参数估计方法
数理统计： 参数估计方法
引例
设总体 X 服从参数为 的指数分布， 未知，
X1 , X 2 , , X n 是来自X的样本, x1 , x2 , , xn 是
相应的样本值，求 的矩估计量和矩估计值.
解 因为 E( X ) 所以 用样本矩替换总体矩, 得 的矩估计量
ˆ
1 n
n i 1
Xi
X
(
x)
1
e
x
,
x0
0,
其他.
但参数 未知。已知参数的取值范围,记为 。
给出样本的一组观察值，如何推断总体的分布?
【思路】给出 的估计，则得到对总体分布的推断。
【方法】根据一定的原则，从 中找到一个值(点) 作为的 估计。
点估计
2
点估计定义
设总体 X 的分布函数 F ( x; ) 的形式为已知,
的估计量.
4
二、估计量的评选标准 1. 无偏性
定义 若 X1, X 2 ,, X n 为总体 X 的一个样本，
是包含在总体 X 的分布中的待估参数, 若估计量ˆ ˆ( X1 , X 2 ,, X n )的数学期望 E(ˆ) 存在, 且对于任意 有
E(ˆ) 则称ˆ 是 的无偏估计量,否则称为有偏的.
(2) lim S 2 2 a.s. (强大数定律) n
即样本方差是总体方差2的强相合估计， 也是相合估计.
12
C. 样本标准差
其观察值:
S
S2
1 n1
n i 1
Xi
X
2
;
s
1 n1
n i 1
( xi
参数估计的方法及应用
参数估计的方法及应用参数估计是统计学中的一个重要方法，用于根据已知数据估计总体的未知参数。
它是统计推断的基础，广泛应用于各个领域，包括医学、金融、市场调研等。
下面将介绍几种常见的参数估计方法及其应用。
1. 点估计点估计是参数估计中最简单的一种方法，通过计算样本数据的统计量来估计总体参数的值。
最常用的点估计方法是样本均值和样本方差，分别用来估计总体均值和总体方差。
例如，在市场调研中，可以通过抽样调查估计某一产品的平均满意度，从而评估市场反应。
2. 区间估计区间估计是参数估计中更常用的一种方法，它不仅给出了参数的一个点估计，还给出了一个区间估计，用于表达估计值的不确定性。
典型的区间估计方法有置信区间和预测区间。
2.1 置信区间置信区间是用于估计总体参数的一个区间范围，表示参数值落在该区间内的概率。
置信区间一般由样本统计量和抽样分布的分位数确定，常见的置信区间有均值的置信区间和比例的置信区间。
比如，一个医生想要估计一种药物对某种疾病的治疗效果，可以从患者中随机抽取一部分人群服用该药物，然后计算患者的治愈率。
利用样本中的治愈率和抽样分布的分位数，可以构建出一个置信区间，用于估计总体的治愈率。
2.2 预测区间预测区间是用于预测个体观测值的一个区间范围，表示个体观测值落在该区间内的概率。
和置信区间不同的是，预测区间不仅考虑参数的估计误差，还考虑了个体观测值的不确定性。
例如，在金融领域，投资者可以利用历史收益率估计某只股票的未来收益率，并通过构建预测区间来评估投资风险。
3. 极大似然估计极大似然估计是一种常用的参数估计方法，它基于样本数据的概率分布，通过寻找使得样本观测值出现的概率最大的参数值来估计总体参数。
例如，在医学研究中，研究人员可以根据已知的疾病发病率和病人的临床症状，利用极大似然估计方法来估计某一疾病的传染率。
4. 贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯统计原理的参数估计方法，它将参数看作是随机变量，并基于先验概率和样本数据来计算后验概率分布。
参数估计方法与实例例题和知识点总结
参数估计方法与实例例题和知识点总结一、参数估计的概念参数估计是指根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数。
参数通常是描述总体分布的特征值，比如均值、方差、比例等。
二、参数估计的方法（一）点估计点估计就是用样本统计量来估计总体参数，给出一个具体的数值。
常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。
1、矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩来估计总体矩。
比如，用样本均值估计总体均值，用样本方差估计总体方差。
2、最大似然估计法最大似然估计法是求使得样本出现的概率最大的参数值。
它基于这样的想法：如果在一次抽样中得到了某个样本，那么这个样本出现概率最大的参数值就是总体参数的估计值。
（二）区间估计区间估计则是给出一个区间，认为总体参数以一定的概率落在这个区间内。
区间估计通常包含置信水平和置信区间两个概念。
置信水平表示区间包含总体参数的可靠程度，常见的置信水平有90%、95%和 99%。
置信区间则是根据样本数据计算得到的一个区间范围。
三、实例例题假设我们要研究某地区成年人的身高情况。
随机抽取了 100 名成年人，他们的身高数据如下（单位：厘米）：165, 170, 172, 168, 175, 180, 160, 178, 176, 169,（一）点估计1、用样本均值估计总体均值：计算这 100 个数据的均值，得到样本均值为 172 厘米。
因此，我们估计该地区成年人的平均身高约为 172 厘米。
2、用样本方差估计总体方差：计算样本方差，得到约为 25 平方厘米。
（二）区间估计假设我们要以 95%的置信水平估计总体均值的置信区间。
首先，根据样本数据计算样本标准差，然后查找标准正态分布表或使用相应的统计软件，得到置信系数。
最终计算出置信区间为（168，176）厘米。
这意味着我们有 95%的把握认为该地区成年人的平均身高在 168 厘米到 176 厘米之间。
四、知识点总结（一）点估计的评价标准1、无偏性：估计量的期望值等于被估计的参数。
参数估计方法及其应用
参数估计方法及其应用参数估计是统计学中的一个重要概念，它指的是通过对样本数据的分析和统计推断，来对总体的一些未知参数进行估计。
