高二数学立体几何知识点总结
无锡市第一中学高二(上)数学立体几何小结
立体几何小结一、基本概念判断 二、抽象命题证明1.已知直线a ∥平面α，直线b ⊥平面α.求证：a b ⊥.2.求证：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直.3.已知平面,αβ，直线l ，且,,l l αββα⊄∥∥.求证：l β∥.4.已知平面,,αβγ，且,αββγ∥∥，求证：αγ∥.5.已知平面,,,,,l αβγαγβγαβ⊥⊥=, 求证：l γ⊥.6.如图，已知,,a a l αβαβ=∥∥，求证：a l ∥. 三、平行垂直证明四、表面积，侧面积，体积的计算.棱长为a 的正方体的外接球的直径为_______；半径为__________棱长为2a 的正四面体的外接球的半径为______；内切球的半径为______；比例关系是_____； 棱长为a 的正四面体的外接球的半径为______；内切球的半径为______；比例关系是_____；探究问题1.课本p51,15如图，在正方体中，O 是BD 的中点，问：在棱AA 1上是否存在一点M ，使平面MBD 与平面OC 1D 1垂直？如果存在，求出AM ：MA 1的值；如果不存在，请说明理由.2.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC CC ==， AC BC ⊥，点D 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：11CD A ABB ⊥平面；（Ⅱ）求证：11//AC CDB 平面；（Ⅲ）线段AB 上是否存在点M ，使得1A M ⊥平面1CDB ？3．如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （Ⅰ）求证：AE ⊥BE ；（Ⅱ）求三棱锥D －AEC 的体积；（Ⅲ）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .4．如图，在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中，∠ABC =60︒，P A =AC =a ，PB =PD =a ，点E 在PD 上，且PE ：ED =2：1，(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)在棱PC 上是否存在一点F 使BF ∥平面AEC ？证明你的结论.Aalαβ翻折问题1. 已知正ABC ∆的边长为a ，若沿高AD 把ABC ∆折起，使得90BDC ∠=︒，则点B 到AC 的距离为______________.2.把边长为a 的正ABC ∆沿高线AD 折成60︒的二面角，这时顶点A 到BC 的距离是______________.3.已知E 是正方形ABCD 的边BC 的中点，沿BD 将ABD ∆折起，使之成为直二面角，则AEB ∠=______________.4.沿对角线AC 将正方形ABCD 折成直二面角后，AB 与CD 所在直线所成角的大小是 ______________.5.如图，在正方形ABCD 中，,E F 分别为,BC CD 的中点，H 为EF 的中点.沿,,AE EF FA 将正方形折起，使,,B C D 重合于点O ，构成四面体，则在四面体A OEF - 中，下列说法中正确的有______________.（填写序号）①AH ⊥平面OEF ；②AO ⊥平面OEF ；③AE ⊥平面OEF ；④AF ⊥平面OEF .6.如图，已知在长方形ABCD 中，,2,,AB a AD a AD BC == 的中点分别为,E F ，沿EF 将此长方形折成直二面角，则翻折 后直线AF 与BC 所成的角为______________.7. 如图，在矩形ABCD 中，已知2,AB AD E =为AB 的中点，M 为DE 的中点，将AED ∆ 沿ED 折起，使AB AC =.求证：AM ⊥平面BCDE .8.在矩形ABCD中，2,AB BC E =为BC 的中点，把ABE ∆与CDE ∆分别沿,AE DE 折起，使点B 与C 重合于点P .（1）求证：平面PDE ⊥平面PAD ； （2）求二面角P AD E --的大小.9.一副三角板如图拼接，将BCD ∆折起，使得二面角A BC D --为直二面角.求证：平面ABD ⊥平面ACD .10.如图为正方体的平面展开图.（1）在正方体中，求证：BG ∥平面ACH .MADECB CBMDABADECP (B,C )BDCACDBAHD C GFB A E。
上海高二立体几何知识点
上海高二立体几何知识点一、概述立体几何是数学中研究空间内各种几何体的形状、大小、位置等性质的一门学科。
上海高二立体几何知识点是指上海高二学生需要掌握的与立体几何相关的重要知识点。
本文将为大家介绍上海高二立体几何的核心概念、公式以及解题方法等内容。
二、立体几何的基本概念和性质2.1空间几何体的分类空间几何体主要包括点、线、面以及体。
其中，点是空间的最基本的元素，线是由无数个点构成的，面是由无数个线构成的，体是由无数个面构成的。
2.2空间几何体的性质不同的空间几何体具有不同的特征和性质。
例如，平面内的点与点之间可以通过直线相连，而在空间内则需要使用线段。
此外，空间几何体还具有对称性、轴对称性、等距性等重要性质。
三、立体几何的重要知识点3.1立体的表面积和体积计算计算立体的表面积和体积是立体几何中的基本问题。
根据不同立体的特征，具体的计算公式有所不同。
例如，计算正方体的表面积可以使用公式：$S=6a^2$，其中$a$表示边长。
计算长方体的体积可以使用公式：$V=l wh$，其中$l$、$w$和$h$分别表示长、宽和高。
3.2空间固体与投影空间固体的投影是指将立体物体在某个平面上的投影图形。
在计算空间固体的投影时，需要考虑物体与投影面的相对位置关系。
例如，计算柱体在水平面上的投影可以使用公式：$S=\p ir^2$，其中$r$表示柱体的半径。
3.3空间几何体的位置关系在立体几何中，空间几何体的位置关系通常包括在平面内的位置关系和在空间内的位置关系两个方面。
对于在平面内的位置关系，常见的问题包括如何判断两条直线的平行性以及如何判断两条直线的垂直性。
在空间内的位置关系问题中，常见的问题包括如何判断两个平面的平行性以及如何判断两个平面的垂直性。
3.4空间几何体的相似性空间几何体的相似性是指两个或多个几何体在形状上具有相似的特征。
根据相似性理论，我们可以通过已知几何体的一些特征来推导出未知几何体的特征。
