第二课时基本不等式的应用

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第二课时基本不等式的应用(优秀经典导学案)

第二课时基本不等式的应用[学习目标]1.熟练掌握基本不等式及应用．(重点)2.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)3.会用基本不等式求解实际应用题．(难点)已知x 、y 都是正数，(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最值S 24.(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最值2p . 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．1．判断： (1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．(2)若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则ab ≤4.(3)当x >1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2x x －1. (4)如果log 3m ＋log 3n ＝4，则m ＋n 的最小值为9.2．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2B 函数的y ＝x 2＋3x 2＋2最小值为2 C 函数的y ＝3x ＋3－x最小值为2 D 函数的sin x ＋1sin x 最小值为2 3．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．24．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为______．(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值； (2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值；(3)已知x >0，求f (x )＝2x x 2＋1的最大值．已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1.求x ＋2y 的最小值．如图341，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？图341忽视等号成立的条件致误设x ，y 为正数，求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值．。

高中数学2-2基本不等式第2课时基本不等式的应用课时作业新人教A版必修第一册

2．2 基本不等式第2课时基本不等式的应用必备知识基础练1．[2022·广东惠州高一期末]若a >1，则a ＋1a －1有( ) A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．最小值为－1 D ．最大值为－1 2．函数y ＝x ＋16x ＋2(x >－2)取最小值时x 的值为( ) A ．6 B ．2 C ． 3 D ． 63．[2022·湖南衡阳高一期末]已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1，求1x ＋4y的最值( )A ．最大值9B ．最小值9C ．最大值4D ．最小值44．在班级文化建设评比中，某班设计的班徽是一个直角三角形图案．已知该直角三角形的面积为50，则它周长的最小值为( )A ．20B ．10 2C ．40D ．102＋205．若正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，则2m ＋n 的最小值为( )A ．4 2B ．6C ．2 2D ．96．[2022·湖北武汉高一期末](多选)下列说法正确的是( ) A ．x ＋1x(x >0)的最小值是2B ．x 2＋2x 2＋2的最小值是 2C ．x 2＋5x 2＋4的最小值是2D ．2－3x －4x的最小值是2－4 37．若x >－1，则x ＋1x ＋1的最小值是________，此时x ＝________． 8．用一根铁丝折成面积为π的长方形的四条边，则所用铁丝的长度最短为________．关键能力综合练1．[2022·湖南长郡中学高一期末]已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝－b 2－2b ＋3(b ∈R )，则p ，q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．p <q2．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．6－4 2D ．6＋4 23．[2022·福建莆田一中高一期末]函数f (x )＝x 2－4x ＋5x －2(x ≥52)有( )A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值24．[2022·山东薛城高一期末]已知a ，b ∈R ＋，且a ＋2b ＝3ab ，则2a ＋b 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．95．[2022·湖南雅礼中学高一期末]近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a 元/斤、b 元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价分别记为m 1，m 2，则下列结论正确的是( )A ．m 1＝m 2B ．m 1>m 2C ．m 2>m 1D ．m 1，m 2的大小无法确定6．[2022·山东枣庄高一期末]设正实数m 、n 满足m ＋n ＝2，则( )A ．n m ＋2n的最小值为2 2 B ．m ＋n 的最小值为2 C ．mn 的最大值为1 D ．m 2＋n 2的最小值为27．函数f (x )＝4x 2＋1x(x >0)取得最小值时x 的取值为________．8．[2022·河北唐山高一期末]当x >0时，函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x ＋2y ＝2xy ，那么x ＋4y 的最小值？xy 的最小值？10．做一个体积为48 m 3，高为3米的无上边盖的长方体纸盒，底面造价每平方米40元，四周每平方米为50元，问长与宽取什么数值时总造价最低，最低是多少？核心素养升级练1．已知a >0，b >0，1a ＋1b＝1，若不等式2a ＋b ≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 2C ．3＋2 2D ．52．一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于(v20)2km ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要________小时，(不计货车的车身长)，此时货车的速度是________ km/h.3．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：(1)已知正实数x 、y 满足2x ＋y ＝1，求1x ＋12y 的最小值．甲给出的解法：由1＝2x ＋y≥22x ·y ，得xy ≤24，所以1x ＋12y≥2 1x ·12y ＝2xy≥4，所以1x ＋12y 的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；(2)结合上述问题(1)的结构形式，试求函数y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值．第2课时基本不等式的应用必备知识基础练1．答案：A解析：∵a >1，∴a －1>0， ∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1即a ＝2时取等号，∴a ＋1a －1有最小值为3. 2．答案：B解析：因为x >－2，所以x ＋2>0，所以y ＝x ＋16x ＋2＝x ＋2＋16x ＋2－2≥2 （x ＋2）·16x ＋2－2＝6，当且仅当x ＋2＝16x ＋2且x >－2，即x ＝2时等号成立． 3．答案：B解析：因为x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1，则1x ＋4y ＝(1x ＋4y )(x ＋y )＝5＋y x ＋4xy≥5＋2y x ·4xy＝9，当且仅当x ＝13，y ＝23时，1x ＋4y 有最小值9.4．答案：D解析：设两直角边分别为a ，b ，则斜边为a 2＋b 2，所以该直角三角形的面积为S ＝12ab ＝50，则ab ＝100，周长为a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝20＋102，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立，故周长的最小值为102＋20. 5．答案：D解析：正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，2m ＋n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2nm≥5＋4＝9，等号成立的条件为：m n ＝n m⇒m ＝n ＝3. 6．答案：AB解析：当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2(当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号)，A 正确； x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2，因为x 2≥0，所以x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，B 正确； x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2，当且仅当x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＝－3时，等号成立，显然不成立，故C 错误；当x ＝1时，2－3x －4x＝2－3－4＝－5<2－43，D 错误．7．答案：1 0 解析：因为x >－1，所以x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2 （x ＋1）·1x ＋1－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立，所以其最小值是1，此时x ＝0. 8．答案：4π解析：设长方形的长宽分别为a ，b (a >0，b >0)，所以ab ＝π，所用铁丝的长度为2(a ＋b )≥4ab ＝4π，当且仅当a ＝b ＝π时取等号．关键能力综合练1．答案：A解析：因为a >2，可得p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2 （a －2）·1a －2＋2＝4，当且仅当a －2＝1a －2时，即a ＝3时，等号成立，即p ≥4，又由q ＝－b 2－2b ＋3＝－(b ＋1)2＋4，所以q ≤4，所以p ≥q . 2．答案：D解析：1a ＋1b ＋1c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c )＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2bc ≥4＋22ba·a b＋2c a ·a c＋2c b ·2bc ＝6＋42，当且仅当2b a＝a b ，c a ＝a c ，c b＝2bc时，等号成立，即a 2＝c 2＝2b 2时，等号成立． 3．答案：D解析：方法一 ∵x ≥52，∴x －2>0，则x 2－4x ＋5x －2＝（x －2）2＋1x －2＝(x －2)＋1（x －2）≥2，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立．方法二令x －2＝t ，∵x ≥52，∴t ≥12，∴x ＝t ＋2.将其代入，原函数可化为y ＝（t ＋2）2－4（t ＋2）＋5t ＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2t ·1t＝2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时等号成立，此时x ＝3.4．答案：A解析：因为a ＋2b ＝3ab ，故2a ＋1b＝3，故2a ＋b ＝13(2a ＋b )(2a ＋1b )＝13(5＋2b a ＋2a b )≥13(5＋4)＝3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，故2a ＋b 的最小值为3. 5．答案：C解析：根据题意可得m 1＝20＋2020a ＋20b＝2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，m 2＝6a ＋6b 12＝a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，由题意可得a ≠b ，所以m 1<ab ，m 2>ab ，则m 2>m 1. 6．答案：CD解析：对于选项A ，因为m >0，n >0，m ＋n ＝2，所以n m ＋2n ＝n m＋m ＋n n＝n m ＋m n＋1≥2n m ·mn＋1＝2＋1＝3，当且仅当n m ＝m n且m ＋n ＝2，即m ＝n ＝1时取等号，则A 错误；对于选项B, (m ＋n )2＝m ＋n ＋2mn ＝2＋2mn ≤2＋m ＋n ＝4，当且仅当m ＝n ＝1时等号成立，则m ＋n ≤2，即m ＋n 的最大值为2，则B 错误；对于选项C ，m ＋n ≥2mn ，即mn ≤(m ＋n2)2＝1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则C正确；对于选项D, m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥4－2(m ＋n2)2＝2，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则D 正确．7．答案：12解析：x >0，f (x )＝4x ＋1x≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x ⇒x ＝12时取“＝”．8．答案：12解析：∵x >0，∴f (x )＝xx 2＋1＝1x ＋1x≤12x ×1x＝12，当且仅当x ＝1时取等号，即函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为12. 9．解析：x ＋2y ＝2xy ，则1x ＋12y＝1，故x ＋4y ＝(x ＋4y )(1x ＋12y )＝1＋4y x ＋x 2y ＋2≥3＋22，当且仅当4y x ＝x2y 即x ＝22y 时等号成立，x ＋4y 的最小值为3＋2 2.又1x ＋12y ＝1≥2 12xy，解得xy ≥2，当且仅当x ＝2y ＝2时等号成立，xy 的最小值为2.10．解析：设长方体底面的长为a m ，宽为b m ，显然a ，b >0，则3ab ＝48，故b ＝16a，总造价为y 元，则y ＝2(3a ＋48a )×50＋16×40＝300(a ＋16a)＋640≥300×2a ·16a＋640＝3 040，当且仅当a ＝16a，即a ＝b ＝4时等号成立，∴当底面的长与宽均为4米时总费用最少，最少为3 040元．核心素养升级练1．答案：C解析：由不等式2a ＋b ≥m 恒成立可知，只需m 小于等于2a ＋b 的最小值，由a ＞0，b ＞0，1a ＋1b＝1，可得2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋1b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b时取等号，∴m ≤3＋22，∴m 的最大值为3＋2 2.2．答案：8 100解析：设这批物资全部运到B 市用的时间为y 小时，因为不计货车的身长，所以设货车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×(v20)2千米时，时间最快．则y ＝（v20）2×16＋400v ＝v 25＋400v≥2v25×400v＝8，当且仅当v 25＝400v即v ＝100千米/小时时，时间y min ＝8小时．3．解析：(1)甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别是2x ＝y 和x ＝2y ，显然不能同时成立，故甲的解法是错的．正确的解法如下：因为x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，所以1x ＋12y ＝(2x ＋y )(1x ＋12y )＝52＋y x ＋x y ≥52＋2 y x ·x y ＝92，当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝13时取“＝”，所以1x ＋12y 的最小值为92.(2)因为0<x <23，所以0<2－3x <2，所以y ＝1x ＋12－3x＝12[3x ＋(2－3x )][1x ＋12－3x ] ＝12(4＋3x 2－3x ＋2－3x x ) ≥12(4＋2 3x 2－3x ·2－3xx)＝2＋3，当且仅当3x 2－3x ＝2－3xx ，即x ＝1－33∈(0，23)时取“＝”，所以y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值为2＋ 3.。

