第讲余数问题
小学中级奥数第25讲-余数问题
23、16除以5的余数分别是3 和1，所以（23X16）除以5 的余数等于3X1=3。
23、19除以5的余数分别是3 和1，所以（23X19）除以5 的余数等于（3X4）除以5的 余数2。
某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于
。
一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．
求 478 296351 除以17的余数。
求 4373091993 被7除的余数。
22003 与 20032 的和除以7的余数是_______。
22008 20082 除以7的余数是多少？
有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数。
甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
用某自然a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。
当1991和1769除以某个自然数n，余数分别为2和1．那么，n最小是多少？
有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个 整数是______。
课后作业 <作业2> 3782除以某个整数后所得的商恰好是余数的21倍，那么除数最小可能是_______。
课后作业 <作业3>
在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有______个。
<作业4>
求 478 2569352 除以9的余数。
课后作业
<作业5>
求 3406 的个位数字。
除法算式 □□= 20 8 中，被除数最小等于________。
71427和19的积被7除，余数是几?
数学秋季教案 四年级-8 余数问题
4.总结交流。
答案：
235÷18=13……1
1×1×1×1×1=1
答：被除数是395，除数是17。
三、巩固应用、尝试成功。
（一）拓展问题4
4.在一道除法算式中，被除数比除数的25倍多3。被除数、除数、商、余数的和是369，除数是多少？
1.学生读题，分析题目。
2.师生合作，教师提示。
师：分析这道题目，与我们之前做的例4，例5有什么不同之处呢？
生：之前的题目告诉了四个量之间的和，还已知了商和余数具体是多少，但这道题目没有给出来。
1.学生读题，明确题意。
2.教师引导。
师：在一道除法算式中，被除数，除数与商有什么关系呢？大家列举出来。
生：被除数÷除数=商；
被除数÷商=除数；
商×除数=被除数。
师：根据这些关系，结合题目中的数目，你能得出什么？
生1：已知被除数，除数和商的和，还知道了商，所以被除数+除数=674-26。
生2：因为被除数=商×除数，也就是被除数=26×除数。
3.学生独立完成，同桌之间相互交流。
4.总结交流。
答案：
现除数：(1039-7-4×5-4×5)÷（7+1）=124
原除数：124÷4=31
原被除数：31×7+5=222
答：原来的被除数是222，原来的除数是31。
四、拓展视野
5个235相乘，再来除以18，余数是多少？
1.学生读题，寻找思路。
2.师生合作。
答案：
35÷11=3（箱）……2（箱）
答：分完后还剩2箱矿泉水没人搬。
(35×3)÷(11×3)=3（箱）……6（箱）
答：每人搬运一次后，地上还剩6箱“芬达”。
小学三年级奥数余数问题
第三讲 余数问题一、知识概要（1） 被除数÷除数＝商……余数余数一定要小于除数被除数＝除数×商＋余数,或被除数－余数÷商＝除数;（2） 一个数被9除的余数叫做这个数的“九余数”或“弃九数”;求一个数的九余数,就是求这个数各个数位上数字之和的九余数;例如：求345÷9的余数,就用3＋4＋5÷9＝12÷9＝1……3,可知345÷9的余数是3;（3） 如果整数a 和b 被几除,得到的余数是相同的,那么,我们僦称a 和b “同余”;同余性质有：⑴若a 和b 同余,c 和d 同余,则a ±c 和b ±d 同余；⑵若a 和b 同余,c和d 同余,则a ×c 和b ×d 同余;二、典型例题精讲1、 △□□□□□△□□□□□△□□……这列图形的第310个图是什么图形识题技巧：这个图形的排列规律是：“△□□□□□”6个为一组依次循环;求出310的余数,找到排列在第“余数”位的那个图形即是;解：310÷6＝51组……4个答：这个图形的第310个图是□;2、 哪些数除以7结果的商和余数都相同识题技巧：把原题写成□÷7＝□……□的形式,因为“余一定小于除数”,所以,余数有7-1种可能;根据“知识概要”<1>可解答解：如表所示;答：这些数是8、16、24、32、40、48;3、积的个位是数字几？