例如，如果两个几何体的对应边成比例，且对应角相等，则可判定两个几何体相似。
2014-2015年高二数学知识点与专题精讲：立体几何证明(一)
2014-2015年高二数学知识点与专题精讲：立体几何证明（一）直线与平面平行主编：宁永辉 主编单位：永辉中学生学习中心一、直线与面的平行：1、判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么平面外的这条直线与这个平面平行。
分析：如下图所示：步骤：如图，①在平面α中找一条直线b ；②证明平面外的直线a 与平面α上直线b 平行。
本质：证明一次直线与面平行的过程⇔证明一次直线与直线平行的过程。
注意事项：立体几何图形在平面中作图为了体现立体感是用“斜二测法”进行作图。
“斜二测法”作图方法如下：①在原立体图形的底面建立一个平面直角坐标系；②在白纸上建立一个y x ,轴夹角为045或0135的斜坐标系；③原图形中平行于y x ,轴的线，在新的图形中仍然平行于y x ,轴；④原图形中平行于x 轴的线，在新的图形中长度不变；原图形中平行于y 轴的线，在新的图形中长度变为原来一半。
注意“斜二测法”中的第③条：“原图形中平行于y x ,轴的线，在新的图形中仍然平行于y x ,轴。
”可以看出，原图中相互平行的直线，用“斜二测法”作出的图形仍相互平行。
所以：如果在平面已经画出的直线中存在一条平行于平面外的直线，可以用眼睛进行目测。
2、证明两条直线平行的方法：方法一：在三角形中，三角形的中位线平行于底边。
（1）、如下图所示：在ABC ∆中，E D ,分别为边AC AB ,的中点，证明：BC DE //【证明】：因为：E D ,分别为边AC AB ,的中点所以：21==AC AE AB AD ，BAC DAE ∠=∠ADE ∆⇒∽ABC ∆ 因为：ADE ∆∽ABC ∆所以：DE BC AB AD BC DE BC DE 221,//=⇒== 在三角形中，中位线平行于底边，而且中位线等于底边的一半。
（2）、三角形中位线平行于底边在立体几何图形中的应用：两种提示条件：①题目中出现中点信息，例如：BC AB =（这种已知条件有两种可能：第一种B 为线段AC 中点；第二种ABC ∆为一个等腰三角形）或者B 为线段AC 中点，都为常见的已知中点的信息。
高二数学立体几何期中复习
高二数学上半期期中总结复习专题一语录天下：你就是一道风景，没必要在别人风景里面仰视。
一、直线、平面、简单几何体：1、学会三视图的分析：正视图、侧视图、俯视图。
表（侧）面积与体积公式：⑴柱体：①表面积：S=S 侧+2S 底；②侧面积：S 侧=rh π2；③体积：V=S 底h⑵锥体：①表面积：S=S 侧+S 底；②侧面积：S 侧=rl π；③体积：V=31S 底h ：⑶台体①表面积：S=S 侧+S 上底S 下底②侧面积：S 侧=l r r )('+π ⑷球体：①表面积：S=24R π；②体积：V=334R π常见题型：1）求图形形状；2）求图形表面积和体积。
例1.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为 A.200+9π B. 200+18π C. 140+9πD. 140+18π变式训练：某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .例2.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是(A)45,8 (B) 845,3 (C) 84(51),3(D) 8,8变式训练1：某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为 （A ）18+8π （B ）8+8π （C ）16+16π （D ）8+16π变式训练2：一个四面体的顶点在点间直角坐系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可为（A ） （B ） （C ） （D ）侧视图俯视图444 22242主视图2、位置关系的证明（主要方法）：注意立体几何证明的书写、格式。
（1）直线与平面平行：①线线平行⇒线面平行；②面面平行⇒线面平行。
（2）平面与平面平行：①线面平行⇒面面平行。
（3）垂直问题：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直。
核心是线面垂直：垂直平面内的两条相交直线3、求角：（步骤-------Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）⑴异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形； ⑵直线与平面所成的角：直线与射影所成的角常见题型：1）证明：直线与平面平行：①线线平行⇒线面平行；②面面平行⇒线面平行。
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结立体几何知识点总结「篇一」(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的.圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
立体几何知识点总结「篇二」1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
高二数学学问点：立体几何的概念
高二数学学问点：立体几何的概念高二数学学问点：立体几何的概念导语：数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。
下面时候我为大家整理的关于，高中数学，希望对大家有所关怀,欢迎阅读，仅供参考，更多相关的学问，请关注CNFLA学习网!1.在中学我们只研直圆柱、直圆锥和直圆台。
所以对圆柱、圆锥、圆台的旋转定义、实际上是直圆柱、直圆锥、直圆台的定义。
这样定义直观形象，便于理解，而且对它们的性质也易推导。
对于球的定义中，要留意区分球和球面的概念，球是实心的。
等边圆柱和等边圆锥是特殊圆柱和圆锥，它是由其轴截面来定义的，在实践中运用较广，要留意与一般圆柱、圆锥的区分。
2.圆柱、圆锥、圆和球的性质(1)圆柱的性质，要强调两点：一是连心线垂直圆柱的底面;二是三个截面的性质平行于底面的截面是与底面全等的圆;轴截面是一个以上、下底面圆的直径和母线所组成的矩形;平行于轴线的截面是一个以上、下底的圆的弦和母线组成的矩形。