常见的参数估计方法包括最大似然估计、贝叶斯估计和矩估计等。
最大似然估计是一种常用的参数估计方法。
它的核心思想是在给定数据的条件下，选择能使观测样本出现概率最大的参数值作为估计值。
具体过程是建立似然函数，通过最大化似然函数来得到参数的估计值。
最大似然估计方法简单直观，适用于大样本情况下的参数估计，广泛应用于一般统计推断、回归分析、生存分析等领域。
贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它是基于贝叶斯定理而提出的。
贝叶斯估计通过结合主观先验信息和样本数据，得到后验概率分布，从而对未知参数进行估计。
与最大似然估计相比，贝叶斯估计方法更加灵活，能够处理小样本、少数据情况下的参数估计。
贝叶斯估计在贝叶斯统计推断、医学诊断、决策分析等领域有广泛应用。
矩估计是一种基于矩的参数估计方法。
矩估计的基本思想是通过样本矩与理论矩的对应关系，建立矩方程组并求解参数。
具体过程是根据样本矩的计算公式，将理论矩与样本矩相等，得到参数的估计值。
矩估计方法简单易行，适用于大样本和小样本情况，广泛应用于生物学、社会科学等领域。
不同的参数估计方法适用于不同的情况和问题。
最大似然估计适用于大样本情况下，可以得到渐近无偏且有效的估计量；贝叶斯估计适用于小样本情况和需要主观先验信息的估计问题；矩估计适用于样本矩存在可计算公式的情况下的参数估计。
此外，还有其他一些参数估计方法，如偏最小二乘估计、缩小估计等。
除了以上常见的参数估计方法，实际应用中也可以根据具体情况发展新的估计方法。
例如，针对数据存在缺失的情况，可以采用最大似然估计的EM算法；对于非参数估计问题，可以使用核密度估计、经验贝叶斯方法等。
不同的参数估计方法有不同的优势和适用范围，选择合适的方法对于得到准确的参数估计结果是非常重要的。
总之，参数估计是统计学中的重要概念，通过对样本数据的分析和统计推断，来对总体的一些未知参数进行估计。
总体参数估计的方法与比较
总体参数估计的方法与比较统计学中的总体参数估计是为了根据样本数据来推断总体的一些特征或指标，以帮助我们了解和分析问题。
常见的参数包括总体均值、总体方差、总体比例等。
总体参数估计的方法有很多，每种方法有其优势和适用范围。
本文将介绍几种常见的总体参数估计方法，并进行比较。
一、点估计方法点估计是通过样本数据来估计总体参数的一种方法。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计：最大似然估计是通过寻找使观测到的样本数据出现的概率达到最大的参数值来估计总体参数。
它利用样本数据的信息，选择出使样本数据出现的可能性最大的总体参数估计值。
最大似然估计方法的优点在于拟合性好，当样本容量大且满足一定条件时，估计结果通常具有较好的性质。
2. 矩估计：矩估计是通过对样本矩的观察来估计总体参数。
矩估计方法基于样本的矩与总体的矩之间的关系进行参数估计。
它不需要对总体分布做出具体的假设，适用范围较广。
矩估计方法的优点在于简单易懂，计算方便。
二、区间估计方法点估计只给出了一个具体的数值，而区间估计则给出一个范围，用来估计总体参数的可能取值区间。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计：置信区间估计是在给定置信水平的情况下，通过样本数据得到总体参数的估计区间。
例如，我们可以通过样本数据得到一个总体均值的置信区间，表明有置信水平的概率下，总体均值落在估计的区间内。
置信区间估计方法的优点在于提供了对总体参数的估计不确定性的量化。
2. 预测区间估计：预测区间估计是在给定置信水平的情况下，通过样本数据得到未来观测的总体参数的估计区间。
与置信区间估计不同的是，预测区间估计对未来观测提供了一个对总体参数的估计范围。
预测区间估计方法的优点在于可以用于预测和决策。
三、方法比较与选择在实际应用中，我们需要根据具体问题选择适合的总体参数估计方法。
下面列举一些比较常见的情况，并给出对应的适用方法。
1. 总体分布已知的情况下，样本容量大：此时最大似然估计方法是一个很好的选择。
参数估计的三种方法
参数估计的三种方法参数估计是统计学中的一项重要任务，其目的是通过已知的样本数据来推断未知的总体参数。
常用的参数估计方法包括点估计、区间估计和最大似然估计。
点估计是一种常见的参数估计方法，其目标是通过样本数据估计出总体参数的一个“最佳”的值。
其中最简单的点估计方法是样本均值估计。
假设我们有一个总体，其均值为μ，我们从总体中随机抽取一个样本，并计算出样本的平均值x。
根据大数定律，当样本容量足够大时，样本均值会无偏地估计总体均值，即E(x) = μ。
因此，我们可以用样本的平均值作为总体均值的点估计。
另一个常用的点估计方法是极大似然估计。
极大似然估计的思想是寻找参数值，使得给定观测数据出现的概率最大。
具体来说，我们定义一个参数θ的似然函数L(θ|x)，其中θ是参数，x是观测数据。
极大似然估计即求解使得似然函数取得最大值的θ值。
举个例子，假设我们有一个二项分布的总体，其中参数p表示成功的概率，我们从总体中抽取一个样本，得到x个成功的观测值。
那么，样本观测出现的概率可以表示为二项分布的概率质量函数，即L(p|x) = C(nx, x) * p^x * (1-p)^(n-x)，其中C(nx, x)是组合数。
我们通过求解使得似然函数取得最大值的p值，来估计总体成功的概率。
与点估计相比，区间估计提供了一个更加全面的参数估计结果。
区间估计指的是通过样本数据推断总体参数的一个区间范围。
常用的区间估计方法包括置信区间和预测区间。
置信区间是指通过已知样本数据得到的一个参数估计区间，使得这个估计区间能以一个预先定义的置信水平包含总体参数的真值。
置信水平通常由置信系数（1-α）来表示，其中α为显著性水平。
置信区间的计算方法根据不同的总体分布和参数类型而异。
