历年西安交通大学概率论与数理统计试题及答案-精品合集

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交大概率统计2008-2009-1期末考试含答案

一。

单项选择题（每题3分，共18分）1．设A 与B 为随机事件，且1)(0<<A P ，0)(>B P ，)|(1)|(A B P A B P -=则必有（）（Ａ）)|()|(B A P B A P =；（Ｂ）)|()|(B A P B A P ≠；（Ｃ）)()()(B P A P AB P =；（Ｄ）)()()(B P A P AB P ≠。

2．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则X e Y 21-=服从（）（A ）泊松分布；（B ）指数分布；（C ）正态分布；（D ）均匀分布。

3．设)(321X X X ，，是取自总体)10(~，N X 的样本，以下数学期望)(X E 的点估计中最有效的是（）(A)321313131X X X ++； (B) 321414121X X X ++； (C) 321412121X X X ++； (D) 321414141X X X ++。

4．设二维随机变量)0;9,2;4,1(~),(N Y X ，则)2(22Y X E -=（）（Ａ）21；（Ｂ）－21；（Ｃ）5；（Ｄ）－7。

5．设),(~2σμN X ，且2σ未知，则μ的置信度为95.0的置信区间为（）(A) )(025.0t nS X ±； (B) )(025.0t nX σ±；(C) )(025.0Z nS X ±； (D) )(025.0Z nX σ±。

6．设随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从均匀分布)1,0(U , 则以下随机变量中仍服从均匀分布的随机变量是（）)(A Y X Z +=； )(B Y X Z -=； )(C ),(Y X ； )(D ),(2Y X 。

二．填空题（每题3分，共18分）7．已知3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，则)(--B A P = 。

8．已知n X X X ,,,21 是取自于总体X 的样本，则ini i Xk Y ∑==1是)(X E 的无偏估计的充分必要条件为。

历年西安交通大学概率论与数理统计试题及答案资料

2(0,)N σ15)X 是来自225122156)X X X ++++服从的分布是___ 机变量X 服从数为λ的]2)1=，则λ= 设两个随机变量X 与Y 的方差分别为共 4 页第 1 页共4 页第2 页,)X为来自总体n求（1）θ的矩估计；(10分)设ˆθ是一定是θ的相合估计。

共4 页第3 页共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ）课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日(200,169)N 180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰1X θ=+,得1()(nk f θ==∏,),n1,,),n 当0,)nln k x ∑，求导得似然方程0=其唯一解为2，故θ的极大似然估优于页1(1,F n -(24,19)=0.429,21.507≈∈2的条件下，进一步检验假设：2μ<。

选取检验统计量12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任个人在不同楼层走出电梯的概2=-1Xe-5,,X 都服从参数为分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。

分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为且每天出售的汽车数是相互独立的，西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、1exp(),5 X2 (5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第,n1n-第 1页1,2,,5min {k X 5,0,x e λ--0,x > exp(5)λ,365,(3652,365iN ⨯⨯3652)3652-⨯=⨯七、()E X dx θθ==+1X θθ=+2⎪⎫； 1)(ni θ==∏()ln nθθ= 第 2 页(0,1)N 的样本9,)X 是来自正态总体N 的置信区间为分）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有1,2,,n.设各部件的状态相互独立，以转中同时需要调整的部件数，求(E X,)X是来自总体的一组样本nˆμ,它是否是的极大似然估计量*μ，它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)n，则X,nX相互独立，1,2,i n= ()E X=()D X: (1)0x y<<<⎰⎰10000,X独立同分布，1,2,n ，因此当,)n x 中最小值时，的极大似然估计量为 ,}n X 2,}n X X 分布函数是1(1(X F z --，分布密度是((Z x f z μμ>≤ ()n x nxe dx μ--=12min{,,}n X X X 不是统计量X T S -=代入数据()Pλ，且已知{(,)=G x y，X）为来自总体服从参数为…,n，λ>服从以λ(0)求该样本的联合密度函数共2 页第1 页5,,X 是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为：，试求5,,)Y X =的数学期望和方差。

西安交大西工大考研备考期末复习概率论与数理统计习题课

12. 条件概率
设 A, B 是两个事件,且 P(B) 0, 称 P( A | B) P( AB) P(B)
为在事件B 发生的条件下事件A发生的条件概率.
A AB B
13. 乘法定理
设 P( A) 0, 则有 P( AB) P(B A)P( A). 设 A, B,C 为事件,且 P( AB) 0, 则有
2 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件
① A与 B；
② A 与 B；
③ A 与 B.
18. 独立试验序列概型
设{Ei }(i=1,2,…)是一列随机试验,Ei的样本空间为i ,设Ak 是Ek 中的任一事件,Ak k , 若Ak出
现的概率都不依赖于其它各次试验Ei (ik)的结果,
则称{Ei } 是相互独立的随机试验序列,简称独立试验序列.
(2) 问：哪个系统的可靠性更大？
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解设 Ai {第i个元件正常工作}, 则 P( Ai ) r
i 1,2,n 设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
j 1
称此为贝叶斯公式.
i 1,2,, n.
16.四个公式之间的联系
条件概率 P(B A) P( AB) P( A)
全概率公式
乘法定理
P( AB) P( A)P(B A)
P(A) P(B1)P(A B1) P(B2 )P(A B2) P(Bn)P(A Bn)
贝叶斯公式
P ( Bi
A)

概率论

e , x ≥ 0; f X ( x) = 0, x < 0. …………………………………….2 分六、解：（1） f X ( x) =e dy =
x −y fY ( y ) = ye − y , y > 0; fY ( y ) = 0, y ≤ 0 ……………………………………..4 分 ∫ e dx = 0 y
= P ( B A)
=
P( A B) P( B) P ( AB) 。……………………………………………….6 分 = P ( A) P( A B) P( B) + P( A B) P( B)
0.8 × 0.3 0.24 12 = = ≈ 0.2553 …………………………………………………………..7 分 1× 0.7 + 0.8 × 0.3 0.94 47
3 2 x , 0 < x <θ f ( x ) = θ 3 其他 0,
，其中 θ
> 0 是未知参数，
X 1 , , X n 为来自总体 X 的样本，求 θ 八、(7 分)设随机变量 X
与 Y ，且
的矩估计量和极大似然估计量.
= X + Y 的概率密度函 X N ( µ ,σ 2 ) ，Y U [ −π ,π ] ，求 Z
则 g ( x ) 必可充当某一连续型随机变量的密度函数。（（（（（（））））））
∫
b
a
g ( x )dx = 1 。
（）
8．设 P( AB ) > 0 ,则事件 A 和 B 相互独立的充要条件为 P ( A | B ) + P ( A | B ) = 1 。 9．假设检验中犯第 II 错误的概率是指 β = P ( 接受H 1 H 1为伪 ) 。

西安交通大学-数理统计课后题答案

D( X ) D(
E (S 2 ) E (
(2) 泊松分布 P ( )
E( X ) ,
D( X )
, n
均匀分布 U (a, b)
E( X )
ba , 2
D( X )
b a )2 , 12n
E (S 2 )
n! F ( y ) F ( x)n11 1 F ( y )0 f ( x) f ( y ) (n 1 1)
2 2 n2
＝ n( n 1)( y x )
2
2x 2 y
0<x<y<1
= 4n( n 1) xy ( y x ) 对于其他 x,y，有 f (1)( n ) ( x, y ) 0
1
3
1 ( x e 2 , ( x ) 2

( xk 1 2 e k 1 所以, f ( x1 , x2 , x3 ) ,其中 xk ; k 1, 2,3 32 (2 )
ln xi u 1 2 2 e ,0 x i 1.4 解：由题意可得： f ( xi ) x 2 i 0，其它
习题 1
1.1 解：由题意 p x u 1 0.95 可得：

n x u p 0.95 n n x u ~ N 0,1 而

n 1 x u 这可通过查 N(0,1)分布表， p 0.95 (1 0.95) 0.975 2 n
i 1 n i 1
i
~ (na, ; 1 Y ,由求解随机变量函数的概率密度公式可得 n

