第讲余数问题
小学中级奥数第25讲-余数问题
23、16除以5的余数分别是3 和1，所以（23X16）除以5 的余数等于3X1=3。
23、19除以5的余数分别是3 和1，所以（23X19）除以5 的余数等于（3X4）除以5的 余数2。
某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于
。
一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．
求 478 296351 除以17的余数。
求 4373091993 被7除的余数。
22003 与 20032 的和除以7的余数是_______。
22008 20082 除以7的余数是多少？
有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数。
甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
用某自然a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。
当1991和1769除以某个自然数n，余数分别为2和1．那么，n最小是多少？
有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个 整数是______。
课后作业 <作业2> 3782除以某个整数后所得的商恰好是余数的21倍，那么除数最小可能是_______。
课后作业 <作业3>
在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有______个。
<作业4>
求 478 2569352 除以9的余数。
课后作业
<作业5>
求 3406 的个位数字。
除法算式 □□= 20 8 中，被除数最小等于________。
71427和19的积被7除，余数是几?
数学秋季教案 四年级-8 余数问题
4.总结交流。
答案：
235÷18=13……1
1×1×1×1×1=1
答：被除数是395，除数是17。
三、巩固应用、尝试成功。
（一）拓展问题4
4.在一道除法算式中，被除数比除数的25倍多3。被除数、除数、商、余数的和是369，除数是多少？
1.学生读题，分析题目。
2.师生合作，教师提示。
师：分析这道题目，与我们之前做的例4，例5有什么不同之处呢？
生：之前的题目告诉了四个量之间的和，还已知了商和余数具体是多少，但这道题目没有给出来。
1.学生读题，明确题意。
2.教师引导。
师：在一道除法算式中，被除数，除数与商有什么关系呢？大家列举出来。
生：被除数÷除数=商；
被除数÷商=除数；
商×除数=被除数。
师：根据这些关系，结合题目中的数目，你能得出什么？
生1：已知被除数，除数和商的和，还知道了商，所以被除数+除数=674-26。
生2：因为被除数=商×除数，也就是被除数=26×除数。
3.学生独立完成，同桌之间相互交流。
4.总结交流。
答案：
现除数：(1039-7-4×5-4×5)÷（7+1）=124
原除数：124÷4=31
原被除数：31×7+5=222
答：原来的被除数是222，原来的除数是31。
四、拓展视野
5个235相乘，再来除以18，余数是多少？
1.学生读题，寻找思路。
2.师生合作。
答案：
35÷11=3（箱）……2（箱）
答：分完后还剩2箱矿泉水没人搬。
(35×3)÷(11×3)=3（箱）……6（箱）
答：每人搬运一次后，地上还剩6箱“芬达”。
小学三年级奥数余数问题
第三讲 余数问题一、知识概要（1） 被除数÷除数＝商……余数余数一定要小于除数被除数＝除数×商＋余数,或被除数－余数÷商＝除数;（2） 一个数被9除的余数叫做这个数的“九余数”或“弃九数”;求一个数的九余数,就是求这个数各个数位上数字之和的九余数;例如：求345÷9的余数,就用3＋4＋5÷9＝12÷9＝1……3,可知345÷9的余数是3;（3） 如果整数a 和b 被几除,得到的余数是相同的,那么,我们僦称a 和b “同余”;同余性质有：⑴若a 和b 同余,c 和d 同余,则a ±c 和b ±d 同余；⑵若a 和b 同余,c和d 同余,则a ×c 和b ×d 同余;二、典型例题精讲1、 △□□□□□△□□□□□△□□……这列图形的第310个图是什么图形识题技巧：这个图形的排列规律是：“△□□□□□”6个为一组依次循环;求出310的余数,找到排列在第“余数”位的那个图形即是;解：310÷6＝51组……4个答：这个图形的第310个图是□;2、 哪些数除以7结果的商和余数都相同识题技巧：把原题写成□÷7＝□……□的形式,因为“余一定小于除数”,所以,余数有7-1种可能;根据“知识概要”<1>可解答解：如表所示;答：这些数是8、16、24、32、40、48;3、积的个位是数字几？个19933333⨯⨯⨯⨯ 识题技巧：3＝3 1个33×3＝9 2个33×3×3＝27 3个33×3×3×3＝81 4个33×3×3×3×3＝243 5个33×3×3×3×3×3＝729 6个3…………………从以上算式不难看出它们的规律：积的个位数字随“×3”个数的增加而按“3、9、7、1”依次循环;因此,这个题是个“余数问题”;解：199÷4＝49组…………3个,3个3相乘积的个位为7;答：积的个位数字是7;4、去年200年的“元旦”是星期二,那么今年2003年的“元旦节”是星期识题技巧：<1>“元旦”即1月1日,从2002年元月1日到2003年元月1日共有365＋1天,即366天;<2>星期是7天为一个周期;<3>按本题的意思,星期的排列规律是：星期二、星期三…………星期一;解：366÷7＝52个周期…………2天排在第2的是星期三答：2003年的“元旦节”是期三;5、计算2731596÷7284,并用“九余数”法验算;识题技巧：“九余数”就是把某一个数的各个数位上的数字加起来,所得的和再除以9而得到的余数;也可以这样做：把各个数位上的数加起来之后,如果和仍然还是两位以上的数,那么再继续把和的各个数位的数字加起来,直到和是一位数,这个“一位数”即是“九余数”;解： 验算： 6、 幼儿园老师给四个小朋友依次发水果糖,当第三个小朋友拿到7颗糖时,老师已发了多少颗糖 识题技巧：第三个小朋友拿到了7颗,这说明老师循环发了6次多3人或7次少 1人; 解：6×4＋3＝27颗或7×4－1＝28－1＝27颗 答：老师已经发了27颗糖;三、练习巩固与拓展1、 小英同学有一串五彩珠子,是按“红、黄、蓝、绿、紫”的次序排列的,问：<1>第58颗是什么颜色的<2>第8颗蓝珠子是从头数起的第几颗<3>第9颗紫珠子与第13颗丝珠子之间有多少颗珠子2、 2003年的“六·一”儿童节是星期日,这一年的10月1日国庆节是星期几2004年的“元旦节”是星期3、 □÷8＝□……□,余数可能是几96 36420 36516 50988 54639 21852 2731596375 7284 33和 21 15 15 6余数 3 × 66 18 90 6 ＝ 0 ＋ 6 2731596÷7284＝375 (96)4、 □÷□＝□………7,除数最小是几5、 □÷7＝16………□,要使余数最大,被除数是几6、，积的末位数字是几？