高中数学--必修五数列导学案
必修5 第二章：数列复习2导学案
必修5 数列复习小结 第2课时高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一 数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T练习：1、若数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，求该数列的通项公式。
答案：⎩⎨⎧=-122n n a )2()1(≥=n n2、n S 为{n a }的前n 项和，n S =3（n a －1），求n a （n ∈N +）3、设数列{}n a 满足2*12333()3n n a a a a n N +++=∈n-1…+3，求数列{}n a 的通项公式2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a例2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.3.形如)(1n f a a nn =+型（累乘法） 例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。
答案：12+=n a n练习：1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。
答案：)1(2+=n n a n4.形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法） 例1. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,131+=+n n n a a a ,求通项公式n a .答案：231-=n a n题型二 根据数列的性质求解（整体思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ） 5、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 .题型三：求数列的前n 项和基本方法：A ）公式法，B ）分组求和法1、求数列n{223}n +-的前n 项和n S .C ）裂项相消法，数列的常见拆项有：1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++111； 例1、求和：S =1+n ++++++++++ 32113211211例2、求和：nn +++++++++11341231121 .D ）倒序相加法， 例、设221)(xx x f +=，求：).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++E ）错位相减法，1、若数列{}n a 的通项n n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S .2.21123(0)n n S x x nx x -=++++≠ （将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑）题型五：数列单调性最值问题例1、数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .例2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a 当n 为何值时，n S 取得最大值；。
【B版】人教课标版高中数学必修五导学案1-数列-新版
§2.1 数列学习目标：了解数列的概念，体会数列是一种特殊函数，能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式.类比函数理解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式等），能根据项数多少、数列的性质对数列分类.了解递推公式是给出数列的一种方法.掌握根据递推公式写出数列的前n 项的技巧.会利用一些简单的递推公式求出数列的通项.学习重难点：数列概念；数列的表示方法；递推公式.知识要点1、数列的定义：按照一定 排列的一列数叫数列.数列中的 都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首 项），第2项, …,第n 项, …数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，其中n a 是数列的 ，叫做数列的 ，我们通常把一般形式的数列简记作 。
2、数列的表示:（1）列举法:将每一项一一列举出来表示数列的方法.（2）图像法:由(n,a n )点构成的一些孤立的点;（3）解析法:用通项公式a n =f(n)（*∈N n ）表示.通项公式：如果数列{n a }中的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的 .数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.思考与讨论:①数列与数集有什么区别？与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质；确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。
可重复性：数列中的数可以重复。
有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。
②是否所有的数列都有通项公式？③{n a }与n a 有什么区别？（4）递推公式法:用前n 项的值与它相邻的项之间的关系表示各项. 递推公式也是求数列的一种重要的方法，但并不是所有的数列都有递推公式。
3、数列与函数从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为 （或它的 ）的函数)(n f a n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.数列的 是相应的函数的解析式，它的图像是 。
高中数学必修五第一章§5数列综合复习导学案
第一章 数列综合复习学习目标：1、掌握数列的简单综合应用。
2、体会数学思想方法的应用。
重点难点：重点：数列的简单性质应用。
难点：数列求和问题。
学法指导：自学，小组讨论交流，师生点评提高。
一、知识梳理：尝试回顾本章节学习过的数列基本知识，画出知识结构图。
二、试一试： 1．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ）A ．4- B．6- C ．8- D ．10-2．设nS 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．213．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q的取值范围是（ ）A ．1(0,)2+ B ．1(2 C ．1[1,2+ D ．)251,251(++-4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．31log 5+D ．32log 5+5．等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 则35a a +=_________。
7．数列7,77,777,7777…的一个通项公式是______________________。
8．在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
二、典型例题：1、在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)令bn ＝2an －10，证明数列{bn}为等比数列．2．已知数列{}n a 的通项公式112+-=n a n ，如果)(N n a b n n ∈=，求数列{}n b 的前n 项和。
3、在等比数列{}n a 中，,400,60,364231>=+=n S a a a a 求n 的范围。
人教版高中数学必修五导学案：2.1数列的概念与简单表示法(1)