西安交大概率论试题(13-16含答案)

三（ 1） f X ( x )
f ( x , y) dy
y
6(1 x
y ) dy, 0
0, 其它， f Y ( y) f ( x , y) dx
0
0, 其它， y 1, 6 y( 1 y ), 0 y 1, (6 分 )
6(1
y) dx , 0
0, 其它，（ 2）因为 f X ( x ) f Y ( y) （ 3） P{ X Y 1} 1
XY
0.5 ，求 D ( 2 X
3Y
5) .
7. 设 ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) 是来自总体 X ～ N (0 ,1) 的简单随机样本，问 1 3
2
Y
( X1
X2
X 3)
1 2
(X4
X5)
2
服从什么分布？
二（ 8 分）袋中装有 m 只正品硬币， n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷率是多少？
西安交通大学考试题 (A)
课
学
成绩
程概率论与数理统计
院考试日期 2014 年 6 月 22 日
专业班号姓名 5 分，共 35 分） 1 ， P (B ) 3 1 ， P (C ) 2 1 ，求 4 学号期末
一、解答题（每小题
4 25 12 ( 0.5) 5 3 9 9 7. 因为， Y 1 3 (X 1 X2 X 3 ) ~ N (0,1),
(5 分 )
(X 4
X 5 ) ~ N (0,1) ，
所以， Y
1 3
( X1
X2
X3)
2
1 2
(X 4

交通大学概率论与数理统计第二学期期末考试试卷5及答案

交通大学2014~2015学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）一．（本题满分8分）一间宿舍住有6位同学，求这6位同学中至少有2位同学的生日在同一月份的概率．解：设=A “6位同学的生日至少有两位在同一月份”，则 =A “6位同学的生日都在不同的月份”，所以()()7771990741.02985984665280112116612=-=-=-=P A P A P ．二．（本题满分8分）验收一批共有60件的产品．按照验收规则，随机抽取3件，只要3件中有一件是不合格品，就拒收整批产品．设验收时不合格品被误判为合格品的概率为0.03；而合格品被误判为不合格品的概率为0.01．如果这60件产品中有3件为不合格品，问这批产品被接收的概率是多少？解：设：{}这批产品被接收=A{}件是不合格品件产品中有抽取的i B i 3= ()3210，，，=i 则由全概率公式，得 ()()()i i i B A P B P A P ∑==3()()()()()3360573323601572333602571333603570303.001.0103.001.0103.001.01⋅+-⨯⋅+-⨯⋅+-⋅=C C C C C C C C C C C C 8338.0=三．（本题满分8分）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船的停泊时间是3小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？解：设甲船于X 时到达码头，乙船于Y 时到达码头．则240,240≤≤≤≤Y X ．并且X 与Y 相互独立．甲、乙两船的到达时刻()y x ,与平面中区域(){}240,240,≤≤≤≤=y x y x D ：中的点一一对应．设=A “甲乙两船中任何一艘都不需要等候码头空出．” 则随机事件A 发生当且仅当3≥-X Y 或者2≥-Y X ．因此随机事件A 与平面区域(){}2,3,-≤-≥-=x y x y y x D A 或者：中的点一一对应．所以，()()802951388.024222121222=+⨯==的面积的面积A D D A P ．四．（本题满分8分）设随机变量X 服从区间()b a ,上的均匀分布，并且()3=X E ，()34=X D ，试求常数a 与b ．解：因为随机变量X 服从区间()b a ,上的均匀分布，所以()2ba X E +=，()()122a b X D -=．由题设条件()3=X E ，()34=X D ，得方程组 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+3412322a b ba ，解此方程组，得1=a ，5=b ．五．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0002222x x ex x f x σσ ，其中0>σ为常数，求()nX E ，（n 为正整数）（结果用Γ函数表示）．解：()()⎰⎰⎰+∞-++∞-+∞∞-=⋅==2122222221dx e x dx e xxdx x f x X E x n x nn n σσσσ．作变量替换222σx u =，则u x 222σ=，u x ⋅=σ2，dx x xdx du 2222σσ==．当0=x 时，0=u ；当+∞→x 时，+∞→u ．代入上式，得 ()()⎰+∞-=022du eu XE un nσ()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ===⎰⎰+∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞-12222220112220222n du e udu eu nu n n unn σσσ．六．（本题满分9分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧<<<=其它010,2x y y cx y x f ， ⑴ 求常数c （3分）；⑴ 求随机变量X 的边缘密度函数()x f X （4分）；⑶ 求随机变量Y 关于X 条件密度函数()x y f XY（2分）．解：⑴ 由联合密度函数的性质，有()1,=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，因此()102,11040210cdx x c ydy cx dx dxdy y x f x====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-，所以，10=c ． ⑵ 当10<<x 时， ()()402510,x ydy x dy y x f x f xX ===⎰⎰+∞∞-所以随机变量X 的边缘密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它1054x x x f X ．⑶ 当10<<x 时，()054>=x x f X ，因此当10<<x 时，()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它02,2x y x yx f y x f x y f X X Y七．（本题满分9分）设二维随机变量()Y X ，服从矩形(){}1020,≤≤≤≤=y x y x D ，：上的均匀分布．记：⎩⎨⎧>≤=YX YX U 10 ⎩⎨⎧>≤=Y X Y X V 2120 试求U 与V 的相关系数V U ,ρ；（7分）并判断U 与V 是否相互独立？（2分）解：由题意可得 {}41=≤Y X P ， {}212=>Y X P ， {}412=<<Y X Y P ，所以，{}{}{}41200=≤=≤≤===Y X P Y X Y X P V U P ，，，{}{}()0210=∅=>≤===P Y X Y X P V U P ，，， {}{}{}41201=≤<=≤>===Y X Y P Y X Y X P V U P ，，， {}214141111=--===V U P ，， ()V U ，的联合分布律及各自的边缘分布律为所以，()43=U E ，()163=U D ，()21=V E ，()41=V D ．又 ()21=UV E ，所以，()()()()()()81214321cov =⨯-=-=V E U E UV E V U ， ()314116381cov ,=⨯==DVDU V U V U ，ρ 由于0≠ρ，所以U 与V 相关，从而U 与V 不独立．八．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，分别服从参数为1λ与2λ的Poisson 分布．试求随机变量Y X Z +=的分布律；解：X 的分布律为 ()1!1λλ-==e k k X P k() ，，，210=kY 的分布律为 ()2!2λλ-==e k k Y P k () ，，，210=k所以，Y X Z +=的取值为，，，210，并且 ()(){}∑=-====+==nk k n Y k X P n Y X P n Z P 0，{}{}∑=-===nk k n Y P k X P 0()∑=----=nk k n ke k n ek 02121!!λλλλ()()∑=-+--=n k kn k k n k n n e 021!!!!21λλλλ()()21!21λλλλ+-+=en n 即Y X Z +=的分布律为{}()()21!21λλλλ+-+==en n Z P n () ，，，210=n九．（本题满分8分）一报刊亭出售4种报纸，它们的价格分别为8.1,5.1,0.1,6.0（元），而且每份报纸售出的概率分别为1.0,35.0,3.0,25.0．若某天售出报纸400份，试用中心极限定理计算该天收入至少450元的概率．标准正态分布()1,0N 的分布函数()x Φ的值：解：设k X ：该天售出第k 份报纸的收入．()400.,2,1 =k 则k X 的分布律为()155.11.08.135.05.13.00.125.06.0=⨯+⨯+⨯+⨯=k X E ， ()5015.11.08.135.05.13.00.125.06.022222=⨯+⨯+⨯+⨯=k X E ，所以，()()()[]167475.0155.15015.1222=-=-=k k k X E X E X D令X 表示该天的总收入，则有 ∑==4001k k X X ．由独立同分布场合下的大数定律，有{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯⨯-≥⨯⨯-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=≥∑∑==167475.0400155.1400450167475.0400155.140045045040014001k k k k X P X P X P()9292.0466.11466.1167475.0400155.140014001=-Φ-≈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<⨯⨯--=∑=k k X P ．十．（本题满分9分）设总体X 存在二阶矩，记()μ=X E ，()2σ=X D ．()n X X X ,,,21 是取自该总体的一个样本，2S 是样本方差．计算()2SE ．解：()()()⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑==n i in i i X X E n X X n E SE 121221111 ()()()⎪⎭⎫⎝⎛----=∑=n i i X X E n 1211μμ()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--=∑=n i i i X X X X E n 122211μμμμ()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--=∑∑==n i n i i i X X X n X E n 1122211μμμμ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----=∑=n i i X n X E n 12211μμ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----=∑=n i i X nE X E n 12211μμ()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----=∑=n i i i X E X nE X E X E n 12211()()⎪⎭⎫⎝⎛--=∑=n i i X nD X D n 111()2221221111σσσσσ=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=∑=n n n n n n i 十一．（本题满分8分）设总体X 的密度函数为()()1;+-=θθθθx c x f ， ()c x >．其中0>c 是已知参数，而1>θ是未知参数．()n X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，求未知参数θ的矩估计量．解：()()()11111-=-⋅==⋅==-+∞-+∞+-+∞∞-⎰⎰⎰θθθθθθθθθθθθcc c dx x c dx xc x dx x xf X E cc，解方程 ()1-=θθcX E ，得 ()()c X E X E -=θ．将()X E 用样本均值X 替换，得参数θ的矩估计量为cX X-=θˆ．十二．（本题满分9分）设总体X 服从指数分布，其概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex f xθθ，()n X X X ,,,21是取自该总体中的一个样本．⑴ 求出统计量()i n i X X ≤≤=11min 的密度函数()()x f 1，并指出该分布是什么分布？（5分）⑵ 求常数a ，使得i ni X a T ≤≤=1min 为θ的无偏估计（4分）．解：① 由于总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex f xθθ，因此其分布函数为 ()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤==-∞-⎰0100x ex dt t f x F x xθ ．所以()i ni X X ≤≤=11min 的密度函数为()()()()()θθθθθnxxn xn enee n xf x F n x f -----=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=11111，()0>x ．即随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为nθ的指数分布．② 由于随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为nθ的指数分布，所以()()()n X E X E i n i θ==≤≤11min ．所以，若使()()()θθ=⋅==≤≤n a X aE X E i n i 11min ，只需取n a =即可．即若取n a =，即i ni X n T ≤≤=1min ，则T 是未知参数θ的无偏估计量．。