举个例子，当总体为正态分布且总体方差已知时，可以利用正态分布的性质计算得到一个置信区间。
预测区间是指通过对总体参数的一个估计，再结合对新样本观测的不确定性，得到一个对新样本值的一个区间估计。
经典参数估计方法(3种方法)
经典参数估计方法：普通最小二乘（OLS）、最大似然（ML）和矩估计（MM）普通最小二乘估计（Ordinary least squares，OLS）1801年，意大利天文学家朱赛普.皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希.奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
最大似然估计（Maximum likelihood，ML）最大似然法，也称最大或然法、极大似然法，最早由高斯提出，后由英国遗传及统计学家费歇于1912年重新提出，并证明了该方法的一些性质，名称“最大似然估计”也是费歇给出的。
该方法是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大似然原理出发发展起来的其他估计方法的基础。
虽然其应用没有最小二乘法普遍，但在计量经济学理论上占据很重要的地位，因为最大似然原理比最小二乘原理更本质地揭示了通过样本估计总体的内在机理。
计量经济学的发展，更多地是以最大似然原理为基础的，对于一些特殊的计量经济学模型，最大似然法才是成功的估计方法。
对于最小二乘法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据；而对于最大似然法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该是使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。
从总体中经过n次随机抽取得到的样本容量为n的样本观测值，在任一次随机抽取中，样本观测值都以一定的概率出现。
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学是一门研究收集、分析和解释数据的学科。
在统计学中，参数估计是其中一个重要的概念，它允许我们通过样本数据来推断总体的特征。
本文将介绍统计学中常用的参数估计方法，包括点估计和区间估计。
一、点估计点估计是一种通过样本数据来估计总体参数的方法。
在点估计中，我们选择一个统计量作为总体参数的估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种基于样本数据的估计方法，它通过选择使得观察到的数据出现的概率最大的参数值来估计总体参数。
最大似然估计的核心思想是找到一个参数估计值，使得观察到的数据在该参数下出现的概率最大化。
最大似然估计方法在统计学中被广泛应用，它具有良好的渐进性质和统计学性质。
矩估计是另一种常用的点估计方法，它基于样本矩的性质来估计总体参数。
矩估计的核心思想是将样本矩与总体矩相等，通过求解方程组来得到参数的估计值。
矩估计方法相对简单，易于计算，但在样本较小或总体分布复杂的情况下，可能会出现估计不准确的问题。
二、区间估计区间估计是一种通过样本数据来估计总体参数的方法，它提供了参数估计的置信区间。
在区间估计中，我们通过计算样本数据的统计量和抽样分布的性质，得到一个包含真实参数的区间。
置信区间是区间估计的核心概念，它是一个包含真实参数的区间。
置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和抽样分布的性质。
常见的置信区间计算方法有正态分布的置信区间和bootstrap置信区间。
正态分布的置信区间是一种常用的区间估计方法，它基于样本数据的统计量服从正态分布这一假设。
通过计算样本数据的均值和标准差，结合正态分布的性质，我们可以得到一个包含真实参数的置信区间。
Bootstrap置信区间是一种非参数的区间估计方法，它不依赖于总体分布的假设。
Bootstrap方法通过从原始样本中有放回地抽取样本，生成大量的重采样数据集，并计算每个重采样数据集的统计量。
通过分析这些统计量的分布，我们可以得到一个包含真实参数的置信区间。
参数估计的方法有
参数估计的方法有
以下几种方法：
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）：利用数据样本的信息，寻找参数的取值，使得样本出现的概率最大。
2. 最小二乘估计（Least Squares Estimation, LSE）：在一组在某些方面“不完美"的观测值与模型估计值之间，寻找一个最佳拟合直线（或其他曲线），使得它们之间的残差平方和最小。
3. 贝叶斯估计（Bayesian Estimation）：在先验分布和数据的基础之上，利用贝叶斯公式推导出后验分布，从而得到参数的估计值。
4. 矩估计（Moment Estimation）：以样本矩估计总体矩的方法来估计参数。
5. 似然比检验估计（Likelihood Ratio Estimation）：将最大似然值与模型的交集和样本容差进行比较，从而确定参数的估计值。
6. 非参数估计方法（Nonparametric Estimation）：不需要对总体分布进行任何假设，在方法上不依赖于总体的形式。
统计学中的参数估计方法研究
统计学中的参数估计方法研究统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而参数估计则是其中一个重要的研究方向。
参数估计方法的研究旨在通过样本数据推断总体参数的值，从而对总体进行描述和推断。
本文将探讨统计学中的参数估计方法的研究，包括点估计和区间估计两个方面。
一、点估计点估计是参数估计方法中最常用的一种方法。
它通过样本数据得到一个单一的数值来估计总体参数的值。
点估计的核心是选择一个合适的统计量作为估计量，并利用样本数据计算得到该统计量的值。
