平行四边形综合训练拔高题.doc
平行四边形拔高练习
平行四边形拔咼练习a 、b 、1. 若A B C 三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（ ）个2. 一个平行四边形的两条邻边的长分别是 4cm2 2 2 2 和5cm 它们的夹角是3o ° :这个平行四边形的 面积是（ ）. 3. 一个四边形的边长依次是d 且 则这个四边形的形状为— 若 a 4 b 4 c 4 d 44abcd ，判定以 a 、b 、C 、 d 为边的四边形的形状为4. 平行四边形 ABCD 中 ,AB=5cm, BC=3cm, Z D 与 Z C 的平分线分别交AB 于F,E, EF= _______5. 如图，口 ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将 △ ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点卩，若厶FDE 的周长为8,A FCB 的周长为22,则FC 的长为6. 如图所示，在形状为平行四边形的 一块地ABCD 中,有一条小折路EFG? 现在想把它改为经过点E 的直路，要求小路两侧土地的面积都不变，？请在图中画出 改动后的小路.7. 如图,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，并使扩大后的草坪为平行四边形，试问这个想法能否实现,若能请你设计出草图.8. 如图，在矩形ABCD中, AB=3 AD=4点P在AD上，PE I AC于E, PF丄BD于F,贝V PE+PF等于( )8.如图所示，在平行四边形ABC冲，/ABC=60，且AB=BC Z MAN=60 •请探索BMDN与AB的数量关系，并证明你的结论.9. 如图：平行四边形ABCD在AB的延长线上截取BE= AB, BF= BD连结CE DF交于G点，试说明：CD= CG10. 如图将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落D在直角梯形AECD勺中位线FG上，若AB=3，则AE的长为（）11. 如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN则线段CN的长是（）12. 如图，矩形ABCD中，AB 3, BC 5.过对角线交点O作OE AC交AD于E,则AE的长是（）13. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE EF为折痕，/ BAE= 30°, AB=西，折叠后，点C 落在AD边上的C处，并且点B落在EG边上的B1处.则BC的长为（）.14. 如图，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N 7 P T Q 7 M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x，△ MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x 9时，点R应运动到（）15. 如图,在平行四边形ABC［中,以SAC 为斜边作Rt △ ACE 又/ BED=90 ,则四边形 ABCD 是矩形.试说明理由.16. 如图，四边形 ABCD 中, Z ABC= / ADC=90 , M N 分别是 AC BD? 的中点，那么MN L BD 成立吗？试说 明理由.17.如图矩形ABCD 中，延长CB 到E AE 中点•求证： BF DF . 18.如图所示，在直角坐标系中， 矩形ABC 啲顶点，A 的坐标为(1 , 0)，对角线的交点 P 的坐标为5(2 ,⑴写出B 、C 、D 三点的坐标；⑵ 若在线段AB 上有一点若在AB 上有一点E （二分之三，0），过E 点D-，使 CE AC , F 是的直线将矩形ABCD勺面积分为相等的两部分，求直线的解析式；⑶若过C点的直线i将矩形ABCD勺面积分为4: 3两部分，并与y轴交于点M求M点的坐标.1. 如图，菱形OABC勺一边OA在x轴上，将菱形OAB （绕原点0顺时针旋转75°至OA B' C'的位置，若OB=23，/ C=120，则点B'的坐标为（）2. 如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架•已知其中每个菱形的边长为20cm 墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为20「cm,则/ 1 等于（）A90°B、60°C、45°D 30°3. 如图，点P是边长为1的菱形ABCD寸角线AC上的一个动点，点M N分别是AB BC边上的中点，MP+NP 勺最小值是（）4. 已知：如图，C是线段BD上一点，△ABC^n^ ECD都是等边三角形，R、F、G H分别是四边形ABDE各边的中点，求证：四边形RFGH1菱形。
平行四边形综合提高练习题
FEDCBA平行四边形综合提高一利用平行四边形的性质进行角度、线段的计算1、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF＝60o，则∠B＝_______；若BC＝4cm，AB＝3cm，则AF＝___________，□ABCD的面积为_________．2已知ABCD的周长为32cm,对角线AC、BD交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多4cm，求这个四边形的各边长。
二、利用平行四边形的性质证线段相等3、如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．那么OE与OF是否相等？为什么？三直接利用平行四边形的判定和性质4、如图在ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AF与EB交于点G，CE与DF交于点H，试说明四边形EGFH的形状。
5、如图，BD是ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于点F，求证：四边形AECF为平行四边形。
四构造平行四边形解题6、如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．HGABDCEABDCEF7、已知，如图，AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于点F，且AE=FE，求证：BF=AC[能力提高]1、如图2-39所示．在平行四边形ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．2、如图2-32所示．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分．3、如图2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM．4 如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．[创新思维]1、以△ABC的三条边为边在BC的同侧作等边△ABP、等边△ACQ、等边△BCR，求证：四边形PAQR为平行四边形。
平行四边形综合提高练习题
FEDCBA平行四边形综合提高一 利用平行四边形的性质进行角度、线段的计算1、如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若∠EAF ＝60o，则∠B ＝_______；若BC ＝4cm ，AB ＝3cm ，则AF ＝___________，□ABCD 的面积为_________． 2 已知ABCD 的周长为32cm,对角线AC 、BD 交于点O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长多4cm ，求这个四边形的各边长。
二、利用平行四边形的性质证线段相等3、如图，在□ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．那么OE 与OF 是否相等？为什么？三 直接利用平行四边形的判定和性质4、如图在ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，AF 与EB 交于点G ，CE 与DF 交于点H ，试说明四边形EGFH 的形状。
5、如图，BD 是ABCD 的对角线，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于点F ，求证：四边形AECF 为平行四边形。
四 构造平行四边形解题6、如图2-33所示．Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，BG 平分∠ABC ，EF ∥BC 且交AC 于F ． 求证：AE=CF ．BDBD7、已知，如图，AD 为△ABC 的中线，E 为AC 上一点，连结BE 交AD 于点F ，且AE=FE ，求证：BF=AC[能力提高]1、如图2-39所示．在平行四边形ABCD 中，△ABE 和△BCF 都是等边三角形． 求证：△DEF 是等边三角形．2、如图2-32所示．在ABCD 中，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，DN=BM ．求证：EF 与MN 互相平分．3、 如图2-34所示．ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BM=MC=DC ．求证：∠EMC=3∠BEM ．4 如图2-35所示．矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于E ，AF 平分∠BAD 交EC 延长线于F ．求证：CA=CF ．[创新思维]1、以△ABC 的三条边为边在BC 的同侧作等边△ABP 、等边△ACQ 、等边△BCR ， 求证：四边形PAQR 为平行四边形。
平行四边形拔高训练
平行四边形专题训练一．选择题（共10 小题）1、在□ABCD中，∠ A：∠ B：∠ C：∠ D的值能够是（）A、1：2：3：4B、1：2：2：1C、2：2：1：1D、2：1：2：12、如图，大正方形中有 2 个小正方形，假如它们的面积分别是S1、 S2，那么 S1、 S2的大小关系是（）A.S1 >S2B.S1= S2C.S1<S2D. S1、S2的大小关系不确立第二题图3、给出以下四个命题⑴一组对边平行的四边形是平行四边形⑵一条对角线均分一个内角的平行四边形是菱形⑶两条对角线相互垂直的矩形是正方形⑷按序连结四边形四边中点所得的四边形是平行四边形。
此中正确命题的个数为（）A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个4.如图，在 ? ABCD中，分别以 AB、AD为边向外作等边△ ABE、△ ADF，延伸 CB交 AE于点 G，点 G在点 A、 E 之间，连结CE、 CF， EF，则以下四个结论必定正确的选项是（）①△ CDF≌△ EBC；②∠ CDF=∠EAF；③△ ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④5．如图，△ ABC的周长为 26，点 D， E 都在边 BC上，∠ ABC的均分线垂直于AE，垂足为 Q，∠ACB的均分线垂直于AD，垂足为P，若 BC=10，则 PQ的长为（）A．B．C．3D．46．如图，在平行四边形ABCD中， AB=4，∠ BAD的均分线与BC的延伸线交于点E，与 DC交于点 F，且点 F 为边 DC的中点， DG⊥ AE，垂足为G，若 DG=1，则 AE的边长为（）A．2B．4C．4D．87．如图，在 ? ABCD中， E 是 AD边上的中点，连结BE，并延伸 BE 交 CD延伸线于点F，则△EDF与△ BCF的周长之比是（）A． 1：2B． 1：3C． 1：4D． 1：58．已知点A（ 0， 0）， B（ 0，4）， C（ 3， t+4 ），D（ 3， t ）．记 N（ t ）为 ? ABCD内部（不含界限）整点的个数，此中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（ t ）全部可能的值为（）A． 6、7B． 7、8C． 6、7、8D． 6、8、99．如图，在 Rt △ ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点 D在 BC上，以 AC为对角线的全部? ADCE中， DE最小的值是（）A．2B．3C．4D．510．以下图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点 D，E 分别是边AB、 AC上，将△ ABC沿着 DE重叠压平， A 与 A′重合，若∠ A=70°，则∠ 1+∠2=（）A． 140°B． 130°C． 110°D． 70°二．填空题（共 5 小题）11．如图，在 ? ABCD中， AD=2AB， F 是 AD的中点，作C E⊥ AB，垂足 E 在线段 AB 上，连结EF、CF，则以下结论中必定建立的是．（把全部正确结论的序号都填在横线上）①∠ DCF= ∠ BCD；② EF=CF；③ S△BEC=2S△CEF；④∠ DFE=3∠ AEF．12．在 ? ABCD中，点 O是对角线AC、BD的交点，点E 是边 CD的中点，且AB=6， BC=10，则OE=．13．如图， D 是△ ABC内一点， BD⊥ CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是 AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．14．如图， E、 F 分别是 ? ABCD的边 AB、 CD上的点， AF 与 DE订交于点 P， BF与 CE订交于△ APD2△ BQC2点 Q，若 S =10cm ，S =20cm，则暗影部分的面积为．15．在四边形ABCD中，对角线AC⊥ BD且 AC=6、BD=8， E、 F 分别是边AB、CD的中点，则EF=．三．解答题（共 5 小题）16.如图， ? ABCD中，点 O是 AC与 BD的交点，过点 O的直线与 BA、DC的延伸线分别交于点 E、F．（1）求证：△ AOE≌△ COF；（2）请连结EC、 AF，则 EF 与 AC知足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明原因．17．已知，如图，在 ? ABCD中， AE⊥ BC，垂足为 E， CE=CD，点 F 为 CE的中点，点 G为 CD 上的一点，连结 DF、 EG、 AG，∠ 1=∠ 2．（1）若 CF=2， AE=3，求 BE的长；（2）求证：∠ CEG= ∠AGE．18．如图， ? ABCD中， AC与 BD订交于点O，∠ ABD=2∠ DBC， AE⊥BD于点 E．（1）若∠ ADB=25°，求∠ BAE的度数；（2）求证： AB=2OE．19．如图，已知 ? ABCD中，AE均分∠ BAD交 DC于 E，DF⊥ BC于 F，交 AE于 G，且 AD=DF．过点 D 作 DC的垂线，分别交 AE、 AB 于点 M、N．（1）若 M为 AG中点，且 DM=2，求 DE的长；（2）求证： AB=CF+DM．20．如图，已知 ? ABCD中， DE⊥ BC于点 E，DH⊥ AB于点 H，AF 均分∠ BAD，分别交 DC、DE、DH于点 F、G、 M，且 DE=AD．（1）求证：△ ADG≌△ FDM．（2）猜想 AB与 DG+CE之间有何数目关系，并证明你的猜想．初中数学组卷（平行四边形）参照答案与试题分析一．选择题（共10 小题）1. D2. A3. C4．如图，在? ABCD中，分别以 AB、AD为边向外作等边△ABE、△ ADF，延伸点 G在点 A、 E 之间，连结CE、 CF， EF，则以下四个结论必定正确的选项是（①△ CDF≌△ EBC；②∠ CDF=∠EAF；③△ ECF是等边三角形；④CG⊥AE．CB交）AE于点G，A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④考点：平行四边形的性质；全等三角形的判断与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．版权全部专题：压轴题．剖析：依据题意，联合图形，对选项一一求证，判断正确选项．解答：解：∵△ ABE、△ ADF是等边三角形∴FD=AD，BE=AB∵AD=BC，AB=DC∴FD=BC，BE=DC∵∠ B=∠D，∠ FDA=∠ ABE∴∠ CDF=∠ EBC∴△ CDF≌△ EBC，故①正确；∵∠ FAE=∠ FAD+∠EAB+∠ BAD=60° +60° +（ 180°﹣∠ CDA） =300°﹣∠ CDA，∠FDC=360°﹣∠ FDA﹣∠ ADC=300°﹣∠ CDA，∴∠ CDF=∠ EAF，故②正确；同理可得：∠ CBE=∠ EAF=∠CDF，∵ BC=AD=AF， BE=AE，∴△ EAF≌△ EBC，∴∠ AEF=∠ BEC，∵∠ AEF+∠ FEB=∠BEC+∠ FEB=∠AEB=60°，∴∠ FEC=60°，∵CF=CE，∴△ ECF是等边三角形，故③正确；在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角均分线、底边上的中线、高和垂直均分线是同一条线段∴假如 CG⊥ AE，则 G是 AE的中点，∠ ABG=30°，∠ ABC=150°，题目缺乏这个条件，CG⊥ AE不可以求证，故④错误．应选 B．评论：本题考察了全等三角形的判断、等边三角形的判断和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考察学生综合运用数学知识的能力．5．如图，△ ABC的周长为 26，点 D， E 都在边 BC上，∠ ABC的均分线垂直于AE，垂足为 Q，∠ACB的均分线垂直于AD，垂足为P，若 BC=10，则 PQ的长为（）A．B．C．3D．4考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判断与性质．版权全部专题：几何图形问题；压轴题．剖析：第一判断△ BAE、△ CAD是等腰三角形，从而得出26，及 BC=10，可得 DE=6，利用中位线定理可求出BA=BE， CA=CD，由△PQ．ABC的周长为解答：解：∵ BQ均分∠ ABC， BQ⊥ AE，∴△ BAE是等腰三角形，同理△ CAD是等腰三角形，∴点 Q是 AE 中点，点P 是 AD中点（三线合一），∴ PQ是△ ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴ DE=BE+CD﹣ BC=6，∴ PQ= DE=3．应选： C．评论：本题考察了三角形的中位线定理，形，利用等腰三角形的性质确立解答本题的重点是判断出△PQ是△ ADE的中位线．BAE、△ CAD是等腰三角6．如图，在平行四边形ABCD中， AB=4，∠ BAD的均分线与BC的延伸线交于点于点 F，且点 F 为边 DC的中点， DG⊥ AE，垂足为G，若 DG=1，则 AE的边长为（E，与DC交）A．2B．4C． 4D． 8考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判断与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权全部专题：计算题；压轴题．剖析：由 AE为角均分线，获得一对角相等，再由ABCD为平行四边形，获得AD与 BE平行，利用两直线平行内错角相等获得一对角相等，等量代换及等角平等边获得AD=DF，由F 为 DC中点， AB=CD，求出 AD与 DF 的长，得出三角形ADF为等腰三角形，依据三线合一获得G为 AF 中点，在直角三角形ADG中，由 AD与 DG的长，利用勾股定理求出AG的长，从而求出AF 的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出 AE 的长．解答：解：∵ AE为∠ DAB的均分线，∴∠ DAE=∠ BAE，∵DC∥ AB，∴∠BAE=∠ DFA，∴∠DAE=∠ DFA，∴AD=FD，又 F 为 DC的中点，∴ DF=CF，∴AD=DF= DC= AB=2，在 Rt △ ADG中，依据勾股定理得： AG= ，则 AF=2AG=2 ，∵平行四边形 ABCD，∴ AD∥ BC，∴∠ DAF=∠ E，∠ ADF=∠ ECF，在△ ADF和△ ECF中，，∴△ ADF≌△ ECF（AAS），∴AF=EF，则 AE=2AF=4 ．应选： B评论：本题考察了平行四边形的性质，全等三角形的判断与性质，勾股定理，等腰三角形的判断与性质，娴熟掌握平行四边形的判断与性质是解本题的重点．