统计西安交大期末考试试题（含答案）

统计西安交⼤期末考试试题（含答案）西安交⼤统计学考试试卷⼀、单项选择题（每⼩题2 分，共20 分）1.在企业统计中，下列统计标志中属于数量标志的是（C）A、⽂化程度B、职业C、⽉⼯资D、⾏业2.下列属于相对数的综合指标有（B ）A、国民收⼊B、⼈均国民收⼊C、国内⽣产净值D、设备台数3.有三个企业的年利润额分别是5000 万元、8000 万元和3900 万元，则这句话中有（B）个变量？A、0 个B、两个C、1 个D、3 个4.下列变量中属于连续型变量的是（A ）A、⾝⾼B、产品件数C、企业⼈数D、产品品种5.下列各项中，属于时点指标的有（A ）A、库存额B、总收⼊C、平均收⼊D、⼈均收⼊6.典型调查是（B ）确定调查单位的A、随机B、主观C、随意 D 盲⽬7.总体标准差未知时总体均值的假设检验要⽤到（A ）：A、Z 统计量B、t 统计量D、X 统计量8.把样本总体中全部单位数的集合称为（A ）A、样本B、⼩总体C、样本容量D、总体容量9.概率的取值范围是p（D ）A、⼤于1B、⼤于－1C、⼩于1D、在0 与1 之间10.算术平均数的离差之和等于（A ）A、零B、1C、－1D、2⼆、多项选择题（每⼩题2 分，共10 分。

每题全部答对才给分，否则不计分）1.数据的计量尺度包括（ABCD ）：A、定类尺度B、定序尺度C、定距尺度D、定⽐尺度E、测量尺度2.下列属于连续型变量的有（BE ）：A、⼯⼈⼈数B、商品销售额C、商品库存额D、商品库存量E、总产值3.测量变量离中趋势的指标有（ABE ）A、极差B、平均差C、⼏何平均数D、众数4.在⼯业企业的设备调查中（BDE ）A、⼯业企业是调查对象B、⼯业企业的所有设备是调查对象C、每台设备是填报单位D、每台设备是调查单位E、每个⼯业企业是填报单位5.下列平均数中，容易受数列中极端值影响的平均数有（ABC ）A、算术平均数B、调和平均数C、⼏何平均数D、中位数E、众数三、判断题（在正确答案后写“对”，在错误答案后写“错”。

《概率论与数理统计》习题册答案(西农版).

第一章随机事件与概率§1.1 随机试验随机事件一、选择题1.设 B 表示事件“甲种产品畅销” ， C 表示事件“乙种产品滞销” ，则依题意得 A=BC .于是对立事件 A B C甲产品滞销或乙产品畅销，故选 D.2. 由 A B B A B B A AB，故选 D.也可由文氏图表示得出.二写出下列随机试验的样本空间1. 3,4，，20 2 0,100 3.{( x, y, z) | x0, y0, z0, x y z 1}, x, y, z 分别表示折后三段长度。

三、（ 1）任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验，易知共有 6 个不同的结果 . 设试验的样本点i" 出点 i点 "， i1,2,3,4,5,6 ；则 A2, 4,6， B 3 ,6（2）A1,3,5，B1,2,4,5，A B2,3,4,6，AB6，A B 1 , 5四、（ 1） ABC ；（ 2） ABC ；（ 3）“ A、B 、C不都发生”就是“A、B、C 都发生”的对立事件，所以应记为ABC （； 4）A B C （； 5“） ABC、、中最多有一事件发生”就是“ A、B、C中至少有二事件发生”的对立事件，所以应记为：AB AC BC .又这个事件也就是“ A、 B、C 中至少有二事件不发生”，即为三事件AB、 AC、BC 的并，所以也可以记为AB AC BC.§ 1.2随机事件的概率一、填空题1. 试验的样本空间包含样本点数为10 本书的全排列10！，设A指定的 3本书放在一起，所以 A 中包含的样本点数为8! 3!，即把指定的 3 本书捆在一起看做整体，与其他三本书全排，然后这指定的 3 本书再全排。

故 P( A)8! 3! 1 。

10!152. 样本空间样本点 n 7! 5040 ，设事件A表示这7 个字母恰好组成单词SCIENCE ，则P( A)2!2!1 7!1260二、求解下列概率1.C520.36C31C75 5! C31 A750.375 (1); (2)A86C82C86 6!2.A1240.4271 14123. 由图 1.1 所示，样本点为随机点M 落在半圆0y2ax x2 ( a为正常数 ) 内，所以样本空间测度可以用半圆的面积S 表示。

交通学院概率论与数理统计教程答案

概率论与数理统计第一章随机事件及其概率第三节事件的关系及运算一、选择1.事件AB 表示（ C ）（A ）事件A 与事件B 同时发生（B ）事件A 与事件B 都不发生（C ）事件A 与事件B 不同时发生（D ）以上都不对2.事件B A ,，有B A ⊂，则=B A Y （ B ）（A ） A （B ）B （C ） AB （D ）A B U二、填空1.设,,A B C 表示三个随机事件，用,,A B C 的关系和运算表示⑴仅A 发生为ABC⑵,,A B C 中正好有一件发生为ABC ABC ABC ++⑶,,A B C 中至少有一件发生为A B C ++三、简答题1.任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。

