水平面内的圆周运动
水平面内的圆周运动
4、图为一皮带传 动装置，右轮半径 为r，a为它边缘上 一点；左侧是一轮 轴，大轮半径为4r， 小轮半径为2r，b点 在小轮上，到小轮 中心的距离为r。c点和d点分别位于小轮和大轮 的边缘上。若传动过程中皮带不打滑，则（ ） A a点和b点的线速度大小相等 B a点和b点的角速度大小相等 C a点和c点的线速度大小相等 D a点和d点的向心加速度大小相等
转台上物体的临界问题：
ω
N
f
A
G
3、如图所示皮带转动轮，大轮直径是小轮直 径的２倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边 缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O1的距 离等于小轮半径。转动时皮带不打滑，则A、 B、C三点的角速度之比ωA： ωB： ωC=________，向心加速度大小之比aA：aB： 1:２:1 aC=________。 ２:４:1
向心力
1.定义：做匀速圆周运动的物体所受到的指 向圆心的合力，叫向心力。
注意：
2.特点：方向始终与V垂直，指向圆心。 例 方向时刻发生变化，是变力
V F
O F O
1、向心力通常由重力、弹力、摩 擦力中的某一个力，或者是某个力 的分力，或几个力的合力所提供。
2、向心力是根据力的作用效 果来命名的，受力分析时不要 把向心力当作一个独立的力。
F
V
V
卫星绕地球运动--万有引力
光滑桌面上转动的小球 ---弹力
随圆盘匀速转动的物体
圆锥摆---重力和弹力的合力
-----摩擦练习】 请分析以下圆周运动的向心力的来源。
汽车转弯的向心力由谁提供？
. 冰面上的溜冰运动员所受最大静摩擦力为运动员重 力的K倍，在水平面上沿半径为R的圆周滑行的运动 员，其安全速度为（ ）
水平面内圆周运动的临界问题
水平面内圆周运动的临界问题
题
水平面内圆周运动的临界极值问题型 分1.与摩擦Fra bibliotek有关的临界问题
类 2.与弹力有关的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰
好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力， 则有Ffm＝mv2/r，静摩擦力的方向一定指向圆心； 如果除摩擦力以外还有其他力，存在一个恰不向内 滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件.
速转动时，要保持木块与转盘相对静 止，木块转动半径的范围是多少？(g 取10 m/s2)
【盘审题备转用动123...当当若变的木使木式角块 木块速】离 块恰度对圆 半好范于心 径不围上的再向是题距增里多，离大滑少若很动,木？木小时块块时,所木,转块受随动受圆各的力盘力情转情半况动况径如,又保木何会块持?如会r遵=何向0从变.圆5什m化心么,则？滑规转动律？？
两边连接着物理过程的不同阶段，各阶段物体的运动形 式以及遵循的物理规律往往不同． 4．结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程综合分析。
【跟踪训练】 如图所示，质量为m的
木块，用一轻绳拴着，置于很大的水
平转盘上，细绳穿过转盘中央的细管， 与质量也为m的小球相连，木块与转 盘间的最大静摩擦力为其重力的μ倍(μ ＝0.2)，当转盘以角速度ω＝4 rad/s匀
审 (1)转台的角速度较小时，谁提供向心力？
题
(2)物块A、B谁先达到最大静摩擦力？ (3)细线上何时开始出现张力？
设 (4)细线上有张力时，谁提供物块A、B的向心力，列出表 达式？
疑 (5)两物块何时开始滑动？
转 解析
【备选】 如图所示,水平杆固定在竖直杆上,两者互相垂直,水平杆上 O、 A 两点连接有两轻绳,两绳的另一端都系在质量为 m 的小球上,OA＝OB
向心力(第二课时) 水平面内典型圆周运动模型 人教版高中物理必修二
由 变a形＝2ω：2具r知有ω相A<同ω摆B，高由、a不＝同v摆2/r长知和vA摆>v角B。的圆锥摆，如图所示。
由T＝2π
h g
知摆高h相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，
由v＝ωr知vA>vB，由a＝ω2r知aA>aB。
二、水平面内圆周运动模型——圆锥摆
▲典型实例： 圆锥摆 火车转弯 飞机水平转弯
飞车走壁
点评：①临界值是圆周运动中经常考查的一个重点内容，它是物体在做圆周运动 过程中，发生质变的数值或使物体受力情况发生变化的关键数值，今后要注意对 临界值的判断和应用；②当θ很小时，sinθ≈tanθ≈θ。
课后练习：如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，且与圆盘
相对静止，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是( D )
特别提醒：汽车、摩托车赛道拐弯处，高速公路转弯处设计成外高内低，也是尽量使车 受到的重力和支持力的合力提供向心力，以减小车轮与路面之间的横向摩擦力。
铁路转弯处的圆弧半径是300 m，轨距是1.435 m，规定火车通 过这里的速度是72 km/h，内外轨的高度差应该是多大，才能使铁轨不受 轮缘的挤压？保持内外轨的这个高度差，如果车的速度 大于或小于72 km/h，会分别发生什么现象？说明理由。
代入上式得： ＝ ；所以内外轨的高度差为 h＝ ＝
m＝0.195 m。
L rg
rg 300×9.8
讨论：(1)如果车速v＞72 km/h(20 m/s)，F将小于需要的向心力，所差的力仍 需由外轨对轮缘的弹力来弥补。这样就出现外侧车轮的轮缘向外挤压外轨的现象。 (2)如果车速v＜72 km/h，F将大于需要的向心力。超出的力则由内轨对内侧车 轮缘的压力来平衡，这样就出现了内侧车轮的轮缘向外挤压内轨的现象。
