二项式定理知识点总结
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二项式定理知识点总结
二项式定理一、二项式定理：ab n CaCabCabCb0n1n1knkknnnnnn （nN）等号右边的多项式叫做nab的二项展开式，其中各项的系数kC(k0,1,2,3n)叫做二项式系数。
n对二项式定理的理解：（1）二项展开式有n1项（2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立，通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
在定理中假设a1，bx，则nCxCxCxCx1x（nN）nnnn0n1knknn（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式nab展开，得到一个多项式；n 另一方面，也可将展开式合并成二项式ab二、二项展开式的通项：knkk T k1Cabn二项展开式的通项knkkT k1Cab(k0,1,2,3n)是二项展开式的第k1项，它体现了n二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项knkkT k1Cab(k0,1,2,3n)的理解：n（1）字母b的次数和组合数的上标相同（2）a与b的次数之和为n（3）在通项公式中共含有a,b,n,k,Tk这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素1例1．132933等于（）n1nC n CCCnnnA．n4B。
n4n34C。
13D.n431例2．（1）求7(12x)的展开式的第四项的系数；（2）求19(x)x的展开式中3x的系数及二项式系数三、二项展开式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 0n1n12n2knk C n C,CC,C C,CCnnnnnnn,②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结
一. 二项式定理
二项式定理是一个数学定理，它是指给定的任意非负整数n和任意实数a，则杨辉三角中的第n行和第m项中的元素之和为：
(a+b)^n = ΣC(n,m)a^(n-m)b^m,m=0,1,...,n
二. 特点
1. 如果a=1和b=1，可以理解为杨辉三角公式，
C(n,m)=(n,m)=(n!)/(m!(n-m)!),C(n,m)是组合数；
2. 当n=m时，它可以被称为勒贝格定理；
3. 二项式定律的作用是可以用来计算出多项式的值，和实现多项式的数学推导；
三. 应用
1. 二项式定理可以用来求解二次函数y=x^2+ax+b在满足a^2-4b<0时，其极值与极点，同时还能应用于多项式的展开和逻辑判断；
2. 应用于光度学问题，二项式函数可以用来表达连续发射物质的浓度与位置之间的关系；
3. 在概率论和数论中，二项式定理用于求解有限次试验概率等问题；
4. 在图论中，二项式定理可被用来求解连通图的极大或极小的有向圈
数量；
5. 在微积分中，可以利用它求解一系列数学问题。
高中二项式定理知识点
高中二项式定理知识点高中二项式定理知识点一、二项式定理的基本概念二项式定理是代数学中的一个重要定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。
一个二项式指的是两个数之和或之差的表达式，如(a+b)^n就是一个二项式。
而二项式定理则给出了展开这样一个二项式的公式。
二、二项式定理的表达形式二项式定理有两种常见的表达形式：一是通用形式，即(a+b)^n；另一种是简化形式，即展开后的结果。
1. 通用形式通用形式表示了一个任意次数幂的二项式。
它可以写成：(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + ... +C(n,k)a^(n-k) b^k + ... + C(n,n)a^0 b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素组成组合数。
2. 简化形式简化形式表示了展开后的结果，它可以写成：(a+b)^n = a^n + n a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ... + n a b^(n-1) + b^n三、应用举例1. 平方展开当幂指数为2时，即(a+b)^2，根据二项式定理，可以展开为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2这个结果可以通过直接相乘验证。
2. 立方展开当幂指数为3时，即(a+b)^3，根据二项式定理，可以展开为：(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3同样地，这个结果也可以通过直接相乘验证。
四、二项式系数的性质1. 对称性质在二项式定理中，对称性质是指系数C(n,k)满足C(n,k) = C(n,n-k)，即从n个元素中选取k个元素的组合数等于从n个元素中选取n-k个元素的组合数。
这是因为在展开二项式时，每一项的幂指数和次数之和都是相等的。
2. 杨辉三角形杨辉三角形是一个由二项式系数构成的三角形。
它的第n行第k列的元素就是C(n,k)。
杨辉三角形具有很多有趣的性质和应用，在组合学、概率论等领域有广泛应用。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结二项式定理的陈述：对于任意正整数nnn和非负整数kkk，二项式(a+b)n(a+b)^n(a+b)n的展开式中的第k+1k+1k+1项可以表示为Tk+1=Cnk⋅an−k⋅bkT_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdotb^kTk+1=Cnk⋅an−k⋅bk其中CnkC_n^kCnk表示从nnn个不同项中选取kkk个的组合数，即Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}Cnk=k!(n−k)!n!2. 二项式展开的通项公式：二项式(a+b)n(a+b)^n(a+b)n的展开式的通项公式为Tr+1=Cnr⋅an−r⋅br,r=0,1,2,…,nT_{r+1} = C_n^r \cdot a^{n-r} \cdot b^r, \quad r=0,1,2,\ldots,nTr+1=Cnr⋅an−r⋅br,r=0,1,2,…,n3. 二项式系数的性质：* 对称性：$C_n^k = C_n^{n-k}$* 最大值：当$n$为偶数时，二项式系数在$k = \frac{n}{2}$时取得最大值；当$n$为奇数时，二项式系数在$k = \frac{n-1}{2}$和$k = \frac{n+1}{2}$时取得最大值。
