建模和优化

2 x= [1 x1 x2 x2 ] ~n×4数 据矩阵, 第1列为全1向量
输出 b~β的估计值
bint~b的置信区间 r ~残差向量y-xb rint ~ r的置信区间 Stats~ 检验统计量 R2,F, p
alpha(显著性水平,0.05) 参数
β0 β1 β2 β3
参数估计值 置信区间 17.3244 [5.7282 28.9206] 1.3070 [0.6829 1.9311 ] -3.6956 [-7.4989 0.1077 ] 0.3486 [0.0379 0.6594 ] R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
线性规划模型
• 简介 – 线性规划是最简单、应用最广泛的一种数学规划方法， 线性规划是最简单、应用最广泛的一种数学规划方法， 也是应用最早的一种最优化方法 也是应用最早的一种最优化方法 – 线性规划的数学模型是目标函数和全部约束式都是变 线性规划的数学模型是目标函数和全部约束式都是变 量的线性函数 – 线性规划是学习运筹学的首要课程之一 – 1947年，丹茨格（Dantzig）提出了单纯形法，使线 年 丹茨格（ ）提出了单纯形法， 性规划的算法趋于成熟 – 在数学上讲，线性规划问题就是研究一类条件极值问 在数学上讲， 即在一组线性约束条件（包括等式及不等式约束） 题，即在一组线性约束条件（包括等式及不等式约束） 线性函数的最大值或最小值 找出一个线性函数 下，找出一个线性函数的最大值或最小值
8 7.5 5 6 7 8
x2
价格差较小时更需要靠广告 来吸引顾客的眼球
完全二次多项式模型 2 2 y = β 0 + β1 x1 + β 2 x 2 + β 3 x1 x 2 + β 4 x1 + β 5 x 2 + ε
MATLAB中有命令 中有命令rstool直接求解 中有命令 直接求解
ˆ y
T
C——目标函数系数向量 目标函数系数向量 A——约束条件系数矩阵 约束条件系数矩阵 b——约束条件常数向量 约束条件常数向量
求解线性规划命令使用格式 (1) x=linprog(C, A, b) [x,fval] = linprog(C, A, b) (2) x=linprog(c,A,b,Aeq,beq) [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq) (3) x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,e0,e1)
y 10
9.5 9 8.5 8 7.5
x1
y~被解释变量（因变量） x1, x2~解释变量(回归变量, 自变量) β0, β1 , β2 , β3 ~回归系数 ε~随机误差（均值为零的 正态分布随机变量）
7
5
5.5
6
6.5
7
2 y = β 0 + β1 x2 + β 2 x2 + ε
7.5 x2
MATLAB 统计工具箱 模型求解 2 y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x 2 + β 3 x 2 + ε 由数据 y,x1,x2估计β [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha) 输入 y~n维数据向量
6 7 8
9.5 9 8.5
x2
8
5
6
7
8
x2
交互作用影响的讨论
价格差 x1=0.1 价格差 x1=0.3
ˆ y
ˆ y
x1 = 0.1
x1 = 0 .3
ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ y = β0 + β1x1 + β2 x2 + β3 x2 + β4 x1x2
2 = 30.2267 − 7.7558 x 2 + 0.6712 x 2
2 = 32 .4535 − 8 .0513 x 2 + 0 .6712 x 2
10.5 10 9.5 9 8.5 x1=0.3 x1=0.1
x2 < 7.5357
ˆ ˆ y x1=0.3 > y x1=0.1
ˆ y
价格优势会使销售量增加
加大广告投入使销售量增加 大于6百万元 百万元） （ x2大于 百万元） 价格差较小时增加 的速率更大
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 销售量预测 y = β 0 + β1 x1 + β 2 x2 + β 3 x22
价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4 估计x3 调整x4 控制x1 通过x1, x2预测y 控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=650万元
ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x 2 + β 3 x 2 = 8 . 2933 (百万支 百万支) 百万支
y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x 2 + β x + ε
2 3 2
参数
2 y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x2 + β4 x1 x2 + ε
参数估计值 置信区间 β0 17.3244 [5.7282 28.9206] β1 1.3070 [0.6829 1.9311 ] β2 -3.6956 [-7.4989 0.1077 ] β3 0.3486 [0.0379 0.6594 ] R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000 参数估计值 置信区间 29.1133 [13.7013 44.5252] 11.1342 [1.9778 20.2906 ] -7.6080 [-12.6932 -2.5228 ] 0.6712 [0.2538 1.0887 ] -1.4777 [-2.8518 -0.1037 ] R2=0.9209 F=72.7771 p=0.0000
销售量预测区间为 [7.8230，8.7636]（置信度 ， （置信度95%） ） 上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流 若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握知 道销售额在 7.8320×3.7≈ 29（百万元）以上
模型改进
x1和x2对y 的影响独立 x1和x2对y 的影响有 交互作用
10 9.5 9 8.5 8 7.5 0 0.2 0.4 5.5 6 6.5 7
x1
x2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 从输出 Export 可得 β = ( β 0 , β1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 )
