用频率估计概率
25.3 用频率估计概率
一定有10只次品.
错误
3.在一个不透明的盒子中装有 a 个除颜色外完全相同的球，其
中只有 6 个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出 1 个球记
下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的
30
频率稳定在 0.2 左右，则 a 的值约为 30 .
精 典范例
4.【例 1】某人随意投掷一枚均匀的骰子，投掷了 n 次，其中 有 m 次掷出的点数是偶数，即掷出的点数是偶数的频率为mn ， 则下列说法正确的是( )
“正面朝上”的频
数
23 46 78 102 123 150 175 200
“正面朝上”的频
率
0.45 0.46 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 0.50
掷硬币试验
(2)根据上表的数据，在下图中画统计图表示“正面朝上”的频率.
0.6
频 0.5 率 0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
50
100
A.mn 一定等于12 B.mn 一定不等于21 C.mn 一定大于12 D．投掷的次数很多时，mn 稳定在21附近 【答案】D 小结：频率不一定等于概率.
5.【例 2】某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果
如下表：
投篮次数 n 8 10 12 16 20
进球次数 m 6
7
9 12 15
0.75 进球频率m
理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律. 结合具体情境掌握如何用频率估计概率.
知识点一：频率的计算公式 频数
公式：频率＝总数.
1.假如抛硬币 10 次，有 4 次出现正面，6 次出现反面，则：
4
(1)出现正面的频数是 4 ；
用频率估计概率(含答案)
一、基础知识： 用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率会稳定在某一个常数p 的附近，那么事件A 发生的概率P (A )=p .其中0≤p ≤1条件是：在同等条件下，需要做大量的重复试验。
关键是：通过大量重复试验找出频率的稳定值。
二、重难点分析本课教学重点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率。
本课教学难点：合理设计模拟试验，分析频率稳定值从而得到该事件的概率。
通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法。
培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值。
典型例题分析例1、绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1912 2850 发芽的频率=nm 0.9600.9400.9550.9500.9480.956 0.950则绿豆发芽的概率估计值是 （ ）A ．0.96 B ．0.95 C ．0.94D ．0.90率=频数与总情况数之比．例2、一个不透明的口袋中放有若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，将袋中的球摇均匀．每次从口袋中取出一只球记录颜色后放回再摇均匀，经过大1，求：（1）取出白球的概率是多少？量的实验，得到取出红球的频率是4（2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只？三、感悟中考1、（2014•河北）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4（2014•贵阳）“六•一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是个．四、专项训练（一）基础练习1、在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外，形状、大小、质地完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别稳定在20%和40%，则布袋中白色球的个数很可能是个．姚明在某段时间内进行定点投篮训练，其成绩如下表：投篮次数10 100 10000投中次数9 89 9012试估计姚明在这段时间内定点投篮投中的概率是（精确到0.1）【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．3、在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于30%，②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，搞清频率与概率的关系是解题关键．（二）提升练习1、（2014•东海县模拟）一个不透明的袋子里有若干个小球，它们除了颜色外，其它都相同，甲同学从袋子里随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子里，摇匀后再次随机摸出一个球，记下颜色，…，甲同学反复大量实验后，根据白球出现的频率绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（）A．袋子一定有三个白球B．袋子中白球占小球总数的十分之三C．再摸三次球，一定有一次是白球D．再摸1000次，摸出白球的次数会接近330次【答案】D2、某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元．小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下：奖券种类紫气东来花开富贵吉星高照谢谢惠顾出现张数（张）500 1000 2000 6500（1）求“紫气东来”奖券出现的频率；（2）请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物卷，哪种方式更合算？并说明理由．。
第3章 2 用频率估计概率
13．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植 成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的 信息解决下列问题：
9 (1)这种树苗成活的频率稳定在 0.9 ，成活的概率估计值为__1_0__； (2)该地区已经移植这种树苗 5 万棵． ①估计这种树苗成活 4.5 万棵； ②如果该地区计划成活 18 万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万 棵？
6．一名球员在罚球线上投篮的结果如下表所示. 投篮次数 n 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 m 26 50 78 104 123 152 251 投中频率mn 0.52 0.50 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50
(1)计算表中的投中频率；(精确到 0.01) (2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少？(精确到 0.1) 解：(1)如上表； (2)从上表中投中频率的稳定性来看，可以估计这名球员投篮一次，投中的 概率约为 0.5.