* 帕斯卡三角形（Pascal's Triangle）：二项式系数可以排列成一个三角形，称为帕斯卡三角形，每一行的数字是上一行相邻两个数字的和。
二项式定理的应用：二项式定理广泛应用于代数、组合数学、概率论和统计学等领域。
它常被用于计算二项式幂的展开式、求解组合问题、推导数列的通项公式等。
通过掌握二项式定理的知识点，可以更好地理解和应用二项式展开的相关概念和方法。
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结一、二项式定理的概念和公式二项式定理是指两个数的整数次幂之和在展开时，任意一个数都可以拆开成两个数相乘的形式。
根据二项式定理，可以得到以下的公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³对于一般情况下的二项式展开，可以根据组合数的知识得出下列公式：(a+b)ⁿ = C(n,0) * aⁿ+ C(n,1) * aⁿ⁻¹b + C(n,2) * aⁿ⁻²b² + ... + C(n,n) * bⁿ其中，C(n,m)表示从n个元素中取m个元素的组合数。
二、二项式定理的应用1. 计算二项式的展开式利用二项式定理，可以将任意形式的二项式展开成为多项式，从而方便进行计算。
例如，对于 (x+2)³的展开式，根据二项式定理可以得到：(x+2)³ = x³ + 3x²*2 + 3x*2² + 2³= x³ + 6x² + 12x + 82. 求解组合数在概率论、统计学等领域中，经常需要计算组合数。
而组合数实际上就是二项式展开中的系数。
因此，通过二项式定理可以方便地求解组合数。
3. 计算二项式的特定项有时候并不需要将整个二项式展开，只需求解其中的某一项。
例如，对于(x+2)⁵ 的展开式，如果只需要求解其中x⁴ 的系数，可以直接利用二项式定理计算得出，而无需展开整个式子。
4. 解决数学问题在数学建模、求解等问题中，二项式定理也可以被广泛应用。
通过利用二项式定理，可以简化问题的表达和计算，从而更加方便地求解问题。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结一、概念：(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中取出k个元素的组合方式数。
二、证明：可以用排列组合的方法证明二项式定理。
考虑对(a+b)^n展开式中每一项的系数，将(a+b)^n表示为n个相加的项，每一项由a和b组成。
可以把这n个项分成若干组，每组的项数k从0到n，且对于固定的k有k个a和n-k个b。
根据组合数的定义，对于每组项数k，其系数为C(n,k)，因此可以得到二项式定理。
三、应用：1.计算组合数：二项式定理可以用来计算组合数。
当a=b=1时，二项式展开后的每一项系数即为对应的组合数。
例如，(1+1)^n=2^n，系数为1,n,n(n-1)/2,n(n-1)(n-2)/6,...，依次为组合数C(n,0),C(n,1),C(n,2),...2. 多项式展开：利用二项式定理，可以方便地展开多项式。
例如，(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^33.计算幂数：二项式定理可以用于计算幂，即对于任意整数m，可以使用二项式定理计算(a+b)^m的展开式，将其中的每一项进行计算，得到每一项的幂数。
4.计算二项式系数：二项式定理可以用来计算二项式系数，即对于给定的a,b和n，可以通过二项式定理展开式中的各项系数得到相应的二项式系数。
五、推广：1.负指数：二项式定理不仅适用于非负整数n，也适用于负指数n，即(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n。
这样可以扩展二项式定理的应用范围。
2. 多变量二项式定理：二项式定理不仅限于两个变量a和b，可以推广到多变量的情况。
完整版)二项式定理知识点及典型题型总结
完整版)二项式定理知识点及典型题型总结二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b +。
+ C(n,n)b^n (n∈N*)2、几个基本概念1）二项展开式：右边的多项式叫做(a+b)^n的二项展开式2）项数：二项展开式中共有n+1项3）二项式系数：C(n,r) = n!/r!(n-r)!4）通项：展开式的第r+1项，即T(r+1) = C(n,r) * a^(n-r) * b^r3、展开式的特点1）系数都是组合数,依次为C(n,1)。
C(n,2)。
…。
C(n,n)2)指数的特点①a的指数由n到0(降幂)。
②b的指数由0到n（升幂）。
XXX和b的指数和为n。
3)展开式是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的自然数。
4、二项式系数的性质：1）对称性: 在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.2）增减性与最值: 二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项取得最大值C(n,n/2)当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值C(n,(n-1)/2)C(n-1.m) = C(n。
m) + C(n。
m-1)C(n,0) + C(n,1) +。
+ C(n,n) = 2^n3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 C(n,0) - C(n,2) + C(n,4) -。
= 2^(n-1)二项式定理的常见题型一、求二项展开式1．“(a+b)^n”型的展开式例1．求(3x+2y)^42．“(a-b)^n”型的展开式例2．求(3x-2y)^43．二项式展开式的“逆用”例3．计算1-3C(n,1) + 9C(n,2) - 27C(n,3) +。