专题2.3 水平面内的圆周运动(解析版)
2020年高考物理备考微专题精准突破专题2.3 水平面内的圆周运动【专题诠释】1．向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．2．向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．3．几种典型运动模型飞机水平转【高考领航】【2019·浙江选考】一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是（）A ．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B ．汽车转弯的速度为20 m/s 时所需的向心力为1.4×104 NC ．汽车转弯的速度为20 m/s 时汽车会发生侧滑D ．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s 2 【答案】D【解析】汽车转弯时受到重力，地面的支持力，以及地面给的摩擦力，其中摩擦力充当向心力，A 错误；当最大静摩擦力充当向心力时，速度为临界速度，大于这个速度则发生侧滑，根据牛顿第二定律可得2vf m r=，解得m/s v ====，所以汽车转弯的速度为20 m/s 时，所需的向心力小于 1.4×104 N ，汽车不会发生侧滑，BC 错误；汽车能安全转弯的向心加速度225607m/s 80v a r ===，即汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s 2，D 正确。
【2018·江苏卷】火车以60 m/s 的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s 内匀速转过了 约10°。
在此10 s 时间内，火车（ ）A ．运动路程为600 mB ．加速度为零C ．角速度约为1 rad/sD ．转弯半径约为3.4 km 【答案】AD【解析】圆周运动的弧长s =vt =60×10 m=600 m ，选项A 正确；火车转弯是圆周运动，圆周运动是变速运动，所以合力不为零，加速度不为零，故选项B 错误；由题意得圆周运动的角速度103.1418010t θω∆==⨯∆⨯ rad/s=3.14180 rad/s ，又v r ω=，所以601803.14v r ω==⨯ m=3439m ，故选项C 错误、D 正确。
圆周运动基本物理量、水平面内的圆周运动、离心现象(解析版)
圆周运动基本物理量、水平面内的圆周运动、离心现象导练目标导练内容目标1圆周运动基本物理量目标2水平面内的圆周运动(圆锥摆、圆筒、转弯模型和圆盘临界模型)目标3离心现象【知识导学与典例导练】一、圆周运动基本物理量1.匀速圆周运动各物理量间的关系2.三种传动方式及特点(1)皮带传动(甲乙)：皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等。
(2)齿轮传动(丙)：两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等。
(3)同轴传动(丁)：两轮固定在同一转轴上转动时，两轮转动的角速度大小相等。
3.向心力：(1)来源：向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
(2)公式：F n =ma n =m v 2r =mω2r =mr ·4π2T2=mr ·4π2f 2=mωv 。
1明代出版的《天工开物》一书中，有牛力齿轮(牛转翻车)的图画，如图所示，这说明勤劳勇敢的先辈们已经掌握了齿轮传动技术。
A 、B 两轮边缘质点做匀速圆周运动的半径分别为r 1、r 2(r 1>r 2)，A 、B 两轮边缘的齿轮数分别为N 1、N 2，N 1>N 2，在两轮转动过程中(不打滑)，下列说法正确的是()A.A、B两轮边缘质点的线速度大小之比v1：v2=r1：r2B.A、B两轮的转速之比n1：n2=N2：N1C.A、B两轮的角速度ω1：ω2=1：1D.A、B两轮边缘质点的向心加速度大小之比a1：a2=r2：r1【答案】BD【详解】A．A、B两轮是齿轮传动，边缘质点线速度大小相等，即v1:v2=1:1，A错误；:n2=N2:N1，B正确；B．两轮的周期之比T1:T2=N1:N2转速n∝1T所以两轮的转速之比n1C．由公式v=rω可知，两轮的角速度ω1:ω2=r2:r1，C错误；:a2=r2:r1，D正确。
水平面内的圆周运动
水平面内圆周运动的两种模型一、两种模型模型Ⅰ圆台转动类小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如图1所示．物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，圆台对小物块的静摩擦力(设最大静摩擦力等于摩擦力)提供小物块做圆周运动所需的向心力．水平面内，绳拉小球在圆形轨道上运动等问题均可归纳为“圆台转动类”．图1临界条件圆台转动的最大角速度ωmax=，当ω<ωmax时，小物块与圆台保持相对静止；当ω>ωmax时，小物块脱离圆台轨道．模型Ⅱ火车拐弯类如图2 所示，火车拐弯时，在水平面内做圆周运动，重力mg和轨道支持力N的合力F提供火车拐弯时所需的向心力．圆锥摆、汽车转弯等问题均可归纳为“火车拐弯类”．图2临界条件若v=，火车拐弯时，既不挤压内轨也不挤压外轨；若v>，火车拐弯时，车轮挤压外轨，外轨反作用于车轮的力的水平分量与F之和提供火车拐弯时所需的向心力；若v>，火车拐弯时，车轮挤压内轨，内轨反作用于车轮的力的水平分量与F之差提供火车拐弯时所需的向心力．