用频率估计概率的一般做法
用频率估计概率的一般做法
1 频率估计概率
频率估计概率是一种基于数据实证而进行概率估计的方法。
它基
于观察多次实验的结果，从而推断可能的概率情况。
频率估计概率通
过采样数据，通过重复发生的事件的频率来推断概率。
通过对若干次
实验结果统计出数学期望。
2 优点
频率估计概率的最大优势在于它基于现实数据，它可以从多次实
验的结果中推断出可能的概率。
它有助于研究者更好地理解数据的规律，识别发生概率大小的变化，以及学习设计更加精准的实验。
另外，频率估计的结果实时更新，收集的数据量越大，推断出的结果也越准确。
3 缺点
频率估计概率也有一定的缺点。
首先，它建立在实验结果之上，
并假设该结果是代表尝试次数之内的发生概率，然而这些次数可能是
不够的，尝试次数不够也会导致模型的概率准确率降低。
其次，频率
估计概率的结果受抽样的结果限制，有利有弊，数据会被偏差所影响，从而影响模型概率的准确率。
4 结论
总而言之，频率估计概率是一种重要的概率估计方法，其优点在于提供可靠的数据，可以用于实时更新模型概率，但它也有一定的缺点，如受样本数据量及偏差影响，应谨慎使用。
3.2.1用频率估计概率(教案)
3.增强学生的应用意识：将所学的频率估计概率知识应用于解决实际问题，让学生在实际情境中感受数学的魅力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4.培养学生的合作交流能力：在小组合作探究过程中，鼓励学生相互交流、讨论，共同分析问题，培养团队协作能力和有效沟通技巧。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调频率的定义和频率估计概率的方法这两个重点。对于难点部分，如频率的稳定性，我会通过抛硬币实验的例子和数据分析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与用频率估计概率相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如抛硬币、掷骰子等，演示频率估计概率的基本原理。
具体内容包括：
a.通过实验或调查，收集某一事件发生的次数和总次数。
b.计算事件发生的频率。
c.分析频率的稳定性和可信度，进而估计事件的概率。
本节课旨在让学生在实际操作中体会概率与频率的关系，培养学生运用频率估计概率的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生的数据观念：通过本节课的学习，使学生能够理解频率的概念，认识到频率与概率之间的关系，学会利用频率估计概率，从而增强对数据的敏感性和分析能力。
其次，在新课讲授环节，我尝试通过理论介绍和案例分析相结合的方式，让学生更好地理解频率估计概率的方法。从课堂反馈来看，这种方法效果还不错。但在讲解难点部分，如频率的稳定性，我觉得自己还可以用更生动形象的方式来进行讲解，以便让学生更容易理解。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的表现整体较好，但我发现部分学生在操作过程中仍然存在一些误区。为此，我打算在今后的教学中，加强对学生实验操作的指导，让他们在实践中更好地掌握频率估计概率的方法。
初三数学上学期同步讲解：用频率估计概率
用频率估计概率一、知识点1. 用频率可以估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝m n.二、标准例题：例1：做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下列说法正确的是（）A．概率等于频率B．频率等于12C．概率是随机的D．频率会在某一个常数附近摆动【答案】D【解析】A、概率不等于频率，A选项错误；B、频率等于正面朝上的次数总次数，B选项错误C、概率是稳定值不变，C选项错误D、频率会在某一个常数附近摆动，D选项是正确的。
故答案为：D总结：此题主要考查了概率公式，以及频率和概率的区别。
例2：“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：下列说法不正确的是（）A．当n很大时，估计指针落子在”铅笔“区域的概率大约是0.70B．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”概率大约是0.70C．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次D．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”【答案】D【解析】A、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项正确；由A可知B、转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项正确；C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3＝900次，故C选项正确；D、随机事件，结果不确定，故D选项正确．故选D．总结：本题要理解用面积法求概率的方法．注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值．例3：下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．(1)计算表中的投中频率(精确到0.01)；(2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】（1）见解析；（2）0.5.【解析】（1）根据题意得：28÷50=0.56；60÷100=0.60；78÷150=0.52；104÷200=0.52；123÷250≈0.49；152÷300≈0.51；350÷251≈0.50；见下表：(2)由题意得：投篮的总次数是50+100+150+200+250+300+350=1400(次)，投中的总次数是28+60+78+104+123+152+251=796(次)，则这名球员投篮的次数为1400次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次,投中的概率约为：796 1400≈0.5.故答案为：0.5.总结：本题考查利用频率估计概率，解题的关机爱你是掌握利用频率估计概率.例4：为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位:cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．（1）填空：样本容量为，a＝；（2）把频数分布直方图补充完整；（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．【答案】（1）故答案为100，30；（2）见解析；（3）0.45．解：（1）5415100360÷=，所以样本容量为100；B组的人数为100153515530----=，所以3010030100a=⨯=，则30a=；故答案为100，30；（2）补全频数分布直方图为：（3）样本中身高低于160cm的人数为153045+=，样本中身高低于160cm的频率为450.45 100=，所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率为0.45．总结：本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念．三、练习1．