+(-1)^n*3nC(n,n)二、通项公式的应用1．确定二项式中的有关元素例4．已知((-ax)/(9x^2+1))^9的展开式中x^3的系数为9，常数a的值为1/32．确定二项展开式的常数项例5．(x-3/x)^10展开式中的常数项是2433．求单一二项式指定幂的系数例6．(x^2-3y)^6中x^3y^3的系数为-540三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．(x-1)^-1(x-1)^2(x-1)^3(x-1)^4(x-1)^5的展开式中，x^2的系数等于-101.展开式中，求(x-2)(x^2+1)^7展开式中x^3的系数。
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二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：0111()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式 （2）项数：二项展开式中共有1n +项（3）二项式系数：(0,1,2,,)rnr C n =叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数（4）系数：未知数前的常数叫做系数（注意系数不同于二项式系数）（4）通项：展开式的第1+r 项，即1(0,1,,)r n r rr nT C a b r n -+==3、展开式的特点（1）二项式系数都是组合数，依次为012,,,,,k nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅（2）指数的特点：① a 的指数 由0n → ( 降幂)。
② b 的指数由0n →（升幂）。
③ a 和b 的指数和为n 。
(3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数，一般2n ≥。
4、二项式系数的性质： （1）对称性:在二项展开式中，与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -=（2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n nC当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值1122n n nnCC-+=（3）二项式系数的和：0122k n n nn n n n C C C C C +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+= 变形式：1221k nn n n n n C C C C +++++=-奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n nn nn n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=（4）奇数项的系数和与偶数项的系数和（注意不是二项式系数和）：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n nn n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和（5）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结二项式定理专题一、二项式定理：二项式定理是一个重要的恒等式，它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下恒等式成立：a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。
+ C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数。
右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式，其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。
二项式定理的理解：1）二项展开式有n+1项。
2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n。
3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立。
通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
例如，当a=1，b=x时，有以下恒等式成立：1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。
+ C(n,n-1)*x^(n-1) +C(n,n)*x^n4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+b)展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。
二、二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式是指，二项式展开式中第k+1项的系数C(n,k)的公式。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下通项公式成立：T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k其中，T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。
通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心。
它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用。
三、二项展开式系数的性质：在二项式展开式中，二项式系数具有以下性质：①对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C(n,0) = C(n,n)。
二项式定理知识点归纳总结
二项式定理知识点归纳总结一、二项式定理公式。
1. 二项式定理。
- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中n∈ N^*。
