有理数简便运算技巧(十五法)
有理数简便运算与技巧
有理数简便运算与技巧有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。
现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()69=+- 3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++- 1002282=+- 12282=- 40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。
解：原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 009=++ 9=。
四、组合将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：55115521012249186---+。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5171386=- 13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭ 11221212=+=。
例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯ 0=。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()32844⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭283=-+ 25=-。
有理数的运算技巧
６ ４
九、 裂项相消
原 式 ＝ （ 一 丢＋ ２ ３ 一 ＋ ） × ［ ２ ４ ５ — ２ ９ ＋ 手 ） 】 ＝ （ 一 丢＋ 手 一 ＋ ） × ２ ４ × ＝ 一 丢×
２ ４ ＋ 手× ２ ４ 一 × ２ ４ ＋ × ２ ４
＝一１ ０＋１ ６ —２ ０ ＋９ ：一５
与 － ６
分母 相 同； 一 １ ． ７ ４与 － ８ ． ２ ６
（ 一 １ ） ÷ （ 一 ２ ０ ０ ９ １ ） × （ ３ ． ７ ５ — ３ ｝ ） ＋ （ ＿ １ ） 姗 ．
原式 ＝ ０ ＋ （ 一 １ ） ＝ 一 １ ． 六、 逆用分配律
・ ． ．
‘
解： 原式＝ ： ＝ ［ （ 一 １ １ ～ ） ＋ １ １ 一 】 ＋ ６ ＋［ ７ 一十 ，
｜ ｜
点评 ： 在进 行有理数 的乘法运算 时， 常用的 技巧 有将可 以约分 的分数 结合相乘 ，互 为倒数
解 ： ‘ ． ’ （ 一 一 ＿ ２ 『 。 ｉ － ｝ ） ÷ 古 （ 一 １一 一 ２ ｑ ＿ ） × １ ２
＝
３
一
： 的 两数 结合 相 乘 ，积 为 １ ０的倍数 的数 结合 相
２ ４ × ２ ＋ ２ ４ × 争 ）
分析 ：通过细心观察算 式的数值 之 间的关
系 ， 可 先 对 第 ２个 括 号 逆 用 乘 法 分 配 律 简便 运
“
一 —
１
一
—
算后 ， 对第 １ 个括 号正 用乘 法分 配律 ， 再次进 行 简便 运算 ， 使 问题 快速 获解．
＿” ｌ
＝－２ －８ ＋３一 －７．
一 西 西 １ ÷ （ 一 １ 一 手 ＋ ’ ｝ ） ＝ ‘ 一 手 ． 。
有理数简便运算与技巧之欧阳文创编
有理数简便运算与技巧有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。
现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ 3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++-40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。
解：原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦9=。
四、组合将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：55115521012249186---+。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 11221212=+=。
例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯0=。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25=-。
七、变序运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭ 解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。
有理数的混合运算有理数乘除、乘方运算技巧多
有理数乘除、乘方运算技巧多有理数乘除、乘方运算是七年级数学的重点内容之一，是学习其它知识必不可少的基础，也是同学们难以掌握时常出错的难点，在进行有理数乘除、乘方运算时，若能根据算式的结构特征，选择适当的方法，灵活应用运算律和运算法则，可使问题化繁为简，化难为易，运算过程迅捷简便，收到事半功倍的奇效。
现略举几例说明如下，供同学们参考：一、应用乘法交换律、结合律例1、计算：431)8()74()25.0(⨯-⨯-⨯- 解析：根据算式的数值之间的关系：2)8()25.0(=-⨯-，14774431)74(-=⨯-=⨯-应用乘法交换律、结合律，可使问题化繁为简，迅捷可解。
431)8()74()25.0(⨯-⨯-⨯-=2)1(2]47)74)][(8()25.0[(-=-⨯=⨯--⨯- 二、应用乘法分配律例2、计算：)32143612851()48(-+-⨯- 解析：同样，若按运算顺序，先算小括号里面的，复杂繁琐，而根据算式的数值之间的关系，应用乘法分配律，则可使运算过程迅捷简便，迎刃而解。
)32143612851()48(-+-⨯-=354843486134881348⨯+⨯-⨯+⨯- =70803610478=+-+-三、逆用乘法分配律例3、计算：58.074)13(417358.04313⨯--⨯+⨯-⨯- 解析：此题逆用乘法分配律，可使问题化繁为简，迅捷获解58.074)13(417358.04313⨯--⨯+⨯-⨯-=)7473(58.0)4143()13(+⨯-+⨯- =58.1358.013-=--四、正逆巧用乘法分配律例4、计算：)322492249524()836532125(⨯+⨯-⨯⨯+-+- 解析：通过细心观察算式的数值之间的关系，可先对第2个括号逆用乘法分配律，简便运算后，再对第1个括号正用乘法分配律，再次进行简便运算，使问题巧妙获解。
)322492249524()836532125(⨯+⨯-⨯⨯+-+-=124)836532125()]329295(24[)836532125(⨯⨯+-+-=+-⨯+-+- =5920161024832465243224125-=+-+-=⨯+⨯-⨯+⨯- 五、巧用乘法运算律例5、计算：2111237)317713(723÷⨯-⨯ 解析：若按有理数混合运算的顺序进行计算，相当麻烦，而根据算式结构特点，先用乘法交换律、结合律，再用乘法分配律，可使运算简便快捷2111237)317713(723÷⨯-⨯=2122237)322722(723÷⨯-⨯ =473222132222217222221)322722(237723-=-=⨯-⨯=⨯-⨯⨯ 六、逆用幂的运算法则例6、计算：20072006)8()125.0(-⋅- 解析：算式的数值之间的关系是1)8()125.0(=-⨯-，因此逆用幂的运算法则n m n m a a a ⋅=+及n n n ab b a )(=，可使问题化难为易，巧妙获解。
有理数简便运算技巧(十五法)