个1873333⨯⨯⨯⨯ 7、几？，积的末位数字应该是个3002222⨯⨯⨯⨯ 1、 在下面的乘法中,A 、B 表示不同的数字,试问：A 、B 各代表哪一个数字 9、钟面上现在是整点,分钟再转100圈,正好是四点整,钟面上现在是几点钟10、有红、白、黑球具2000个,按“红4个、白3个、黑2个”的顺序循环排列如下图,最后一个是什么颜色的球11、星期四,再过25天,第26天是星期几12、假设所有的自然数排列起来如下图,120应位于哪一个字母下面A B C D E F G1 2 3 47 6 58 9 10 1114 13 1215 16 …………13、在下列这串分数中：14、张江同学计算一个奥数题,由于粗心,把某数除以23等87余12,余数写多于正确答案10;你说“某数”是多少15、某边防部队不分昼夜地轮流站岗,前5天由五个战士每隔2小时依次轮换一次;以第一个战士开始手,100小时该由第几个战士上班16、紧接着2063的后面写一串数字,每个数字都是它前面两个数字之积的个位数字,这串数是这样的：……你算：这串数从头数起第2063个数字是几17、杨军在外婆家玩了9天,回家后,将这9天的日历撕下来,他惊奇地发现：这9天日历上的数相加刚好是81;你想：杨军是几号回家,几号去外婆的他为什么感到“惊奇” 第三讲 练习题答案1、158÷5＝11……3排在第3位的是“蓝”故：第58颗是蓝色;25×8－2＝38颗故：第8颗蓝珠子是第38颗;2、1123÷7＝17……4 排在第4位的是星期三46363302A B A ⨯B故：国庆节那天是星期三;2225÷7＝30……5余数为5,按星期规律排在第五是星期四故：2004元旦是星期四;3、余数可能是7、6、5、4、3、2、1、0这八种情况;4、除数最小是8;5、当余数为6时,被除数是16×7＋6＝118;6、187÷4＝46……3第3个重复出现的是“7”故：积的末位数字是7;7、300÷4＝75余数为0,是排在第四位的重复出现数“6”故：积的末位数字是68、A 代表5；B 代表6;9、<1>100÷12＝8……4小时<2>4－4=0即12点运用倒推法故：钟面上现在是12点;10、2000÷9＝222……2个第2个是“红”故：最后一个是红球;11、26÷7＝3周……5天,第5循环数是“1”故：第26天是星期一;12、提示：循环规律是：7个数为一组依次重复出现在A －G 七个字母下面120÷7＝17……1第一个字母是A故：120位于A 下面;13、提示：分母和分数的出现规律是：分母是1,有分数1个；分母是2,有分数3个；分母是3,有分数5个……分数个数成一个等差数列1、3、5、7、9……;分母为6,相对应的分数有11个,66排在分母为6这一组中的第6个; <1>9＋1×5÷2＋6＝31个 故：66是第31个分母数; <2> ∵分数的个数与分母有这样的关系如下表∴第29个分数应该是分母是6这一组中的第四个,即64 ; 14、∵□÷23＝87……12中的“12”多3 10,∴□＝23×87＋12－10＝2003故：“某数”是200315、∵A B C D E 5个战士1－2 3－4 5－6 7－8 9－10 时间11－1213－1415－1617－1819－20………………………………………每隔10小时1循环∴100÷10＝10余数为0或9都是轮为“E”故：100小时时该由第五个战士上班;16、提示：这串数从11位开始,每6个为一个周期循环出现,而且每一位上的数字与余数的对应关系是：∵2063÷6＝343 (5)故：这串数从头数起第2063个数字是817、设杨军去的那天是K号,则第二天就是K＋1号,第三天就是K+K+1+K+2+K+3+K+………+K+8=819K＋1＋8×8÷2＝819K＝45K＝5K＋8＝13故：杨军是5号去外婆家的,13号回家;杨军之所的感到惊奇,是因为他发现9天连续日期的和等于9×9；不仅9天这样,凡是3、5、7、11、13………奇数天连续日期的和等于那个奇数和本身的乘积;注意：不是任意奇数天连续日期的和都这样,而是特定的从某天开始;如本题必须是从5号从6号就不一定了开始,到13号这九天日期才是81;。
数论之余数问题
数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a〔b=q……r，也就是a＝b〓q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23〓16除以5的余数等于3〓1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23〓19除以5的余数等于3〓4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
二年级下册数学课件(数学思维)-第8讲 余数问题｜全国通用 (21页)PPT
答：李老师原来有26张画片。
举一反三
莉莉和5名小朋友一共要做32朵花，平均每名小朋友做几朵花？ 莉莉需要多做几朵，才能完成任务？
32 ÷ 6 = 5（朵）……2（朵）
答：平均每名小朋友做5朵花，莉莉 需要多做2朵，才能完成任务。
举一反三
一个游乐项目玩一次需5元，李老师带了43元，可供几人玩？
摆一摆 用火柴棒摆正方形。
（3）用15根摆
除数大于余数法！
列式：15÷4=3（个）……3（根）
列一列 看图填空。
（19 ）÷（ 5 ）=（ 3 ）……（ 4 ） 想一想：可以互换吗？ 除数大于余数法！
19÷5=3……4
练一练
巧算余数，再填空。
（1）48÷（ 5 ）=9……3 （2）（ 35 ）÷（ 9 ）=3……8 （3）（26 ）÷6=4……2 （4）67÷（ 9 ）=7……4 （5）在算式（ ）÷8=6……（
15 ÷ 4 = 3（张）……3（人）
3 + 1 = 4（张） 答：不够，需要4张桌子。
余数不能舍， 添份才oK!
练一练
有22名小朋友要过河，每条船上最多可以坐6名小朋友， 至少需要几条船才可以把所有小朋友送过河？
22 ÷ 6 = 3（条）……4（名） 3+1=4（条）
答：最少需要4条船。
拿一拿
最大时，被除数是（ 55 ）。
）中，余数
练一练
从1~90的自然数中找符合条件的数填在下面的横线上。 （1）除以9没有余数的有：
9、18、27、36、45、54、63、72、81、90 （2）除以9余4的有：
13、22、31、40、49、58、67、76、85
余数问题教案2(教师版)
课题：余数问题班级姓名还是有两个机会有个年轻人，届逢兵役年龄，抽签的结果，正好抽中下下签，最艰苦的兵种－－海军陆战队。
年轻人为此镇日忧心重重，几乎已到了茶不思、饭不想的地步。
年轻人深具智慧的祖父，见到自己的孙子这付模样，便寻思要好好开导他。
老祖父：“孩子啊，没什么好担心的。
当了海军陆战队，到部队中，还有两个机会，一个是内勤职务，另一个是外勤职务。
如果你分发到内勤单位，也就什么好担心的了！”年轻人问道：“那，若是被分发到外勤单位呢？”老祖父：“那还有两个机会，一个是留在本岛，另一个是分发外岛。
如果你分发在本岛，也不用担心呀！”年轻人又问：“那，若是分发到外岛呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是后方，另一个是分发到最前线。