学案2：2.2　第2课时　基本不等式的应用

2.2 第2课时基本不等式的应用不等式与最大(小)值阅读教材，完成下列问题． x ，y 都为正数时，下面的命题成立(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最值； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最值 . 思考：(1) 函数y ＝x ＋1x 的最小值是2吗？(2)设a ＞0,2a ＋3a取得最小值时，a 的值是什么？初试身手1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 812．当x ＞0时，x ＋9x 的最小值为________．3．当x ∈(0,1)时，x (1－x )的最大值为________．4．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．【例1】 (1)已知x >2，则y ＝x ＋4x －2的最小值为________．(2)若0<x <12，则函数y ＝12x (1－2x )的最大值是________．规律方法在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪训练1．(1)已知t>0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．(2)设0<x≤2，则函数ƒ(x)＝x(8－2x)的最大值为________．类型2利用基本不等式解实际应用题【例2】如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？规律方法在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(3)在定义域内，求出函数的最值；(4)写出正确答案．跟踪训练2．(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．(2)用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？[1．(1)当x ＞0时，x 2＋1x 有最大值，还是最小值？(2)当x ＞0时，xx 2＋1有最大值，还是最小值？2．(1)设a ＞0，b ＞0，(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b 的最小值是什么？(2)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，1a ＋2b 的最小值是什么？【例3】 (1)若对任意的x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．(2)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，求1a ＋1b 的最小值．母体探究1．(变条件)(1)在例3(2)中，若3是3a 与3b 的等比中项，求1a ＋1b的最小值．(2)在例3(2)中，把条件换为“2a 和1b 的等差中项是12”，求2a ＋b 的最小值．2．(变条件)把例3(2)的条件换为“a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＋ab ＝1”，求a ＋b 的最小值．规律方法最值法解答恒成立问题将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .课堂小结1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．当堂达标1．若x >0，y >0且2(x ＋y )＝36，则xy 的最大值为( )A ．9B ．18C ．36D ．812．一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．3．求函数f (x )＝x x ＋1的最大值．参考答案新知初探不等式与最大(小)值阅读教材，完成下列问题．(1)大 s 24；(2)小思考：(1) [提示] 不是，只有当x ＞0时，才有x ＋1x ≥2，当x ＜0时，没有最小值．(2) [提示] 2a ＋3a≥22a ×3a ＝26，当且仅当2a ＝3a ，即a ＝62时，取得最小值．初试身手1．【答案】C【解析】A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C ． 2．【答案】6【解析】因为x ＞0，所以x ＋9x ≥2x ×9x ＝6，当且仅当x ＝9x，即x ＝3时等号成立． 3．【答案】14【解析】因为x ∈(0,1)，所以1－x ＞0，故x (1－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝14，当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．4．【答案】8【解析】由已知点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上所以2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n＝4＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥8. 【例1】【答案】(1)6 (2)116【解析】(1)因为x >2，所以x －2>0，所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以y ＝x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝12x ·(1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14⎝⎛⎭⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，y max ＝116. 规律方法在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪训练1．【答案】(1)－2 (2)22 【解析】(1)依题意得y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t －4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2.(2)因为0<x ≤2，所以0<2x ≤4,8－2x ≥4>0，故ƒ(x )＝x (8－2x ) ＝12·2x ·(8－2x ) ＝12·2x ·(8－2x )≤12×82＝22，当且仅当2x ＝8－2x ，即x ＝2时取等号，所以当x ＝2时，ƒ(x )＝x (8－2x )的最大值为2 2.【例－20) cm ，⎝⎛⎭⎫y －252cm ，其中x >20，y >25，则两栏面积之和为2(x －20)×y －252＝18 000，由此得y＝18 000x －20＋25，所以广告牌的面积S ＝xy ＝ x ⎝⎛⎭⎫18 000x －20＋25＝18 000x x －20＋25x ，整理得S ＝360 000x －20＋25(x －20)＋18 500.因为x －20>0，所以S ≥2360 000x －20×25(x －20)＋18 500＝24 500. 当且仅当360 000x －20＝25(x －20)时等号成立，此时有(x －20)2＝14 400，解得x ＝140，代入y ＝18 000x －20＋25，得y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．法二：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝9 000，其中a >0，b >0. 易知广告牌的高为(a ＋20) cm ，宽为(2b ＋25)cm.广告牌的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ·40b ＝24 500，当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b ＝58a ，代入ab ＝9 000得a ＝120，b ＝75.即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．规律方法在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： (1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； (3)在定义域内，求出函数的最值； (4)写出正确答案．跟踪训练2．【答案】(1)5 8【解析】每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，且x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．(2)[解] 设矩形菜园的长为x m 、宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2.由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.[1．[提示] (1)当x ＞0时，x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2，当x ＝1时等号成立，即x 2＋1x有最小值2.(2)当x ＞0时，x x 2＋1＝1x ＋1x ，因为x ＋1x ≥2，所以x x 2＋1≤12，故x x 2＋1有最大值12.2．[提示] (1)(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22，当b ＝2a 时等号成立； (2)由于a ＋b ＝1，所以1a ＋2b＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ≥22＋3，当b ＝2a ，即a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【例3】[解] (1)设f (x )＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.(2)由题意得，3a ·3b ＝(3)2，即a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．母体探究1．[解] (1)由3是3a 与3b 的等比中项，得3a ＋b ＝32，即a ＋b ＝2，故12(a ＋b )＝1，所以1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫2＋2b a ×a b ＝2，当a ＝b ＝1时等号成立．(2)由于2a 和1b 的等差中项是12，则2a ＋1b＝1，故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ×2ab＝9. 当a ＝b ＝3时等号成立．2．[解] a ＋b ＋ab ＝1，得b ＝1－aa ＋1＞0，故0＜a ＜1，故a ＋b ＝a ＋1－a a ＋1＝a ＋－1－a ＋2a ＋1＝a ＋2a ＋1－1＝a ＋1＋2a ＋1－2≥2(a ＋1)×2a ＋1－2＝22－2，当a ＋1＝2a ＋1，即a ＝2－1时等号成立．当堂达标 1．【答案】A【解析】由2(x ＋y )＝36得x ＋y ＝18.所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立． 2．【答案】8【解析】设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v 202v＝400v ＋16v400≥2400v ×16v 400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时． 3．[解] f (x )＝xx ＋1＝1x ＋1x ，因为x ＋1x≥2x ×1x ＝2，当x ＝1时等号成立，所以f (x )≤12.。