有理数轻便运算技能（十五法）有理数是代数的入门,又是难点,是中学数学中一切运算的基本.进行有理数的运算时,若能依据标题标特点,留意采取运算技能,不单能化繁为简,并且会妙趣横生,新鲜新鲜.现举例介绍有理数运算中的几个经常应用技能.一.归类将同类数（如正数或负数）归类盘算. 例1二.凑整 将和为整数的数联合盘算.例2.三.对消将相加得零的数联合盘算. 例3四.组合将分母雷同或易于通分的数联合.例4 盘算：..五.分化将一个数分化成两个或几个数之和的情势,或分化为它的因数相乘的情势.例5六.转化将小数与分数或乘法与除法互相转化. 例6：盘算：例8 盘算：.七.变序应用运算律转变运算次序. 例8. .八.约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简..九.逆用正难则反,逆用运算律转变次序. 例11 盘算：.十.不雅察依据,不雅察算式特点查找运算成果为0.1.例12解： 3.753-原式(0=+-十一.变量调换经由过程引入新变量转化命题构造,如许不单可以削减运算进程,还有利于查找接题思绪,个中的新变量在解题进程中起到桥梁感化．例6(0.125． 解：设则(0.125(b= 1．评析：此题横看纵看都显得比较庞杂,但若细心不雅察,全部式子可分为三个部分：是以,采取变量调换就大大削减了盘算量． 十二.倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时,常依据所求式构造,采取倒序相加减的办法把问题简化．例8 ＋＋＋…＋．①解：把①式括号内倒序后,得：＋＋＋…＋②①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770,＋＋＋…＋．评析：显然,此类问题是不克不及“硬算”的,倒序相加可进步运算速度,下降庞杂程度．十三.添数配对例9 盘算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1,依次与各数配对相加,得：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．= 20＋200＋2×2×2×(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)= 2222222220－45= 2222222175．评析：添数配对本质上也是一种凑整运算．十四.整体换元对于较庞杂的算式直接运算很艰苦,若能抓住其特点,应用整体运算的思维,创造性地加以解决,就能收到事半功倍的后果．例10 盘算1解;设1①则①×(②①－②,得1解得故1十五.分组搭配不雅察所求算式特点,奇妙应用分组搭配处理,可以简化运算．例7 盘算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)= 0＋0＋0＋…＋0= 0．评析：这种分组运算的进程,本质上是奇妙地添括号或去括号问题．。
有理数的加减运算顺序有理数加减混合运算的步骤有理数加减混合运算法则
有理数加减混合运算的步骤（1）把减法转化为加法，写成省略加号和括号的形式；（2）应用加法的交换律与结合律，简化运算；（3）求出结果。
有理数的加减运算顺序：1.同级运算从左往右（从左往右算）2.异级运算先二后一（先算二级运算，再算一级运算，×、÷为二级，+、为一级）3.有括号的先里后外（先算括号里的，再算括号外的）有理数加减混合运算法则：（一）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（二）异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
（三）一个数同0相加，仍得这个数。
有理数加减混合运算：有理数加法运算总是涉及两个方面：一方面是确定结果的符号，另一方面是求结果的绝对值。
步骤：①减法化加法②省略加号和括号③运用加法法则，加法运算律进行简便运算。
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
注：在运用减法法则时，注意两个符号的变化，一是运算符号，减号变成加号，二是性质符号，减数变成它的相反数。
有理数的加减混合运算加减混合运算可以通过减法法则，将减法化加法，统一为加法运算。
有理数的加减法运算法则及顺口溜同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
接下来给大家分享有理数的加减法运算法则及顺口溜。
有理数加减运算法则（1）同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
（2）异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
（3）互为相反数的两数相加得0。
（4）一个数同0相加仍得这个数。
（5）互为相反数的两个数，可以先相加。
（6）符号相同的数可以先相加。
（7）分母相同的数可以先相加。
（8）几个数相加能得整数的可以先相加。
有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。
有理数运算法则口诀
有理数的运算法则可以通过一些简单的口诀来记忆。
有理数的加法运算法则是“同号相加一边倒；异号相加“大”减 “小”,符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好”。
具体来说，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为0。
有理数的减法运算法则是“减正等于加负，减负等于加正”。
有理数的乘法运算法则是“符号法则：同号得正，异号负，一项为零积是零”。
合并同类项的法则为“只求系数代数和，字母指数留原样”。
去、添括号的法则为“去括号或添括号，关键要看连接号。
扩号前面是正号，去添括号不变号。
括号前面是负号，去添括号都变号”。
有理数的乘法简便运算(采用)
目
CONTENCT
录
• 有理数乘法的基本概念 • 有理数乘法的简便运算方法 • 有理数乘法简便运算的实例 • 有理数乘法简便运算的注意事项 • 有理数乘法简便运算的应用
01
有理数乘法的基本概念
有理数乘法的定义
Байду номын сангаас01
有理数乘法定义为：设两个有理数 为a/b和c/d，则它们的乘积为(a/b) * (c/d) = (a*c)/(b*d)。
乘法结合律的应用
总结词
乘法结合律是数学中的基本运算定律之一，它允许我们改变乘法表达式的分组 方式，而不改变表达式的值。
详细描述
乘法结合律是指对于任意有理数a、b和c，有(a+b)×c=a×c+b×c。这个定律在 有理数的乘法简便运算中也非常重要，它允许我们以不同的方式组合和重新组 合乘法表达式，以便更好地简化计算过程。
02
有理数乘法的简便运算方法
乘法分配律的应用
总结词
乘法分配律是数学中的基本运算定律之一，它允许我们将一个乘 法表达式拆分成几个部分，然后分别进行计算。
详细描述
乘法分配律是指对于任意有理数a、b和c，有a×(b+c)=a×b+a×c。 这个定律在有理数的乘法简便运算中非常有用，可以帮助我们将一 个复杂的乘法问题分解成几个更简单的部分，从而简化计算过程。
化学计算
在化学计算中，有理数的乘法简便运算可以 帮助我们快速计算出质量、浓度等数值。
THANK YOU
感谢聆听
在数学问题解决中的应用
代数问题
在解决代数问题时，有理数的乘法简 便运算可以帮助我们简化计算过程， 快速得出结果。
几何问题
在解决几何问题时，有理数的乘法简 便运算可以帮助我们计算面积、周长 等数值。
有理数运算技巧十五招
有理数运算技巧十五招一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()69=+- 3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++-1002282=+- 12282=- 40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3计算：()()()5464332+-++++-+-。
原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 009=++ 9=。
四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：55115521012249186---+。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5171386=-13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+=。
例6：计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯ 0=。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()32844⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭283=-+ 25=-七、变序运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。