二、两种模型的应用例1 如图3所示，半径为R的洗衣筒，绕竖直中心轴00'转动，小橡皮块P靠在圆筒内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ.现要使小橡皮块P恰好不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为多大?(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)图3 图4【解析】此题属于“圆台转动类”，当小橡皮块P绕轴00'做匀速圆周运动时，小橡皮块P受到重力G、静摩擦力f和支持力N的作用，如图4所示.其中“恰好”是隐含条件，即重力与最大静摩擦力平衡f max=G，μN=mg列出圆周运动方程N=mω2min R联立解得ωmin=例2 在半径为R的半球形碗的光滑内面，恰好有一质量为m的小球在距碗底高为H处与碗保持相对静止，如图5所示．则碗必以多大的角速度绕竖直轴在水平面内匀速转动?图5【解析】此题属于“火车拐弯类”，当小球做匀速圆周运动时，其受到重力G和支持力F的作用，如图5所示.隐含条件一是小球与碗具有相同的角速度ω，隐合条件二是小球做匀速圆周运动的半径r=Rcosθ．列出圆周运动方程Fcosθ=mω2Rcosθ竖直方向上由平衡条件有Fsinθ-mg=0其中 sinθ=联立解得ω=例3 长度为2l的细绳，两端分别固定在一根竖直棒上相距为l的A、B两点，一质量为m的光滑小圆环套在细绳上，如图6所示．则竖直棒以多大角速度匀速转动时，小圆环恰好与A点在同一水平面内?图6【解析】此题属于“火车拐弯类”，当小圆环做匀速圆周运动时，小圆环受到重力G、绳OB的拉力F和绳OA的拉力F的作用，如图7所示图7隐含条件一是小圆环与棒具有相同角速度ω，隐含条件二是小圆环光滑，两侧细绳拉力大小相等，隐含条件三是小圆环做匀速圆周运动的圆心为A点、半径为r(OA)．列出圆周运动方程 F+Fcosθ=mω2r由平衡条件有 Fsinθ-mg=0其中 cosθ=，sinθ=联立解得ω=小试身手1、如图8所示，质量均为m的A、B两物体用细绳悬着，跨过固定在圆盘中央光滑的定滑轮．物体A与圆盘问的动摩擦因数为μ，离圆盘中心距离R．为使物体A与圆盘保持相对静止，则圆盘角速度ω的取值范围为多少？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）图82、如图9所示，长度分别为l1和l2两细绳OA、OB，一端系在竖直杆，另一端系上一质量为m的小球，两细绳OA和OB同时拉直时，与竖直杆的夹角分别为30°、45°.则杆以多大角速度转动时，两细绳同时且始终拉直？图9。
第18讲 水平面内的圆周运动(圆锥摆模型)及其临界问题(原卷版)
第18讲水平面内的圆周运动（圆锥摆模型）及其临界问题1．（江苏高考）如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（）A．A的速度比B的大B．A与B的向心加速度大小相等C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小一.知识总结1．圆周运动相关物理量3.匀速圆周运动与变速圆周运动的区别与联系匀速圆周运动变速圆周运动运动特点线速度的大小不变，角速度、周期和频率都不变，向心加速度的大小不变线速度的大小、方向都变，角速度变，向心加速度的大小、方向都变，周期可能变也可能不变受力特点所受到的合力为向心力，大小不变，方向变，其方向时刻指向圆心所受到的合力不总指向圆心，合力产生两个效果：①沿半径方向的分力F n，即向心力，它改变速度的方向；②沿切线方向的分力F t，它改变速度的大小运动性质非匀变速曲线运动(加速度大小不变，方向变化)非匀变速曲线运动(加速度大小、方向都变化)二. 圆锥摆模型及其临界问题1.圆锥摆模型的受力特点受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
2．运动实例运动模型向心力的来源图示飞机水平转弯火车转弯圆锥摆物体在光滑半圆形碗 内做匀速圆周运动3．解题方法(1)对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。
(2)确定圆心和轨道半径。
(3)应用相关力学规律列方程求解。
4．规律总结 (1)圆锥摆的周期如图摆长为L ，摆线与竖直方向夹角为θ。
受力分析，由牛顿第二定律得：mg tan θ＝m 4π2T 2rr ＝L sin θ解得T ＝2πL cos θg ＝2πh g 。
(2)结论①摆高h ＝L cos θ，周期T 越小，圆锥摆转得越快，θ越大。
②摆线拉力F ＝mgcos θ，圆锥摆转得越快，摆线拉力F 越大。
③摆球的加速度a ＝g tan θ。
水平面内圆周运动的临界问题和竖直平面内圆周运动的轻绳轻杆模型
0～2
3
3 mg
审 题 设 疑
1.转速为零时,OA、AB拉力大小各怎样 2.随转速增大,OA、AB绳拉力大小如何变化 3.当转速增大到某值时,两绳拉力会有何突变
转 解析
➢3.规律方法
反思总结 解答水平面内匀速圆周运动临界问题的一般思路
1．判断临界状态：认真审题,找出临界状态． 2．确定临界条件：分析该状态下物体的受力特点. 3．选择物理规律：临界状态是一个分水岭,岭的两边连接着
解析 要使小球恰能到达 P 点，由机械 能守恒定律有：mv2/2＝mg·2L，可知它 在圆周最低点必须具有的速度为
v≥2 gL，而 92gL＞2 gL，所以小球 能到达 P 点；由机械能守恒定律可知小
球到达 P 点的速度为
1 2gL
；
由
于
12gL＜ gL，则小球在 P 点受到轻杆
向上的弹力。
答案 C
其半径 ρ 叫做 A 点的曲率半径. 现将一物体沿与水平面成 α 角的方向以
速度 v0 抛出，如图(b)示，则在其轨迹最高点 P 处的曲率半径是( )
A.
v20 g
B.
v20sin2α g
C.
v20cos2α g
D.