一、有关复复 1：函数y3x，当x挨次取1，2，3，⋯，其函数有什么特色？复 2：函数 y=7x+9，当 x 挨次取 1，2，3，⋯，其函数有什么特色？二、新学◆ 学研究研究任：数列的观点⒈ 数列的定：的一列数叫做数列 .⒉ 数列的：数列中的都叫做个数列的 .反省：⑴ 假如成两个数列的数同样而摆列序次不一样，那么它是同样的数列？⑵ 同一个数在数列中能够重复出？3.数列的一般形式：a1, a2 , a3 , ,a n ,4.数列的通公式：假如数列 a n a n 与n之的关系能够用，或a n，此中a n是数列的第.的第 n来表示，那么就叫做个数列的通公式 .反省：⑴全部数列都能写出其通公式？⑵一个数列的通公式是独一？⑶数列与函数有关系？假如有关系，是什么关系？5．数列的分：1）依据数列数的多少分数列和数列；2）依据数列中的大小化状况分数列，数列，数列和数列.◆ 典型例例 1 写出下边数列的一个通 公式，使它的前 4 分 是以下各数：⑴ 1，－1，1，－1；234⑵ 1， －1， 1， －1； （ 3） -1, 1，-1， 1； （ 4）1 ，0， 1， 0；（ 5）1，4， 9 ，16；251017（6） 12， -13 ，1，-41 ； 123 45（7）15, 24 , 35 , 48 , 63 , , 2 5 10 17 26小 ：要由数列的若干 写出数列的一个通 公式， 只需 察剖析数列中的 的组成 律，将 表示 数的函数关系 .例 2 已知数列 2，72，2，⋯的通 公式 a nan b，求 个数列的第四 和4cn第五 .式：已知数列5 ， 11， 17 ， 23 ， 29 ，⋯， 5 5 是它的第 .小 ：已知数列的通 公式， 只需将数列中的 代入通 公式， 就能够求出 数和 .例 3 在数列 { a n } 中， a 1=2,a 17=66，通 公式是 数 n 的一次函数 .(1)求数列 { a n }(2)88 是不是数列 { a n } 中的 .◆ 手练 1 写出下边数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是以下各数：（1） 1， 1，1， 1；3 5 7（ 2）1， 2， 3，2 .（ 3）－１，２，－３，４； （ 4）２，４，６，８；（ 5）１，４，９，１６； （6） 11 ， 1 1 ， 1 1 ， 1 12 23 34 4 5练 2 写出数列 { n 2 n} 的第 20 项，第 n ＋1 项 .练 3 已知数列｛ a n ｝的通项公式 a nn 2 8n 5 ．（１）写出这个数列的前５项，并作出前５项的图象； （２）这个数列全部项中有没有最小的项？三、学习小结1. 关于比较简单的数列，会依据其前几项写出它的一个通项公式；2. 会用通项公式写出数列的随意一项 .◆ 当堂检测1.以下说法正确的选项是（ ） .A. 数列中不可以重复出现同一个数B.1，2，3，4 与 4， 3， 2， 1 是同一数列C.1，1，1，1⋯不是数列D.两个数列的每一同样，数列同样2.以下四个数中，哪个是数列{ n(n1)} 中的一（）.A. 380B. 392C. 321D. 232已知数列a n，a n 1(n N )，那么1是个数列的第（）.3.n(n2)120A. 9B. 10C.11D. 124.在横上填上适合的数：（ 1） 3， 8， 15，，35，48.（ 2），111 4，，16，32；（ 3）351733 2，4，，16，32，5.写出数列1，1，1，1的21222324一个通公式.。
《数列的概念》 导学案
《数列的概念》导学案一、学习目标1、理解数列的概念，了解数列的分类。
2、掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的项。
3、能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。
二、学习重难点1、重点（1）数列的概念及通项公式。
（2）由数列的前几项写出数列的通项公式。
2、难点（1）根据数列的前几项准确地写出数列的通项公式。
（2）理解数列是一种特殊的函数。
三、知识链接1、函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
2、函数的表示方法：解析式法、列表法、图象法。
四、自主学习（一）数列的概念1、观察下列例子中的数，它们有什么共同特点？（1）一个工厂把所生产的钢管按内径尺寸从小到大排成一列：250mm，251mm，252mm，253mm，…（2）无穷多个 1 排成一列数：1，1，1，1，…（3）正整数 1，2，3，4，5，…的倒数排成一列数：1，1/2，1/3，1/4，1/5，…2、数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列。
3、数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，…，第 n 项，…。
4、数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}。
（二）数列的分类1、按项数的多少，数列可以分为：（1）有穷数列：项数有限的数列。
（2）无穷数列：项数无限的数列。
2、按项的大小变化，数列可以分为：（1）递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。
（2）递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。
（3）常数列：各项都相等的数列。
（4）摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
（三）数列与函数的关系1、数列可以看作是一个定义域为正整数集N（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
苏教版高中数学必修5《数列(第2课时)》导学案
数列（第2课时）【学习导航】知识网络学习要求1．进一步理解数列概念，了解数列的分类；2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；3．了解递推数列的概念。
【自学评价】1．数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。
2．数列的分类：按n a 的增减分类：（i ）递增数列：n N *∈任意，总有1n n a a +>；（ii ）递减数列：n N *∈任意，总有1n n a a +<；(iii) 摆动数列：l N *∈任意k,，有1k k a a +>，也有1l l a a +<，例如1,2,4,6,8,---；（iv ）常数列：n N *∈任意，1n n a a +=；（v ）有界数列：存在正整数M 使||n a M ≤；（vi ）无界数列：对任意正整数M 总存在n a 使||n a M >。
3．递推数列：如果已知数列{}n a 的前一项（或前几项），且任意一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式。
递推公式是给出数列的一种重要方式。
【精典范例】【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）222221314151,,,2345----； （2）12341,2,3,42345； （3）9，99，999，9999。
【解】（1）这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是：2(1)11n n a n +-=+； （2）这个数列的前4项每一项都可以分为整数部分n 与分数部分1n n +的和，所以它的一个通项公式是：1n n a n n =++； （3）这个数列的前4项每一项加1后变成10,100,1000,10000，所以它的一个通项公式是：101n n a =-。
苏教版必修五全册导学案--数列复习2导学案(教师版).doc
执笔人：姚东盐审核人：2009年10月日必修5数列复习小结第2课时第20课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n项和公式；（2）提高分析、解决问题能力.二、例题探究例1 （2009浙江文）设S”为数列｛a”｝的前"项和，S” = kn2 + n , ne N* ,其中k是常数.I）求⑷及a” ；II）若对于任意的me N*, a m, a2m, a%成等比数列，求k的值.解（I ）当n = \,a x = S x = k + 1,n > 2,a n = S n -S”_] = kn~ + n - [k（n -1）2 + （”一1）] = 2kn — k + \（ * ）经验，n-\,（*）式成立，/. a n = 2kn -k + 1（II）•••成等比数列，:宀]即（4km -k + 1）2 = （2km-k + l）（8hn-k+1）,整理得：mk（k-1） = 0,对任意的me N *成立，/. k = = 1例2 （2009山东卷文）等比数列｛a”｝的前n项和为S”，已知对任意的ne N+，点（“,S”），均在函数y = b x + r（b> 0且b工l,b,r均为常数）的图像n +1上.（1）求r的值；（11）当b二2时，记b n = ------ （ZIG N+）求数列｛仇｝4勺的前"项和T”解：因为对任意的” w N+ ,点（”,S”），均在函数y = b x + r（b > 0且b l,b,r均为常数）的图像上所以得S n=b n + r,当” =1 时，Oj = Sj =b + r, 当n>22”+i 2" _] 2"+24 2"+i 2"+2 _23 1 ” +1 _ 3 n + 32 2"2,,+1 ~2 2"+i 2H 2"+i 2 所以时,a n = S n -S n _x =b n +r-(肝 + r) = b"~ b n ~' =(b-\)b n ~l, 又因为｛ a… ｝为等比数列，所以r = -l , 公比为b,a n =(b-l)b n ~l(2)当 b=2 时，a n = (b — I)/?"" = 2"T ,3 4 n + 1-+丄 T = A +A +A +...+JL +ZI ±12 11 23 24 25 2"+i 2"+22 1 1 1 1 n + 1相减，侍訐二去+歹+歹+歹+-+亍r-尹 丄__1_ 1 2"「" " +1 _ 3 1 n + 1 【命题立意】：本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，以及已知S”求a”的 基木题型，并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新 数列的前"项和T”.