- 这里C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，叫做二项式系数。
例如(a + b)^2=a^2 +2ab+b^2，这里n = 2，当k = 0时，C_2^0a^2-0b^0=a^2；当k = 1时，C_2^1a^2 -1b^1=2ab；当k = 2时，C_2^2a^2-2b^2=b^2。
2. 二项展开式的通项公式。
- 二项式(a + b)^n展开式的第k + 1项T_k+1=C_n^ka^n - kb^k(k = 0,1,·s,n)。
例如在(x+2)^5中，其通项公式为T_k + 1=C_5^kx^5 - k2^k。
当k = 2时，T_3=C_5^2x^5-22^2=10× x^3×4 = 40x^3。
二、二项式系数的性质。
1. 对称性。
- 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C_n^k=C_n^n - k。
例如在(a + b)^6中，C_6^2=(6!)/(2!(6 - 2)!)=(6×5)/(2×1)=15，C_6^4=(6!)/(4!(6 -4)!)=(6×5)/(2×1)=15，所以C_6^2 = C_6^4。
2. 增减性与最大值。
- 当n是偶数时，中间一项（第(n)/(2)+1项）的二项式系数C_n^(n)/(2)取得最大值；当n是奇数时，中间两项（第(n + 1)/(2)项和第(n+3)/(2)项）的二项式系数C_n^(n - 1)/(2)=C_n^(n+1)/(2)相等且取得最大值。
- 二项式系数先增大后减小，其增减性由frac{C_n^k}{C_n^k - 1}=(n - k+1)/(k)来判断。
当(n - k + 1)/(k)>1，即k<(n + 1)/(2)时，二项式系数逐渐增大；当(n -k+1)/(k)<1，即k>(n + 1)/(2)时，二项式系数逐渐减小。
二项式定理知识点
二项式定理要点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数n ,都有：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)((*N n ∈)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式.式中的rn rr n C ab -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：1r n r r r n T C a b -+=，其中的系数rn C （r=0，1，2，…，n ）叫做二项式系数， 2．二项式(a+b)n 的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为rn C ，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；3.两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)n n n r r n r rn n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅(*N n ∈)②122(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++要点二、二项展开式的通项公式二项展开式的通项：公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是r n C ；②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n. 要点诠释：（1）二项式(a+b)n 的二项展开式的第r+1项rn rr n C a b -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项r n rr n C ba -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．（2）通项是针对在(a+b)n 这个标准形式下而言的，如(a －b)n 的二项展开式的通项是1(1)r r n r r r n T C a b -+=-（只需把－b 看成b 代入二项式定理）.要点三：二项式系数及其性质1.杨辉三角和二项展开式的推导.在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》如下表，可直观地看出二项式系数.n b a )(+展开式中的二项式系数,当n 依次取1,2,3,…时,如下表所示:1)(b a +………………………………………1 1 2)(b a +……………………………………1 2 13)(b a +…………………………………1 3 3 1 4)(b a +………………………………1 4 6 4 15)(b a +……………………………1 5 10 10 5 1 6)(b a +…………………………1 6 15 20 15 6 1 …… …… ……上表叫做二项式系数的表, 也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质.表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和.用组合的思想方法理解(a+b)n 的展开式中n r r a b -的系数rn C 的意义：为了得到(a+b)n展开式中n r r a b -的系数，可以考虑在()()()na b a b a b +++这n 个括号中取r 个b ，则这种取法种数为rn C ，即为n r r a b -的系数．2.()na b +的展开式中各项的二项式系数0n C 、1n C 、2n C …nn C 具有如下性质：①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即rn n r n C C -=；②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2nn C 最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数21-n n C ，21+n n C 相等，且最大.