v20cos2α gsinα
解析：本题考查了斜抛运动和圆周运动的有关知识. 由题意可知，物体在
第四章 曲线运动 万有引力与航天
热点突破二： 水平面内圆（ZHOU）
运动的临界问题
➢ 1.热点透析 ➢ 2.典例剖析 ➢ 3.规律方法 ➢ 4.跟踪训练
➢1.热点透析
题
水平面内圆（ZHOU）运动的临界极
型 分
1.与摩值擦问力题有关的临界问题
类 2.与弹力有关的临界问题
专题：水平面内的圆周运动
水平面内的圆周运动一、水平圆盘问题例1、水平圆盘以角速度ω匀速转动,距转动轴L的位置有一小物块与圆盘相对静止,小物块的向心加速度多大所受摩擦力多大对接触面有什么要求离轴近的还是远的物体容易滑动练习：质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点和端点,当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时,求杆的OA段和AB段对小球的拉力之比;O A例2、中心穿孔的光滑水平圆盘匀速转动,距转动轴L的位置有一质量为m的小物块A通过一根细线穿过圆盘中心的光滑小孔吊着一质量为M的物体B,小物块A与圆盘相对静止,求盘的角速度;°变式：若圆盘上表面不光滑,与A的动摩擦因数为μ,则圆盘角速度的取值范围是多少例3、在半径为r的匀速转动的竖直圆筒内壁上附着一物块,物块与圆筒的动摩擦因数为μ,要使物块不滑下来,圆筒转动的角速度应满足什么条件例4、长为L的细线悬挂质量为M的小球,小球在水平面内做匀速圆周运动,细线与竖直方向夹角为θ,求1小球的角速度;2小球对细线的拉力大小;变式：一个光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定,质量为m的小球沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动,圆锥母线与轴线夹角为θ,小球到锥面顶点的高为h,1小球的向心加速度为多少2对圆锥面的压力为多大3小球的角速度和线速度各为多少·θ思考：小球的向心加速度与小球质量有关吗与小球的高度有关吗若有两个小球在同一光滑的圆锥形筒内转动,A球较高而B球较低,试比较它们的向心加速度、对圆锥面的压力、线速度、角速度大小;二、临界问题例5：如图所示,洗衣机内半径为r 的圆筒,绕竖直中心轴OO ′转动,小物块a 靠在圆筒的内壁上,它与圆筒的动摩擦因数为μ,现要使a 不下落,则圆筒转动的角速度ω至少为A ．r g /μB ．g μC ．r g /D ．r g μ/例6：如图所示,细绳一端系着质量M ＝的物体,静止在水平桌面上,另一端通过光滑的小孔吊着质量m ＝的物体 m,已知M 与圆孔距离为,M 与水平面间的最大静摩擦力为2N;现使此平面绕中心轴线转动,问角速度ω在什么范围m 会处于静止状态g ＝10m ／s 2例7、如图所示,两根相同的细线长度分别系在小球和竖直杆M 、N 两点上,其长度分别为L 、R 且构成如图一个直角三角形,小球在水平面内做匀速圆周运动,细线能承受的最大拉力为2mg,当两根细线都伸直时,若保持小球做圆周运动的半径不变,求：小球的角速度范围变式、如图所示,两根相同的细线长度分别系在质量为m 的小球和竖直杆M 、N 两点上;小球在水平面内做匀速圆周运动,当两根细线都伸直时,小球到杆的距离为R,且细线与杆的夹角分别为θ和α,承受的最大拉力为2mg,若保持小球做圆周运动的半径不变,求：小球的角速度范围三、两个或多个物体的圆周运动例4：如图所示,A 、B 、C 三个物体放在水平旋转的圆盘上,三物与转盘的最大静摩擦因数均为μ,A 的质量是2m ,B 和C 的质量均为m ,A 、B 离轴距离为R ,C 离轴2R ,若三物相对盘静止,则A ．每个物体均受重力、支持力、静摩擦力、向心力四个力作用B ．C 的向心加速度最大 C ．B 的摩擦力最小D ．当圆台转速增大时,C 比B 先滑动,A 和B 同时滑动例5：在光滑杆上穿着两个小球m 1、m 2,且m 1=2m 2,用细线把两球连起来,当盘架匀速转动时,两小球刚好能与杆保持无相对滑动,如右图所示,此时两小球到转轴的距离r 1与r 2之比为A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．1∶2四、课后作业1．在水平面上转弯的汽车,提供向心力的是A ．重力与支持力的合力B ．静摩擦力Mr o mgR v ≤μC ．滑动摩擦力 D ．重力、支持力、牵引力的合力 2．有长短不同,材料相同的同样粗细的绳子,各拴着一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动,那么A ．两个小球以相同的线速度运动时,长绳易断B ．两个小球以相同的角速度运动时,长绳易断C ．两个球以相同的周期运动时,短绳易断D ．不论如何,短绳易断3．在一段半径为R 的圆孤形水平弯道上,已知弯道路面对汽车轮胎的最大静摩擦力等于车重的μ倍,则汽车拐弯时的安全速度是A ．v gR ≤μ B ． C ．v gR ≤2μ D ．v gR ≤μ 4．如图所示,A 、B 、C 三个小物体放在水平转台上,m A =2m B =2m C ,离转轴距离分别为2R A =2R B =R C ,当转台转动时,下列说法正确的是A ．如果它们都不滑动,则C 的向心加速度最大B ．如果它们都不滑动,则B 所受的静摩擦力最小C ．当转台转速增大时,B 比A 先滑动D ．当转台转速增大时,C 比B 先滑动5．如图所示,甲、乙两名滑冰运动员,M 甲=80kg,M 乙=40kg,面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演,两人相距,弹簧秤的示数为600N,下列判断中正确的是A ．