例3.某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能 力将逐年下降•若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除 技术改造资金的情况下，第"年（今年为第一年）的利润为500（1+丄）力元2"（"为正整数）.（I ）设从今年起的前"年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A”万元, 进行技术改造后的累计纯利润为B”万元（须扣除技术改造资金），求A”、B”的 表达式；, n+1 n+1 n+1b n 4X 2”T2"+I（II）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进彳丁技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解：（I）依题意知，数列A”是一个以500为首项，一20为公差的等差数列，所(T)x(—20) = 490/1 -10/J2,以4” = 480“ + "B,, = 500(1 + |) + 500(1 + *) + ••• + 500(1 + * - 600 500“++* + ••• + *)一6002^~500=500” + 500 x ------------- 1 ---- 600 = 500;?- —-1001_1 2"2（II）依题意得,B” > A”,即500n- —-100>490n-10n2,50 °可化简得—<n2 + n-10,2〃50 9可设于（〃）二—,g（n） = n2 +n-10又-neN+,:.可设/（〃）是减函数，g（〃）是增函数，又f（3） = ^>g（3） = 2, f（4）=浮 < g⑷=8O lo则“ =4时不等式成立，即4年三、课后作业1. （2007宁夏）已知a, b, c, d成等比数列，月.曲线y = x2 -2x+ 3的顶点是(b, c),贝U ad等于_________ 2 2.（2006江西卷）已知等差数列｛a”｝的前n项和为S”,若OB= aj OA+a200OC,且A、B、C二点共线（该直线不过原点0）,则汕= _____________ 1003. （2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：2 34 5 67 8 9 10按照以上排列的规律，第n行（n 23）从左向右的第3个数为n2—n +6答案2四、反思总结。
数列的概念
§1.1 数列的概念学习目标：1、理解数列的概念，表示，分类等基本概念。
2、了解数列的通项公式，会根据此写出任意一项。
3、会根据数列的前几项写出它的通项公式。
重点难点：1、重点：数列概念理解及用通项公式写出任一项。
2、难点：根据数列前几项归纳出数列通项公式。
学法指导：自学，小组讨论交流，师生点评提高。
知识链接：一、知识梳理. 认真阅读课本3-6页完成下列问题。
1. 写出：所有正偶数组成的一列数：2. 5的正整数倍组成的一列数：结合课本实例，给数列下一定义：叫数列中的项。
它可以表示成 或 。
其中数列的第一项称为第二项可以表示为 。
是数列的通项。
3. 数列可以根据 分为有穷数列和无穷数列。
试各举一例。
4.、项数 1， 2， 3， 4，…，n, …项 1， 31， 51， 71，…，121-n ，…我们可以看出，这个数列的每一项的序号n 与这一项a n 之间有这样的对应关系：121-=n a n ，这就是这个数列的一个通项公式。
概括通项公式的概念：。
（注：有了通项，任给一个n 的值，我们就可以得到它对应的项） 二、预习交流、解决问题 1、设数列, 则 （ ） A .第六项 B .第七项 C .第八项 D .第九项3、在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 的值是（ ） A 、19 B 、 20 C 、 21 D 、224、已知数列1，－1，1，－1，…，则下列各式中，不能作为它的通项公式的是 哪一 个（ ）A ．1)1(--=n n aB ．2)12(sin π-=n a n C ．⎩⎨⎧-=)(1)(1为偶数为奇数n n a n D ．n na )1(-=探究案例：1、已知数列{}n a 的通项公式n d a cn n=+，且2433,22a a ==，求10a ．2、已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+，试写出该数列的前5项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.3、已知数列{a n }的通项公式为a n =3n 2-28n. (1)写出数列的第4项和第6项；（2）问-49和68是该数列的项吗？若是，是第几项；若不是，请说明理由目标检测：1、在数列{}n a 中，12n n n a a a ++=+，122,5a a ==，则6a 的值是 （ ） A.3- B.11- C.5- D.192、数列3，5，9，17，33，…的通项公式n a 等于（ ）A ．n 2B ．12+nC ．12-nD ．12+n3、600是数列1×2,2×3,3×4,4×5,…的( )(A)第20项 (B)第24项 (C)第25项(D)第30项4、数列{}n a 中，11,111+==-n n a a a ，则=4a5、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n 个图中有___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）总结提升： 学后反思：作业布置：自我评价：我的疑惑：。
高中数学必修五导学案数列的概念与简单表示法
必修五数列概念与简单表示法【学习目标】1、记住数列概念，区分数列项与项数；2、认清数列与函数关系，了解数列几种分类；3、能根据数列假设干项写出数列通项公式；4、了解数列递推公式，能由数列递推公式求出数列一些项。
【重点与难点】重点：归纳数列通项公式；难点：由数列前假设干项写出通项公式。
【使用说明及学法指导】P28—P31内容，然后开场做导学案。
2.将预习中不能解决问题标出来，以便课上交流讨论。
预习案一．问题导学1.数列是函数吗？假设是，定义域，值域与对应法那么分别是什么？2.数列有那些呈现方式？求数列通项公式时怎样去找寻规律？二．知识梳理1、数列是按照排列一列数，数列中每一个数叫做这个数列。
项数有限数列叫做，项数无限数列叫做。
2、数列一般形式可以写成简记为，其中称为数列第1项〔或称为首项〕，称为第n项。
如果第n项与序号 n之间关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列。
3、递增数列：从项起，每一项都数列；递减数列：从项起，每一项都数列。
怎样定义常数列、摆动数列？4、假设数列首项，且数列中从第二项起，每一项与前一项〔或前几项〕间关系可用一个公式来表示，那么这个公式称为数列，由这个公式给出数列方法叫做。
1.观察下面数列特点，用适当数填空，并写出各数列一个通项公式：〔1〕〔〕，－4，9，〔〕，25，〔〕，49…(2) 1,,( ),2,,( ),…2.写出以下数列通项公式(1) 2,0,2,0 (2)(3) (4)9,99,999,9999, …3.，且，求数列前5项.4.根据下面数列通项公式，分别作出它们图像：(1) ；(2)四.我疑问：探究案一．合作探究探究1.求数列通项公式例1、写出以下数列一个通项公式:(1) 1，3，7，15，…；(2) 2，5，10，17，…；(3) ；(4) 0.9，0.99，0.999，0.9999，….探究2.数列与函数、方程联系例2.数列通项公式为.(1)求；(2)判断22是不是这个数列项.假设是，是第几项假设不是，说明理由；(3)求该数列中最小项及相应项数.二、课堂小结：训练案一、课堂训练与检测1.数列1，3，6，10，…一个通项公式是〔〕A.a n=n2-(n-1)B.a n=n2-1C.a n=D.a n=2．数列，，它最小项是第项。
高二数学必修5导学案(2)
课题：§1.1.2数列的函数特征
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一、教学目标
1.了解数列是一种特殊的函数;
2. 能判断数列的单调性.
教学重点：1了解数列是一种特殊的函数;
教学难点： 能判断数列的单调性.
二、问题导学
1、阅读课本第6页实例分析部分得到：
函数图像呈上升的是 ，函数图像呈下降的是 ，图1-7的图像显示此数列为 .
从而发现数列的图像是由一些 构成的
① 递增数列： ② 递减数列： ③ 常数列：
三、问题探究
知识点：判断函数的单调性可以由定义证明也可以画图观察
阅读课本第7页并填写下列内容：
例3 判断下列无穷数列的增减性.
（1）2，1，0，-1，…，3-n ，… （2）21，32，43，…1+n n ，… ⑴ 用定义证明 ⑵ 用定义证明
11______
______
______n n n n a a a a ++==-= 11__________________n n n n b b b b ++==-=
例4、画图观察
有的项大于它的前一项，有的项小于它的前一项，我们把这个数列称作叫作 ，从图像上观察发现数列的各点相对于横轴 ，它既不是 ，也不是 .