7．如图，在 ? ABCD中， E 是AD边上的中点，连结BE，并延伸BE 交CD延伸线于点F，则△EDF与△ BCF的周长之比是（）A．1： 2B．1： 3C． 1：4D． 1：5考点：平行四边形的性质；全等三角形的判断与性质．版权全部专题：压轴题．剖析：依据平行四边形性质得出AD=BC， AD∥ BC，推出△ EDF∽△ BCF，得出△EDF与△ BCF 的周长之比为，依据BC=AD=2DE代入求出即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥ BC，∴△ EDF∽△ BCF，∴△ EDF与△ BCF的周长之比为，∵E 是AD边上的中点，∴ AD=2DE，∵AD=BC，∴BC=2DE，∴△ EDF与△ BCF的周长之比1： 2，应选 A．评论：本题考察了平行四边形性质，相像三角形的性质和判断的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，相像三角形的周长之比等于相像比．8．已知点A（ 0， 0）， B（ 0，4）， C（ 3， t+4 ），D（ 3， t ）．记 N（ t ）为 ? ABCD内部（不含界限）整点的个数，此中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则为（）A． 6、7B． 7、8C． 6、7、8N（ t ）全部可能的值D． 6、8、9考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．版权全部专题：压轴题．剖析：分别求出 t=1 ， t=1.5 ， t=2 ， t=0 时的整数点，依据答案即可求出答案．解答：解：当 t=0 时， A（ 0， 0），B（ 0， 4）， C（ 3，4）， D（ 3，0），此时整数点有（1，1），（ 1， 2），（ 1， 3），（ 2， 1），（ 2， 2），（ 2， 3），共 6 个点；当 t=1 时， A（ 0， 0）， B（ 0， 4）， C（ 3，5）， D（ 3，1），此时整数点有（1， 1），（ 1，2），（ 1，3），（ 1，4），（ 2，1），（ 2，2），（ 2， 3），（ 2， 4），共 8 个点；当 t=1.5 时， A（ 0，0），B（ 0，4），C（ 3，5.5 ），D（ 3，1.5 ），此时整数点有（ 1，1），（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 2， 2），（ 2， 3），（ 2， 4），共 7 个点；当 t=2 时， A（ 0， 0）， B（ 0， 4）， C（ 3，6）， D（ 3，2），此时整数点有（1， 1），（ 1，2），（ 1，3），（ 1，4），（ 2，2），（ 2，3），（ 2， 4），（ 2， 5），共 8 个点；应选项 A 错误，选项 B 错误；选项 D错误，选项 C 正确；应选：C．评论：本题考察了平行四边形的性质．主要考察学生的理解能力和概括能力．9．如图，在 Rt △ ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点 D在 BC上，以 AC为对角线的全部? ADCE 中， DE最小的值是（）A．2B．3C． 4D． 5考点：平行四边形的性质；垂线段最短；平行线之间的距离．版权全部专题：压轴题．剖析：由平行四边形的对角线相互均分、垂线段最短知，当OD⊥ BC时， DE线段取最小值．解答：解：∵在 Rt △ ABC中，∠ B=90°，∴BC⊥ AB．∵四边形ADCE是平行四边形，∴OD=OE，OA=OC．∴当 OD取最小值时， DE线段最短，此时OD⊥ BC．∴OD∥ AB．又点 O是 AC的中点，∴OD是△ ABC的中位线，∴OD= AB=1.5，∴ED=2OD=3．应选 B．评论：本题考察了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线相互均分”的性质．10．以下图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点 D，E 分别是边AB、 AC上，将△ ABC沿着 DE重叠压平， A 与 A′重合，若∠ A=70°，则∠ 1+∠2=（）A． 140°B． 130°C． 110°D． 70°考点：多边形内角与外角．版权全部专题：压轴题．剖析：第一依据四边形的内角和公式能够求出四边形ADA′ E 的内角和，由折叠可知∠AED=∠A′ ED，∠ ADE=∠A′ DE，∠ A=∠ A′，又∠ A=70°，由此能够求出∠ AED+∠ A′ ED+∠ADE+∠A′ DE，再利用邻补角的关系即可求出∠1+∠ 2．解答：解：∵四边形ADA′ E 的内角和为（4﹣ 2）? 180° =360°，而由折叠可知∠AED=∠ A′ED，∠ ADE=∠ A′ DE，∠ A=∠A′，∴∠ AED+∠ A′ ED+∠ ADE+∠A′ DE=360°﹣∠ A﹣∠ A′ =360°﹣ 2×70° =220°，∴∠ 1+∠2=180°× 2﹣（∠ AED+∠ A′ED+∠ ADE+∠ A′ DE） =140°．应选： A．评论：本题考察依据多边形的内角和计算公式乞降多边形有关的角的度数，解答时要会依据公式进行正确运算、变形和数据办理．二．填空题（共 5 小题）11．如图，在 ? ABCD中， AD=2AB， F 是 AD的中点，作C E⊥ AB，垂足 E 在线段 AB 上，连结EF、 CF，则以下结论中必定建立的是①②④．（把全部正确结论的序号都填在横线上）①∠ DCF= ∠ BCD；② EF=CF；③ S△BEC=2S△CEF；④∠ DFE=3∠ AEF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判断与性质；直角三角形斜边上的中线．版权全部专题：几何图形问题；压轴题．剖析：分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判断与性质得出△AEF≌△ DMF（ ASA），得出对应线段之间关系从而得出答案．解答：解：①∵ F 是 AD的中点，∴AF=FD，∵在 ? ABCD中， AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠ DFC=∠ DCF，∵AD∥ BC，∴∠DFC=∠ FCB，∴∠DCF=∠ BCF，∴∠ DCF= ∠ BCD，故此选项正确；延伸 EF，交 CD延伸线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥ CD，∴∠ A=∠MDF，∵ F 为 AD中点，∴AF=FD，在△ AEF和△ DFM中，，∴△ AEF≌△ DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵ CE⊥ AB，∴∠ AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵ FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵ EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞ BE，∴S△BEC＜2S△EFC故 S△BEC=2S△CEF错误；④设∠ FEC=x，则∠ FCE=x，∴∠ DCF=∠ DFC=90°﹣ x，∴∠ EFC=180°﹣ 2x，∴∠ EFD=90°﹣ x+180°﹣ 2x=270°﹣ 3x ，∵∠ AEF=90°﹣ x，∴∠ DFE=3∠ AEF，故此选项正确．故答案为：①②④．评论：本题主要考察了平行四边形的性质以及全等三角形的判断与性质等知识，得出△AEF ≌△DMF是解题重点．12．在 ? ABCD中，点 O是对角线 AC、BD的交点，点 E 是边 CD的中点，且 AB=6， BC=10，则OE=5 ．考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质．版权全部专题：压轴题．剖析：先画出图形，依据平行线的性质，联合点 E 是边 CD的中点，可判断OE是△ DBC的中位线，既而可得出OE的长度．解答：解：∵四边形ABCD是平行四变形，∴点 O是 BD中点，∵点 E 是边 CD的中点，∴OE是△ DBC的中位线，∴OE= BC=5．故答案为： 5．评论：本题考察了平行四边形的性质及中位线定理的知识，解答本题的重点是依据平行四边形的性质判断出点O是 BD中点，得出OE是△ DBC的中位线．13．如图， D 是△ ABC内一点， BD⊥ CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是 AB、AC、CD、BD的中点，则四边形 EFGH的周长是 11 ．考点：三角形中位线定理；勾股定理．版权全部专题：压轴题．剖析：利用勾股定理列式求出BC的长，再依据三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半求出EH=FG= AD， EF=GH= BC，而后辈入数据进行计算即可得解．解答：解：∵ BD⊥ CD， BD=4， CD=3，∴ BC===5，∵E、 F、G、 H 分别是 AB、AC、 CD、 BD的中点，∴ EH=FG= AD， EF=GH= BC，∴四边形EFGH的周长 =EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵ AD=6，∴四边形EFGH的周长 =6+5=11．故答案为： 11．评论：本题考察了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半是解题的重点．14．如图， E、 F 分别是 ? ABCD的边 AB、 CD上的点， AF 与 DE订交于点 P， BF与 CE订交于△ APD2△ BQC22点 Q，若 S =10cm ，S =20cm，则暗影部分的面积为30cm．考点：平行四边形的性质；相像三角形的判断与性质．版权全部专题：压轴题．剖析：连结 E、F 两点，由三角形的面积公式我们能够推出S△EFC=S△BCQ，S△EFD=S△ADF，所以 S△EFG=S △BCQ，S△EFP=S△ ADP，所以能够推出暗影部分的面积就是S△APD+S△BQC．解答：解：连结 E、 F 两点，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AB∥ CD，∴△ EFC的 FC 边上的高与△ BCF的 FC边上的高相等，∴ S△EFC=S△BCF，∴ S△EFQ=S△BCQ，同理： S△EFD=S△ADF，∴ S△EFP=S△ADP，∵ S△APD=10cm2， S△BQC=20cm2，∴S 四边形EPFQ=30cm2，2故暗影部分的面积为30cm ．评论：本题主要考察平行四边形的性质，三角形的面积，解题的重点在于求出各三角形之间的面积关系．15．在四边形 ABCD中，对角线 AC⊥ BD且 AC=6、BD=8， E、 F 分别是边 AB、CD的中点，则EF=5．考点：三角形中位线定理；勾股定理．版权全部专题：压轴题．剖析：取 BC的中点 G，连结 EG、FG，依据三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半求出EG、 FG，并求出 EG⊥ FG，而后利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：如图，取BC的中点 G，连结 EG、 FG，∵E、 F 分别是边 AB、 CD的中点，∴ EG∥ AC且 EG= AC= ×6=3，FG∥ BD且 FG= BD= × 8=4，∵AC⊥BD，∴ EG⊥ FG，∴ EF===5．故答案为： 5．评论：本题考察了三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作协助线结构出直角三角形是解题的重点．三．解答题（共 5 小题）16．如图， ? ABCD中，点 O是 AC与 BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延伸线分别交于点 E、F．（1）求证：△ AOE≌△ COF；AECF是矩形，并说明原因．（2）请连结EC、 AF，则 EF 与AC知足什么条件时，四边形考点：平行四边形的性质；全等三角形的判断与性质；矩形的判断．版权全部专题：压轴题．剖析：（ 1）依据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可；（2）请连结 EC、AF，则 EF 与 AC知足 EF=AC时，四边形 AECF是矩形，第一证明四边形 AECF是平行四边形，再依据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．解答：（ 1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，AB∥ CD．∴∠ E=∠F．∵在△ AOE与△ COF中，，∴△ AOE≌△ COF（AAS）；（2）连结 EC、 AF，则 EF与 AC知足 EF=AC时，四边形 AECF是矩形，原因以下：由（ 1）可知△ AOE≌△ COF，∴OE=OF，∵ AO=CO，∴四边形 AECF是平行四边形，∵ EF=AC，∴四边形 AECF是矩形．评论：本题主要考察了全等三角形的性质与判断、平行四边形的性质以及矩形的判断，第一利用平行四边形的性质结构全等条件，而后利用全等三角形的性质解决问题17．已知，如图，在 ? ABCD中， AE⊥ BC，垂足为 E， CE=CD，点 F 为 CE的中点，点 G为 CD 上的一点，连结 DF、 EG、 AG，∠ 1=∠ 2．（1）若 CF=2， AE=3，求 BE的长；（2）求证：∠ CEG= ∠AGE．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判断与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．版权全部专题：压轴题．剖析：（ 1）求出 DC=CE=2CF=4，求出 AB，依据勾股定理求出BE即可；（2）过 G作 GM⊥ AE于 M，证△ DCF≌△ ECG，推出 CG=CF，求出 M为 AE中点，得出等腰三角形 AGE，依据性质得出 GM是∠ AGE的角均分线，即可得出答案．解答：（ 1）解：∵ CE=CD，点 F 为 CE的中点， CF=2，∴DC=CE=2CF=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，∵AE⊥ BC，∴∠AEB=90°，在 Rt △ ABE中，由勾股定理得：BE==；（ 2）证明：过G作 GM⊥ AE于 M，∵AE⊥ BE， GM⊥ AE，∴ GM∥ BC∥ AD，∵在△ DCF和△ ECG中，，∴△ DCF≌△ ECG（AAS），∴CG=CF，CE=CD，∵ CE=2CF，∴CD=2CG，即G为CD中点，∵ AD∥ GM∥ BC，∴ M为 AE中点，∴ AM=EM（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等），∵ GM⊥ AE，∴ AG=EG，∴∠ AGM=∠ EGM，∴∠ AGE=2∠ MGE，∵GM∥ BC，∴∠EGM=∠ CEG，∴∠ CEG= ∠ AGE．评论：本题考察了平行四边形性质，等腰三角形的性质和判断，平行线分线段成比率定理，全等三角形的性质和判断，勾股定理等知识点的应用，主要考察学生综合运用定理进行推理的能力．18．如图， ? ABCD中， AC与 BD订交于点O，∠ ABD=2∠ DBC， AE⊥BD于点 E．（1）若∠ ADB=25°，求∠ BAE的度数；（2）求证： AB=2OE．考点：平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．版权全部专题：压轴题．剖析：（ 1）依据平行四边形的对边平行可得AD∥ BC，再依据两直线平行，内错角相等可得∠ DBC=∠ADB，而后求出∠ ABD，再依据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠ BAE；（2）取 AB的中点 F，连结 EF、OF，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 EF=BF= AB，依据等边平等角可得∠ ABD=∠ BEF，依据三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半可得OF∥ BC，依据两直线平行，内错角相等可得∠DBC=∠EOF，而后依据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ EFO=∠ EOF，再依据等角平等边可得 EF=OE，从而得证．解答：（ 1）解：在 ? ABCD中， AD∥ BC，∴∠ DBC=∠ ADB，∵∠ ABD=2∠ DBC，∠ ADB=25°，∴∠ ABD=2× 25° =50°，∵AE⊥ BD，∴∠ BAE=90°﹣∠ ABD=90°﹣ 50° =40°；（2）证明：如图，取 AB的中点 F，连结 EF、 OF，∵ AE⊥ BD，∴EF=BF= AB，∵AO=CO，∴OF是△ ABC的中位线，∴OF∥ BC，∴∠ DBC=∠ EOF，依据三角形的外角性质，∠BEF=∠ EFO+∠ EOF，又∵∠ ABD=2∠ DBC，∴∠ EFO=∠ EOF，∴EF=OE，∴OE= AB，∴AB=2OE．评论：本题考察了平行四边形的对边平行，对角线相互均分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作协助线是解题的重点．19．如图，已知 ? ABCD中，AE均分∠ BAD交 DC于 E，DF⊥ BC于 F，交 AE于 G，且 AD=DF．过点 D 作 DC的垂线，分别交 AE、 AB 于点 M、N．（1）若 M为 AG中点，且 DM=2，求 DE的长；（2）求证： AB=CF+DM．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判断与性质．版权全部专题：压轴题．剖析：（ 1）由 ? ABCD中，AE均分∠ BAD交 DC于 E，DF⊥ BC，易证得∠ DMG=∠ DGM，求得 DG=DM=2，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，求得AG的长，既而求得DE的长；（2）过点 A 作 AD的垂线交 DN的延伸线于点 H，先证 DC=DN， AH=CF，再证 AH=MH得证．解答：解：（ 1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥ BC， AB∥ CD，∴∠ BAE=∠ DEA，∵ AE均分∠ BAD，∴DE=AD，∵∠ DAE=∠ DEA，∵DF⊥BC，∴ DF⊥ AD，∵M为 AG中点，∴AG=2DM=4，∵ DN⊥ CD，∴∠ ADM+∠ MDG=∠MDG+∠EDG，∴∠ ADM=∠ EDG，∴∠ DAE+∠ ADM=∠DEA+∠EDG，即∠ DMG=∠ DGM，∴DG=DM=2，在 Rt △ ADG中， DE=AD==；（2）证明：过点 A 作 AD的垂线交 DN的延伸线于点 H，在△ ADH和△ FDC中，，∴△ DAH≌△ DFC（ASA），∴AH=FC，DH=DC，∵DF⊥AD，∴AH∥DF，∴∠HAM=∠ DGM，∵∠ AMH=∠ DMG，∠ DMG=∠DGM，∴∠ HAM=∠ HMA，∴ AH=MH，∴ MH=CF，∴ AB=CD=DH=MH+DM=CF+DM．评论：本题考察了平行四边形的性质、全等三角形的判断、等腰三角形的判断与性质与性质以及勾股定理．本题难度适中，注意掌握协助线的作法，注意掌握数形联合思想的应用．20.如图，已知 ? ABCD中， DE⊥BC于点 E， DH⊥ AB于点 H， AF 均分∠ BAD，分别交 DC、 DE、DH于点 F、G、 M，且 DE=AD．（1）求证：△ ADG≌△ FDM．（2）猜想 AB与 DG+CE之间有何数目关系，并证明你的猜想．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判断与性质．版权全部专题：压轴题．剖析：（ 1）由 ? ABCD中， DE⊥BC于点 E，DH⊥ AB于点 H，AF 均分∠ BAD，可证得 DA=DF，而后由 ASA证得：△ ADG≌△ FDM．（2）延伸 GD至点 N，使 DN=CE，连结 AN先证明△ ADN≌△ DEC，再证 AN=NG=CD=AB 解答：证明：（ 1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥ CD， AD∥ BC，∴∠ BAF=∠ DFA，∵ AF 均分∠ BAD，∴∠ DAF=∠ DFA，∴AD=FD，∵DE⊥ BC， DH⊥ AB，∴∠ ADG=∠ FDM=90°，在△ ADG和△ FDM中，，∴△ ADG≌△ FDM（ASA）．（2） AB=DG+EC．证明：延伸GD至点 N，使 DN=CE，连结 AN，∵DE⊥ BC， AD∥ BC，∴∠ ADN=∠ DEC=90°，在△ ADN和△ DEC中，，∴△ ADN≌△ DEC（SAS），∴AN=CD=DG+DN=DG+EC，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴AB=DG+EC．评论：本题考察了平行四边形的性质、全等三角形的判断与性质以及等腰三角形的判断与性质．本题难度适中，注意掌握协助线的作法，注意数形联合思想的应用．。