(2)圆锥的性质，要强调三点①平行于底面的截面圆的性质：截面圆面积和底面圆面积的比等于从顶点到截面和从顶点毕竟面距离的平方比。
②过圆锥的顶点，且与其底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形，其面积为：易知，截面三角形的顶角不大于轴截面的顶角(如图10-20)，事实上，由BCAB，VC=VB=VA可得AVBBVC.由于截面三角形的顶角不大于轴截面的顶角。
所以，当轴截面的顶角90，有090，即有当轴截面的.顶角90时，轴截面的面积却不是最大的，这是由于，若90180时，1sinsin0.③圆锥的母线l，高h和底面圆的半径组成一个直径三角形，圆锥的有关计算问题，一般都要归结为解这个直角三角形，特别是关系式l2=h2+R2(3)圆台的性质，都是从"圆台为截头圆锥'这个事实推得的，但仍要强调下面几点：①圆台的母线共点，所以任两条母线确定的截面为一等腰梯形，但是，与上、下底面都相交的截面不愿定是梯形，更不愿定是等腰梯形。
高二数学立体几何公理总结
高二数学立体几何公理总结
立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的图形、体积和位置关系。
在高二数学学习中，我们掌握了立体几何的公理，这些公理是我们解决立体几何问题的基础。
下面是高二数学立体几何公理的总结：
1. 二元性公理：空间中的两点可以确定一条唯一的直线，两条不相交直线可以确定一个平面。
2. 全等公理：如果两个多面体的对应面全等，对应棱全等，对应顶点全等，则两个多面体全等。
3. 垂直公理：如果两条直线相交成直角，则它们互相垂直。
4. 平行公理：如果一条直线与一个平面中的一条直线平行，它与该平面的其他直线都平行。
5. 射影公理：一条直线与一个平面相交，它在该平面上的投影与它在该平面内的射影相等。
6. 中距离公理：在一个平面内，两点到一个定点的距离相等的点位于以该定点为圆心的圆上。
7. 三角不等式公理：对于任意三条线段，其中两条线段之和大于第三条线段的长度，两条线段之差小于第三条线段的长度。
8. 高度公理：在一个三角形内，高所对应的边与高所在的顶点连线的垂线重合。
通过掌握这些公理，我们可以解决许多与立体几何相关的问题。
在解题过程中，不仅需要理解这些公理的意义，还需要熟练运用它们，灵活应用到具体的问题中。
高二数学立体几何公理是我们学习立体几何的基础，它们帮助我们理解和解决立体几何问题。
通过不断的练习和实践，我们可以更好地掌握这些公理，提高我们在立体几何中的能力。
高二数学知识点总结_高二数学知识点
高二数学知识点总结_高二数学知识点高二数学是高中数学的重要部分。
本文将对高二数学的知识点进行总结，帮助同学们复习与巩固相关知识。
一、函数与方程1. 一元二次函数及其图像：顶点、对称轴、开口方向、零点、最值等。
2. 二次函数的图像和性质: 抛物线、平移、伸缩等。
3. 一次函数和二次函数的交点问题。
4. 全等（相似）、重合、合同、全等公理；全等符号≌与恒等符号≡的区别。
5. 实数集及其性质: 自然数集、整数集、有理数集、无理数集、实数集。
6. 不等式及其解法：一元一次不等式、一元二次不等式等。
二、解析几何与立体几何1. 平面与空间的位置关系：平面与平面的位置关系、直线与平面的位置关系等。
2. 几何线、几何线段的相关性质：交线、异面直线、垂足、等角条件等。
3. 空间直线与空间曲线的位置关系。
4. 空间向量及其运算：向量加减、数量积、向量积等。
5. 空间几何体的体积和表面积计算，包括三棱柱、四棱柱、正方体、正方体等。
三、数列与三角函数1. 等差数列与等比数列的通项公式以及求和公式。
2. 根据已知的数列性质求未知数。
3. 指数函数的概念和性质：指数的运算规则、指数函数图像和性质等。
4. 对数函数与指数函数的互相关系：对数函数与指数函数的性质、对数函数的图像等。
5. 三角函数的基本概念：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等。
6. 三角函数的基本关系和性质：三角函数的图像、周期、部分初等函数等。
四、概率与统计1. 随机事件及其运算：事件的必然性、确定性、互斥性、独立性等。
2. 概率的概念和性质：事件的概率、概率的两个运算法则等。
3. 排列组合：排列、组合、分组选择等。
4. 抽样与统计分析：样本的构成、样本调查、样本点等。
5. 数据的整理与处理：数据的表格、图表、统计量等。
五、数数学证明1. 图形的相似与全等：图形的旋转、翻折、平移、缩放等。
2. 几何证明：线段垂直条件、角平分线存在条件、正方形中位线垂直等。
3. 分析证明：数学定理的证明方法、数学建模等。
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b=-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与a 共线的单位向量为a±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y使p xa yb =+r r r。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x z y x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。
高二数学立体几何知识点总结
高二数学立体几何知识点总结
高二数学立体几何知识点
1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
能用斜二测法作图。
2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念;
可以Geaune面直线阿芒塔的角和异面直线间的距离;证明两条直线就是异面直线通常用反证法。
3.直线与平面
①边线关系：平行、直线在平面内、直线与平面平行。
②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。
③直线与平面横向的证明方法存有哪些?
④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是
⑤三垂线定理及其逆定理：每年低考试题都必须考查这个定理.三垂线定理及其逆定理主要用作证明横向关系与空间图形的度量.如：证明异面直线横向，确认二面角的平面角，确认点至直线的垂线.