例5、带着下列问题理解：
① 为何各站编号：能更清晰的观察到某站及其剩余邮件数
② 各站剩余邮件数的计算
③ 各站剩余邮件数n a 是其站号n 的函数
四、课堂练习
1、⑴ 课本第8页练习题1
⑵课本第8页练习题2
单调性分析：
⑴
⑵
⑶课本第9页B组第2题
五、自主小结
六、课堂反思
X轴y轴
例1、例2图。
苏教版必修五全册导学案--数列复习1导学案(教师版).doc
执笔人：姚东盐审核人：2009年10月日必修5数列复习小结第1课时第19课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n项和公式；（2）提高分析、解决问题能力.二、知识点总结（~）数列的概念1.数列的概念与简单表示法（1）从定义角度看：（2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N*它的有限子集为定义域的函数a…=f（n）当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值.2.数列的表示（1）列表法；（2）图象法：注意图象是,而不是；（3）通项公式：（4）递推公式：如果已知数列｛a,｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.3.数列的分类1）按数列项数的多少可以分为和o2）按数列中相邻两项的大小可分为、、—和—.4.数列的通项a”与前n项和S”之间的关系对任一数列有a…=< （二）等差数列1.等差数列的定义：若数列｛混为等差数列，则有a-^d｛其中nN2, nEN*）.2.等差中项：3.等差数列的通项公式：a,~a^ + （n~\）d,其中切为首项，d为公差.当d>0时，数列｛a,｝为递增数列;当次0时，数列｛&,｝为递减数列;当d=O 时，数列｛&｝为宣数列.4.等差数列的前〃项和公式:5.等差数列的性质：（1）等差数列｛&｝中，&-&= d・,（2）等差数列｛&,｝中，若m+n=p+q（其中m, n, p, qE中）,则&,也=<3/%；若m+n/p,则am+an Wa”也称a。
为a®,a”的等差中项.（3）等差数列中依次k项和成等差数列，即S K、S2K-S K. S3K-S2K成等差数列，其公差为矿。
6.已知三个数成等差数列，可设这三个数为若四个数成等差数列，可设为——.7.等差数列的判定方法：1）定义法：% — a, = d 0｛a“｝是等差数列。
高中数学必修5-2.1数列的概念与简单表示法(导学案)
第二章数列§ 2.1数列的概念与简单表示方法编制人：审核人：高一数学备课组1. 认真研读课本卩28 _卩31的内容，完成课前预习，熟记有关知识概念。
2. 对不理解的内容和存在问题先标注，准备课内小组合作探究，答疑解惑。
【学习目标】1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系。
2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法。
3. 激情投入、勇于探索，养成扎实、严谨的科学态度。
课前预习一、重点难点重点：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系。
难点：根据数列的前几项归纳通项公式，理解递推公式和通项公式的关系。
二、问题导学认真研读课本P28 _略的内容，明确：1. 数列及其有关概念1 ）数列的定义：按 ___________________________________________ 叫做数列，数列叫做这个数列的项，___________________________ 叫做首项。
数列的一般形式为：asajlha川I, a.是数列的第n项，即数列的通项，数列记作：｛a n｝。
2）通项公式：如果数列_____________________________________ 可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
3）递推公式：如果已知数列｛a n｝的第一项（或前n项），且任何一项a n与它的_______________ （或前n项）间的关系可以用一个式子来表示，这个式子就叫做这个数列的递推公式。
2. 数列的分类1. --------------------------------------------------------------------------------------------项数多少分「有穷数列：------------------------------------------------L无穷数列：______________________________________数列与集合的性质和表示方法的对比三、练一练：（研读课本P例1、例2）厂29_311 •根据数列的通项公式，写出它的前5项及第2n-1项：（1）a n 1；（2）a n = （-1）心（n21）n2.根据数列的前几项，归纳各数列的通项公式：（1） 1 ,」,1 , J , 1 ,... ；（2）1,-3 , 5,-7 , 9,…;3 5 7 9(3) 9,99,999,9999，…;（备课）笔记区•递增数列： _________________________________________2. 按各项变化规律分递减数列：_____________________________________________1摆动数列： _________________________________________常数列：3. 数列与函数的关系思考：这样通过前几项归纳出的通项公式一定是唯一的吗，所有数列都有通项公式吗?探究三：数列｛ a n ｝中 a ! = 1 , a n+i -a n=3a n 申a n (N )，求数列 a n拓展：数列的性质*r 、*1 •单调性：如果对所有的n ・N ,都有a n1 ' a n ，那么数列｛a n｝为递增数列；如果对所有的 n ・N ,都有 an ^:: a n ，那么数列｛a n｝为递减数列；如果对所有的 n ・N *，都有 办，1二a n ，那么数列｛a n｝为常数列；如果 有些项大于它的前一项，有些像小于它的前一项，则称｛a n ｝为摆动数列。
高中数学--必修五数列导学案
数列导学案§2.1 数列的概念及简单表示〔一〕【学习要求】1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 2．探索并掌握数列的几种简单表示法．3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．【学法指导】1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念． 2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法．3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式． 【知识要点】1．按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n 位的数称为这个数列的第 项． 2．数列的一般形式可以写成a 1,a 2,…,a n ,…,简记为 ．3．项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_____数列．4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式． 【问题探究】探究点一 数列的概念问题 先看下面的几组例子：〔1〕全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…； 〔2〕正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，12，13，14，15；〔3〕π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141，…； 〔4〕无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…；〔5〕当n 分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n 的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，…. 请你根据上面的例子尝试给数列下个定义．探究 数列中的项与数集中的元素进行比照，数列中的项具有怎样的性质？ 探究点二 数列的几种表示方法问题 数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整． 〔1〕数列：1,3,5,7,9，…①用公式法表示：a n ＝ ； ②用列表法表示：〔2〕数列：1，12，13，14，15，…①用公式法表示：a n ＝ . ②用列表法表示：③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)： 探究点三 数列的通项公式问题 什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？数列通项公式 －1,1，－1,1，… a n ＝ 1,2,3,4，… a n ＝ 1,3,5,7，… a n ＝ 2,4,6,8，… a n ＝ 1,2,4,8，… a n ＝ 1,4,9,16，… a n ＝ 1，12，13，14，… a n ＝【典型例题】例1 根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项． 〔1〕a n ＝cosn π2； 〔2〕b n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1nn ＋1. 小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n ＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运算化简后再求值．跟踪训练1 根据下面数列的通项公式，写出它的前4项．〔1〕a n ＝2n ＋1；〔2〕b n ＝2)1(1n-+例2 根据数列的前几项，写出以下各数列的一个通项公式： 〔1〕1，－3,5，－7,9，…； 〔2〕12，2，92，8，252，…；〔3〕9,99,999,9 999，…； 〔4〕0,1,0,1，….小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．跟踪训练2 写出以下数列的一个通项公式： 〔1〕212，414，618，8116，…；〔2〕0.9,0.99,0.999,0.999 9，…； 〔3〕－12，16，－112，120，….例3 已知数列{a n }的通项公式a n ＝－1nn ＋12n －12n ＋1.〔1〕写出它的第10项；〔2〕判断233是不是该数列中的项．小结 判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n 的值，假设存在正整数n ，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项． 跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n n ＋2(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项．【当堂检测】1．以下表达正确的选项是 ( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,1,0,1，…是常数列D ．数列{nn ＋1}是递增数列2．观察以下数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，___，11，…. 3．已知以下数列：〔1〕2 000,2 004,2 008,2 012； 〔2〕0，12，23，…，n －1n，…；〔3〕1，12，14，…，12n －1，…； 〔4〕1，－23，35，…，－1n －1·n 2n －1，…；〔5〕1,0，－1，…，sinn π2，…； 〔6〕6,6,6,6,6,6. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)【拓展提高】4．写出以下数列的一个通项公式： 〔1〕a ，b ，a ，b ，…； 〔2〕－1，85，－157，249，….【课堂小结】1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n只表示数列{a n}的第n项，a n与{a n}是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而到达问题的解决．§2.1 数列的概念及简单表示〔二〕【学习要求】1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．2．能从函数的观点研究数列，掌握数列的一些简单性质．【学法指导】1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．2．由于数列可以看作是一类特殊的函数，因此许多函数的性质可以应用到数列中．例如，数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质．【知识要点】1．如果数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的公式．2．数列可以看作是一个定义域为(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列．3．一般地，一个数列{a n}，如果从起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做数列．如果数列{a n}的各项都，那么这个数列叫做常数列．4．已知数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1－a n＝1，则a n＝，从单调性来看，数列是单调数列．【问题探究】公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘全书》中，记载了一个著名的问题，某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？该问题在原书中作了分析：第一个月和第二个月都是最初的一对兔子，第三个月生下一对兔子，围墙内共有两对兔子，第四个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔子．