平行四边形拔高
GFEDCBA四边形 平行四边形1．如图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于_____．2.如图①，将一块斜边长为12cm ，∠B=60°的直角三角板 ABC ，绕点C 沿逆时针方向旋转90°到△Ａ′Ｂ′Ｃ′的 位置，再沿CB 向右平移，使点Ｂ′刚好落在斜边AB 上， 那么此三角板向右平移的距离是 。
3．如图，在□ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外 作等边△ABE 、△ADF ，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连结CG 、CF ，则以下四个结论一定正确的是（ ）①△CDF ≌△EBC ②∠CDF ＝∠EAF ③△ECF 是等边三角形 ④CG ⊥AEA ．只有①② B．只有①②③ C ．只有③④ D ．①②③④４.如图③，△ABC 中，∠C=90°，点M 在BC 上，且BM=AC ，点N 在ＡＣ上，且ＡＮ＝ＭＣ，ＡＭ与ＢＮ相交于点Ｐ，求证：∠ＢＰＭ＝４５°。
FA E BCDDACB5.如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线，交AD 于E 点、交BC 于F 点。
若PE=PF ，且AP+AE=CP+CF 。
证明：四边形ABCD 是平行四边形。
6．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD ）的斜边恰好重合．已知AB ＝2，P 是AC 上的一个动点． （1）当点P 运动到∠ABC 的平分线上时，连接DP ，求DP 的长； （2）当点P 在运动过程中出现PD ＝BC 时，求此时∠PDA 的度数；（3）当点P 运动到什么位置时，以D ，P ，B ，Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC 上？求出此时□DPBQ 的面积．菱形1．如图，已知菱形ABCD 的一个内角，对角线 AC 、BD 相交于点O ，点E 在AB 上，且，则= 度．2. 如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2㎝，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连结AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ） A ．㎝ B ．㎝C ．㎝D ．3㎝3︒=∠80BAD BO BE =EOA ∠3233343.如图，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ，则点P 到BC 的距离是_____cm.4．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ． （1）求证：BE = DF ；（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．5．在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，过点O 作直线EF 、GH ，分别交平行四边形的四条边于E 、G 、F 、H 四点，连结EG 、GF 、FH 、HE . （1）如图①，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF ⊥GH 时，四边形EGFH 的形状是 ；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC =BD ，四边形EGFH 的形状是 ； （4）如图④，在（3）的条件下，若AC ⊥BD ，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由.HG F E O D C B A 图① H G F E O D C B A 图② A B CD OEFGH 图③ A B C D O E F G H 图④矩形1．矩形ABCD 中，E 、F 、M 为AB 、BC 、CD 边上的点， 且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM,则EM 的长为（ ） A ．5 B ． C ．6 D ．2．如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 的一个动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4，那么点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（ ）A ．B ．C ．D ．不确定3．如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片上的点H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，BC ＝4cm ，E 是 DC 的中点，BF ＝BC ，则四边形DBFE 的面积为．5．如图矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，CD 上有一点E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点P ，PD ＝3cm ，过P 作PF⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是______cm.6.小明尝试着将矩形纸片ABCD （如图①，AD >CD ）沿过A 点的直线折叠，使得B 点落在AD 边上的点F 处，折痕为AE （如图②）；再沿过D 点的直线折叠，使得C 点落在DA 边上的点N 处，E 点落在AE 边上的点M 处，折痕为DG （如图③）．如果第二次折叠后，M 点正好在∠NDG 的平分线上，那么矩形ABCD 长与宽的比值为 ．252612565245412cm BAGCDHEAB CDM N A ' B '7．如图1，在△ABC 中，AB=BC ，P 为AB 边上一点，连接CP ，以PA 、PC 为邻边作□APCD ，AC 与PD 相交于点E ，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）. （1）求证：∠EAP=∠EPA；（2）□APCD 是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F 为BC 中点，连接FP ，将∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M 、N 分别是∠MEN 的两边与BA 、FP 延长线的交点）.猜想线段EM 与EN 之间的数量关系，并证明你的结论.(提示:在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半)正方形1．如图，已知正方形的边长为3，为边上一点， ．以点为中心，把△顺时针旋转，得△，连接，则的长等于 ． 2． 四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的处，点A 对应点为， 且=3，则AM 的长是（ ） (相似三角形，对应边成比例) A ．1.5 B ．2 C ．2.25 D ．2.5ABCD E CD 1DE =A ADE 90︒ABE 'EE 'EE 'B 'A 'C B '图1B① ②③A DE 'A PEDCB3.已知：如图，在正方形外取一点， 连接，，．过点作的垂线交 于点．若， ．下列结论： ① △≌△；② ②点到直线； ③；④⑤其中正确结论的序号是（ ）A ．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤4．正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点在线段上，正方形 的边长为4，则的面积为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 5．正方形ABCD 中，点O 是对角线DB 的中点，点P 是DB 所在直线上的一个动点，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥DC 于F .(1)当点P 与点O 重合时(如图①)，猜测AP 与EF 的数量及位置关系，并证明你的结论；(2)当点P 在线段DB 上 (不与点D 、O 、B 重合)时(如图②)，探究(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)当点P 在DB 的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断(1)中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.ABCD E AE BE DE A AE ED P 1AE AP ==PB =APD AEB B AE EB ED ⊥1APD APB S S ∆∆+=+4ABCD S =+正方形ABCD BEFG RKPF G DK BEFG DEK ∆梯形1.如图．梯形ABCD 中，AD∥BC、AB ＝CD ，AC 丄BD 于点O ，∠BAC＝60°，若BC ＝6，则此梯形的面积为（ ）2.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AB ⊥，2=AD ，4=BC ，点E 在AB 边上，且CE 平分BCD ∠，DE 平分ADC ∠，则点E 到CD 的距离为 ．3.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 交于点O ，则s △AOD = s △BOC ．（填“＞”、“=”或“＜”）4. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ， 点E 在BC 上，AE ＝BE ，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，若AD ＝2.7，AF ＝4，AB ＝6，则CE 的长为A ．2 2B ．23－1C ．2.5D ．2.35. 如图，已知梯形ABCD 的中位线为EF ，且△AEF 的面积为6cm 2，则梯形ABCD的面积为（ ） A ．12 cm 2 B ．18 cm 2C ．24 cm 2D ．30 cm 2ABCD FA DB C E F6. 在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由 A→M→N→C 的小路（M 、N 分别是AB 、CD 中点）. 极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC 行走，破坏了 草坪，实际上他们仅少走了（ ） A. 7米 B. 6米 C. 5米 D. 4米7. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD = 2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ，连接AE 、CE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为 ．8. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是梯形的中位线，对角线AC 交EF 于G ，若BC =10cm ，EF =8cm ，则GF 的长等于 cm ．9. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC ＝6cm ，则等腰梯形ABCD 的面积为_____cm .10. 如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时的长为__________．11．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，，AD = 6，BC = 8，，点M 是BC的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P ，Q 运动的时间是t 秒(t ＞0)．（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中，写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）．（2）当BP = 1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积．（3）随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的290B ∠=︒33=ABGF E D CBA （第8题）A BC DP长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接．．写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．12.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC,E 是BC 的中点，AD=5，BC=12，，∠C=，点P 是BC 边上一动点，设PB 长为x.(1)当x 的值为 时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形.(2)当x 的值为 时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行网边形. (3)点P 在BC 边上运动的过程中，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.045BPQ（备用图）。
人教版八年级数学下《平行四边形的性质》拔高练习
《平行四边形的性质》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α＝60°．若AB＝OD＝2，则▱ABCD的面积是（）A．8B．C．2D．42．（5分）如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝，则BC的长是（）A．B．2C．2D．43．（5分）如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E 点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．（5分）如图，在▱ABCD中AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，若AE：AF＝2：3，▱ABCD的周长为40，则AB的长为（）A．8B．9C．12D．155．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E ，且AE ＝3，则AB 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知点E 在边BC 上，∠BAE ＝∠DAC ，AB ＝7，AD ＝10，则CE ＝ ．7．（5分）如图，平行四边形ABCD 的周长为20，对角线AC 的长为5，则△ABC的周长为 ．8．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝10，AC ＝8，BD ＝14，△AOD的周长是 ．9．（5分）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，AF 与DE 交于点P ，BF 与CE 交于点Q ，若S △APD ＝20cm 2，S △BQC ＝30cm 2，则图中阴影部分的面积为 cm 2．10．（5分）如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ADC 与∠BCD 的平分线分别交AB 于F ，E ，则EF ＝ ．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝2AE＝4，∠BCE＝30°．（1）求平行四边形ABCD的面积S；（2）求证：∠EMC＝2∠AEM．12．（10分）如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N．（1）若BM＝4，MC＝3，AC＝，求AM的长度；（2）若∠ACB＝45°，求证：AN+AF＝EF．13．（10分）如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，求AB，BC的长及平行四边形ABCD的面积？14．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝10，BD＝16，AB＝6，求△OCD的周长．15．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC．求BC，CD，AC，OA的长，以及平行四边形ABCD的面积．《平行四边形的性质》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α＝60°．若AB＝OD＝2，则▱ABCD的面积是（）A．8B．C．2D．4【分析】根据等边三角形的判定得出△DOC是等边三角形，再根据平行四边形的性质和的面积公式即可求解．【解答】解：∵在▱ABCD中，∴AB＝DC，∵α＝60°．AB＝OD＝2，∴△DOC是等边三角形，∴△DOC的面积＝，∴▱ABCD的面积＝4△DOC的面积＝4，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质和面积，解此题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．2．（5分）如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝，则BC的长是（）A．B．2C．2D．4【分析】根据平行四边形的性质可得出CD＝AB＝、∠D＝∠CAD＝45°，由等角对等边可得出AC＝CD＝，再利用勾股定理即可求出BC的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝，BC＝AD，∠D＝∠ABC＝∠CAD＝45°，∴AC＝CD＝，∠ACD＝90°，即△ACD是等腰直角三角形，∴BC＝AD＝＝2．故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，根据平行四边形的性质结合∠ABC＝∠CAD＝45°，找出△ACD是等腰直角三角形是解题的关键．3．（5分）如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E 点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据平行四边形的性质可知∠AEB＝∠EBC，又因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE＝3，同理可证FD＝3，继而可求得EF＝AE+DE﹣AD．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3cm，同理可证：DF＝DC＝AB＝3cm，则EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1cm．故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．