高等数学(下册)第9章第1讲多元函数的基本概念
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以邻域为基础，还可以定义n 维空间中内点、边界点、区域等一系 列概念．
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一、多元函数的概念
3.多元函数的概念
定义 9.1 设D 是 R2 中的一个平面点集，如果对于每个点P(x, y) D， 变量z 按照一定对应法则f 总有唯一确定的数值与之对应，则称z 是x ， y 的二元函数，记作
z f (x, y), (x, y) D，或 z f (P), P D. 其中，x,y 为自变量，z 为因变量，点集D 叫做函数的定义域．
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一、多元函数的概念
例如, 点集E1 (x, y) 1 x2 y2 4 是开区域，如图9.4 所示.
点集E2 (x, y) 1 x2 y2 4 是闭区域，如图9.5 所示.
y
y
O1
2x
O1
2x
图 9.4
图 9.5
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一、多元函数的概念
又如，点集E3 x, y | x y 0是开区域，如图9.6 所示.
高等数学（下册）
第九章 多元函数微分学及其应用
第一讲 多元函数的基本概念
本讲内容
01 多元函数的概念 02 二元函数的极限 03 二元函数的连续性
一、多元函数的概念
1.区域
(1)邻域
设P0 (x0 , y0 )是xOy 平面上的一定点， 是某一正数，与点P0 (x0 , y0 )
的距离小于 的点P(x, y) 的全体，称为点P0 (x0 , y0 ) 的 邻域 ，记为 U (P0 , ) ，即
点集E4 {(x, y) | x y 0}是闭区域，如图9.7 所示.
y
y
O
x
O
x
图 9.6
图 9.7
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一、多元函数的概念
⑦有界区域：如果区域E 可包含在以原点为中心的某个圆内，即存 在正数r，使E U (0, r)，则称E 为有界区域；否则，称E 为无界区域.
例如，E1,E2是有界区域，E3,E4是无界区域． ⑧聚点：记E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点．如果 点P 的任一邻域内总有无限多个点属于点集E ，则称P 为E 的聚点． 显然，E 的内点一定是E 的聚点，此外，E 的边界点也可能是E 的聚点．
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边 界，如图9.3所示．
P
P
E
E
图 9.2
图 9.3
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一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集. ④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
完全含于E 的折线连接起来，则称E 是连通集. ⑤开区域：连通的开集称为开区域，也称区域． ⑥闭区域：开区域连同它的边界称为闭区域.
之间的距离为 PQ ( y1 x1 )2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
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一、多元函数的概念
前面关于平面点集的一系列概念，均可推广到n 维空间中去，例如，
P0 Rn ， 是某一正数，则点P0 的 邻域为 U (P0 , ) {P | PP0 | , P R n}.
U (P0 , ) P P0 P ，
亦即
U (P0 , ) (x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 .
3
一、多元函数的概念
在几何上，U (P0, ) 表示以P0 (x0, y0 ) 为中心， 为半径的圆的内
部（不含圆周），如图9.1 所示.
y P0
O
x
图 9.1 4
Rn {(x1, x2 , , xn ) | xi R, i 1, 2, , n}. n 元有序实数组(x1, x2, , xn ) 称为n 维空间中的一个点，数xi 称 为该点的第i 个坐标．
类似地规定，n 维空间中任意两点P x1, x2, , xn 与Q y1, y2, , yn
再如，点集E6
{(1,1), (1 2
,
1), (1 23
,
1),, ( 1 3n
,
1),}，原点(0, 0)是它的 n
聚点，E6 中的每一个点都不是聚点．
以上平面区域的概念可以直接推广到n 维空间中去.
Leabharlann Baidu11
一、多元函数的概念
2.n 维空间
一般地，由n 元有序实数组(x1, x2, , xn ) 的全体组成的集合称为 n维空间，记作Rn．即
一、多元函数的概念
上述邻域U (P0 , ) 去掉中心P0 (x0 , y0 ) 后，称为P0 (x0, y0 ) 的去 心邻域，记作U (P0, )，即
U (P0 , ) (x, y) 0 (x x0 )2 ( y y0 )2 .
如果不需要强调邻域的半径 ，则用U (P0 ) 表示点P0 (x0, y0 )
取定(x, y) D，对应的f (x, y) 叫做(x, y) 所对应的函数值．全体函数 值的集合，即
f (D) {(x, y) | z f (x, y), (x, y) D} 称为函数的值域，常记为f (D).
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一、多元函数的概念
类似地，可以定义三元函数以及三元以上的函数. 一般地，如果把定义9.1 中的平面点集D 换成n 维空间的点 集D，可类似地定义n元函数 y (x1, x2, , xn ) 或 y f (P)，这里 P(x1, x2 , , xn ) D. 当n 1时，n元函数就是一元函数；当n 2 时，n 元函数就 是二元函数；当n 3 时，n 元函数就是三元函数. 二元及二元以上的函数统称为多元函数．多元函数的概念与 一元函数一样，包含对应法则和定义域这两个要素．
的邻域，用U (P0 ) 表示点P0 (x0 , y0 ) 的去心邻域.
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一、多元函数的概念
(2)区域 设E是xOy 平面上的一个点集，P 是xOy 平面上的一点，则P 与
E 的关系有如下情形： ①内点：如果存在P的某个邻域U (P) ，使得U (P) E，则称点
P为E 的内点，如图9.2所示. ②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
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一、多元函数的概念
例如，设E5 (x, y) 0 x2 y2 1 ，那么点(0, 0) 既是E5 的边界
点又是E5 的聚点，但E5 的这个聚点不属于E5 ；
又如，圆周x2 y2 1 上的每个点既是E5 的边界点又是E5 的聚点，
而这些聚点都属于E5 ．
由此可见，点集E 的聚点可以属于E ，也可以不属于E ．
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一、多元函数的概念
3.多元函数的概念
定义 9.1 设D 是 R2 中的一个平面点集，如果对于每个点P(x, y) D， 变量z 按照一定对应法则f 总有唯一确定的数值与之对应，则称z 是x ， y 的二元函数，记作
z f (x, y), (x, y) D，或 z f (P), P D. 其中，x,y 为自变量，z 为因变量，点集D 叫做函数的定义域．
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一、多元函数的概念
例如, 点集E1 (x, y) 1 x2 y2 4 是开区域，如图9.4 所示.