事件A 表示“出现点数为偶数”，事件B 表示“出现点数可以被3整除”，请写出下列事件是什么事件，并写出它们包含的基本事件,,,,A B A B AB A B ++解：A 表示“出现点数为偶数”，{}2,4,6A =B 表示“出现点数可以被3整除”，{}3,6B =A B +表示“出现点数可以被2或3整除”，{}2,3,4,6A B += AB 表示“出现点数既可以被2整除，也可以被3整除”，{}6AB =A B +表示“出现点数既不可以被2整除，也不可以被3整除”，{}1,5A B +=2.向指定目标射击两次。

设事件,,,A B C D 分别表示“两次均未击中”、“击中一次”、“击中两次”、“至少击中一次”，请写出所有基本事件，并用基本事件表示事件,,,A B C D解：基本事件为 1w ：“第一次击中，第二次击中”2w ：“第一次未击中，第二次击中”3w ：“第一次击中，第二次未击中” 4w ：“第一次未击中，第二次未击中”4{}A w =，23{,}B w w =，1{}C w =，123{,,}D w w w =3.袋中有10个球，分别写有号码1---10，其中1，2，3，4，5号球为红球；6，7，8号球为白球；9，10号球为黑球。

西安交通大学概率论与数理统计考试及答案

2(0,)N σ15)X 是来自225122156)X X X ++++服从的分布是___ 机变量X 服从数为λ的]2)1=，则λ= 设两个随机变量X 与Y 的方差分别为共 4 页第 1 页,)X为来自总体n求（1）θ的矩估计；共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ）课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日(200,169)N 180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰1X θ=+,得1()(nk f θ==∏,),n1,,),n 当0,)nln k x ∑，求导得似然方程0=其唯一解为2，故θ的极大似然估优于第 1 页1(1,F n -(24,19)=0.429,221.507≈∈2的条件下，进一步检验假设：2μ<。

分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为且每天出售的汽车数是相互独立的，西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、1exp(),5 X2 (5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第,n1n-第 1页1,2,,5min {k X 5,0,x e λ--0,x > exp(5)λ,365,(3652,365iN ⨯⨯3652)3652-⨯=⨯七、()E X dx θθ==+1X θθ=+2⎪⎫； 1)(ni θ==∏()ln nθθ=第 2 页(0,1)N 的样本9,)X 是来自正态总体N1,2,,n.设各部件的状态相互独立，以转中同时需要调整的部件数，求(E X,)X是来自总体的一组样本nˆμ,它是否是的极大似然估计量*μ，它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)n ，则X ,n X 相互独立，1,2,i n = ()E X =()D X : (1)0x y <<<⎰⎰ 10000,X 独立同分布，1,2,n ，因此当,)n x 中最小值时，的极大似然估计量为 ,}n X 2,}n X X 分布函数是1(1(X F z --，分布密度是((Z x f z μμ>≤ ()n x nxe dx μ--=12min{,,}n X X X 不是统计量X T S -=代入数据()Pλ，且已知{(,)=G x y，X）为来自总体服从参数为…,n，λ>服从以λ(0)求该样本的联合密度函数共2 页第1 页,,X是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为：55,,)X 的数学期望和方差。

西安交大概率论试题及答案080709概率论B

西安交通大学考试题 B课程概率论学院考试日期 2021 年 7月 9 日专业班号姓名学号期中期末一、填空题(每题6分，共30分)1.一个产品须经过两道独立工序，每道工序产生次品的概率分别为3.0和2.0，那么一个产品出厂后是次品的概率为 . 2.随机变量T 在[0，6]上服从均匀分布，那么方程 012=++x T x 有实根的概率为 .3.假设Y X 、的分布列为：Y X 、相互独立，那么α= 。

4.设随机事件~(0.5)X P ，那么=-)23(2X E ____________________.5. D ( X ) = 4, D (Y ) = 9, D ( X Y ) = 12, 那么X+Y 与Y 间的相关系数为=+Y Y X ,ρ___________..二、单项选择题(每题5分，共25分) 1.设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<+=其他,020,10,)(),(y x y x a y x f ，那么常数=a(A) 31 (B) 3 (C) 2 (D) 21成绩X Y 1 2 31 61 91 181 2 31 α β√共 3 页第2 页课程概率论学院考试日期 2021 年 7月 9 日一、；2.32；3.92；4.0.25；5.14619. 二、1.A ；2.D ；3.B ；4.D ；5.C三、解：设事件 A 表示“答复是〞，1B 表示骰子掷出1，2，3，4点，2B 表示掷出5或6点。

那么(1分)〔1〕由全概率公式)()()()()(2211B A P B P B A P B P A P +=6132213132+=⋅+⋅=θθ (4分)〔2〕由Bayes 公式144613232)()()()(111+=+==θθθθA P B A P B P A B P(4分) 四、解：1.011()110(1)33z F z dy z ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦⎰1201111(0)(0)()12222P z X P X Y X P Y dy ≤==+≤==≤==⎰(2分)2. 当2z ≥时，()1F z =当1z <-时，()0F z =当12z -≤<时，()()()F z P Z z P X Y z =≤=+≤(1)(1)(0)(0)(1P X Y z X P X P X Y z X P X P X Y z X =+≤=-⋅=-++≤=⋅=++≤=[]1(1)()(1)3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤- (2分)当10z -≤<时，1011()1(1)33z F z dy z +==+⎰当01z ≤<时，011()110(1)33z F z dy z ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦⎰当12z ≤<时，1011()111(1)33z F z dy z -⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦⎰ (2分)所以 0 11()(1) 1231 z 2z F z z z <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩，那么1,12()30,z f z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它(1分) 五、2,S R =π由题意得则联合密度函数为22221,(,)0,x y Rf x y R⎧+≤⎪=π⎨⎪⎩其它 (1分)()(,)X f x f x y dy R x R +∞-∞==-≤≤⎰(2分)()(,)Y f y f x y dy R y R +∞-∞==-≤≤⎰(221()(),X Y f x f y R =≠π所以不独立 (1分)2RR EX x dx R -==π⎰0 (1分)RR EY -==⎰0 (1分)2222x y R xyEXY dxdy R +≤==π⎰⎰0 (1分) (,)Cov X Y EXY EX EY =-⋅=0，那么X,Y 不相关 (1分)六、设赴约前t 分钟离开，那么花费⎩⎨⎧>-≤-==tX t X k t X X t c X f C ),(),()(，(3分)⎰==3010)()()(dxx p x f X Ef EC〔2分〕)45050()3010()22(201)(201)(23010k c t k c t kc dx t x k dx x t c t t+++-+=-+-=⎰⎰〔2分〕EC 最小，kc kc t ++=3010*〔2分〕七、解设一年中死亡等人数是X 人，X=,3000,,1,0 死亡的概率P=0.001，把考虑3000个人在一年中是否死亡看成3000重伯努力试验，故X 服从二项分布，即X~B(3000,0.01). 保险公司每年收入3000,3000010=⨯付去2000X 元。

