中考数学专题复习：弦切角
中考数学复习圆的补充定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条 切线的夹角．即：AP=BP,OP平分∠APB。 切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例 中项。即：AP²=PB·PC
做题思路：（1）连结AB，根据弦切角定理可得出，∠PAB=∠E,根据 BE2=DE·EA．可得出△BDE与△EBA相似，可得出∠EBD=∠EAB。即可 得。 （2）根据切割线定理和D是PC的中点易得出B是PD的中点，再根据相交 弦定理即可。
5．如图，C为AB的中点，BCDE是以BC为一边的 正方形，以B为圆心，BD为半径的圆与AB及其延
长线相交于H、K。求证：AH·AK=2AC2．
做题思路：连结AD证明AD是圆B 的切长线上的一点，PA 和⊙O相切于A，若PA＝15，PB＝5． （1）求tan∠ABC的值； （2）弦AD使∠BAD＝∠P，求AD的长．
专题练习
1．四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，且∠ A︰∠ B ︰ ∠C =2︰ 1︰4，则∠D=______°． 2．如图， AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点，连结AC、CD，作 射线AD，若∠BAC=20°,求∠CDE的度数．
3．如图，在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC交⊙O于C．求证： PC2＝PA·PB 4．如图，已知PAB是⊙O的割线，PO＝14cm，PA＝4cm，AB＝ 16cm．求⊙O的半径.
圆的补充定理
补充定理：
1．相交弦定理 2．弦切角定理 3．切线长定理 4．切割线定理 5．平行弦定理 6．连心线性质定理 7．圆内接四边形定理
2019年中考数学知识点精选提高练习：弦切角定理(圆)(附解析答案)
2019年中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理（圆）一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（）A．97°B．104°C．116°D．142°3．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（）A．70°B．55°C．70°或110°D．55°或125°4．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（）A．50°B．60°C．100°D．120°5．如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE＝40°，则∠A的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°7．如图，△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于点B，AB＝AC，若∠CBD＝40°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC．AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°9．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知：如图，E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点，且ME⊥NE，AB为外公切线，切点分别为A，B 连接AE，BE，则∠AEB的度数为（）A．145°B．140°C．135°D．130°二．填空题11．已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A 的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝度．12．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于度．13．如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝度，∠ACB＝度．14．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，且∠BAC＝35°，则∠P＝度．15．如图，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径．若∠BCD＝35°，则∠ABC的大小等于度．16．如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝130°，则∠ADP＝．17．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D点的切线PD 与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为．18．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径．已知∠APB＝70°，则∠ACB 的度数为°．19．如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径是AB＝2，弦AC＝1，则∠CAD＝度．20．如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC＝100°，∠BCT＝40°，则∠AOB＝度．三．解答题21．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．（1）求证：∠DAC＝∠BAC；（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的直径．22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC＝∠BAC．（1）试说明：AD⊥CD；（2）若AD＝4，AB＝6，求AC．23．如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．求证：（1）AD＝AE；（2）AB•AE＝AC•DB．24．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD．（1）求证：PA∥BC；（2）求⊙O的半径及CD的长．25．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E．（1）求证：BC∥DE；（2）若AB＝3，BD＝2，求CE的长；（3）在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件（不要求证明）．26．如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB＝CE．求证：（1）BE∥DG；（2）CB2﹣CF2＝BF•FE．参考答案1．解：连接BC，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．故选：A．2．解：∵BD是圆O的直径，∴∠BAD＝90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∵直线ED为圆O的切线，∴∠ADE＝∠ABD＝19°，∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．故选：C．3．