4.平面与平面
1边线关系：平行、平行，横向就是平行的一种特定情况
2掌握平面与平面平行的证明方法和性质。
3掌控平面与平面横向的证明方法和性质定理。
尤其就是未知两平面横向，通常就是依据性质定理，可以证明线面横向。
4两平面间的距离问题→点到面的距离问题→
5二面角。
二面角的平面缴的作法及带发修行：
①定义法，一般要利用图形的对称性;一般在计算时要解斜三角形;
②垂线、斜线、射影法，通常建议平面的垂线原在，通常在排序时必须求解一个直角三角形。
③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法。
10 高二数学重难点知识汇总 空间向量与立体几何
高二数学重难点知识汇总第十讲空间向量与立体几何一．重难点讲解1．两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．[探究] 1.在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2.[来源:学科网ZXXK][来源:学科网]l1∥l2[来源:学科网][来源:学科网][来源:学科网]n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥αn⊥m⇔m·n＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α、β的法向量分别为n，m.α∥βn∥m⇔n＝λm α⊥βn⊥m⇔n·m＝03.两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．4．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n·e||n||e|.5．求二面角的大小(1)如图①，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB u u u r，CD uuu r 〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．[探究] 2.两向量的夹角的范围是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？二面角呢？提示：两向量的夹角范围是[0，π]；两异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2；直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2；二面角的范围是[0，π]，注意以上各角取值范围的区别．6．点到平面的距离的向量求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B 到平面α的距离d ＝|AB u u u r·n||n|.二．典型例题题型一 用向量法证明平行或垂直[例1] 在长方体ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝2AB ＝2BC ，E 、F 、E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．(1)求证：CE ∥平面C1E1F ； (2)求证：平面C1E1F ⊥平面CEF.[自主解析] 以D 为原点，DA ，DC ，DD1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2. (1)设平面C1E1F 的法向量n ＝(x ，y ，z)．∵11C E u u u u r ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，0，1FC u u uu r ＝(－1,0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·11C E u u u u r＝0，n ·1FC u u u u r ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－x ＋z ＝0.取n ＝(1,2,1)．∵CE u u u r ＝(1，－1,1)，n ·CE u u u r＝1－2＋1＝0， ∴CE u u u r⊥n.又∵CE ⊄平面C1E1F ， ∴CE ∥平面C1E1F.(2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c)，由EF u u u r＝(0,1,0)，FC uuu r ＝(－1,0，－1)，∴⎩⎨⎧m ·EF u u u r＝0，m ·FC uuu r＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，－a －c ＝0. 取m ＝(－1,0,1)．∵m ·n ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面C1E1F ⊥平面CEF. 【方法 规律】1.向量法证明空间平行或垂直的关键点利用向量法证明空间中的平行或垂直的问题时，建系是关键的一步，通常借助于几何图形中的垂直关系选择坐标原点和坐标轴，并让尽可能多的顶点在坐标轴上.2.向量法证明线面平行的注意点用向量法证线面平行可以证明直线的一个方向向量与平面内的某一向量是共线平行向量，也可以证明直线的方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题中可选择较简单的解法.题型二 利用空间向量求向量角[例2] 如图，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA1＝2.E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝FB ＝1.(1)求二面角C －DE －C1的正切值； (2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值．[自主解析] (1)以A 为原点，AB u u u r ，AD u u u r ，1AA u u ur 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)，于是DE u u u r＝(3，－3,0)，EC1＝(1,3,2)，FD1＝(－4,2,2)．设n ＝(x ，y,2)为平面C1DE 的法向量，则有⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥DE u u u r n ⊥1EC u u u u r ⇒⎭⎪⎬⎪⎫3x －3y ＝0x ＋3y ＋2×2＝0⇒x ＝y ＝－1， ∴n ＝(－1，－1,2)，∵向量1AA u u u r＝(0,0,2)与平面CDE 垂直，∴n 与AA1所成的角θ为二面角C －DE －C1的平面角或其补角．∵cos θ＝n ·1AA u u u r |n||1AA u u u r |＝－1×0－1×0＋2×21＋1＋4×0＋0＋4＝63，由图知二面角C －DE －C1的平面角为锐角， ∴tan θ＝22. (2)设EC1与FD1所成的角为β，则cos β＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1EC u u u u r ·1FD u u u u r |1EC u u u u r ||1FD u u u u r | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×－4＋3×2＋2×212＋32＋22×－42＋22＋22＝2114.【方法 规律】 求平面的法向量的步骤(1)设出法向量的坐标，一般设为n ＝(x ，y ，z)；(2)建立方程组，即利用平面的法向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直，建立关于x ，y ，z 的方程组．(3)消元，通过加减消元，用一个未知数表示另两个未知数． (4)赋值确定平面的一个法向量．题型三 利用空间向量求空间距离[例3] 在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点，如图所示，求点B 到平面CMN 的距离．[自主解答] 取AC 的中点O ，连接OS 、OB. ∵SA ＝SC ，AB ＝BC ， ∴AC ⊥SO ，AC ⊥BO.∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴SO ⊥平面ABC ，又∵BO ⊂平面ABC ，∴SO ⊥BO. 如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz ， 则B(0,23，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,22)， M(1，3，0)，N(0，3，2)．∴CM u u u u r ＝(3，3，0)，MN u u u u r＝(－1,0，2)， MB u u u r＝(－1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z)为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎨⎧CM u u u u r·n ＝3x ＋3y ＝0，MN u u u u r·n ＝－x ＋2z ＝0，取z ＝1，则x ＝2，y ＝－6，∴n ＝(2，－6，1)． ∴点B 到平面CMN 的距离 d ＝|n ·MB u u u r ||n|＝423. 