西安交大概率论试题三套要点

4页第 1页共 4 页第 2 页共 4 页第3 页共 4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准()f x=⎨⎩共页第1 页(0,2)N (,1)N μ，12512X ++共页第 2 页共页第3 页共页第 4 页一、1、解、()0.09,()()()()0.18,()0.27,p AB p BA p B AB P B p AB p B ==-=-==1()3p A B ⇒=2、解、101121()()112535()844f x dx ax b dx a b ax b dx a b +∞-∞⎫=+=⇒+=⎪⎪⎬⎪+=⇒+=⎪⎭⎰⎰⎰，11,2a b ⇒== 3、解、所以4、解、2222()2,()0.4,() 4.16(3)(69) 1.16E X D X E X E X E X X =-=∴=⇒+=++=5、解、, (1,2)Z X Y ZN =+∴(1)(1)(1)(0)0.5P X Y P Z F +≤=≤==Φ=Φ=6、解、由已知得 1234(0,8), (0,8),X X N X X N +- 2221(2) 8Y C χ∴=+⇒=7、解、1123112ˆ()()() 333E E aX bX X a b a b μμμ=++=++=⇒+= 212351511ˆ()(())() 1241243E E a b X X X a b a b μμμ=-++=-++=⇒-= 11,26a b ∴==二、解、设,1,2,3i A i =分别表示居民为肥胖者、不胖不瘦者、瘦者，B 表示患有高血压病，123()=0.1()=0.82()=0.08P A P A P A ，，，123()0.2,()0.1,()0.05,P B A P B A P B A === 由全概率公式31()()()0.106i ii P B P A P B A ===∑ 由逆概率公式11()()10()0.1887()53P A P B A P A B P B === 三、解、0()(,) 0y x x X x e dy e f x f x y dy x o +∞--+∞-∞⎧>=⎪==⎨≤⎪⎩⎰⎰ 00()(,) 0y y y Y y e dx ye f y f x y dx y o --+∞-∞⎧>=⎪==⎨≤⎪⎩⎰⎰ 11112201(1)(,)12x y x x y P X Y f x y dxdy dx e dy e e ----+≤+≤===+-⎰⎰⎰⎰四、解、随机向量X ,Y 的联合分布为:X Y 1 2 3 i p ⋅1 0 61 121 142 61 61 61 123 121 61 0 14 j p ⋅ 14 12 14(1,1)(1)(1)P X Y P X P Y ==≠==，所以不独立234611113663XYP ， 111123()234636636E XY =⨯+⨯+⨯+⨯= 1111232, 2,424EX EY =⨯+⨯+⨯==(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =-≠， 0XY ρ≠，所以相关五、解、(100,0.2), ()1000.220, ()1000.20.816X b E X D X =⨯==⨯⨯=(1430)P X ≤≤≈Φ-Φ(2.5)( 1.5)=Φ-Φ- (2.5)(1.5)10.99380.933210.927=Φ+Φ-=+-=六、解、+11()()1E X xf x dx x dx x ββββ+∞∞+-∞==⋅=-⎰⎰，ˆ 11X X X βββ=⇒=-- 似然函数(1)11()()()n n n i i i i L f x x βββ-+===∏=∏，取对数1()(1)()ni i LnL nLn Ln x βββ==-+∏，1()()0n i i dLnL n Ln x d βββ==+∏=，11ˆ()()n n i ii i n n Ln x Ln x β====∏∑。

西安交大西工大考研备考期末复习概率论与数理统计第一部分随机事件及其概率(带答案)

第一部分随机事件及其概率基础练习一．填空1 设====)(,7.0)(,5.0)(,4.0)(B A P B A P B P A P 则若答案：0.552 三次独立重复射击中，至少有一次击中的概率为则每次击,6437中的概率为答案：1/43箱中盛有8个白球6个黑球，从其中任意地接连取出8个球，若每球被取出后不放还，则最后取出的球是白球的概率等于_________________。

答案：8144 任取两个正整数，则它们之和为偶数的概率是_______ 答案：1/25 设10件产品中有3件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为__________答案：2/96已知P （A ）=0.8,P(A-B)=0.5,且A 与B 独立，则P （B ）= 答案：3/87从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________ 答案：9876104⨯⨯⨯=0.3024 8箱中盛有8个白球6个黑球，从其中任意地接连取出8个球，若每球被取出后不放还，则最后取出的球是白球的概率等于_________________ 答案：8149平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定_____个三角形。

答案：12010设样本空间U={1，2， 10}，A={2，3，4，}，B={3，4，5，}，C={5，6，7}，则()C B A 表示的集合=______________________。

答案：{1,2,5,6,7,8,9,10} 二．计算题1 一打靶场备有5支某种型号的枪,其中3支已经校正,2支未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为1p ,使用未经校正的枪击中目标的概率为2p .他随机地取一支枪进行射击,已知他射击了5次,都未击中,求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独立).解以M 表示事件“射击了5次均未击中”,以C 表示事件“取得的枪是已经校正的”，则,5/3)(=C P,5/2)(=C P 又,按题设,)1()|(51p C M P -=52)1()|(p C M P -=,由贝叶斯公式 ,)()()|(M P MC P M C P =)()|()()|()()|(C P C M P C P C M P C P C M P +=52)1(53)1(53)1(525151⨯-+⨯-⨯-=p p p.)1(2)1(3)1(3525151p p p -+--= 2 某人共买了11只水果,其中有3只是二级品,8只是一级品.随机地将水果分给C B A 、、三人,各人分别得到4只、6只、1只. (1)求C 未拿到二级品的概率.(2)已知C 未拿到二级品,求B A ,均拿到二级品的概率. (3)求B A ,均拿到二级品而C 未拿到二级品的概率.解以，，，C B A 分别表示事件C B A ，，取到二级品,则C B A ，，表示事件C B A ，，未取到二级品.(1).11/8)(=C P(2)就是需要求).|(C AB P 已知C 未取到二级品,这时B A ,将7只一级品和3只二级品全部分掉.而B A 、均取到二级品,只需A取到1只至2只二级品,其它的为一级品.于是.5441027234103713)|(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C AB P(3).55/32)()|()(==C P C AB P C AB P3 一系统L 由两个只能传输字符0和1的独立工作的子系统1L 和2L 串联而成(如图13-1),每个子系统输入为0输出为0的概率为)10(<<p p ;而输入为1输出为1的概率也是p .今在图中a 端输入字符1,求系统L 的b 端输出字符0的概率.ab解 “系统L 的输入为1输出为0”这一事件(记)01(→L )是两个不相容事件之和,即),00()01()01()11()01(2121→→→→=→L L L L L 这里的记号“)11(1→L ”表示事件“子系统1L 的输入为1输出为1,其余3个记号的含义类似.于是由子系统工作的独立性得)}00()01({)}01()11({)}01({2121→→+→→=→L L P L L P L P)}00({)}01({)}01({)}11({2121→→+→→=L P L P L P L P).1(2)1()1(p p p p p p -=-+-=4 甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?解以i A 表示事件“第i 次投掷时投掷者才得6点”.事件i A 发生,表示在前1-i 次甲或乙均未得6点,而在第i 次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有.6165)(1-⎪⎭⎫⎝⎛=i i A P 因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为}{}{531 A A A P P =甲胜+++=)()()(531A P A P A P ),(21两两不相容因 A A⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 426565161.116)6/5(11612=-=同样,乙胜的概率为}{}{642 A A A P P =乙胜+++=)()()(642A P A P A P.1156565656153=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=5 将一颗骰子掷两次,考虑事件=A “第一次掷得点数2或5”,=B “两次点数之和至少为7”，求),(),(B P A P 并问事件B A ,是否相互独立.解将骰子掷一次共有6种等可能结果,故.3/16/2)(==A P 设以i X 表示第i 次掷出骰子的点数,则}).6({1})7({)(2121≤+-=≥+=X X P X X P B P因将骰子掷两次共有36个样本点,其中621≤+X X 有6,5,4,3,221=+X X 共5种情况,这5种情况分别含有1,2,3,4,5个样本点,故.12/712/5136/)54321(1)(=-=++++-=B P以),(21X X 记两次投掷的结果,则AB 共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)这7个样本点.故 .36/7)(=AB P今有).(36/7)12/7)(3/1()()(AB P B P A P === 按定义B A ,相互独立.6 B A ，两人轮流射击,每次各人射击一枪,射击的次序为A B A B A ,,,,,射击直至击中两枪为止.设各人击中的概率均为p ,且各次击中与否相互独立.求击中的两枪是由同一人射击的概率.解 A 总是在奇数轮射击,B 在偶数轮射击.先考虑A 击中两枪的情况.以12+n A 表示事件“A 在第12+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”. 12+n A 发生表示“前n 2轮中A 共射击n 枪而其中击中一枪,且A 在第12+n 轮时击中第二枪”（这一事件记为C ），同时“B 在前n 2轮中共射击n 枪但一枪未中”(这一事件记为D )，因此)()()()(12D P C P CD P A P n ==+nn p p p p n )1()1(11-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- .)1(122--=n p np注意到 ,,,753A A A 两两互不相容,故由A 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为A )的概率为∑∑∞=-∞=++∞=-===1122112121)1()()()(n n n n n n p np A P A P A P1122])1[()1(-∞=∑--=n n p n p p.)2(1])1(1[1)1(2222p pP p p --=---(此处级数求和用到公式.1,)1(1112<=-∑∞=-x nx x n n 这一公式可自等比级数1,11<=-∑∞=x x x n n 两边求导而得到.) 若两枪均由B 击中,以)1(2+n B 表示事件 “B 在第)1(2+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”. )1(2+n B 发生表示在前12+n 轮中B 射击n 枪其中击中一枪,且B 在第)1(2+n 轮时击中第2枪，同时A 在前12+n 轮中共射击1+n 枪,但一枪未中.注意到 ,,,864A A A 两两互不相容,故B 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为B )的概率为∑∞=+-+∞=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==111)1(21)1()1(1)()(n n n n n p p p p n B P B P 12112222])1[()1()1(-∞=∞=--=-=∑∑n n n np n p p p np.)2()1(])1(1[1)1(222222p p p p p --=---= 因此,由一人击中两枪的概率为222)2()1()2(1)()()(p p p p B P A P B A P --+--=+= .21pp --= 7 有3个独立工作的元件1,元件2,元件3,它们的可靠性分别为.,,321p p p 设由它们组成一个“3个元件取2个元件的表决系统”,记为2/3].[G 这一系统的运行方式是当且仅当3个元件中至少有2个正常工作时这一系统正常工作.求这一2/3][G 系统的可靠性. 解以i A 表示事件“第i 个元件正常工作”，以G 表示事件“2/3][G 系统正常工作”，则G 可表示为下述两两互不相容的事件之和： 321321321321A A A A A A A A A A A A G = 因321,,A A A 相互独立,故有)()()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P G P +++=)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++=.)1()1()1(321321321321p p p p p p p p p p p p +-+-+-= 8 甲、乙、丙三部机床独立工作由一名工人照看，某段时间内甲、乙、丙三部机床不需要照看的概率依次为3/4、2/3、1/2，求在这段时间内有机床需要工人照看的概率及恰有1台机床需要工人照看的概率。