专题1.5 有理数加减混合运算解题技巧和方法(知识梳理与考点分类讲解)-2024-2025学年七年级
专题1.5 有理数加减混合运算解题技巧和方法（知识梳理与考点分类讲解）纵观整个初中阶段，学生在重视数学思维的时候，对计算能力的培养往往不够，到了初三及中考时，往往在计算上正确率不高，或计算效率不高，这往往就是基础计算没有打牢，尤其是计算的方法和技巧不够，初一上学期，有多章计算题，对于很多在小学阶段计算薄弱的同学要特别注意，本篇主要介绍有理数加减混合运算中常见的技巧和方法，在计算过程中可以试着使用，会将一些稍复杂的计算简单化。
常见的有理数加减混合运算技巧与方法：【技巧1】相反数结合法互为相反数的两个数和为0，我们在计算时，可以将互为相反数的两个数先结合进行计算。
【技巧2】同号结合法在有理数的加减混合运算中，比小学多引入了负数的加减运算，有些同学在计算时会将减号与负号混淆，不知道如何计算，因此我们在计算时可以将同号相结合，最后再按照有理数的加减法则进行计算。
【技巧3】同分母结合法在计算时，我们可以将同分母的先进行计算，异分母需要通分，有时计算上会比较繁琐。
【技巧4】凑整法在进行计算时，我们经常会遇到小数、分数、百分数等相加减，我们除了要熟练掌握三者之间的关系外，在计算时，也可以利用凑整法将题目简便化。
【技巧5】拆分法有时遇到带分数时，我们可以将之拆分成整数与真分数的和进行计算，有些计算中也可以将某个数拆分成两个数之和（差）或乘积。
具体解题过程的的解题方法与技巧往往不是单一的方法与技巧，而是综合灵活运用方法与技巧进行解题，学生应当适当多练习巩固。
【技巧1】相反数结合法【例1】：计算：11 0.53 2.75542⎛⎫⎛⎫---+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】0【分析】先将带分数化为小数，然后去掉括号，利用加法结合律和交换律进行计算即可求出答案．解：原式0.5 3.25 2.75 5.5=-++-()()0.5 5.5 3.25 2.75=--++ 66=-+0=【点拨】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是熟练运用有理数的加减运算法则，本题属于基础题型．【举一反三】【变式1】计算： ()31282869+-++；【分析】把互为相反数的两数相加；解：()31282869+-++， ()31282869=⎡⎤⎣-⎦+++，31069=++，100=；【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算的简便运算，合理地运用有理数的加法运算律使计算简化是解题的关键．【变式2】计算：1241123523⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】15-【分析】利用有理数加法的交换律和结合律计算，即可求解． 解：1241123523⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1121422335⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+---- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()4015=+-+15=-．【点拨】本题主要考查了有理数简便算法，熟练掌握有理数加法的交换律和结合律是解题的关键．【技巧2】同号结合法【例2】用简便方法运算（1）1.4+（-0.2）+0.6+（-1.8）； （2）(1)()21112 2.75524⎛⎫----+-+ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用加法的运算律解通过同号结合得到互为相反数解答即可；（2）先化简绝对值、将分数化成小数，再利用有理数的加减运算法则和运算律利用同号结合法进行计算即可得；解：（1）1.4+（-0.2）+0.6+（-1.8） （2） ()21112 2.75524⎛⎫----+-+ ⎪⎝⎭=（1.4+0.6）+（-0.2-1.8） 0.4 1.5 2.25 2.75=---- =2+（-2） ()()0.4 1.5 2.25 2.75=-+-+ =0； 1.95=--【点拨】本题考查了化简绝对值、有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则和运算律并通过同号结合和相反数和为0是解题关键．【举一反三】【变式1】用简便方法运算．（1）()()()()0.5 3.2 2.8 6.5---++-+； （2） 13211()()()25323-++-++-．【答案】（1）1-； （2）25-【分析】按照有理数的加减法运算法则和运算律进行计算．解：（1）原式0.5 3.2 2.8 6.5=-++- （2）11213()()22335=-+-++()()0.5 6.5 3.2 2.8=--++ 3015=-+()76=-+ 25=-1=-．【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减法运算法则和运算律．【技巧3】同分母结合法【例3】计算：15533.2542244⎡⎤⎛⎫⎛⎫----+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【答案】 2.25-【分析】先算括号里，再算括号外，转化为同分母相加减即可解答．解：15533.2542244⎡⎤⎛⎫⎛⎫----+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦15533.2542244⎡⎤⎛⎫=--++-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦15533.2542244⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦155193.252244⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦73.2522⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3.25 5.5=- 2.25=-．【点拨】本题考查有理数加减混合运算．解题的关键是熟记有理数加减法则，混合运算顺序，运算定律，准确熟练地进行计算．【举一反三】【变式1】计算127533648787⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时运算律用得最合理的是（ ） A ．127533648787⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦B ．271536347887⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦C ．271536347887⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦D ．172536348877⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦【答案】D【分析】根据运算律在简便运算中运用方法，先计算同分母分数，再算加法即可得出结论． 解：计算127533648787⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时运算律用得最合理的是172536348877⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦；故选：D ．【点拨】此题考查了有理数的加法的简便运算，掌握有理数简便运算中运算律的运用方法是解题的关键．【变式2】嘉琪同学在计算21114233223-++时，运算过程正确且比较简便的是（ ）A ．2111(43)(2)3322+-+B ．2111(42)(3)3223-++C ．2111(43)(2)3322+--D ．2111(43)(2)3322---【答案】C【分析】原式利用加法交换律和结合律将分母相同的结合即可．