两人的线速度相同,约为sB ．两人的角速度相同,约为5rad/sC ．两人的运动半径相同,都是D ．两人的运动半径不同,甲为,乙为6．汽车在倾斜的轨道上转弯如图所示,弯道的倾角为θ,半径为r ,则汽车完全不靠摩擦力转弯的速率是设转弯半径水平A ．θsin grB ．θcos grC ．θtan grD ．θcot gr7．一辆质量为1t 的赛车正以14m/s 的速度进入一个圆形跑道,已知跑道半径为50m,最大静摩擦力约等于滑动摩擦力,则：1此赛车转弯所需的向心力是多大2当天气晴朗时,赛车和路面之间的摩擦系数是,问比赛过程中赛车是否能顺利通过弯道3在雨天时,赛车和路面之间的摩擦系数是,问比赛过程中赛车是否能顺利通过弯道8．水平圆盘绕竖直轴以角速度ω匀速转动;一个质量为50kg 的人坐在离轴r=m/3处随盘一起转动;设人与盘的最大静摩擦力均为体重的倍,g取10 m/s2,求：1ω为多大时,人开始相对盘滑动;2此时离中心ｒ′= m处的质量为100kg的另一个人是否已相对滑动请简述理由;。
《水平面内的圆周运动》 知识清单
《水平面内的圆周运动》知识清单一、什么是水平面内的圆周运动在水平面上，一个物体沿着圆周轨迹运动，这种运动就被称为水平面内的圆周运动。
比如，在光滑水平桌面上用绳子拴着一个小球做圆周运动，或者汽车在水平弯道上行驶等，都是常见的水平面内圆周运动的例子。
二、水平面内圆周运动的受力特点要使物体在水平面内做圆周运动，必须有一个指向圆心的合力来提供向心力。
这个向心力可以由一个力单独提供，也可以由几个力的合力来提供。
当只有一个力提供向心力时，比如用绳子拴着小球在水平面上做圆周运动，绳子的拉力就提供了向心力。
如果是几个力的合力提供向心力，比如汽车在水平弯道上行驶，汽车受到的重力和支持力相互平衡，而地面给汽车的摩擦力就提供了向心力，使得汽车能够沿着弯道做圆周运动。
三、向心力的表达式向心力的大小可以用以下公式来计算：＼（F_{向} ＝ m\frac{v^｛2}｝｛r}＼），其中＼（m\）是物体的质量，＼（v\）是物体做圆周运动的线速度，＼（r\）是圆周运动的半径。
或者＼（F_{向} ＝mω^｛2}r\），其中＼（ω\）是物体做圆周运动的角速度。
四、线速度与角速度的关系在水平面内的圆周运动中，线速度＼（v\）和角速度＼（ω\）之间存在着密切的关系，即＼（v ＝ωr\）。
线速度是物体在圆周运动中经过的弧长与所用时间的比值，它描述了物体在圆周上运动的快慢。
角速度是物体在单位时间内转过的角度，它反映了物体转动的快慢。
五、常见的水平面内圆周运动实例1、圆锥摆运动一个小球用一根长为＼（L\）的细线悬挂起来，在水平面内做圆周运动。
此时，小球受到重力和绳子的拉力，拉力在水平方向的分力提供了向心力。
向心力大小为＼（F_{向} ＝mgtanθ\），根据向心力的表达式＼（F_{向} ＝mω^｛2}r\），可以得出角速度＼（ω ＝＼sqrt{＼frac{gtanθ}｛Lcosθ}｝＼）。
2、汽车在水平弯道上行驶汽车在弯道上行驶时，为了避免侧滑，弯道通常会有一定的倾斜角度。
水平面内的圆周运动的临界问题
水平面内的圆周运动的临界问题在我们的日常生活中，圆周运动其实无处不在。
不论是你坐在过山车上，还是看见小朋友在操场上旋转的秋千，这些都涉及到一种有趣的物理现象——圆周运动。
今天，我们来聊聊这个问题的一个特别的方面，叫做“临界问题”。
好啦，下面就跟我一起看看，什么是水平面内的圆周运动的临界问题吧！1. 什么是圆周运动？首先，我们得搞清楚什么是圆周运动。
简单来说，就是物体沿着一个固定的圆形路径运动。
想象一下你在玩转盘，转盘上的任何一点都会绕中心点做圆周运动。
在这种运动中，物体一直在不断地改变方向，这就是它看起来总是朝着不同的方向移动的原因。
1.1 圆周运动的基本原理要理解这个运动，我们需要知道几个基本的概念。
首先，物体在圆周上运动时，始终受到一个指向圆心的力，这个力叫做向心力。
比如说你在甩鞭子，鞭子的末端就是靠这个向心力“拉住”不让它飞出去的。
再有，圆周运动中还有个叫做“角速度”的东西，它代表了物体绕圆心转的快慢。
角速度越大，物体转得越快；反之，就慢一些。
1.2 临界问题是什么？接下来，我们进入正题：临界问题。
简单说，临界问题就是当圆周运动达到某个临界点时，物体就会发生一些特殊的行为。
这个“临界点”可以是速度、力量或者其他因素。
这个问题不仅在科学上很有意思，而且在实际应用中也很重要，比如赛车、过山车等等。
2. 临界问题的具体分析2.1 如何理解临界点临界点可以理解为物体在圆周运动中，刚好处于某种临界状态。
在这个状态下，任何微小的变化都有可能导致物体的运动状态发生突变。
举个简单的例子，当你在滑冰时，速度太快或者太慢都可能让你失去平衡，这就是因为你处于一个临界点。
2.2 临界问题的影响在实际生活中，临界问题常常影响着安全和稳定性。
比如在过山车的设计中，工程师们必须非常精确地计算临界点，确保乘客在经历高速旋转时不会飞出轨道。
再比如，当你开车过急弯时，也要小心，超出临界点可能会让车子打滑，发生危险。
3. 解决临界问题的方法3.1 计算和测试为了避免出现临界问题，我们需要通过计算和测试来找出安全范围。
水平面内圆周运动的临界问题
从静到动，从动到静
例1：
（单选）
C
小结：抓住拉力达到最大值
例2：
（多选）
ABC
小结：抓住从静到动的临界点，摩擦力达到最大静摩擦力
练习1
（单选）
C
例3：
小结：拉力为定值，静摩擦力变化。抓住摩擦力达到最大静摩擦
练习2：
水平面内圆周运动的临界问题
圆周运动解题步骤：
认清研究对象
分析物体的运动情况 分析物体受力情况 确定向心力的来源
Байду номын сангаас