西安交大版数理统计答案

解： X N(0,1),Z1 X1X2 X3 N(0,3),
Z1 3
N(0,1),Z12 3
12(1)
Z2X4X5X6亦服从N(0,3)且与Z1相互独立
Z2 N(0,1),Z22 2(1)
3
3
且与 2 相互独立。由 2 分布可加性，
Z 3 1 2 Z 3 2 2 1 3 (Z 1 2 Z 2 2 )精品 1 3 Y
得 X ab
2 S 2 (b a )2
＾a X 3 S ＾b X 3 S
12
精品
14.设母体X的分布密度为
x 1, 0 x 1
f(x)=
0, 其他
其中 0
(1) 求的最大似然估计量;
(2)用矩法求的估计量.
解: x
f (x) x 1 , 0 x 1
0, 其他
( 0 )
2 (2 ), c 1 3
7.已知 X t(n) ，求证 X2 F(1,n)
证明：令 X U t(n),其中 U N(0,1) 2/n
2 2 ( n ) ,且 U 与 2 独立 ,U 2 亦与 2 独立
X2U 2/2n,由 F分布定义 X2 F(1,n)
精品
8设母体X N(40,52),从中抽取容量n的样本
i 1
i
Dx 2 n
精品
13.设X1,X2,…,Xn是具有泊松分布P ( ) 母体
的一个子样。试验证：子样方差 S * 2 是
的无偏估计；并且对任一值 [0,1],X(1)S*2
也是的无偏估计，此处 X 为子样的平均
数
解：XP () ,E X ,D X ,E X ,E S * 2 E (X ( 1 ) S * 2 ] E X ( 1 ) E S * 2 ( 1 )

西安交通大学城市学院考试卷(概率统计)

4.设总体，为来自总体的样本，则样本均值的方总体，其中已知，未知，为来自总体的样本，则下列不能作为统计量的是（）
（A）（B）（C）（D）
二、填空题（每小题3分，共15分）
1.设事件相互独立，且，则
共4页第1页
2.设随机变量的分布函数为，则
共4页第3页
八、（18分）设二维随机变量的概率密度为，求：（1）常数的值；（2）；（3）与的边缘概率密度，并判断与是否独立？(4) 。
九、（12分）甲、乙两台机床加工同一种轴，已知甲、乙两台机床加工的轴的直径（单位：mm）都服从正态分布，现从这两台机床加工的轴中分别随机抽取样本，测得统计数据为：
成绩
西安交通大学城市学院考试卷
课程概率论与数理统计（信息类）
类别班号信息班考试日期年月日
姓名学号期中期末
一、选择题（每小题3分，共15分）
1.设，则（）
（A）（B）（A）（A）
2.设随机变量的分布律为，则（）
（Ａ）（B）（C）（D）
3.设随机变量与相互独立，且，则（）
（A）（B）（C）14（D）10
四、（6分）设随机变量的分布函数为，求（1），
（2）的概率密度函数
五、（6分）某车间有机床独立工作着，设每台机床开动的概率为，试用中心极限定理求至少有台机床同时开动的概率（结果用标准正态函数表示）。
六、（10分）设随机变量，求的概率密度函数。
七、（10分）设总体，为来自总体的样本，求参数的矩估计量与最大似然估计量。
甲机床：
乙机床：
试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著性差异（，）.
3.设随机向量的联合概率密度为，为其联合分布函数，则

历年西安交通大学概率论与数理统计试题及答案

(0,)N σ21215X X ++++量X 服从共 4 页第 1 页共4 页第2 页求（1）θ的矩估计；共4 页第3 页共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ）课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰页1(1,F n -(24,19)=0.429,21.507≈∈12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。

西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、exp(),5X2(5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第 1页5,x e λ--exp(5)λ(365N ⨯3652)3652⨯=⨯1X θθ=+ 第 2 页(0,1)N的样本是来自正态总体N的置信区间为转中同时需要调整的部件数，求(E Xˆμ,它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)=i n1,2,E X=()的极大似然估计量为,X XX( Z xf zμ>X-()Pλ，且已知{(,)=G x y，共2 页第1 页Y=共 2 页第 2 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)个地区，i9,0< x x(500N ⨯的把握满足客户的兑换）exp(),exp(),(2),2ii i i X Y X Y χθθ∴=即 222(2)n n i i nX X Y n χθθ∴==∑∑ ）(2)n χθ2nX λ∴<<2112(2), n αλχ-∴=。