如果你留在外岛的后方单位，也是很轻松的！”年轻人再问：“那，若是分发到最前线呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是站站卫兵，平安退伍；另一个是会遇上意外事故。
如果你能平安退伍，又有什么好怕的！”年轻人问：“那么，若是遇上意外事故呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是受轻伤，可能送回本岛；另一个是受了重伤，可能不治。
如果你受了轻伤，送回本岛，也不用担心呀！”年轻人最恐惧的部分来了，他颤声问：“那……若是遇上后者呢？”老祖父大笑：“若是遇上那种情况，你人都死了，还有什么好担心的？倒是我要担心，那种白发人送黑发人的痛苦场面，可不是好玩的喔！”人生拥有的，是不断的抉择，端看您是用什么态度，去看待这些有赖您决定的无数机会。
能够综观每件事情、每个问题的正反两面，您将发现，内心最深沉的恐惧，也在所有状况明朗了解之后，将会自行化为乌有。
感悟：【运河通道1】a是自然数，除数b是自然数（a＞b），商也是自然数时，出现的余数是小于除数的自然数的除法，叫做带余除法。
并且余数小于除数。
当余数不为零时，商叫做不完全商。
【运河通道2】余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
五年级奥数：第14讲 余数问题
五年级奥数：第14讲余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c 的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
第讲余数问题
第讲余数问题第⼗讲余数问题常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。
解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解⽅法。
下⾯我简单谈谈这四类问题：㈠带余除法。
⼀般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么⼀定有另外两个整数q和r，使得α÷b＝q……r或α＝b×q＋r当r=0时，我们称α能被b整除。
当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。
带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定⼩于除数。
出题者常常会在这⾥设置陷阱。
#㈡余数周期。
这其中⼜分为递推数列（给⼀串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求⼀个数的n次⽅除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题⼀个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。
例如，求3130÷13的余数。
例如尖⼦班作业1。
㈢同余问题。
1、什么是“同余”整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。
记作：α≡b （mod c）例如：15÷4＝3 (3)23÷4＝5 (3)`15和23对于除数4同余。
记作：15 ≡23 （mod4）可以理解为15和23除以4的余数相同。
2、“同余”的四个常⽤性质是什么同余性质1：如果α≡ b (mod m)，则m︱（α－b）若两数同余，他们的差必是除数的倍数。
例如，73 ≡23 (mod 10)则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。
$同余性质2：如果α≡ b (mod m)，c ≡d (mod m),则α± c ≡ b ± d (mod m)两数和的余数等于余数的和。
两数差的余数等于余数的差。
例如，73 ≡3 (mod 10)84 ≡4 (mod 10)73+84 ≡3+4≡7 (mod 10)84－73≡4－3≡1 (mod 10)#同余性质3：如果α≡ b (模m)，c ≡d (模m),则α× c ≡b×d (模m)两数积的余数等于余数的积。
第6课 余数问题
第4课余数问题设n是一个正整数，我们知道，任何一个整数被n除的的余数必然为0，1，2，…，n-1中的一个.因此，按照被n除得的余数，可以将所有的整数分成n类：余数为0、余数为1、余数为2、…、余数为n-1.例如，当n=2时，整数分为2类：奇数和偶数.如果两个数a和b被n除所得的余数相同，我们称a和b关于模n同余，记作a≡b(mod n).根据定义，a和b关于模n同余也可以用下面两种方式叙述：(1)若n|(a-b)，则a、b对模n同余；(2)若a=b+nk(k是整数)，则a、b对模n同余.同余具有以下性质：(1)反身性：a≡a(mod n).;(2)对称性：若a≡b(mod n),则b≡a (mod n)；(3)传递性：若a≡b(mod n), b≡c (mod n)；则a≡c(mod n)(4)可加性：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a±c≡b±d(mod n); ac≡bd(mod n);(5)可乘性：若a≡b(mod n)，c是整数，则ac≡bc(mod n)，a n≡b n(mod n)根据(5), 若a≡b(mod n)，c≡d(mod n),则ac≡bd(mod n).反过来未必成立，即若ac≡bc(mod n)，不一定有a≡b(mod n)，但是有下面的：(6)若ac≡bc(mod n)，且(c,n)=1，则a≡b(mod n).例1、已知a、b是整数，a除以7余3，b除以7余5，当a2>4b时，求a2-4b除以7的余数是多少？(92年，天津)例2、一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被4除余3，被3除余2，被2除余1，求N的最小值.(91年，北京)例3、证明：任意三个连续自然数的两两之积的和不可能等于30000.(95年，俄罗斯)例4、任意给出n+1个整数，证明：其中必有2个的差被n整除.例5、证明：连续的n个整数中必有一个是n的倍数.例6、设a是整数，求证：5|a5-a.例7、设p 以及2p +1都是素数，且p >3，证明：4p +1是合数.练习：证明以下结论：(1)完全平方数被3除，余数是0或者1；(2) 完全平方数被5除，余数是0，1或4；(3) 完全平方数被4除，余数是0或者1；(4) 完全平方数被8除，余数是0，1或4.例8、求证：(1)8|(551999+17); (2) 8|(32n +7) ; (3)17|(191000-1)例9、m 、n 是正整数，证明：3m +3n +1不可能是完全平方数.例10、今天是星期二，明天起算第一天，则第333200921+++ 天是星期几？