列公式： 2 2 2 2 2 v 2 r 4m2v mv4 2 r 24 2 2 2F 2 m 心m 2 rr m 4 2 fmr4 mr m 4 f r m 心 v m ar 心 m F F m 心 F向 m r T r rT T2 临界问题:
3
Tmax 1 mg 8 1 6rad/s mr 1 0.25
T m 2 r 1mg 0.25 2 1 [4,6]
小结：多物体、拉力、静摩擦力变化。抓住各物体达到最大静摩擦力，拉力达到最大值。 注意各个临界值达到的顺序，和物体飞出对拉力的影响。
1 1 g
r
T 0
m r 2 mg
2 2
1 2rad/s 0.25
[0, 2]
2
2 g 4 4rad/s r 0.25
T 2m 2 r 1 2mg 0.5 2 2 [2, 4]
T 2m12 r 2 2mg 2 42 0.25 2 6N < 8N
水平面内的圆周运动实例分析总结
水平面内的圆周运动实例分析总结水平面内的圆周运动，顾名思义即为物体在水平面内所作的圆周运动。
在生活中这样的例子很多，其运动的分析在高中物理中也是比较重要的，对学生来说也存在着一定的难度。
其实做这方面的习题时，关键是找出是什么力来提供的向心力，将受力分析所得的实际力与理论公式中的向心力联立，就可以得到所需要求的物理量。
现将常见的水平面内的圆周运动归结如下：一、水平面内汽车转弯、物体随转盘转动：某个力提供向心力在上述两个问题中，物体都处于水平接触面上，竖直方向的支持力和重力两者互相抵消，而物体作圆周运动时都有着被向外甩出的趋势，所以向心力都是由静摩擦力提供，即f静=Fn=。
从公式还可以看出，r一定时，v越大，所需的Fn 就会越大，当所需的Fn>Fmax时,物体将不能再作圆周运动。
临界Fmax=≈F动=μmg，所以v临=μgr。
当v>v临，物体将被甩出。
二、火车转弯、漏斗内物体的圆周运动、圆锥摆类，向心力由几个力的合力提供虽然这几种情况描述的物体运动形式不同，但从受力分析上看非常相似，都是除受到竖直向下的重力之外，再受到一个倾斜的支持力或拉力。
因为物体在水平面上作圆周运动需要水平方向的向心力，所以支持力或拉力与重力的合成后的合力提供向心力，向心力大小可以通过三角形三边关系解得。
练习：1.一辆质量为2t的汽车正在水平路面上行驶，要经过一个水平转弯，已知弯道的转弯半径为20米，汽车轮子与路面的动摩擦因数为0.2，若汽车最大静摩擦力与动摩擦力相等，则汽车行驶的最大速度为（）。
A.２10m/sB.2m/sC.4m/sD.22m/s2.如图所示，有A、B两个完全相同的小球，在同一光滑漏斗中作匀速圆周运动，则下列说法中正确的是（）。
A、两物体的线速度的大小相同B、两物体的角速度相同C、两物体的向心力的大小相同D、两物体的向心加速度大小相同3.一列火车正在行驶，发现前方有一转弯，已知在转弯处的内外轨的高度差为h,内外轨道间距为L，弯道半径为r，则火车要想通过此弯道时不受内外轨道的挤压，应以速度_____转弯。
水平面内的匀速圆周运动
1.在水平面上转弯的汽车，向心力是( B ) 在水平面上转弯的汽车，向心力是 在水平面上转弯的汽车 A.重力和支持力的合力 重力和支持力的合力 B.静摩擦力 静摩擦力 C.滑动摩擦力 滑动摩擦力 D.重力、支持力和牵引的的合力 重力、 重力
2.如图，圆锥摆摆长为L，摆角为 ，质且为 的 如图，圆锥摆摆长为 ，摆角为α，质且为m的 如图 摆球在水平面内作匀速圆周运动， 摆球在水平面内作匀速圆周运动，则( AD ) A.摆线的拉力为 摆线的拉力为mg/cosα 摆线的拉力为 B.摆球的向心加速度为 摆球的向心加速度为gcosα 摆球的向心加速度为 C.其周期为 其周期为2π 其周期为 D.其周期为 其周期为2π 其周期为
２．向心加速度： 向心加速度：
v 4π a =ω R = = 2 R R T
2 2 2
一、自行车拐弯问题
二、火车转弯问题：
1、内外轨道一样高时
FN
F
G
a：此时火车车轮受三个力：重力、支持力、外轨对轮缘的弹力。 此时火车车轮受三个力：重力、支持力、外轨对轮缘的弹力。 外轨对轮缘的弹力F提供向心力。 b：外轨对轮缘的弹力F提供向心力。 c：由于该弹力是由轮缘和外轨的挤压产生的，且由于火车质量 由于该弹力是由轮缘和外轨的挤压产生的， 很大，故轮缘和外轨间的相互作用力很大，易损坏铁轨。 很大，故轮缘和外轨间的相互作用力很大，易损坏铁轨。
A
θ
B
三、离心运动ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、离心运动： 做匀速圆周运动的 物体，在所受合力突然 消失，或者不足以提供 圆周运动所需的向心力 的情况下，就做逐渐远 离圆心的运动。这种运 动叫做离心运动。
2、物体作离心运动的条件：
F合 < F向 合 向
水平面内的圆周运动(解析版)
突破16 水平面内的圆周运动水平面内的圆周运动是指圆周运动的圆形轨迹在水平面内，出题多以生活中常见实例或水平圆周运动模型为例分析向心力及临界条件问题。
1. 水平面内圆周运动的“摩擦力模型”是指依靠静摩擦力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。
2. 水平面内圆周运动的“弹力模型”是指依靠弹力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。
3. 水平面内圆周运动的“圆锥摆模型”是指依靠弹力（细线拉力或倾斜面弹力）和物体重力的合力使物体在水平面内做匀速圆周运动。
解题技巧水平面内圆周运动临界问题的分析技巧在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势(半径有变化)，通常对应着临界状态的出现。
这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。