到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有5对兔子．继续推下去，第12个月时最终共有144对兔子．书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{a n}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，a n＋1＝a n＋a n－1命名为斐波那契数列，它在数学的许多分支中有广泛应用．数列的这种表达形式，是用前面的项来表达后面的项，我们称之为数列的递推公式，数列的递推公式有什么应用呢？这一节我们就来学习数列的递推公式．探究点一数列的函数特性问题数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的认识．探究1数列的单调性下面给出了一些数列的图象：a n ＝2n －1a n ＝1na n ＝(－1)n观察上述数列项的取值的变化规律，请类比单调函数的定义，把以下单调数列的定义补充完整．一般地，一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递增数列；如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递减数列；如果数列{a n }的各项都相等，那么这个数列叫做常数列．因此，要证明数列{a n }是单调递增数列，只需证明a n ＋1－a n 0；要证明数列{a n }是单调递减数列，只需证明a n ＋1－a n 0. 探究2 数列的周期性已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发现数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 012项是多少？探究点二 由简单的递推公式求通项公式问题 递推公式与通项公式，都可以用来写出数列中的任意项，都是给出数列的一种方法，那么它们究竟有什么不同呢？探究1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试根据这一结论，求解以下问题．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，试求通项a n . 探究2 假设数列{a n }中各项均不为零，则有：a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立．试根据这一结论求解以下问题．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)，试求通项a n .【典型例题】例1 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．小结 已知数列递推公式求数列通项时，依次将项数n 的值代入即可．跟踪训练1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1.求证：数列{a n }为递增数列．小结 数列是一种特殊的函数，因此可用函数单调性的方法来研究数列的单调性．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝anbn ＋1，其中a 、b 均为正常数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是 ( ) A ．a n >a n ＋1 B ．a n <a n ＋1 C ．a n ＝a n ＋1 D ．与n 的取值相关例3 已知a n ＝9n n ＋110n (n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．小结 数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，假设求最大项a n ，n 的值可通过解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1来确定；假设求最小项a n ，n 的值可通过解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1来确定． 跟踪训练3 在数列{a n }中，a n ＝n 3－an ，假设数列{a n }为递增数列，试确定实数a 的取值范围．【当堂检测】1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是 ( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是 ( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N * B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 3．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列中最大项的值是( )A ．107B ．108C ．10818D ．1094．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于 ( ) A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－n D ．3－n【课堂小结】1．同数列的通项公式一样，数列的递推公式也是表示数列的常用方法之一．递推公式法与通项公式法统称为公式法．2．函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的有限子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n >a n －1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{a n }递增⇔a n ＋1>a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．类似地，有{a n }递减⇔a n ＋1<a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．【拓展提高】§2.2 等差数列〔一〕【学习要求】1．理解等差数列的意义．2．会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题． 3．掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．【学法指导】1．要善于通过实例的观察、分析、归纳、提炼来理解等差数列的概念，同时，还应准确理解等差数列的关键词“从第2项起”，“差是一个常数”等；要善于用归纳或叠加法探求等差数列的通项公式． 2．利用a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋)可以帮助我们判断一个数列是否为等差数列．【知识要点】1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d 表示．2．假设三个数a ，A ，b 构成等差数列，则A 叫做a 与b 的_________，并且A ＝ . 3．假设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝ ________.4．等差数列{a n }中，假设公差d >0，则数列{a n }为 数列；假设公差d <0，则数列{a n }为 数列．【问题探究】1．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星运动的轨迹和1531年、1607年的彗星的运动轨迹惊人地相似，便大胆断定这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归．这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年．请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的时间．哈雷彗星的回归时间表(单位：年)1607,1682,1759,1835,1910,1986,2061，…. 预测它在本世纪回归的时间是2061年．2．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？这个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，像这样的数列叫做等差数列．等差数列有很多的应用，这一节我们就来学习等差数列及其通项公式． 探究点一 等差数列的概念问题1 我们先看下面几组数列： 〔1〕3,4,5,6,7，…；〔2〕6,3,0，－3，－6，…； 〔3〕1.1,2.2,3.3,4.4,5.5，…；〔4〕－1，－1，－1，－1，－1，….观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是问题2 判断以下数列是否为等差数列，如果是，指出首项a 1和公差d ；如果不是，请说明理由： 〔1〕4,7,10,13,16，…； 〔2〕31,25,19,13,7，…； 〔3〕0,0,0,0,0，…；〔4〕a ，a －b ，a －2b ，…； 〔5〕1,2,5,8,11，….探究 如何准确把握等差数列的概念？谈谈你的理解． 探究点二 等差数列的通项公式问题 如果等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，你能用两种方法求其通项吗？探究1 根据等差数列的定义：a n ＋1＝a n ＋d ，可以依次得到a 1，a 2，a 3，a 4，…，然后观察规律，归纳概括出通项公式a n .探究2 由等差数列的定义知：a n －a n －1＝d (n ≥2)，可以采用叠加法得到通项公式a n . 探究点三 等差中项问题1 如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，试用x ，y 表示A . 探究 假设数列{a n }满足：a n ＋1＝a n ＋a n ＋22，求证：{a n }是等差数列．【典型例题】例1 已知{a n }为等差数列，分别根据以下条件写出它的通项公式． 〔1〕a 3＝5，a 7＝13；〔2〕前三项为：a,2a －1,3－a .小结 在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．跟踪训练1 假设{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.例2 已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c也成等差数列．跟踪训练2 已知a ，b ，c 成等差数列，那么a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )是否能构成等差数列？例3 梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．跟踪训练3 ℃℃，求2 km ，4 km ，8 km 高度的气温.【当堂检测】1．假设数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列是( )A ．公差为1的等差数列B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列 D ．不是等差数列2．假设a b s ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A ．b －aB ．b －a 2C ．b －a 3D ．b －a 43．在等差数列{a n }中，〔1〕已知a 1＝2，d ＝3，n ＝10，则a n ＝___； 〔2〕已知a 1＝3，d ＝2，a n ＝21，则n ＝___； 〔3〕已知a 1＝12，a 6＝27，则d ＝___； 〔4〕已知d ＝－13，a 7＝8，则a 1＝___.4〔1〕你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？ 〔2〕利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？【课堂小结】1．等差数列的判定关键要看a n ＋1－a n (n ∈N *)是否为一个与n 无关的常数．由于a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n＋1⇔2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以也可以利用2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)来判定等差数列．注意数列的项中含有字母时是否需要分类讨论．2．等差数列的通项公式及其变形a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d 的应用极其灵活，公式中的四个量a1，a n，n，d中知三可求一．充分利用等差数列的函数特性可使解题过程更为简捷．3．数列的应用题在数列中占有很重要的地位．【拓展提高】§2.2 等差数列〔二〕【学习要求】1．能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质．2．能运用等差数列的性质解决有关问题．【学法指导】1．灵活运用等差数列的性质，可以减少计算量，因此要熟练掌握等差数列的有关性质．2．掌握等差数列与一次函数之间的关系，就能站在较高的角度整体把握等差数列的内涵和本质．【知识要点】1．等差数列的通项公式：a n＝.2．等差数列的项的对称性：有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即：a1＋a n＝a2＋＝…＝a k＋.3．等差数列的性质〔1〕假设{a n}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N*)，则.〔2〕假设{a n}是等差数列，且公差为d，则{a2n－1}和{a2n}都是等差数列，且公差为.〔3〕假设{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p、q是常数)是公差为的等差数列．【问题探究】探究点一等差数列的常用性质问题设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则有以下性质：〔1〕假设m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.