最优化方法——从可行方案中寻求最优方案 从可行方案中寻求最优方案 最优化方法 在一些限制条件下,针对系统的某一指标寻找最优方 在一些限制条件下 针对系统的某一指标寻找最优方 可表示为求某一函数在约束条件下的极大值(或 案。可表示为求某一函数在约束条件下的极大值 或 极小值)问题 问题。 极小值 问题。 线性规划的数学模型 min

f (X ) = C X
T
s .t
AX ≤ b X ≥0
决策变量: 决策变量: X = [x1, x2, ···, xn ]T 目标函数系数: 目标函数系数 C=[c1, c2, ···, cn]T 不等式约束矩阵和向量: 不等式约束矩阵和向量 A, b
建筑公司承建办公楼和住宅楼。 例6.1 建筑公司承建办公楼和住宅楼。建办公楼将获 利润500元/平方米，建住宅楼获利润 平方米， 平方米。 利润 元 平方米 建住宅楼获利润600元/平方米。 元 平方米 总建筑面积不少于5000m2，办公楼的面积不能大于 总建筑面积不少于 5000 m2，住宅楼不能大于 住宅楼不能大于3000m2。 假定公司当年建办公楼x 平方米，建住宅楼x 平方米。 假定公司当年建办公楼 1平方米，建住宅楼 2平方米。 以所得利润最大为目标， 以所得利润最大为目标，得目标函数
y的90.54%可由模型确定 的 可由模型确定 p远小于α=0.05 远小于α 远小于
β2的置信区间包含零点
F远超过 检验的临界值 远超过F检验的临界值 远超过 模型从整体上看成立 x2对因变量 的 对因变量y 影响不太显著 可将x 可将 2保留在模型中
(右端点距零点很近 右端点距零点很近) 右端点距零点很近 x22项显著
z = 500x1 + 600x2
根据招标单位的要求,约束条件 根据招标单位的要求 约束条件 x1+x2≥ 5000
x1 ≤ 5000 x2 ≤ 3000 x1≥ 0, x2≥ 0
MATLAB中线性规划问题标准形式 中线性规划问题标准形式 中线性规划问题
min C x s . t . Ax ≤ b e0 ≤ x ≤ e1
解线性规划问题标准形式 -( 500x1+ 600x2) s. t. -x1-x2≤-5000 x1 ≤5000 x2≤3000 x1≥0, x2≥0 min 程序: 程序 C=[500,600]; A=[-1,-1;1,0;0,1;]; b=[-5000;5000;3000]; x=linprog(-C,A,b) z=C*x C = – [ 50 60] − 1 − 1 − 5000 A= 1 0 b = 5000 0 1 3000 结果: 结果 x = 5000 3000 z= 4300000
销售 周期 1 2 … 29 30
基本模型
y ~公司牙膏销售量 x1~其它厂家与本公司价格差 x2~公司广告费用
y 10
9.5 9 8.5 8 7.5 7 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x 2 + β x + ε
2 3 2
y = β 0 + β1 x1 + ε
建立线性规划问题数学模型:
①一组决策变量(x1, x2, ···, xn)表示某套方案; ②一组线性不等式或线性等式为约束条件; 以决策变量的线性函数作为目标函数. ③以决策变量的线性函数作为目标函数
明确问题的目标 假设一组决策变量 考虑目标函数 考虑约束条件
某工厂制造A、 两种产品 两种产品， 每吨用煤 每吨用煤9吨 例6.2某工厂制造 、B两种产品，A每吨用煤 吨，电4 某工厂制造 千瓦， 个工作日 制造B每吨用煤 个工作日； 每吨用煤5吨 千瓦， 个 千瓦，3个工作日；制造 每吨用煤 吨,电5千瓦，10个 千瓦 工作日。制造A和 每吨分别获利 每吨分别获利7000元和 元和12000元，该 工作日。制造 和B每吨分别获利 元和 元 厂可利用资源有煤360吨，电力 千瓦， 厂可利用资源有煤 吨 电力200千瓦，工作日 千瓦 工作日300个。 个 各生产多少吨获利最大。 问A、B各生产多少吨获利最大。 、 各生产多少吨获利最大 数据列表分析 A 煤(吨) 吨 千瓦) 电(千瓦 千瓦 工作日(天 工作日 天) 利润(千元 利润 千元) 千元 9 4 3 7 B 5 5 10 12 上限 360 200 300
ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ = β0 + β1x1 + β2 x2 + β3 x2 + β4 x1x2 y
ˆ y 略有增加
ˆ y = 8 .3272 (百万支 百万支) 百万支
区间 [7.8953，8.7592] ，
预测区间长度更短
ˆ 关系的比较 两模型 y 与x1,x2关系的比较
ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ = β 0 + β1 x1 + β 2 x2 + β 3 x2 y ˆ y 9
参数
β0 β1 β2 β3 β4
两模型销售量预测比较 两模型销售量预测比较
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元
ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ y = β 0 + β1 x1 + β 2 x2 + β3 x2
ˆ y = 8 .2933 (百万支 百万支) 百万支
区间 [7.8230，8.7636] ，
2 结果分析 y = β 0 + β1 x1 + β 2 x 2 + β 3 x 2 + ε
参数
参数估计值 置信区间 β0 17.3244 [5.7282 28.9206] β1 1.3070 [0.6829 1.9311 ] β2 -3.6956 [-7.4989 0.1077 ] β3 0.3486 [0.0379 0.6594 ] R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
线形回归模型 优化试验
例1 牙膏的销售量 问 题
建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量 收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、 广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价
本公司价 格(元) 3.85 3.75 … 3.80 3.70 其它厂家 价格(元) 3.80 4.00 … 3.85 4.25 广告费用 (百万元) 5.50 6.75 … 5.80 6.80 价格差 （元） -0.05 0.25 … 0.05 0.55 销售量 (百万支) 7.38 8.51 … 7.93 9.26
8.5
ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ y = β0 + β1x1 + β2 x2 + β3 x2 + β4 x1x2 ˆ y 9
x2=6.5
0 0.2 0.4 0.6
8Leabharlann Baidu5
8
8
7.5 -0.2
x1
7.5 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
x1
10 9.5 9 8.5 8 7.5 5
ˆ y
10.5 10
ˆ y
x1=0.2