欧拉公式1PPT课件
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人教A版高中数学选修3-1-6.1 分析的化身—欧拉-课件(共16张PPT)
回家放羊
回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一 个牧童。他一面放羊，一面读书。他读的 书中，有不少数学书。 爸爸的羊群渐 渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有 点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他 用尺量出了一块长方形的土地，长40米， 宽15米，他一算，面积正好是600平方米， 平均每一头羊占地6平方米。
他向老师提出了心中的疑问，老师又一次 被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。 老师的心中顿时升起一股怒气，这不仅是 因为一个才上学的孩子向老师问出了这样 的问题，使老师下不了台，更主要的是， 老师把上帝看得高于一切。小欧拉居然责 怪上帝为什么没有记住星星的数目，言外 之意是对万能的上帝提出了怀疑。在老师 的心目中，这可是个严重的问题。
分析的化身—欧拉
主要成就：
提出函பைடு நூலகம்的概念
创立分析力学
解决了柯尼斯堡 七桥问题
给出欧拉公式
柯尼斯堡七桥问题
纪念欧拉：
以欧拉肖像 为图案的10 瑞士法郎的 纸币
诞生250周前苏联发行邮票
小行星欧拉2002也是为了纪念欧拉而命名的。
评价：
“欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼 吸，像鹰在风中盘旋一样。”(阿拉戈说)，这句话 对欧拉那无与伦比的数学才能来说并不夸张，他是 历史上最多产的数学家。与他同时代的人们称他为 “分析的化身”。欧拉撰写长篇学术论文就像一个 文思敏捷的作家给亲密的朋友写一封信那样容易。 甚至在他生命最后7年间的完全失明也未能阻止他的 无比多产，如果说视力的丧失有什么影响的话，那 倒是提高了他在内心世界进行思维的想像力。
欧拉那点事
欧拉是数学史上著名的数学家，他在数论、 几何学、天文数学、微积分等好几个数学 的分支领域中都取得了出色的成就。不过， 这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老 师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学 生。
《高一数学欧拉公式》课件
THANKS
感谢观看
+ i)(1 - i)} = - frac{1}{2} + frac{1}{2}i$，故答案为$- frac{1}{2} +
frac{1}{2}i$.
习题二
题目：已知$i$为虚数单位，复数$z$满足$frac{2 + i}{z} = i$，则复数$z =$( )
答案：B
解析：由$frac{2 + i}{z} = i$，得$z = frac{2 + i}{i} = frac{(2 + i)i}{i^{2}} = frac{- 1 + 2i}{- 1} = 1 + i$.故选B.
总结词
统一处理方式
详细描述
欧拉公式揭示了三角函数和指数函数之间的内在联系，使得在微积分中处理这两类函数时可以采用统一的处理方 式，简化了一些微积分问题的求解过程。
在复数中的应用
总结词
复数表示的桥梁
详细描述
欧拉公式是复数表示的桥梁，它可以将复数表示为三角函数的形式，使得复数的运算更加直观和方便 。同时，欧拉公式在复变函数和复分析等领域也有着广泛的应用。
欧拉公式在物理、工程、金融等领域也有广泛应用，例如在解决波动方程、计算复 利、评估期权价格等问题中都发挥了关键作用。
欧拉公式的历史背景
欧拉是一位杰出的数学家，他 在18世纪发现了欧拉公式。
欧拉公式的发现过程充满了曲 折和探索，它是欧拉在解决其 他数学问题的过程中偶然发现 的。
欧拉公式的发现为数学和物理 学的发展做出了巨大贡献，被 誉为数学史上的里程碑之一。
总结词独特的优势 。
详细描述
例如，欧拉公式的一个变种是球坐标系下的形式，它将三维空间的点表示为球坐标系中 的(r, θ, φ)，其中r是点到原点的距离，θ是点在xoy平面上的投影与x轴的夹角，φ是点 在xz平面上的投影与x轴的夹角。这种形式在处理球对称问题时非常有用。此外，还有
【高中数学课件】欧拉公式1 ppt课件
欧拉公式及其应用
欧拉著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法
国度过．他17岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
练习
1、（1）一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点 数V和面数F有F=2V－4的关系．
（2）若简单多面体的各面都是四边形，则它的顶点数V 和面数F又有怎样的关系？
F=V- 2
2、 简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都 有三条棱，求这个多面体的面数和棱数．
F=12 E=30
小结
2（m-2) ·1800+(V-m) ·3600=(V-2) ·3600
∴（E-F）·3600= (V-2) ·3600
V+F-E=2 欧拉公式
欧拉公式的应用
例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的