西安交通大学数理统计研究生试题

2009(上)《数理统计》考试题(A卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体和相互独立，且都服从正态分布，而和是分别来自和的样本，则服从的分布是_______ .解：．2，设与都是总体未知参数的估计，且比有效，则与的期望与方差满足_______ .解：．3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.解：秩和检验、游程总数检验．4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ .解：正态性、方差齐性、独立性．5，多元线性回归模型中，的最小二乘估计是_______ .解：．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设为来自总体的一个样本，为样本均值，为样本方差，则____D___ .（A）；（B）；（C）；（D）.2，若总体，其中已知，当置信度保持不变时，如果样本容量增大，则的置信区间____B___ .（A）长度变大；（B）长度变小；（C）长度不变；（D）前述都有可能.3，在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一定时，下列说法中正确的是____C___ .（A）减小时也减小；（B）增大时也增大；（C）其中一个减小，另一个会增大；（D）（A）和（B）同时成立.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设为总离差平方和，为误差平方和，为效应平方和，则总有___A___ .（A）；（B）；（C）；（D）与相互独立.5，在一元回归分析中，判定系数定义为，则___B____ .（A）接近0时回归效果显著；（B）接近1时回归效果显著；（C）接近时回归效果显著；（D）前述都不对.三、（本题10分）设总体、，和分别是来自和的样本，且两个样本相互独立，和分别是它们的样本均值和样本方差，证明，其中.证明：易知，．由定理可知，．由独立性和分布的可加性可得．由与得独立性和分布的定义可得．四、（本题10分）已知总体的概率密度函数为其中未知参数, 为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．解：（1），用代替，所以．（2），所以该估计量是无偏估计．五、（本题10分）设总体的概率密度函数为，其中未知参数，是来自总体的一个样本，试求参数的极大似然估计．解：当时，，令，得．六、（本题10分）设总体的密度函数为未知参数，为总体的一个样本，证明是的一个UMVUE．证明：由指数分布的总体满足正则条件可得，的的无偏估计方差的C-R下界为．另一方面，，即得方差达到C-R下界，故是的UMVUE．七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为公斤, 试问：（1）在显著性水平下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平，结果会怎样？参考数据: , , , ．解：（1），则应有：，具体计算得：所以拒绝假设，即认为苹果重量标准差指标未达到要求．（2）新设由则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．八、（本题10分）已知两个总体与独立，，，未知，和分别是来自和的样本，求的置信度为的置信区间.解：设分别表示总体的样本方差，由抽样分布定理可知，，由分布的定义可得．对于置信度，查分布表找和使得，即，所求的置信度为的置信区间为．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．2009(上)《数理统计》考试题(B卷)及参考解答一、填空题（每小题3分，共15分）1，设总体服从正态分布，而是来自的样本，则服从的分布是_______ .解：．2，是总体未知参数的相合估计量的一个充分条件是_______ .解：．3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___.解：检验、柯尔莫哥洛夫检验．4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型中，的最小二乘估计的协方差矩阵_______ .解：．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体，是的样本，则___B___ .（A）；（B）；（C）；（D）．2，若总体，其中已知，当样本容量保持不变时，如果置信度减小，则的置信区间____B___ .（A）长度变大；（B）长度变小；（C）长度不变；（D）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ .（A）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的；（C）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；（D）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设为总离差平方和，为误差平方和，为效应平方和，则总有___A___ .（A）；（B）；（C）；（D）与相互独立.5，在多元线性回归分析中，设是的最小二乘估计，是残差向量，则___B____ .（A）；（B）；（C）是的无偏估计；（D）（A）、（B）、（C）都对.三、（本题10分）设总体、，和分别是来自和的样本，且两个样本相互独立，和分别是它们的样本均值和样本方差，证明，其中.证明：易知，．由定理可知，．由独立性和分布的可加性可得．由与得独立性和分布的定义可得．四、（本题10分）设总体的概率密度为其中参数未知，是来自总体的一个样本，是样本均值，（1）求参数（2）证明不是的无偏估计量．解：（1），令，代入上式得到的矩估计量为．（2），因为，所以．故不是的无偏估计量．五、（本题10分）设总体服从上的均匀分布，是来自总体的一个样本，试求参数的极大似然估计．解：的密度函数为似然函数为显然时，是单调减函数，而，所以是的极大似然估计．六、（本题10分）设总体服从分布，为总体的样本，证明是参数的一个UMVUE．证明：的分布律为．容易验证满足正则条件，于是．另一方面，即得方差达到C-R下界的无偏估计量，故是的一个UMVUE．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布，由以前的观n α=0.1α=0.05α=0.02514 1.3450 1.7613 2.144815 1.3406 1.7531 2.131516 1.3368 1.7459 2.1199n α=0.1α=0.05α=0.0251421.06423.68526.1191522.30724.99627.4881623.34224.29628.845测可知．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得,问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：t分布表χ2分布表解：设：．构造检验统计量，确定拒绝域的形式．由，定出临界值，从而求出拒绝域．而，从而　，接受假设，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、（本题10分）已知两个总体与独立，，，未知，和分别是来自和的样本，求的置信度为的置信区间.解：设，则，所求的置信度为的置信区间为．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．2011-2012（下）研究生应用数理统计试题（A）1设为正态总体的样本，令，试证，。