例11、n>1且为整数，由n 个1组成的正整数称为“重1数”，如11，111，1111，等等.求证：重1数中没有完全平方数.练习：1、已知2222222101100994321+-++-+-= S ，S 被103除的余数是_______.2、(1)20082009+20092008的末位数字是______;(2)19492009的末两位数是_______.3、证明：连续2个整数的积被3除，余数是0或者2.4、a除以5余1，b除以5余4，如果3a>b，那么3a-b除以5的倍数是_____.5、1+22+33+44+…+99≡_____(mod3)6、一个数除以3余2，除以4与1，这个数除以12的余数为______.7、整数11…1(1000个1)被6除的余数为________.8、273747被7除的余数是______.9、一枚棋子放在五边形的0位上，现沿顺时针方向按照下面的规律移动：第一次移动1格，第二次移动2格,…,第n次移动n格.求证：无论移动多少次，棋子总不可能停在第2、第4格上.432110、20082009表示成7进制数的个位数字是多少？11、是否存在这样的正整数n，使得3n2+7n-1能整除n3+n2+n+1?请说明理由.12、求证：任意11个整数中，一定有6个数的和被6整除.13、任给7个不同的整数，证明：其中必有2个数，其和或差是10的倍数.14、黑板上有1，2，…，1987这些数，作这样的变换：将黑板上的数擦去一些，并添上被擦去的数的和被7除所得的余数.经过若干次后，黑板上只有2个数，一个是987，求另一个数.15、用数字1，2，3，4，5，6，7各11个，随意排成一个77位的整数，求证：所得的数不是完全平方数.16、任意取一个被9整除的2009位数，其数码之和为a，a的数码之和为b，b的数码之和为c，求c.。
六年级秋季班第十讲余数问题
第十讲余数问题一、知识点概括1、余数的性质a、可加性：和的余数等于余数的和。
例：17÷3=5…2，8÷3=2…2；则17+8除以3的余数等于2+2除以3的余数为1。
b、可减性：差的余数等于余数的差。
例：17÷3=5…2，8÷3=2…2；则17-8除以3的余数等于2-2除以3的余数为0。
c、可乘性：积的余数等于余数的积。
例：17÷3=5…2，8÷3=2…2；则17×8除以3的余数等于2×2除以3的余数为1。
b、乘方性：周期性变化。
2、带余数除法算式: a÷b=c…ra、余数比除数小。
即：r＜b.b、a-r=b×c，即：被除数减去余数后原来的整除，质合等知识点都会存在。
3、同余式若两个自然数a、b都被同一个自然数m除时，有相同的余数，那么我们称a、b对于模m 同余，用“同余式”表示为a≡b（modm）.例如：17÷3=5…2，8÷3=2…2；则我们用“同余式”表示为17≡8≡2（mod3）4、物不知其数方法一：加同余。
即最小公倍数加上相同的余数。
例：除以3余1，除以4也余1的最小两位数为[3,4]+1=13.方法二：减同补。
即最小公倍数减去相同的补数。
例：除以3余1，除以4余2的最小两位数为[3,4]-2=11.方法三：逐级满足。
二、例题讲解例1：分析：此题是余数的可加性和乘方性的应用。
根据可加性我们可以先分别算出、各自的余数最后在相加即可。
但各自的余数又要通过乘方性方能解决。
解答过程如下：（1）求除以13的余数，根据余数的可乘性列出同余式：31÷13=2 (5)个相乘（）个相乘个相乘列表：除以13余数为5；除以13余数为12；除以13余数为8；除以13余数为14个一循环，则与的余数相同。
即（）（2）同理：除以13余数为4；除以13余数为9；除以13余数为3；除以13余数为10；除以13余数为12；除以13余数为1；最后：提高练习：（1）求除以7的余数？提示：余数的乘方性答案：5.（2）有一串数：1,1,2,3,5,8…，从第三个数起，每个数都是前两个数的和，在这串数的前2009个数中，有多少个是5的倍数？提示：找规律。
小学奥数知识讲解：余数问题
小学奥数知识讲解：余数问题
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；
⑦同倍性：若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：
如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
第 讲 余数问题
第讲余数问题余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≢r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商。
(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。
(2)当0例1、用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．例2、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．练习：1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
2、有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？3、用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这两个自然数各是多少？4、三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
5、一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．6、有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?7、一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．二、三大余数定理：1.余数的加法定理（1）a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.（2）当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
上海奥数精讲 第5讲 余数问题(教师版)
教具准备1、课件:PPT、“例1”、“例1拓展”、“例1”和“例1拓展”flash动画。
２、板书。
教学难点有余数除法的计算方法．教学重点有余数除法的计算方法．教学目标1、使学生初步理解有余数除法的意义，掌握带余除法的计算方法．2、通过余数分析解有关整数的问题.3、培养学生初步的观察、概括能力．第5余数问题教学过程教学目标：激发学生对带余除法的相关问题产生浓厚的学习兴趣。
环节一：上节课回顾内容1、 什么是带余除法?被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
2、被除数÷除数=商…余数（余数 < 除数）被除数=除数×商+余数3、同余：a 、b 两个自然数除以自然数n 所得的余数如果相同，我们称a 、b 对于除数n 同余引入【讲解过程】环节二：求被除数教学目标：学习带余除法中求被除数的方法并解决相关问题。