【方法 规律】求平面α外一点P 到平面α的距离的步骤 (1)求平面α的法向量n ；(2)在平面α内取一点A ，确定向量PA u u u r的坐标；(3)代入公式d ＝|n ·PA u u u r ||n|求解．三．难点解析空间几何体的三视图及其表面积、体积和立体几何的三个难点问题一、空间几何体的三视图及其表面积、体积柱、锥、台、球及其简单组合体，三视图，直观图等内容是立体几何的基础，是研究空间问题的基本载体，也是高考对立体几何考查的一个重要方面，其中几何体的结构特征和三视图是高考的热点．(一)高考对三视图的三个考查角度1．由几何体画三视图或考查对简单几何体的三视图的识别解答此类问题的关键是：一要掌握各种基本几何体的三视图，注意简单组合体的构成；二要熟悉三视图“长对正、高平齐、宽相等”的法则．[例1] 如图所示，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是( )[解析] 结合三视图的画法规则可知B正确．[答案] B2．由三视图还原几何体，考查对空间几何体的认识及空间想象能力．由几何体的三视图还原几何体，一般如下处理：首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状，然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，确定几何体的形状．[例2] 三视图如图所示的几何体是( )A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台[解析] 由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形．[答案] B3．借助于三视图研究几何体的表面积、体积解决此类问题关键是通过三视图确定空间几何体中的几何量的关系其中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．[例3] 如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为2a 的直角三角形，侧视图是半径为a 的半圆，则该几何体的体积是( )A.36πa3 B.3πa3 C.34πa3 D ．23πa3[解析] 由侧视图为半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥，将剖面放置在桌面上，如图，由条件知，半圆锥的母线长为2a ，底面半径为a ，故半圆锥的高为2a2－a2＝3a ，几何体的体积V ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×πa2×3a ＝36πa3.[答案] A(二)求体积的几种方法空间几何体的体积是高考考查立体几何的考点之一，求空间几何体的体积的常用方法主要有：公式法、转化法、割补法．1．公式法：直接根据相关的体积公式计算．[例4] 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为43π，则该正方体的表面积为________．[解析] 依题意知正方体的体对角线长等于球的直径，设球的半径为R ， 则43π＝43πR3，所以R ＝3，于是正方体的体对角线长为2 3. 设正方体的棱长为a ， 则有23＝3a ，于是a ＝2，因此正方体的表面积为6a2＝24.[答案] 242．转化法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高，从而使得体积计算更容易，或是可以求出一些体积比等．[例5] 如图所示，在正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC 与三棱锥P －GAC 体积之比为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．3∶2[解析] 根据三棱锥的特点，可以采用等体积转化的方法解决．法一：如图所示，由于点G 为PB 的中点，故点P ，B 到平面GAC 的距离相等，故三棱锥P －GAC 的体积等于三棱锥B －AGC 的体积，根据三棱锥的特点，所要解决的两个三棱锥的体积之比就等于三棱锥G －ACD 与三棱锥G －ABC 的体积之比，由于这两个三棱锥的高相等，体积之比等于其底面积之比，即△ACD 与△ABC 的面积之比，这个面积之比是2∶1.法二：如图所示，连接BD 交AC 于H ，则点D ，B 到平面GAC 的距离之比等于DH ∶BH ，因为△AHD ∽△CHB ，故DH ∶BH ＝AD ∶BC ＝2∶1，三棱锥D －GAC 与三棱锥B －GAC 底面积相等，故其体积之比等于其高的比，即所求比值是2∶1.[答案] C3．割补法：把不能直接计算其体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可以计算体积的空间几何体，通过这个空间几何体的体积计算所求的空间几何体的体积．[例6] 如图所示，若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )A.26B.23C.33D.23[解析] 如图所示，平面ABCD 把该多面体分割成两个体积相等的正四棱锥．以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该正四棱锥的高是正方体边长的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，V ＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×12×2＝23.[答案] B二、破解高考中立体几何的三个难点问题破解难点一：探究与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心、“切点”或“接点”作出截面图．[例1] 四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为________．[解析] 如图所示，根据对称性，只要在四棱锥的高线SE上找到一个点O使得OA＝OS，则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上．在Rt△SEA中，SA＝2，AE＝1，故SE＝1.设球的半径为r，则OA＝OS＝r，OE＝1－r.在Rt△OAE中，r2＝(1－r)2＋1，解得r＝1，即点O为球心，故这个球的体积是4π3.[答案] 4π3破解难点二：平面图形翻折问题的求解将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称之为平面图形翻折问题．平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键．一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化，解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法．[例2] 如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE 绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③[解析] ①中由已知可得面A′FG⊥面ABC，所以点A′在面ABC上的射影在线段AF上．②∵BC∥DE，且BC⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，∴BC ∥平面A ′DE.③当面A ′DE ⊥面ABC 时，三棱锥A ′FED 的体积达到最大． [答案] C破解难点三：立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要类型有：(1)探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么；(2)探索结论，即在给定的条件下，命题的结论是什么．1．综合法对命题条件的探索常采用以下三种方法： (1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； (3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． 对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设．[例3] (2013·东城模拟)如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)判断EF 与平面ABC 的位置关系并给予证明；(2)是否存在λ，使得平面BEF ⊥平面ACD ，如果存在，求出λ的值；如果不存在，说明理由． [解] (1)EF ⊥平面ABC.