3.4 第2课时基本不等式的应用

(2)构造和为定值，利用基本不等式求最值
1 例3 已知0 x , 求函数y x(1 3x)的最大值. 3 分析：x +(1-3x)不是定值，3x +(1-3x) 为定值.
1 解：因为0 < x < ,所以1- 3x > 0. 3 1 1 3x + 1- 3x 2 1 所以y = x(1- 3x)= ×3x(1- 3x) ( ) = . 3 3 2 12 1 1 y max . 当且仅当 3x = 1-3x ，即 x 时， 12 6
1 当且仅当 a b 时取等号. 2
1.（2013·福建高考）若 2x 2 y 1, 则x y的取值
范围是（ D ） A． 0, 2
2,0 B．
[2, ) C．
(, 2] D．
2.若 x 1, 则 x 为何值时1 xΒιβλιοθήκη x 1有最小值，最小值为多少？
的最小值, 注意到 1=2 x y, 故可以采用对目标函数 1 1 f (x) 乘“1”构造使用基本不等式的条件. x y
正确解答:
1 1 2x + y 2x + y 解 : 因为f（x） = + = + x y x y y 2x =3+ + 3 + 2 2, x y
y 2x 当且仅当 x y ,
1 解：因为x 1，所以x 1 0， 0. x 1 1 1 所以x x 1 1 x 1 x 1 1 2 ( x 1) 1 2 1 1. x 1
1 , 当且仅当 x 1 x 1 1 x 有最小值1. 即 x 0 时， x 1
1 解：因为x < 0,所以 - 2x > 0,- > 0. x 1 1 所以（- 2x)+(- ) 2 2.所以2x + -2 2. x x 1 关注因式是所以f(x)= 2x + - 1 -2 2 - 1. 负数 x

课时2 基本不等式的应用

课时2 基本不等式的应用题型1 间接利用基本不等式求最值1．当12≤x ≤2时，函数y 1＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )与y 2＝x 2＋x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，则y 1在12≤x ≤2时有最大值为( B )A ．134B ．4C ．8D ．54解析：y 2＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1≥3，当且仅当x ＝1时，等号成立，即当x ＝1时取最小值3，所以y 1的对称轴是直线x ＝1，所以b ＝－2.再把(1,3)代入即得c ＝4.所以y 1＝x 2－2x ＋4，易得y 1在12≤x ≤2时的最大值是22－2×2＋4＝4.2．3x 2＋6x 2＋1的最小值是( D ) A ．32－3 B ．3 C ．6 2 D ．62－3解析：3x 2＋6x 2＋1＝3(x 2＋1)＋6x 2＋1－3≥23(x 2＋1)·6x 2＋1－3＝218－3＝62－3，当且仅当x 2＝2－1时等号成立，故选D.3．已知x ，y >0，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为116. 解析：因为x ，y >0，且x ＋4y ＝1，所以xy ＝14x ·4y ≤14×14(x ＋4y )2＝116，当且仅当x ＝4y＝12，即x ＝12，y ＝18时，等号成立．所以xy 的最大值为116. 题型2 利用基本不等式求参数4．若不等式a 2＋b 2＋2>λ(a ＋b )对任意正数a ，b 恒成立，则实数λ的取值范围是( C ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ<12B ．{λ|λ<1}C ．{λ|λ<2}D ．{λ|λ<3}解析：因为不等式a 2＋b 2＋2>λ(a ＋b )对任意正数a ，b 恒成立，所以λ<a 2＋b 2＋2a ＋b.因为a 2＋b 2＋2a ＋b ≥(a ＋b )22＋2a ＋b ＝a ＋b 2＋2a ＋b ≥2a ＋b 2·2a ＋b＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以λ<2.5．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为__4__. 解析：因为a >0，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋xay ≥1＋a ＋2a ，由条件知a ＋2a ＋1≥9，所以a ≥4.6．设a >0，若对于任意满足m ＋n ＝8的正数m ，n ，都有1a ≤1m ＋4n ＋1，求a 的取值范围．解：由m ＋n ＝8可得m ＋n ＋1＝9，故1m ＋4n ＋1＝19(m ＋n ＋1)·⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋n ＋1m ＋4m n ＋1≥19×(5＋4)＝1，当且仅当n ＋1＝2m ，即m ＝3，n ＝5时等号成立，故只需1a≤1，又a >0，则a ≥1.故所求的a 的取值范围是a ≥1.题型3 利用基本不等式解决实际问题7．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( B )A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x >a ＋b 2D ．x ≥a ＋b2解析：因为这两年的平均增长率为x ，所以A (1＋x )2＝A (1＋a )·(1＋b )，所以(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )．由题设知a >0，b >0，所以1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤(1＋a )＋(1＋b )2＝1＋a ＋b 2，所以x ≤a ＋b2，当且仅当1＋a ＝1＋b ，即a ＝b 时等号成立．故选B.8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单元：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司年平均利润的最大值是__8__万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．9．如图所示，某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？解：设矩形的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m ，因此种植蔬菜区域的左侧边长为(x －4)m ，后侧边长为⎝⎛⎭⎫800x －2m.由⎩⎪⎨⎪⎧x －4>0，800x－2>0，得4<x <400，所以其面积S ＝(x －4)·⎝⎛⎭⎫800x －2＝808－⎝⎛⎭⎫2x ＋3 200x ≤808－22x ·3 200x＝808－160＝648(m 2)．当且仅当2x ＝3 200x，即x ＝40时等号成立．因此当矩形温室的左侧边长为40 m ，后侧边长为20 m 时蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m 2.易错点多次应用基本不等式致误10．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值为 252. 解析：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4＝(a 2＋b 2)⎝⎛⎭⎫1＋1a 2b 2＋4＝(1－2ab )·⎝⎛⎭⎫1＋1a 2b 2＋4.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14.所以1－2ab ≥1－12＝12，且1a 2b 2≥16,1＋1a 2b 2≥17.所以原式≥12×17＋4＝252⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立.所以⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是252.[误区警示] 本题常犯错误是两次利用基本不等式，误认为条件不能同时成立．利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正、二定、三相等”的条件．解题时，应尽量避免多次应用基本不等式，如连续应用了基本不等式，应特别注意检验等号是否能同时成立．(限时30分钟)一、选择题1．下列不等式一定成立的是( C ) A ．x 2＋14>x (x >0)B ．x ＋1x ≥2(x ≠0)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D ．1x 2＋1>1(x ∈R )解析：选项A 中，x 2＋14≥x ⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝12时，x 2＋14＝x ，故选项A 不正确；选项B 中，x ＋1x ≥2(x >0)，x ＋1x ≤－2(x <0)，故选项B 不正确；选项C 中，x 2－2|x |＋1＝(|x |－1)2≥0(x ∈R )，故选项C 正确；选项D 中，x 2＋1≥1，则0<1x 2＋1≤1，故选项D 不正确．2．已知2x ＋2y ＝1(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( D )A ．1B ．2C ．4D ． 8解析：∵2x ＋2y ＝1(x >0，y >0)，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2x ＋2y ＝2y x ＋2xy ＋4≥22y x ·2xy ＋4＝8，当且仅当2y x ＝2xy ，即x ＝y ＝4时等号成立，∴x ＋y 的最小值为8.故选D.3．∃x >0，使得1x ＋x －a ≤0，则实数a 的取值范围是( B )A ．a >2B ．a ≥2C ．a <2D ．a ≤2解析：∃x >0，使得1x ＋x －a ≤0，等价于a ≥⎝⎛⎭⎫x ＋1x min .因为x ＋1x ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以a ≥2.4．已知x >0，y >0，x ＋y ＝1，若4xy <t 恒成立，则实数t 的取值范围是( A ) A ．{t |t >1} B ．{t |t <1} C ．{t |t <2}D ．{t |t >2}解析：由基本不等式可得4xy ≤4×⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝1，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立，所以4xy的最大值为1，则t >1.因此，实数t 的取值范围为{t |t >1}．5．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第n 层楼时，上、下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层楼时，环境不满意度为8n ，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为( B )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：由题意知，教室在第n 层楼时，同学们总的不满意度为y ＝n ＋8n ≥42，当且仅当n ＝8n ，即n ＝22时，不满意度最小，又n ∈N ＋，分别把n ＝2,3代入y ＝n ＋8n ，易知n ＝3时，y 最小，故最适宜的教室应在3楼．6．(多选题)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则对于1a ＋4b ( AD )A ．取得最值时a ＝23B ．最大值是5C ．取得最值时b ＝23D ．最小值是92解析：因为a ＋b ＝2，所以1a ＋4b ＝a ＋b 2a ＋2a ＋2b b ＝12＋b 2a ＋2a b ＋2≥52＋2b 2a ·2a b ＝92，当且仅当b 2a ＝2a b 且a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时，等号成立．7．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a恒成立，则a 的取值范围是( A ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥15B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >15C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a <15D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤15解析：因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x >0，a ≥⎝⎛⎭⎫x x 2＋3x ＋1max .又因为x >0，所以xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1时等号成立，所以a ≥15. 8．(多选题)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( CD ) A ．1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值12C ．a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值12解析：对于A ，1a ＋1b＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝ab且a ＋b ＝1，即a ＝b ＝12时等号成立，所以1a ＋1b 的最小值为4，故A 不正确．对于B ，由基本不等式得ab ≤a ＋b 2＝12，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，所以ab 的最大值为12，故B 不正确．对于C ，由基本不等式可得a ＋b ≤2a ＋b 2＝2，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，所以a ＋b 有最大值2，故C 正确．对于D ，由不等式a 2＋b 2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，所以a 2＋b 2有最小值12，故D 正确．故选CD.二、填空题9．当x >1时，不等式x 2＋3x －1的最小值是__6__.解析：因为x >1，所以x －1>0，所以x 2＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋2≥24＋2＝6，当且仅当x ＝3时取等号，所以x 2＋3x －1的最小值是6.10．某种饮料分两次提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是__乙__．解析：设原价为1，则提价后的价格为方案甲：(1＋p %)(1＋q %)，乙：⎝⎛⎭⎫1＋p ＋q 2%2，因为(1＋p %)(1＋q %)≤1＋p %＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，又p >q >0，所以(1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q 2%，即(1＋p %)(1＋q %)<⎝⎛⎭⎫1＋p ＋q 2%2，所以提价多的方案是乙．三、解答题11．已知正数a ，b ，x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．解：x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ＝a ＋bx y ＋ay x ＋b ＝10＋bx y ＋ay x .因为x ，y >0，a ，b >0，所以x ＋y ≥10＋2ab ＝18，即ab ＝4.又a ＋b ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2.。

