六安市裕安区苏埠镇2012-2013学年学竞赛试卷(含答案)97

2012－2013学年度六安市裕安区苏埠镇八年级数学（上）

竞赛试卷

（温馨提示：本卷满分150分，答题时间120分钟）

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．在平面直角坐标系中，点（1，﹣m2﹣1）一定在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．在平面直角坐标系中，A（﹣3，2 ）、B（2，﹣2）、C（2，1 ），则△ABC的面积为（）

A．15 B．6C．5D．**

3．在平面直角坐标系中，将点（3，﹣2）先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位得到的对应点的坐标是（）

A．（5，3）B．（1，﹣7）C．（1，3）D．（5，﹣7）

4．已知两个一次函数y=x+3k和y=2x﹣6的图象交点在y轴上，则k的值为（）

A．3B．1C．2D．﹣2

5．若ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c不经过的象限是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

6．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（）

A．30°B．75°C．105°D．30°或75°

7．一个不等边三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，符合条件的三角形有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

8．如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，AD∥BC，∠DAB的平分线交CD于E，且BE恰好平分∠ABC，则下列结论中错误的是（）

A．A E⊥BE B．C E=DE C．A D+DE=BE D．A B=AD+BC

9．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何（）A．5B．6C．7D．10

10．如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP 的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）

A．10 B．16 C．18 D．20

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

11．在△ABC中，若AB=AC=10，∠A=150°，则△ABC的面积为_________．

12．已知一次函数y=（2m+1）x﹣m﹣1的图象不经过第三象限，则m的取值范围是_________．

13．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于_________．14．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠ABD=_________．

三．解答题（共9小题，满分90分）

15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点P（x，y）是第一象限直线y=﹣x+6上的点，点A（5，0），O是坐标原点，△P AO的面积为s．

（1）求s与x的函数关系式；

（2）当△P AO是以OA为底的等腰三角形时，求△P AO的面积s．

16．（8分）如果一次函数y=kx+b的变量x的取值范围是﹣2≤x≤6，相应函数值是﹣11≤y≤9，求此函数解析式．

17．（8分）直线y=x+3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l经过原点且与线段AB交于C，把△ABO的面积分成2：1两部分，求直线l的解析式．

18．（8分）如图，已知△ABD≌△ACE．求证：BE=CD．

19．（10分）已知：如图，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD．

20．（10分）一艘轮船由南向北航行，在A处测得小岛P在西偏北75°方向上，两小时后，轮船在B处测小岛P在西偏北60°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，若轮船仍按15海里/时的速度向前航行，有无触礁的危险？

21．（12分）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；

（2）求∠BFD的度数．

22．（12分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25，

（1）△ABC内是否存在一点P使各边的距离相等？如果存在，请作出这一点．并说明理由；

（2）求这个距离．

23．（14分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：

信息读取：

（1）甲、乙两地之间的距离为_________km；

（2）请解释图中点B的实际意义；

图象理解：

（3）求慢车和快车的速度；

（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

问题解决：

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案D D C D B D C C C A

选择题答案解析：

1．解：根据平方数非负数得，﹣m2≤0，

所以，﹣m2﹣1≤﹣1，

因此，点的横坐标1是正数，纵坐标﹣m2﹣1是负数，

故点在第四象限．

故选D．

2．解：△ABC的面积==7.5．

故选D．

3．解：3﹣2=1，

﹣2+5=3，

∴平移后的对应点是（1，3）．

故选C．

4．解：∵一次函数y=x+3k和y=2x﹣6的图象交点在y轴上，

∴3k=﹣6，

解得：k=﹣2．

故选D．

5．解：直线ax+by=c即直线y=﹣x+．

∵ab＜0，∴a与b符号不同，

∴＜0，∴﹣＞0，

∵bc＜0，∴b与c符号不同，

∴直线y=﹣x+经过第一、三、四象限，

即直线ax+by=c不经过第二象限．

故选B．

6．解：当75°角为底角时，顶角为180°﹣75°×2=30°；

75°角为顶角时，其底角==52.5°，

所以其顶角为30°或75°．

故选D．

7．解：设第三边长为x，

根据题意得，7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10，

又∵三角形为不等边三角形，且第三边长为整数，

∴x为5、6、8、9．

故选C．

8．解：A、作AB的中点F，连接EF

∵∠1=∠2，∠3=∠4

又∵AD∥BC

∴∠DAB+∠ABC=180°

即∠1+∠2+∠3+∠4=180°

∴∠1+∠3=90°

∴∠AEB=90°，则AE⊥BE．故A正确．

B、在直角△AEB中，F是斜边AB的中点，则EF=AF，2EF=AB

∴∠1=∠5

又∵∠1=∠2

∴∠2=∠5

∴AD∥EF

∴EF是梯形ABCD的中位线．

则CE=DE，故B正确；

C、而BE与AB不一定相等，因而AD+DE=BE不正确；

D、∵2EF=AD+BC

∴AB=AD+BC．故D正确．

故选C．

9．解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；

①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；6﹣5＜4＜6+5，能构成三角形，此时两个螺丝间的最

长距离为6；

②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6﹣2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最

大距离为7；

③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；

综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．

故选C．

10．解：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程，x=4时，y开始不变，说明BC=4，x=9时，接着变化，说明CD=9﹣4=5．