解：嘉琪同学在计算21114233223-++时，运算过程正确且比较简便的是2111(43)(2)3322+--．故选：C ．【点拨】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律与加法结合律是解本题的关键．【技巧4】凑整法【例4】用简便方法运算：3222654115353⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】8解析：可把相加得到整数的数相加． 解：3222654115353⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3222645115533⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()113=+-，8=．【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算的简便运算，合理地运用有理数的加法运算律使计算简化是解题的关键．【举一反三】【变式1】()()()2.48 4.337.52 4.33-++-+-=______．【答案】-10【分析】用加法交换律和加法结合律进行计算即可． 解：原式=()()()[ 2.487.52][4.33 4.33]-+-++-=10-． 故答案为：10-．【点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算顺序和运算法则，以及加法交换律和结合律在有理数范围同样适用是解题的关键．【变式2】计算：31120.2572 1.5 2.75424⎛⎫⎛⎫-++-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【答案】8-【分析】可利用加法交换律和结合律以及分数与小数的互化进行有理数的加减运算即可求解．解：原式 2.750.257.5 2.25 1.5 2.75=-+--++()()()2.75 2.750.25 2.257.5 1.5=-++-+-+026=--8=-．【点拨】本题考查有理数的加减混合运算，解答的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序，会利用加法运算律进行简便运算．【技巧5】拆分法【例5】阅读：对于5231591736342⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可以按如下方法计算：原式()()()5231591736342⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()5231591736342⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++-⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1101144⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭．上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算：75120222021140442486⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】1312-【分析】利用拆项法计算即可．解：75120222021140442486⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()75120222021140442486⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()75120222021140442486⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-+-⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦261302412⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭．【点拨】本题主要考查有理数加减法的计算，熟练掌握有理数加减法的运算法则是解题的关键．【举一反三】【变式1】．计算：5212018201740351632⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】3-【分析】先将带分数拆分成两项，再利用有理数的加减运算法则和运算律进行计算即可得．解：原式5212018201740351632⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5212018201740351632=----+--()5214035201820171632⎛⎫=----++ ⎪⎝⎭5431666⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭12=--3=-．【点拨】本题考查了化简绝对值、有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则和运算律是解题关键．【变式2】计算：522120082009401816332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】113-【分析】先分组，将222009401833⎛⎫-+ ⎪⎝⎭放在一起计算得到整数，再将结果相加即可；解：522120082009401816332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭225120094018200813362⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5120092008162⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11162=- 131=-；【点拨】此题考查有理数的加减混合运算，掌握正确的计算顺序是解题的关键．。
讲究方法 简便运算
了 准确 率 。
对一个算式 ， 一般可以将 它分成若 干小段 ， 同时 分别进 行运算 ， 怎样分段呢？主要有 以下几种方法 ： （ １ ） 运算符号分段法 。 有理数 的基本运算有五种 ： 加、 减、 乘、 除和乘方 ， 其 中加减为第一级运算 ， 乘除为第 二级运算 ， 乘方 为第三级运算 。在运算中 ， 低级运算
外的算式进行运算 。（ ３ ） 绝对值符号分段法 。 绝对值
符号除了本身的作 用外 ， 还具有括号的作 用 ， 从运算 顺序 的角度来说 ， 先计算绝对值符号里面的。 因此绝 对值 符号也可 以把算式 分成几段 ，同时进行计算 。 （ ４ ） 分数线分段法 ， 分数线可以把算式分成分子 和分 母两部分并 同时分别运算。
一
体现在运算 中， 计算时尽量使步骤简 明， 能够一 步计算 出来的就 同时算出来 ；运算 中尽量运用简便
方法 ， 如五个 运算律 的运用 。
３ ． 整 体 性 原 则
、
透 彻 理 解 运 算 法 则
“ 同同加 ， 异大减” 简记加法法则 ： “ 同同加” 概括 加法法则 中“ 同号相 加 ， 取相 同的符号 ， 并把绝 对值 相加” ； “ 异大减” 概括加法法则 中“ 异号相加 ， 取绝对 值较大的加数 的符号 ，并用较大 的绝对值减去较小
④
技 法 点 拨
讲究方法 简便运算
一 李伟 涛
摘 要 ： 学 习有理数 的运算不 仅要掌握 其基本 的概念 、 法则 、 常用 的运算 方法 ， 而且还要会 运用运 算律进行有理数的运算 ， 这是一个难点 ， 也是近几年 把高级运算分为若 干段 。（ ２ ） 括号分段 法。 有括号 的 应先算括号里面的。在 实施 时可 同时分别对括号 内
七年级数学上册：有理数乘除法,掌握乘法简便运算,很简单
七年级数学上册：有理数乘除法，掌握乘法简便运算，很简单有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同0相乘，都得0.有理数乘法法则推广：①有几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数。