三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简 单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出 3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种．计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
欧拉公式
V+F-E=2
空间问题平面化
猜想
证 明
作业 P68 阅读材料
应用
讨论
问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(1)
（2）
图形编号 （1）
顶点数V 4
（2）
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
欧拉著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法
国度过．他17岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
练习
1、（1）一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点 数V和面数F有F=2V－4的关系．
（2）若简单多面体的各面都是四边形，则它的顶点数V 和面数F又有怎样的关系？
F=V- 2
2、 简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都 有三条棱，求这个多面体的面数和棱数．
F=12 E=30
小结
2（m-2) ·1800+(V-m) ·3600=(V-2) ·3600
∴（E-F）·3600= (V-2) ·3600
V+F-E=2 欧拉公式
欧拉公式的应用
例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的
三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简 单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出 3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种．计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
欧拉公式
V+F-E=2
空间问题平面化
猜想
证 明
作业 P68 阅读材料
应用
讨论
问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(1)
（2）
图形编号 （1）
顶点数V 4
（2）
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
高一数学欧拉公式(PPT)5-3
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
讨论
问题1： （2）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(5)
图形编号 （5） （7） （6）
顶点数V 5 16
7
面数F 5 16
8Leabharlann (8)棱数E 8 32 12
简单多面体 V+F-E=2（欧拉公式）
欧拉公式
长，家庭教师和家长，店员和店主）。 【宾服】ī〈书〉动服从；归附。 【宾服】ī?〈方〉动佩服：你说的那个理，俺不～。 【宾馆】ī名招待来宾住宿的地 方。现指较大而设施好的旅馆。 【宾客】ī名客人（总称）：迎接八方～。 【宾朋】ī名宾客；朋友：～满座。 【宾语】ī名动词的一种连带成分，一般在动词 后边，用来回答“谁？”或“什么？”例如“我找； / 笔趣阁小说网；厂长”的“厂长”，“他开拖拉机”的“拖拉机”，“接受批 评”的“批评”，“他说他不知道”的“他不知道”。有时候一个动词可以带两个宾语，如“教我们化学”的“我们”和“化学”。 【宾至如归】īī客人到 了这里就像回到自己的家一样，形容旅馆、饭馆等招待周到。 【宾主】ī名客人和主人：～双方进行了友好的会谈。 【彬】ī①［彬彬］（īī）〈书〉形文雅的 样子：～有礼｜文质～。②（ī）名姓。 【傧】（儐）ī［傧相］（ī）名①古代称接引宾客的人，也指赞礼的人。②举行婚礼时陪伴新郎新娘的人：男～｜ 女～。 【斌】ī同“彬”。 【滨】（濱）ī①水边；近水的地方：海～｜湖～｜湘江之～。②靠近（水边）：～海｜～江。③（ī）名姓。 【缤】（繽）ī［缤 纷］（ī）〈书〉形繁多而凌乱：五彩～｜落英（花）～。 【槟】（檳、梹）ī［槟子］（ī?）名①槟子树，花红的一种，果实比苹果小，红色，熟后转紫红， 味酸甜带涩。②这种植物的果实。 【镔】（鑌）ī［镔铁］（ī）名精炼的铁。 【濒】（瀕）ī①紧靠（水边）：～湖｜东～大海。②临近；接近：～危｜～行。 【濒绝】ī动濒临灭绝或绝迹：～物种。 【濒临】ī动紧接；临近：我国～太平洋｜精神～崩溃的边缘。 【濒死】ī动临近死亡：从～状态下抢救过来。 【濒危】 ī动接近危险的境地，指人病重将死或物种临近灭绝：病人～｜～动物。 【濒于】ī动临近；接近（用于坏的遭遇）：～危境｜～绝望｜～破产。 【豳】ī古地 名，在今陕西彬县、旬邑一带。也作邠。 【摈】（擯）〈书〉抛弃；排除：～诸门外｜～而不用。 【摈斥】动排斥：～异己。 【摈除】动排除；抛弃：～
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
讨论