〔2〕假设m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则a m＋a n＝2a k.请你给出证明．探究已知等差数列{a n}、{b n}分别是公差为d和d′，则由{a n}及{b n}生成的“新数列”具有以下性质，请你补充完整．①{a n}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列(首项不一定选a1)，公差为；②下标成等差数列且公差为m的项a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为的等差数列；③数列{λa n＋b}(λ，b是常数)是公差为的等差数列；④数列{a n ＋b n }仍是等差数列，公差为 ；⑤数列{λa n ＋μb n }(λ,μ是常数)仍是等差数列,公差为 . 探究点二 等差数列与一次函数的联系探究 由于等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )，与一次函数比照可知，公差d 本质上是相应直线的斜率．如a m ，a n 是等差数列{a n }中的任意两项，由a n ＝a m ＋(n －m )d ，可知点(n ，a n )分布以 为斜率，以 为纵截距的直线上．请你类比一次函数的单调性，研究等差数列的单调性，并完成下表.【典型例题】例1 在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，求a 3＋a 6＋a 9的值．小结 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：假设m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪训练1 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．例2 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．小结 利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．跟踪训练2 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两数的积为－8，求这四个数．例3 已知数列{a n }，满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2.〔1〕数列{1a n}是否为等差数列？说明理由．〔2〕求a n .小结 判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，也可以用a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)进行判断．此题属于“生成数列问题”，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式．跟踪训练3 正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n . 〔1〕数列{a n }是否为等差数列？说明理由． 〔2〕求a n .【当堂检测】1．等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A ．3B ．－3C ．32D ．－322．等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d ＝____ 3．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，求a 5＋a 84．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．【课堂小结】1．判断一个数列{a n }是否是等差数列，关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数．2．三个数成等差数列可设为：a －d ，a ，a ＋d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ；四个数成等差数列可设为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d .3．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．【拓展提高】§2.3等差数列前n 项和〔一〕【学习要求】1．理解等差数列前n 项和公式的推导过程．2．熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个． 3．掌握等差数列前n 项和公式及性质的应用．【学法指导】1．运用等差数列的前n 项和公式的关键在于准确把握它们的结构特征，这样才能根据具体情境(已知条件和待求目标)选用恰当的公式解决问题．2．要善于从推导等差数列的前n 项和公式中，归纳总结出一般的求和方法——倒序相加法．【知识要点】1．把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做 .例如a 1＋a 2＋…＋a 16可以记做 ；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝ (n ≥2)．2．假设{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝ ；假设首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝ 3．写出以下常见等差数列的前n 项和 〔1〕1＋2＋3＋…＋n ＝ ． 〔2〕1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝ . 〔3〕2＋4＋6＋…＋2n ＝ . 4．等差数列{a n }中〔1〕已知d ＝2，n ＝15，a n ＝－10，则S n ＝________； 〔2〕已知a 1＝20，a n ＝54，S n ＝999，则d ＝________； 〔3〕已知a 1＝56，d ＝－16，S n ＝－5，则n ＝_______【问题探究】“数学王子”高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．高斯十岁那年，老师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，老师刚表达完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去．老师起初并不在意这一举动，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数的和是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，…共有50对这样的数，用101乘以50得到5 050，这种算法是教师未曾教过的方法，高斯自己就想出来了，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，这一节我们就来学习等差数列的求和方法．探究点一 等差数列前n 项和公式的推导 问题 求和：1＋2＋3＋…＋100＝？对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果．当时他的思路和解答方法是：S ＝1＋2＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍：S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1.所以有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101，∴S ＝50×101＝5 050. 请你利用“高斯的算法”求1＋2＋3＋…＋n ＝？探究 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，你能利用“倒序相加法”求等差数列{a n }的前n 项和S n 吗？探究点二 等差数列前n 项和的性质探究1 设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是前n 项和，易知a 1＋a 2＋…＋a m ，a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ，a 2m ＋1＋a 2m ＋2＋…＋a 3m 也成等差数列，公差为 .上述性质可以用前n 项和符号S n 表述为：假设{a n }成等差数列，则S m ， ，_________也成等差数列．探究2 假设数列{a n }是公差为d 的等差数列，求证：数列{S nn }也是等差数列．探究3 设S n 、T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，证明：a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.【典型例题】例1 在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .小结 在解决等差数列问题时，如已知a 1，a n ，n ，d ，S n 中任意三个，可求其余两个，这种问题在数学上常称为“知三求二”型．跟踪训练1 已知等差数列{a n }中，〔1〕a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；〔2〕a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .例2 〔1〕等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； 〔2〕两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．小结 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以到达化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练2 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .例3 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.〔1〕甲、乙开始运动后几分钟相遇？〔2〕如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？小结 建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前n 项和． 跟踪训练3 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( ) A ．9 B ．10 C ．19 D ．29【当堂检测】1．记等差数列前n 项和为S n ，假设S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 2．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于 ( ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．453．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 12＝84，S 20＝460，则S 6＝________. 4．已知等差数列{a n }的前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k .【课堂小结】1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．在求等差数列的和时，一般地，假设已知首项a 1及末项a n ，用公式S n ＝n a 1＋a n2较好，假设已知首项a 1及公差d ，用公式S n ＝na 1＋nn －12d 较好． 3．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．【拓展提高】§2.3等差数列前n 项和〔二〕【学习要求】1．熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用． 2．掌握等差数列前n 项和的最值问题．3．理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .【学法指导】1．任何一个数列{a n }与它的前n 项和S n 之间都有一个等量关系式，此公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1，S n －S n －1 n ≥2，题中已知一个数列的前n 项和，则可利用此公式求得此数列的通项公式，同时要注意此公式是一个分段的函数，所以在使用此公式求解时，要分类讨论．2．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用．3．等差数列的前n 项和与二次函数联系十分紧密，要辨析它们之间的关系，从更高境界处理等差数列的前n 项和问题．【知识要点】1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，n ≥2.2．等差数列前n 项和公式S n ＝ ＝ .3．假设等差数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝An 2＋Bn ＋C ，则A ＝___，B ＝ ，C ＝ 4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________．【问题探究】1．如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？2．如果一个数列的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？3．如果{a n }是一个等差数列，那么{|a n |}还是等差数列吗？如果不再是等差数列，如何求{|a n |}的前n 项和？这一节课我们就来解答上面的问题．探究点一 数列{a n }的前n 项和S n 与a n 的关系问题 我们已经知道，如果通项公式a n 已知，就能求出S n ；反过来，如果已知数列{a n }的前n 项和S n ，能否求出它的通项公式a n?探究 如果数列{a n }的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，求通项公式a n ，并判断这个数列一定是等差数列吗？探究点二 等差数列前n 项和的最值 问题 由于S n ＝na 1＋nn －12d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，当d ＝0时，S n ＝na 1；当d ≠0时，此解析式可以看作二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 的二次函数，其图象为抛物线y ＝d2x 2＋(a 1－d2)x 上的点集，坐标为(n ，S n )(n ∈N *)．。