以下说法合理的是（）A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是2 3B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是1 2D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是1 2【答案】D解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是23是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是12不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，故选项C错误，小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是12，故选项D正确，故选：D．2．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：下面有四个推断：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是()A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】C【解析】解：①当移植的树数是1 500时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵，故正确；④若小张移植20 000棵这种树苗，则不一定成活18 000棵，故错误．故选：C．3．某运动员投篮5次，投中4次，则该运动员下一次投篮投中的概率为（）A．15B．14C．45D．不能确定【答案】D【解析】因为投中是不确定的事件，所以下次投篮投中的概率不能确定.故选：D4．在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，它们的形状、大小、质地等完全相同.小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后放回……如此大量摸球试验后，小新发现从布袋中摸出红球的频率稳定于0.2，摸出黑球的频率稳定于0.5，对此试验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球试验，摸出白球的频率应稳定于0.3；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球.其中说法正确的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【答案】B【解析】解：∵在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，∴①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于：1-20%-50%=30%，故此选项正确；∵摸出黑球的频率稳定于50%，大于其它频率，∴②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确；③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是红球，故此选项错误；故正确的有①②．故选：B．5．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小闽同学统计了某一结果朝上的频率，绘出的统计图如图所示，则符合图中情况的可能是（）A．朝上的点数是6的概率B．朝上的点数是偶数的概率C．朝上的点数是小于4的概率D．朝上的点数是3的倍数的概率【答案】D【解析】A. 掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率为16，故此选项错误；B. 掷一枚正六面体的骰子，点数为偶数的概率为12，故此选项错误；C．掷一枚正六面体的骰子，点数小于4的概率为12，故此选项错误；D．掷一枚正六面体的骰子，点数为3的倍数的概率为10.333，故此选项正确；6．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：当n越大时，优等品率趋近于概率______．（精确到0.01）【答案】0.82.【解析】解：由表可知，随着乒乓球数量的增多，其优等品的频率逐渐稳定在0.82附近，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是0.82，故答案为：0.82.7．有五个面的石块，每个面上分别标记1，2，3，4，5，现随机投掷100次，每个面落在地面上的次数如下表，估计石块标记3的面落在地面上的概率是______.【答案】20【解析】解：石块标记3的面落在地面上的频率是15100=320，于是可以估计石块标记3的面落在地面上的概率是3 20．故答案为：3 20．8．某篮球运动员在同一条件下进行投篮训练，结果如下表：投中的频率根据上表，该运动员投中的概率大约是__________（结果精确到0.01）．【答案】0.85【解析】由表格可知，该运动员大量投篮时，投中的频率稳定在0.85附近，所以该运动员投中的概率大约是0.85. 故答案为：0.85.9．某林场要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，在移植过程中的统计结果如下表所示：在此条件下，估计该种幼树移植成活的概率为_________________（精确到0.01）；若该林场欲使成活的幼树达到4.3万棵，则估计需要移植该种幼树_________万棵.【答案】0.86 5【解析】（1）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率∴这种幼树移植成活率的概率约为0.86．（2）由表格可知，随着树苗移植数量的增加，树苗移植成活率越来越稳定． 当移植总数为15000时，成活率为0.861，于是可以估计树苗移植成活率为0.86， 则该林业部门需要购买的树苗数量约为4.3÷0.86=5万棵． 10．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验． （1）他们在一次实验中共做了60次试验，试验的结果如下：①填空：此次实验中“3点朝上”的频率为________；②小红说：“根据实验，出现3点朝上的概率最小．”她的说法正确吗？为什么？（2）小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率．【答案】（1）①110；②小红的说法不正确，理由详见解析；（2）16． 【解析】解：（1）①∵实验中“3点朝上”的次数有6次，总数为60， ∴此次实验中“3点朝上”的频率为6÷60=110； ②小红的说法不正确，∵利用频率估计概率实验次数必须比较多，重复实验，频率才慢慢接近概率，而她的实验次数太少，没有代表性，∴小红的说法不正确；（2）两枚骰子朝上的点数之和可能情况：，，，，， ，∴和为2的有1种， 和为3的有2种， 和为4的有3种， 和为5的有4种， 和为6的有5种， 和为7的有6种， 和为8的有5种， 和为9的有4种， 和为10的有3种， 和为11的有2种， 和为12的有1种，两枚骰子朝上的点数之和为7时的概率最大， 则最大概率为：6÷36=16．11．已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3． （1）试求出纸箱中蓝色球的个数；（2）小明向纸箱中再放进红色球若干个，小丽为了估计放入的红球的个数，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到红球的频率在0.5附近波动，请据此估计小明放入的红球的个数． 