③各二项式系数之和为2n，即012342n n n n n n n n C C C C C C ++++++=；④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即15314202-=+++=+++n n n n n n nC C C C C C . 要点诠释：二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第r+1项rr n r n b a C -的二项式系数是组合数rn C ，展开式的系数是单项式rr n r n b a C -的系数，二者不一定相等.如(a －b)n 的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b -+=-，在这里对应项的二项式系数都是r n C ，但项的系数是(1)r rn C -，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．3.()na b c ++展开式中p q r a b c 的系数求法（,,0p q r ≥的整数且p q r n ++=）rq q r n q r n r n r r n r n n n c b aC C c b a C c b a c b a ----=+=++=++)(])[()( 如：10)(c b a ++展开式中含523c b a 的系数为!5!2!3!105527310⨯⨯=C C C要点诠释：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决. 要点四：二项式定理的应用1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.2.利用赋值法进行求有关系数和.二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a ，b ，该等式都成立.利用赋值法（即通过对a 、b 取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况.设2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++(1) 令x=0，则0(0)na fb ==(2)令x=1，则012(1)()n n a a a a f a b ++++==+(3)令x=－1，则0123(1)(1)()n n n a a a a a f a b -+-+-=-=-+(4)024(1)(-1)2f f a a a ++++=(5)135(1)-(-1)2f f a a a +++=3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：如：求证：98322--+n n 能被64整除（*N n ∈） 4.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明.①nx x n+>+1)1(；②22)1(1)1(x n n nx x n -++>+；（0>x ） 如：求证：n n)11(2+< 5.进行近似计算：求数的n 次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的形式.当||x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ①nx x n+≈+1)1(；②22)1(1)1(x n n nx x n -++≈+； 如：求605.1的近似值，使结果精确到0.01；。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结一、二项式系数在介绍二项式定理之前，我们首先要了解二项式系数。
二项式系数是组合数学中的一个重要概念，它表示了从n个不同元素中取出k个元素的所有可能组合的数量。
二项式系数通常用符号表示，其计算公式如下：\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]其中，n表示元素的总数，k表示需要取出的元素的数量，n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*1。
二项式系数的计算公式是非常基础和重要的，它在组合数学、概率论等领域都有着广泛的应用。
二项式系数也可以用Pascal三角形来进行计算，Pascal三角形是一个由数字排列成的三角形，每个数字等于它上方两个数字的和。
Pascal三角形的第n行第k列的数字就是二项式系数\(\binom{n}{k}\)。
二、二项式定理的公式二项式定理是代数中的一个重要定理，它描述了一个二项式的幂展开式中各项的系数。
二项式定理的公式如下：\[(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\]其中，\(a\)、\(b\)表示实数或复数，\(n\)表示非负整数。
公式中的\(\sum\)表示求和，\(\binom{n}{k}\)表示二项式系数。
公式右边的表达式表示了一个二项式的\(n\)次幂展开式，其中\(a^{n-k}\)和\(b^k\)表示了\(a\)和\(b\)的幂次，\(\binom{n}{k}\)表示了展开式中每一项的系数。
二项式定理的公式是非常重要的，它在代数、组合数学和概率论等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要对一个二项式的幂展开式进行求和或分析，二项式定理提供了一个非常方便的方法来进行这些计算。
三、二项式定理的应用二项式定理在代数、组合数学和概率论等领域都有着广泛的应用，下面我们将分别介绍一些常见的应用。