2.2.2 利用基本不等式解决最值问题【课时教学设计】-高中数学人教A版必修第一册

2.2 基本不等式第2课时利用基本不等式解决最值问题（一）教学内容：基本不等式的应用（简单的数学情境和实际情境）（二）教学目标1.通过数学情境中的应用，能够利用基本不等式求简单的最值问题，发展数学运算、数据分析等核心素养.2.通过实际情境中的应用，能求解一些简单最优化问题，解决实际问题中的最值，发展学生的数学建模、逻辑推理等核心素养。

（三）教学重点及难点1. 重点：运用基本不等式解决简单的最值问题.2. 难点：对实际问题的分析建模和使用基本不等式的结构观察。

.（四）教学过程设计1.复习回顾，铺垫引入师：根据上一节课的知识，回顾一下基本不等式的内容是什么？它有何作用？如何利用基本不等式求最值？需要注意什么？生：已知x ，y 都是正数，则①如果积xy 等于定值P(积为定值)，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P. ②如果和x ＋y 等于定值S(和为定值)，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 利用基本不等式可以求最值，验证等号成立是求最值的必要条件，即运用“一正、二定、三相等”的方法可以解决最值问题.【设计意图】回顾上节课所学知识，对基本不等式的形式加强记忆以及熟悉其使用条件.例1：;24,21的最小值求）设（++->x x x（2）已知10<<x ，求()x x 31-的最大值及相应的x 值。

（1）师：大家观察结构，我们应该如何求这个和的最小值？生：可以式子先变形，2242-+++x x ，变成两个正数的和，再通过两个正数的积是定值来求解。

学生板演. （2）师：我们再来看这题，应该如何求它的最大值？生：式子乘以3再来变形，31)31(3⨯-x x ，变成两个正数的和是定值从而得到解决。

师追问：还有别的解法吗？生：这个式子其实是二次函数，可以利用配方法求解。

【设计意图】培养学生转化化归的数学思想，把不熟悉的问题向熟悉的问题转化.2.合作学习，建模探究例2：（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？师：第（1）题已知什么条件，我们求什么？生：已知矩形的面积，求周长的最小值（教师在黑板上画图）师：如果设矩形菜园相邻两条边的长分别为x m, y m （在图上标出），则周长为2(x+y) m,那如何求周长的最小值？生：用基本不等式求最值。

人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业3：§2.2 第2课时基本不等式的应用练习题

第2课时基本不等式的应用1．已知x >0，则9x ＋x 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3 『答案』 A『解析』 ∵x >0，∴9x＋x ≥2x ·9x＝6，当且仅当x ＝9x ，即x ＝3时，等号成立．2．已知x >－2，则x ＋1x ＋2的最小值为( )A ．－12B ．－1C ．2D ．0『答案』 D『解析』 ∵x >－2，∴x ＋2>0， ∴x ＋1x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－2≥2－2＝0，当且仅当x ＝－1时，等号成立．3．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为( ) A ．1B ．22C ．2D ．4 『答案』 A『解析』由基本不等式得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 4．(多选)设y ＝x ＋1x －2，则( )A ．当x >0时，y 有最小值0B ．当x >0时，y 有最大值0C ．当x <0时，y 有最大值－4D ．当x <0时，y 有最小值－4 『答案』 AC『解析』当x >0时，y ＝x ＋1x －2≥2x ·1x－2 ＝2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，故A 正确，B 错误；当x <0时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立，故C 正确，D 错误．5．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16B ．25C ．9D ．36 『答案』 B『解析』 (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，等号成立． 6．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是________．『答案』 4『解析』 ∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b＋2ab ≥21ab＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 7．若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n 的最小值为________．『答案』 3＋2 2 『解析』 ∵2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n ) ＝3＋2m n ＋n m ≥3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝1－22，n ＝2－1时，等号成立，即最小值为3＋2 2.8．要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．『答案』 160『解析』设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4m 3，高为1m ，得另一边长为4x m.记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．因此当x ＝2时，y 取得最小值160，即容器的最低总造价为160元． 9．(1)已知x <3，求4x －3＋x 的最大值；(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值．解 (1)∵x <3，∴x －3<0， ∴4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，∴4x －3＋x 的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ·x ＋y4＝14⎝⎛⎭⎫4＋y x ＋3x y ≥1＋234＝1＋32，当且仅当y x ＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时等号成立．故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值分别为多少？解 (1)由题意得，xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝a (x －4)＋b (x －6)＝a (x －4)＋2a (x －6)＝(3x －16)a ＝(3x －16)×y －63＝xy －6x －163y ＋32＝1832－6x －163y ，其中6<x <300,6<y <300.(2)由(1)可知，6<x <300,6<y <300，xy ＝1 800， 6x ＋163y ≥26x ·163y ＝26×16×600＝480，当且仅当6x ＝163y 时等号成立，∴S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－480＝1 352，此时9x ＝8y ，xy ＝1 800，解得x ＝40，y ＝45，即x 为40，y 为45.11．设自变量x 对应的因变量为y ，在满足对任意的x ，不等式y ≤M 都成立的所有常数M 中，将M 的最小值叫做y 的上确界．若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的上确界为( )A ．－92B.92C.14D ．－4『答案』 A『解析』因为a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，所以12a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ×(a ＋b )＝52＋⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ×2a b ＝92，当且仅当b ＝2a ，即a ＝13，b ＝23时，等号成立，因此有－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92.12．(多选)一个矩形的周长为l ，面积为S ，则下列四组数对中，可作为数对(S ，l )的有( ) A ．(1,4) B ．(6,8) C ．(7,12) D.⎝⎛⎭⎫3，12 『答案』 AC『解析』设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .由xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22知，S ≤l 216，故AC 成立．13．已知x >－1，则(x ＋10)(x ＋2)x ＋1的最小值为________．『答案』 16『解析』 (x ＋10)(x ＋2)x ＋1＝(x ＋1＋9)(x ＋1＋1)x ＋1＝(x ＋1)2＋10(x ＋1)＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1＋10，∵x >－1，∴x ＋1>0，∴(x ＋1)＋9x ＋1＋10≥29＋10＝16.当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立．14．若对∀x >－1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．『答案』 a ≤0『解析』因为x >－1，所以x ＋1>0，则x ＋1x ＋1－1＝x ＋1＋1x ＋1－2 ≥2(x ＋1)×1x ＋1－2＝2－2＝0，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立，由题意可得a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1－1min ＝0，即a ≤0.15．若不等式ax 2＋1x 2＋1≥2－3a 3(a >0)恒成立，则实数a 的取值范围是________．『答案』 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥19 『解析』原不等式可转化为a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥23，又a >0，则a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥2a (x 2＋1)·1x 2＋1＝2a ，当且仅当a (x 2＋1)＝1x 2＋1，即a ＝1(x 2＋1)2时，等号成立，则根据恒成立的意义可知2a ≥23，解得a ≥19.16．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？解设2020年该产品利润为y ，由题意，可知当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx 元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29，∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时，等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。

人教版高中数学A版高中数学必修一《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式(第二课时基本不等式的应用)

同理1b－1≥2
bac，1c－1≥2
ab c.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得1a－11b－11c－1≥2 abc·2 bac·2 cab＝8. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
在本例条件下，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：因为 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1，所以1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
利用基本不等式证明不等式的思路利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．
解析：每年购买次数为40x0次．所以总费用＝40x0·4＋4x≥2 6 400＝160，当且仅当1 6x00＝4x，即 x＝20 时等号成立．答案：20
3．已知 a，b，c，d 都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
证明：由 a，b，c，d 都是正数，得 ab＋2 cd≥ ab·cd， ac＋2 bd≥ ac·bd，所以（ab＋cd）4（ac＋bd）≥abcd，即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
基本不等式的综合问题
若不等式 9x＋ax2≥a＋1(常数 a＞0)对一切正实数 x 成
立，求 a 的取值范围．【解】常数 a＞0，若 9x＋ax2≥a＋1 对一切正实数 x 成立，则 a＋1≤9x＋ax2的最小值，