4．（5分）如图，在▱ABCD中AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，若AE：AF＝2：3，▱ABCD的周长为40，则AB的长为（）A．8B．9C．12D．15【分析】根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半．根据平行四边形的面积，可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴BC+CD＝40÷2＝20，根据平行四边形的面积公式，得BC：CD＝AF：AE＝3：2．∴BC＝12，CD＝8，∴AB＝CD＝8，故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的一组邻边的和等于周长的一半，平行四边形的一组邻边的比和它的高的比成反比．5．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB的长为（）A．5B．4C．3D．【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出∠DEC＝∠DCE，进而得出DE＝DC＝AB求出即可．【解答】解：∵在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，∴∠DEC＝∠ECB，∠DCE＝∠BCE，AB＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC＝AB，∵AD＝BC＝7，AE＝3，∴DE＝DC＝AB＝4．故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，得出DE＝DC ＝AB是解题关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在边BC上，∠BAE＝∠DAC，AB＝7，AD＝10，则CE＝ 5.1．【分析】由▱ABCD的性质及∠BAE＝∠DAC可得∠BAE＝∠BCA，进而可判定△BAE∽△BCA，可得，可BE的长，即可得CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC＝10，∴∠DAC＝∠BCA，又∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE＝∠BCA，∵∠B＝∠B，∴△BAE∽△BCA，∴，∵AB＝7，BC＝10，∴BE＝4.9，∴EC＝5.1．故答案为：5.1．【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到∠BAE＝∠BCA是判定三角形相似的前提，熟练运用相似形的性质是解题的关键．7．（5分）如图，平行四边形ABCD 的周长为20，对角线AC 的长为5，则△ABC 的周长为 15 ．【分析】因为ABCD 是平行四边形，由题意得AB +BC ＝10，而AC 知道，那么△ABC 的周长就可求出．【解答】解：∵平行四边形中对边相等，∴AB +BC ＝20÷2＝10，∴△ABC 的周长＝AB +BC +AC ＝10+5＝15．故答案为：15．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的周长等知识，灵活应用性质是解题的关键．8．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝10，AC ＝8，BD ＝14，△AOD的周长是 21 ．【分析】根据平行四边形的性质可得AD ＝BC ＝10，AO ＝CO ＝AC ＝4，BO ＝DO ＝BD ＝7，即可求△AOD 的周长．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ＝BC ＝10，AO ＝CO ＝AC ＝4，BO ＝DO ＝BD ＝7∴△AOD 的周长＝AD +AO +DO ＝21故答案为21【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质解决问题是本题的关键．9．（5分）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，AF 与DE 交于点P ，BF 与CE 交于点Q ，若S △APD ＝20cm 2，S △BQC ＝30cm 2，则图中阴影部分的面积为 50 cm 2．【分析】连接E 、F 两点，由三角形的面积公式我们可以推出S △EFC ＝S △BCQ ，S △EFD ＝S △ADF ，所以S △EFG ＝S △BCQ ，S △EFP ＝S △ADP ，因此可以推出阴影部分的面积就是S △APD +S △BQC ．【解答】解：连接E 、F 两点，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴△EFC 的FC 边上的高与△BCF 的FC 边上的高相等，∴S △EFC ＝S △BCF ，∴S △EFQ ＝S △BCQ ，同理：S △EFD ＝S △ADF ，∴S △EFP ＝S △ADP ，∵S △APD ＝20cm 2，S △BQC ＝30cm 2，∴S 四边形EPFQ ＝50cm 2，故答案为：50．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，题目综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．10．（5分）如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ADC 与∠BCD 的平分线分别交AB 于F ，E ，则EF ＝ 1 ．【分析】由题意可得AD ＝AF ＝3，BC ＝BE ＝3，即可求EF 的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥BA，AD＝BC＝3∵DF平分∠ADC∴∠ADF＝∠CDF∵DC∥AB∴∠CDF＝∠DF A∴∠ADF＝∠AFD∴AD＝AF＝3同理可得BE＝BC＝3∵EF＝AF+BE﹣AB∴EF＝3+3﹣5＝1故答案为：1【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝2AE＝4，∠BCE＝30°．（1）求平行四边形ABCD的面积S；（2）求证：∠EMC＝2∠AEM．【分析】（1）利用平行四边形的性质以及直角三角形的性质得出CE的长，进而得出答案；（2）利用全等三角形的判定得出△AEM≌△DNM（ASA），根据全等三角形的性质得到EM＝MN，根据直角三角形的性质得到MN＝MC，根据等腰三角形和三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】（1）解：∵M为AD的中点，AM＝2AE＝4，∴AD＝2AM＝8．在▱ABCD的面积中，BC＝CD＝8，又∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝4，∴AB＝6，CE＝4，∴▱ABCD的面积为：AB×CE＝6×4＝24；（2）证明：延长EM，CD交于点N，连接CM．∵在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠AEM＝∠N，在△AEM和△DNM中∵，∴△AEM≌△DNM（ASA），∴EM＝MN，又∵AB∥CD，CE⊥AB，∴CE⊥CD，∴CM是Rt△ECN斜边的中线，∴MN＝MC，∴∠N＝∠MCN，∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．12．（10分）如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N．（1）若BM＝4，MC＝3，AC＝，求AM的长度；（2）若∠ACB＝45°，求证：AN+AF＝EF．【分析】（1）如图1中，连接AE，在Rt△ACE中，求出AE，再在Rt△AEM中求出AM即可；（2）如图，连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E．由Rt △EHA≌Rt△EGC（HL），推出AH＝CG，由Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），推出FH＝FG，由△AON≌△COF（ASA），推出AN＝CF，推出AN+AF＝FC+AF ＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH，由EF＝FH，即可解决问题；【解答】（1）解：如图1中，连接AE．∵AB＝AM，BE＝EM，∴AE⊥BM，在Rt△ACE中，∵AC＝，EC＝EM+CM＝5，∴AE＝＝，在Rt△AEM中，AM＝＝．（2）如图，连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E．∵∠AEC＝∠AFC＝90°，∴∠AEC+∠AFC＝90°，∴A，E，C，F四点共圆，∴∠AFE＝∠ACE＝45°，∴∠EF A＝∠EFG＝45°，∵EH⊥F A，EG⊥FG，∴EH＝EG，∵∠ACE＝∠EAC＝45°，∴AE＝EC，∴Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），∴AH＝CG，∵EF＝EF，EH＝EG，∴Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），∴FH＝FG，∵AB∥CD，∴∠OAN＝∠OCF，∵∠AON＝∠COF，OA＝OC，∴△AON≌△COF（ASA），∴AN＝CF，∴AN+AF＝FC+AF＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH，∵EF＝FH，∴AN+AF＝EF．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆、角平分线的性质定理、等腰直角三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．13．（10分）如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，求AB，BC的长及平行四边形ABCD的面积？【分析】根据AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，可以得到∠C的度数，由四边形ABCD是平行四边形可以得到∠B、∠D的度数，然后根据解直角三角形的相关知识可以求得AB、BC的长，根据特殊角的三角函数可以求得AE的长，由平行四边形的面积等于底乘以高，可以求得四边形ABCD的面积．【解答】解：∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∴∠AEC＝∠AFC＝90∵∠EAF＝60°，∴∠C＝360﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠EAF＝120，∴∠B＝60°∴∠BAE＝30°，∴AB＝2BE＝4；cm．∵∠D＝∠B＝60°，∴∠DAF＝30°．∴AD＝2DF＝6cm．∴BC＝AD＝6cm在Rt△ADF中，AF＝＝3（cm），∴ABCD的面积＝CD•AF＝4×3＝12（cm2）．【点评】本题考查平行四边形的性质、平行四边形的面积，30°角所对的直角边和斜边的关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．利用数形结合的思想解答问题．14．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝10，BD＝16，AB＝6，求△OCD的周长．【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝6，OA＝OC＝5，OB＝OD＝8，∴△OCD的周长＝6+5+8＝19．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，属于中考基础题．15．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC．求BC，CD，AC，OA的长，以及平行四边形ABCD的面积．【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝8，OA＝OC＝AC，根据勾股定理求出AC的长，根据平行四边形的面积公式即可求出平行四边形ABCD 的面积．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝10，OA＝OC＝AC，∵AB＝10，BC＝8，由勾股定理得：AC＝＝6，∴OA＝3；∴▱ABCD的面积是BC×AC＝8×6＝48．答：BC＝8，CD＝10，AC＝6，OA＝3，▱ABCD的面积是48．【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出AC的长度是解此题的关键．。
平行四边形综合提高练习题
FEDCB A平行四边形综合提高一 利用平行四边形的性质进行角度、线段的计算1、如图,在□ＡBCD 中，ＡＥ⊥BC 于E,AF ⊥CD 于F,若∠ＥＡＦ=６0o,则∠Ｂ=＿＿____＿;若BC ＝４cm,AB ＝３cm,则AF ＝_＿＿＿___＿＿__,□A ＢCD 的面积为_________. 2已知A ＢC Ｄ的周长为32c ｍ,对角线A Ｃ、BD 交于点O,△ＡO Ｂ的周长比△ＢＯC 的周长多4cm,求这个四边形的各边长。
二、利用平行四边形的性质证线段相等3、如图，在□ＡB ＣD 中，O 是对角线ＡＣ、ＢＤ的交点,ＢE ⊥AC ，ＤF ⊥ＡC ，垂足分别为E 、F ．那么O Ｅ与OF 是否相等？为什么?三 直接利用平行四边形的判定和性质4、如图在A ＢC Ｄ中,Ｅ、Ｆ分别是AD 、BC 的中点,AF 与EB 交于点Ｇ，CE 与DF 交于点H ，试说明四边形EGFH 的形状。
5、如图，B Ｄ是A ＢＣD 的对角线，AE ⊥ＢＤ于Ｅ,CF ⊥B Ｄ于点F ，求证:四边形AEC Ｆ为平行四边形。
四 构造平行四边形解题HGADCEABDCEF6、如图2-３3所示．Rt △A ＢC 中,∠BAC=90°,AD ⊥ＢC 于D,BG 平分∠A ＢC ，E Ｆ∥BC 且交ＡC 于Ｆ. 求证:ＡＥ＝CF.7、已知，如图,ＡD 为△ＡB Ｃ的中线,E 为A Ｃ上一点,连结BE 交AD 于点F ，且AE=FE,求证：BF=AC[能力提高]1、如图２－3９所示．在平行四边形ＡB ＣD 中，△ＡBE 和△B ＣＦ都是等边三角形．求证：△DEF 是等边三角形．2、如图2-32所示.在ABC Ｄ中，ＡＥ⊥B Ｃ，ＣF ⊥ＡＤ，ＤN ＝BM ．求证:EF 与MN 互相平分．3、 如图２－34所示.ＡＢCD 中,DE ⊥AB 于E,ＢM ＝MC=DC ．求证:∠EM Ｃ＝3∠BEM ．4 如图２-35所示．矩形AB ＣD 中，C Ｅ⊥BD 于E ，ＡF 平分∠ＢAD 交E Ｃ延长线于F ．求证：ＣA=CF.FBC E D[创新思维]１、以△ABC 的三条边为边在BC 的同侧作等边△ABP 、等边△ACQ 、等边△BCR ， 求证：四边形P ＡＱR 为平行四边形。
平行四边形综合提高练习题
平行四边形综合提高利用平行四边形的性质进行角度、线段的计算1.如图，在EMBCD 中，AE丄BC 于 E, AF丄CD 于 F,若ZEAF=60\ 则ZB=若 BC=4cm, AB=3cm,则 AF= ,OABCD的面积为2 已知UABCD的周长为32cm.对角线AC、BD交于点0, AA0B的周长比ZiBOC的周长多4cm,求这个四边形的各边长。
二.利用平行四边形的性质证线段相等3、如图，在C1ABCD中，0是对角线AC. BD的交点，BE丄AC, DF丄AC,垂足分别为E、F.那么0E 与0F是否相等？为什么?三直接利用平行四边形的判定和性质4、如图在OABCD中，E. F分别是AD、BC的中点，AF与EB交于点G, CE与DF交于点H,试说明四边形EGFH的形状。
厂5.如图，BD是口ABCD的对角线，AE丄BD于E, CF丄BD于点F,求证：四边形AECF为平行四边形。
四构造平行四边形解题6、如图 2-33 所示.RtAABC 中，ZBAC二90° , AD丄BC 于 D, BG 平分ZABC, EF〃BC 且交 AC 于 F・求证:AE=CF・A7、已知，如图，AD为ZUBC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于点F,且AE二FE,求证：BF=AC［能力提高］1、如图2-39所示.在平行四边形ABCD中，AABE和ABCF都是等边三角形.求证：ADEF是等边三角形.2、如图2-32所示.在口ABCD中，AE丄BC, CF丄AD, DN二BM.求证：EF与MN互相平分.3、如图 2-34 所示./Z7ABCD 中，DE丄AB 于 E, B\1-\IC二DC・求证：ZEMC-3ZBEM.4如图2-35所示.矩形ABCD中，CE丄BD于E, AF平分ZBAD交EC延长线于F.求证：CA二CF.［创新思维］1、以ZkABC的三条边为边在BC的同侧作等边ZkABP、等边Z\ACQ.等边ZXBCR, AD C 圉2—34求证：四边形PAQR为平行四边形。
(完整word)平行四边形综合提高练习题.doc
平行四边形综合提高一利用平行四边形的性质进行角度、线段的计算1、如图，在□ABCD中， AE⊥ BC于 E， AF⊥CD于 F，若∠ EAF＝60o，则∠ B＝ _______；若 BC＝ 4cm，AB＝ 3cm，则AF＝ ___________，□ ABCD的面积为 _________．A DFB E C2已知 ABCD的周长为 32cm,对角线 AC、 BD交于点 O，△ AOB的周长比△ BOC的周长多 4cm，求这个四边形的各边长。
二、利用平行四边形的性质证线段相等3、如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．那么OE与OF是否相等？为什么？三直接利用平行四边形的判定和性质4、如图在ABCD中， E、 F 分别是 AD、 BC的中点， AF 与 EB交于点 G，CE与 DF交于点 H，试说明四边形EGFH的形状。
AEDGHB FC5、如图， BD是ABCD的对角线， AE⊥ BD于 E， CF⊥BD于点 F，求证：四边形A ECF为平行四边形。
A DFEC B四构造平行四边形解题6、如图 2-33 所示． Rt △ABC中，∠ BAC=90°， AD⊥BC于 D，BG平分∠ ABC， EF∥ BC且交 AC于 F．求证： AE=CF．7、已知，如图，AD为△ ABC的中线， E 为 AC上一点，连结BE交 AD于点 F，且 AE=FE，求证： BF=ACB [ 能力提高 ]AEFD C1．如图 2-39 所示．在平行四边形ABCD中，△ ABE和△ BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．2、如图 2-32 所示．在ABCD中，AE⊥ BC，CF⊥ AD，DN=BM．求证： EF 与 MN互相平分．3、如图 2-34 所示．ABCD中， DE⊥ AB于 E， BM=MC=DC．求证：∠ EMC=3∠ BEM．4 如图 2-35 所示．矩形ABCD中， CE⊥ BD于 E， AF 平分∠ BAD交 EC延长线于F．求证： CA=CF．[ 创新思维 ]1、以△ ABC的三条边为边在BC的同侧作等边△ABP、等边△ ACQ、等边△ BCR，求证：四边形PAQR为平行四边形。
平行四边形---全章整合与拔高