例1在90～110之间有一个数，能被例2【讲解过程】环节三：教学目标：学习带余除法中求除数的方法并解决相关问题。
例31、师生审题，教师提问：这个题是要求什么？答：要求除数。
例4【讲解过程】环节四：教学目标：学习带余除法中求余数的方法并解决相关问题。
30例5【讲解过程】例6教学目标：整理全课思路，巩固收获、全课你学到了什么？、带余除法的意义是什么？用式子怎么表示？巩固目标：熟练同余同差等性质解决相关的余数问题。
【练习1】一盒乒乓球，每次8个8个地数，总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个? 方法总结体现之处趣味性体现之处板书设计环节五：一切的一切，你要用鼓励的方法来控制儿童的行为，来督促儿童的求学。
消极的制裁不会发生多大的效果的，有时候反而容易引起他的、多接近自然和社会。
走进自然和深入社会是养成儿童良好习惯的有效途。
第一讲余数问题
2014年龙文1对1五年级第一讲余数问题二卡1例题讲析i基本性质1：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）宁除数。
余数小于除数。
理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了。
在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了。
【例1】甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。
【例2】一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数.【例3】有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。
求这个数。
【例4】十二张扑克牌，2点、6点、10点各四张.你能从中选出七张牌，使上面点数之和等于52吗？说明理由.基本性质2：如果a，b除以c的余数相同，就称a、b对于除数c来说是同余的，且有a与b 的差能被c整除。
（a,b,c均为自然数）例如：17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。
【例5】有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3,求这个数。
【例6】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a>b，求ab X ba基本性质3: a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c 的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1,所以（23+16）除以5的余数等于3+仁4 注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23, 19除以5的余数分别是3和4,所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5 的余数。
【例7】有一列数排成一行，其中第一个数是3,第二个数是10,从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少?222 - 2除以13所得余数是 f ' ----2000 个"2"【例9】 191919…19除以99,余数是 _________20基本性质4： a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数之积（或这个积除以 c 的余数）。
五年级奥数-第十讲.数论之余数问题.教师版
第十讲：数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
余数问题
2.学校新买来118个乒乓球，67个乒 乓球拍和33个乒乓球网，如果将这 三种物品平分给每个班级，那么这 三种物品剩下的数量相同．请问学
校共有多少个班？
解析：所求班级数是除以余数相同的数．那么可 知该数应该为118-33=85和67-33=34的公约数， 所求答案为17．
3.(2000年全国小学数学奥林匹克试 题)在除13511，13903及14589时能
除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）； • 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位
分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余 数就是原数被7，11或13除的余数。
• 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以 23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和 3+1。
• 当余数的和比除数大时，所求的余数之和再除以c 的余数。
• 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2。
B.余数的减法定理
(法1) 39-3=36，51-3=48，（36,48）=12，12的 约数是1，12,3,4,2,6，因为余数为3要小于除 数，这个数是4，6,12；
• (法2)由于所得的余数相同，得到这个数一 定能整除这三个数中的任意两数的差，也 就是说它是任意两数差的公约数．5139=12，147-39=108，（12,108）=12，所 以这个数是4，6,12 ．
• a÷b=q……r a与b的差除以c的余数，等于 a、b分别除以c的余数之差。
• 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所 以23—16=7除以5的余数等于2。两个余数 差3—1=2，
5-第3讲 余数问题
第11讲余数问题【知识点】姓名：解决余数的两个重要性质：（1）被除数=商×除数＋余数。
（2）借助因数和倍数的知识。
【典型例题】一、借助“整除”来帮忙。
【例1】一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。
【练习1】237除以一个两位数所得的余数是6，这样的两位数是多少？【例2】一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。
那么，被除数、除数、商及余数之和是多少？【练习2】两数相除，商是498，余数是3。
那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？【例3】两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之和是866。
