初三数学压轴题

1.如图，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于点B ，点C ，经过B C ，两点的抛物线

2y ax bx c =++与x 轴的另一交点为A ，顶点为P ，且对称轴是直线2x =．

（1）求A 点的坐标；

（2）求该抛物线的函数表达式；

（3）连结AC ．请问在x 轴上是否存在点Q ，使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与

ABC △相似，若存在，请求出点Q

[解]

直线3y x =-+与x 轴相交于点B ，∴当0y =时，x ∴点B 的坐标为(30)，． 又抛物线过x 轴上的A

B ，两点， 且对称轴为2x =，根据抛物线的对称性，∴点A 的坐标为(1（2）3y x =-+过点

C ，易知(03)C ，，3c ∴=．

又

抛物线2

y ax bx c =++过点(10)(30)A B ，，，，

309330a b a b +==⎧∴⎨

++=⎩，． 解得1

4a b =⎧⎨=-⎩，．

243y x x ∴=-+． （3）连结PB ，由2

2

43(2)1y x x x =-+=--，得(21)P -，，

设抛物线的对称轴交x 轴于点M ，在Rt PBM △中，1PM MB ==，

45PBM PB ∴==，∠．由点(30)(03)B C ，，，易得3OB OC ==，

在等腰直角三角形OBC 中，45ABC =∠，由勾股定理，得BC = 假设在x 轴上存在点Q ，使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似． ①当

BQ PB

BC AB

=，45PBQ ABC ==∠∠时，PBQ ABC △∽△． 2=

，3BQ ∴=，又3BO =，∴点Q 与点O 重合，1Q ∴的坐标是(00)，． ②当

QB PB AB BC

=，45QBP ABC ==∠∠时，QBP ABC △∽△．

即

2

232

QB =

，23QB ∴=．273333OB OQ OB QB =∴=-=-=，， 2Q ∴的坐标是703⎛⎫

⎪⎝⎭

，．

180********PBx BAC PBx BAC =-=<∴≠，，∠∠∠∠． ∴点Q 不可能在B 点右侧的x 轴上

综上所述，在x 轴上存在两点127(00)03Q Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，，

，，能使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似。

2.（河南卷）二次函数2

18

y x =

的图象如图所示，过y 轴上一点()02M ，的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ．

（1）当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；

（2）在（1）的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点A 在抛物线上运动时（点A 与点O 不重合），求AC BD 的值． [解] （1）根据题意，设点B 的坐标为2

18

x x ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭

，，其中0x >．

点A 的横坐标为2-，

122A ⎛

⎫∴- ⎪⎝

⎭，．

AC y ⊥轴，BD y ⊥轴，()02M ，，AC BD ∴∥，3

2

MC =

，2128MD x =-．Rt Rt BDM ACM ∴△∽△．BD MD AC MC ∴=

．即2

12

8

32

2

x x -=． 解得12x =-（舍去），28x =．()88B ∴，． （2）存在．

连结AP ，BP ．

由（1），1

2

AE =

，8BF =，10EF =．设EP a =，则10PF a =-． AE x ⊥轴，BF x ⊥轴，90APB =∠，AEP PFB ∴△∽△．

AE EP PF BF ∴=

．12108

a

a ∴=-

．解得5a =

5a = ∴点P

的坐标为()3

或(

)

3．

（3）根据题意，设2

18

A m m ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭，，2

18

B n n ⎛⎫ ⎪⎝

⎭

，，不妨设0m <，0n >．

由（1）知

BD MD

AC MC =

， 则22128128n n m m -=--或2

212812

8

n n m m -=

--． 化简，得()()160mn m n +-=．

0m n -≠，

16mn ∴=-． 16AC BD ∴=．

3. (湖北湛江课改卷）已知抛物线2

2y ax bx =++与x 轴相交于点1(0)A x ，

，2(0)B x ，12()x x <，且12x x ，是方程2230x x --=的两个实数根，点C 为抛物线与y 轴

的交点．

（1）求a b ，的值

（2）分别求出直线AC 和BC 的解析式；

（3）若动直线(02)y m m =<<与线段AC BC ，分别相交于D E ，两点，则在x 轴上是否存在点P ，使得DEP △为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；

[解] （1）由2

230x x --=，得121

3x x =-=，．

x