（积负偶正）②几个数相乘，如果有一个数因数为0，则积为0.有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
附：初中数学归类总结（四）有理数的乘除乘方及混合运算首先我们来看有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，积仍为0。
有理数乘法法则和有理数加减法则有相近的地方，就是仍然分为两步：1、判断符号。
2、绝对值相乘。
两个数相乘，同号得正，异号得负并把绝对值相乘。
绝对值相乘，就是小学的乘法了。
所以，仍是加上一个判断符号这一步。
这样新知识又转化为旧知识了，同学们在小学做了很多这样的题，是不是很熟悉？有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何非0的数，都得0。
注意，0不能做除数，也就是0不能在分母的位置上。
有了有理数的乘法和除法法则，我们就能熟练的进行有理数的乘除了，大家在小学，五六年级已经进行了很多的这样的运算，现在只要根据运算法则，先判断符号，然后再把绝对值相乘或相除就可以了。
乘法的交换律，结合律，乘法对加法的分配律，在有理数范围内仍然成立。
大家可以完成下图中的下表。
有理数的乘方乘方的实质还是乘法，只不过所有的因数都相同。
一般的n个相同因数a相乘，记作a的n次方。
这种求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数。
a的n次方或者a的n次幂，都指的是n个a相乘。
没有什么难的，多做一些题就可以了。
这一章还有一个知识就是科学计数法，有时候我们需要表示很大的数，写起来不方便，所以，有一种科学计数法：一个大于10的数可以表示成a×10的n次方的形式，其中a>等于1小于10，n是正整数，这种计数方法叫做科学计数法。
聚焦有理数运算的技巧
： 卫 ２ ． ＿
（ ７ 一 ８ ）Ｘ（ ７ ＋１ ４ ） ７４ ７０ ７４ ５ ５
：７ ７５
．
评注
在有理数 的运Ｉ一 Ｉ一 １Ｉ
１ １ Ｉ ２０ ２０ 一 ０７ ０６ Ｉ
解 ： 式 ＝（ １）＋（ １ 一了 原 １＿ １）＋… ＋（ 蕊１ 一
） ×（一 ５ × ５ ）×１ ０
．
＝
０ ０ ０ ０ １×［ ０ ９ ． ０ ００ １ ０Ｘ ３—１０ Ｘ ３ ］＝ ． ０ ９ ） ０ 选 Ｄ ．
‘ ．
＝
［ 一 ｚ × （ 了） ２
ｘ ０］ ［ ３ ） ８ × （ ２ １
一
１
ｘ１ ６ ０ ］
例 ｌ 计 算 １９ ２ Ｏ ９ １÷ ５—１９ ９ ２×１２ ．５＋１９ ． ９ ３Ｘ０ ５
乏１ ） 乏１ 一 亨 ＝ 一 而 ＝ ０６ 丽 ＋（ １ ） １ 乏１ 丽０ ２ 亍
７ ３７６和 ７７ 全部用 “７ ” ７ 、７ ７” ７４ 来表 示 ， 然后利 用多项式 乘 法公式展开合并 ， 而把繁杂的连乘运 算问题简单化． 从
第 三 招 ： 用 凑 整 巧
侈 ３ ． ０ ０ ３ ０ ８ ７ ９ Ｘ ． ０ ８＋１ ２ ０ ３ ９＋６ ２ ０ １９ ． １Ｘ ． ７ ． １× ． ５
２ Ｘ３ ×４ ： １ ３６ ５ ．
（９ １ ４ ÷１０一（９２÷ ） ０＋（９３÷ ）× １９ ） ０ ｘ １９ ８ ×１ １９ ２ １
：７ ９．６ — ２ ０ ＋ ９ ．５ ＝ ７ ４ ４９ ９６ ９．６ — ３．５ — ２ ０ ＋ ４ ４９ ９９ ５ ＋ ３ ６． ．５
＝
：
钔
—
９ ０ ０ ０ ００ ０ ４ ３０Ｘ ．０ ０ ０ ７ ）＝（
有理数加减法 简便运算
数学学科学生辅导讲义学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：应志伟授课类型T 有理数的加法 T 有理数的减法 C 简便运算授课日期及时段教学内容（大脑放电影~）知识点一： 有理数加法法则①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. ③一个数同0相加，仍得这个数.知识点二： 有理数加法的运算步骤法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.知识点三：有理数加法的运算律①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a +=+(加法交换律) ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.()()a b c a b c ++=++(加法结合律)T 同步——同步训练同步知识梳理知识点四：有理数加法的运算技巧①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.（热个身先~~~）题型一：有理数的加法法则例1. ﹣10+3的结果是（）A. ﹣7B. 7C. ﹣13D. 13例2. 计算│－5＋3│的结果是（）A. －8B. 8C. －2D. 2例3. 下列交换加数的位置的变形中，正确的是（）A. 1﹣4+5﹣4=1﹣4+4﹣5B. 1﹣2+3﹣4=﹣（2﹣1+4﹣3）C.13111311=34644436-+--+--D. 4.5﹣1.7﹣2.5+1.8=4.5+2.5﹣1.8﹣1.7例4. 如果两个数的和是负数,那么这两个数（）A. 至少有一个为正数B. 同是正数C. 同是负数D. 至少有一个为负数例5. 化简下列各式+（﹣7）= ，﹣（+1.4）= ， +（+2.5）= ，﹣[+（﹣5）]= ；﹣[﹣（﹣2.8）]= ，﹣（﹣6）= ，﹣[﹣（+6）]= ．例6. 运用交换律和结合律计算：(1)3－10＋7＝3________7______10＝________；(2)－6＋12－3－5＝______6______3______5______12＝______.同步题型分析例7. 王无生到某城市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记为+1，向下一楼记为﹣1．李先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）+5，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣6，﹣1（1）请你通过计算说明李先生最后是否回到出发点1楼；（2）若该中心大楼每层高2.8m，电梯每上或下1m需要耗电0.1度，根据李先生现在所处的位置，请你算一算、当他办事时电梯需要耗电多少度？例8. 计算（1）（－12.56）＋（－7.25）＋3.01＋（－10.01）＋7.25；（2）0.47＋（－0.09）＋0.39＋（－0.3）＋1.53；（3）121546333⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）23＋（－72）＋（－22）＋57＋（－16）；（5）() 515133242 6565⎛⎫⎛⎫+-+-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）2.25+（-414）+（-2.5）+212+3.4+（-175）（7）()6441623 5 3.125738326 1171187117⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++-+-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭题型二：有理数的加法法则的一般应用例1. 若a＞0，b＜0，|a|＜|b|，则a与b的和是（）A. ﹣|a|﹣|b|B. ﹣（|a|﹣|b|）C. |a|+|b|D. ﹣（|b|﹣|a|）例2. 若|x+3|+|y﹣2|=0，则x+y的值为（）A. 5B. ﹣5C. ﹣1D. 1例3. 绝对值大于2且小于5的所有整数的和是（）A. 0B. 7C. 14D. 28例4. 绝对值不等的异号两个数相加，其和的符号与绝对值__________的加数的符号相同．例5. 有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，计算a－b＋c________0(填“＞”“＜”或“＝”)．例6. 邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km到达A村，继续向南骑行3km到达B村，然后向北骑行9km到C村，最后回到邮局．