知识---专题1 平行四边形的性质与判定例1、如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是CD 上一点，且AP 和BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠.(1)求APB ∠的度数；(2)如果AD=5cm ，AP=8cm ，求△APB 的周长.例2、如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点D 在BC 边上，AB 边上有一点F ，且BF=DC ，连接EF 、EB 、FC.(1)求证：△ABE ≌△ACD ；(2)求证：四边形EFCD 是平行四边形.例3、在△ABC 中，AB=AC ，点P 为△ABC 所在平面内一点，过点P 分别作PE ∥AC ，交AB 于点E ，PF ∥AB ，交BC 于点D ，交AC 于点F .(1)如图1，若点P 在BC 边上，此时PD=0，易证PD 、PE 、PF 与AB 满足的数量关系是PD+PE +PF=AB ；当点P 在△ABC 内时，先在图2中作出相应的图形，并写出PD ，PE ，PF 与AB 满足的数量关系，然后证明你的结论；（2）如图3，当点P 在△ABC 外时，先在图3中作出相应的图形，然后写出PD ，PE ，PF 与A B 满足的数量关系． （不用说明理由）专题一训练： 1、如图，在平行四边形ABCD 中，80B ︒∠=，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，CF ∥AE ，交AD 于点F ，则1∠等于（ ）A.40︒B.50︒C.60︒D.80︒2、（2010•清远）如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，已知90ODA ︒∠=，AC=10cm ，BD=6cm ，则AD 的长为（ ）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm3、（2009•庐江县模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ≠AD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，若△ABE 的周长为12cm ，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A.40cmB.24cmC.48cmD.无法确定题1 题2 题34、如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，O 是AD 的中点，过A 作BC 的平行线，交BO 的延长线于点E ，则四边形ABDE 是什么四边形？并说明理由.5、已知：如图，ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CD 至F ，使DF=CD ，连接AF ，连接BF 交AD 于点E.（1）求证：AE=ED .（2）若AB=BC ，求∠CAF 的度数．知识---专题2 三角形中位线定理例1、（2008•扬州）如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC ，CD 上的点，E 、F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）A.线段EF 的长逐渐增大B.线段EF 的长逐渐减少C.线段EF 的长不变D.线段EF 的长与点P 的位置有关例2、（2004•黄石）如图，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，BF 的延长线交AC 于点H ，则HE ：AH 等于（ ）A.1：1B.1：2C.2：1D.3：2例1 例2例3、（2010•铜仁地区）如图，小明作出了边长为1的第1个正111A B C ∆，算出了正111A B C ∆的面积．然后分别取111A B C ∆三边的中点2A 、2B 、2C ，作出了第2个正222A B C ∆，算出了正222A B C ∆的面积．用同样的方法，作出了第3个正333A B C ∆，算出了正333A B C ∆的面积…，由此可得，第10个正101010A B C ∆的面积是（ ）A.93144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B.103144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C.93142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D.103142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭例3 例4例4、如图，ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是线段AO 、BO 的中点，若AC+BD=24cm ，OAB ∆的周长是18cm ，则EF = .知识---专题3 多边形的内角和与外角和例1、探索归纳：(1)如图1，已知ABC ∆为直角三角形，90A ︒∠=，若沿图中虚线剪去A ∠，则1+2∠∠等于（ ）A.90︒B.135︒C.270︒D.315︒(2)如图2，已知△ABC 中，∠A=40°，剪去∠A 后成四边形，则∠1+∠2= ；(3)根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A 的关系是 ；(4)如图3，若没有剪掉，而是把△AEF 折叠到△PEF 的位置，试探究∠1+∠2与∠A 的关系,并说明理由．例2、（2008•南平）（1）如图1，图2，图3，在△ABC 中，分别以AB ，AC 为边，向△ABC 外作正三角形，正四边形，正五边形，BE ，CD 相交于点O ．①如图1，求证：△ABE ≌△ADC ；②探究：如图1，∠BOC = ；如图2，∠BOC = ；如图3，∠BOC = ；（2）如图4，已知：AB ，AD 是以AB 为边向△ABC 外所作正n 边形的一组邻边；AC 、AE 是以AC 为边向△ABC 外所作正n 边形的一组邻边，BE 、CD 的延长相交于点O ． ①猜想：如图4，∠BOC=360÷n （用含n 的式子表示）；②根据图4证明你的猜想．方法技巧---专题4 运用转化思想求值例1、如图所示，在△ABC 中，CA=CB=2，ACB ∠=90︒，如果以AC 的中点O 为旋转中心，将这个三角形旋转180︒，点B 落在点B '处，求点B '与点B 之间的距离.例2、如图，在△ABC 中，AB=10，AC=6，那么BC 边上的中线AD 的取值范围是 .例3、如图，△ABC 中，AB+AC=16，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 边的中点，那么四边形AFDE 的周长等于 .例1 例2 例3方法技巧---专题5 运用方程思想求解例1、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F .AE=4cm ，AF=5cm ，四边形ABCD 的周长为36cm ，试求AB 、BC 的长度.例2、如果两个多边形的边数之比为1:2，这两个多边形的内角之和为1440︒，请你确定这两个多边形的边数.方法技巧---专题6 运用整体思想求面积例1、（2009•宁国市模拟）如图，已知平行四边形ABCD 的面积为10，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A 、C 重合），且PE ∥BC ，交AB 于点E ，PF ∥CD ，交AD 于点F ，则阴影部分的面积是 .例2、如图，有一块四边形绿化园地，四角都有半径为R m 的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）A.222R m πB.224R m πC.22R m π D.不能确定例1 例2方法技巧---专题7 运用数形结合思想求面积例1、如图，已知长方形ABCD ，一条直线将该长方形ABCD 分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为M 和N ，则M+N 不可能是（ ）A.360︒B.540︒C.630︒D.720︒例2、如图，△ABC 、△ADE 及△EFG 都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点.若AB=4，则图形ABCDEFG 外围的周长是 .例1 例2中考专题例1、（山东烟台）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720︒，那么原多边形的边数为（ ）A.5B.5或6C.5或7D.5或6或7例2、（湖北襄阳）如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且AB=5，△OCD 的周长为23，则平行四边形ABCD 的两条对角线的和是（ ）A.18B.28C.36D.46例3、（湖南永州）如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分BAC ∠，BN AN ⊥于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知A B=10，BC=15，MN=3.(1)求证：BN=DN ；(2)求△ABC 的周长.例4、（四川南充）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，经过点O 的直线交AB 于E ，交CD 于F ，求证：OE=OF .例2 例3 例4 例5、(湖南常德)已知等腰直角三角形ABC ，等腰直角三角形CEF 中，90ABC CEF ︒∠=∠=，连接AF ，M 是AF 的中点，连接MB 、ME .(1)如图1，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：MB ∥CF ；(2)如图1，若AB=a ，CE=2a ，求BM ，ME 的长；(3)如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME ．例6、（福建龙岩）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠∠.1=2（1）求证：AE=CF；（2）求证：四边形EBFD是平行四边形.。
(完整版)平行四边形练习题及答案(DOC).doc
20.1平行四边形的判定一、选择题1 ．四边形ABCD，从（ 1）AB∥CD；（ 2）AB=CD；（ 3）BC∥AD；（ 4） BC=AD这四个条件中任选两个，其中能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A ． 3 种B．4种C．5种D．6种2．四边形的四条边长分别是a， b， c，d，其中 a，b 为一组对边边长， c，d?为另一组对边边长且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是（）A ．任意四边形B．平行四边形C．对角线相等的四边形 D ．对角线垂直的四边形3．下列说法正确的是（）A．若一个四边形的一条对角线平分另一条对角线，则这个四边形是平行四边形B．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形C．一组对边相等的四边形是平行四边形D．有两个角相等的四边形是平行四边形二、填空题4 ．在□ ABCD中，点 E， F 分别是线段A D， BC上的两动点，点 E 从点 A 向 D 运动，点 F从 C?向 B 运动，点 E 的速度边形．m与点F 的速度n 满足 _______关系时，四边形BFDE为平行四5．如图 1 所示，平行四边形ABCD中， E， F 分别为AD，BC边上的一点，连结EF，若再增加一个条件_______，就可以推出BE=DF．图 1图 26 ．如图 2 所示， AO=OC，BD=16cm，则当 OB=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．三、解答题7．如图所示，四边形 ABCD中，对角线 BD=4，一边长 AB=5，其余各边长用含有未知数 x的代数式表示，且 AD⊥BD于点 D，BD⊥BC 于点 B．问：四边形 ABCD?是平行四边形吗？为什么？四、思考题8．如图所示，在□ABCD中， E，F 是对角线 AC上的两点，且 AF=CE，?则线段 DE?与 BF的长度相等吗？参考答案一、 1． B 点拨：可选择条件（1）（3）或（2）（ 4）或（ 1）（ 2）或（ 3）（4）．故有 4 种选法．2． B 点拨： a2+b 2+c2+d2=2ab+2cd 即（ a-b）2+（ c-d ）2=0，即（ a-b ）2=0 且（ c-d ）2=0．所以 a=b， c=d，即两组对边分别相等，所以四边形为平行四边形．3． B 点拨：熟练掌握平行四边形的判定定理是解答这类题目的关键．二、 4．相等点拨：利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来确定．5 ．AE=CF 点拨：本题答案不惟一，只要增加的条件能使四边形EBFD?是平行四边形即可．6． 8 点拨：根据对角线互相平分的四边形为平行四边形来进行判别．三、 7．解：如图所示，四边形ABCD是平行四边形．理由如下：在 Rt△BCD 中，根据勾股定理，得BC2+BD 2=DC 2，即（ x-5 ）2+42=（ x-3 ）2，解得 x=8．所以 AD=11-8=3， BC=x-5=3， DC=x-3=8-3=5 ，所以 AD=BC， AB=DC．所以四边形ABCD是平行四边形．点拨：本题主要告诉的是线段的长度，故只要说明AD=BC， AB=DC即可，本题也可在Rt△ABD中求 x 的值．四、 8．解：线段DE与BF 的长度相等；连结BD交AC于O点，连结DF， BE，如图所示．在ABCD中， DO=OB， AO=OC，又因为 AF=EC，所以 AF-AO=CE-OC，即 OF=OE，所以四边形 DEBF是平行四边形，所以DE=BF．点拨：本题若用三角形全等，也可以解答，但过程复杂，学了平行四边形性质后，要学会应用．20.2 矩形的判定一、选择题1 ．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相垂直2 ．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（）①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 43．下列命题中，正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形 B ．三个角是直角的多边形是矩形C ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D ．有三个角是直角的四边形是矩形二、填空题4．如图 1 所示，矩形 ABCD中的两条对角线相交于点O，∠ AOD=120°， AB=4cm，则矩形的对角线的长为 _____．D E CF OA B图 1 图 25．若四边形 ABCD的对角线 AC， BD相等，且互相平分于点 O，则四边形 ABCD?是_____ 形，若∠ AOB=60°，那么AB：AC=______．6．如图 2 所示，已知矩形ABCD周长为 24cm，对角线交于点O，OE⊥DC 于点 E，于点 F， OF-OE=2cm，则 AB=______， BC=______．三、解答题7．如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E， F， G，H 两点，试说明四边形EFGH是矩形．四、思考题8．如图所示，△ABC 中， CE， CF分别平分∠ACB和它的邻补角∠ACD．AE⊥CE 于 E，AF⊥CF 于F，直线EF分别交AB， AC于 M， N 两点，则四边形AECF是矩形吗？为什么？参考答案一、 1． C点拨：A与B都是平行四边形的性质，而D是一般矩形与平行四边形都不具有的性质．2 ．B点拨：③是矩形的判定定理；④中对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故④能判定矩形，应选B．3． D 点拨：选项 D 是矩形的判定定理．二、 4． 8cm5．矩； 1： 2 点拨：利用对角线互相平分来判定此四边形是平行四边形，再根据对角线相等来判定此平行四边形是矩形．由矩形的对角线相等且互相平分，?可知△ AOB 是等腰三角形，又因为∠ AOB=60°，所以AB=AO=1AC．26 ． 8cm； 4cm三、 7．解：在□ABCD中，因为AD∥BC，所以∠ DAB+∠CBA=180°，又因为∠ HAB= 1∠DAB，∠ HBA=1∠CBA．2 2所以∠ HAB+∠HBA=90°，所以∠ H=90°．所以四边形EFGH是矩形．点拨：由于“两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直”，所以很容易求出四边形EFGH 的四个角都是直角，从而求得四边形EFGH是矩形．四、 8．解：四边形AECF是矩形．理由：因为CE平分∠ ACB， ?CF?平分∠ ACD， ?所以∠ ACE=1∠ACB，∠ ACF=1∠ACD．所以∠ ECF=1（∠ ACB+∠ACD）=90°．22 2又因为 AE⊥CE，AF⊥CF， ?所以∠ AEC=∠AFC=90°，所以四边形AECF是矩形．点拨： ?本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．20.3菱形的判定一、选择题1．下列四边形中不一定为菱形的是（）A ．对角线相等的平行四边形B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点 A， B， C，D 在同一平面内，从① AB∥CD；② AB=CD；③ AC⊥BD；④ AD=BC；5 个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．A ． 1 种B．2种C．3种D．4种3 ．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和 4 3 cm B．4cm和83 cm C．8cm和83 cm D．4cm和43 cm二、填空题4．如图 1 所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，?添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为 ________．（只写出符合要求的一个即可）图 1图 25．如图 2 所示， D， E，F 分别是△ ABC 的边 BC， CA，AB 上的点，且 DE∥AB，DF∥CA，要使四边形 AFDE是菱形，则要增加的条件是 ________．（只写出符合要求的一个即可）6 ．菱形 ABCD的周长为48cm，∠ BAD：∠ ABC=1：?2，?则 BD=?_____，?菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中， AB=4， AB 边上的高DE垂直平分边AB，则 BD=_____，AC=_____．三、解答题8．如图所示，在四边形ABCD中， AB∥CD， AB=CD=BC，四边形 ABCD是菱形吗？ ?说明理由．四、思考题9．如图，矩形 ABCD的对角线相交于点 O，PD∥AC，PC∥BD， PD，PC相交于点 P，四边形 PCOD是菱形吗？试说明理由．参考答案一、 1． A点拨：本题用排除法作答．2． D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．3． C点拨：如图所示，若∠ ABC=60°，则△ABC为等边三角形，?所以 AC=AB=1×32=8（ cm）， AO=1AC=4cm．4 2因为 AC⊥BD，在 Rt△AOB中，由勾股定理，得OB= 2 2 2 2AB OA 8 4 =43 （cm ? ），所以 BD=2OB=8 3 cm．二、 4． AB=BC 点拨：还可添加AC⊥BD 或∠ ABD=∠CBD等．5．点 D 在∠ BAC的平分线上（或 AE=AF）26． 12cm； 723 cm点拨：如图所示，过 D 作 DE⊥AB 于 E，因为 AD∥BC， ?所以∠ BAD+∠ABC=180°．又因为∠ BAD：∠A BC=1：2，所以∠ BAD=60°，因为 AB=AD，所以△ ABD 是等边三角形，所以BD=AD=12cm．所以 AE=6cm．在Rt△AED 中，由勾股定理，得 AE 2+ED 2=AD 2， 62+ED 2=12 2，所以 ED 2=108 ，所以 ED=6 3 cm，所以S菱形ABCD=12×63=72 3 （cm2）．7． 4；4 3 点拨：如图所示，因为DE垂直平分 AB，又因为 DA=AB，所以 DA=DB=4．所以△ ABD 是等边三角形，所以∠ BAD=60°，由已知可得AE=2．在 Rt△AED中，2 2 2 2 2 2 2?AE +DE=AD，即 2 +DE=4 ，所以 DE=12，所以 DE=2 3 ，因为1AC·BD=AB·DE，即1AC·4=4×2 3 ，所以AC=4 3 ．2 2三、 8．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中， AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以Y ABCD是菱形．点拨：根据已知条件，不难得出四边形ABCD为平行四边形，又AB=BC，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．