个19933333⨯⨯⨯⨯ 识题技巧：3＝3 1个33×3＝9 2个33×3×3＝27 3个33×3×3×3＝81 4个33×3×3×3×3＝243 5个33×3×3×3×3×3＝729 6个3…………………从以上算式不难看出它们的规律：积的个位数字随“×3”个数的增加而按“3、9、7、1”依次循环;因此,这个题是个“余数问题”;解：199÷4＝49组…………3个,3个3相乘积的个位为7;答：积的个位数字是7;4、去年200年的“元旦”是星期二,那么今年2003年的“元旦节”是星期识题技巧：<1>“元旦”即1月1日,从2002年元月1日到2003年元月1日共有365＋1天,即366天;<2>星期是7天为一个周期;<3>按本题的意思,星期的排列规律是：星期二、星期三…………星期一;解：366÷7＝52个周期…………2天排在第2的是星期三答：2003年的“元旦节”是期三;5、计算2731596÷7284,并用“九余数”法验算;识题技巧：“九余数”就是把某一个数的各个数位上的数字加起来,所得的和再除以9而得到的余数;也可以这样做：把各个数位上的数加起来之后,如果和仍然还是两位以上的数,那么再继续把和的各个数位的数字加起来,直到和是一位数,这个“一位数”即是“九余数”;解： 验算： 6、 幼儿园老师给四个小朋友依次发水果糖,当第三个小朋友拿到7颗糖时,老师已发了多少颗糖 识题技巧：第三个小朋友拿到了7颗,这说明老师循环发了6次多3人或7次少 1人; 解：6×4＋3＝27颗或7×4－1＝28－1＝27颗 答：老师已经发了27颗糖;三、练习巩固与拓展1、 小英同学有一串五彩珠子,是按“红、黄、蓝、绿、紫”的次序排列的,问：<1>第58颗是什么颜色的<2>第8颗蓝珠子是从头数起的第几颗<3>第9颗紫珠子与第13颗丝珠子之间有多少颗珠子2、 2003年的“六·一”儿童节是星期日,这一年的10月1日国庆节是星期几2004年的“元旦节”是星期3、 □÷8＝□……□,余数可能是几96 36420 36516 50988 54639 21852 2731596375 7284 33和 21 15 15 6余数 3 × 66 18 90 6 ＝ 0 ＋ 6 2731596÷7284＝375 (96)4、 □÷□＝□………7,除数最小是几5、 □÷7＝16………□,要使余数最大,被除数是几6、，积的末位数字是几？个1873333⨯⨯⨯⨯ 7、几？，积的末位数字应该是个3002222⨯⨯⨯⨯ 1、 在下面的乘法中,A 、B 表示不同的数字,试问：A 、B 各代表哪一个数字 9、钟面上现在是整点,分钟再转100圈,正好是四点整,钟面上现在是几点钟10、有红、白、黑球具2000个,按“红4个、白3个、黑2个”的顺序循环排列如下图,最后一个是什么颜色的球11、星期四,再过25天,第26天是星期几12、假设所有的自然数排列起来如下图,120应位于哪一个字母下面A B C D E F G1 2 3 47 6 58 9 10 1114 13 1215 16 …………13、在下列这串分数中：14、张江同学计算一个奥数题,由于粗心,把某数除以23等87余12,余数写多于正确答案10;你说“某数”是多少15、某边防部队不分昼夜地轮流站岗,前5天由五个战士每隔2小时依次轮换一次;以第一个战士开始手,100小时该由第几个战士上班16、紧接着2063的后面写一串数字,每个数字都是它前面两个数字之积的个位数字,这串数是这样的：……你算：这串数从头数起第2063个数字是几17、杨军在外婆家玩了9天,回家后,将这9天的日历撕下来,他惊奇地发现：这9天日历上的数相加刚好是81;你想：杨军是几号回家,几号去外婆的他为什么感到“惊奇” 第三讲 练习题答案1、158÷5＝11……3排在第3位的是“蓝”故：第58颗是蓝色;25×8－2＝38颗故：第8颗蓝珠子是第38颗;2、1123÷7＝17……4 