不定积分基本公式表

2

于是物体的运动规律为
2 3 4 s(t ) t t . 3 3
2
dx


cos
cos
1
2
dx x
dx x
sin
sin
1
2
dx x
dx x
1
2
1
2
tan x cot x C.
例 10
求

tan 2 xdx .
解

tan2 xdx
sec
2
x 1 dx

sec xdx dx
2


tan x x C.
1 x dx ln x C ; 1 ( 1) 1 , 当 x < 0 时，因为 ln( x ) x x 1 所以 x dx ln( x) C .
综合以上两种情况，当 x 0 时，得

1 dx ln | x | C . x
例2
(1)
求不定积分.
其中每一项虽然都应有一个积分常数， 但是由于 任意常数之和还是任意常数，所以只需在最后 写出一个积分常数 C 即可.
2 5 x e C 1 2( cos x C 2 ) 2 x 2 C 3 5 5 4 2 x e 2 cos x x (C 1 2C 2 2C 3 ) 5 5 4 2 x e 2 cos x x C . 5
2
( x 1)
dx

( x 2 1) x 2 x ( x 1)
2 2
dx

x
x2 1
2
( x 1)
2
dx
x
x2
2
( x 1)
2
dx

x x
dx
2
1
2
1
dx
1 arctan x C . x
例７
求
x
x4
2
x4
2
1
dx .
解
x
1
dx
第四章 不定积分
第二节 不定积分的基本公式和运 算法则 直接积分法 一、不定积分的基本公式 二、不定积分的基本运算法则 三、直接积分法
不定积分基本公式表
( 1)
kdx kx C

(k 为常数 ; )
( 1) ;
1 (2) x dx x 1 C , 1 1 (3) dx ln | x | C ; x ax (4) a x dx C ; ln a
当 a e 时,

e x dx e x C ;
(5) (6) (7) (8) (9)
cos xdx sin x C； sin xdx cos x C；
sec2 xdx tan x C； csc2 xdx cot x C；
sec x tan xdx sec x C； (10) csc x cot xdx csc x C；
3 1 2 3 x dx x x

dx 1 3 dx 3 dx xdx x x2
1 1 2 3 ln | x | 3 x x C . x 2
例6
求
x
2
2x 2 1
2
( x 1)
2
dx .
解
x
2x 2 1

cos 2 x sin2 x dx cos x sin x

cos x sin x dx
sin x cos x C.
例9 解
求
cos
1
2
1 x sin x dx
2
2
dx.
cos
2
x sin x
cos
cos 2 x sin2 x
2
x sin x

1 2 dx
1 1 2
C 2x C
例3
求不定积分

2 x e x dx .
解

2 x e x dx ( 2e) x dx

( 2e) x C ln(2e)
2xex C. 1 ln 2
二、不定积分的基本运算法则
法则 1 两个函数的代数和的不定积分等于这
两个函数不定积分的代数和， 即
x
2

x dx ;
( 2)

1 x
dx .
解
先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基
本积分公式， 得 (1) x 2 x dx (2)
5 x 2 dx

1 5 1 2
5 1 2 x
C
2 3 x x C. 7
1 2

1
1 x dx x 1 x 1 2 2 x C.
(11)

dx 1 x2
arcsinx C arccos x C；
(12)
1 x
dx
2
arctan x C arc cot x C .
例1 解
求不定积分

1 dx. x
1 被积函数 的定义域为 x 0. x
1 因为 当 x > 0 时， (ln x ) , 所以 x
法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即
f ( x) f ( x) f ( x)dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x ) dx.
1 2 n
1 2 n
法则 2
被积函数中的不为零的常数因子可以
提到积分号前面，即
kf ( x )dx k f ( x )dx (k 为不等于零的常数)

x4 11 x 1
2
dx


( x 2 1)( x 2 1) x 1
2
dx
x
dx
1
2
1
来自百度文库dx
( x 1)dx
2

1 x
1
2
x3 x arctan x C . 3
例8
求

cos 2 x dx. cos x sin x
解

cos 2 x dx cos x sin x
例 11 已知物体以速度 v 2t2+1 (m/s)作直线运动，
当 t=1 s 时, 物体经过的路程为3m, 求物体的运动规律.
解
积分得
设所求的运动规律 s = s(t)，按题意有
s (t ) v(t ) 2t 2 1
2 3 s(t ) (2t 1)dt t t C 3 将条件 s|t=1 = 3， 代入上式中，得 C 4 . 3


三、直接积分法
求积分时，如果直接用求积分的两个运算法 则和基本公式就能求出结果， 或对被积函数进行 简单的恒等变形 (包括代数和三角的恒等变形) ， 在用求不定积分的两个运算法则及基本公式就能 求出结果，这种求不定积分的方法成为直接积分
法．
例5
求

(1 x ) 3 dx. 2 x
解

(1 x ) 3 1 3x 3x2 x3 dx dx 2 2 x x

[ f ( x ) g( x )]dx

f ( x )dx

g( x )dx .
证 根据不定积分定义，只须验证上式右端的 导数等于左端的被积函数.
f ( x)dx g( x)dx
f ( x)dx g( x)dx
f ( x ) g( x ).
证 类似性质 1 的证法， 有
k f ( x)dx k f ( x)dx kf ( x).
例4 解
求不定积分
e
(e x 2 sin x 2 x x )dx
x

(e x 2 sin x 2 x x )dx .
dx 2 sin xdx 2 x x dx