四、 9．解：四边形PCOD是菱形．理由如下：因为 PD∥OC，PC∥OD， ?所以四边形P COD是平行四边形．又因为四边形ABCD是矩形，所以OC=OD，所以平行四边形PCOD是菱形．20.4正方形的判定一、选择题1．下列命题正确的是（）A．两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形B．两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形2．矩形四条内角平分线能围成一个（）A．平行四边形B．矩形C．菱形 D ．正方形二、填空题3．已知点 D， E，F 分别是△ ABC 的边 AB， BC， CA的中点，连结 DE， EF， ?要使四边形ADEF是正方形，还需要添加条件_______．4．如图 1 所示，直线L 过正方形ABCD的顶点 B，点 A， C 到直线 L?的距离分别是 1 和2，则正方形ABCD的边长是 _______．图 1图2图 35．如图 2 所示，四边形 ABCD是正方形，点 E 在 BC的延长线上， BE=BD且 AB=2cm，则∠E的度数是 ______， BE 的长度为 ____．6．如图 3 所示，正方形 ABCD的边长为 4，E 为 BC上一点， BE=1，F?为 AB?上一点，AF=2， P 为 AC上一动点，则当 PF+PE取最小值时， PF+PE=______．三、解答题7．如图所示，在 Rt△ABC中， CF为∠ ACB的平分线， FD⊥AC 于 D，FE⊥BC于点 E，试说明四边形 CDFE是正方形．BEF四、思考题8．已知如图所示，在正方形 ABCD中， E，F 分别是（1） AF 与 DE相等吗？为什么？（2） AF 与 DE是否垂直？说明你的理由．C D A AB，BC边上的点，且 AE=BF，?请问：参考答案一、 1． C点拨：对角线互相平分的四边形是平行四边形，?对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形一定是正方形，故选 C．2． D 点拨：由题意画出图形后，利用“一组邻边相等的矩形是正方形”来判定．二、 3．△ ABC是等腰直角三角形且∠ BAC=90°点拨：还可添加△ ABC 是等腰三角形且四边形ADEF是矩形或∠ BAC=90°且四边形ADEF 是菱形等条件．4．5点拨：观察图形易得两直角三角形全等，由全等三角形的性质和勾股定理得正方形的边长为 22 12 = 5．5． 67. 5°； 2 2 cm点拨：因为BD是正方形ABCD的对角线，所以∠ DBC=45°， AD=?AB=2cm．在Rt△BAD中，由勾股定理得 AD 2+AB 2=BD 2，即 22+22=BD 2，所以 BD=2 2 cm，所以 BE=BD=2 2（ cm），又因为BE=BD，所以∠ E=∠EDB= 1（180°- 45°）=67. 5°．26．17 点拨：如图所示，作 F 关于AC的对称点G．连结EG交AC于P，则PF+?PE=PG+PE=GE为最短．过 E 作 EH⊥AD．在Rt△GHE中，HE=4，HG=AG-AH=AF-BE=1，所以 GE= 4212 = 17，?即 PF+PE= 17．三、 7．解：因为∠ FDC=∠FEC=∠BCD=90°，所以四边形CDFE是矩形，因为 CF?平分∠ ACB，FE⊥BC，FD⊥AC，所以FE=FD，所以矩形CDFE是正方形．点拨：本题先说明四边形是矩形，再求出有一组邻边相等，?还可以先说明其为菱形，再求其一个内角为90°．四、 8．解：（ 1）相等．理由：在△ ADE 与△ BAF 中， AD=AB，∠ DAE=∠ABF=90°， AE=BF，所以△ ADE≌△ BAF（ S． A． S．），所以 DE=AF．（ 2） AF 与 DE垂直．理由：如图，设DE与 AF 相交于点O．因为△ ADE≌△ BAF， ?所以∠ AED=∠BFA．又因为∠ BFA+∠EAF=90°，所以∠ AEO+∠EAO=90°，所以∠ EOA=90°，所以DE⊥AF．20.5等腰梯形的判定1 A C 一、选择题．下列结论中，正确的是（．等腰梯形的两个底角相等．一组对边平行的四边形是梯形）BD．两个底角相等的梯形是等腰梯形．两条腰相等的梯形是等腰梯形2．如图所示，等腰梯形ABCD的对角线 AC，BD相交于点O，则图中全等三角形有（）A． 2 对B．3对C．4对D．5对3．课外活动课上， ?老师让同学们制作了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm，则两条对角线所用的竹条长度之和至少为（）A ． 30 2 cm B．30cm C．60cm D．60 2 cm二、填空题4．等腰梯形上底，下底和腰分别为 4，?10，?5，?则梯形的高为 _____，?对角线为 ______．5．一个等腰梯形的上底长为5cm，下底长为 12cm，一个底角为 60°，则它的腰长为____cm，周长为 ______cm．6．在四边形 ABCD中， AD∥BC，但 AD≠BC，若使它成为等腰梯形，则需要添加的条件是__________ （填一个正确的条件即可）．三、解答题7．如图所示，AD是∠ BAC的平分线， DE∥AB， DE=AC，AD≠EC．求证： ?四边形 ADCE是等腰梯形．四、思考题8．如图所示，四边形ABCD中，有 AB=DC，∠ B=∠C，且AD<BC，四边形 ABCD是等腰梯形吗？为什么？参考答案一、 1． D点拨：梯形的底角分为上底上的角和下底上的角，?因此在等腰梯形的性质和判别方法中必须强调同一底上的两个内角（?指上底上的两个内角或下底上的两个内角），否则就会出现错误，因此A， B 选项都不正确，而 C 选项中漏掉了限制条件另外一组对边不平行，若平行该四边形就形成了平行四边形了，因此应选D．2． B点拨：因为△ ABC≌△DCB，△ BAD≌△CDA，△ AOB≌△DOC，所以共有 3 对全等的三角形．3． C点拨：设该等腰梯形对角线长为Lcm，因为两条对角线互相垂直，?所以梯形面积为122L =450，解得 L=30，所以所用竹条长度之和至少为2L=2× 30=60（cm）．二、 4． 4：65点拨：如图所示，连结BD，过 A，D 分别作 AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E， F．易知△ BAE≌△ CDF，在四边形 AEFD为矩形，所以BE=CF=3， AD=EF=4．在Rt△CDF 中， FC2+DF 2=CD 2，即 32+DF 2=52，所以 DF=4 ，在 Rt △BFD 中， BF2+DF 2=BD 2，即 72+42=BD 2，所以 BD=65 ．5． 7；31点拨：如图所示，过点D作 DE∥AB 交 BC于 E．因为ABED是平行四边形．所以 BE=AD=5（cm）， AB=DE．又因为 AB=CD，所以 DE=?DC，又因为∠ C=60°，所以△ DEC 是等边三角形，所以 DE=DC=EC=7（ cm），所以周长为5+?12+7+7=31（cm）．6． AB=CD（或∠ A=∠D，或∠ B=∠C，或 AC=BD，或∠ A+∠C=180°，或∠B+∠D=180°）三、 7．证明：因为 AB∥ED，所以∠ BAD=∠ADE．又因为 AD是∠ BAC的平分线，所以∠ BAD=∠CAD，所以∠ CAD=∠ADE，所以 OA=OD．又因为AC=DE，所以 AC-OA=DE-OD即 OC=OE， ?所以∠ OCE=∠OEC，又因为∠ AOD=∠COE，所以∠ CAD=∠OCE．所以AD∥CE，而 AD≠CE，故四边形ADCE是梯形．又因为∠ CAD=∠ADE， AD=DA， AC=DE，所以△ DAC≌△ ADE，所以DC=?AE，所以四边形ADCE是等腰梯形．点拨：证明一个四边形是等腰梯形时，应先证其是梯形而后再证两腰相等或同一底上的两个角相等．四、 8．解：四边形ABCD是等腰梯形．理由：延长BA， CD，相交于点 E，如图所示，由∠ B=∠C，可得EB=EC．又AB=DC，所以 EB-AB=EC-DC，即 AE=DE，所以∠ EAD=∠EDA．因为∠ E+∠EAD+∠EDA=180°，∠ E+∠B+∠C=180°，所以∠ EAD=∠B．故 AD∥BC． ?又 AD<BC，所以四边形 ABCD是梯形．又AB=DC，所以四边形 ABCD是等腰梯形．点拨：由题意可知，只要推出 AD∥BC，再由 AD<BC就可知四边形 ABCD为梯形，再由AB=DC，即可求得此四边形是等腰梯形，由∠ B=∠C联想到延长 BA，CD，即可得到等腰三角形，从而使AD∥BC．华东师大版数学八年级（下）第 20 章平行四边形的判定测试（答卷时间： 90 分钟，全卷满分： 100 分）姓名得分 ____________一、认认真真选，沉着应战！（每小题 3 分，共 30 分）1. 正方形具有菱形不一定具有的性质是()（A ）对角线互相垂直（B）对角线互相平分（C）对角线相等（D）对角线平分一组对角2.如图 (1)，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB 、CD 于 E、 F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的（）（A ）A 1 1 1（ D ）3A5（B ）（ C）104 3D E FFEB C D HB C(1)(2)(3)3．在梯形ABCD 中， AD ∥ BC ，那么 A : B : C : D 可以等于（）（ A ）4：5：6：3（B）6：5：4：3（C）6：4：5：3（D）3：4：5：64．如图 (2) ，平行四边形ABCD 中，DE ⊥ AB 于 E，DF⊥ BC 于 F，若Y ABCD的周长为48，DE ＝ 5， DF＝ 10，则Y ABCD的面积等于 ()（ A ）87.5（B）80（C）75（D）72.55． A 、 B、 C、 D 在同一平面内，从① AB∥CD;② AB=CD;③ BC∥AD;④ BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（）（ A ）3种（B）4种（C）5种（D）6种6．如图 (3) ，D、E、F分别是VABC各边的中点，AH 是高，如果 ED5cm ，那么 HF的长为（）（ A ） 5cm（B）6cm（C）4cm（D）不能确定7.如图（ 4）：E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE ＝ BC， P 为 CE 上任意一点， PQ⊥BC 于点 Q， PR⊥ BE 于点 R，则 PQ＋PR 的值是（）2 13 2（ A ）2 （ B）2 （ C）2 （ D）38．如图（ 5），在梯形ABCD 中， AD ∥ BC ， AB CD ， C 60 ， BD 平分ABC ，如果这个梯形的周长为30，则AB的长（）（ A ）4 （ B ）5 （ C ）6 （ D ）7A DA DERPB C（ 5）B（ 4）Q C9．右图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．A B C 已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉 A 、 B 之间的距离为20 3 cm，则∠1等于()1）（ A ） 90°（Ｂ） 60°（Ｃ） 45°（Ｄ） 30°10．某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a、 b，都有 a+b ≥ 2 ab 成立．某同学在做一个面积为3600cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来做对角线用的竹条至少需要准备xcm．则 x 的值是（）(A) 1202(B) 602(C) 120(D) 60二、仔仔填，自信！( 每小 2 分，共20 分)11．一个四形四条次是a、b、c、d，且a2 b 2 c 2 d 2 2ac 2bd，个四形是 _______________ ．12．在四形ABCD中，角AC、BD交于点O，从（1）AB CD ；（2） AB ∥CD ；（3）OA OC；（4）OB OD ；（5） AC ⊥ BD ；（6） AC 平分 BAD 六个条件中，取三个推出四形ABCD 是菱形．如（ 1）（ 2）（ 5）ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个：ABCD 是菱形；ABCD 是菱形．13. 如，已知直l 把 Y ABCD 分成两部分，要使两部分的面相等，直l 所在位置需足的条件是____________________. （只需填上一个你合适的条件）lA DB C(第 13 )(第 16 )14.梯形的上底 6cm ，上底的一点引一腰的平行，与下底相交，所构成的三角形周 21cm ，那么梯形的周_________ cm。
平行四边形拔高练习
平行四边形拔高练习．平行四边形专题一三点不共线，则以其为顶点的平行C1.若A、B、）个四边形共有（4cm2.一个平行四边形的两条邻边的长分别是2222?2ac?2?c?dabd?b这个平行四边形的5cm和，它们的夹角是30°，．）面积是（、c、一个四边形的边长依次是3.a、b，d且 .则这个四边形的形状为，判定以a若、b、c、4444abcd?b??ac?d4d为边的四边形的形状为4.平行四边形ABCD中,AB=5cm, BC=3cm, ∠D与∠C的平分线分别交AB于F,E, EF= 5. 如图，口ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为 .6.如图所示，在形状为平行四边形的一块地ABCD中，有一条小折路EFG．?现在想把它改为经过点E的直路，要求小路两侧土地的面积都不变，?请在图中画出改动后的小路．7.如图,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面并又要四棵树不动,积扩大一倍,试使扩大后的草坪为平行四边形,若能请你设,问这个想法能否实现.计出草图在P，AD=4，点8. 如图，在矩形ABCD中，AB=3 上，AD ）等于，则PE+PF （PFPE⊥AC于E，⊥BD于F中，∠ABCD8. 如图所示，在平行四边形，BM，∠MAN=60°．请探索ABC=60°，且AB=BC 与AB的数量关系，并证明你的结论．DN的AB9.如图：平行四边形ABCD，在连结BD，＝＝延长线上截取BEAB，BF 点，试说明：CD＝。
CGGDFCE、交于落B折叠，使点AE沿ABCD如图将矩形纸片10.，则AB=在直角梯形AECD的中位线FG上，若3AE的长为（）11.如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F 处，折痕为MN，则线段CN的长是（）12.如图，矩形中，过对角线交点OABCD．53，BC?AB?作交于则的长是（），EACOE?AEAD13.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，3点C落在AD边上的C处，并且点B落在EC 边11上的B处．则BC的长为（）．114.如图，在矩形中，动点从点出发，沿N MNPQR→→→方向运动至点处停止．设点R 运N QMPM动的路程为，的面积为，如果关于的MNR△xxyy函数图象如图2所示，则当时，点R 应运动9x?到（）以中，ABCD在平行四边形,如图15.则四边形又∠BED=90°，为斜边作Rt△ACE，AC..试说明理由ABCD是矩形ABC=ABCD中，∠16.如图，四边形BD?N分别是AC、、∠ADC=90°，M成立吗？试说那么MN⊥BD的中点，明理由．是，到17.如图矩形中，延长，使FEACABCDCE?CB中点．求证：．DFBF?AE如图所示，在直角坐标系中，18.，(1的顶点，A的坐标为ABCD矩形的坐标为P0)，对角线的交点5 ，(1) 2．、D三点的坐标；写出⑴ B、C⑵若在线段AB上有一点若在AB上有一点E(二分之三，0)，过E点的直线将矩形ABCD的面积分为相等的两部分，求直线的解析式；⑶若过C点的直线将矩形ABCD的面积分为4：l3两部分，并与y轴交于点M，求M点的坐标．1.如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，OB=2，∠C=120°，则点B′的坐3为（）2.如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为20cm，则∠1等于（）A、90°B、60°C、45°D、30°3.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M、N分别是AB、BC 边上的中点，MP+NP的最小值是（）4.已知：如图，C是线段BD上都是等边ECDABC和△一点，△分别是四HG、R、F、三角形，各边的中点，求证：边形ABDE RFGH是菱形。
【素材】《平行四边形》拔高训练(人教版)
四边形拔高训练题一．解答题（共39小题）1．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC （或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）2．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN=90°，CM=MN，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠ABE=∠CBE；（3）设AB=2，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为多少？3．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值．4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合）且始终保持BP=BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ．（1）求证：△APQ≌△QCE；（2）求∠QAE的度数；（3）设BQ=x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积．5．已知四边形ABCD是矩形，连接AC，点E是边CB延长线上一点，CA=CE，连接AE，F是线段AE的中点，（1）如图1，当AD=DC时，连接CF交AB于M，求证：BM=BE；（2）如图2，连接BD交AC于O，连接DF分别交AB、AC于G、H，连接GC，若∠FDB=30°，S四边形GBOH=，求线段GC的长．6．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，有一度数为60°的∠MAN绕点A旋转．（1）如图①，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD于点E，F，则线段CE，DF的大小关系如何？请证明你的结论；（2）如图②，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD的延长线于点E，F，则线段CE，DF 还有（1）中的结论吗？请说明你的理由．7．如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，求证：∠FCN=45°；（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．8．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？9．如图，在正方ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，垂足为O，交AC于点F，交AD于点G．（1）证明：BE=AG；（2）E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB？说明理由．10．如图1，图2，正方形ABCD的边长为1，P是对角线BD上一动点，连接AP、CP，过P 作PN⊥AP交射线CD与点N．（1）求证：AP=CP．（2）①若点N在边CD上，如图1，判断△APN的形状，并说明理由；②若点N在边CD的延长线上，如图2，①中的结论还成立吗？（不需要证明）．（3）若N为边CD的中点，求BP的长．11．如图，已知正方形ABCD，点P为射线BA上的一点（不和点A，B重合），过P作PE⊥CP，且CP=PE，过E作EF∥CD交射线BD于F点，EC交直线BD于G点．（1）求证：EF=AB；（2）请探究BF，DG和CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．12．如图，直线MN经过正方形ABCD的一个顶点A，过点B作BE⊥MN于点E，过点C作CF ⊥MN于点F，当直线MN经过点D（如图1）时，易证：AF+CF=2BE．