排在第4位的是星期三46363302A B A ⨯B故：国庆节那天是星期三;2225÷7＝30……5余数为5,按星期规律排在第五是星期四故：2004元旦是星期四;3、余数可能是7、6、5、4、3、2、1、0这八种情况;4、除数最小是8;5、当余数为6时,被除数是16×7＋6＝118;6、187÷4＝46……3第3个重复出现的是“7”故：积的末位数字是7;7、300÷4＝75余数为0,是排在第四位的重复出现数“6”故：积的末位数字是68、A 代表5；B 代表6;9、<1>100÷12＝8……4小时<2>4－4=0即12点运用倒推法故：钟面上现在是12点;10、2000÷9＝222……2个第2个是“红”故：最后一个是红球;11、26÷7＝3周……5天,第5循环数是“1”故：第26天是星期一;12、提示：循环规律是：7个数为一组依次重复出现在A －G 七个字母下面120÷7＝17……1第一个字母是A故：120位于A 下面;13、提示：分母和分数的出现规律是：分母是1,有分数1个；分母是2,有分数3个；分母是3,有分数5个……分数个数成一个等差数列1、3、5、7、9……;分母为6,相对应的分数有11个,66排在分母为6这一组中的第6个; <1>9＋1×5÷2＋6＝31个 故：66是第31个分母数; <2> ∵分数的个数与分母有这样的关系如下表∴第29个分数应该是分母是6这一组中的第四个,即64 ; 14、∵□÷23＝87……12中的“12”多3 10,∴□＝23×87＋12－10＝2003故：“某数”是200315、∵A B C D E 5个战士1－2 3－4 5－6 7－8 9－10 时间11－1213－1415－1617－1819－20………………………………………每隔10小时1循环∴100÷10＝10余数为0或9都是轮为“E”故：100小时时该由第五个战士上班;16、提示：这串数从11位开始,每6个为一个周期循环出现,而且每一位上的数字与余数的对应关系是：∵2063÷6＝343 (5)故：这串数从头数起第2063个数字是817、设杨军去的那天是K号,则第二天就是K＋1号,第三天就是K+K+1+K+2+K+3+K+………+K+8=819K＋1＋8×8÷2＝819K＝45K＝5K＋8＝13故：杨军是5号去外婆家的,13号回家;杨军之所的感到惊奇,是因为他发现9天连续日期的和等于9×9；不仅9天这样,凡是3、5、7、11、13………奇数天连续日期的和等于那个奇数和本身的乘积;注意：不是任意奇数天连续日期的和都这样,而是特定的从某天开始;如本题必须是从5号从6号就不一定了开始,到13号这九天日期才是81;。
数论之余数问题
数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a〔b=q……r，也就是a＝b〓q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23〓16除以5的余数等于3〓1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23〓19除以5的余数等于3〓4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
二年级下册数学课件(数学思维)-第8讲 余数问题｜全国通用 (21页)PPT
答：李老师原来有26张画片。
举一反三
莉莉和5名小朋友一共要做32朵花，平均每名小朋友做几朵花？ 莉莉需要多做几朵，才能完成任务？
32 ÷ 6 = 5（朵）……2（朵）
答：平均每名小朋友做5朵花，莉莉 需要多做2朵，才能完成任务。
举一反三
一个游乐项目玩一次需5元，李老师带了43元，可供几人玩？
摆一摆 用火柴棒摆正方形。
（3）用15根摆
除数大于余数法！
列式：15÷4=3（个）……3（根）
列一列 看图填空。
（19 ）÷（ 5 ）=（ 3 ）……（ 4 ） 想一想：可以互换吗？ 除数大于余数法！
19÷5=3……4
练一练
巧算余数，再填空。
（1）48÷（ 5 ）=9……3 （2）（ 35 ）÷（ 9 ）=3……8 （3）（26 ）÷6=4……2 （4）67÷（ 9 ）=7……4 （5）在算式（ ）÷8=6……（
15 ÷ 4 = 3（张）……3（人）
3 + 1 = 4（张） 答：不够，需要4张桌子。
余数不能舍， 添份才oK!