（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1cm表示1km，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；（3） C村离A村有多远？（3）邮递员一共骑了多少千米？题型三：有理数加法的实际应用例1. 某银行的一个蓄储所某天上午在一段时间内办理了5件蓄储业务（存入为正，取出为负）：+1080元，-900元，+990元，+1000元，-1100元；这时银行现款增加了（）A. .1080元B. 1070元C. 1060元D. 1050元例2. 五袋白糖以每袋50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称量记录如下：+4.5，﹣4，+2.3，﹣3.5，+2.5．这五袋白糖总重量是 _____________千克.例3. 为体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司机小王在东西走向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下．（单位：千米）+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17（1）当最后一名老师到达目的地时，小王距离开始接送第一位老师之前的地点的距离是多少？（2）若出租车的耗油量为0.4升/千米，这天上午出租车共耗油多少升？（你都掌握了没有呢~~~）1. 计算()()()6375-+--+-结果是（ ）A. -7B. -9C. 5D. -342. 在1，－1，－2这三个数中，任意两个数之和的最大值是( ) A. －3 B. －1 C. 0 D. 23. 若有理数a 、b 互为相反数，则下列等式中一定成立的是（ ） A. a b 0-= B. a b 0+= C. ab l = D. ab 1=-4. 某校小卖铺一周的盈亏情况如下表所示(每天固定成本200元，其中“＋”表示盈利，“－”表示亏损) 星期 一 二 三 四 五 盈亏 ＋220－30＋215－25＋225则这个周共盈利( )A. 715元B. 630元C. 635元D. 605元 5. 两个有理数的和为负数，那么这两个数一定( ) A. 都是负数 B. 绝对值不相等 C. 有一个是0 D. 至少有一个负数 6. 若5a =，6b =，且a b >，则a b + 的值为（ ）A. ﹣1或11B. 1或﹣11C. ﹣1或﹣11D. 117. 填空：（1）-12+11=______； （2）19+（-8）=______； （3）-18+（-7）=______；（4）12-18=_______； （5）-13-5=_________； （6）0-（-6）=_______；8. |a|=4，|b|=3且a ＜b ，则a+b=_____．9. 慈善篮球赛，每个队员的得分以20分为标准，超过的部分记为正，不足的部分记为负，已知 5位主力队员得分情况分别是（单位：分）：4，2，3，﹣7，﹣1． （1）这5位主力队员中，最低得分是多少分？（2）若主力队员每得1分赞助商就额外捐款2000元，那么本次慈善篮球赛赞助商共额外捐款多少课堂达标检测（大脑放电影~）知识点一：有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.()a b a b -=+- 知识点二：有理数减法的运算步骤 ①把减号变为加号（改变运算符号） ②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算. 知识点三：有理数加减混合运算的步骤 ①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.（热个身先~~~）题型一：有理数的减法法则例1. 计算﹣3﹣1的结果是（ ）例2. 在算式( )+6=-8中，括号里应填（ ） A. 2 B. -2 C. 14 D. -14例3. 用算式表示“比﹣4℃低6℃的温度”正确的是（ ） A. ﹣4+6=2 B. ﹣4﹣6=﹣10 C. ﹣4+6=﹣10 D. ﹣4﹣6=﹣2例4. 将算式（﹣8）﹣（﹣10）+（﹣6）﹣（+4）改写成省略加号和括号的形式是：_____．例5. 比较大小：_____．T 同步——同步训练同步知识梳理同步题型分析例12. 出租车司机老王某天上午营运全是在东西走向的解放路上进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午行车里程（单位：km）如下：+8，+4，﹣10，﹣3，+6，﹣5，﹣2，﹣7，+4，+6，﹣9，﹣11．（1）将第几名乘客送到目的地时，老王刚好回到上午出发点？（2）将最后一名乘客送到目的地时，老王距上午出发点多远？（3）若汽车耗油量为每行驶100km耗用汽油7L，这天上午老王耗油多少升？题型二：有理数减法法则的应用例1.元月份某一天，北京市的最低气温为﹣6℃，长泰县的最低气温为15℃，那么这一天长泰县的最低气温比北京市的最低气温高（）A. 15℃B. 20℃C. ﹣21℃D. 21℃例2.如图，加工一种轴时，轴直径在299.5毫米到300.2毫米之间的产品都是合格品，在图纸上通+0.2来表示这种轴的加工要求，这里φ300表示直径是300毫米，+0.2表示最大限度可常用φ300﹣0.5以比300毫米多0.2毫米，﹣0.5表示最大限度可以比300毫米少0.5毫米．现加工四根轴，轴直径+0.03，下列数据是加工成的轴直径，其中不合格的是（）的加工要求都是φ50﹣0.02A. 50.02B. 50.01C. 49.99D. 49.88例 3.北京等5个城市的国际标准时间（单位：小时）可在数轴上表示如下：如果将两地国际标准时间的差简称为时差，那么下列说法中正确的是（）A. 汉城与纽约的时差为13小时B. 北京与纽约的时差为13小时C. 北京与纽约的时差为14小时D. 北京与多伦多的时差为14小时例6.在一次数学测验中，七年级（4）班的平均分为86分，•如果把高于平均分的部分记作正数，不足平均分的部分记作负数（1）李洋得了90分，应记作多少？（2）刘红的成绩记作-5分，她实际得分是多少？（3）李洋和刘红相差多少分？例7. 10袋小麦每袋150千克为标准，超出的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：﹣6，﹣1，﹣1，﹣2，+7，+3，+4，﹣3，﹣2，+1（1）与标准质量相比较，这10袋小麦总计超出或不足多少千克？（2）求这10袋小麦的平均质量．课堂达标检测（你都掌握了没有呢~~~）1. 计算﹣2﹣（﹣4）的结果是______．2. 我市某天最高气温是11℃，最低气温是零下3℃，那么当天的最大温差是_____℃．3. 把6﹣（+3）﹣（﹣7）+（﹣2）改成加法并写成省略加号的形式是_____．4. 2018南1月24日是腊八节，这天哈尔滨市的最低气温是﹣35℃，最高气温是﹣24℃，这一天哈尔滨市的温差为（）A. 9℃B. 10℃C. 11℃D. 59℃5. 某潜水艇停在海面下500米处，先下降200米，又上升130米，这时潜水艇停在海面下多少米处（）A. 430B. 530C. 570D. 4709. 计算：（1）7－（－4）＋（－5）；（2）12－（－18）+（－7）－15；（3）1211839-+-+；（4）－7.2－0.8－5.6＋11.6；（5）351527676⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（6）－（+2.7）－（-1.6）－（-2.7）＋（+2.4）；10. 某校七（1）班学生的平均身高是160厘米，下表给出了该班6名学生的身高情况（单位：厘米）.（1）列式计算表中的数据a和b；（2）这6名学生中谁最高？谁最矮？最高与最矮学生的身高相差多少？（3）这6名学生的平均身高与全班学生的平均身高相比，在数值上有什么关系？（通过计算回答）（画竹必先成竹于胸！）专题一: 利用有理数的加法运算律进行巧算 技巧1：同号结合法1. 计算：（-3）+4+（+2）+（-6）+7+（-5）技巧2：相反数结合法 2. 计算：（+41）+（+81）+6+（-83）+（-85）+（-6）技巧3：同形结合法3. 计算：54+75+（-72）+43+（-41）+（-52）C 专题——简便运算知识典例专题二：利用有理数的加减解与数轴、绝对值有关的问题例1.已知a，b，c，d为有理数，其中a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，试求|a-b|-|b-c|+|c|-|b+d|的值.