【典例1】铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为θ(如图所示)，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度小于gR tan θ，则( )A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压；B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压；C ．这时铁轨对火车的支持力等于mg /cos θ；D ．这时铁轨对火车的支持力大于mg /cos θ. 【答案】： A【典例2】 如图所示，内壁光滑的弯曲钢管固定在天花板上，一根结实的细绳穿过钢管，两端分别拴着一个小球A 和B 。
小球A 和B 的质量之比m A m B ＝12。
当小球A 在水平面内做匀速圆周运动时，小球A 到管口的细绳长为l ，此时小球B 恰好处于平衡状态。
钢管内径的粗细不计，重力加速度为g 。
求：(1)拴着小球A 的细绳与竖直方向的夹角θ；(2)小球A 转动的周期。
【答案】 (1)60° (2)π 2lg【典例3】 如图所示，两个质量均为m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l .木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g .若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )A. b 一定比a 先开始滑动B. a 、b 所受的摩擦力始终相等C. ω＝ kg2l是b 开始滑动的临界角速度 D. 当ω＝2kg3l时，a 所受摩擦力的大小为kmg 【答案】 AC【解析】 因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得f ＝mω2R ，由于小木块b 的轨道半径大于小木块a 的轨道半径，故小木块b 做圆周运动需要的向心力较大，B 项错误；因为两小木块的最大静摩擦力相等，故b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；当b 开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mω2b ·2l ，可得ωb ＝kg2l ，C 项正确；当a 开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg ＝mω2a l ，可得ωa ＝ kgl，而转盘的角速度2kg 3l < kgl，小木块a 未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力来提供，由牛顿第二定律可得f ＝mω2l ＝23kmg ，D 项错误。
水平面内圆周运动的模型和临界问题
水平面内圆周运动的模型和临界问题一、水平面内圆周运动的模型和临界问题1、模型：有水平转盘模型、圆锥筒、圆锥摆模型和火车转弯问题等。
2、临界问题：（1）静摩擦力产生的临界情况：在水平转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，则当转台的转速变化时，静摩擦力也会随之变化，当$F_f$达到最大值$F_{f\rm max}$时，对应有临界角速度。
解决这类问题一定要牢记“静摩擦力大小有个范围，方向可以改变”这一特点。
（2）与弹簧或绳连接的物体的临界情况：处理该类问题时关键是分析弹力的大小和方向的改变。
特别是有摩擦力参与的问题更需要和静摩擦力的特点相结合。
对于与弹簧连接的物体的圆周运动，当运动状态发生改变时，往往伴随着半径的改变，从而导致弹簧弹力发生变化。
分析时需明确半径是否改变，什么情况下改变，弹簧是伸长还是缩短等。
3、解决圆周运动中临界问题的一般方法：（1）对物体进行受力分析。
（2）找到其中可以变化的力以及它的临界值。
（3）求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值。
（4）用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、半径等）的临界值。
4、水平转盘模型的规律：物体离中心越远，越容易被“甩出去”。
5、圆锥筒模型的规律：稳定状态下小球所处的位置越高，半径越大，角速度就越小，线速度就越大，而小球受到的支持力和向心力并不随位置的变化而变化。
二、水平面内圆周运动的相关例题（多选）全国铁路大面积提速，给人们的生活带来便利。
火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损，为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是____A．适当减小内外轨的高度差B．适当增加内外轨的高度差C．适当减小弯道半径D．适当增大弯道半径答案：BD解析：设火车轨道平面的倾角为*α*时，火车转弯时内、外轨均不受损，根据牛顿第二定律有$mg\tanα=m\frac{v^2}{r}$，解得$v＝\sqrt{gr\tanα}$，所以，为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，可行的措施是适当增大倾角$α$(即适当增加内外轨的高度差)和适当增大弯道半径$r$。
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水平面内的圆周运动
一、向心力来源分析
例1：请分析以下圆周运动的向心力来源（作受力图说明）。