常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种常用的点估计方法，它基于样本观察到的数据，寻找使得观察到的数据出现的概率最大的参数值。
最大似然估计方法的基本思想是通过最大化似然函数来估计参数的值。
似然函数是关于参数的函数，描述了给定参数下观察到的数据出现的概率。
最大似然估计方法通过求解似然函数的最大值来得到参数的估计值。
矩估计是另一种常用的点估计方法，它基于样本数据的矩（样本矩）与总体矩（总体参数的矩）之间的关系来估计参数的值。
矩估计方法的基本思想是通过样本矩与总体矩的匹配来估计参数的值。
矩估计方法通过求解样本矩与总体矩的方程组来得到参数的估计值。
二、区间估计区间估计是另一种常用的参数估计方法。
它通过样本数据得到一个区间，该区间包含了总体参数的真值的可能范围。
区间估计的核心是选择一个合适的统计量作为估计量，并利用样本数据计算得到该统计量的值，然后利用统计量的分布性质构建一个置信区间。
常用的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是区间估计中最常用的一种方法，它用于估计总体参数的值，并给出一个置信水平。
置信水平是指在重复抽样的情况下，置信区间包含真值的比例。
置信区间的构建依赖于样本数据的分布性质和所选的统计量。
一般来说，置信区间的宽度与置信水平成反比，即置信水平越高，置信区间越宽。
预测区间是另一种常用的区间估计方法，它用于估计未来观察值的范围。
与置信区间不同，预测区间考虑了观察误差的影响。
参数估计方法及其R语言实现
参数估计方法及其R语言实现参数估计是统计学中一种重要的方法，目的是通过样本数据对总体参数进行估计。
本文将介绍一些常见的参数估计方法及其在R语言中的实现。
1. 点估计方法点估计是根据样本数据估计总体参数的最常用方法。
它基于样本统计量，通过选择合适的统计量作为总体参数的估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）和矩估计（Method of Moments, MOM）。
最大似然估计是一种基于似然函数的方法，适用于已知总体分布形式的情况。
假设总体的概率分布函数为f(x;θ)，其中θ是待估计的参数，样本数据为x1, x2, ..., xn。
似然函数定义为L(θ|x) = ∏ f(xi;θ)，最大似然估计的思想是选择使得似然函数取得最大值的参数值作为估计值。
在R语言中，可以使用“stats”包中的函数“mle”来进行最大似然估计。
矩估计是一种基于样本矩的方法，适用于未知总体分布形式的情况。
假设总体的矩为μr = E(X^r)，其中X是总体变量，r为正整数。
样本矩定义为mr = ∑(xi^r)/n，其中xi 为样本观测值，n为样本容量。
矩估计的思想是将总体矩与样本矩相等，得到关于参数的方程组，通过求解方程组来得到参数的估计值。
在R语言中，可以使用“moments”包中的函数“method.moments”来进行矩估计。
2. 区间估计方法区间估计是通过样本数据对总体参数给出一个置信区间，用于表示对参数估计的不确定性。
常见的区间估计方法有置信区间法和Bootstrap法。
置信区间法通过样本统计量和分布的特点，对总体参数给出一个置信区间。
它的核心思想是由样本估计量的抽样分布来确定总体参数的范围。
常见的置信区间方法有正态分布的置信区间、t分布的置信区间和比例估计的置信区间等。
在R语言中，可以使用“stats”包中的函数“confint”来进行置信区间估计。
参数估计的基本方法
因此，容易得到在抽样中，总体参数将以同样 的可能性 （概率）存在于下面的区间内：
置信区间
一般地，设总体参数为， L、 U为由样本确定 的两个统计量值，对于给定的（0< <1），有
则称（ L， U ）为参数的置信度为1- 的置信 区间， L、 U分别称为置信下限与置信上限， 为显著性水平， 1- 为置信度。
三、区间估计（Interval Estimation)
（一）区间估计基本原理 （二）总体均值的区间估计 （三）总体比例的区间估计
（一）区间估计基本原理
1. 大数定律主要是说明：当n足够大时，独立同分布
的随机变量的算术平均数趋近于数学期望；事件发 生的频率接近于其发生的概率。 即样本统计量接 近于总体参数。 • 因此，可以用样本平均数（或比例）估计总体平均 数（或比例）
2. 中心极限定理是说明：当n充分大时，大量的起
微小作用的相互独立的随机变量之和趋于正态分布。 • 因此可以用正态分布来确定总体参数的估计范围
（置信区间）和可靠程度（即概率或置信度）。
3、区间估计方法理论
区间估计则是根据样本估计量以一定的可靠程度推断总 体参数所在的区间范围。
如果抽样分布已知，则在点估计中，可以知道抽样的点 估计值与总体参数的离差在某一给定范围内的概率大小， 即以一定的可靠程度知道以下抽样极限误差：
用s2代替σ2 ，对于给定的置信度1-α，总体均值的置
信区间为
(x z / 2
s n
,
x
z
/2
s) n
例：某进出口公司出口一种名茶，规定每包重量不低于150克。现不 重复抽取1%检验，结果如下。以95.45%的概率估计这批茶叶平均 每包重量范围，以确定该批茶叶是否达到要求。
参数估计方法
参数估计方法
参数估计（Parameter Estimation）是统计学中重要的一个研究目标，也是机器学习
领域中重要的一个问题。
参数估计的目的是从给定的数据中求取一组模型参数，使得模型
最能拟合数据。
常用的参数估计方法有最小二乘法（Least Squares）、极大似然法（Maximum Likelihood）等。
最小二乘法是一种估计统计模型参数的经典方法，其基本思想是求解使得拟合散点的
模型函数的残差的平方和最小的参数向量。
它的优点是简单易行，但不能解决线性模型参
数求解问题而有多解的情况。