求这两个数。
【练习3】两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数之和等于415。
被除数是多少？【例4】某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数最小是多少？【练习4】一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余5。
求这个自然数的最小值。
二、综合运用，发散思考【例5】有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，三个余数之和为25，那么这三个余数中最小的数是多少？【练习5】有一个整数，用它去除70，110，160所得的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？【习题精练】1、简答：（1）有一队民兵在操场上列队，只知道民兵人数在90至110人之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，则共有民兵多少人？（2）五（1）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，那么上体育课的同学最少有多少人？（3）一个教练数田径队的学生，每4个一数，最后剩下2人；每5个一数，最后剩下1人。
田径队女生比男生多，女生有15人，则男生有多少人？（4）某会议有代表不到200人，分住房时，每5人一间多3人；吃饭时，每9人一桌少1人；开小组会时，每7人一组多6人，那么到会的代表有多少人？（5）一个自然数除以19余9，除以23余7，那么这个自然数最小是多少？2、1—100中的哪个自然数被3和5除余1，且能被7整除？3、有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1。
六年级数学余数问题
第11讲余数问题1．有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？2．已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？3．有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．4．有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．5．甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？6．20032003的和除以7的余数是________．2与27．有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和．⨯⨯⨯⨯⨯⨯的结果的末一位数字是多少？末两位数字是多少？末三位数字是多8．135791949少？课后展示1．有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1．问这个数除以12余数是几？2．有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？3．一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？4．1949 3790的计算结果除以19的余数为多少？5．用一个自然数去除836、642、254所得的余数之和为79，那么除数是多少？6．1 请将2、3、4、5…21这20个数分成10组，每组两个数，两数乘积除以23余数是1。
2能否将2、3、4、5…99这98个数分成49组，每组两个数，两数乘积除以101余数是1。
第12讲抽屉与最值1．从1，2，3，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？2．有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?3．在边长为1的正方形内随意放进9个点，证明其中必有3个点构成的三角形的面积不大于18．4．从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定有两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1．5．从自然数1，2，3，，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？6．实验小学的礼堂一共有座位24排．每排有座位30个，全校有650个学生在礼堂开会，那么至少育多少排座位上坐的学生人数同样多?7．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这个10个自然数填到图中10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于p，则p的最大值是多少？8．老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1,2,…31．如果有两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从这31位同学中至少需要选出人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．课后展示1．用0，1，2，…，9这10个数字各一次组成5个两位数a、b、c、d、e．请问：a – b + c – d + e 最大可能是多少？2．将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时，人数最少的那组有多少人？3．我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如8 = 3 + 5．有的数有几种不同的表示方法，例如100 = 3 + 97 =11 + 89 =17 + 83.请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？4．将6、7、8、9、10这5个数按任意次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得的5个乘积相加，请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？5．有5袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过60.这5袋糖块总共最少有多少块？6. 一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“ + ” 尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且能进行加法运算．