练习1：有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L
的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘
边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速
度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直
方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度
ω与夹角θ的关系。
2．如图所示，在匀速转动的圆桶内壁上紧靠者一个物体与圆桶一起运
动，物体所受的向心力是 （ ）
A ．重力
B ．弹力
C ．静摩擦力
D ．滑动摩擦力
二、临界问题
例2：如图所示，洗衣机内半径为r 的圆筒，绕竖直中心轴OO′转动，小物块
a 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要使a 不下落，
则圆筒转动的角速度ω至少为 （ ）
A ．r g /μ
B ．g μ
C ．r g /
D ．r g μ/
光滑的水平面
例3：如图所示，细绳一端系着质量M ＝0.6kg 的物体，静止在水平桌面上，另一端通过
光滑的小孔吊着质量m ＝0.3kg 的物体 m ，已知M 与圆孔距离为0.2m ，M 与水平面
间的最大静摩擦力为2N 。
现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m
会处于静止状态？（g ＝10m ／s 2）
三、两个或多个物体的圆周运动 例4：如图所示，A 、B 、C 三个物体放在水平旋转的圆盘上，三物与
转盘的最大静摩擦因数均为μ，A 的质量是2m ，B 和C 的质量均
为m ，A 、B 离轴距离为R ，C 离轴2R ，若三物相对盘静止，则 （ ）
A ．每个物体均受重力、支持力、静摩擦力、向心力四个力作用
B ．
C 的向心加速度最大
C ．B 的摩擦力最小
D ．当圆台转速增大时，C 比B 先滑动，A 和B 同时滑动
例5：在光滑杆上穿着两个小球m 1、m 2，且m 1=2m 2，用细线把两
球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相
对滑动，如右图所示，此时两小球到转轴的距离r 1与r 2之
比为 （ ）
A ．1∶1
B ．1∶2
C ．2∶1
D ．1∶2
M
r o
m
gR v ≤μ四、课后作业 1．在水平面上转弯的汽车，提供向心力的是 （ ）
A ．重力与支持力的合力
B ．静摩擦力
C ．滑动摩擦力
D ．重力、支持力、牵引力的合力
2．有长短不同，材料相同的同样粗细的绳子，各拴着一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，那么 （ ）
A ．两个小球以相同的线速度运动时，长绳易断
B ．两个小球以相同的角速度运动时，长绳易断
C ．两个球以相同的周期运动时，短绳易断
D ．不论如何，短绳易断
3．在一段半径为R 的圆孤形水平弯道上，已知弯道路面对汽车轮胎的最大静摩擦力等于车重的μ倍，则汽车拐弯时的安全速度是 （ ）
A ．
v gR ≤μ B ． C ．v gR ≤2μ D ．v gR ≤μ 4．如图所示，A 、B 、C 三个小物体放在水平转台上，m A =2m B =2m C ，离转轴距离分别为2R A =2R B =R C ，当转台转动时，下列说法正确的是 （ ）
A ．如果它们都不滑动，则C 的向心加速度最大
B ．如果它们都不滑动，则B 所受的静摩擦力最小
C ．当转台转速增大时，B 比A 先滑动
D ．当转台转速增大时，C 比B 先滑动
5．如图所示，甲、乙两名滑冰运动员，M 甲=80kg ，M 乙=40kg ，面对
面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，两人相距0.9m ，弹簧秤的
示数为600N ，下列判断中正确的是 （ ）
A ．两人的线速度相同，约为0.4m/s
B ．两人的角速度相同，约为5rad/s
C ．两人的运动半径相同，都是0.45m
D ．两人的运动半径不同，甲为0.3m ，乙为0.6m
6．汽车在倾斜的轨道上转弯如图所示，弯道的倾角为θ，半
径为r ，则汽车完全不靠摩擦力转弯的速率是（设转弯半
径水平） （ ）
A ．θsin gr
B ．θcos gr
C ．θtan gr
D ．θcot gr
7．一辆质量为1t 的赛车正以14m/s 的速度进入一个圆形跑道，已知跑道半径为50m ，最大静摩擦力约等于滑动摩擦力，则：
（1）此赛车转弯所需的向心力是多大？
（2）当天气晴朗时，赛车和路面之间的摩擦系数是0.60，问比赛过程中赛车是否能顺
利通过弯道？
（3）在雨天时，赛车和路面之间的摩擦系数是0.25，问比赛过程中赛车是否能顺利通
过弯道？
8．水平圆盘绕竖直轴以角速度ω匀速转动。
一个质量为50kg 的人坐在离轴31=r m 处随盘一起转动。
设人与盘的最大静摩擦力均为体重的0.3倍，g 取10 m/s 2，求：
（1）ω为多大时，人开始相对盘滑动。
（2）此时离中心ｒ′=0.4 m 处的质量为100kg 的另一个人是否已相对滑动？请简述理由。
9．如图所示，水平转盘的中心有一竖直的小圆筒，质量为m 的物体A 放在转盘上，A 到竖直圆筒中心的距离为r 。
物体A 通过轻绳跨过无摩擦的滑轮与物体B 相连，B 与A 的质量相同，物体A 与转盘间的最大静摩擦力与正压力之比为μ（μ<1），则转盘转动的角速度ω在什么范围内，物体A 才能随盘转动?。