极大似然法是在概率论和统计学中广泛使用的参数估计技术，它的基本思想是找到使
出现观测数据最有可能的模型参数，即概率估计参数使得所有观测数据的联合概率（likelihood）最大。
优点是可以给出参数的分布关系，而每个参数的准确值也可以得到。
缺点是计算难度稍大。
此外，对参数估计的选择也会受到具体的应用背景的影响。
例如，在机器学习中，如
果所需要估计的参数太多，可以考虑使用正则化技术，通过引入一定的约束条件来达到减
少估计参数数量的目的。
因此，在实际应用中如何正确选择参数估计方法，以求得最符合实际情况的模型参数，是相当重要的研究课题。
参数估计的若干方法及应用
参数估计的若干方法及应用
参数估计是指在一组观测数据或实验结果中，出最有效的参数值，以
满足实验结果或经验数据的最佳拟合，是机器学习和统计学中重要的技术，也是数据挖掘的核心过程。
参数估计通常分为经验参数估计法和概率参数
估计法，它们的估计结果和拟合效果是不同的。
一、经验参数估计法
经验参数估计法是一种基于经验数据的唯一参数估计方法，它只需要
对历史数据进行几次迭代就可以得出拟合参数的估计值，它的优点是可以
迅速收敛，有利于提高算法的效率。
常用的经验参数估计法包括最小二乘法、最小平方误差法、平滑最小二乘法、弦截法等。
（1）最小二乘法是一种经典的经验参数估计方法，它最大程度地减
少了数据拟合时的残差，也就是预测值和实际值之间的差异。
它将残差的
平方和作为优化的目标函数，最小二乘法的优化问题可以用矩阵的形式进
行求解。
（2）最小平方误差法是求解参数矩阵的有效方法，它是基于极大似
然估计的，通过极大似然法求解参数，来得到一个使得观测数据出现的概
率最大的参数矩阵，这样就可以得出一组最优参数。
（3）平滑最小二乘法是一种非线性的经验参数估计法，它的目的是
使参数矩阵有一个均匀的变化。
关于参数估计的几种方法
a1 是 ( X T X ) −1 ( X T Y )(Y T Y ) −1 (Y T X ) 的最大特征值对应的
特征向量； 特征向量；
b1 是 (Y T Y ) −1 (Y T X )( X T X ) −1 ( X T Y )的最大特征值对应
的特征向量； 的特征向量；
1.表内成分提取 1.表内成分提取——主成分分析 表内成分提取 主成分分析
数据表： 数据表：有P个变量 x1, x 2 , ..., x p ，对它们 个变量 进行n次观测 所构成矩阵即为一数据表。 次观测， 进行 次观测，所构成矩阵即为一数据表。 基本原理：对原数据表中的信息重新组合，提取 基本原理：对原数据表中的信息重新组合， 数据表中的信息重新组合 ），使这 使这m 出m个综合变量 F1 , F 2 , ... F m （m< p），使这 个综合变量 个综合变量能最多的概括原数据表的信息 原数据表的信息。 个综合变量能最多的概括原数据表的信息。 数据集合中的信息指的是集合中数据变异的情况。 数据集合中的信息指的是集合中数据变异的情况。 指的是集合中数据变异的情况 而在一张数据表中，数据集合的变异信息即为全部 而在一张数据表中，数据集合的变异信息即为全部 变量的方差和来表示 来表示。 变量的方差和来表示。
典型相关分析
不能较好的反映2组变 还不能较好的反映 组变
间的相关关系， 个典型成分。 量X与Y间的相关关系，还可以考虑第 、3…个典型成分。 与 间的相关关系 还可以考虑第2、 个典型成分
Fi
对应的典型主轴
ai 是矩阵( X T X )−1 ( X T Y )(Y T Y )−1 (Y T X )
T 1 1
F0 = t r + F1
参数估计方法
参数估计的方法矩法一、矩的概念矩(moment )分为原点矩和中心矩两种。
对于样本n y y y ，，， 21，各观测值的k 次方的平均值，称为样本的k 阶原点矩，记为k y ，有∑==n i k i k y n y 11，例如，算术平均数就是一阶原点矩；用观测值减去平均数得到的离均差的k 次方的平均数称为样本的k 阶中心矩，记为k y y )(-或k μˆ，有∑-=-=ni k i k y y n y y 1)(1)(，例如，样本方差∑-=n i i y y n 12)(1就是二阶中心矩。
对于总体N y y y ，，， 21，各观测值的k 次方的平均值，称为总体的k 阶原点矩，记为)(k y E ，有∑==N i k i k y N y E 11)(；用观测值减去平均数得到的离均差的k 次方的平均数称为总体的k 阶中心矩，记为])[(k y E μ-或k μ，有∑-=-=N i k i k y N y E 1)(1])[(μμ。
二、矩法及矩估计量所谓矩法就是利用样本各阶原点矩来估计总体相应各阶原点矩的方法，即 ∑==n i ki k y n y 11→)(k y E(8·6)并且也可以用样本各阶原点矩的函数来估计总体各阶原点矩同一函数，即若))(，)，()，((k y E y E y E f Q 2=则)，，，(k y y y f Q 2ˆ= 由此得到的估计量称为矩估计量。
[例8.1] 现获得正态分布)，(2σμN 的随机样本n y y y ，，， 21，要求正态分布)，(2σμN 参数μ和2σ的矩估计量。
首先，求正态分布总体的1阶原点矩和2阶中心矩：⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅=⎰=∞+∞-∞+∞-μσμσπdy y y dy y yf y E 22exp 2)(21)()( (此处⎥⎦⎤⎢⎣⎡--22exp σμ2)(y 表示自然对数底数e 的⎥⎦⎤⎢⎣⎡--22σμ2)(y 的指数式，即][2)(22σμ--y e )22222exp σσμσπμμμ⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅-=⎰-=-∞+∞-∞+∞-dy y y dy y f y y E 2)(21)()()()][(2 然后求样本的1阶原点矩和2阶中心矩，为∑-==∑====n i i n i i y y n s y n y 12221ˆˆ)(1，1μμ 最后，利用矩法，获得总体平均数和方差的矩估计 ∑-==∑====n i i ni i y y n s y n y 12221ˆˆ)(1，1σμ故总体平均数和方差的矩估计值分别为样本平均数和样本方差，方差的分母为n 。