【答案】（1）50；（2）60 【解析】（1）由已知得纸箱中蓝色球的个数为：100×（1﹣0.2﹣0.3）=50（个） （2）设小明放入红球x 个．根据题意得：200.5100xx+=+解得：x =60（个）．经检验：x =60是所列方程的根． 答：小明放入的红球的个数为60．12．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：（1）请估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.1）；（2）假如摸一次，摸到黑球的概率P=；（3）试估算盒子里黑颜色的球有多少只.【答案】（1）0.6；（2）0.4；（3）20.【解析】（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6（2）摸到黑球的概率P=1-0.6=0.4（3）盒子里黑颜色的球有50×0.4＝20．13．“五一”期间，某商场推出“购物满额即可抽奖”活动.商场在抽奖箱中装有1个红球、2个黄球、3个白球、8个黑球，每个球除颜色外都相同，红球、黄球、白球分别代表一、二、三等奖，黑球代表谢谢参与.获得抽奖机会的顾客每次从箱子中摸出一个球，按相应颜色对应等级兑换奖品，每次所摸得球再放回抽奖箱，摇匀后由下一位顾客抽奖.已知小明获得1次抽奖机会.(1)小明是否一定能中奖___________；(填是、否)(2)求出小明抽到一等奖的概率；(3)在这个活动中，中奖和没中奖的机会相等吗？为什么？如果不相等，可以如何改变球的个数，使中奖和没中奖的机会相等？(只写一种即可)【答案】(1)否；(2)小明抽到一等奖的概率是114；(3)见解析.【解析】解：(1)否；(2)球的个数有123814+++=(个)，而红球有1个所以小明抽到一等奖的概率是1 14；(3)因为黑球的个数有8个，所以没有中奖的概率是84 147=，则中奖的概率是43177 -=，因为43 77≠，所以中奖和没中奖的机会不相等，可以减少2个黑球使中奖和没中奖的机会相等.（答案不唯一）.14．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）上表中的a=；（2）“摸到白球”的概率的估计值是（精确到0.1）（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？【答案】(1) 0.58;(2) 0.6;(3)白球12(个),黑球8 (个)【解析】(1)a=290500=0.58，故答案为：0.58；(2)随着实验次数的增加“摸到白球”的频率趋向于0.60，所以其概率的估计值是0.60，故答案为：0.60；(3)由(2)摸到白球的概率估计值为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=20×0.6=12(个),黑球20−12=8(个).答：黑球8个，白球12个.15．一个袋中装有7个红球，8个黑球，9个白球，每个球除颜色外都相同．（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率；（2）若先从袋中拿出7个红球和(5)m m>个黑球，再从剩下的球中摸出一球．①若事件“再摸出的球是白球”为必然事件，求m的值；②若事件“再摸出的球是白球”为随机事件，求m 的值，并求出这个事件概率的最小值． 【答案】（1）724；（2）①8m =；②6m =，911. 【解析】解：（1）从袋中随机摸出一个球是红球的概率7778924==++．（2）①由题意袋中，都是白球，8m =． ②由题意6m =或7或8，当6m =时，这个事件概率的最小，最小值911=． 16．小明在一个不透明的口袋里装若干个白球，要求本学习小组的其他成员在不允许将球倒出来数的情况下，估计白球的个数.小组成员小华应用了统计与概率的思想和方法解决了这个问题.他拿了8个黑球放入口袋里，将球搅匀.然后学习小组进行有放回的摸球实验，下表是活动进行中的一组统计数据.请你根据以上统计数据，帮助小华解答下列问题：（1）补全上表中的有关数据，并估计：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近______； （2）估计口袋里白球的个数. 【答案】（1）0.4；（2）12. 【解析】（1）上表中的有关数据是0.399，当n 很大时，摸到黑球的频率将会接近0.4.（2）设白球的个数为x ，则80.48x =+，解得12x =.。
人教版初中数学九年级上册第二十五章 25.3用频率估计概率
间,即0<P(不确定事件)<1. 如果A为随机事件(不确定事件),
那么0<P(A)<1.
用列举法求概率的条件是什么? (1)试验的所有结果是有限个(n) (2)各种结果的可能性相等.
用频率估计概率
用列举法可以求一些事件的概 率，我们还可以利用多次重复 试验，通过统计实验结果去估 计概率。
3.动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到20 岁的概率为0.8，活到25岁的概率是0.5，活到30岁的概率
是0.3.现年20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？现
年25岁的这种动物活到30岁的概率为多少？
试一试
4.某厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的 产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5 000名中学生， 并在调查到1 000名、2 000名、3 000名、4 000名、5 000名 时分别计算了各种颜色的频率，绘制折线图如下：
了解了一种方法-------用多次试验频率去估计概率
体会了一种思想： 用样本去估计总体 用频率去估计概率
大家都来做一做
从一定的高度落下的图钉，落地后 可能图钉尖着地，也可能图钉尖不找地， 估计一下哪种事件的概率更大，与同学
合作，通过做实验来验证 一下你事先估计是否正确？
你能估计图钉尖朝
上的概率吗？
归纳：
一般地，在大量重复试验中， 如在果某事个件常数A发p附生近的，频那率mn 么事会件稳A定 发生的概率P(A)=p。
用频率估计的概率 可能小于0吗？可 能大于1吗？
练习： 下表记录了一名球员在罚球线上的投篮结果。
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
利用频率估计概率介绍
利用频率估计概率介绍频率估计是一种用于估计概率的方法，它基于观察到的事件发生的频率来推断各个事件发生的概率。
这种方法在实际应用中非常常见，特别是在统计学、机器学习和数据挖掘等领域中。
频率估计的基本思想是根据事件发生的频率来推测该事件发生的概率。
在频率估计中，我们通过观察到的事件发生的次数来估计事件发生的概率。
具体来说，我们首先统计事件在一定样本空间内的发生次数，然后将事件的发生次数除以总的样本次数，就可以得到事件发生的概率。
频率估计的一个简单示例是投掷硬币的问题。
假设我们有一个硬币，我们想要估计这个硬币正面朝上的概率。
为了进行频率估计，我们可以连续地进行多次投掷，并记录正面朝上的次数。
最后，我们可以通过正面朝上的次数除以总的投掷次数来估计硬币正面朝上的概率。
频率估计是一种较为直观和直接的方法，因为它只依赖于观察到的事件发生的频率。
然而，频率估计也有其局限性。
首先，频率估计的结果通常是不准确的，特别是在样本容量较小的情况下。
其次，频率估计假设事件的概率是固定的，但实际上事件的概率可能会随着时间、环境等因素的变化而变化。
此外，频率估计还有可能受到样本选择偏差的影响，这会导致估计结果的偏差。
为了减小估计误差，提高频率估计的准确性，我们可以增加样本容量。
当样本容量足够大时，频率估计可以更加接近真实的概率。