∴△ABC的面积为=×4×5=10．

故选A．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

11．25 12．m≤﹣1 13．70°或20°14．36°

填空题解析：

11、解：如右图所示，过点B作AC边上的高BD，交CA延长线于D，

∵BD是高，

∴∠D=90°，

∴∠BAD=30°，

在Rt△ABD中，BD=AB=5，

∴S△ABC=AC×BD=×10×5=25．

故答案是25．

12、解：∵一次函数y=（2m+1）x﹣m﹣1的图象不经过第三象限，

∴2m+1＜0，并且﹣m﹣1≥0，

由2m+1＜0，得m＜﹣；由﹣m﹣1≥0，得m≤﹣1．

所以m的取值范围是m≤﹣1．

故答案为：m≤﹣1．

13、解：当∠A为锐角时，

∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，

∴∠A=40°，

∴∠B===70°；

当∠A为钝角时，

∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，

∴∠1=40°，

∴∠BAC=140°，

∴∠B=∠C==20°．

故填70°或20°．

14、解：设∠ABD=x，

∵BC=AD，

∴∠A=∠ABD=x，

∵BD=BC，

∴∠C=∠BDC，

根据三角形的外角性质，∠BDC=∠A+∠ABD=2x，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=2x，

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠=180°，

即x+2x+2x=180°，

解得x=36°，

即∠ABD=36°．

故答案为：36°．

三．解答题（共9小题，满分90分）

解答题解析：

15．解：（1）过P作PD⊥OA于D．

S△OAP=OA?PD，

∴S=×5×y=（﹣x+6）

即S=﹣x+15．（0＜x＜6）

（2）当△P AO是以OA为底的等腰三角形时，

即P A=PO，

∴OD=AD，

∴x=，

y=﹣x+6=，

∴点P坐标（，）．

16．解：根据题意，①当k＞0时，y随x增大而增大，∴当x=﹣2时，y=﹣11，x=6时，y=9

∴解得，

∴函数解析式为y=x﹣6；

②当k＜0时，函数值随x增大而减小，

∴当x=﹣2时，y=9，x=6时，y=﹣11，

∴解得，

∴函数解析式为y=﹣x+4．

因此，函数解析式为y=x﹣6或y=﹣x+4．

17．解：在y=x+3中，令x=0，则y=3，故B的坐标是（0，3）；

令y=0，解得x=﹣3，则A的坐标是（﹣3，0）．

故OA=OB=3．

∴S△ABO=OA?OB=×3×3=，

当△OAC的面积与△OBC的面积的比是2：1时，

S△OAC=×=3，S△OBC=，

设C的坐标是（m，n），则m＜0，n＞0．

∵S△OAC=OA?|n|=n=3，解得：n=2，

S△OBC=OB?|m|=﹣m=，解得：m=﹣1．

则C的坐标是：（﹣1，2），

设函数的解析式是y=kx，则﹣k=2，解得：k=﹣2，

则函数的解析式是：y=﹣2x；

同理可得C的坐标是（﹣2，1），则函数的解析式是：y=﹣x．

故直线l的解析式是y=﹣2x或y=﹣x．

18．证明：∵△ABD≌△ACE，

∴AB=AC，AD=AE，

∴AC﹣AD=AB﹣AE，

即CD=BE．

19．证明：

延长AD到M，使AD=DM，连接BM，CM，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=DC，

∵AD=DM，

∴四边形ABMC是平行四边形，

∴BM=AC，

在△ABM中，AB+BM＞AM，

即AB+AC＞2AD．

20．解：过P点作PC⊥AB，垂足为C．

∴AB=15×2=30（海里）．

∵A处测得小岛P在西偏北75°方向上，两小时后，轮船在B处测小岛P在西偏北60°方向上，∴∠P AB=15°，∠PBC=30°，

∴∠APB=∠PBC﹣∠P AC=15°，

∴∠P AB=∠APB，

∴PB=AB=30（海里），

∵∠PBC=30°，

∴PC=15（海里），

∵15＜18，

∴该船继续向北航行有触礁的危险．

21．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，

即∠BAE=∠C=60°，

在△ABE和△CAD中，

，

∴△ABE≌△CAD（SAS）．

（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，

又∵△ABE≌△CAD，

∴∠ABE=∠CAD．

∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．

22．解：（1）过点C作∠ACB的角平分线，再过点B作∠ABC的角平分线，过点A作∠CAB的角平分线，

三条角平分线交于一点，就是点P；

（2）过点P分别向△ABC的三边做垂线段PE、PF、PD，连接AP，

∵CP平分∠ACB，PD⊥AC，PF⊥BC，

∴PD=PF，

又∵CP=CP，

∴Rt△CDP≌Rt△CFP，

∴CD=CF，

同理有AD=AE，

∵PE⊥AB，PF⊥BC，

∴∠PFB=∠PEB=∠ABC=90°，

∴四边形PEBF是矩形，

又∵PE=PF，

∴四边形PEBF是正方形，

设PE=x，

∵AE=AD=7﹣x，

∴CF=CD=25﹣（7﹣x）=18+x，

又∵CF=24﹣x，

∴18+x=24﹣x，

解得x=3，

故距离是3．

23．解：（1）900；

（2）图中点B的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇．

（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，

所以慢车的速度为=75（km/h）；

当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，

所以慢车和快车行驶的速度之和为=225（km/h），所以快车的速度为150（km/h）．（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶=6（h）到达乙地，

所以点C的坐标为（6，450）．

设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b，把（4，0），（6，450）代入得，

解得，

所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=225x﹣900．

自变量x的取值范围是4≤x≤6．

（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．把x=4.5代入y=225x﹣900，得y=112.5．

此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，

所以两列快车出发的间隔时间是112.5÷150=0.75（h），

即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h．