为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？第13讲方程综合1．某八位数形如2abcdefg，它与3的乘积形如4abcdefg，则七位数abcdefg应是．2．人参加测验？3．一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9:7；过了一会儿跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7:5．这群羊原来有多少只？4．如图，图中5、8和10分别代表包含该数字的三个三角形的面积．试问：包含X这个字母的四边形面积是多少？X85105．三角形ABC 中，11111112AC B A C B A B B C C A ===，问：?DEF ABC S S ∆∆=DE FC 1B 1CA 1BA6．三张卡片上分另标有p 、q 、r 数码(整数)且0p q r <<<，游戏时将三张卡片随意分发给A 、B 、C 三个人，每人各一张，根据每个人得到卡片上的数码数分别给他们记分，如此重复游戏若干轮，结果A 、B 、三人得分总数分别为20、10、9．已知B 在最后一轮的得分是r ，那么⑴ 在第一轮得分是q ；（2）p 、q 、r 分别是 、 、 ．7．河水是流动的，在Q 点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从P 到Q ，然后穿过湖到R ，共用3小时．若他由R 到Q 再到P ，共需6小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度，那么从P 到Q 再到R 需52小时．问在这样的条件下，从R 到Q 再到P 需几小时？8．解不定方程1531003100x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ (其中x 、y 、z 均为自然数)课后展示1 有一个六位数1abcde乘以3后变成1abcde，求这个六位数．2甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克．如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元．求每人可免费携带的行李重量．3甲、乙两人在10年前的年龄比为2：3，现在他俩的年龄比为3：4，那么10年后他俩的年龄比为多少？4甲、乙两种商品的原来价格比是7:3．如果它们的价格各自上涨70元，它们的价格比变为7:4．求甲乙两种商品的原价各是多少元？5解方程180012008001600015a b ca b c++=⎧⎨++=⎩（其中a、b、c均为正整数）6有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；则购买甲、乙、丙各1件，共需要元。
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第十讲余数问题常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。
解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。
下面我简单谈谈这四类问题：㈠带余除法。
一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，使得α÷b＝q……r或α＝b×q＋r当r=0时，我们称α能被b整除。
当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。
带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。
出题者常常会在这里设置陷阱。
#㈡余数周期。
这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。
例如，求3130÷13的余数。
例如尖子班作业1。
㈢同余问题。
1、什么是“同余”整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。
记作：α≡b （mod c）例如：15÷4＝3 (3)23÷4＝5 (3)`15和23对于除数4同余。
记作：15 ≡23 （mod4）可以理解为15和23除以4的余数相同。
2、“同余”的四个常用性质是什么同余性质1：如果α≡ b (mod m)，则m︱（α－b）若两数同余，他们的差必是除数的倍数。
例如，73 ≡23 (mod 10)则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。
$同余性质2：如果α≡ b (mod m)，c ≡d (mod m),则α± c ≡ b ± d (mod m)两数和的余数等于余数的和。
两数差的余数等于余数的差。
例如，73 ≡3 (mod 10)84 ≡4 (mod 10)73+84 ≡3+4≡7 (mod 10)84－73≡4－3≡1 (mod 10)#同余性质3：如果α≡ b (模m)，c ≡d (模m),则α× c ≡b×d (模m)两数积的余数等于余数的积。
例如，73 ≡3 (模10)84 ≡4 (模10)73×84 ≡3×4≡2 (模10)同余性质4：如果α≡ b (模m)-则αn≡b n (模m)某数乘方的余数，等于余数的乘方。
例如，40≡1 （mod13）4031≡131≡1 （mod13）很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。
举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。
”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。
这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数，就是“物不知其数”问题。
4、“物不知其数”。
与同余问题相对应的是“物不知其数”，例如：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。
”这种问题有两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。
但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。
考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。
我们在解决“物不知其数”题目，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：?绝招一：减同余。
例2、例3绝招二：加同补。
例4、作业4 、学案3绝招三：中国剩余定理。
绝招四：逐级满足法。
例1 （3130＋3031）被13除所得的余数是多少分析：⑴31被I3除所得的佘数为5，当n取l，2，3，…时，5n被I3除所得佘数分别是5，12，8，l，5，⒓，8，l，…，以4为周期循环出现，所以530被I3除的余数与52被13除的余数相同，余12。