点集E2 (x, y) 1 x2 y2 4 是闭区域，如图9.5 所示.
y
y
O1
2x
O1
2x
图 9.4
图 9.5
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一、多元函数的概念
又如，点集E3 x, y | x y 0是开区域，如图9.6 所示.
高等数学（下册）
第九章 多元函数微分学及其应用
第一讲 多元函数的基本概念
本讲内容
01 多元函数的概念 02 二元函数的极限 03 二元函数的连续性
一、多元函数的概念
1.区域
(1)邻域
设P0 (x0 , y0 )是xOy 平面上的一定点， 是某一正数，与点P0 (x0 , y0 )
的距离小于 的点P(x, y) 的全体，称为点P0 (x0 , y0 ) 的 邻域 ，记为 U (P0 , ) ，即
点集E4 {(x, y) | x y 0}是闭区域，如图9.7 所示.
y
y
O
x
O
x
图 9.6
图 9.7
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一、多元函数的概念
⑦有界区域：如果区域E 可包含在以原点为中心的某个圆内，即存 在正数r，使E U (0, r)，则称E 为有界区域；否则，称E 为无界区域.
例如，E1,E2是有界区域，E3,E4是无界区域． ⑧聚点：记E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点．如果 点P 的任一邻域内总有无限多个点属于点集E ，则称P 为E 的聚点． 显然，E 的内点一定是E 的聚点，此外，E 的边界点也可能是E 的聚点．
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边 界，如图9.3所示．
P
P
E
E
图 9.2
图 9.3
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一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集. ④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
完全含于E 的折线连接起来，则称E 是连通集. ⑤开区域：连通的开集称为开区域，也称区域． ⑥闭区域：开区域连同它的边界称为闭区域.
之间的距离为 PQ ( y1 x1 )2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
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一、多元函数的概念
前面关于平面点集的一系列概念，均可推广到n 维空间中去，例如，
P0 Rn ， 是某一正数，则点P0 的 邻域为 U (P0 , ) {P | PP0 | , P R n}.
U (P0 , ) P P0 P ，
亦即
U (P0 , ) (x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 .
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一、多元函数的概念
在几何上，U (P0, ) 表示以P0 (x0, y0 ) 为中心， 为半径的圆的内
部（不含圆周），如图9.1 所示.
y P0
O
x
图 9.1 4
Rn {(x1, x2 , , xn ) | xi R, i 1, 2, , n}. n 元有序实数组(x1, x2, , xn ) 称为n 维空间中的一个点，数xi 称 为该点的第i 个坐标．
类似地规定，n 维空间中任意两点P x1, x2, , xn 与Q y1, y2, , yn
再如，点集E6
{(1,1), (1 2
,
1), (1 23
,
1),, ( 1 3n
,
1),}，原点(0, 0)是它的 n
聚点，E6 中的每一个点都不是聚点．
以上平面区域的概念可以直接推广到n 维空间中去.
Leabharlann Baidu11
一、多元函数的概念
2.n 维空间
一般地，由n 元有序实数组(x1, x2, , xn ) 的全体组成的集合称为 n维空间，记作Rn．即
一、多元函数的概念
上述邻域U (P0 , ) 去掉中心P0 (x0 , y0 ) 后，称为P0 (x0, y0 ) 的去 心邻域，记作U (P0, )，即
U (P0 , ) (x, y) 0 (x x0 )2 ( y y0 )2 .
如果不需要强调邻域的半径 ，则用U (P0 ) 表示点P0 (x0, y0 )
取定(x, y) D，对应的f (x, y) 叫做(x, y) 所对应的函数值．全体函数 值的集合，即
f (D) {(x, y) | z f (x, y), (x, y) D} 称为函数的值域，常记为f (D).
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一、多元函数的概念
类似地，可以定义三元函数以及三元以上的函数. 一般地，如果把定义9.1 中的平面点集D 换成n 维空间的点 集D，可类似地定义n元函数 y (x1, x2, , xn ) 或 y f (P)，这里 P(x1, x2 , , xn ) D. 当n 1时，n元函数就是一元函数；当n 2 时，n 元函数就 是二元函数；当n 3 时，n 元函数就是三元函数. 二元及二元以上的函数统称为多元函数．多元函数的概念与 一元函数一样，包含对应法则和定义域这两个要素．
的邻域，用U (P0 ) 表示点P0 (x0 , y0 ) 的去心邻域.
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一、多元函数的概念
(2)区域 设E是xOy 平面上的一个点集，P 是xOy 平面上的一点，则P 与
E 的关系有如下情形： ①内点：如果存在P的某个邻域U (P) ，使得U (P) E，则称点
P为E 的内点，如图9.2所示. ②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
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一、多元函数的概念
例如，设E5 (x, y) 0 x2 y2 1 ，那么点(0, 0) 既是E5 的边界
点又是E5 的聚点，但E5 的这个聚点不属于E5 ；
又如，圆周x2 y2 1 上的每个点既是E5 的边界点又是E5 的聚点，
而这些聚点都属于E5 ．
由此可见，点集E 的聚点可以属于E ，也可以不属于E ．