2018国家开放大学离散数学(本)形考任务答案
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离散数学作业4 离散数学图论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业．
要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：
1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．
2. 在线提交word 文档
3. 自备答题纸，将答题过程手工书写，并拍照上传．
一、填空题
1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 15 ．
2．设给定图G (如右由图所示)，则图G 的点割集是
{ f }，{ e,c} ．
3．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则
G 的结点 度数之和 等于边数的两倍．
4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且 不含奇数度结
点 ．
5．设G=
6．若图G=
7．设完全图K n 有n 个结点(n 2)，m 条边，当 n 为奇数时 时，K n 中存在欧拉回路．
8．结点数v 与边数e 满足 e=v - 1 关系的无向连通图就姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名：
是树．
9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去
条边后使之变成树．
10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 4 ．
二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．答：错误。应叙述为：“如果图G是无向连通图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路。”
2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．
答：错误。因为图中存在奇数度结点，所以不存在欧拉回路。
3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．
G
答：正确。因为有4个结点的度数为奇数，所以不是欧拉图；而对于图中任意点集V中的非空子集V1，都有P(G-V1)≤V1。其中P(G-V1)是从图中删除V1结点及其关联的边。
4．设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．
答：错误。若G是连通平面图，那么若V≥3,就有e≤3v-6 而16>3×7－6，所以不满足定理条件，叙述错误。
5．设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．
答：正确。因为连通平面图满足欧拉公式。即：v-e+r=2。由此题条件知
6-11+7=2成立
三、计算题
1．设G=
(1) 给出G的图形表示；(2) 写出其邻接矩阵；
(3) 求出每个结点的度数；(4) 画出其补图的图形．
答：（1）
（2）
（3）
deg(v1)=1, deg(v2)=2 ,deg(v3)=4 ,deg(v4)=3,deg(v5)=2
(4)
2．图G=
（1）画出G的图形；（2）写出G的邻接矩阵；
（3）求出G权最小的生成树及其权值．
（2）
（3）
其中权值是：7
3．已知带权图G如右图所示．
(1) 求图G的最小生成树；(2)计算该生成树的权值．
答：（1）
（2）
权值：18
4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．
权值：65
四、证明题
1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．
证明：设a 为G 中任意一个奇数度顶点，由定义，a 仍为顶点，为区分起见，记为a ’, 则deg(a)+deg(a ’)=n-1, 而n 为奇数，则a ’必为奇数度顶点。由a 的任意性，容易得知结论成立。
2．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加
2
k 条边才能使其成为欧拉图．
证明：由定理推论知：在任何图中，度数为奇数的结点必是偶数个，则k 是偶数。又由欧拉图的充要条件是图G 中不含奇数度结点。因此，只要在每对奇数度结点间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图。故最少要加条边才能使其成为欧拉图。