因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD ，又在△BCD 中，∠BCD ＝90°，所以BC ⊥CD ， 又AB ∩BC ＝B ，所以CD ⊥平面ABC.又在△ACD 中，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点， 且AE AC ＝AFAD ＝λ(0<λ<1)，∴EF ∥CD. ∴EF ⊥平面ABC.(2)存在．∵CD ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ， ∴BE ⊥CD ，∵∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，∴BD ＝ 2. 在Rt △ABD 中，∠ADB ＝60°， ∴AB ＝BDtan 60°＝6，则AC ＝AB2＋BC2＝7，当BE ⊥AC 时，BE ＝AB ×BC AC ＝67， AE ＝AB2－BE2＝677， 则AE AC ＝6777＝67， 则λ＝AE AC ＝67时，BE ⊥AC ， 又BE ⊥CD ，AC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面ACD.∵BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ACD.所以存在λ，且当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD. 方法2.空间向量法不论是对命题条件还是对命题结论的探索，利用空间向量法均可降低思维难度和计算难度，只要合理建立空间直角坐标系，标出各点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量(根据题中要求可引入参数)，结合结论和已知条件(若有参数则解出参数)，即可得出结果．[例4] (2012·淄博模拟)已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．(1)证明：PF ⊥FD ；(2)判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ；(3)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A －PD －F 的余弦值．[解] (1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，建立如图所示的空间直角坐标系Axy z ，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)不妨令P(0,0，t)，则PF u u u r ＝(1,1，－t)，DF u u u r ＝(1，－1,0)，∴PF u u u r ·DF u u u r ＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，即PF ⊥FD.(2)存在，设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，由⎩⎨⎧ n ·PF u u u r ＝0，n ·DF u u u r ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0，令z ＝1，解得x ＝y ＝t 2. ∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 2，1. 设G 点的坐标为(0,0，m)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0， 则EG u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，m ， 要使EG ∥平面PFD ，只需EG u u u r ·n ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×t 2＋0×t 2＋m ×1＝m －t 4＝0， 得m ＝14t ，从而满足AG ＝14AP 的点G 即为所求． (3)∵AB ⊥平面PAD ，∴AB u u u r 是平面PAD 的法向量，易得AB u u u r ＝(1,0,0)．又∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角，得∠PBA ＝45°，则PA ＝1，平面PFD 的法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1， ∴cos 〈AB u u u r ，n 〉＝AB u u u r ·n | AB u u u r ||n|＝1214＋14＋1＝66， 从而二面角A －PD －F 的余弦值为66.。
正方形立体几何结合高二知识点
正方形立体几何结合高二知识点在高二几何学中，立体几何是一个重要的知识点。
而正方形是一种特殊的四边形，它具有许多独特的性质。
本文将介绍正方形在立体几何中的应用，以帮助读者更好地理解该知识点。
正方体是一种由正方形构成的立体图形。
它的六个面都是正方形，每个面都有相同的边长。
正方体具有许多有趣的性质和特点。
首先，正方体的对角线是相等的，由于正方形的对角线相等的性质，正方体的对角线也具有相等的长度。
此外，正方体的表面积和体积也是我们需要了解的重要知识点。
正方体的表面积可以通过将六个正方形的边长相加得到。
假设正方体的边长为a，则它的表面积为6a^2。
而正方体的体积等于边长的立方，即a^3。
这些公式可以帮助我们计算任意正方体的表面积和体积。
除了正方体，正方形还可以应用在其他立体图形中。
例如，正方形可以用来构建棱锥、棱台和棱柱等立体图形。
当正方形作为底面时，它们的性质和计算方法与正方体类似。
通过了解正方形在不同立体图形中的应用，我们可以更好地理解和计算这些图形的性质。
除了立体图形，正方形还与其他高二数学知识点相关联。
例如，正方形的对角线和边长之间存在特定的关系，可以利用勾股定理进行计算。
假设正方形的边长为a，则它的对角线长度可以由公式d = a√2计算得出。
这个关系对于解决各种与正方形相关的问题非常有用。
另一个与正方形相关的高二知识点是平行四边形的面积计算。
平行四边形可以看作两个相等的正方形组成，因此可以将平行四边形的面积公式简化为正方形的公式。
假设平行四边形的底边长为a，高为h，则它的面积为a*h，这与正方形的面积计算方法相同。
正方形立体几何结合高二知识点的应用非常广泛。
通过深入研究正方形的性质和特点，我们可以更好地理解和应用高二数学中的相关知识。
掌握正方形在立体几何中的应用，将有助于我们解决各种与正方形和其他立体图形相关的问题。
总结起来，正方形在立体几何中具有独特的应用，包括构建正方体和其他立体图形、计算表面积和体积、以及与其他高二知识点的相关性。
2023-2024学年高二数学单元速记——空间向量与立体几何(知识归纳+题型突破)(解析版)
第一章空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破）1.能够理解空间向量的概念,运算、背景和作用;2.能够依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力;3.能够掌握空间向量基本定理,体会其作用,并能简单应用;4.能够运用空间向量解决一些简单的实际问题，体会用向量解决一类问题的思路.一、空间向量的有关概念1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．2、几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a- 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量二、空间向量的有关定理1、共线向量定理：对空间任意两个向量,(0)a b b ≠ ，a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．（1）共线向量定理推论：如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a的直线,那么对于空间任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP OA ta =+ ①，若在l 上取AB a = ，则①可以化作：OP OA t AB=+（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点O ，空间中三点,,P A B 共线的充要条件是OP OA AB λμ=+，其中1λμ+=2、共面向量定理如果两个向量,a b 不共线，那么向量p 与向量,a b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)x y ，使p xa yb=+ （1）空间共面向量的表示如图空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(,)x y ，使AP xAB yAC =+．