当直线MN不经过点D时，线段AF、CF、BE又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择图（2）、图（3）中的一种情况给予证明．13．如图，在正方形ABCD中，点P为AD边上一点，PC的垂直平分线交PC于E交CB的延长线于F，连接PF交AB于G，连接CG．（1）如图1，求证：GC平分∠PGB；（2）如图2连接AN，试判断线段PC与AN的数量关系，并给予证明．14．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一动点（包括点A、点C），点E在直线BC 上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）连接DE，求证：△DPE为等腰直角三角形；（3）若AB=，点P在AC上运动过程中，求出△DPE面积的最大值和最小值．15．如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．16．如图所示，已知E是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点，点E从B点向D点运动（与B、D不重合），过点E作直线GH平行于BC，交AB于点G，交CD于点H，EF⊥AE于点E，交CD（或CD的延长线）于点F．（1）如图（1），求证：△AGE≌△EHF；（2）点E在运动的过程中（图（1）、图（2）），四边形AFHG的面积是否发生变化？请说明理由．17．如图，AC为正方形ABCD的一条对角线，点E为DA边延长线上的一点，连接BE，在BE 上取一点F，使BF=BC，过点B作BK⊥BE于B，交AC于点K，连接CF，交AB于点H，交BK 于点G．（1）求证：BH=BG；（2）求证：BE=BG+AE．18．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF 交于点H，连接DH交AC于点O．（1）求证：△ABF≌△CAE；（2）HD平分∠AHC吗？为什么？19．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG ⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．20．如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．21．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接BF、DE．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当AE的长为多少时，四边形DEBF是菱形？（3）在（2）的基础上，若点P是对角线AC上的一个动点，请在图中用直尺在边AC上作出点P，使得PB+PE的值最小，并求出这个最小值．22．如图，正方形ABCD，BE⊥ED，连接BD，CE．（1）求证：∠EBD=∠ECD；（2）设EB，EC交AD于F，G两点，若AF=2FG，探究线段CG与DG之间的数量关系并证明．23．在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N．（1）写出点C的坐标；（2）求证：MD=MN；（3）连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明．24．如图，正方形AOCD中，点B是OC上任意一点，以AB为边作正方形ABEF．①连接DF，求证：∠ADF=90°；②连接CE，猜想∠ECM的度数，并证明你的结论；③设点B在线段OC上运动，OB=x，正方形AOCD的面积为16，正方形ABEF的面积为y，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．25．如图，已知▱ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF=AD．（1）试说明DE=BC；（2）试问AB与DG+FC之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由．26．在正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接DE，点G为DE中点，连接GA、GB、GC，GB与AC交于点H，过点B作BM垂直DE延长线于点M．（1）求证：GA=GB；（2）若AH=CH，求证：AG=BM．27．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为射线BC上一动点，以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BC⊥CF；（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，请探究线段CF，BC，CD之间的关系；（3）如图3，在（1）的条件下，若BC=2，CF交DE于点P，连接AP，求△ACP的面积的最大值．28．如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．（1）若BF=BD=，求BE的长；（2）若∠ADE=2∠BFE，求证：FH=HE+HD．29．正方形ABCD中，E、F分别为边BC、DC上的点，若∠BAE=30°，∠DAF=15°．（1）试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；（2）若正方形的边长为，求△AEF的面积；（3）若连接BD，交AE于M、交AF于N，请探究线段BM、MN、DN之间的数量关系，并给出证明．30．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45度．则有结论EF=BE+FD 成立；（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．31．已知：如图1．四边形ABCD是菱形，AB=6，∠B=∠MAN=60°．绕顶点A逆时针旋转∠MAN，边AM与射线BC相交于点E（点E与点B不重合），边AN与射线CD相交于点F．（1）当点E在线段BC上时，求证：BE=CF；（2）设BE=x，△ADF的面积为y．当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域；（3）连接BD，如果以A、B、F、D为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的长．32．菱形ABCD中，∠B=60°，一块三角板的60°角的顶点绕点A转动，两边分别交BC、CD 于点E、F．（1）说明△ABC、△ACD都是等边三角形．（2）判断△AEF的形状，说明理由？（3）如果AB=2，写出△CEF的周长的最小值．33．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE；②AF⊥DE．（不需要证明）．（1）如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．34．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．35．在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．（1）请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；（2）就（1）中的三个结论选择一个加以证明．36．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．37．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O．（1）（图1）若E为AC上一点，过A作AG⊥EB于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF；（2）（图2）若E为AC延长线上一点，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．38．已知点E是边长为2的正方形ABCD的AB边的延长线上一点，P为边AB上的一个动点（不与A、B重合），直线PF⊥PD，∠EBC的平分线与PF交于点Q．（1）如图1，当P为AB的中点时，求PD的长，并比较PD与PQ长的大小；（2）如图2，在点P运动过程中，PD与PQ长的大小关系会发生变化吗？为什么？（3）设PB=x，△BPQ和△PAD的面积分别是S1、S2，又y=，试求y与x之间的函数关系式，并判断y随PB的变化而怎样变化？39．如图，在正方形ABCD中．（1）若点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由；（2）若P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点，PQ与MN相交，且PQ=MN，问PQ⊥MN成立吗？为什么？2018年01月10日626****8110的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共39小题）1．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC （或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH=AB ；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）【分析】（1）由三角形全等可以证明AH=AB，（2）延长CB至E，使BE=DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB，（3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH=x，则MC=x﹣2，NC=x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．【解答】解：（1）如图①AH=AB．（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE=DN．∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，∴∠EAM=∠NAM=45°，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM．∴S△AEM=S△ANM，EM=MN，∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB=AH．（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°．分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD．设AH=x，则MC=x﹣2，NC=x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC2∴52=（x﹣2）2+（x﹣3）2（6分）解得x1=6，x2=﹣1．（不符合题意，舍去）∴AH=6．【点评】本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，难度中等．2．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN=90°，CM=MN，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠ABE=∠CBE；（3）设AB=2，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为多少？【分析】（1）依照题意补全图形即可；（2）连接CE，只要证明△ABE≌△CBE即可．（3）找出EN所扫过的图形为四边形DFCN．根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BD∥CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB=2，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）依题意补全图形，如图1所示．（2）证明：连接CE，如图2所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，AB=BC，∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=45°，∵∠CMN=90°，CM=MN，∴∠MCN=45°，∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，∴AE=CE=AN．∵AE=CE，AB=CB，BE=BE，∴△ABE≌△CBE，∴∠ABE=∠CBE．∴点B，E在AC的垂直平分线上，（3）在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，∴BD∥CN，∴四边形DFCN为梯形．∵AB=1，∴CF=DF=BD=，CN=CD=2，∴S梯形DFCN=（DF+CN）•CF=（+2）×=3．故答案为：3．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质以及梯形的面积公式，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题，属于中考压轴题．3．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值．【分析】（1）由在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，易得△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，继而证得△BDE≌△BCF（SAS），则可证得结论；（2）由△BDE≌△BCF，易证得△BEF是正三角形，继而可得当动点E运动到点D或点A时，BE的最大，当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小．【解答】解：（1）BE=BF，证明如下：∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4，∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，∵AE+CF=4，∴CF=4﹣AE=AD﹣AE=DE，又∵BD=BC=4，∠BDE=∠C=60°，在△BDE和△BCF中，，∴△BDE≌△BCF（SAS），∴BE=BF；（2）∵△BDE≌△BCF，∴∠EBD=∠FBC，∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，∴∠EBF=∠DBC=60°，又∵BE=BF，∴△BEF是正三角形，∴EF=BE=BF，当动点E运动到点D或点A时，BE的最大值为4，当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为，∵EF=BE，∴EF的最大值为4，最小值为．【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△BDE≌△BCF是解此题的关键．4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合）且始终保持BP=BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ．（1）求证：△APQ≌△QCE；（2）求∠QAE的度数；（3）设BQ=x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积．【分析】（1）判断出△PBQ是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE，再求出AP=CQ，然后利用“角边角”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ，判断出△AQE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质解答；（3）把△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，求出∠GAF=45°，从而得到∠GAF=∠QAF，再利用“边角边”证明△AQF和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF，再根据两直线平行，同位角相等求出∠CQF=45°，然求出CQ=CF，分别用x表示出CQ、CF、QF，利用勾股定理列式表示出QF，然后列出方程求出x，再求出△AGF的面积，即为△AQF的面积．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC，∵BP=BQ，∴△PBQ是等腰直角三角形，AP=CQ，∴∠BPQ=45°，∵CE为正方形外角的平分线，∴∠APQ=∠QCE=135°，∵AQ⊥QE，∴∠CQE+∠AQB=90°，又∵∠PAQ+∠AQB=90°，∴∠PAQ=∠CQE，在△APQ和△QCE中，，∴△APQ≌△QCE（ASA）；（2）解：∵△APQ≌△QCE，∴AQ=EQ，∵AQ⊥QE，∴△AQE是等腰直角三角形，∴∠QAE=45°；（3）解：如图，把△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，则AQ=AG，BQ=DG，∠BAQ=∠DAG，∵∠QAE=45°，∴∠GAF=45°，∴∠GAF=∠QAF，在△AQF和△AGF中，，∴△AQF≌△AGF（SAS），∴QF=GF，∵QF∥CE，∴∠CQF=45°，∴△CQF是等腰直角三角形，∴CQ=CF，∵BQ=x，∴CQ=CF=2﹣x，∴DF=2﹣（2﹣x）=x，∴QF=GF=2x，在Rt△CQF中，CQ2+CF2=QF2，即（2﹣x）2+（2﹣x）2=（2x）2，解得x=2﹣2，∴△AGF的面积=×2（2﹣2）×2=4﹣4，即△AQF的面积为4﹣4．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．5．已知四边形ABCD是矩形，连接AC，点E是边CB延长线上一点，CA=CE，连接AE，F是线段AE的中点，（1）如图1，当AD=DC时，连接CF交AB于M，求证：BM=BE；（2）如图2，连接BD交AC于O，连接DF分别交AB、AC于G、H，连接GC，若∠FDB=30°，S四边形GBOH=，求线段GC的长．【分析】（1）如图1，根据等腰三角形的三线合一得CF⊥AE，则∠AF C=90°，证明△AEB≌△CMB，可得BE=BM；（2）如图2，作辅助线构建三角形全等，先证明△AMF≌△EBF，得FM=BF，AM=BE，再证明△DMB是等腰三角形，由三线合一得：DF平分∠BDM，根据∠FDB=30°得△BDM是等边三角形；由此△ACE为等边三角形，△OHD为直角三角形，设未知数：OH=x，根据S四边形GBOH=S△DGB ﹣S△OHD，列方程得出结论．【解答】证明：（1）如图1，∵AC=EC，F是AE的中点，∴CF⊥AE，∴∠AFC=90°，∵四边形ABCD是矩形，AD=DC，∴矩形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠AFC=∠ABC，∵∠AMF=∠BMC，∴∠EAB=∠MCB，∵∠ABE=∠ABC=90°，∴△AEB≌△CMB，∴BE=BM；（2）如图2，连接BF并延长交直线AD于M，∵F是AE的中点，∴AF=EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC=BD，∴∠M=∠FBE，∵∠AFM=∠EFB，∴△AMF≌△EBF，∴FM=BF，AM=BE，∵AD=BC，∴AD+AM=BC+BE，即DM=CE，∵AC=CE，∴EC=DM=AC=BD，∴△DMB是等腰三角形，∵F是BM的中点，∴DF平分∠BDM，∵∠BDF=30°，∴∠BDM=60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠M=60°，在Rt△BCD中，∠BDC=90°﹣60°=30°，∴∠DBC=60°，∵OB=OC，∴∠DBC=∠OCB=60°，∴△ACE为等边三角形，在△OHD中，∠HOD=∠BOC=60°，∴∠OHD=90°，设OH=x，则OD=2x，BD=4x，BC=2x，∴DH=x，AH=x，DC=AB=2x，Rt△ABC中，∠ACE=60°，∴∠BAC=30°，∴cos30°=，AG==，∴BG=AB﹣AG=2x﹣=，∴S四边形GBOH=S△DGB﹣S△OHD，=BG•AD﹣OH•DH，=••2x﹣•x•x=，解得：x2=9，x=±3，∴BC=2x=6，BG=×3=4，由勾股定理得：CG===2．