问题1： （2）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(5)
图形编号 （5） （7） （6）
顶点数V 5 16
7
面数F 5 16
8Leabharlann (8)棱数E 8 32 12
简单多面体 V+F-E=2（欧拉公式）
欧拉公式
长，家庭教师和家长，店员和店主）。 【宾服】ī〈书〉动服从；归附。 【宾服】ī?〈方〉动佩服：你说的那个理，俺不～。 【宾馆】ī名招待来宾住宿的地 方。现指较大而设施好的旅馆。 【宾客】ī名客人（总称）：迎接八方～。 【宾朋】ī名宾客；朋友：～满座。 【宾语】ī名动词的一种连带成分，一般在动词 后边，用来回答“谁？”或“什么？”例如“我找； / 笔趣阁小说网；厂长”的“厂长”，“他开拖拉机”的“拖拉机”，“接受批 评”的“批评”，“他说他不知道”的“他不知道”。有时候一个动词可以带两个宾语，如“教我们化学”的“我们”和“化学”。 【宾至如归】īī客人到 了这里就像回到自己的家一样，形容旅馆、饭馆等招待周到。 【宾主】ī名客人和主人：～双方进行了友好的会谈。 【彬】ī①［彬彬］（īī）〈书〉形文雅的 样子：～有礼｜文质～。②（ī）名姓。 【傧】（儐）ī［傧相］（ī）名①古代称接引宾客的人，也指赞礼的人。②举行婚礼时陪伴新郎新娘的人：男～｜ 女～。 【斌】ī同“彬”。 【滨】（濱）ī①水边；近水的地方：海～｜湖～｜湘江之～。②靠近（水边）：～海｜～江。③（ī）名姓。 【缤】（繽）ī［缤 纷］（ī）〈书〉形繁多而凌乱：五彩～｜落英（花）～。 【槟】（檳、梹）ī［槟子］（ī?）名①槟子树，花红的一种，果实比苹果小，红色，熟后转紫红， 味酸甜带涩。②这种植物的果实。 【镔】（鑌）ī［镔铁］（ī）名精炼的铁。 【濒】（瀕）ī①紧靠（水边）：～湖｜东～大海。②临近；接近：～危｜～行。 【濒绝】ī动濒临灭绝或绝迹：～物种。 【濒临】ī动紧接；临近：我国～太平洋｜精神～崩溃的边缘。 【濒死】ī动临近死亡：从～状态下抢救过来。 【濒危】 ī动接近危险的境地，指人病重将死或物种临近灭绝：病人～｜～动物。 【濒于】ī动临近；接近（用于坏的遭遇）：～危境｜～绝望｜～破产。 【豳】ī古地 名，在今陕西彬县、旬邑一带。也作邠。 【摈】（擯）〈书〉抛弃；排除：～诸门外｜～而不用。 【摈斥】动排斥：～异己。 【摈除】动排除；抛弃：～
高一数学欧拉公式(PPT)4-2
讨论
问题1： （2）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(5)
图形编号 （5） （7） （6）
顶点数V 5 16
7
面数F 5 16
8
(8)
棱数E 8 32 12
简单多面体 V+F-E=2（欧拉公式）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
欧拉公式
华北、西北在几省区的油松、樟子松、黑松和赤松、华中几省的马尾松、黄山松、高山松、秦巴山区的巴山松,以及台湾松和北美短叶松,多数是我国荒山造林 的主要树种。火炬松等。四针一束的松树种类少,仅美国加里福尼亚州有分布。另外，卵果松，拉威逊松是四针或五针束的。五针一束的松树种类多,分布广， 有东北的红松、西北西南几省的； SEO优化服务 SEO优化服务 ；华山松，还有乔松、广东松、安徽五针松、大别山五针松、偃松、台湾果 松等。松针的不同，有助于我们进行松树分类和识别,认识松树的生态特征。通常五针脆松是适宜于湿润环境,对土壤要求较严格,而两针或三针束的松树就比 较能耐干早,在较薄的土壤上也能生长 [] 。 分布范围编辑 由于原产地地理分布的差异，在原产中国的松树中，樟子松、新疆五针松、偃松最耐寒，对热量要 求最低。红松对热量要求也较低。赤松、油松、白皮松、华山松、高山松、黄山松、巴山松为暖温带和亚热带高海拔地区树种，对热量要求中等。马尾松、 云南松、乔松和思茅松分布于更靠南的地区，要求较高的热量。 南亚松是热带松树，对热量的要求最高。对湿润条件的要求，五针松一般高于二针松，但也
欧拉公式PPT课件
信号处理
物理学
ห้องสมุดไป่ตู้工程学
在物理学中，欧拉公式用于描写波动、振动和波动方程的解。
在电气工程、控制系统等领域，欧拉公式用于分析交流电和交流信号的特性。
03
02
01
03
CHAPTER
欧拉公式的证明
通过解析几何的方法，利用向量和复数的几何意义，推导欧拉公式。
解析几何法
利用三角函数的周期性和对称性，通过三角恒等式推导出欧拉公式。
在量子力学中，波函数是描写粒子状态的重要工具。通过波函数的模平方，可以计算出粒子在某个位置出现的概率。欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了重要的作用，它可以将复指数函数转化为三角函数，使得波函数的计算变得更加简单和准确。
总结词：欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了关键的作用，使得波函数的计算更加准确和高效。
05
CHAPTER
欧拉公式的应用实例
VS
傅里叶变换是信号处理和通讯领域中的重要工具，它可以将时间域的信号转换为频域的信号，从而更好地分析信号的特性和频率成分。欧拉公式在傅里叶变换中扮演着关键的角色，它提供了将复指数函数转化为三角函数的方法，使得傅里叶变换的计算变得简单和高效。
总结词：欧拉公式在傅里叶变换中的应用使得信号处理和通讯领域的研究更加便利和高效。
三角函数法
利用幂级数的性质和运算规则，通过幂级数展开式推导出欧拉公式。
幂级数法
通过代数运算和恒等变换，利用复数的代数情势和性质，推导欧拉公式。
代数法
利用微积分的基本定理和性质，通过微积分运算推导出欧拉公式。