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数列导学案§ 数列的概念及简单表示（一）【学习要求】1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．2．探索并掌握数列的几种简单表示法．3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．【学法指导】1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念．2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法．3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式．【【知识要点】1．按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n 位的数称为这个数列的第 项．2．数列的一般形式可以写成a 1,a 2,…,a n ,…,简记为 ．3．项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_____数列．4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式．【问题探究】探究点一 数列的概念问题 先看下面的几组例子：（1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…；（2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，12，13，14，15；（3）π精确到1,,,，…的不足近似值排成一列数：3,,,，…；（4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…；（5）当n 分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n 的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，….请你根据上面的例子尝试给数列下个定义．探究 数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质探究点二 数列的几种表示方法问题 数列的一般形式是什么回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整．（1）数列：1,3,5,7,9，…①用公式法表示：a n ＝ ；！②用列表法表示：（2）数列：1，12，13，14，15，…①用公式法表示：a n ＝ .②用列表法表示：③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：探究点三 数列的通项公式问题 什么叫做数列的通项公式谈谈你对数列通项公式的理解探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗数列通项公式 &－1,1，－1,1，…a n ＝ 1,2,3,4，…a n ＝ 1,3,5,7，…a n ＝ 2,4,6,8，…a n ＝ 1,2,4,8，…a n ＝ 》1,4,9,16，…a n ＝ 1，12，13，14，… a n ＝【典型例题】例1 根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项．（1）a n ＝cos n π2；（2）b n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1. 小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n ＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运算化简后再求值．跟踪训练1 根据下面数列的通项公式，写出它的前4项．:（1）a n ＝2n ＋1；（2）b n ＝2)1(1n-+例2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：（1）1，－3,5，－7,9，…；（2）12，2，92，8，252，…；（3）9,99,999,9 999，…；（4）0,1,0,1，….小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式：（1）212，414，618，8116，…； {（2）,,, 9，…；（3）－12，16，－112，120，….例3 已知数列{a n }的通项公式a n ＝－1n n ＋12n －12n ＋1. （1）写出它的第10项；（2）判断233是不是该数列中的项．小结 判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n 的值，若存在正整数n ，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项．跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n n ＋2(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项． 【当堂检测】；1．下列叙述正确的是 ( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,1,0,1，…是常数列D ．数列{n n ＋1}是递增数列 2．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，___，11，….3．已知下列数列：（1）2 000,2 004,2 008,2 012； （2）0，12，23，…，n －1n ，…；（3）1，12，14，…，12n －1，…； （4）1，－23，35，…，－1n －1·n 2n －1，…； （5）1,0，－1，…，sin n π2，…； （6）6,6,6,6,6,6.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上) 【拓展提高】*4．写出下列数列的一个通项公式：（1）a ，b ，a ，b ，…；（2）－1，85，－157，249，….【课堂小结】1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．、…)）§数列的概念及简单表示（二）【学习要求】1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．2．能从函数的观点研究数列，掌握数列的一些简单性质．【学法指导】|1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．2．由于数列可以看作是一类特殊的函数，因此许多函数的性质可以应用到数列中．例如，数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质．【知识要点】1．如果数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的公式．2．数列可以看作是一个定义域为(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列．3．一般地，一个数列{a n}，如果从起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做数列．如果数列{a n}的各项都，那么这个数列叫做常数列．4．已知数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1－a n＝1，则a n＝，从单调性来看，数列是单调数列．【问题探究】公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘全书》中，记载了一个著名的问题，某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子该问题在原书中作了分析：第一个月和第二个月都是最初的一对兔子，第三个月生下一对兔子，围墙内共有两对兔子，第四个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔子．到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有5对兔子．继续推下去，第12个月时最终共有144对兔子．书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{a n }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，a n ＋1＝a n ＋a n －1命名为斐波那契数列，它在数学的许多分支中有广泛应用．数列的这种表达形式，是用前面的项来表达后面的项，我们称之为数列的递推公式，数列的递推公式有什么应用呢这一节我们就来学习数列的递推公式．探究点一 数列的函数特性&问题 数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面谈谈你的认识．探究1 数列的单调性下面给出了一些数列的图象：a n ＝2n －1a n ＝1na n ＝(－1)n观察上述数列项的取值的变化规律，请类比单调函数的定义，把下列单调数列的定义补充完整．一般地，一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递增数列；如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递减数列；如果数列{a n }的各项都相等，那么这个数列叫做常数列．…因此，要证明数列{a n }是单调递增数列，只需证明a n ＋1－a n 0；要证明数列{a n }是单调递减数列，只需证明a n ＋1－a n 0.探究2 数列的周期性已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发现数列{a n }具有怎样的规律你能否求出该数列中的第2 012项是多少探究点二 由简单的递推公式求通项公式问题 递推公式与通项公式，都可以用来写出数列中的任意项，都是给出数列的一种方法，那么它们究竟有什么不同呢探究1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试根据这一结论，求解下列问题．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，试求通项a n .探究2 若数列{a n }中各项均不为零，则有：a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a n 成立．试根据这一结论求解下列问题． 已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)，试求通项a n . -【典型例题】例1 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．小结 已知数列递推公式求数列通项时，依次将项数n 的值代入即可．跟踪训练1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1.求证：数列{a n }为递增数列． 小结 数列是一种特殊的函数，因此可用函数单调性的方法来研究数列的单调性．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝an bn ＋1，其中a 、b 均为正常数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是 ( )A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 的取值相关| 例3 已知a n ＝9n n ＋110n(n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．小结 数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项a n ，n 的值可通过解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1来确定；若求最小项a n ，n 的值可通过解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1来确定． 跟踪训练3 在数列{a n }中，a n ＝n 3－an ，若数列{a n }为递增数列，试确定实数a 的取值范围．【当堂检测】1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是 ( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是 ( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2~3．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列中最大项的值是( )A ．107B ．108C ．10818D ．1094．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于 ( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n【课堂小结】1．同数列的通项公式一样，数列的递推公式也是表示数列的常用方法之一．递推公式法与通项公式法统称为公式法．2．