高一数学必修一教案第2课时基本不等式的应用

第2课时基本不等式的应用学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点用基本不等式求最值用基本不等式x ＋y2≥xy 求最值应注意：(1)x ，y 是正数；(2)①如果xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； ②如果x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(3)讨论等号成立的条件是否满足．预习小测自我检验1．已知0<x <12，则y ＝x (1－2x )的最大值为________．答案 18解析 y ＝x (1－2x )＝12·2x ·(1－2x )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝18，当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时取“＝”．2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________. 答案 20解析总运费与总存储费用之和y ＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1 600x≥24x ·1 600x＝160，当且仅当4x ＝1 600x，即x ＝20时取等号．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元．答案 8解析年平均利润y x＝－x ＋18－25x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋18≤－225x·x ＋18＝－10＋18＝8，当且仅当x＝5时取“＝”． 4．已知x >2，则x ＋4x －2的最小值为________．答案 6 解析 x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2， ∵x －2>0，∴x －2＋4x －2＋2≥24＋2＝4＋2＝6. 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时取“＝”．一、利用基本不等式变形求最值例1 已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x＝9xy，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．由1x ＋9y＝1可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2x －1y －9＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.延伸探究若将条件换为：x >0，y >0且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．解方法一由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋2x －16＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2x －8×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18.方法二由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫8x ＋2y＝8y x ＋2xy＋10≥28y x ·2xy＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.反思感悟应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件．当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换．跟踪训练1 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋4y的最小值是________．答案 9解析 ∵x ＋y ＝1， ∴1x ＋4y＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y＝1＋4＋y x＋4x y.∵x >0，y >0，∴y x>0，4xy>0，∴y x＋4x y≥2y x ·4xy＝4， ∴5＋y x＋4xy≥9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y x ＝4xy，即x ＝13，y ＝23时等号成立．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y min ＝9. 二、基本不等式在实际问题中的应用例 2 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q 万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x 万元之间的函数关系为Q ＝x ＋12(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2⎝⎛⎭⎪⎫Q ＋1Q 万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋20Q 元/件．那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)解设该批产品的利润为y ，由题意知y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋20Q ·Q －2⎝ ⎛⎭⎪⎫Q ＋1Q －x＝2Q ＋20－2Q －2Q －x ＝20－2Q－x＝20－4x ＋1－x ＝21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋x ＋1，0≤x ≤3.∵21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋x ＋1≤21－24＝17，当且仅当x ＝1时，上式取“＝”， ∴当x ＝1时，y max ＝17.答当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．反思感悟应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立．跟踪训练2 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x 千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x ≤10)，每小时可消耗A 材料kx 2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A 材料10千克．消耗A 材料总重量为y 千克，那么要使生产1 000千克该产品消耗A 材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A 材料最少为多少．解由题意，得k ＋9＝10，即k ＝1，生产1 000千克该产品需要的时间是1 000x，所以生产1 000千克该产品消耗的A 材料为y ＝1 000x(x 2＋9)＝1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ≥1 000×29＝6 000，当且仅当x ＝9x，即x ＝3时，等号成立，且1<3<10.故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A 材料最少，最少为6 000千克．基本不等式在实际问题中的应用典例围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．解设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360. 由已知xa ＝360，得a ＝360x，∴y ＝225x ＋3602x－360.∵x >0，∴225x ＋3602x≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x－360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．[素养提升] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值．本例中所涉及的y ＝x ＋a x(a >0)就是一个应用广泛的函数模型．1．设x >0，则3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．－1D ．3－2 3答案 D解析 ∵x >0，∴3x ＋1x≥23x ·1x ＝23，当且仅当x ＝33时取等号，∴－⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤－23，则3－3x －1x≤3－23，故选D.2．已知x 2－x ＋1x －1(x >1)在x ＝t 时取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4答案 B解析 x 2－x ＋1x －1＝x x －1＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝2，则2a ＋1b的最小值为________．答案 4解析 2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ×12(a ＋2b )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4＋a b ＋4b a≥12(4＋24)＝4. 当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝1，b ＝12时等号成立，∴2a ＋1b的最小值为4.5．设计用32 m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m ，则车厢的最大容积是________ m 3. 答案 16解析设车厢的长为b m ，高为a m. 由已知得2b ＋2ab ＋4a ＝32，即b ＝16－2aa ＋1，∴V ＝a ·16－2a a ＋1·2＝2·16a －2a2a ＋1.设a ＋1＝t ，则V ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫20－2t －18t≤2⎝⎛⎭⎪⎫20－22t ·18t ＝16，当且仅当t ＝3，即a ＝2，b ＝4时等号成立．1．知识清单：(1)已知x ，y 是正数．①若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值． ②若x ·y ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值．即：“和定积最大，积定和最小”． (2)求解应用题的方法与步骤．①审题，②建模(列式)，③解模，④作答．2．方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值． 3．常见误区：缺少等号成立的条件．1．已知正数x ，y 满足8x ＋1y＝1，则x ＋2y 的最小值是( )A ．18B ．16C ．8D ．10 答案 A解析 x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y ≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝x y，即x ＝4y ＝12时，等号成立．2．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5 答案 C解析由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ×(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2ba时，即a ＝b ＝18等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析设小王从甲地到乙地行驶的路程为s ， ∵b >a >0，则v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab ，又2ab a ＋b >2ab2b＝a ，故选A. 4．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B.223 C.33 D.233答案 B解析由x 2＋3xy －1＝0，可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x .又x >0，所以x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝22时等号成立. 5．已知m >0，n >0，m ＋n ＝1且x ＝m ＋1m ，y ＝n ＋1n，则x ＋y 的最小值是( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 B解析依题意有x ＋y ＝m ＋n ＋1m ＋1n ＝1＋m ＋n m ＋m ＋n n ＝3＋n m ＋m n ≥3＋2＝5，当且仅当m ＝n ＝12时取等号．故选B.6．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C (单位：mg ·L －1) 随时间t (单位：h)的变化关系为C ＝20tt 2＋4，则经过_______ h 后池水中该药品的浓度达到最大．答案 2解析 C ＝20t t 2＋4＝20t ＋4t. 因为t >0，所以t ＋4t≥2t ·4t＝4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时等号成立. 所以C ＝20t ＋4t≤204＝5，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时，C 取得最大值．7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.答案 20解析设矩形花园的宽为y ，则x 40＝40－y 40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋40－x 22＝400，当且仅当x ＝20时，取等号，即当x ＝20 m 时，面积最大．8．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)满足关系y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．答案 5解析 ∵y ＝－x 2＋12x －25，∴年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2x ·25x＋12＝2，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立．9．已知x >0，y >0且2x ＋5y ＝20.(1)求xy 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵2x ＋5y ＝20，x >0，y >0， ∴2x ＋5y ≥210xy ， ∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当x ＝5，y ＝2时，等号成立， ∴xy 的最大值为10.(2)1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·120(2x ＋5y ) ＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋5＋5y x ＋2x y ＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120(7＋210)，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立． ∴1x ＋1y 的最小值为120(7＋210)． 10．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km ，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间．假设目前油价为7.2元/L ，汽车的耗油率为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x 2360L/h ，其中x (单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x 是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资) 解设总费用为y 元．由题意，得y ＝76.4×100x ＋7.2×100x ×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x 2360＝9 800x＋2x (40≤x ≤100)．因为y ＝9 800x＋2x ≥219 600＝280.当且仅当9 800x＝2x ，即x ＝70时取等号．所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h.11．设0<x <1，则4x ＋11－x 的最小值为( )A ．10B ．9C ．8 D.272答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0， 4x＋11－x ＝[x ＋(1－x )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋11－x ＝4＋41－x x ＋x 1－x ＋1≥5＋241－xx·x1－x＝5＋2×2＝9. 当且仅当41－xx＝x1－x，即x ＝23时，等号成立．∴4x ＋11－x的最小值为9. 12．设自变量x 对应的因变量为y ，在满足对任意的x ，不等式y ≤M 都成立的所有常数M 中，将M 的最小值叫做y 的上确界．若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的上确界为( )A ．－92 B.92 C.14D ．－4答案 A解析因为a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，所以12a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ×(a ＋b )＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ×2a b ＝92，当且仅当b ＝2a ，即a ＝13，b ＝23时等号成立，因此有－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92.13．一个矩形的周长为l ，面积为S ，则如下四组数对中，可作为数对(S ，l )的序号是( )①(1,4)；②(6,8)；③(7,12)；④⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12.A ．①③B ．①③④C ．②④D ．②③④答案 A解析设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .对于①(1,4)，则x ＋y ＝2，xy ＝1，根据基本不等式满足xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，符合题意；对于②(6,8)，则x ＋y ＝4，xy ＝6，根据基本不等式不满足xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，不符合题意；对于③(7,12)，则x ＋y ＝6，xy ＝7，根据基本不等式满足xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，符合题意；对于④⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，则x ＋y ＝14，xy ＝3，根据基本不等式不满足xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，不符合题意．综合，可作为数对(S ，l )的序号是①③. 14．已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对任意的x >1恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案 {m |m >－10}解析 ∵2x ＋m ＋8x －1>0在x >1时恒成立， ∴m >－2x －8x －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋1，又x >1时，x －1>0，x －1＋4x －1＋1≥2x －1·4x －1＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立， ∴－2⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋1≤－2×5＝－10. ∴m >－10，∴实数m 的取值范围为{m |m >－10}．15．若不等式ax 2＋1x 2＋1≥2－3a3(a >0)恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥19 解析原不等式可转化为a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥23，又a >0，则a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥2a x 2＋1·1x 2＋1＝2a ，当且仅当a (x 2＋1)＝1x 2＋1，即a ＝1x 2＋12时等号成立，则根据恒成立的意义可知2a ≥23，解得a ≥19.16．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？解设2020年该产品利润为y ，由题意，可知当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，∴y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29， ∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立， ∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。