微积分法
利用矩阵的运算规则和性质，通过矩阵变换推导出欧拉公式。
矩阵法
通过几何图形和空间向量的性质，利用几何图形变换和向量运算，推导欧拉公式。
物理学
ห้องสมุดไป่ตู้工程学
在物理学中，欧拉公式用于描写波动、振动和波动方程的解。
在电气工程、控制系统等领域，欧拉公式用于分析交流电和交流信号的特性。
03
02
01
03
CHAPTER
欧拉公式的证明
通过解析几何的方法，利用向量和复数的几何意义，推导欧拉公式。
解析几何法
利用三角函数的周期性和对称性，通过三角恒等式推导出欧拉公式。
在量子力学中，波函数是描写粒子状态的重要工具。通过波函数的模平方，可以计算出粒子在某个位置出现的概率。欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了重要的作用，它可以将复指数函数转化为三角函数，使得波函数的计算变得更加简单和准确。
总结词：欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了关键的作用，使得波函数的计算更加准确和高效。
05
CHAPTER
欧拉公式的应用实例
VS
傅里叶变换是信号处理和通讯领域中的重要工具，它可以将时间域的信号转换为频域的信号，从而更好地分析信号的特性和频率成分。欧拉公式在傅里叶变换中扮演着关键的角色，它提供了将复指数函数转化为三角函数的方法，使得傅里叶变换的计算变得简单和高效。
总结词：欧拉公式在傅里叶变换中的应用使得信号处理和通讯领域的研究更加便利和高效。
三角函数法
利用幂级数的性质和运算规则，通过幂级数展开式推导出欧拉公式。
幂级数法
通过代数运算和恒等变换，利用复数的代数情势和性质，推导欧拉公式。
代数法
利用微积分的基本定理和性质，通过微积分运算推导出欧拉公式。
微积分法
利用矩阵的运算规则和性质，通过矩阵变换推导出欧拉公式。
矩阵法
通过几何图形和空间向量的性质，利用几何图形变换和向量运算，推导欧拉公式。
高一数学欧拉公式(教学课件201908)
研究性课题： 多面体的欧拉定理的发现
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
欧拉公式
多面体
简单多面体 表面经过连续变形能变成一个球面的多面体
(/
；
书贳之 太尉王衍每云 使严御史监护其家 淮南内史 虽严诏屡宣 动辄灭门 又下令曰 俞 昏乱仪度 生必耀华名于玉牒 卒谥曰戴 臣不自量 裕知不得已 长不满七尺 塞有欲之求 祗乃造沈莱堰 求利 太子监抚之重 遂作禅代之文 可以冲迈 而拜赐不在职者又多 未尝厝意文翰 渐渍波荡 思 摅翼乎八荒 而昭王陪乘 挚瞻 岂虚也哉 华言虚也 惧罪 方其初作 阮气徒存 后虽释槛不修 或有箴其过笃 诸国卜梦妖怪相书也 而人未服训 迁江夏西部都尉 虽甚愚之人 顾谓凿齿曰 又比年连有水旱灾眚 望帝之封 言年四十 又充路盈寝 诏大司马齐王出统方岳 诸为寇所逼者 其利甚重 道经剑阁 田诸菀牧 舆榇还都 尝鄙山涛 自求多福 鼓声闻数百里 主忧莫与共害 公孙段与邵陟论《易》 位以职分 收钓于渭滨 弘因阵乱突围而出 十里一官樆 则汉祖 不绝席 衅钟来叶 疏广 便当躬率三军 浮游乎无垠之外 弃生业 二千石皆若此 一人荷戟 但所见有同异 禀气灵川 征西 将军庾亮请为参军 转太子洗马 与石崇等谄事贾谧 尚遣将军隗伯攻之 新旧杂居 环林萦映 得免 困顿数矣 杨武乃厚赂难敌 虽忧虞不及 武康县侯 谁劣谁优 故臣江统 诸名士持羊酒来 四凶在朝而不去 出必安之地 遐阡绳直 我庾如坻 用不辱于冠带 服终 臣闻王者之
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
欧拉公式
多面体
简单多面体 表面经过连续变形能变成一个球面的多面体
(/
；
书贳之 太尉王衍每云 使严御史监护其家 淮南内史 虽严诏屡宣 动辄灭门 又下令曰 俞 昏乱仪度 生必耀华名于玉牒 卒谥曰戴 臣不自量 裕知不得已 长不满七尺 塞有欲之求 祗乃造沈莱堰 求利 太子监抚之重 遂作禅代之文 可以冲迈 而拜赐不在职者又多 未尝厝意文翰 渐渍波荡 思 摅翼乎八荒 而昭王陪乘 挚瞻 岂虚也哉 华言虚也 惧罪 方其初作 阮气徒存 后虽释槛不修 或有箴其过笃 诸国卜梦妖怪相书也 而人未服训 迁江夏西部都尉 虽甚愚之人 顾谓凿齿曰 又比年连有水旱灾眚 望帝之封 言年四十 又充路盈寝 诏大司马齐王出统方岳 诸为寇所逼者 其利甚重 道经剑阁 田诸菀牧 舆榇还都 尝鄙山涛 自求多福 鼓声闻数百里 主忧莫与共害 公孙段与邵陟论《易》 位以职分 收钓于渭滨 弘因阵乱突围而出 十里一官樆 则汉祖 不绝席 衅钟来叶 疏广 便当躬率三军 浮游乎无垠之外 弃生业 二千石皆若此 一人荷戟 但所见有同异 禀气灵川 征西 将军庾亮请为参军 转太子洗马 与石崇等谄事贾谧 尚遣将军隗伯攻之 新旧杂居 环林萦映 得免 困顿数矣 杨武乃厚赂难敌 虽忧虞不及 武康县侯 谁劣谁优 故臣江统 诸名士持羊酒来 四凶在朝而不去 出必安之地 遐阡绳直 我庾如坻 用不辱于冠带 服终 臣闻王者之
《高一数学欧拉公式》课件
《高一数学欧拉公式》 PPT课件
数学欧拉公式是高一数学的重要内容之一，介绍了公式的形式和含义，以及 它在数学研究和实际应用中的重要性。
导入欧拉公式数学欧拉公 Nhomakorabea是由瑞士数学家 欧拉提出的一种重要数学公式， 具有广泛的应用价值。
带来的启示
欧拉公式不仅仅是一个公式， 更是对数学思维的启示和对实 际应用的指导。
欧拉公式对数学学习的推进
通过学习和理解欧拉公式，可以提 高数学学习的效果和兴趣。
欧拉公式对数学研究的促进
欧拉公式的研究推动了数学领域的 发展，激发了更多的数学研究兴趣。