此外，为了减小样本选择偏差的影响，我们可以采用随机抽样的方法，确保样本的代表性。
频率估计在实际应用中具有广泛的应用。
在统计学中，频率估计是参数估计的一种常用方法。
在机器学习和数据挖掘中，频率估计被用于构建概率模型，例如朴素贝叶斯分类器和隐马尔可夫模型等。
此外，频率估计还被用于统计推断、风险评估以及决策分析等领域。
总结起来，频率估计是一种利用事件发生的频率来推断概率的方法。
它是一种直观和直接的方法，但也存在精度不准确、假设固定概率等局限性。
为了提高估计准确性，我们可以增加样本容量和采用随机抽样等方法。
频率估计在统计学、机器学习和数据挖掘等领域中具有广泛的应用。
3.2用频率估计概率
“有2个人 生日相同” 次数 “有2个人 生日相同” 频率
（3）根据上表的数据，估计“50个人中有2个人生日相
当理论概率不好求时,我们可以通 过多次试验,用一个事件发生的频率来 估计这一事件发生的概率.
提出问题
在我们的身边，有很多试验的所有可能 性是不相等且结果不是有限多个，这些事 件的概率怎样确定呢？ 在同样条件下，通过大量反复的试验，根 据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的 常数，可以估计这个事件发生的概率。
频率 (1)请完成上表
100
200
198
300
294
400
392
正品 频数 97
(2)任抽一件是次品的概率是多少?
(3)如果销售1 500件西服,那么需要准备多少件正 品西装供买到次品西装的顾客调换?
5.（青岛·中考）一个口袋中装有10个红球和若干个
黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋
中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口
1 （2）如果要使摸到绿球的概率是 ，需要在这个口袋中再放 4 入多少个绿球
某林业部门要考查某种幼树在一定 条件的移植成活率，应采用什么具 体的做法？
答：在同样条件下，大量地对这种幼树 进行移植，并统计成活情况，计算成活 的频率。如果随着移植棵数n的越来越 m 大，频率 n 越来越稳定于某个常数， 那么这个常数就可以被当作成活率的近 似值。
生活中有哪些问题可以借助类似（2)的方案加于解
决？与同伴交流。
随堂练 习
1.下列说法正确的是( D ) 1 A. 某事件发生的概率为 ，这就是说：在两次重复试验 中，必有一次发生
2
B．一个袋子里有100个球，小明摸了8次，每次都只摸到
频率估计概率的公式
频率估计概率的公式
用频率估计概率的公式是f=p，在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A发生的次数m称为事件A发生的频数。
比值m/n称为事件A发生的频率，用文字表示定义为：每个对象出现的次数与总次数的比值是频率。
某个组的频数与样本容量的比值也叫做这个组的频率。
有了频数（或频率）就可以知道数的分布情况。
在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图。
3.2用频率估计概率(教案)
举例：通过抛硬币、掷骰子等实验，让学生观察不同试验次数下频率的变化，引导学生发现频率的稳定性。
（2）频率与概率之间的转化：让学生理解频率与概率之间的联系和区别，如何将频率转化为概率，这是学生掌握的难点。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“频率估计概率在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的数据分析观念，使学生能够通过实验观察数据，发现频率的稳定性，从而理解频率与概率之间的关系。
2.提高学生的数学抽象能力，让学生从具体的实验现象中抽象出频率估计概率的一般方法，并应用于实际问题。
3.增强学生的逻辑推理能力，引导学生通过实验、观察、分析等过程，合理解释频率估计概率的合理性。
1.回顾概率的定义，理解概率与频率的区别与联系。
2.通过实验，观察不同试验次数下事件发生频率的变化，探讨频率的稳定性。
3.学习如何利用频率估计概率，并通过实例进行分析。
4.练习运用频率估计概率的方法，解决简单的实际问题。
本节课的重点是让学生掌握利用频率估计概率的方法，难点是如何引导学生通过实验发现频率的稳定性，从而理解频率与概率之间的关系。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
4.3 用频率估计概率
4．3 用频率估计概率知识要点 用频率估计概率一副扑克牌去掉“大王”“小王”后，只剩下52张牌，从中任取一张，记下花色，随着试验次数的增加，出现黑桃花色的频率将稳定在_______左右．分析：利用概率公式，先求出一副牌中抽到黑桃的概率，随着次数的增加，频率会稳定在其概率左右．方法点拨：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．小军家的玩具店进了一箱除颜色外都相同的塑料球共1000个，小军将箱中的球搅匀后，随机摸出一个球记下颜色，放回箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下颜色，放回箱中；……多次重复上述试验后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此分析：设红球的个数为x ，根据题意得x1000＝0.2，解出x 即得到答案．方法点拨：本题利用了用大量重复性试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．1．杨彩霞参加射击训练，共射击100次，其中有38次击中靶子，由此估计，杨彩霞射击一次击中的概率是AA.1950B.35 C.10063 D ．无法确定 2．在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为40%，估计袋中白球有______个．3．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有________个．4．六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动．有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球(每个球除颜色外其他相同)的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动为40000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10000个．(1)求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率；(2)请你估计袋中白球接近多少个？参考答案: 要点归纳知识要点：固定数 p 典例导学 例1 14例2 200 当堂检测1．A 2.4 3.124．解：(1)10000÷40000＝14，∴参加一次这种活动得到的福娃玩具的频率为14；(2)∵试验次数很大，大数次试验时，频率接近于理论概率，∴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率为14.设袋中白球有x个，根据题意得6x ＋6＝41，解得x ＝18，经检验x ＝18是方程的解．∴估计袋中白球接近18个.。
用频率估计概率
因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利 润5000元。
教师点评
(1)通过这个问题,我们感受到概率在问题决 策中的重要作用.告诉我们学数学还要会用 数学的道理.