基本不等式的应用(二)教案

作业课题名称：基本不等式2ba ab +≤的应用（二）我们对基本不等式2ab≤的结构特征已是际应用［2,+∞).师这位同学回答得非常好.请你说得再详细一点，让大家都能清楚. （此时，这位同学的学习热情很浓，探究问题的兴趣很强）生当x ＜0时，y ＝x ＋x 1＝-(-x -x1)≤-2.师很好.请坐下.感谢你为大家讲解. (２)∵y ＝3x 2＋41x＝2x 2＋x 2＋34231≥x ，∴y 的最小值为323. 生解答是错误的，其错误的原因是忽视等号成立条件的研究，事实上等号成立的条件为2x 2＝x 2＝41x，显然这样的x 不存在，故y 没有最小值. 师很好.(3)∵y ＝x （1－x ＋x 2）≤［2)1(2x x x +-+］2＝（212x +）2，当且仅当x ＝1－x ＋x 2，即x ＝1时等号成立.∴当x ＝1时，y 有最大值为1.生解答是错误的，此种解法的错误在于212x+不是定值.显然当x 越大时， 212x +也越大，故y 无最大值.师很好.在求最值时，对定量与变量要理解清楚.［课堂练习］1.用篱笆围一个面积为100 m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长、宽分别为x m 、y m ，则xy =100，篱笆的长为2(x +y ) m.由xy yx ≥+2，可得x +y ≥2100，等号当且仅当x =y 时成立，此时x =y =10.因此这个矩形的长、宽各都为１０ m 时，所用篱笆最短，最短的篱笆是４０ m.2.一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？师下面有的同学用函数也解决了这两个问题.很好，这说明同学们对所学过的知识、方法能够在不同的问题中灵活运用，解决问题的能力很强.由于时间关系，用函数解决这两个问题的方法我们就不交流了，让同学们课后去完成.基本不等式2ba ab +≤的应用（二）复习引入课堂练习方法归纳基本不等式例2ba ab +≤方法引导小结实例剖析（知识方法应用）。

2.2 第2课时基本不等式的实际应用

【例 2】已知 x>0,y>0,且满足 + =1,求 x+2y 的最小值.
分析:从形式上看不具备用基本不等式求最值的条件,但根据
已知变形,消去一个变量,可构造成能使用基本不等式的形式,
也可使用“1”的代换尝试解决.

解:∵x>0,y>0, + =1,

+
(x+2y)=10+
+

的最大值;
(2)已知 0<x< ,求 y= x(1-2x)的最大值;

(3)已知 x>0,求 y=

的最大值.
+
解:(1)∵x<,∴5-4x>0,

∴y=4x-2+
=-
当且仅当

- +
+3≤-2+3=1,
-

5-4x=
,即 x=1 时,上式等号成立,
-
故当 x=1 时,y 取得最大值 1.
当且仅当 x=y= 时,取等号.
(2)因为 x,y 都是正数,且 x+y=15,
所以由基本不等式得 xy≤
当且仅当
+

x=y= 时,取等号.

=

=

,

答案:(1)2

(2)

【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.

x+2y
反思感悟
常数代换法适用于求解条件最值问题,应用此种方法求解最

《基本不等式》第二课时精品教案

3、情感与态度目标：通过问题的设置，培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重点难点应用理解基本不等式，学会用基本不等式求函数最值及求最值应注意的条件。
教学过程
设计意图
活动一:知识回顾
（1）重要不等式_________________
（2）基本不等式__________________
活动二：问题探索
《基本不等式》应用教学设计
课型：新授课授课人：张露授课班级：高二（3）班
教学目标
1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照提出问题→剖析归纳证明→应用（最值的求法）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
小结：一般地，型如
活动三：课堂合作学习
活动四：能力训练
活动五：课后练习
总结：（1）从特殊到一般，总结方法，举一反三，提高能力。
（2）掌握配凑法
（3）基本不等式求最值条件：一正，二定，三等
活动六：作业书P100A组B组
活动一的设计意图让同学们快速进入课堂，复习均值不等式，特别注意等号
探究1设计意图:
通过类比，引导学生对均值不等式求最值应该注意哪些条件。
探究2设计意图
给出函数形式求最值，
掌握用不等式求函数最值中的拼凑技巧,意在介绍求最值中的“定掌握一定的技巧，让学生学会用均值不等式求解。同时意在介绍求最值中的“等”。

课时2 基本不等式的应用

＝(x－1)＋
9 x－1
＋2.因为x－
1>0，所以t≥2 t的最小值为8.
x－1·x－9 1＋2＝8，当且仅当x－1＝x－9 1，即x＝4时，
题型2◆利用基本不等式求参数范围典例设a>b>c，且a－1 b＋b－1 c≥a－m c恒成立，求m的取值范围．解：由a>b>c，知a－b>0，a－c>0，b－c>0.因此，原不等式等价于 aa－－bc＋ab－－cc≥m. aa－－bc＋ab－－cc＝a－ba－＋bb－c＋a－bb＋－cb－c＝2＋ab－－bc＋ab－－bc≥2＋ 2 ab－－bc·ab－－bc＝4.
提出问题 1．某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？ 2．某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？
1．通过基本不等式求最值，培养数学运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.
素养目标
新知线索
k m＋1
得k＝2，
所以x＝3－m＋2 1.
由已知，每件产品的销售价格为1.5×8＋x16x(元)，
所以2020年的利润y＝1.5x·8＋x16x －8－16x－m＝－ m1＋6 1＋m＋1 ＋29(m≥0)．
(2)因为当m≥0时，
16 m＋1
＋(m＋1)≥2
16 ＝8，所以y≤－8＋29＝Fra bibliotek21，当且仅当
1 2
时，取“＝”，所以m1 ＋1n的最小值为4.
(2)设0<x<32，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为
9 2
.
解析：因为0<x<

2.2 第2课时基本不等式的实际应用

从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中，尽
b
量向模型ax＋ ≥2
x
ab(a>0，b>0，x>0)上靠拢．
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【即时练习】
已知一直角三角形的面积为200 cm2，则其两条直角边的和的最小值
为(
)
A．20 cm B．20 2 cm
C．30 cm
D．40 cm
答案：D
1
2
解析：设两直角边分别为a cm，b cm，则 ab＝200，解得ab＝400，由基本不等
(
)
A．100台
B．200台
C．300台
D．400台
答案：B
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f m
解析：由题意，
m
1
200
＝ m＋1＋ ≥2
200
m
1
200
m·
＋1＝3，当且仅
200
m
m
200
当＝，即m＝200时，等号成立，所以应购买200台，使得每台
200
m
设备的平均成本最低．故选B.
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2．为了庆祝中国青年团100周年，校团委组织了一场庆祝活动，要
p1 AM 1−x
设△AMG，△FBM的周长为p1，p2，则＝＝，
p2
BF
y
1−x
1−x 1−x2 2y
∵p2＝x＋y＋(1－y)＝x＋1，∴p1＝p2 ＝(1＋x)· ＝
＝＝2，
y
y
y
y
故△AMG的周长为定值2.
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(2)求△AMG的面积S的最大值．
1−x2
解析：由(1)问可知△FBM∽△MAG，且y＝ 2 ，