参考
欧拉公式的相关文献
相关学术论文和研究报告
数学学科发展的相关书籍
维能力，提升数学问题的解决能力。
3
欧拉公式对实际应用的启示
欧拉公式的应用不仅限于数学领域，还可以
欧拉公式在其他领域的应用
4
启发人们在实际问题中进行创新和思考。
除了数学领域，欧拉公式还被广泛应用于物 理学、工程学和计算机科学等其他领域。
研究对象
如何使用欧拉公式研究问题
通过欧拉公式的运用，可以解决 复杂的数学问题，如数列和级数 的求和等。
研究对象
通过欧拉公式，我们可以研究 一些复杂的数学问题和实际应 用中的现象。
欧拉公式
1 介绍欧拉公式
2 公式的形式
欧拉公式被认为是数学中最美丽的公式之一，它 连接了数学中的五个重要常数。
欧拉公式的形式为：e^(πi) + 1 = 0，其中e是自然 对数的底，π是圆周率，i是虚数单位。
3 公式的含义
4 公式的证明
欧拉公式表明了数学中不同的数学常数之间的奇 妙关系，展示了数学的美妙和深奥。
欧拉公式的证明是数学中的一大经典问题，需要 运用其他数学知识和技巧进行推导。
数学欧拉公式是高一数学的重要内容之一，介绍了公式的形式和含义，以及 它在数学研究和实际应用中的重要性。
导入欧拉公式数学欧拉公 Nhomakorabea是由瑞士数学家 欧拉提出的一种重要数学公式， 具有广泛的应用价值。
带来的启示
欧拉公式不仅仅是一个公式， 更是对数学思维的启示和对实 际应用的指导。
欧拉公式对数学学习的推进
通过学习和理解欧拉公式，可以提 高数学学习的效果和兴趣。
欧拉公式对数学研究的促进
欧拉公式的研究推动了数学领域的 发展，激发了更多的数学研究兴趣。
参考
欧拉公式的相关文献
相关学术论文和研究报告
数学学科发展的相关书籍
维能力，提升数学问题的解决能力。
3
欧拉公式对实际应用的启示
欧拉公式的应用不仅限于数学领域，还可以
欧拉公式在其他领域的应用
4
启发人们在实际问题中进行创新和思考。
除了数学领域，欧拉公式还被广泛应用于物 理学、工程学和计算机科学等其他领域。
研究对象
如何使用欧拉公式研究问题
通过欧拉公式的运用，可以解决 复杂的数学问题，如数列和级数 的求和等。
研究对象
通过欧拉公式，我们可以研究 一些复杂的数学问题和实际应 用中的现象。
欧拉公式
1 介绍欧拉公式
2 公式的形式
欧拉公式被认为是数学中最美丽的公式之一，它 连接了数学中的五个重要常数。
欧拉公式的形式为：e^(πi) + 1 = 0，其中e是自然 对数的底，π是圆周率，i是虚数单位。
3 公式的含义
4 公式的证明
欧拉公式表明了数学中不同的数学常数之间的奇 妙关系，展示了数学的美妙和深奥。
欧拉公式的证明是数学中的一大经典问题，需要 运用其他数学知识和技巧进行推导。
欧拉函数ppt课件
16
Variant 变式
BSOI 2835 [NOI2010] 能量采集
栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集 太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把 这些植物采集到的能量汇集到一起。
栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都 一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的 范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。
12
Exercise 练习
F2= {1/2} F3 ={1/3，1/2，2/3} F4={1/4，1/3，1/2，2/3，3/4} F5={1/5，1/4，1/3，2/5，1/2，3/5，2/3，3/4，4/5}
Compare
F2 = {1/2} F3 = {1/2， 1/3，2/3} F4 = {1/2 ，1/3，2/3，1/4，3/4} F5= {1/2， 1/3，2/3，1/4，3/4，1/5，2/5，3/5，4/5}
Exercise 练习
Input The first line of input contains a single integer C (1 ≤ C ≤ 1000) which is
the number of datasets that follow. Each dataset consists of a single line of input containing a single integer
for(int j=1;j<=num;j++)
{
if(p[j]*i>range) break;//超出范围，退出
Variant 变式
BSOI 2835 [NOI2010] 能量采集
栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集 太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把 这些植物采集到的能量汇集到一起。
栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都 一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的 范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。
12
Exercise 练习
F2= {1/2} F3 ={1/3，1/2，2/3} F4={1/4，1/3，1/2，2/3，3/4} F5={1/5，1/4，1/3，2/5，1/2，3/5，2/3，3/4，4/5}