统计推断中的参数估计方法
统计推断中的参数估计方法统计推断是统计学的一个重要分支，通过样本数据对总体参数进行估计，并对估计结果的可靠性进行推断。
在统计推断中，选择合适的参数估计方法至关重要。
本文将介绍几种常用的参数估计方法，包括点估计、区间估计和最大似然估计。
一、点估计点估计是使用样本数据来估计总体参数的一种常用方法。
它的思想是根据样本数据得到一个单独的数值作为总体参数的估计值。
点估计的核心是选择一个合适的统计量作为参数的估计量。
常用的点估计方法有样本均值估计、样本方差估计和极大似然估计等。
例如，在对总体均值进行估计时，可以使用样本均值作为参数的点估计量。
这是因为根据大数定律，当样本足够大时，样本均值会无偏且一致地估计总体均值。
二、区间估计点估计虽然简单直观，但无法给出估计结果的可靠程度。
为了解决这个问题，统计学引入了区间估计的概念。
区间估计以一个区间作为总体参数的估计范围，并给出该区间包含总体参数的概率。
常用的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
置信区间估计用于对总体参数的估计，预测区间估计则用于对新观测值的估计。
以置信区间估计为例，它的计算基于样本统计量的分布特性和样本容量。
三、最大似然估计最大似然估计是统计推断中一种重要的参数估计方法。
它通过选择最大化样本数据出现的概率或似然函数来估计参数值。
最大似然估计的核心思想是选择参数值，使得样本数据出现的概率最大。
最大似然估计有着良好的性质，包括无偏性、一致性和渐近正态性。
它在很多统计模型中被广泛应用，如正态分布、二项分布和泊松分布等。
总结：统计推断中的参数估计方法包括点估计、区间估计和最大似然估计。
点估计通过使用样本数据得到总体参数的单个数值估计；区间估计提供了参数估计结果的可靠性区间；最大似然估计通过选择使样本数据出现概率最大的参数值进行估计。
这些方法在实际应用中具有重要的意义，帮助我们更好地理解和推断总体参数。
通过合理地选择和应用这些参数估计方法，我们可以从样本数据中获得对总体的有效估计，并对估计结果的可靠性进行推断。
参数估计方法
参数估计方法参数估计方法是统计学中非常重要的一个概念，它用于根据样本数据来估计总体参数的数值。
在统计学中，参数通常是指总体的特征数值，比如总体均值、方差等。
而样本则是从总体中抽取的一部分数据。
参数估计方法的目的就是通过对样本数据的分析，来估计总体参数的数值。
本文将介绍几种常见的参数估计方法。
一、最大似然估计法。
最大似然估计法是一种常用的参数估计方法。
它的核心思想是，选择使得观察到的样本数据出现的概率最大的参数值作为总体参数的估计值。
具体来说，假设总体的概率分布函数为f(x|θ)，其中θ是待估计的参数，x是观察到的样本数据。
那么最大似然估计法就是要找到一个θ值，使得观察到的样本数据出现的概率f(x|θ)最大。
通过对数似然函数的求解，可以得到最大似然估计值。
二、贝叶斯估计法。
贝叶斯估计法是另一种常见的参数估计方法。
它的特点是将参数视为一个随机变量，而不是一个固定但未知的数值。
在贝叶斯估计中，参数的取值是有一定概率分布的，这个概率分布称为参数的先验分布。
当观察到样本数据后，可以通过贝叶斯定理来更新参数的概率分布，得到参数的后验分布。
而后验分布的均值或中位数可以作为参数的估计值。
三、矩估计法。
矩估计法是一种比较直观的参数估计方法。
它的思想是利用样本矩来估计总体矩，进而得到总体参数的估计值。
具体来说，对于总体的某个参数，可以通过样本的矩（如样本均值、样本方差等）来估计总体对应的矩，然后解出参数的估计值。
矩估计法的计算比较简单，但在某些情况下可能会产生不稳定的估计结果。
四、区间估计法。
除了点估计方法，还有一种常见的参数估计方法是区间估计法。
区间估计法不是直接给出参数的估计值，而是给出一个区间，称为置信区间，该区间内有一定的概率包含真实的参数值。
区间估计法的优势在于可以提供参数估计的不确定性信息，而不仅仅是一个点估计值。
总之，参数估计方法是统计学中的重要内容，不同的参数估计方法有各自的特点和适用范围。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的参数估计方法，并结合实际问题对参数进行准确估计。
参数估计PPT课件
目录
• 参数估计简介 • 最小二乘法 • 最大似然估计法 • 贝叶斯估计法 • 参数估计的评估与选择
01 参数估计简介
参数估计的基本概念
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。通过使用样本数据和适当的统计模型，我们可 以估计出未知参数的合理范围或具体值。
参数估计的基本概念包括总体参数、样本参数、点估计和区间估计等。总体参数描述了总体特征，而 样本参数则描述了样本特征。点估计是使用单一数值来表示未知参数的估计值，而区间估计则是给出 未知参数的可能范围。
到样本数据的可能性。
最大似然估计法的原理是寻找 使似然函数最大的参数值，该 值即为所求的参数估计值。
最大似然估计法的计算过程
确定似然函数的表达式
根据数据分布和模型假设，写出似然函数的表达式。
对似然函数求导
对似然函数关于参数求导，得到导数表达式。
解导数方程
求解导数方程，找到使似然函数最大的参数值。
确定参数估计值
04
似然函数描述了样本数据与参数之间的关系，即给定参数值下观察到 样本数据的概率。
贝叶斯估计法的计算过程