或者等价于：对空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内（,,,P A B C 四点共面）的充要条件是存在有序实数对(,)x y ，使OP OA xAB y AC =++，该式称为空间平面ABC 的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．（2）拓展对于空间任意一点O ，四点,,,P C A B 共面（其中,,C A B 不共线）的充要条件是OP xOC yOA zOB =++（其中1x y z ++=）．3、空间向量基本定理如果向量三个向量,,,a b c 不共面，那么对空间任意向量,p 存在有序实数组{},,,x y z 使得.p xa yb zc =++三、空间向量的数量积1、空间两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作 OA a = ，OB b =，则么AOB ∠叫做向量,a b的夹角，记,a b <>.（2）范围：[],0,a b π<>∈r r．特别地，（1）如果,2a b π<>= ，那么向量,a b 互相垂直，记作a b ⊥ ．(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π，故a,b 0<>=(或a,b π<>= )//a b ⇔ (,a b为非零向量)．(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0 与任何向量a都是共线的，即0a ．两非零向量的夹角是唯一确定的．（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）若两个向量,a b所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为θ，(1)向量夹角的范围是0<<,a b ><π，异面直线的夹角θ的范围是0<θ<2π，(2)当两向量的夹角为锐角时，,a b θ=<>；当两向量的夹角为2π时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，,a b θπ=-<>.2、空间向量的数量积定义：已知两个非零向量a ，b ，则||||cos ,a b a b <> 叫做a ，b 的数量积，记作a b ⋅；即||||cos ,a b a b a b ⋅=<>．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.3、向量a的投影3.1．如图(1)，在空间，向量a 向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，||cos ,||bc a a b b =<>向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l 投影(如图(2))．3.2．如图(3)，向量a 向平面β投影，就是分别由向量a的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A '，B '，得到A B '' ，向量A B '' 称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a ，A B ''的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．4、空间向量数量积的几何意义：向量a ，b 的数量积等于a 的长度||a 与b 在a方向上的投影||cos ,b a b <> 的乘积或等于b的长度||b 与a 在b方向上的投影||cos ,a a b <> 的乘积.5、数量积的运算：（1）()()a b a b λλ⋅=⋅，R λ∈.（2）a b b a ⋅=⋅(交换律)．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(分配律).四、空间向量的坐标表示及其应用设123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，空间向量的坐标运算法则如下表所示：数量积a b a b a b a b ⋅=112233＋＋共线（平行）(0)a b b ≠ ()112233a b a b a b R a bλλλλλ=⎧⎪⇔=⇔=∈⎨⎪=⎩ 垂直a b ⊥⇔11223300a b a b a b a b ⋅=⇔++= （,a b 均为非零向量）模22222||||a a a a a a ===++123，即222||a a a a =++123 夹角cos ,a b <>=112233222222123123a b |a ||b |a b a b a b a a a b b b ++⋅=++++五、直线的方向向量和平面的法向量1、直线的方向向量如图①,a 是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB a =,设P 是直线l 上的任意一点,则点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得AP ta = ，即AP t AB=2、平面法向量的概念如图，若直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，我们称a 为平面α的法向量；过点A 且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{|0}P a AP ⋅=．3、平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:设向量：设平面α的法向量为(,,)n x y z =选向量：选取两不共线向量,AB AC列方程组：由00n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩列出方程组解方程组：解方程组0n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1)得结论：得到平面的一个法向量.六、空间位置关系的向量表示七、向量法求空间角1、异面直线所成角设异面直线1l 和2l 所成角为θ，其方向向量分别为u ，v；则异面直线所成角向量求法：①cos ,||||u vu v u v ⋅<>=；②cos |cos ,|u v θ=<> 2、直线和平面所成角设直线l 的方向向量为a ，平面α的一个法向量为n，直线l 与平面α所成的角为θ，则①cos ,||||a na n a n ⋅<>=；②sin |cos ,|a n θ=<> .3、平面与平面所成角（二面角）（1）如图①，AB ，CD 是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小,AB CD θ=<>．（2）如图②③，1n ，2n分别是二面角l αβ--的两个半平面,αβ的法向量，则二面角的大小θ满足：①121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=；②12cos cos ,n n θ=±<>若二面角为锐二面角（取正），则12cos |cos ,|n n θ=<>；若二面角为顿二面角（取负），则12cos |cos ,|n n θ=-<>；（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）八、向量法求距离（2）两条平行直线之间的距离求两条平行直线l ，m 之间的距离，直线m 的距离.（3）求点面距，（4）线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解直线a与平面α之间的距离：两平行平面,αβ之间的距离：d题型一空间关系的证明BM平面ADEF；(1)求证：//(2)求证：BC⊥平面BDE．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）通过中位线得到线线平行，利用判定定理可证或利用法向量证明线面平行；（2）利用面面垂直的性质得到线面垂直，结合线面垂直的判定可证或利用直线的方向向量与平面的法向量平行可证.【详解】（1）解法一：证明：取DE 中点N ，连结AN ，MN ，由三角形中位线性质可得//MN CD 且12MN CD =，又因为//AB CD 且12AB CD =，所以//MN AB 且MN AB =，所以ABMN 是平行四边形，所以//BM AN ，又AN ⊂平面ADEF ，BM ⊄平面ADEF ，所以//BM 平面ADEF ．解法二：证明：因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，又DC ⊂平面ABCD ，所以DE DC ⊥．如图，以D 为原点，以DA，DC ，DE 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()()()()()2,2,00,4,00,0,00,0,20,2,1B C D E M ，，，，．因为(2,0,1)BM =-，易知(0,1,0)n =' 为平面ADEF 的一个法向量．因此0BM n '⋅=，所以BM n '⊥ ．又BM ⊄平面ADEF ，所以//BM 平面ADEF ．（2）解法一：证明：因为BD =，BC =4CD =，所以222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥．因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以DE BC ⊥．又BD DE D ⋂=，,BD DE ⊂平面BDE ，所以BC ⊥平面BDE ．解法二：由（1）可得(2,2,0)DB = ，(0,0,2)DE = ，(2,2,0)BC =-．设平面BDE 的一个法向量(,,)n x y z = ，则22020n DB x y n DE z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，得10y z =-=，，所以(1,1,0)=-n 是平面BDE 的一个法向量．因此2BC n =-，所以BC ⊥平面BDE ．反思总结证明平行、垂直关系的方法可以运用传统方法也可以运用空间向量。