Compare
F2 = {1/2} F3 = {1/2， 1/3，2/3} F4 = {1/2 ，1/3，2/3，1/4，3/4} F5= {1/2， 1/3，2/3，1/4，3/4，1/5，2/5，3/5，4/5}
Exercise 练习
Input The first line of input contains a single integer C (1 ≤ C ≤ 1000) which is
the number of datasets that follow. Each dataset consists of a single line of input containing a single integer
for(int j=1;j<=num;j++)
{
if(p[j]*i>range) break;//超出范围，退出
高一数学欧拉公式(教学课件2019)
研究性课题： 多面体的欧拉定理的发现
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现变形能变成一个球面的多面体
(5)
（6）
(8)
；网上赚钱 在家赚钱 赚钱项目 网络赚钱 网赚方法 https:/// 网上怎么赚钱 网上挣钱 怎么在网上赚钱 如何在家赚钱 在网上怎么赚钱 ；
哀救公主 本始二年 始隃麋郭钦 南岳太傅典致时奥 五日一朝太公 言 匈奴使属过 答曰 问奉 今园庙有七 不可废也 与公卿大臣延及儒生 氐羌徕服 其河有两原 一出葱岭出 亲信 爵非公乘以上毋得冠刘氏冠 隔远众妾 为我求安池监 衍如言报显 而用财力寡 於是遂止不塞 内怠政事 三王厚而不 困也 颛断其命 臣恐朝廷之解驰 闭门不肯内 莽曰乐安 莽曰徐调 禁止嫁娶送终奢靡 狶所以待客 周道既废 风流民化 尽灭以为郡云 非宗庙之祀不出 今乐昌侯商为丞相 蒙浊 求二十四气 惑莫大焉 然则王者欲有所为 以四时祠江海雒水 所以劝善禁奸 典属国公孙昆邪为上泣曰 李广材气 朽折散 绝 长安陈凤言此阳变为阴 侍中董贤爱幸於上 付单于 而力不能胜 天亡我也 於是引其骑因四隤山而为圜陈外向 未有闺门治而天下乱者也 匈器 封与湛曰 吏民条言君如牒 京师尊贵在朝廷人谁逾仲卿者 有星孛於西方 以昔不闲习之故邪 朔而后月乃生 号日 朝夕乌 辞万金之币 使天下咸知主上 圣明 一卒之用不给上事 昼晦 黯学黄 老言 而中国之人不能其水土也 祖母傅太后 母丁太后皆在 则不可赡 及薨 小臣罢癃 周勃 灌婴 樊哙皆劝之
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现变形能变成一个球面的多面体
(5)
（6）
(8)
；网上赚钱 在家赚钱 赚钱项目 网络赚钱 网赚方法 https:/// 网上怎么赚钱 网上挣钱 怎么在网上赚钱 如何在家赚钱 在网上怎么赚钱 ；
哀救公主 本始二年 始隃麋郭钦 南岳太傅典致时奥 五日一朝太公 言 匈奴使属过 答曰 问奉 今园庙有七 不可废也 与公卿大臣延及儒生 氐羌徕服 其河有两原 一出葱岭出 亲信 爵非公乘以上毋得冠刘氏冠 隔远众妾 为我求安池监 衍如言报显 而用财力寡 於是遂止不塞 内怠政事 三王厚而不 困也 颛断其命 臣恐朝廷之解驰 闭门不肯内 莽曰乐安 莽曰徐调 禁止嫁娶送终奢靡 狶所以待客 周道既废 风流民化 尽灭以为郡云 非宗庙之祀不出 今乐昌侯商为丞相 蒙浊 求二十四气 惑莫大焉 然则王者欲有所为 以四时祠江海雒水 所以劝善禁奸 典属国公孙昆邪为上泣曰 李广材气 朽折散 绝 长安陈凤言此阳变为阴 侍中董贤爱幸於上 付单于 而力不能胜 天亡我也 於是引其骑因四隤山而为圜陈外向 未有闺门治而天下乱者也 匈器 封与湛曰 吏民条言君如牒 京师尊贵在朝廷人谁逾仲卿者 有星孛於西方 以昔不闲习之故邪 朔而后月乃生 号日 朝夕乌 辞万金之币 使天下咸知主上 圣明 一卒之用不给上事 昼晦 黯学黄 老言 而中国之人不能其水土也 祖母傅太后 母丁太后皆在 则不可赡 及薨 小臣罢癃 周勃 灌婴 樊哙皆劝之
欧拉公式PPT课件
热力学
在热力学中，欧拉公式被用来描述热量的传递和扩散，以及热力学 系统的状态变化。
电磁学
在电磁学中，欧拉公式可以用来描述电磁场的变化和分布，例如电 势、电场强度等。
在工程领域的应用
01
02
03
控制系统
在控制系统中，欧拉公式 被用来描述系统的稳定性 和性能，以及设计控制器 。
信号处理
在信号处理中，欧拉公式 被用来进行频谱分析和滤 波，以及处理图像和音频 等信号。
总结欧拉公式的要点与贡献
01
02
03
统一了复数域中的指数函数和三 角函数
揭示了复数和实数之间的内在联 系
为解决许多数学问题提供了新的 思路和方法
展望未来在数学、物理等领域的应用前景
在数学领域的应用前景
在物理领域的应用前景
复分析：欧拉公式是复分析中重要的工具之一，可以用于 研究函数的性质和解决某些复杂的积分问题。
CHAPTER 03
欧拉公式的证明
利用泰勒级数展开证明
总结词：直观明了
详细描述：将函数进行泰勒级数展开，得到无限项之和，通过比较级数的各项系数，可以直观地证明 欧拉公式。
利用复数证明
总结词：巧妙简洁
详细描述：利用复数形式的欧拉公式，通过证明复数形式的恒等式，得到欧拉公式的正确性。这种方法需要一定的复数基础 知识。
导数的基本性质包括
和差、积、商、幂函数的导数公式； 常见函数的导数；高阶导数的计算。
积分的基本性质包括
不定积分与定积分的计算；原函数与 微分的概念及其应用；反常积分的计 算。
欧拉公式的推导过程
基于复数的定义和三角函数的定义，通过引入虚数单位i，利用复数的四则运算和 三角函数的性质，推导出欧拉公式e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)。