【点评】本题考查了矩形的性质和全等三角形的性质和判定，又考查了等边三角形和30°的直角三角形的性质，设未知数，表示边的长度，根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半得出其它边长，与三角函数和勾股定理相结合，分别表示出△DGB和△OHD各边的长，为列方程作铺垫，从而使问题得以解决．6．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，有一度数为60°的∠MAN绕点A旋转．（1）如图①，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD于点E，F，则线段CE，DF的大小关系如何？请证明你的结论；（2）如图②，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD的延长线于点E，F，则线段CE，DF还有（1）中的结论吗？请说明你的理由．【分析】（1）猜想：CE=DF，连接AC，易得△ABC、△ACD为正三角形，根据等边三角形的性质，利用ASA即可判定△AEC≌△AFD，因为全等三角形的对应边相等，所以CE=DF．（2）结论CE=DF仍然成立，同（1）类似可得△ACE≌△ADF（AAS），从而不难求得结论．【解答】解：（1）猜想：CE=DF．（1分）如图①，连接AC，∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC、△ACD为正三角形．∵AC=AD，∠ACE=∠ADF=60°，∠CAE=∠DAF=60°﹣∠CAF，∴△AEC≌△AFD（ASA）．（4分）∴CE=DF．（1分）（2）结论CE=DF仍然成立．（1分）如图②，连接AC∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC、△ACD为正三角形．∵AC=AD，∠ACB=∠ADC=60°，∴∠ACE=∠ADF=120°．∵∠CAE=∠DAF=60°﹣∠DAE，∴△ACE≌△ADF（AAS）．（2分）∴CE=DF．（1分）【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用．7．如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，求证：∠FCN=45°；（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根据“SAS”证得△ADG≌△ABE；（2）过F作BN的垂线，设垂足为H，首先证△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根据AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可得证．（3）在AB上取AQ=BE，连接QD，首先证△DAQ、△ABE、△ADG三个三角形全等，易证得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可得证．【解答】证明：（1）连接DG∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴DA=BA，EA=GA，∴∠BAD=∠EAG=90°，∴∠DAG=∠BAE，∴△ADG≌△ABE；（2）过F作BN的垂线，设垂足为H，∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠HEF，∵AE=EF，∴△ABE≌△EHF，∴AB=EH，BE=FH，∴AB=BC=EH，∴BE+EC=EC+CH，∴CH=BE=FH，∴∠FCN=45°；（3）在AB上取AQ=BE，连接QD，∵AB=AD，∴△DAQ≌△ABE，∵△ABE≌△EHF，∴△DAQ≌△ABE≌△ADG，∴∠GAD=∠ADQ，∴AG、QD平行且相等，又∵AG、EF平行且相等，∴QD、EF平行且相等，∴四边形DQEF是平行四边形．∴在AB边上存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形．【点评】考查全等三角形的判定及平行四边形的判定，难度较大．8．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∵，∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE=CF．（2）解：GE=BE+GD成立．理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵，∴△ECG≌△FCG（SAS）．∴GE=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．【点评】本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立．9．如图，在正方ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，垂足为O，交AC于点F，交AD于点G．（1）证明：BE=AG；（2）E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB？说明理由．【分析】（1）要证明AG=BE，只要证明三角形ABG和EBC全等即可．两三角形中已知的条件有一组直角，AB=BC，只要再得出一组对应角相等即可．我们发现∠1和∠2都是∠3的余角因此∠1=∠2，这样就构成了两三角形全等的条件ASA，因此两三角形全等．（2）要求E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB，我们先看若两角相等能得出什么．若∠AEF=∠CEB，由（1）中的全等三角形我们可得出∠AGF=∠CEB，因此∠AEF=∠AGF，三角形GFA 和AEF中，有一条公共边，∠DAC=∠CAB=45°，因此两三角形全等，那么AG=AE，由（1）知AG=BE，因此AE=BE，那么只有AE=BE时，∠AEF=∠CEB．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠1+∠3=90°．∵BG⊥CE，∴∠BOC=90°．∴∠2+∠3=90°．∴∠1=∠2．在△GAB和△EBC中，∵∠GAB=∠EBC=90°，AB=BC，∠1=∠2，∴△GAB≌△EBC（ASA）．∴AG=BE．（2）解：当点E位于线段AB中点时，∠AEF=∠CEB．理由如下：当点E位于线段AB中点时，AE=BE；由（1）知，AG=BE，∴AG=AE；∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAF=∠EAF=45°；又∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF（SAS）；∴∠AGF=∠AEF；由（1）知，△GAB≌△EBC；∴∠AGF=∠CEB；∴∠AEF=∠CEB．【点评】本题考查了全等三角形的判定，正方形的性质等知识点，利用全等三角形来得出线段相等是这类题的常用方法．10．如图1，图2，正方形ABCD的边长为1，P是对角线BD上一动点，连接AP、CP，过P 作PN⊥AP交射线CD与点N．（1）求证：AP=CP．（2）①若点N在边CD上，如图1，判断△APN的形状，并说明理由；②若点N在边CD的延长线上，如图2，①中的结论还成立吗？（不需要证明）．（3）若N为边CD的中点，求BP的长．【分析】（1）根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，然后利用“边角边”证明△ADP和△CDP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）①根据四边形的内角和定理求出∠DAP+∠DNP=180°，再根据邻补角的定义可得∠DNP+∠PNC=180°，从而得到∠DAP=∠PNC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAP=∠DCP，然后求出∠DCP=∠PNC，再根据等角对等边可得PN=CP，然后根据等腰直角三角形的定义解答；②同理求出AP=CP，∠DAP=∠DCP，再根据三角形的内角和定理求出∠DAP=∠N，然后求出∠N=∠DCP，根据等角对等边可得PN=CP，从而得解；（3）过点P作EF∥BC分别交AB、CD于E、F，可得四边形EBCF是矩形，EF⊥AB，EF⊥CD，根据矩形的对边相等可得BE=CF，再根据线段中点的定义和等腰三角形三线合一的性质求出CF，然后根据△BEP是等腰直角三角形解答．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP=CP；（2）①△APN是等腰直角三角形．理由如下：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，∵PN⊥AP，∴∠APN=90°，∴∠DAP+∠DNP=180°，∵∠PNC+∠DNP=180°，∴∠PNC=∠DAP，∵△ADP≌△CDP，∴∠DCP=∠DAP，∴∠PNC=∠DCP，∴PN=PC，又∵AP=PC，∵AP=PN，∴△APN是等腰直角三角形；②①中得结论仍然成立．理由如下：同理可得AP=CP，∠DAP=∠DCP，∵AP⊥PN，AD⊥DN，∴∠DAP=∠N，∴∠N=∠DCP，∴PN=PC，又∵AP=PC，∵AP=PN，∴△APN是等腰直角三角形；（3）过P作EF∥BC分别交AB、CD于E、F，可得四边形EBCF是矩形，EF⊥AB，EF⊥CD，∴BE=CF，∵PN=PC，PF⊥CD，∴CF=NF=CN，∵N是CD的中点，∴CN=CD=，∴BE=CF=CN=×=，在正方形ABCD中，∠ABD=45°，∴△BEP是等腰直角三角形，∴PE=BE=，∴BP===．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质是解题的关键，难点在于（2）根据四边形的内角和定理和邻补角的定义求出相等的角．11．如图，已知正方形ABCD，点P为射线BA上的一点（不和点A，B重合），过P作PE⊥CP，且CP=PE，过E作EF∥CD交射线BD于F点，EC交直线BD于G点．（1）求证：EF=AB；（2）请探究BF，DG和CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）过点E作EM⊥AB，交BA的延长线于点M，连结AE，根据同角的余角相等求出∠BPC=∠MEP，然后利用“角角边”证明△BPC和△MEP全等，根据全等三角形对应边相等可得BP=ME，BC=MP，然后求出AM=BP，从而得到AM=ME，判断出∠MAE=45°，从而得到∠MAE=∠ABD，然后根据同位角相等，两直线平行求出AE∥BD，再根据平行四边形的定义求出四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证明即可；（2）①分点P在线段AB上时，利用“角角边”证明△EGF和△CGD全等，根据全等三角形对应边相等可得FG=DG，再根据等腰直角三角形的性质解答即可；②点P在射线BA上时，同理可求．【解答】（1）证明：过点E作EM⊥AB，交BA的延长线于点M，连结AE，∵PE⊥CP，∴∠EPM+∠BPC=∠EPM，∵EM⊥AB，∴∠EPM+∠MEP=90°，∴∠BPC=∠MEP，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，AB∥CD，∴∠ABC=∠M=90°，在△BPC和△MEP中，，∴△BPC≌△MEP（AAS），∴BP=ME，BC=MP，∴AB=MP，∴AM=BP，。
平行四边形综合提高练习题
平行四边形综合练习题一利用平行四边形的性质进行角度、线段的计算1、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF＝60o，则∠B＝_______；若BC＝4cm，AB＝3cm，则AF＝___________，□ABCD的面积为_________．2、已知ABCD的周长为32cm,对角线AC、BD交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多4cm，求这个四边形的各边长。
二、利用平行四边形的性质证线段相等3、如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．那么OE与OF是否相等？为什么？三、构造平行四边形解题4、如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．FED CBA5、已知，如图，AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于点F，且AE=FE，求证：BF=AC综合练习：1．如图2-39所示．在平行四边形ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．2、如图2-32所示．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分．3、如图2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM．4 如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．FB CED创新思维：1、 以△ABC 的三条边为边在BC 的同侧作等边△ABP 、等边△ACQ 、等边△BCR ，求证：四边形PAQR 为平行四边形。
2．如图2-40所示．ABCD 中，AF 平分∠BAD 交BC 于F ，DE ⊥AF 交CB 于E ．求证：BE=CF ．3、已知：如图4-12， ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形MENF 是平行四边形．4．已知：如图4-23，P 是等边△ABC 内一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ．求证：PD+PE+PF 为定值．5．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是直线BC 上一点，DE ∥AC 交直线AB 于E ，DF ∥AB 交直线AC 于点F ，解答下列各问：（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，有DE ＋DF ＝AB ，请你说明理由；(6分)（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，请你参考（1）画出正确的图形，并写出线段DE 、DF 、AB 之间的关系并加以证明．A FB D E P DA BCF ED C B A(图1) (图2)特殊的平行四边形拓展提高题精选：1.如图，将边长为3的正方形ABCD，绕点C按顺时针方向旋转30度后，得到正文形EFCG，EF交AD于点H，则DH长是多少？2、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平行四边形综合训练拔高题
一．选择题（共15小题）
1．如图，?ABCD中，A C．BD 为对角线，BC=3，BC边上的高为2，则阴影部分
的面积为（）
A．3 B．6 C．12 D．24
2．已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（）
A．4＜α＜16 B．14＜α＜26
C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确
3．在?ABCD中，AB=3，BC=4，当?ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）
①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
4．某地需要开辟一条隧道，隧道AB 的长度无法直接测量．如图所示，在地面
上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）
A．3300m B．2200m C．1100m D．550m
5．如图，在矩形ABCD中，P、R 分别是BC和DC上的点，E、F 分别是AP和RP
的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）
A．线段EF的长逐渐增长
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长始终不变
D．线段EF的长与点P 的位置有关
6．如图，DE是△ABC的中位线，且△ADE的周长为20，则△ABC的周长为（）
A．30 B．40 C．50 D．无法计算
7．如图是一个由 5 张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）
A．4S1 B．4S2 C．4S2+ S3 D．3S1+4S3
8．如图，?ABCD的对角线A C、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB= B C，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S?ABCD=AB?AC；③OB=AB；
④OE= BC，成立的个数有（）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
9．如图，在平行四边形ABCD中，A E⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40．则平行四边形ABCD的面积为（）
A．24 B．36 C．40 D．48
10．如图所示，?ABCD中，两条对角线AC、BD 相交于点O，AF⊥BD 于F，CE ⊥BD于E，则图中全等三角形的对数共有（）
A．5 对B．6 对C．7 对D．8 对
11．若?ABCD的对称中心在坐标原点，AD∥x 轴，若A 的坐标为（﹣1，2），则点C的坐标为（）
A．（1，﹣2）B．（2，﹣1）C．（1，﹣3）D．（2，﹣3）
12．如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）
A．66°B．104°C．114°D．124°
13．如图，在?ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）
A．2 B．3 C．4 D．6
14．在面积为15 的平行四边形ABCD中，过点A 作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（）
A．11+ B．11﹣
C．11+ 或11﹣D．11+ 或1+
15．如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）
A．13 B．17 C．20 D．26
二．解答题（共 6 小题）
16．如图，已知 B E∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．
17．在?ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连
接AC．
（1）如图1，若∠ADC=9°0，G是EF的中点，连接AG、C G．
①求证：BE=BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠ADC=6°0，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、
C G．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）
18．在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥B C，G为BD延长线上一点且△ABG为等边三角形，∠BAD、∠CBD的平分线相交于点E，连接AE交BD于F，连接GE．若平行四边形ABCD的面积为，求AG的长．。