第2章 2.2 第二课时基本不等式的应用

第二课时基本不等式的应用课标要求素养要求1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题.通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.教材知识探究(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？问题实例中两个问题的实质是什么？如何求解？提示这两个都是求最值问题.第一个问题是矩形周长一定，即长x 与宽y 的和一定，求xy 的最大值，xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝252＝625，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大.第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x 与宽y 之和最小问题，x ＋y ≥2xy ＝210 000＝200，当且仅当x ＝y ＝100时，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省.1.基本不等式与最大(小)值口诀：和定积最大，积定和最小两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.(1)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(2)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2.基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.教材拓展补遗[微判断]1.对于实数a ，b ，若a ＋b 为定值，则ab 有最大值.(×) 提示 a ，b 为正实数.2.对于实数a ，b ，若ab 为定值，则a ＋b 有最小值.(×) 提示 a ，b 为正实数.3.若x >2，则x ＋1x 的最小值为2.(×)提示当且仅当x ＝1时才能取得最小值，但x >2. [微训练]1.已知正数a ，b 满足ab ＝10，则a ＋b 的最小值是________. 解析 a ＋b ≥2ab ＝210，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立. 答案 2102.已知m ，n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是________.解析由m 2＋n 2≥2mn ，∴mn ≤m 2＋n 22＝50.当且仅当m ＝n ＝±52时等号成立. 答案 50 [微思考]1.利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？提示利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.2.已知x，y为正数，且1x＋4y＝1，求x＋y的最小值.下面是某同学的解题过程：解：因为x>0，y>0，所以1＝1x＋4y≥2×2xy＝4xy，所以xy≥4.从而x＋y≥2xy≥2×4＝8.故x＋y的最小值为8.请分析上面解法是否正确，并说明理由.解这个同学的解法是错误的.理由如下：上述解法中连续使用两次基本不等式，但这两个不等式中的等号不能同时成立.第一个不等式当且仅当1x ＝4y＝12，即x＝2，y＝8时，等号成立；第二个不等式当且仅当x＝y时，等号成立，因此x＋y不能等于8.正解∵x>0，y>0，1x＋4y＝1，∴x＋y＝(x＋y)⎝⎛⎭⎪⎫1x＋4y＝1＋yx＋4xy＋4＝yx＋4xy＋5≥2·yx·4xy＋5＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x＋4y＝1，yx＝4xy，即x＝3，y＝6时，等号成立.故x＋y的最小值为9.题型一利用基本不等式求最值注意基本不等式成立的条件，且等号能否取得【例1】(1)已知x>2，求x＋4x－2的最小值；(2)已知2x＋2y＝1，(x>0，y>0)，求x＋y的最小值.解(1)∵x>2，∴x－2>0，∴x＋4x－2＝x－2＋4x－2＋2≥2（x－2）·4x－2＋2＝6，当且仅当x－2＝4x－2，即x＝4时，等号成立.∴x ＋4x －2的最小值为6.(2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·y x ＝8.当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号，x ＋y 的最小值为8. 规律方法利用基本不等式求最值的策略【训练1】 (1)若x <0，求12x ＋3x 的最大值； (2)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值. 解 (1)因为x <0，所以12x ＋3x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋（－3x ）≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ·（－3x ）＝－12，当且仅当－12x ＝－3x ，即x ＝－2时等号成立，所以12x ＋3x 的最大值为－12. (2)法一由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋（2x －16）＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2（x －8）×16x －8＋10＝18. 当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立.∴x ＋y 的最小值是18.法二由2x ＋8y ＝xy 及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y＝8y x ＋2xy ＋10≥28y x ·2xy ＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立. ∴x ＋y 的最小值是18.题型二利用基本不等式解决实际应用问题【例2】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积y 关于x 的函数的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解 (1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x. 则y ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1). (2)8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝ 5 760.当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米. 规律方法利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.【训练2】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.由题意可知，面粉的保管等其他费用为3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋900x＋10 809≥29x·900x＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x＝900x，即x＝10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. 题型三基本不等式的综合应用基本不等式应用的关键是获得定值的条件，解题时需灵活的选择方法【探究1】已知x >0，y >0且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为________. 解析法一 (1的代换)：因为1x ＋9y ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y . 因为x >0，y >0，所以y x ＋9xy ≥2y x ·9xy ＝6，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x ①时，取“＝”. 又1x ＋9y ＝1，②解①②可得x ＝4，y ＝12.所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法二 (消元法)：由1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9.因为x >0，y >0，所以y >9.所以x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. 因为y >9，所以y －9>0，所以(y －9)＋9y －9≥2（y －9）·9y －9＝6.当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时，取“＝”，此时x ＝4，所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法三 (构造定值)：因为x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，所以x >1，y >9.由1x ＋9y ＝1，得y ＋9x ＝xyxy －9x －y ＋9－9＝0(x －1)(y －9)＝9(定值).所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝2×3＋10＝16.当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时取等号，所以x ＋y 的最小值是16. 答案 16【探究2】已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________. 解析正数x ，y 满足x ＋y ＝1，即有(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1 ＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋x ＋2y ＋1＋4（y ＋1）x ＋2≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2x ＋2y ＋1·4（y ＋1）x ＋2＝14×(5＋4)＝94，当且仅当x ＝2y ＝23时，取得最小值94. 答案 94【探究3】已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8D.7解析因为a >0，b >0，所以2a ＋b >0，所以要使2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，只需m ≤(2a＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝4＋2a b ＋2b a ＋1≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b时，等号成立，所以m ≤9. 答案 B规律方法利用基本不等式求条件最值的常用方法(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值. (2)构造法：①构造不等式：利用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，将式子转化为含ab 或a ＋b 的不等式，将ab ，(a ＋b )作为整体解出范围；②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数求最值.【训练3】 (1)已知2a ＋b ＝1，a >0，b >0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A.2 2 B.3－2 2 C.3＋2 2D.3＋ 2(2)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值是( ) A.3＋2 2 B.3－2 2 C.6－4 2D.6＋4 2(3)求x (m －x )(0<x <m )的最大值.(1)解析 1a ＋1b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2a b ＝3＋2 2.当且仅当ba ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时，等号成立.∴1a ＋1b 的最小值是3＋2 2. 答案 C(2)解析 1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c )＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2bc≥4＋2 2ba·ab＋2ca·ac＋2 cb·2bc＝6＋42，当且仅当2ba＝ab，ca＝ac，cb＝2bc时，等号成立，即a2＝c2＝2b2时，等号成立.答案 D(3)解∵0<x<m，∴x>0，m－x>0.∴x(m－x)≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋m－x22＝m24.当且仅当x＝m－x时，即x＝m2时，x(m－x)(0<x<m)取最大值m24.一、素养落地1.通过运用基本不等式求解函数的最值，培养数学运算及逻辑推理素养，通过运用基本不等式解决实际应用问题，提升数学建模素养.2.利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋px(p>0)的图象求得函数的最值.二、素养训练1.当x>0时，12x＋4x的最小值为()A.4B.8C.8 3D.16解析 ∵x >0，∴12x >0，4x >0. ∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3. 当且仅当12x ＝4x ，即x ＝3时取最小值83， ∴当x >0时，12x ＋4x 的最小值为8 3. 答案 C2.已知x >－2，则x ＋1x ＋2的最小值为( ) A.－12 B.－1 C.2D.0解析因为x >－2，∴x ＋1x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－2≥2－2＝0，当且仅当x ＝－1时“＝”成立. 答案 D3.已知4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 解析 4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a .当且仅当4x ＝ax ，即4x 2＝a 时等号成立. 由题意得a ＝4×32＝36. 答案 364.某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率x 与增长率的平均值的大小关系为________. 解析由题意得(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )，所以1＋x ＝（1＋a ）（1＋b ）≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2，所以x ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时等号成立. 答案 x ≤a ＋b25.已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，求x ＋2y 的最小值. 解 ∵x >0，y >0，8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝10＋x y ＋16y x ≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，x ＋2y 的最小值为18.基础达标一、选择题1.若x 2－x ＋1x －1(x >1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A.1＋ 2B.2C.3D.4解析x 2－x ＋1x －1＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立. 答案 B2.若a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是( ) A.14B.1C.4D.8解析 ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号. 答案 C3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A.5千米处 B.4千米处 C.3千米处D.2千米处解析设仓库与车站的距离为d ，则y 1＝k 1d ，y 2＝k 2d ，由题意知2＝k 110，8＝10k 2，∴k 1＝20，k 2＝0.8.∴y 1＋y 2＝20d ＋0.8d ≥216＝8，当且仅当20d ＝0.8d ，即d ＝5时，等号成立.选A. 答案 A4.设计用32 m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m ，则车厢的最大容积是( ) A.(38－373) m 3 B.16 m 3 C.4 2 m 3D.14 m 3解析设车厢的长为b m ，高为a m.由已知得2b ＋2ab ＋4a ＝32，即b ＝16－2a a ＋1，∴V ＝a ·16－2a a ＋1·2＝2·16a －2a 2a ＋1.设a ＋1＝t ，则V ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫20－2t －18t≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫20－22t ·18t ＝16，故选B.答案 B5.欲用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长 18 m ，则这个矩形的长、宽分别为( ) A.15，152 B.15，72 C.7，152D.7，72解析设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号. 答案 A 二、填空题6.已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________. 解析根据题意，3a ＋b ＝2ab32b ＋12a ＝1，则a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32b ＋12a (a ＋b )＝2＋3a 2b ＋b 2a ≥2＋23a 2b ·b 2a ＝2＋3，当且仅当b ＝3a 时等号成立，则a ＋b 的最小值为2＋ 3. 答案 2＋ 3 7.若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.解析因为x >0，所以x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x ＋3＝15.当且仅当x ＝1时，等号成立，所以x x 2＋3x ＋1的最大值为15.所以a ≥15. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≥158.设x >－1，则（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值是______.解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有（x ＋5）（x ＋2）x ＋1＝（t ＋4）（t ＋1）t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取“＝”，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，（x ＋5）（x ＋2）x ＋1取得最小值9.答案 9 三、解答题9.(1)若x >0，求x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值； (2)设0<x <32，求4x (3－2x )的最大值. 解 (1)当x >0时，x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x 时，即x 2＝4，x ＝2时取等号. ∴x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4. (2)∵0<x <32，∴3－2x >0， ∴4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|0<x <32，∴4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32的最大值为92.10.某工厂要建造一个长方体形状无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？解设底面的长为x m ，宽为y m ，水池总造价为z 元. 根据题意，有z ＝150×4 8003＋120(2×3x ＋2×3y )＝240 000＋720(x ＋y ).由容积为4 800 m 3，可得3xy ＝4 800. 因此，xy ＝1 600.240 000＋720(x ＋y )≥240 000＋720×2xy ，即z ≥240 000＋720×2 1 600＝297 600. 当x ＝y ，即x ＝y ＝40时，等号成立.所以，将水池的底面设计成边长为40 m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元.能力提升11.已知x ，y 都是正数.(1)若3x ＋2y ＝12，求xy 的最大值； (2)若x ＋2y ＝3，求1x ＋1y 的最小值.解 (1)∵3x ＋2y ＝12，∴xy ＝16·3x ·2y ≤16×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y 22＝6，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝2，y ＝3时，等号成立. ∴xy 取得最大值为6.(2)∵x ＋2y ＝3，∴1＝x 3＋2y3， ∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2y 3＝13＋23＋x 3y ＋2y 3x≥1＋2x 3y ·2y 3x ＝1＋223，当且仅当x 3y ＝2y 3x ，即x ＝32－3，y ＝3－322时取等号， ∴1x ＋1y 的最小值为1＋223.12.2016年11月3日 20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x 千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x ≤10)，每小时可消耗A 材料kx 2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A 材料10千克. (1)设生产m 千克该产品，消耗A 材料y 千克，试把y 表示为x 的函数. (2)要使生产1 000千克该产品消耗的A 材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A 材料最少为多少？解 (1)由题意，得k ＋9＝10，即k ＝1，生产m 千克该产品需要的时间是m x ，所以y ＝m x (kx 2＋9)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ，x ∈[1，10].(2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A 材料为y ＝1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ≥1 000×29＝6 000，当且仅当x ＝9x ，即x ＝3时，等号成立，且3∈[1，10]，故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A 材料最少，最少为6 000千克.。