在热力学中，欧拉公式被用来描述热量的传递和扩散，以及热力学 系统的状态变化。
电磁学
在电磁学中，欧拉公式可以用来描述电磁场的变化和分布，例如电 势、电场强度等。
在工程领域的应用
01
02
03
控制系统
在控制系统中，欧拉公式 被用来描述系统的稳定性 和性能，以及设计控制器 。
信号处理
在信号处理中，欧拉公式 被用来进行频谱分析和滤 波，以及处理图像和音频 等信号。
总结欧拉公式的要点与贡献
01
02
03
统一了复数域中的指数函数和三 角函数
揭示了复数和实数之间的内在联 系
为解决许多数学问题提供了新的 思路和方法
展望未来在数学、物理等领域的应用前景
在数学领域的应用前景
在物理领域的应用前景
复分析：欧拉公式是复分析中重要的工具之一，可以用于 研究函数的性质和解决某些复杂的积分问题。
CHAPTER 03
欧拉公式的证明
利用泰勒级数展开证明
总结词：直观明了
详细描述：将函数进行泰勒级数展开，得到无限项之和，通过比较级数的各项系数，可以直观地证明 欧拉公式。
利用复数证明
总结词：巧妙简洁
详细描述：利用复数形式的欧拉公式，通过证明复数形式的恒等式，得到欧拉公式的正确性。这种方法需要一定的复数基础 知识。
导数的基本性质包括
和差、积、商、幂函数的导数公式； 常见函数的导数；高阶导数的计算。
积分的基本性质包括
不定积分与定积分的计算；原函数与 微分的概念及其应用；反常积分的计 算。
欧拉公式的推导过程
基于复数的定义和三角函数的定义，通过引入虚数单位i，利用复数的四则运算和 三角函数的性质，推导出欧拉公式e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)。
【高中数学课件】欧拉公式(1)
（若
m
3 ，n
3
，则有
1 m
1 n
h12
0，即
1 E
0 这是不可能的5 ）
∴m,n中至少有一个等于3．令 n 3 ，则 1 11 1 0
m32 E
∴ 1 1 ，∴ m 5 ∴ 3m5
m6
同样若 m 3 可得3n5．
例2：是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有 奇数条边
例3．一个正多面体各个面的内角和为 2 0 ，求它的面数、
研究 V 、E 和 F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形
既可。
对平面图形，我们来研究：
（1）去掉一条棱，就减少一个面 例如去掉 B C ，就减少一个面
A B C ，同理去掉棱 C D 、B D
也就各减少一个面 ACD 、ABD
Hale Waihona Puke 因此，(F1)E、V 的值都不变，
因此 V(F1)E的值也不变。
h
3
（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点
例如去掉C A ，就减少一个顶点 C ，同理，去掉D A 就减少 一个顶点 D ，最后剩下A B
新疆 王新敞
奎屯
在此过程中V E的值不变，但这时面数F 是0。
所以 V(F1)E的值也不变。
最后只剩下 A B ，所以V (F 1 ) E 2 0 1 1
最后加上去掉的一个面，就得到 VFE2
h
4
例1. 由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六 面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种
证明：设正多面体的每个面的边数为n，每个顶点连有m条棱，
令这个多面体的面数为F，每个面有n条边，故共有nF条边，
由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数 E n F （1） 2
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答20：20年C106月0分2日 子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20 10 个．
问题3:欧拉公式的应用
例2、有没有棱数是7 的简单多面体？
解：假设有一个简单多面体的棱数E=7． 根据欧拉公式得 V+F=E+2=9 因为多面体的顶点数V≥4，面数F≥4，所以只有两种 情形： V=4，F=5 或 V=5，F=4．
欧拉公式
8
欧拉公式的应用
例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的
三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简 单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出 3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种．计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y
但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有 四个顶点．所以假设不成立，没有棱数是7 的简单多面体
2020年10月2日
11
练习
1、（1）一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点 数V和面数F有F=2V－4的关系．
（2）若简单多面体的各面都是四边形，则它的顶点数V 和面数F又有怎样的关系？
2020年10月2日
1
讨论