交通大学概率论与数理统计第二学期期末考试试卷6及答案

交通大学2015~2016学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）一．（本题满分9分）假设一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数λ降为1=λ（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数λ降为3=λ（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？解：设{}此药疗效显著=1A ，{}此药疗效一般=2A ，{}此药无效=3A ， {}次感冒某人一年中患2=B ．由题设，可知如果事件1A 发生，则X 服从参数为1=λ的Poisson 分布；如果事件2A 发生，则X 服从参数为3=λ的Poisson 分布；如果事件3A 发生，则X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．因此，由Bayes 公式，我们有 ()()()()()∑==31111k kkA BP A P A B P A P B A P2206.02441.02337.02122.02122.042321212=⨯+⨯+⨯⨯=----ee e e．二．（本题满分8分）一房间有3扇同样大小的窗户，其中只有一扇是打开的．有一只鸟在房子里飞来飞去，它只能从开着的窗子飞出去．假定这只鸟是没有记忆的，而且鸟飞向各个窗子是随机的．若令X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数．求⑴ X 的分布律（4分）．⑴ 这只鸟最多试飞3次就飞出房间的概率（4分）．解：⑴ X 的取值为 ,3,2,1，并且{}{}313211⋅⎪⎭⎫⎝⎛=-==-k k k P k X P 次试飞飞出房间第次试飞均未飞出房间，前因此X 的分布律为{}31321⋅⎪⎭⎫⎝⎛==-k k X P () ,3,2,1=k ． ⑵ {}{}27193132313231332=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=≤=X P P 次就飞出房间这只鸟最多试飞．三．（本题满分10分）设随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<+=其它0102x bx ax x f ，并且已知()21=X E ，试求方差()X D ．解：由()1=⎰+∞∞-dx x f 及()()21==⎰+∞∞-dx x xp X E ，得 ()()321102b a dx bx ax dx x f +=+==⎰⎰+∞∞-， ()()432112ba dx bx ax x dx x xf +=+==⎰⎰+∞∞-．由此得线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2143132b a ba ．解此线性方程组，得6,6-==b a ．所以，()()()1035164166612222=⋅-⋅=-==⎰⎰+∞∞-dx x x x dx x f x XE ，所以，()()()()20121103var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X ．四．（本题满分10分）设随机变量X 与Y 相互独立，()1,0~U X 分布，Y 服从参数1=λ的指数分布．令Y X Z +=，求随机变量Z 的密度函数()z f Z ．解：由题设，随机变量X 及Y 的密度函数分别为()⎩⎨⎧<<=其它0101x x f X ，()⎩⎨⎧≤>=-000y y e y f y Y ．所以，随机变量Y X Z +=的密度函数为 ()()()()⎰⎰-=-=+∞∞-1dx x z f dx x z f x f z f Y YXZ ．作变换x z u -=，则dx du -=，有 ()()()⎰⎰--=-=zz Yz z Y Z du u f du u f z f 11．① 若0≤z ，在区间[]z z ,1-上，()0≡u f Y ，因此，()0=z f Z ． ② 若10≤<z ，则01≤-z ，因此， ()()()z zuz z Y z YZ e du edu du u f du u f z f -----=+=+=⎰⎰⎰⎰1000101．③ 若1>z ，则01>-z ，有 ()z z z z u zz u Z e e e du e z f -------=-==⎰111．综上所述，随机变量Y X Z +=的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-≤=---1101001x e e x e z z f z z zZ ．五．（本题满分15分）设二维随机变量()Y X ,服从二元正态分布，其联合密度函数为()()()()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-------=22222121212122212121ex p 121,σμσσμμσμσπσy y x r x r r y x f ，其中r ,,,,2121σσμμ均为参数．⑴ 求随机变量X 及Y 的边际密度函数()x f X 及()y f Y （7分）；⑵ 通过观察()y x f ,，()x f X 及()y f Y ，你总结到什么结论？（8分）解：⑴ 对()Y X ,的联合密度函数中的()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+------22222121212122121σμσσμμσμy y x r x r 进行配方，得 ()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+------22222121212122121σμσσμμσμy y x r x r ()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+---=212122112221212121σμσμσμσμx r x r y x r ()()21122221211212⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=σμσμσμx r y r x ．所以，()()⎰+∞∞-=dy y x f x f X ,()()⎰∞+∞---⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=dy x r y r erx 2112222221121exp 1212121σμσμσπσσμ．作变换()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1122211σμσμx r y r u ，则()221r dydu -=σ．因此有()()()()212121212212121212212122121σμσμσμσπππσπσ----∞+∞----=⋅==⎰x x u x X e e du eex f ．即随机变量X 的边际密度函数为()()21212121σμσπ--=x X e x f ，()+∞<<∞-x ．注意到()Y X ,的联合密度函数中的x 与y 的地位对称，得随机变量Y 的边际密度函数为 ()()22212221σμσπ--=y Y e y f ，()+∞<<∞-y ．⑵ 通过观察()y x f ,，()x f X 及()y f Y ，我们总结到以下结论：① 二元正态分布的两个边际分布分别是两个一元正态分布，即()211,~σμN X ，()222,~σμN Y ．② ()X E =1μ，()Y E =2μ，()X var 21=σ，()Y var 22=σ． ③ 二元正态分布的两个边际分布仅与二元正态分布中五个参数r ,,,,2121σσμμ中的四个参数2121,,,σσμμ有关系，而与参数r 没有关系． ④ 如果二维随机变量()11,Y X 服从二元正态分布，密度函数为()()()()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-------=222221************12121ex p 121,σμσσμμσμσπσy y x r x r r y x f ，二维随机变量()22,Y X 也服从二元正态分布，密度函数为()()()()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-------=222221************12121ex p 121,σμσσμμσμσπσy y x r x r r y x g ，则()11,Y X 与()22,Y X 不同分布，但是，()2111,~σμN X ，()2112,~σμN X ；()2221,~σμN Y ，()2222,~σμN Y ．即1X 与2X 同分布，1Y 与2Y 同分布．六．（本题满分10分）将一颗均匀的骰子独立地掷10次，令X 表示这10次出现的点数之和，求()X E （5分）与()X D （5分）．解：设k X 表示第k 次出现的点数，()10,,2,1 =k ．则1021,,,X X X 相互独立，而且∑==101k k X X ．而k X 的分布列为 ()61==j X P k ，()6,,2,1 =j ．所以，()()∑∑==⋅==⋅=616161j j k k j j X P j X E2721616161=⨯==∑=j j ， ()10,,2,1 =k ．所以，由数学期望的性质，得()()35102727101101101=⨯===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===k k k k k X E X E X E ．()()∑∑==⋅==⋅=612612261j j k kj j X P jXE691916161612=⨯==∑=j j ， ()10,,2,1 =k ．所以，由1021,,,X X X 的相互独立性，及数学期望的性质，得()()345510691691101101101=⨯===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===k k k k k X D X D X D ．七．（本题满分10分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧<<<=其它0103,x y x y x p ，求X 与Y 的协方差()Y X ,cov 及相关系数Y X ,ρ．解：()()4333,13102====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy x dx dxdy y x xp X E x ， ()()83233,103100====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x ydy xdx dxdy y x yp Y E x，()()5333,141322====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy x dx dxdy y x p x XE x，()()513,1410222====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y xdx dxdy y x p y Y E x ，()()103233,1041002====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x ydy dx x dxdy y x xyp XY E x ，所以有协方差为 ()()()()16038343103,cov =⨯-=-=Y E X E XY E Y X ， ()()()()8034353222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D ，()()()()320198351222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y D ，因此，有()()()573320198031603,cov ,=⋅==Y D X D Y X Y X ρ．八．（本题满分8分）某餐厅每天接待400位顾客，假设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间()100,20上的均匀分布，并且每位顾客的消费额是相互独立的．试求：⑴ 该餐厅每天的平均营业额；⑴ 用中心极限定理计算，该餐厅每天的营业额在平均营业额760±元内的概率．（附：正态分布的分布函数()x Φ的某些取值：解：⑴ 设i X 表示第i 位顾客的消费额，()400,,2,1 =i ．则有 40021,,,X X X 相互独立，()100,20~U X i ，()400,,2,1 =i ．所以，()60=i X E ，()316001280var 2==i X ．再设X 表示餐厅每天的营业额，则∑==4001i i X X ．所以，()()240006040040014001=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==i i i i X E X E X E （元）．⑵ 由独立同分布场合下的中心极限定理，有{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯≤⨯-≤⨯-=≤-≤-3160040076031600400240003160040076076024000760X P X P()901.019505.021645.123160040076031600400760=-⨯=-Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-Φ-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯Φ≈．九．（本题满分10分）罐中有N 枚硬币，其中θ枚是普通硬币，它掷出正面与反面的概率均为5.0；其余θ-N 枚硬币的两面都是正面．现从罐中随机取出一枚硬币，将它连掷两次并记下其结果，但不去查看它属于哪一种硬币，然后把它放入罐中．如此重复n 次，若掷出0次正面的次数为0n ，1次正面的次数为1n ，2次正面的次数为2n ，（n n n n =++210）．试求参数θ的极大似然估计量L θˆ（提示：令X 表示从罐中取出一枚硬币掷出的正面数，先求X 的分布律）．解：设X 表示从罐中取出一枚硬币掷出的正面数，则X 取值为2,1,0．并且()N N X P 42121;0θθθ=⋅⋅==，()N N X P 221;1θθθ=⋅==， ()NN N N N N N N X P 434444412121;2θθθθθθ-=-+=⋅-+⋅⋅==．所以，似然函数为()()()()()()()210;2;1;0nnnX P X P X P L θθθθ====21043424n n n N N N N ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθ取对数，得()()()()()()()()N N n N n N n L 4ln 34ln 2ln ln 4ln ln ln 210--+-+-=θθθθ．上式对θ求导数，得()()θθθθθθθ343343ln 1010210----+=--+=N n n n n n N n n n L d d ，令()0ln =θθL d d ，得似然方程()03431010=----+θθN n n n n n ，解方程，得解()1034n n n N+=θ，因此参数θ的极大似然估计量为()1034ˆn n nN L +=θ．十．（本题满分10分）设总体X 的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它0063θθθx x xx f ，其中0>θ是未知参数，()n X X ，， 1是从该总体中抽取的一个样本．⑴. 求未知参数θ的矩估计θˆ； ⑴. 判断θˆ是否为参数θ的无偏估计；⑴. 求方差()θˆD ．解：⑴. ()()()26032θθθθ=-==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E ，所以，()X E 2=θ ，将()X E 用样本均值∑==ni i X n X 11来替换，得未知参数θ的矩估计为X 2ˆ=θ⑵. 由于()()()()θθθ=⨯====22222ˆX E X E X E E 所以，X 2ˆ=θ是参数θ的无偏估计． ⑶. ()()()()X D nX D X D D 442ˆ===θ，而 ()()()[]22X E X E X D -=()()204622203322θθθθθθ=--=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x所以，()()nn X D n D 52044ˆ22θθθ=⨯== ．。

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求（1）θ的矩估计；
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西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准
课程名称：概率论与数理统计（A ）课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日
180200169
P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941
()x dx =⎰
页
1(1,F n -(24,19)=0.429,
2
1.507≈∈12(t n n +0.05(43)t =-
2.647 1.681-<-
)B=
)1
Y≥=
个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任
分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。

西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准
课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日
三、exp(),
5
X
2
(5,)
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四、设
1
i
X
⎧
=⎨
⎩
第 1
页
5,x e λ--exp(5)λ
(365N ⨯3652
)3652
⨯=⨯1X θθ=+ 第 2 页
(0,1)
N的样本
是来自正态总体N
的置信区间为
转中同时需要调整的部件数，求(
E X
ˆμ,它是否是
西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)
=
i n
1,2,
E X=
()
的极大似然估计量为,
X X
X
( Z x
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()
Pλ，且已知
{(,)
=
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，
共2 页第1 页
Y=
共 2 页第 2 页
西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)个地区，i
9,0
< x x
(500N ⨯的把握满足客户的兑换
）
exp(),exp(),(2),2
i
i i
i
X Y X Y χθθ
∴=即 222
(2)n
n
i i
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θ
∴
==∑
∑ ）
(2)n χθ
2nX
λ∴<
<2112
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∴=。