函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的有限子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n >a n －1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{a n }递增⇔a n ＋1>a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．类似地，有{a n }递减⇔a n ＋1<a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．,【拓展提高】§ 等差数列（一）【学习要求】1．理解等差数列的意义．2．会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题．3．掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．【学法指导】'1．要善于通过实例的观察、分析、归纳、提炼来理解等差数列的概念，同时，还应准确理解等差数列的关键词“从第2项起”，“差是一个常数”等；要善于用归纳或叠加法探求等差数列的通项公式．2．利用a n＋1－a n＝d(n∈N＋)可以帮助我们判断一个数列是否为等差数列．【知识要点】1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用字母d表示．2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的_________，并且A＝.3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项a n＝________.4．等差数列{a n}中，若公差d>0，则数列{a n}为数列；若公差d<0，则数列{a n}为数列．【问题探究】1．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星运动的轨迹和1531年、1607年的彗星的运动轨迹惊人地相似，便大胆断定这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归．这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年．请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的时间．《哈雷彗星的回归时间表(单位：年)1607,1682,1759,1835,1910,1986,2061，….预测它在本世纪回归的时间是2061年．2．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢这个数列叫什么数列呢这个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，像这样的数列叫做等差数列．等差数列有很多的应用，这一节我们就来学习等差数列及其通项公式．探究点一等差数列的概念问题1我们先看下面几组数列：（1）3,4,5,6,7，…；（2）6,3,0，－3，－6，…；（3）,,,,，…；（4）－1，－1，－1，－1，－1，….，观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是问题2判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项a1和公差d；如果不是，请说明理由：（1）4,7,10,13,16，…；（2）31,25,19,13,7，…；（3）0,0,0,0,0，…；（4）a ，a －b ，a －2b ，…；（5）1,2,5,8,11，….探究 如何准确把握等差数列的概念谈谈你的理解．探究点二 等差数列的通项公式问题 如果等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，你能用两种方法求其通项吗#探究1 根据等差数列的定义：a n ＋1＝a n ＋d ，可以依次得到a 1，a 2，a 3，a 4，…，然后观察规律，归纳概括出通项公式a n .探究2 由等差数列的定义知：a n －a n －1＝d (n ≥2)，可以采用叠加法得到通项公式a n .探究点三 等差中项问题1 如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，试用x ，y 表示A . 探究 若数列{a n }满足：a n ＋1＝a n ＋a n ＋22，求证：{a n }是等差数列． 【典型例题】例1 已知{a n }为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．（1）a 3＝5，a 7＝13；（2）前三项为：a,2a －1,3－a .小结 在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．、跟踪训练1 若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.例2 已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 也成等差数列．跟踪训练2 已知a ，b ，c 成等差数列，那么a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )是否能构成等差数列例3 梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．跟踪训练3 在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值.如果1 km 高度的气温是℃,5 km 高度的气温是℃，求2 km ，4 km ，8 km 高度的气温.【当堂检测】1．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列是( )# A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列2．若a b s ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是 ( )A ．b －aB ．b －a 2C ．b －a 3D ．b －a 43．在等差数列{a n }中，（1）已知a 1＝2，d ＝3，n ＝10，则a n ＝___； （2）已知a 1＝3，d ＝2，a n ＝21，则n ＝___； （3）已知a 1＝12，a 6＝27，则d ＝___； （4）已知d ＝－13，a 7＝8，则a 1＝___.4（1）你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗 （2）利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远它爬行49 cm 需要多长时间【课堂小结】%1．等差数列的判定关键要看a n ＋1－a n (n ∈N *)是否为一个与n 无关的常数．由于a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n＋1⇔2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以也可以利用2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)来判定等差数列．注意数列的项中含有字母时是否需要分类讨论．2．等差数列的通项公式及其变形a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d 的应用极其灵活，公式中的四个量a 1，a n ，n ，d 中知三可求一．充分利用等差数列的函数特性可使解题过程更为简捷． 3．数列的应用题在数列中占有很重要的地位．【拓展提高】§ 等差数列（二）【学习要求】1．能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质． ；2．能运用等差数列的性质解决有关问题．【学法指导】1．灵活运用等差数列的性质，可以减少计算量，因此要熟练掌握等差数列的有关性质．2．掌握等差数列与一次函数之间的关系，就能站在较高的角度整体把握等差数列的内涵和本质．【知识要点】1．等差数列的通项公式：a n＝.2．等差数列的项的对称性：有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即：a1＋a n＝a2＋＝…＝a k＋.3．等差数列的性质（1）若{a n}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N*)，则.^（2）若{a n}是等差数列，且公差为d，则{a2n－1}和{a2n}都是等差数列，且公差为.（3）若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p、q是常数)是公差为的等差数列．【问题探究】探究点一等差数列的常用性质问题设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则有下列性质：（1）若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.（2）若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则a m＋a n＝2a k.请你给出证明．.探究已知等差数列{a n}、{b n}分别是公差为d和d′，则由{a n}及{b n}生成的“新数列”具有以下性质，请你补充完整．①{a n}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列(首项不一定选a1)，公差为；②下标成等差数列且公差为m的项a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为的等差数列；③数列{λa n＋b}(λ，b是常数)是公差为的等差数列；④数列{a n＋b n}仍是等差数列，公差为；⑤数列{λa n＋μb n}(λ,μ是常数)仍是等差数列,公差为.探究点二等差数列与一次函数的联系探究由于等差数列{a n}的通项公式a n＝dn＋(a1－d)，与一次函数对比可知，公差d本质上是相应直线的斜率．如a m，a n是等差数列{a n}中的任意两项，由a n＝a m＋(n－m)d，可知点(n，a n)分布以为斜率，以为纵截距的直线上．【典型例题】例1在等差数列{a n}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．，小结解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则a m＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪训练1 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．例2 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．小结 利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．跟踪训练2 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两数的积为－8，求这四个数．例3 已知数列{a n }，满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2.（1）数列{1a n}是否为等差数列说明理由．（2）求a n . ·小结 判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，也可以用a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)进行判断．本题属于“生成数列问题”，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式．跟踪训练3 正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n . （1）数列{a n }是否为等差数列说明理由． （2）求a n .【当堂检测】1．等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A ．3B ．－3C ．32D ．－322．等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d ＝____ 3．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，求a 5＋a 8 、4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．【课堂小结】1．判断一个数列{a n }是否是等差数列，关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数．2．三个数成等差数列可设为：a －d ，a ，a ＋d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ；四个数成等差数列可设为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d .3．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．【拓展提高】§等差数列前n 项和（一）【学习要求】\1．理解等差数列前n 项和公式的推导过程．2．熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个． 3．掌握等差数列前n 项和公式及性质的应用．【学法指导】1．运用等差数列的前n 项和公式的关键在于准确把握它们的结构特征，这样才能根据具体情境(已知条件和待求目标)选用恰当的公式解决问题．2．要善于从推导等差数列的前n 项和公式中，归纳总结出一般的求和方法——倒序相加法．【知识要点】1．把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做 .例如a 1＋a 2＋…＋a 16可以记做 ；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝ (n ≥2)．2．若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝ ；若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝ 3．写出下列常见等差数列的前n 项和 。