首先，根据先验信息确定参数的先验分布。 然后，利用样本信息和似然函数计算参数的后验分布。 最后，根据后验分布进行参数估计，常见的估计方法包括最大后验估计（MAP）和贝叶斯线性回归等。
贝叶斯估计法的优缺点
参数估计的常见方法
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的线性回归分析方法，通过最小化误差的平方和来估计未知参数。这种方法适用于线性回归模 型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
极大似然法
极大似然法是一种基于概率模型的参数估计方法，通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。这种方法适用于 各种概率模型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
参数估计方法
第八章参数估计方法研究工作的目的在于了解总体特征的有关信息，因而用样本统计数估计相应总体参数，并由之进行统计推断。
总体特征的各种参数，在前几章主要涉及平均数、标准差等，并只从直观上介绍其定义和公式，未就其历，即参数估计(parameter estimation)的方法作讨论。
本章将简要介绍几种常用参数估计方法，即矩法、最小二乘法、极大似然法。
第五章述及参数的点估计(point estimation)和区间估计(interval estimation)，本章讨论点估计方法。
区间估计是在点估计的基础上结合统计数的抽样分布而进一步作出的推论，有关内容将散见在其它各章。
第一节农业科学中的主要参数及其估计量的评选标准一、农业科学中的主要参数农业科学研究中需要估计的参数是多种多样的，主要包括总体数量特征值参数，例如，用平均数来估计品种的产量，用平均数差数来估计施肥等处理的效应；用百分数(或比例)来估计遗传分离比例、群体基因或基因型频率、2个连锁主基因间的重组率；通过变异来源的剖分，用方差来估计环境方差、遗传方差和表型方差，在此基础上以估计性状的遗传力等遗传参数；用标准误来估计有关统计数的抽样误差，如重组率的标准误、遗传抽样误差、遗传多样性误差、频率误差等。
在揭示变数间的相互关系方面，用相关系数来描述2个变数间的线性关系；用回归系数、偏回归系数等来描述原因变数变化所引起的结果变数的平均变化的数量，用通径系数来描述成分性状对目标性状的贡献程度等。
有关数量关系和数量变化方面的内容将在第9至11章介绍。
二、参数估计量的评选标准讨论参数估计方法前需要了解数学期望(expectation)的概念和评价估计方法优劣的标准。
(一) 数学期望在抽样分布中，已经讲述了从总体中抽出所有可能样本的样本平均数的平均数等于总体平均数，这里，样本平均数的平均数就是一种数学期望。
例如，一个大豆品种的含油量为20%，测定一次可能是大于20%，再测定可能小于20%，大量反复测定后平均结果为20%，这时20%便可看作为该大豆品种含油量的数学期望，而每单独测定一次所获的值只是1个随机变量。
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1 n
n (yi
i 1
y)k 。
对于总体y1,y2,…yN，各观测值的k次方的平均值，称为
总体的k阶原点矩，记为 E( y k )，有 E( yk )
1 N
N i 1
yik
；用观测
值减去平均数得到的离均差的k次方的平均数称为总体的k阶
中心矩，记为 E[(y )k ]或 k ，有 E[(y )k ]
(8·2)
其中f(y)为随机变量y的概率密度函数，这样可以求得总 体均值。
用D(y)表示方差，有
D(y)=E [y－E(y)]2
(8·3)
这就是随机变量函数的数学期望。同理，离散型随机 变量方差的数学期望为：
D(
y)
yi
E( y) 2 pi
(8·4)
i 1
连续型随机变量方差的数学期望为：
D( y) y E( y)2 f( y)dy
第八章 参数估计方法
第一节 农业科学中的主要参数及其估计量的评选标准 第二节 矩法 第三节 最小二乘法 第四节 极大似然法
第一节 农业科学中的主要参数及其估计量的评选标准
一、农业科学中的主要参数
农业科学研究中需要估计的参数是多种多样的，主要包括: (1)总体数量特征值参数，例如，用平均数来估计品种的产
(二) 参数估计量的评选标准 评价估计量优劣的标准主要有无偏性、有效性、相合性等
(1) 无偏性 参数估计量的期望值与参数真值是相等的，这 种性质称为无偏性，具有无偏性的估计量称为无偏估计量。 例如，在抽样分布中已经介绍了离均差平方和除以自由度得 到的均方的平均数等于总体方差，即该均方的数学期望等于 相应总体参数方差，这就是说该均方估计量是无偏的。
首先，计算样本的2、3、4阶中心矩 ˆ 2，ˆ3，ˆ 4，以及标 准差估计值：
μˆ 2
1 n
n i 1
( yi
y)2
1303 .735
μˆ3
1 n
n i 1
( yi
y)3
3953 .891
μˆ 4
1 n
n i 1
( yi
y)4
4.67729
10 6
σˆ
μˆ2
1 n
n 1
( yi y)2 36.107
量，用平均数差数来估计施肥等处理的效应； (2)在揭示变数间的相互关系方面，用相关系数来描述2个
变数间的线性关系；用回归系数、偏回归系数等来描述原因 变数变化所引起的结果变数的平均变化的数量，用通径系数 来描述成分性状对目标性状的贡献程度等。
二、参数估计量的评选标准 (一) 数学期望
样本平均数的平均数就是一种数学期望。 例如，一个大豆品种的含油量为20%，测定一次可能 是大于20%，再测定可能小于20%，大量反复测定后平均 结果为20%，这时20%便可看作为该大豆品种含油量的数 学期望，而每单独测定一次所获的值只是1个随机变量。
μ
E[(y μ)]2
(
y
μ)
2
(
y
)dy
(
y
μ)
2
1 2πσ
exp
(
y μ)2 2σ 2
dy
2