1. 代数在代数中，二项式定理可以用来求解多项式的幂展开式。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结1．二项式定理公式：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈,2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式;②二项式系数:展开式中各项的系数rnC (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C ab -叫做二项式展开式的通项;用1r n r rr nT C a b -+=表示; 3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项;②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改;()na b +与()nb a +是不同的;③指数：a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列;b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列;各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数包括二项式系数;4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r rn n nnn n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0,n n n C C =·1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn nn n n n C C C C C ++++++=,变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-;③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123(1)(11)0n nn n n n n n C C C C C -+-++-=-=,从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----024135(1)(1),()2(1)(1),()2n nn n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时,则中间一项的二项式系数212n nn C T +=取得最大值;如果二项式的幂指数n 是奇数时,则中间两项的二项式系数1212n nnT C--=,1212n nn CT ++=同时取得最大值,且2121+-=n nn n C C; ⑥系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项,一般采用待定系数法;设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅,设第1r +项系数最大,应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩,从而解出r 来;。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结
二项式定理是一个关于排列组合计算的定理。
它是已知整数n和k，该定理对应于n个不同对象从中挑选k个对象，排列组合共有
$ C_{n}^{k}\\$种情况。
主要包括：
一、定义：
二项式定理定义为：令$ C_{n}^{k}\\$表示从n个不同的元素中取出k
个元素的所有可能组合，则有
$$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
二、特点：
（1）二项式有逆元素：$C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$
（2）$C_{n}^{k}$是一个单调函数，即$k\gt n-k$时，$C_{n}^{k}$是一个单增函数，反之$C_{n}^{k}$是一个单减函数。
（3）$C_{n}^{0}=C_{n}^{n}=1$
三、应用：
二项式定理应用主要是赋予概率分布、抽样、计算机科学以及计算复
杂性等，它们在统计学上大量应用，其特点是一次可以抽取多个，也可以不抽取，以及抽取的元素之间的顺序无所谓，这都可以用二项式定理来解决；并且它也可以应用在记忆过程，以及各类技术中。
二项式定理知识点总结材料
二项式定理知识点总结材料一、二项式定理的定义二项式定理是指如何展开一个二项式的幂的公式。
设a、b为实数，n为非负整数，则二项式定理的公式为：(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,r)a^(n-r)b^r+...+C(n,n)b^n其中，C(n,r)为组合数，表示从n个元素中选出r个元素的组合方式的数量。
二、二项式定理的推导二项式定理的推导可以使用数学归纳法来进行。
当n=1时，(a+b)^1=a+b，符合公式。
假设当n=k时，公式成立，即(a+b)^k=C(k,0)a^k+C(k,1)a^(k-1)b+...+C(k,r)a^(k-r)b^r+...+C(k,k)b^k。
要证明当n=k+1时，公式也成立。
可以利用二项式定理展开(a+b)^(k+1)：(a+b)^(k+1)=(a+b)*(a+b)^k=(a+b)*(C(k,0)a^k+C(k,1)a^(k-1)b+...+C(k,r)a^(k-r)b^r+...+C(k,k)b^k)= C(k,0)a^(k+1) + C(k,1)a^kb + ... + C(k,r)a^(k-r+1)b^r + ... + C(k,k-1)ab^k + C(k,k)b^(k+1)= C(k,0)a^(k+1) + (C(k,1)a^k + C(k,1)a^(k-1))b + ... +(C(k,r)a^(k-r) + C(k,r-1)a^(k-r+1))b^r + ... + C(k,k-1)ab^k +C(k,k)b^(k+1)= C(k,0)a^(k+1) + C(k+1,1)a^kb + ... + C(k+1,r)a^(k-r+1)b^r+ ... + C(k+1,k)a^1b^k + C(k+1,k+1)b^(k+1)从推导过程可以看出，当n=k+1时，展开的结果可以重新写成符合二项式定理的形式，因此当n=k+1时，公式也成立。
二项式定理知识点及典型题型总结
二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：(a b)n=C n O a n -C；a nJ b^- -C n r a n^b^- -C n n b n (n ∙N )2、几个基本概念(1)二项展开式：右边的多项式叫做(a ■ b)n的二项展开式(2)项数：二项展开式中共有n ∙1项(3)二项式系数：C；(r =0,1,2,…，n)叫做二项展开式中第r+1项的二项式系数(4)通项：展开式的第r - 1项，即T rI=C n a n丄b r (r = 0,1,…，n)3、展开式的特点(1)系数都是组合数,依次为C n c ,C；,…,C；(2)指数的特点①a的指数由厂0(降幕)。
