）定序问题除法处理（9）分排问题直排处理（10）构造模型的策略

【基础题型选讲】

例1．用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字。

（1）可以组成多少个六位数？ （2）可以组成多少个四位奇数？

（3）可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个？

（4）可以组成多少个能被3整除的四位数？ （5）可以组成多少个大于324105的六位数？

例2．七个人排成一排，按下列要求的有多少种排法？

（1）其中甲不站排头； （2）其中甲不站排头，乙不站排尾；

（3）其中甲、乙两人必须相邻； （4）其中甲、乙两人必须不相邻；

（5）甲乙相邻，丙丁不相邻； （6）甲乙不相邻，丙丁不相邻；

（7）其中甲、乙中间有且只有1人； （8）其中甲必须排在乙的右边；

（9）前排3人，后排4人； （10）甲站前排，乙站后排

变式：

（1）要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排在开头，并且任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数有（ ）

A ．5836A A

B ．3355A A

C ．3555A A

D ．3

855A A

（2）从6名运动员中选出4个参加m 1004⨯接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有 种不同的参赛方法。

（3）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）

A ．152 B.126 C.90 D.54

（4）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有

A. 504种

B. 960种

C. 1008种

D. 1108种

（5） 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和