高二数学学科知识点汇总
高二数学学科知识点汇总一、函数与方程1. 实数与复数1.1 实数的性质和运算法则1.2 复数的定义和运算法则2. 一元二次函数2.1 一元二次函数的定义和性质2.2 一元二次方程的解法及应用3. 二次函数与二次方程3.1 二次函数的图像与性质3.2 二次函数的最值和零点3.3 二次方程的解法和应用4. 指数与对数函数4.1 指数函数的定义和性质4.2 对数函数的定义和性质4.3 指数方程和对数方程的解法5. 三角函数与三角方程5.1 三角函数的定义和性质5.2 三角函数的图像和变换5.3 三角方程的解法及应用二、空间与立体几何1. 空间几何基本概念1.1 空间几何的公理与定理1.2 点、线、面及其相互关系2. 空间图形的性质与分类2.1 线段、角的性质与分类2.2 三角形的性质与分类2.3 四边形的性质与分类3. 空间立体图形3.1 平行线与平面的关系3.2 空间中的立体图形与四面体3.3 空间中的立体图形与棱柱、棱锥、圆锥、球等4. 空间的解析几何4.1 三维坐标系的表示和应用4.2 空间点、线、面的位置关系和距离计算4.3 空间几何问题的解析几何方法三、概率与统计1. 随机事件与概率1.1 随机事件的概念与性质1.2 概率的定义和计算1.3 互斥事件与对立事件2. 随机变量与概率分布2.1 随机变量的定义和分类2.2 离散型随机变量及其概率分布2.3 连续型随机变量及其概率密度3. 统计与抽样调查3.1 总体与样本的概念3.2 随机抽样与抽样分布3.3 参数估计与假设检验4. 统计图与图表解读4.1 统计图的图示和构造4.2 图表解读与数据分析四、解析几何与向量代数1. 平面解析几何1.1 平面的一般方程和法线方程1.2 点、直线和圆的位置关系1.3 直线与平面的交线问题2. 空间解析几何2.1 空间的一般方程和法线方程2.2 空间曲线的方程和参数方程2.3 空间的平面与直线的位置关系3. 向量代数基础知识3.1 向量的概念与性质3.2 向量的坐标表示和运算法则3.3 向量的数量积和向量积4. 向量的应用4.1 向量与几何运动4.2 向量与平面图形的性质4.3 向量与立体几何的应用五、数列与数学归纳法1. 数列的基本概念1.1 数列的定义和性质1.2 数列的分类和常用记号2. 等差数列与等比数列2.1 等差数列的性质和通项公式2.2 等比数列的性质和通项公式2.3 等差数列与等比数列的应用3. 数学归纳法3.1 数学归纳法的基本原理3.2 利用数学归纳法证明不等式和恒等式3.3 利用数学归纳法解决应用问题文章到此结束，内容涵盖了高二数学学科的重要知识点，通过对每个知识点的介绍和讲解，使读者能够全面了解和掌握这些知识，提升数学学科的学习效果和成绩。
高二数学立体几何知识点_立体图形公式_立体几何学习方法
高二数学立体几何知识点_立体图形公式_立体几何学习方法立体几何方是高中数学的重要知识点，那么你知道立体几何知识点和立体图形公式有哪些吗今天，店铺为大家整理了立体几何知识点和立体图形公式，欢迎阅读。
高二数学立体几何知识点1.位置关系：(1)两条异面直线相互垂直证明方法：①证明两条异面直线所成角为90o;②证明线面垂直，得到线线垂直;③证明两条异面直线的方向量相互垂直。
(2)直线和平面相互平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行;②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行;③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。
(3)直线和平面垂直证明方法：①证明直线和平面内两条相交直线都垂直，②证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直;③证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行,高考。
(4)平面和平面相互垂直证明方法：①证明这两个平面所成二面角的平面角为90o;②证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面;③证明两个平面的法向量相互垂直。
2.求距离：求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
(1)两条异面直线的距离求法：利用公式法。
(2)点到平面的距离求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
②等体积法。
③向量法。
3.求角(1)两条异面直线所成的角求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得;②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。
(2)直线和平面所成的角求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
②向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为或。
(3)平面与平面所成的角求法：①“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。
高二数学立体几何知识点
第1章 空间几何体11 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图11 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=5 球的表面积24R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ⨯=底2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31下下上上（4球体的体积 334R V π=第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈L222r rl S ππ+= D C B A αLA·αB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
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高二数学立体几何知识点总结
高二数学立体几何知识点
1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
能够用斜二测法作图。
2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念;
会求异面直线所成的角和异面直线间的距离;证明两条直线是异面直线一般用反证法。
3.直线与平面
①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。
②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。
③直线与平面垂直的证明方法有哪些?
④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是
⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理.三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.
4.平面与平面
(1)位置关系：平行、相交，(垂直是相交的一种特殊情况)
(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。
(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。
尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。
(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→
(5)二面角。
二面角的平面交的作法及求法：
①定义法，一般要利用图形的对称性;一般在计算时要解斜三角形;
②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。
③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法。