专题三:综合例1.阅读第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题．（1）计算：5231591736342⎛⎫⎛⎫-+-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：原式=()()()5231591736342⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+++-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦=()()()5231591736342⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+-++-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=1014⎛⎫+-⎪⎝⎭=114-，上面这种解题方法叫做拆项法．（4）计算：522120001999400016332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．例2.在－49，－48，－47，…，2003这一串数中（1）前99个连续整数的和是多少？（2）前100个连续整数的和是多少？（举一反三增能力！）1、已知有理数、、在数轴上的位置如图所示，则等于（）A. B. C. D.2、小刚同学做“伴你学习新课程”练习题时，遇到了这样一道题：“计算：”，其中“”是被污损看不清的一个数，他翻开后面的答案知该题计算的结果是，则“”表示的数是（）A. 或B. 或C.D.3、在下列各式中，与的值相等的是（）A. B.C. D.4、下列计算中，不正确的是（）A. B. C. D.5、计算所得的结果是( )A. B. C. D.6、有理数，在数轴上的位置如图所示，则的值（）A. 大于B. 小于C. 小于D. 大于7、等于（）A. B. C. D.强化练习8、，，的和比它们的绝对值的和小（）A. B. C. D.9、“这三个数，，的代数和”与“它们的绝对值的和”的差为（）A. B. C. D.10、计算的正确结果为（）A. B. C. D.11、计算的结果是（）A. B. C. D.12、与的和为的数是（）A. B. C. D.13、比小的数是（）A. B. C. D.14、点为数轴上表示的点，将点沿数轴向右平移个单位到点，则点表示的数是（）A. B. C. D. 或15、下列说法正确的有（）个①所有的有理数都能用数轴上的点表示；②符号不同的两个数互为相反数；③有理数分为正数和负数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤两数相加，和一定大于任何一个加数．A. B. C. D.16、计算：．（如果答案为分数，则填b/a）17、已知，，，且，则_________．18、已知是的相反数，比的相反数小，则等于．19、比小_______．20、绝对值大于而小于的所有负整数之和为．21、计算：．22、计算：．23、计算学法提炼（吾日三省吾身）1、专题特点：有理数减法法则的实质是将减法转化为加法，其转化的方法是“两变”：一是“变”减号为加号；二是将减数“变”为它的相反数.2、解题方法：（1）用减法法则将减法转化为加法；（2）写成省略括号和加号的和的形式；（3）进行有理数的加法运算3、注意事项：运用运算律使运算更加简便.一般情况下，常采用同类结合法、凑整法、为零相消法等.学法升华一、知识收获：有理数的加法法则；有理数的减法法则.二、方法总结：（1）在有理数的加法计算中首先判断属于加法中的何种类型，再按该类型法则计算. （2）在求和的绝对值前先确定和的符号，注意符号优先.三、技巧提炼：（1）同号：把正数和负数分别结合相加.（2）凑整：把和为整数的几个数相加.（3）凑零：把和为零的数相加.（4）分数相加：分母相同或易于通分的分数相加.（5）带分数相加：把带分数的整数部分、真分数部分分别相结合.（6）小数相加：整数部分、纯小数部分分别结合相加.注：以上方法不是固定不变的，可以灵活运用.课后作业1、把写成省略括号的和是（）A. B.C. D.2、计算的结果为（）A. B. C. D.3、把写成省略括号的形式是（）A. B.C. D.4、计算所得的结果是（）A. B. C. D.5、下列各式可以写成的是（）A. B.C. D.6、一天早晨的气温是，中午上升了，晚上又下降了，晚上的气温是（）A. B. C. D.7、下面哪个式子可以用来验证小明的计算是否正确？（）A. B. C. D.8、今年元旦，某风景区的最低气温为，最高气温为，则这个风景区今年元旦的最高气温比最低气温高（）A. B. C. D.9、比小的数是（）A. B. C. D.10、计算的结果等于（）A. B. C. D.11、的相反数加上，结果是（）A. B. C. D.12、若，则括号内的数是（）A. B. C. D.13、下列算式中，与相等的是（）A. B. C. D.14、下列说法正确的有（）个①所有的有理数都能用数轴上的点表示；②符号不同的两个数互为相反数；③有理数分为正数和负数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤两数相加，和一定大于任何一个加数．A. B. C. D.15、一种零件的直径尺寸在图纸上是（单位：），它表示这种零件的标准尺寸是，加工要求尺寸最大不超过（）A. B. C. D.16、( )17、把写成省略加号的和的形式是___________．18、已知，，，且，那么_______．19、计算的结果是．20、计算等于21、22、计算：．23、计算：．。
有理数简便运算技巧(十五法)
有理数简便运算技巧（十五法）有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。
现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()69=+- 3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++- 1002282=+- 12282=- 40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3计算：()()()5464332+-++++-+-。
原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 009=++ 9=。
四、组合将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5171386=- 13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+= 六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例6：计算：例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。
11221212=+= 七、变序运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭。
13131=-⨯=-八、约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。
浅谈有理数加减法的简便运算
简 便
（ ）＋ ＋寺）一）＋）一）手 一 ＋斋）一 ＝ ＋ ＋ 一 手（ （ （ （ （
…＋ Ｏ Ｏ＝
来， 可使运算简便 。
解原 １７）一 ＋＋ ）＝０＝ ： （ —＋２ 手１ ＋０＋２ 式 ０ ３（ — ｝ 争 ２＋２
三 、 带 分 数 的 整 数 部 分 和 分 数部 分 分 别结 合 相 加 把
例：算一 一 １ ＋３） ３ ：｝（手＋｝ （ 计 ５＋９）７ 一 ０ ０
（０ — ） （０ ＋ ） ｉ０ ＋ ４ １ ３ １ ５ ６ ３＝＋ ） ７ ０ ３ ７ ３
例 ： ： ２一３ ＋ － ２ 算１ ７ １＋ 计 ０｝ — 争２ 一 — ＋ ２
分析 ： 经观 察可 以发 现 ：０ 一 、３结 合 相 加 得 ０ 一 、 、 １、７一 ，２ １ 结 合 相 加 得 ０ 即几 个 有 理 数 相 加 ， 相 加 得 ０的 数 结 合 起 ， 把
＠ 吉林教 育
ＪＡＯＣ ＪＡ０Ｆ ｌ ＡＩｌ Ａ
浅谈 有理数 加减 法 的 简便 运 算