1285_高中数学导学案：2.2.4均值不等式及其应用第2课时基本不等式的应用(新人教B版)必修一册

第2课时基本不等式的应用课堂探究·素养提升——强化创新性题型1利用基本不等式证明不等式[经典例题]例1已知a、b、c＞0，求证：a2b+b2c+c2a≥a＋b＋c.方法归纳(1)在利用a＋b≥2a b时，一定要注意是否满足条件a＞0，b＞0.(2)在利用基本不等式a＋b≥2a b或a+b2≥a b(a＞0，b＞0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．跟踪训练1已知x＞0，y＞0，z＞0.求证：(y x+z x)(x y+z y)(x z+y z)≥8.状元随笔分别对y x＋z x，x y＋z y，x z＋y z用基本不等式⇒同向不等式相乘．题型2灵活利用基本不等式a＋b≥2a b求最值例2(1)已知a>0，b>0，a＋2b＝1，1a+1b的最小值为()A．3B．22C．3－22D．3＋22(2)若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为()A．2B．4C．6D．8方法归纳常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用均值不等式求最值．跟踪训练2(1)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为()A．8B．4C．2D．0(2)设x，y为正数，若x＋y2＝1，则1x+2y的最小值是________，此时x＝________．题型3利用基本不等式解决实际问题例3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少？状元随笔两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．教材反思利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．跟踪训练3某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？状元随笔 1.盈利等于总收入－支出，注意支出，由两部分组成．2．利用基本不等式求平均利润．第2课时基本不等式的应用课堂探究·素养提升例1【证明】∵a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0，∴a2b＋b≥2a.当且仅当a2b＝b时等号成立．b2c＋c≥2b.当且仅当b2c＝c时等号成立．c2a＋a≥2c，当且仅当c2a＝a时等号成立．相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，∴a2b+b2c+c2a≥a＋b＋c.跟踪训练1证明：因为x>0，y>0，z>0，所以y x z xx y+z y≥xz+y z≥+++≥x＝y＝z时等号成立．例2【解析】(1)1a+1b＝a+2b a+a+2b b＝3＋2b a+a b≥3＋2＝3＋22，当2b a＝a b即a＝2－1，b所以(1a+1b)min＝3＋22.(2)因为a>0，b>0，a＋b＝ab a＋b≥4，当a＝b＝2时取等号，则a＋b的最小值为4.【答案】(1)D(2)B跟踪训练2解析：(1)由x＋2y－xy＝0，得2x+1y＝1，且x>0，y>0.所以x＋2y＝(x＋2y)×(2x+1y)＝4y x+x y＋4≥2当x＝2y时等号成立．(2)1x+2y＝(1x+2y)(x＋y2)＝2＋y2x+2x y≥2＋2＝4，当且仅当y2x＝2x y即y＝2x，x＝12时等号成立．答案：(1)A(2)412例3【解析】设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．由题意可知，面粉的保管费等其他费用为3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)(元)．设平均每天所支付的总费用为y元，则y＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1800＝9x＋900x＋10809≥2809＝10 989(元)，当且仅当9x＝900x，即x＝10时，等号成立．故该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．跟踪训练3解析：(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元．则y＝50n－98－12×n+×4＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年平均利润为y n＝－2n+49n−20≤－22−20＝12，当且仅当n＝49n，即n＝7时上式取等号．所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．。

高一数学必修一第二章第二课基本不等式

高一数学必修一第二章第二课基本不等式摘要：1.必修一第二章第二课：基本不等式2.基本不等式的概念3.基本不等式的推导和证明4.基本不等式的应用举例5.总结与拓展正文：【1.必修一第二章第二课：基本不等式】在高一数学必修一的第二章中，我们迎来了第二课——基本不等式。

这一课是整个高中数学学习过程中非常重要的一部分，它将为我们后续学习更复杂的数学知识打下坚实的基础。

那么，什么是基本不等式呢？它又有哪些应用呢？让我们一起来探讨。

【2.基本不等式的概念】基本不等式，又称柯西不等式，是指在实数范围内，两个数的平方和与两个数的乘积之间存在的一种不等关系。

它的数学表达式为：(a+b)^2 >=4ab。

这个不等式在数学中有着广泛的应用，是解决许多数学问题的关键思想。

【3.基本不等式的推导和证明】接下来，我们将来推导和证明基本不等式。

首先，我们假设有两个实数a 和b，那么(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。

根据基本不等式，我们要证明a^2 + 2ab + b^2 >= 4ab。

将4ab 移到左边，我们得到a^2 - 2ab +b^2 >= 0，也就是(a-b)^2 >= 0。

这个不等式显然成立，因为一个数的平方永远大于等于0。

所以，我们成功地证明了基本不等式。

【4.基本不等式的应用举例】了解了基本不等式的概念和证明，我们来看看它在实际问题中的应用。

假设有一个等差数列，首项为a，公差为b，项数为n，我们要求这个等差数列的和。

根据等差数列求和公式，我们可以得到S_n = na + n(n-1)/2 * b。

由于n 是正整数，我们可以利用基本不等式得到：S_n >= 2 * sqrt(na * (n-1)/2 * b)。

这个式子告诉我们，在等差数列中，当n 固定时，a 和b 的乘积越大，和就越大。

【5.总结与拓展】通过学习基本不等式，我们不仅掌握了一个重要的数学知识，还学会了如何运用它解决实际问题。

21-22版第2课时基本不等式在实际问题中的应用

反思感悟在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑” 等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
跟踪训练2 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知 AB＝4米，AD＝3米，当BM＝___4__时，矩形花坛AMPN的面积最小.
所以当矩形菜园的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.

2.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.由
解设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y)m. 方法一由已知xy＝16，由x＋2 y≥ xy，可知 x＋y≥2 xy＝8，所以2(x＋y)≥16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 方法二由已知 xy＝16，可知 y＝1x6，所以 2(x＋y)＝2x＋1x6≥2×2 x·1x6＝16.
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值.
解在Rt△ADP中， S△ADP＝12AD·DP＝12(12－x)12－7x2＝108－6x＋43x2(6<x<12). ∵6<x<12，∴6x＋43x2≥2· 6x·43x2＝72 2，当且仅当 6x＝43x2，即 x＝6 2时取等号. ∴S△ADP＝108－6x＋43x2≤108－72 2， ∴当 x＝6 2时，△ADP 的面积取最大值 108－72 2.
内容索引
一、基本不等式在生活中的应用二、基本不等式在几何中的应用
随堂演练

第二课时 基本不等式的应用