(2)引导学生比较两个问题,注意一个细节: 频率的精确度与概率的精确度
例３
概率伴随着我你他
1.在有一个10万人的 解:
一般地，对于一个事件A，把刻画其发生可 能性大小的数值，称之为事件A发生的概率。记 为P(A)
概率从数量上刻画了一个随机事件发生的 可能性的大小。
事件发生的可能性越来越小 0
不可能事件 随机事件
1
概率的值
必然事件
事件发生的可能性越来越大
有限等可能事件概率的求法公式（古典概率)
事件A满足：结果有限，可能性相等
用频率估计概率
用频率估计概率
必然事件：在一定条件下重
复进行试验时，在每次试验
确定性事件
中必然会发生的事件每次试 验中不可能发生的事件。
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能
不发生的事件. 也可称为偶然性事件。
特征：事先不能预料，即具有不确定性！
由频率可以估计概率是由瑞士数学家雅 各布·伯努利（1654－1705）最早阐明的，因 而他被公认为是概率论的先驱之一．
结论
瑞士数学家雅各布．伯努利（１６５４ －１７０５）最早阐明了可以由频率估计 概率即：
在相同的条件下，大量的重复实验 时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐 稳定的常数，可以估计这个事件发生的概 率
150
15.15
0.101
200
19.42
0.097
250
24.25
0.097
用频率估计概率
作业题
1.对一批衬衣进行抽检,统计合格衬衣的件数,得到 合格衬衣的频数表如下：
0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 (1)根据表中数据求出各个频率,并填入表中. (2)估计任抽一件衬衣是合格品的概率. 0.9 (3)估计出售1200件衬衣,其中次品大约有几件.
1200×(1-0.9)=120（件）
n(粒)
0 00
发芽频数 0 4 45 92 188 476 951 190 285
m(粒)
00
发芽频数 0 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95
m/n
(1)计算表中各个频数.
(2)估计该麦种的发芽概率 0.95
(3)如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4181818棵,种
把上表中抛掷次数n与“正面朝上”的频率m/n用统计图表示如下： 我们知道,任意抛一枚均匀的硬币,”正面朝上”的概率是0.
由题意得, 答:播种3公顷该种小麦,估计约需531kg麦种.
则粒数为
x•1000•1000 35
下列说法正确吗？为什么？
（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是多少？
1000 不能，因为只有当重复实验次数大量增加时，事件发生的频率才稳定在概率附近。
0.5181 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
合作探究
把上表中抛掷次数n与“正面朝上”的频率m/n用统计 图表示如下：
观察上表及图,你获得什么启示? 实验次数越多,频率越接近概率
频率与概率有什么区别和联系？随着重复试验次数 的不断增加，频率的变化趋势如何？
从上面的试验可以看到：在相同条件下，当重复 试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在 相应的概率附近。
课件1：25.3用频率估计概率
因为500千克柑橘损坏51.54千克，损坏率是0.103， 可以近似的估算是柑橘的损坏概率
练习
某农科所在相同条件下做了某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示：
种子个数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
发芽种子个数 94 187 282 338 435 530 624 718 814 981
25.3 用频率估计概率
一 . 利用频率估计概率
当试验的可能结果有很多并且各种结果发生的可能性相等时，我们可以用
P
(A)
=
m n
的方式得出概率，当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能
结果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计频率来估计概率．
在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐 渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率．
成活的频率（ m）
n
0.80
50
47
0.94
270
235
0.870
400 750 1500
369 662 1335
0.923 0.883 0.890
3500
3203
0.915
7000 9000 14000
6335 8073 12628
0.905 0.897 0.902
从上表可以发现,幼树移植成活的频率在____9_0_%___左右摆动, 并且随着统计数据的增加,这种规律愈加明显,所以估计幼树 移植成活率的概率为___0_._9___
2 10000 20 2.22元 / 千克
9000
9
设每千克柑橘的销价为x元，则应有（x－2.22）×9 000=5 000
用频率估计概率的方法
解:(1)由表格可得,当n很大时,摸到白球的频率将会接近0.6. (2)P(白)= =m0.6, P(黑)=1-P(白n )=0.4.