然后求样本的1阶原点矩和2阶中心矩，为
ˆ
y
1 n
n
i 1
yi，ˆ
2
s2
1 n
n (yi
i 1
y)2
最后，利用矩法，获得总体平均数和方差的矩估计
ˆ
y
1 n
n
i 1
yi，ˆ
2
s2
1 n
n (
ˆ
2 p
ˆ
ˆ
2 g
2 g
ˆ
2 e
ˆ2 ˆ2 ˆ 2
27.51 27.5117.77
60.76%
第三节 最小二乘法
从总体中抽出的样本观察值与总体平均数是有差异的， 这种差异属于抽样误差。因而，在总体平均数估计时要尽 可能地降低这种误差，使总体平均数估计值尽可能好。
参数估计的最小二乘法就是基于这种考虑提出的。 基本思想是使误差平方和最小，达到在误差之间建立一 种平衡，以防止某一极端误差对决定参数的估计值起支配 地位。这有助于揭示更接近真实的状况。 具体方法是为使误差平方和Q为最小，可通过求Q对待 估参数的偏导数，并令其等于0，以求得参数估计量。
如果一个无偏估计量相对与其它所有可能无偏估计量，其 期望方差最小，那么称这种估计量为一致最小方差无偏估计 量。
(3) 相合性 用估计量估计参数涉及一个样本容量大小问题， 如果样本容量越大估计值越接近真值，那么这种估计量是相 合估计量。
除以上三方面标准外，还有充分性与完备性也是常考虑 的。
充分性指估计量应充分利用样本中每一变量的信息； 完备性指该估计量是充分的唯一的无偏估计量。
61.3 63.8 63.3 62.5
从第6章可知，这种资料模式的线性模型为：
第二节 矩法
一、矩的概念
矩( moment )分为原点矩和中心矩两种。
样本的对k于阶样原本点y矩1,y，2,记…为yn，y k各，观有测yk值的1nki次n1 y方ik 的, 用平观均测值值，减称去为 平均数得到的离均差的k次方的平均数称为样本的k阶中心矩,
记为 ( y y)k 或 ˆ k ，有(y y)k
i 1
yi
y)2
故总体平均数和方差的矩估计值分别为样本平均数和样 本方差，方差的分母为n。
单峰分布曲线还有二个特征数，即偏度( skewness )与峰 度( kurtosis )，可分别用偏度系数和峰度系数作测度。
偏度系数( coefficient of skewness )是指3阶中心矩与标准 差的3次方之比；峰度系数( coefficient of kurtosis )是指4阶中 心矩与标准差的4次方之比。
估计量的数学期望值在样本容量趋近于无穷大时与参数 的真值相等的性质称为渐进无偏性，具有渐进无偏性的估计 量称为渐进无偏估计量。
(2) 有效性 无偏性表示估计值是在真值周围波动的一个数 值，即无偏性表示估计值与真值间平均差异为0，近似可以 用估计值作为真值的一个代表。
同一个参数可以有许多无偏估计量，但不同估计量的期望 方差不同，也就是估计量在真值周围的波动大小不同。估计 量的期望方差越大说明用其估计值代表相应真值的有效性越 差；否则越好，越有效。不同的估计量具有不同的方差，方 差最小说明最有效。
由此得到的估计量称为矩估计量。
[例8.1] 现获得正态分布 N(， 2 )的随机样本y1, y2 ,…yn，
要求正态分布 N(， 2 )参数 和 2的矩估计量。
首先，求正态分布总体的1阶原点矩和2阶中心矩：
E(y) yf ( y)dy y
1 2πσ
exp
(
y μ)2 2σ 2
dy
测定干草重(g/株)。按单向分组方差分析进行分析，结果见
表6.9。此处用来说明由矩法估计误差、遗传方差和干草的
遗传力h2。
因为76个系是随机抽取的，因而为随机模型。方差结
果说明系间差异显著，因而系间效应存在。
根据矩法，首先应求出系间和误差变异来源的样本均
方和总体期望均方(表6.9)。
然后，利用矩估计原理，令样本的均方与总体相应变
异的期望均方相等，从而求出
2
和
2的矩估计值。
此处E(MS系统间)=E[Tt-E(Tt)]2，(Tt 为各个系统的总和数)
=
2
n
2
E(MS误差)=E(e2)= 2，(e为误差)
因而
σˆ 2 17.77
σˆ 2
2σˆ
2 τ
72.79
ˆ2 (72.79 17.77) 2 27.51
h2
ˆ
2 g
当偏度为正值时，分布向大于平均数方向偏斜；偏度 为负值时则向小于平均数方向偏斜；当偏度的绝对值大于2 时，分布的偏斜程度严重。当峰度大于3时，分布比较陡峭， 峰态明显，即总体变数的分布比较集中。
由样本计算的偏度系数
3
cs μˆ3
σˆ 3
1 n
n i1
( yi
y)3
1 n
n i1
( yi
y
)2
(n 1) 2
因而， 2估计为：
ˆ 2 Q (n 1) (yi y)2 (n 1)
与矩法所得不同，而与常规以自由度为除数法一致。
[例8.5] 求例6.13的两向分组方差分析资料缺1个小区(表 8.1)的最小二乘估计量和估计值。
表8.1 生长素处理豌豆的试验结果
处 理 (A)
Ⅰ
对照(CK) 60
为获得其最小值，求Q对的导数，并令导数等于0，可得：
Q
2n ( yi i 1
ˆ) 0
即总体平均数的估计量为：
1n
ˆ
n
i1
yi
因此，算术平均数为总体平均数的最小二乘估计。这与
矩法估计是一致的。
估计离均差平方和 Q (yi y)2 的数学期望：
E(Q) E[ ( yi y)2 ] E[ ( yi y )2 ] E[ ( yi μ)2 2 ( yi μ)(y μ) ( y μ)2 ] E[ ( yi μ)2 ( y μ)2 ] nσ 2 nσ 2 /n
1 N
N ( yi
i 1
)k
二、矩法及矩估计量
所谓矩法就是利用样本各阶原点矩来估计总体相应各阶 原点矩的方法，即
y k
1 n
n i 1
yik
E(yk )
(8·6)
也可以用样本各阶原点矩的函数来估计总体各阶原点矩
同一函数，即若Q=f ( E(y),E(y2),…,E(yk) ) , 则
Qˆ f( y，y 2， ，y k )
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