②b的指数由0 n (升幕)。
③a和b的指数和为n。
(3)展开式是一个恒等式，a, b可取任意的复数，n为任意的自然数。
4、二项式系数的性质：(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等•即C； =C；"(2)增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值n当n是偶数时，中间一项取得最大值C n2当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值0 12 kC 0+ C 1+ C 2+ …+c k+ …+ C(3)二项式系数的和：n n n nn -1 n C n2=C n2 =2n奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即C0"* …=C1n+c3+…A二项式定理的常见题型一、求二项展开式1•“ (a b)n”型的展开式例1•求(3 ,x1 )4的展开式；a2. “ (a -b)n”型的展开式例2•求(3.X 一1 )4的展开式;J X3•二项式展开式的“逆用”例3•计算1 -3c：∙9c n-27c n •.…•(-1)"3、；；二、通项公式的应用1.确定二项式中的有关元素例4.已知(旦- x )9的展开式中X3的系数为9,常数a的值为____________________ X \ 2 42.确定二项展开式的常数项例5. C-x-J )10展开式中的常数项是__________________站X3.求单一二项式指定幕的系数例6∙（χ2 一丄）9展开式中X9的系数是2 X三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7.（X _1） _（x _1）2∙（X _1）3一（X _1）4•（X _1）5的展开式中，X2的系数等于例8. （X2∙1）（x-2）7的展开式中，X3项的系数是______四、利用二项式定理的性质解题1. 求中间项例9. 求（T X 二）10的展开式的中间项;V XO2. 求有理项例10.求（77-厶）10的展开式中有理项共有____________ 项;VX3. 求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例11. 在二项式（X -1）11的展开式中，系数最小的项的系数是; ____ （2）一般的系数最大或最小问题例12•求（X- 2√8展开式中系数最大的项;（3）系数绝对值最大的项例13.在（X —y）7的展开式中，系数绝对值最大项是五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和例14.若（2x 亠3）4 = a0■ a1x ■ a2χ2■ a3χ3■ a4χ4,则(a0■ θ2 ∙a4)27a1 ■ a3)2的值为__________________ ;例15.设(2x -1)6 =a6χ6■ a5χ5 - ... ■ a1X ■ a0,贝U a°+ a1 +∣a2∣+…+ a6 _______ ；六、利用二项式定理求近似值例16.求0.998 6的近似值，使误差小于0.001 ；七、利用二项式定理证明整除问题例17.求证：5151 -1能被7整除。
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二项式定理知识点总结
二项式定理是数学中的一个基本定理，它描述了一个二次方的展开式中的每一
项的系数。
二项式定理的公式如下：
(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n)b^n
其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个的组合数，也可以记作为“n选择k”。
二项式定理的核心思想是展开一个二次方的多项式，并找到每一项的系数。
该
定理在概率论、组合数学、统计学等领域具有广泛的应用。
二项式定理的重要性
二项式定理在数学中具有重要的地位，而且在很多高级数学的分支中都起到了
关键的作用。
以下是二项式定理的重要性：
1. 展开多项式：二项式定理可以用来展开一个多项式，从而求得每一项的系数。
这对于解决复杂的数学问题非常有帮助。
2. 概率计算：二项式定理在概率论中应用广泛。
例如，在进行多次独立试验时，计算某些事件发生的概率可以通过二项式定理来实现。
3. 组合数学：组合数学是二项式定理的一个重要分支。
二项式系数被称为“组
合数”，用于计算对象之间的排列组合情况。
4. 统计学应用：二项式分布是概率论中一种重要的离散概率分布，它在统计学
中有广泛的应用。
二项式定理可以用来计算二项式分布的概率。
二项式定理的发展历程
二项式定理最早是由17世纪的法国数学家Pascal在他的著作《论算术三角形》（Traité du triangle arithmétique）中首次提出的。
后来，德国数学家Newton将其进
一步发展，并给出了二项式的系数计算公式。
随着数学研究的深入，二项式定理逐渐被推广到更一般的形式。
例如，当指数
n为实数，而非整数时，也可以使用二项式定理展开。
这被称为泰勒展开，是微积
分中的一种重要工具。
应用举例
1. 计算多项式的展开式：利用二项式定理，我们可以展开一个二次方、三次方
或更高次方的多项式，从而求得每一项的系数。
例如，利用二项式定理展开(x + y)^3：
(x + y)^3 = C(3,0)x^3 + C(3,1)x^2y + C(3,2)xy^2 + C(3,3)y^3
= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
2. 计算概率：二项式定理在概率论中有广泛的应用。
例如，在进行n次独立的
二元试验（每次试验只有两个可能结果）时，计算某一结果出现k次的概率可以使用二项式定理。
3. 组合数学中的应用：组合数学是二项式定理的一个重要应用领域。
通过二项
式定理，我们可以计算从一组元素中选择某些元素而形成的组合情况数。
总结：
二项式定理是数学中一个基本定理，描述了一个二次方的展开式中的每一项的
系数。
它在展开多项式、概率计算、组合数学和统计学等领域具有广泛的应用。
该定理的发展历程可以追溯到17世纪的法国数学家Pascal和德国数学家Newton。
通过二项式定理，我们可以解决复杂的数学问题，并且在实际应用中发挥重要的作用。