练一练
有22名小朋友要过河，每条船上最多可以坐6名小朋友， 至少需要几条船才可以把所有小朋友送过河？
22 ÷ 6 = 3（条）……4（名） 3+1=4（条）
答：最少需要4条船。
拿一拿
最大时，被除数是（ 55 ）。
）中，余数
练一练
从1~90的自然数中找符合条件的数填在下面的横线上。 （1）除以9没有余数的有：
9、18、27、36、45、54、63、72、81、90 （2）除以9余4的有：
13、22、31、40、49、58、67、76、85
余数问题教案2(教师版)
课题：余数问题班级姓名还是有两个机会有个年轻人，届逢兵役年龄，抽签的结果，正好抽中下下签，最艰苦的兵种－－海军陆战队。
年轻人为此镇日忧心重重，几乎已到了茶不思、饭不想的地步。
年轻人深具智慧的祖父，见到自己的孙子这付模样，便寻思要好好开导他。
老祖父：“孩子啊，没什么好担心的。
当了海军陆战队，到部队中，还有两个机会，一个是内勤职务，另一个是外勤职务。
如果你分发到内勤单位，也就什么好担心的了！”年轻人问道：“那，若是被分发到外勤单位呢？”老祖父：“那还有两个机会，一个是留在本岛，另一个是分发外岛。
如果你分发在本岛，也不用担心呀！”年轻人又问：“那，若是分发到外岛呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是后方，另一个是分发到最前线。
如果你留在外岛的后方单位，也是很轻松的！”年轻人再问：“那，若是分发到最前线呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是站站卫兵，平安退伍；另一个是会遇上意外事故。
如果你能平安退伍，又有什么好怕的！”年轻人问：“那么，若是遇上意外事故呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是受轻伤，可能送回本岛；另一个是受了重伤，可能不治。
如果你受了轻伤，送回本岛，也不用担心呀！”年轻人最恐惧的部分来了，他颤声问：“那……若是遇上后者呢？”老祖父大笑：“若是遇上那种情况，你人都死了，还有什么好担心的？倒是我要担心，那种白发人送黑发人的痛苦场面，可不是好玩的喔！”人生拥有的，是不断的抉择，端看您是用什么态度，去看待这些有赖您决定的无数机会。
能够综观每件事情、每个问题的正反两面，您将发现，内心最深沉的恐惧，也在所有状况明朗了解之后，将会自行化为乌有。
感悟：【运河通道1】a是自然数，除数b是自然数（a＞b），商也是自然数时，出现的余数是小于除数的自然数的除法，叫做带余除法。
并且余数小于除数。
当余数不为零时，商叫做不完全商。
【运河通道2】余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
五年级奥数：第14讲 余数问题
五年级奥数：第14讲余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c 的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
第讲余数问题
第讲余数问题第⼗讲余数问题常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。
解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解⽅法。
下⾯我简单谈谈这四类问题：㈠带余除法。
⼀般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么⼀定有另外两个整数q和r，使得α÷b＝q……r或α＝b×q＋r当r=0时，我们称α能被b整除。
当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。
带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定⼩于除数。
出题者常常会在这⾥设置陷阱。
#㈡余数周期。
这其中⼜分为递推数列（给⼀串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求⼀个数的n次⽅除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题⼀个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。
例如，求3130÷13的余数。
例如尖⼦班作业1。
㈢同余问题。
1、什么是“同余”整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。
记作：α≡b （mod c）例如：15÷4＝3 (3)23÷4＝5 (3)`15和23对于除数4同余。
记作：15 ≡23 （mod4）可以理解为15和23除以4的余数相同。
2、“同余”的四个常⽤性质是什么同余性质1：如果α≡ b (mod m)，则m︱（α－b）若两数同余，他们的差必是除数的倍数。
例如，73 ≡23 (mod 10)则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。
$同余性质2：如果α≡ b (mod m)，c ≡d (mod m),则α± c ≡ b ± d (mod m)两数和的余数等于余数的和。
两数差的余数等于余数的差。
例如，73 ≡3 (mod 10)84 ≡4 (mod 10)73+84 ≡3+4≡7 (mod 10)84－73≡4－3≡1 (mod 10)#同余性质3：如果α≡ b (模m)，c ≡d (模m),则α× c ≡b×d (模m)两数积的余数等于余数的积。