即3130除以13的余数为12。
⑵30被13除所得的余数是4，当n取l，2，3，…时，4n被13除所得的佘数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，……，以6为周期循环出现，所以431被I3除所得的余数等于41被13除所得的佘数，即4，故3031除以13的余数为4。
所以，（3130＋3031）被13除所得的余数是I2＋4－13＝3解：⑴31≡5 （模13）3130≡530 ≡52≡12（模13）⑵30≡4 （模13）—3031≡431≡41≡4 （模13）⑶3130＋3031≡12＋4≡3 （模13）答：（3130＋3031）被13除所得的余数是3。
点睛：用到同余的性质“某数乘方的余数等于余数的乘方”“两数和的余数等于余数的和”。
例2 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为α，α十2，α十5，则这个自然数是多少分析：根据题意，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数(都为α)。
既然余数相同，根据同余性质“若两数同余，他们的差必是除数的倍数。
”可知其中任意两数的差都是除数的倍数。
290－233＝57 233－195＝38 290－195＝95除数是57、38、95的公约数，$（57，38，95）＝19答：这个自然数是19。
例3 学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平均分给每位小朋友。
余下的苹果、饼干、糖的数量之比是1︰2︰3，问学前班有多少位小朋友分析：⑴设分完后余下苹果χ个，余下饼干2χ个，余下糖3χ粒。
176÷人数＝A个……χ216÷人数＝B个……2χ324÷人数＝C个……3χ⑵176×2－216＝136；176＋216－324＝68；176×3－324＝204（136，68，204）＝68@学前班有几十位小朋友，并且人数是68的约数，68的约数中是几十的只有68和34两个。
⑶检验：176÷34＝5个 (6)216÷34＝6个 (12)324÷34＝9个……18 34人符合题意。
检验：176÷68＝2个 (40)216÷68＝3个……1268人不符合题意。
答：学前班有34位小朋友。
例4 200以内除以3余I，除以4余2，除以5余3的自然数有多少个分别是多少分析：⑴通过观察我们发现，除数和余数的差都为2。
！被除数补上2之后，除以3、4、5都能整除；也就是说，被除数补上2之后是3、4、5的公倍数。
[3，4，5]＝60，补上2之后是60的倍数。
200以内60的倍数有60、120、180共3个。
相应的，符合要求的自然数也有3个，分别是：58、118、178。
例5 （1998年小学数学奥林匹克预赛）某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是。
分析：⑴观察到11－8＝13－10＝3，某数补上3之后是11和13的公倍数。
][11，13] ＝11×13＝143设某数为143n－3。
,⑵143n≡7n （模17）3≡3 （模17）143n－3≡7n－3 （模17）只有当n＝7时，7×7－3＝46，45÷17余12。
⑶n最小等于7，那么这个数的最小可能值是143×7－3＝998答：这个数的最小可能值是998 。
例6 （2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赉试题）三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19，23，31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是，，。
分析：⑴设所得的商为α，余数为b<（19α＋b）＋（23α＋b）＋（31α＋b）＝200173α＋3b＝2001 b＜19⑵2001÷73＝27 (30)α＝27，b＝10这三个数分别是19×27＋10＝523；23×27＋10＝631；31×27＋10＝847；答：这三个数分别是523、631、847。
超常挑战三个连续自然数依次可以被5整除、被7整除、被11整除，那么这三个自然数最小为多少分析：⑴2χ－7既是5的倍数也是7的倍数，是5和7的公倍数。
[5，7]＝35，⑵设2χ－7＝35K，（K为自然数）当K＝1时，2χ－7＝35χ＝21χ－1＝20是5的倍数；χ＝21是7的倍数；χ＋1＝22是11的倍数。
家庭作业—1、著名的裴波那契数列是这样的：l、2、3、5、8、13、21、……，这串数列当中第2010个数除以3所得的余数为多少分析：⑴斐波那契数列的构成规则是从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。
根据“两数和的余数等于余数的和”将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：I、l、2、0、2、2、1、0、I、l、2、0、2、2、1、0、……⑵裴波那契数列被3除的余数——每8个余数为一个周期循环出现。
由于2010÷8＝251……2，所以第2010项被3除所得的余数与第2项被3除所得的余数相同，余数为1。
2. 一个数去除70、103所得的余数为α、2α＋2，求α的值。
解：⑴用数学表达式表述题意70÷n＝A……a ……①103÷n＝B……2a＋2 ……②；⑵把①式转化为（70×2＋2）÷n＝2A……2a＋2 70×2＋2＝142142与103除以n的余数相同，根据同余的性质定理（1），n能整除142与103的差。
142－103＝39，n能整除39，n是39的约数。
⑶39的约数有1、3、13、39，经检验，n＝13。
70÷13＝5 (5)103÷13＝7……12（12＝2×5＋2）所以，n＝53. 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少解：设这个大于10的自然数为n。
根据同余的性质定理（二），两数和的余数等于余数的和。
用n去除90、164后所得的两个余数的和等于用n去除220所得的余数，而90＋164＝254。
254和220除以n所得的余数相同，于是254－220＝34是n的倍数，n是34的约数。
34的约数有1、2、17、34，因为n是大于10的自然数，所以n只能是17或34。
$当n＝34时，90÷34＝2......22；164÷34＝4......28；220÷34＝6 (16)22＋28≠16 所以，n≠34当n＝17时，90÷17＝5......5；164÷17＝9......11；220÷17＝12 (16)5＋11＝16 所以，n＝17答：符合要求的自然数是17。
.4. 一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少解：先把已知条件用数学表达式写出来，设所求的自然数为N。