甘 肃省 白银 市平 川 区靖煤公 司第二 中学 陈连银
有理数加减混合运算 是有理数及其运 算一章 的基础 、 点 重 内容 ， 是中学 阶段数学 的基本运算 。同学们对此常常 出错 ， 以 难 掌握 。因此 ， 学习中既要掌握好运算法则 ， 在 又要 结合题 目的特 点灵活使用运算律， 简化运算过程， 提高解题速度与准确度 。下
解原 ＝一 ） ÷＋ 一 ）．去一 ＋ ：式 （１＋ 一）｝ ｝＋＋ 古） １ （ （ －（ ‘
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有理数简便运算技巧（十五法）
有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。
现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类
将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()69=+- 3=-。
二、凑整
将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++- 1002282=+- 12282=- 40=。
三、对消
将相加得零的数结合计算。
例3
计算：()()()5464332+-++++-+-。
原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 009=++ 9=。
四、组合
将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：。
解：原式55511125210624918⎛
⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
517
1386=- 13
524
=-。
五、分解
将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：1111
2
5434236
-+-+。
原式()111125434236⎛⎫
=-+-++-
+-+ ⎪⎝
⎭ 3642212121212⎛⎫
=+-
+-+ ⎪⎝⎭
11221212
=+
= 六、转化
将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例
6：计算：例
8 计算：
()()()412.5310.15⎛⎫
-⨯+⨯-
⨯- ⎪⎝⎭
解：原式412.50.1315⎛
⎫
=-⨯
⨯⨯ ⎪⎝
⎭
13131=-⨯=-。
11
221212
=+
= 七、变序
运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫
-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭
解：原式412.50.1315⎛⎫
=-⨯
⨯⨯ ⎪⎝⎭。
。
13131=-⨯=-
八、约简
将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。
解：原式88815
59158⎛⎫=---⨯
⎪⎝
⎭ 8158158155898158⎛⎫
=-⨯
-⨯-⨯ ⎪⎝⎭
5313⎛⎫=--- ⎪⎝
⎭
13
=-。
九、逆用
正难则反，逆用运算律改变次序。
例11 计算：
2283210.2555214⎛⎫⎛⎫
÷--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式258715122144
⎛⎫⎛⎫=
⨯--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21811
34344
=-⨯+⨯- 1281433⎛⎫=
⨯-+- ⎪⎝⎭
14
=。
十、观察
根据0、1、1-在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0、1或1-的部分优先计算。
例12 计算：()()2009
1312009 3.753164⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：
33.75304
-=，()2009
11-=-。
∴原式()011=+-=-。
十一、变量替换
通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．
例6 计算512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋3
2
3
417512769+-)． 解：设a =3
23417+，b = 0.125，c =51
2769-，则
512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋3
2
3
417512769+-) =
c ab a +×(b ＋a
c ) =
c ab a
+×a
c ab + = 1．
评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：
323417
+，0.125，51
2769-，因此，采用变量替换就大大减少了计算量．
十二、倒序相加
在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简
化．
例8 计算
21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋60
2＋…＋
6058＋60
59
)．① 解：把①式括号内倒序后，得：
21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋60
1
)，
②
①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770，
∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋60
59
)
=
2
1
(1770) = 885． 评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度． 十三、添数配对
例9 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．
解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：
11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999． = 20＋200＋2×103＋2×104＋…＋2×109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1) = 2222222220－45 = 2222222175．
评析：添数配对实质上也是一种凑整运算． 十四、整体换元
对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果．
例10 计算1－
21＋41－81＋161－321＋641－1281＋256
1． 解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561
= x ，①
则①×(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－2
1
x ， ②
① －②，得1＋5121=23x ，解得x =256171
，故
1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256
171
．
十五、分组搭配
观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．
例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．
解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69
= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)
= 0＋0＋0＋…＋0
= 0．
评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．。