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第十讲余数问题常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。
解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。
下面我简单谈谈这四类问题：㈠带余除法。
一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，使得α÷b＝q……r或α＝b×q＋r当r=0时，我们称α能被b整除。
当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。
带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。
出题者常常会在这里设置陷阱。
#㈡余数周期。
这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。
例如，求3130÷13的余数。
例如尖子班作业1。
㈢同余问题。
1、什么是“同余”整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。
记作：α≡b （mod c）例如：15÷4＝3 (3)23÷4＝5 (3)`15和23对于除数4同余。
记作：15 ≡23 （mod4）可以理解为15和23除以4的余数相同。
2、“同余”的四个常用性质是什么同余性质1：如果α≡ b (mod m)，则m︱（α－b）若两数同余，他们的差必是除数的倍数。
例如，73 ≡23 (mod 10)则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。
$同余性质2：如果α≡ b (mod m)，c ≡d (mod m),则α± c ≡ b ± d (mod m)两数和的余数等于余数的和。
两数差的余数等于余数的差。
例如，73 ≡3 (mod 10)84 ≡4 (mod 10)73+84 ≡3+4≡7 (mod 10)84－73≡4－3≡1 (mod 10)#同余性质3：如果α≡ b (模m)，c ≡d (模m),则α× c ≡b×d (模m)两数积的余数等于余数的积。
例如，73 ≡3 (模10)84 ≡4 (模10)73×84 ≡3×4≡2 (模10)同余性质4：如果α≡ b (模m)-则αn≡b n (模m)某数乘方的余数，等于余数的乘方。
例如，40≡1 （mod13）4031≡131≡1 （mod13）很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。
举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。
”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。
这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数，就是“物不知其数”问题。
4、“物不知其数”。
与同余问题相对应的是“物不知其数”，例如：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。
”这种问题有两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。
但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。
考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。
我们在解决“物不知其数”题目，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：?绝招一：减同余。
例2、例3绝招二：加同补。
例4、作业4 、学案3绝招三：中国剩余定理。
绝招四：逐级满足法。
例1 （3130＋3031）被13除所得的余数是多少分析：⑴31被I3除所得的佘数为5，当n取l，2，3，…时，5n被I3除所得佘数分别是5，12，8，l，5，⒓，8，l，…，以4为周期循环出现，所以530被I3除的余数与52被13除的余数相同，余12。
即3130除以13的余数为12。
⑵30被13除所得的余数是4，当n取l，2，3，…时，4n被13除所得的佘数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，……，以6为周期循环出现，所以431被I3除所得的余数等于41被13除所得的佘数，即4，故3031除以13的余数为4。
所以，（3130＋3031）被13除所得的余数是I2＋4－13＝3解：⑴31≡5 （模13）3130≡530 ≡52≡12（模13）⑵30≡4 （模13）—3031≡431≡41≡4 （模13）⑶3130＋3031≡12＋4≡3 （模13）答：（3130＋3031）被13除所得的余数是3。
点睛：用到同余的性质“某数乘方的余数等于余数的乘方”“两数和的余数等于余数的和”。
例2 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为α，α十2，α十5，则这个自然数是多少分析：根据题意，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数(都为α)。
既然余数相同，根据同余性质“若两数同余，他们的差必是除数的倍数。
”可知其中任意两数的差都是除数的倍数。
