最新人大版微积分第三版课件习题课第8章教学讲义ppt

高阶偏导数
函 数 z f(x ,y )的 二 阶 偏 导 数 为 x x z x 2z2fx(xx,y), y yz y22 zfyy(x,y), y x zx2 zyfx(yx,y), x y zy2 zxfy(xx,y).
混合偏导 ( 注意：混合偏导数相等的条件) 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
设 P 0 是 函 数 f(P )的 定 义 域 的 聚 点 ， 如 果 f(P )在 点 P 0 处 不 连 续 ， 则 称 P 0 是 函 数 f(P )的 间 断 点 . 注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能
在曲线上的所有点处均间断。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”： P l iP m 0f(P)f(P 0) (P 0 定义)区域
y y 0
f yx x 0 lx i0m f(x 0 ,y 0 y y )f(x 0 ,y 0)fy(x0,y0)
y y 0
f x lx i0m f(x x , y x )f(x ,y )fx(x,y) f y lx i0m f(x ,y y y )f(x ,y) fy(x,y)
全微分的定义
如果函数 z f ( x, y)在点( x, y) 的全增量
z f (x x, y y) f (x, y)
可以表示为 z Ax By o( )，
其中 A, B 不依赖于 x、y 而仅与x、y 有关， (x)2 (y)2 ，则称函数 z f ( x, y) 在点 (x, y) 可微分， Ax By 称为函数 z f (x, y) 在 点 ( x , y ) 的 全 微 分 ， 记 为 dz ， 即
u x
zv wy
特殊地 zf(u ,x,y) 其中 u(x,y)
x z u f u x fx, yzu f u yfy.
隐函数的求导法则
1 . F (x ,y)0
2 . F (x ,y ,z) 0
dy dx
Fx Fy
.
z y
Fy Fz
,
z y
Fy Fz
.
多元函数的极值
设函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )的某邻域内有定义，
对于该邻域内异于( x0, y0 )的点( x, y)：
若满足不等式
f ( x, y) f ( x0, y0 )，
则称函数在( x0 , y0 )有极大值；
若满足不等式 f ( x, y) f ( x0, y0 )，
则称函数在( x0 , y0 )有极小值；
极 大 值 、 极 小 值 统 称 为 极 值 .
z v x型 w
以上公式中的导数 dz 称为全导数. dt
2、z u v
x型 y
zf(u,v),
u(x,y),v(x,y).
x z u z u x v z x v, yz u z u y vz vy.
x z u z u x v z x v w z w x y z u z u y v z v y w z w y
注意：
求 f x
时，只要把 x
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 x 求导数即可。
求
f y
时，
只要把 y
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 y 求导数即可。
有关偏导数的几点说明：
１、
偏 导 数 u 是 一 个 整 体 记 号 ， 不 能 拆 分 ; x
２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点 ， 都 有 | f ( x , y ) A | 成 立，则称 A 为 z f ( x, y)当 x x0 ， y y0时的极限，记为
lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（ 或 f ( x , y ) A ( 0) 这 里 | PP0 |） .
人大版微积分第三版课件习题 课第8章
方向导数
全微分 概念
全微分 的应用
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性
偏导数 概念
高阶偏导数
隐函数 求导法则
微分法在 几何上的应用
多元函数 的极值
二元函数的极限
定 义 设 函 数 z f ( x , y ) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是 其 聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式
的 偏 导 数x z、 yz在 点 (x,y)连 续 ， 则 该 函
数 在 点 (x,y)可 微 分 ．
设函数zf(u,v)具有连续偏导数，则u，v不论是 自变量还是中间变量，总有全微分
dzuzduvzdv。 --全微分形式不变性
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数存在
函数可微分 偏导数连续
d z A x B y .
定理1（可微分必要条件）如果函数z f(x, y)在
点(x, y)可微分，则该函数在点(x, y)的偏
导数z 、z x y
必存在，且函数z
f(x,
y)
在点(x, y)的全微分为
dzxzdxyzdy.
定 理 ２ （ 可 微 分 的 充 分 条 件 ） 如 果 函 数 zf(x,y)
Байду номын сангаас
复合函数求导法则
1、z
u v
x型
z f ( u , v )u , ( x )v ,( x )
d dx z u zd du x v zd dx v .
d d x z u zd d u x v zd d x v w zd d.w x
u
d dx z u zd du x v zd dx v .
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在D上取 得介于这两值之间的任何值至少一次．
偏导数的定义
zf(x,y) f xx x 0 lx i0m f(x 0 x ,y 0 x )f(x 0 ,y 0)fx(x0,y0)
使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 .
注意： 极值点
驻点
取得极值的条件
(充分条件) 若 zf(x ,y )在 (x 0 点 ,y 0 )的
某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且
fx (x 0,y 0) 0,fy (x 0,y 0 ) 0