(3)白球个数=20×0.6=12(个), 黑球个数=20×0.4=8(个).
【规律总结】 频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值,它是频率的科学抽象,当试 验次数越来越多时,频率围绕概率摆动的平均幅度会越来越小,即频率靠近概率.
类型二:模拟实验估计概率 例2 王叔叔承包了鱼塘养鱼,到了收获时期,他想知道池塘里大约有多少条鱼,于 是他先捞出1 000条鱼,将它们做上标记,然后放回鱼塘,经过一段时间后,待有标 记的鱼完全混合于鱼群后,从中捕捞出150条鱼,发现有标记的鱼有3条,则 (1)池塘内约有多少条鱼? (2)如果每条鱼重0.5千克,每千克鱼的利润为1元,那么估计它所获得的利润为多 少元?
断重复,共摸球400次,其中88次摸到白球,估计盒中大约有黑球(
(A)28个
(B)30个 (C)36个 (D)42个
)A
2.盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个,为求得盒中黄色乒乓球的个数,某同学
进行了如下实验:每次摸出一个乒乓球记下它的颜色,如此重复360次,摸出白色乒乓球90
次,则黄色乒乓球的个数估计为(
解:(1)由题意得1 000÷ 3=50 000(条), 所以池塘内约有50 000条15鱼0 . (2)50 000×0.5×1=25 000(元), 所以估计所获得的利润为25 000元.
1.一个密闭不透明的盒子里有若干个黑球,在不允许将球倒出来的情况下,为估计黑球的
个数,小刚向其中放入8个白球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中,不
的比值,再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程5次,得到的白球数与10的比值分别
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
随意抛掷一枚骰子，“6朝上”时我们说“6朝上”的概率为1，6朝下的概率为0，显然也是错误的，我们知道它们的概率为1/6.
2、每个同学课外调查10人的生日，从全班的调查结果中随机选择50人，看有没有2人生日相同，设计方案估计50人中有2人生日有相同的概率.
六、布置作业
1、课本习题1,2.
2、收集有关概率的文章
七、活动探究
本环节对学生的思维要求较高，仅供给部分学有余力的学生阅读和提高，并非对全体同学的要求。
1、用“树状图”原理，求班上60名同学中至少有2人生日相同的概率
先求出“60人中没有两人生日相同的概率”
365×364×363×…×306
P(A)= —————————————— =0.0059
365×365×365×…×365
则60人中有2人生日相同的概率为：
P=1-P(A)=1-0.0059=0.9941
即“60人中有2人生日相同的概率”为0.9941
如果班人有45人或55人等，可类似地进行计算
2、用“树状图”原理，求6人中至少有2人生肖相同的概率
先求出“6人中没有2人生日相同的概率”：
设计方案：学生自主设计.
方案一：将每个同学调查的生日随机排列成一方阵，然后按某一规则从中选取50个数据进行实验（如25×20），从某行某列开始，自左而右，自上而下，，选出50个数）.
方案二：把全班每个同学所调查的数据写在纸条上，放在箱子里随机抽取.
方案三：从50个同学手里随机抽取一个调查数法估计复杂的随机事件发生的概率。
难点
试验估计随机事件发生的概率；
教法
试验、统计
教
学
过
程
集 体 备 课
一、课前准备（提前一周布置）
以6人合作小组为单位，开展调查活动：每人课外调查10个人的生日、生肖.
教师:提醒学生尽量避免调查相同的人，最好每个小组的调查范围相对确定，如：初一、初二、初三等。
二、情境引入
《红楼梦》第62回中有这样的情节：
当下又值宝玉生日已到，原来宝琴也是这日，二人相同。……
袭人笑道：“这是他来给你拜寿.今儿也是他的生日，你也该给他拜寿.”宝玉听了，喜的忙作下揖去，说：原来今儿也是姐姐的芳诞.”平儿还福不迭。……
探春忙问：“原来邢妹妹也是今儿，我怎么就忘了。”
……
探春笑道：“倒有些意思，一年十二个月，月月有几人生日。人多了，便这等巧了，也有三个一日，两个一日的。……
学生：置身于情境之中，并陷入思考：为什么“便这等巧？”
三、探索新知
经历试验、统计等活动过程，估计复杂随机事件（生日相同）的概率。
1、教师：提出问题串
（1）400位同学中，一定有2人的生日相同（可以不同年）吗？有什么依据呢？
（2）300位同学中，一定有2人的生日相同（可以不同年）吗？
（3）教师提出一个论断：“我认为咱们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同”你相信吗？
对于问题（1），学生可以用“抽屉原理”加以解释。例如，有的学生会给出如下的解释：“一年最多366天，400个同学中一定会出现至少2人出生在同月同日，相当于400个物品放到366个抽屉里，一定至少有2个物品放在同一抽屉里—抽屉原理：把m个物品任意放进几个空抽屉里（m＞n），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物品”。
方案二：将全班调查好所有结果写在纸条上，放进箱子里随机抽取6张.