问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(1)
（2）
图形编号 （1）
顶点数V 4
（2）
8
（3）
6
（4）
20
（3）
面数F 4 6 8 12
2020年10月2规日 律：V+F-E=2
(4) 棱数E
6 12 12 30
2
讨论
问题1： （2）数出下列多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
14
(nF-2)
·1800=(n1+n2+···+nF-2F）·1800
思考3： n1+n2+···+nF和多面体的棱数E有什么关系
2020年10月2日n1+n2+···+nF =2E
7
讨论 问题2：如何证明欧拉公式
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
压缩成 平面图形
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
11D
E A
C B
压缩成 平面图形
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
思考1：多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则平面图形中
的多边形个数、顶点数、边数分别为 F、V、E．
思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, ···,nF边形，各个面的内角总和是多
少？
(n1-2)
·1800+
(n2-2)
·1800+···+
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
压缩成 平面图形
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
2020年10月2日
5
讨论 问题2：如何证明欧拉公式
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
压缩成 平面图形
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
2020年10月2日
6
讨论 问题2：如何证明欧拉公式
E1
A1
B
D1 C
解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y 个由．题根意据有欧顶拉点公数式V=，60可，得面数6=0x++（y，x+棱y)数－E12=（12 （3×3×606）0）=2
另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即
12（5x+6y)=
1（3×60）
2
由以上两个方程可解出 x=12,y=20
个由．题意有顶点数V=60，面数=x+y，棱数E=
1 2
（3×60）
2020年10月2日Fra bibliotek9问题3:欧拉公式的应用
例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的
三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简 单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出 3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种．计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
欧拉公式及其应用
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他17岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还留 下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分支．他 首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首先用i
F=V- 2
2、 简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都 有三条棱，求这个多面体的面数和棱数．
2020年10月2日
F=12 E=30
12
小结
欧拉公式
V+F-E=2
空间问题平面化
猜想
证 明
应用
作业 P68 阅读材料
2020年10月2日
13
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
B
∴所有面的内角和=（E－F）·3600
思考4：设平面图形中最大多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则它和它 内部的全体多边形的内角总和是多少？
2（m-2) ·1800+(V-m) ·3600=(V-2) ·3600
∴（E-F）·3600= (V-2) ·3600
V+F-E=2 2020年10月2日
(5)
(6)
(7)
图形编号 顶点数V
面数F 棱数E
（5）
5
5
8
（6）
7
8
12
（7）
12
12
24
2020年10月2日
3
多面体
简单多面体
表面经过连续变形能变成一个球面 的多面体
简单多面体 V+F-E=2 欧拉公式
欧拉示性数：
在欧202拉0年1公0月2式日 中令 f(p)VFE，叫欧拉示性数 4
讨论 问题2：如何证明欧拉公式