普通物理学第七版 第一章 运动和力

包括速度方向的变化和速度量值的变化。 平均加速度（average acceleration）：
v a t
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瞬时加速度（instantaneous acceleration）：
加速度的方向就是时间t趋近于零时，速度增量v的
极限方向。加速度与速度的方向一般不同。 加速度与速度的夹角为0或180，质点做直线运动。 加速度与速度的夹角等于90，质点做圆周运动。
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三、空间和时间
空间（ space ）反映了物质的广延性，与物体 的体积和位置的变化联系在一起。 时间（time）反映物理事件的顺序性和持续性。 目前的时空范围：宇宙的尺度1026 m(~150亿光年)
到微观粒子尺度10-15 m，从宇宙的年龄1018 s(~150亿 年)到微观粒子的最短寿命10-24 s。 物理理论指出，空间和时间都有下限：分别为 普朗克长度10-35 m和普朗克时间10-43 s 。
2 2 2 2 2 （ 4） r r x y ( 2 t ) ( 6 2 t )
dr 0 dt
4t ( 2t 2 5) ( 2t ) 2 ( 6 2t ) 2
0
5 t s 时 r =3.0m，离原点最近。 2
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例1-2 曲柄 OA长为r，连杆AB长为l。当曲柄以均匀 角速度 绕轴 O 旋转时，通过连杆将带动 B 处的活塞 在气缸内往复运动，试求活塞的运动学方程、速度v 和加速度a与t的关系式。
Δr AB
s =AB
rB 同方向时，取等号。 只有当 rA 、
r rB rA rB rA
则 r r
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七、速度
速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量。
平均速度（average velocity）：
r v t
平均速率（average speed）:
s v t
平均速度是矢量，其方向与位移的方向相同。平均 速率是标量。平均速度的大小并不等于平均速率。
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瞬时速度（instantaneous velocity）：
质点在某一时刻所具有的速度（简称速度）。
Δr dr v lim Δt 0 Δt dt
速度的方向是沿着轨道上质点所在处 的切向，指向质点前进的方向。
ad x vdv
代入
a -k3 x 并积分
v v0

x
x0
k3 x d x v d v
v v k3 ( x x )
2 0 2 2 0
d x k3 x 又 a 2 dt
2
d x k3 x 0 2 dt
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2
可解得简谐振动的运动方程
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§1-2 抛体运动（projectile motion） 以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向 为 x 轴，竖直方向为 y 轴。设抛出时刻 t =0的速率 为v0，抛射角为 ，则初速度分量分别为
对于做直线运动的质点，采用标量形式
dv adt
两边积分

v
v0
dv adt
0
t
v v0 at
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定义
dx v 0 at v dt
dx (v0 at )dt
1 2 x x0 v 0 t at 2
两边积分

x x0
d x (v 0 at ) d t
dv k 2 d t v
d v k 2v d t
dv t v0 v 0 k2 d t
v
v v0e
k2 t

x x0
d x v 0e
0
t
k2 t
dt
v0 x x0 (1 e k2t ) k2
这是物体在黏性流体中运动的情况
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dv dv d x dv v （ 4） a dt d x dt dx
2 2 2 a a a a a 加速度的大小： x y z
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九、运动学的两类问题
（1）已知质点的运动方程，求质点在任意时刻的 位置、速度和加速度。 解决这类问题需要用微分法
（2）已知质点运动的加速度或速度及初始条件， 求质点的运动方程。 解决这类问题需要用积分法
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2 例1-1 已知质点的运动方程 r 2ti (6 2t ) j
6 arctan 71.5 2
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dr 2 i 4 tj （ 3） v dt
t1 1s t 2 2s
v1 2i 4 j v2 2i 8 j


dv a -4 j m/s2 dt m / s a1 -4 j m/s2 2 m/ s a2 -4 j m/s
r x 2 y 2 z 2
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讨论
1. 位移是矢量，有大小和方向，按 平行四边形法则合成。
2. 位移与所选原点无关。
3. 位移 r 和路程 s 不同：
且 r s , 只当 t 0 时, ds dr 4. 注意 r 与 r 的区别：
1 r 2 2 x ( t ) r cos ωt l 1 sin ωt 2 l dx ( t ) 1r v(t ) rωsin ωt sin 2ωt dt 2 l
dv ( t ) r 2 2 a(t ) rω cos ωt cos ωt dt l
式中r的单位是m，t的单位是s。
（1）求质点的轨迹，并作图表示； （2）求 t1 1s, t2 2s 之间的 Δr 和平均速度； （3）求 t1 1s, t2 2s两时刻的速度和加速度； （4）在什么时刻质点离原点最近，其距离多大？
解： （1）轨迹方程
x 2t 2 y 6 2t
v 0 x v 0 cos ,
解：曲柄A端从点P处开始运动 t 时刻转角 φ= t 此时B处活塞的位置 x = OR+RB
x ( t ) r cos ωt l r sin ωt
2 2 2
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按二项式定理展开为级数
2 1r 2 2 2 2 l r sin t l 1 sin t 2 l 略去高阶小量，得到活塞的运动方程
x y 6 2
2
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（2） t1 1s
t 2 2s
r1 2i 4 j r2 4i - 2 j
r r2 r1 2i 6 j m
2 2 r 2 6 m 6.32 m
平均速度


r 6.32 m/s 6 .32m/s t 21
或可写成分量方程
x x( t ) ；y y( t ) ；z z ( t )
知道运动方程就能确定任一时刻质点的位置，从 而确定质点的运动。 将运动方程中的时间消去，得到质点运动的轨迹 方程。
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六、位移
设质点运动轨迹AB： t 时刻位于A点，位矢 rA ；t +t 时刻位于B点，位矢 rB 。
•两相互作用着的物体，且它们本身的线度远小于 它们之间的距离。
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能作为质点处理的物体不一定是很小的，而很小的 物体未必能看成质点；同一物体在不同的情形下有 时可看成质点, 有时却不能看成质点。
研究地球公转
RE 6.4 10 5 1 8 4.3 10 RES 1.5 10
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四、位矢 在坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量，叫 做位置矢量（position vector），简称位矢。位矢是从 坐标原点指向质点所在位置的有向线段。
直角坐标系中表示为 r xi yj zk
位矢的大小为
2 2 2 r r x y z
位矢的方向余弦：
在t 时间内，位矢的变化量（即A 到B的有向线段）称 为位移（displacement）。 Δr rB rA AB
在直角坐标系中：
Δ r ( x B x A )i ( y B y A ) j ( z B z A )k Δ xi Δ yj Δ zk
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例1-3 已知质点做匀加速直线运动，加速度 （1）a =常量； （2） a k1 t ；（3）a - k 2 v （4）a -k3 x，求质点在任意时刻的速度和运动学 方程（开始时x=x0 , v=v0 , k1,k2,k3为正值常量）。
dv 解：（1） a dt
dv a dt
Δr dr ds v v lim Δt 0 Δt dt dt
（瞬时）速度的大小等于（瞬时）速率。
ds 瞬时速率（instantaneous speed）： v dt
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直角坐标系中：
dr d v ( xi yj zk ) v x i v y j v z k dt dt
3
地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺 寸的影响，可以作为质点处理。
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研究地球自转
v ωR
地球上各点的速度相差很大，因此，地球自身的大小 和形状不能忽略，这时不能作为质点处理。 分析质点运动是研究实际物体的复杂运动的基础。
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二、参考系和坐标系 •物质运动具有绝对性 •描述物质运动具有相对性
x cos r
y cos r