方案三：生肖结果用数字代替排成方阵.
教师指导活动过程：
（1）简化过程，把生肖按顺序用1-12个数据代替.
（2）鼓励学生积极大胆发表自己的见解.
（3）在讨论、交流过程中使学生进一步感受大量重复试验中频率稳定于概率的意义.
（4）激励学生探索该问题的模拟试验.
课题
§3.2 用频率估计概率
主 备 人
执 教
教学目标
知识与能力：经历收集数据、进行试验、统计结果、合作交流的过程，估计一些复杂的随机事件发生的概率.
过程与方法：经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.
情感态度与价值观：通过对贴近学生生活的有趣的生日问题的试验、统计，提高学生学习数学的兴趣，且有助于破除迷信，培养学生严谨的科学态度和辩证唯物主义世界观.
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
20
0.4114
29
0.6810
38
0.8641
47
0.9548
56
0.9883
21
0.4437
30
0.7105
39
0.8781
48
0.9606
57
0.9901
22
0.4757
31
0.7305
40
0.8912
49
0.9658
58
0.9917
23
0.5073
32
0.7533
41
0.9032
50
0.9704
59
0.9930
24
0.5383
33
0.7750
42
0.9140
51
0.9744
60
0.9941
25
0.5687
34
0.7953
43
0.9239
52
0.9780
26
0.5982
35
0.8144
44
0.9329
53
0.9811
27
0.6269
36
0.8322
45
0.9410
54
0.9839
方案四：全班分成10个小组，把每个小组调查数据放在一起，打乱次序，随机抽取5个，然后10个小组的结果放在一组成50个数据.
教师指导活动过程：
（1）节约时间，生日表示方式简化成四位数.如“0217”
（2）人人参与，大胆发言、交流、讨论从大量的重复试验活动中感受生日相同的概率较大.
（3）激励学生提出更好的活动方案，如：产生1～365之间某一自然数随机数的方法；分工制作1～365自然数卡片，放入纸箱随机抽取一张，记下号码，放回去，再随机抽取，直至抽出50张，多次重复试验，并估计出50人中有2人生日相同的概率，此为模拟试验.
此问题的理论概率约0.78，在此不要求学生把结果精确到那一位.
五、课时小结
本节课经历了调查、收集数据、整理数据、进行试验、统计结果，合作交流的过程，知道了用大量的实验频率来估计，一些复杂的随机事件的概率，当试验次数越多时，实验频率稳定于理论概率，还知道了“直觉并不可靠”，本节“生日相同的概率”50人中有2人生日相同的概率竟高达0.97，这有违我们的“常识”。实际上，生活中有很多类似巧合，实则平凡且极为平凡的现象，如果我们从科学的角度通过实验估计随机事件发生的概率，用知识来武装我们的头脑，我们就会“透过现象看本质”，也不会受别有用心的人的欺骗，从而破除迷信，树立正确的唯物主义世界观.
对于问题（2），学生会给出“不一定”的答案。
对于问题（3），学生会表示怀疑，不太相信。
于是，在班级课堂里展开现场的调查。得到数据后请学生反思：
1如果50个同学中有2人生日相同，能否说明50人中有2人生日相同的概率是1？
2如果50人中没有2人生日相同，就说明50人中2 人生日相同的概率为0？
学生能根据以往的知识进行反思，并能举一些类似的问题作为例子。例如：
师生归纳：通过以上探索活动，经历了大量重复试验，能估算出50人中有2人生日相同的概率是多少.约0.9704，很大.
结果可解释《红楼梦》生日相同“遇的巧”的问题.
这个结果出人意料之处就在于其结果违反了人们的直觉：人们往往觉得两人生日相同是一种可能性不大的事情，计算结果却是：如果人数不少于是23人，这种可能性就达50%.看下表是“几个人中至少有2人生日相同”的概率大小表：
28
0.6545
37
0.8487
46
0.9483
55
0.9836
四、练习提高
课本P70随堂练习
课外调查的10个人的生肖分别是什么？他们中有2人的生肖相同吗？6个人中呢？利用全班的调查数据设计一个方案，估计6个人中有2个人生肖相同的概率.
设计方案：模仿生日问题，学生自主设计方案：
方案一：全班分6人一小组试验（多出人员可一人当2人，3人），每人随机写下自己调查的一个生肖，小组长汇总收集数据，统计结果，课代表收集全班数据，估算6人中有2人生肖相同的概率.
12×11×10×9×8×7
P(A)= ——————————— =0.22
12×12×12×12×12×12
则“6人中有2人生肖相同的概率”为：
P=1-P(A)=1-0.22=0.78
个 案 修 改