五年级奥数题：约数与倍数(A)

四约数与倍数（A）
_____ 年级______ 班姓名___________ 得分______
一、填空题
1 . 28的所有约数之和是 ______ .
2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有________ 中不同的拼法•
3. 一个两位数，十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数
字的积是24.这个两位数是______ .
4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组，总共种树
667棵，如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____ 人.
5. 两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是________ .
6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数，桔数相等,最多可分给 _____ 小朋友,每个小朋友得梨_______ 个,桔 _____ 个.
7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形
布片_____ 块.
8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料，能锯成尽可能大的正方体木块（不余料）__ 块.
9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个，又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出，如果他要赚得10元钱利润，那么他必须卖出苹果_____ 个.
10. 含有6个约数的两位数有______ 个.
11. 写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1,但两两均不互质，请问有多少组这种解？
12. 和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？
13. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4丄米，黄鼠狼每次跳2-米,
2 4
它们每秒钟都只跳一次.比赛途中，从起点开始每隔12-米设有一个陷井，当它们
8
之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？
14. 已知a与b的最大公约数是12, a与c的最小公倍数是300,b与c的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a, b, c共有多少组？
（例如：a=12、b=300、c=300,与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组）
--------------------------- 答案 -------------------------------------------- 答案：
1. 56
28的约数有1,2,4,7,14,28,它们的和为
1+2+4+7+14+28=56.
2. 4
因为105 的约数有1,3,5,7,15,21,35,105 能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.
3. 64
因为28=2 2 7,所以28的约数有6个:1,2,4,7,14,28. 在数字0,1,2,…，9 中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2，8-3=5.
故符合题目要求的两位数仅有64.
4. 28
因为667=23 29, 所以这班师生每人种的棵数只能是667 的约
数:1,23,29,667. 显然,每人种667棵是不可能的.
当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.
当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.
当每人种 1 棵树时, 全班人数应是667-1=666, 但666 不能被 4 整除, 不可能. 所以, 一班共有28 名学生.
5. 40 或20
两个自然数的和是50,最大公约数是5,这两个自然数可能是5和45,15 和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20, 所以应填40或20.
［注］这里的关键是依最大公约数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.
6. 36,1,3.
要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的约数，又要是108的约数，即一定是36和108 的公约数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公约数.36 和108的最大公约数是36,也就是可分给36个小朋友.
每个小朋友可分得梨: 36 36=1( 只)
每个小朋友可分得桔子: 108 36=3( 只)
所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.
7. 56
剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48 与42的公约数,题目又要求剪出的正方形最大, 故正方形的边长是48与42 的最大公约数.
因为48=2 2 2 2 3,42=2 3 7,所以48与42的最大公约数是 6.这样,最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7 块,共可剪(48 6) (42 6)=8 7=56(块)正方形布片.
8. 200
根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除, 即正方体的棱长是1 80,45和1 8的公约数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公约数.180,45 和18的最大公约数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样,长180厘米可公成20段,宽45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.这根木料共分割成(180 9) (45 9) (18 9)=200块棱长是9厘米的正方体.
9. 150
根据3与5的最小公倍数是 1 5,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱
卖出15个苹果,这样,他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.
10. 16
含有6个约数的数，它的质因数有以下两种情况：一是有5个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M表示含有6个约数的数，用a和b表示M的质因数，那么
M a5或M a2 b
因为M是两位数，所以M= a5只有一种可能M=25，而M= a2 b就有以下15种情况：
M
223,M
22
5,M
227，
M2211,M2213,M22
17，
M2219, M2223, M
32
2，
M325,M327,M3211，
M522,M523,M722.
所以,含有6个约数的两位数共有
15+1=16(个)
11. 三个数都不是质数，至少是两个质数的乘积，两两之间的最大公约数只
能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.
12. 四个数的最大公约数必须能整除这四个数的和，也就是说它们的最大公约数应该是1111的约数.将1111作质因数分解，得
1111=11 101
最大公约数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有
1+2+3+5=11,
即存在着下面四个数
101,101 2,101 3,101 5,
它们的和恰好是
101 (1+2+3+5)=101 11=1111,
它们的最大公约数为101.
所以101为所求.
13. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是2-与123的“最小公倍数” 99，
4 8 4
qq 11 1 3
即跳了99 ^=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是41和123的
4 4 2 8“最小公倍数” 99，即跳了99 -=11次掉进陷井.
2 2 2
经过比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是
1
4- 9=40.5（米）.
14. 先将12、300分别进行质因数分解:
12=2 2 3
300=2 2 3 52
(1)确定a的值.依题意a只能取12或12 5(=60)或12 25(=300). ⑵确定b的值.
当a=12时，b可取12,或12 5,或12 25；
当a=60,300时，b都只能取12.
所以,满足条件的a、b共有5组：
ra=12 r a=12 r a=12 r a=60 j a=300
[b=12, I b=60, I b=300, 1 b=12, t b=12.
（3）确定a, b, c的组数.
对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：
2 2 2 2 2 2 2 2
5，5 2, 5 2，5 3, 5 2 3, 5 2 3, 即卩25, 50, 100, 75, 150, 300.
所以满足条件的自然数a、b、c共有5 6=30 （组）。