290－233＝57 233－195＝38 290－195＝95除数是57、38、95的公约数，$（57，38，95）＝19答：这个自然数是19。
例3 学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平均分给每位小朋友。
余下的苹果、饼干、糖的数量之比是1︰2︰3，问学前班有多少位小朋友分析：⑴设分完后余下苹果χ个，余下饼干2χ个，余下糖3χ粒。
176÷人数＝A个……χ216÷人数＝B个……2χ324÷人数＝C个……3χ⑵176×2－216＝136；176＋216－324＝68；176×3－324＝204（136，68，204）＝68@学前班有几十位小朋友，并且人数是68的约数，68的约数中是几十的只有68和34两个。
⑶检验：176÷34＝5个 (6)216÷34＝6个 (12)324÷34＝9个……18 34人符合题意。
检验：176÷68＝2个 (40)216÷68＝3个……1268人不符合题意。
答：学前班有34位小朋友。
例4 200以内除以3余I，除以4余2，除以5余3的自然数有多少个分别是多少分析：⑴通过观察我们发现，除数和余数的差都为2。
！被除数补上2之后，除以3、4、5都能整除；也就是说，被除数补上2之后是3、4、5的公倍数。
[3，4，5]＝60，补上2之后是60的倍数。
200以内60的倍数有60、120、180共3个。
相应的，符合要求的自然数也有3个，分别是：58、118、178。
例5 （1998年小学数学奥林匹克预赛）某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是。
分析：⑴观察到11－8＝13－10＝3，某数补上3之后是11和13的公倍数。
][11，13] ＝11×13＝143设某数为143n－3。
,⑵143n≡7n （模17）3≡3 （模17）143n－3≡7n－3 （模17）只有当n＝7时，7×7－3＝46，45÷17余12。
⑶n最小等于7，那么这个数的最小可能值是143×7－3＝998答：这个数的最小可能值是998 。
例6 （2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赉试题）三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19，23，31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是，，。
分析：⑴设所得的商为α，余数为b<（19α＋b）＋（23α＋b）＋（31α＋b）＝200173α＋3b＝2001 b＜19⑵2001÷73＝27 (30)α＝27，b＝10这三个数分别是19×27＋10＝523；23×27＋10＝631；31×27＋10＝847；答：这三个数分别是523、631、847。
超常挑战三个连续自然数依次可以被5整除、被7整除、被11整除，那么这三个自然数最小为多少分析：⑴2χ－7既是5的倍数也是7的倍数，是5和7的公倍数。
[5，7]＝35，⑵设2χ－7＝35K，（K为自然数）当K＝1时，2χ－7＝35χ＝21χ－1＝20是5的倍数；χ＝21是7的倍数；χ＋1＝22是11的倍数。
家庭作业—1、著名的裴波那契数列是这样的：l、2、3、5、8、13、21、……，这串数列当中第2010个数除以3所得的余数为多少分析：⑴斐波那契数列的构成规则是从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。
根据“两数和的余数等于余数的和”将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：I、l、2、0、2、2、1、0、I、l、2、0、2、2、1、0、……⑵裴波那契数列被3除的余数——每8个余数为一个周期循环出现。
由于2010÷8＝251……2，所以第2010项被3除所得的余数与第2项被3除所得的余数相同，余数为1。
2. 一个数去除70、103所得的余数为α、2α＋2，求α的值。
解：⑴用数学表达式表述题意70÷n＝A……a ……①103÷n＝B……2a＋2 ……②；⑵把①式转化为（70×2＋2）÷n＝2A……2a＋2 70×2＋2＝142142与103除以n的余数相同，根据同余的性质定理（1），n能整除142与103的差。
142－103＝39，n能整除39，n是39的约数。
⑶39的约数有1、3、13、39，经检验，n＝13。
70÷13＝5 (5)103÷13＝7……12（12＝2×5＋2）所以，n＝53. 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少解：设这个大于10的自然数为n。
根据同余的性质定理（二），两数和的余数等于余数的和。
用n去除90、164后所得的两个余数的和等于用n去除220所得的余数，而90＋164＝254。
254和220除以n所得的余数相同，于是254－220＝34是n的倍数，n是34的约数。
34的约数有1、2、17、34，因为n是大于10的自然数，所以n只能是17或34。
$当n＝34时，90÷34＝2......22；164÷34＝4......28；220÷34＝6 (16)22＋28≠16 所以，n≠34当n＝17时，90÷17＝5......5；164÷17＝9......11；220÷17＝12 (16)5＋11＝16 所以，n＝17答：符合要求的自然数是17。
.4. 一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少解：先把已知条件用数学表达式写出来，设所求的自然数为N。