解：如图，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴∠OAP＝∠O BP＝90°，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝110°，∴∠ACB＝55°，当点C在劣弧AB上，∵∠AOB＝110°，∴弧ACB的度数为250°，∴∠ACB＝125°．故选：D．4．解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝50°．∵此圆与直线BC相切于C点，∴的度数＝2∠C＝100°．故选：C．5．解：∵AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，∠CBE＝40°，∴∠A＝∠CBE＝40°．故选：B．6．解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，∴∠CAD＝∠B＝60°．（弦切角定理）故选：B．7．解：∵BD切⊙O于点B，∴∠DBC＝∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．故选：D．8．解：如图，连接AC，由弦切角定理知∠ACB＝∠BAT＝55°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝55°，∴∠B＝180°﹣2∠ACB＝70°，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°．故选：A．9．解：∵直线MN切⊙O于C点，∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°．故选：C．10．解：连接AM，BN，∵∠BAE＝∠AME，∠ABM＝∠BNE，∴∠B AE+∠ABE＝（∠AME+∠BNE），∵MA⊥AB，NB⊥A B，∴MA∥NB，∴∠AMN+∠BNM＝180°．∵∠MEN＝90°，∴∠EMN+∠ENM＝90°，∴∠AME+∠BNE＝180°﹣90°＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝×90°＝45°，∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°．故选：C．二．填空题（共10小题）11．解：∵AB＝2，OA＝，∴cos∠BAO＝＝，∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°；∵OC是⊙M的切线，∴∠BOC＝∠BAO＝30°，∴∠ACO＝∠OBA﹣∠BOC＝30°．故答案为：30．12．解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，∴∠A＝∠PCB＝35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴35°+∠B＝90°，解得∠B＝55°．故答案为：55．13．解：由弦切角定理知，∠C＝∠BAP＝30°；由圆周角定理知，∠AOB＝2∠C＝60°．14．解：连接OB；∵PA、PB都是⊙O的切线，且切点为A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB+∠P＝180°；在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝180°﹣2∠BAC；∴∠P＝2∠BAC＝70°．15．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵直线CD与⊙O相切，∴∠A＝∠BCD，∵∠BCD＝35°，∴∠A＝35°，∴∠ABC＝55°．故答案为：55°．16．解：连接BD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，∴∠BAD＝50°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠40°∵PD切⊙O于D，∴∠ADP＝∠ABD＝40°，故答案为：40°．17．解：连接BD，则∠ADB＝90°，又∠BCD＝130°，故∠DAB＝50°，所以∠DBA＝40°；又因为PD为切线，故∠PDA＝∠ABD＝40°，即∠PDA＝40°．18．解：∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴PA＝PB；∵∠APB＝70°，∴∠PBA＝（180°﹣∠APB）＝55°，∵PB切⊙O于B，∴∠ACB＝∠PBA＝55°．19．解：∵AB是圆的直径，∴∠C＝90°；又AB＝2，AC＝1，∴∠B＝30°，∵AD为⊙O的切线，∴∠CAD＝∠B＝30°．20．解：∵CT切⊙O于C∴∠BAC＝∠BCT＝40°；在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ABC＝100°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣40°﹣100°＝40°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°．三．解答题（共6小题）21．证明：（1）连接BC，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠B，∠OCD＝90°，∵AD⊥CD，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BAC；（2）∵cos∠BAC＝，∴＝，∵AC＝6，∴AB＝10，故⊙O的直径为10．22．（1）证明：连接OC；∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在△ADC与△ACB中，，∴△ADC∽△ACB，∴＝，即AC2＝AD•AB，∵AD＝4，AB＝6，∴AC＝＝2．23．证明：（1）∵∠ADE＝∠APD+∠PAD，∠AED＝∠CPE+∠C，又∠APD＝∠CPE，∠PAD＝∠C．∴∠ADE＝∠AED．∴AD＝AE．（2）∵∠APB＝∠CPA，∠PAB＝∠C，∴△APB∽△CPA，得．∵∠APE＝∠BPD，∠AED＝∠ADE＝∠PDB，∴△PBD∽△PEA，得．∴．∴AB•AE＝AC•DB．24．（1）证明：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAB＝∠2．又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∴∠PAB＝∠1．∴PA∥BC．（2）解：连接OA交BC于点G，则OA⊥PA；由（1）可知，PA∥BC，∴OA⊥BC．∴G为BC的中点，∵BC＝24，∴BG＝12．又∵AB＝13，∴AG＝5．设⊙O的半径为R，则OG＝OA﹣AG＝R﹣5，在Rt△BOG中，∵OB2＝BG2+OG2，∴R2＝122+（R﹣5）2，∴R＝16.9，OG＝11.9；∵BD是⊙O的直径，∴DC⊥BC．又∵OG⊥BC，∴OG∥DC．∵点O是BD的中点，∴DC＝2OG＝23.8．25．（1）证明：连接CD；∵DE是圆O的切线，∴∠CDE＝∠CBD．∵∠CBD＝∠DAC，∴∠CDE＝∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴∠CDE＝∠BAD．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CDE＝∠BCD．∴BC∥DE．（2）解：如图，连接CD；∵AD平分∠BAC，∴＝．∴∠BCD＝∠CBD．∴BD＝CD＝2．∵BC∥DE，∴∠E＝∠ACB＝∠ADB．又由（1）中已证得∠CDE＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE．∴AB：BD＝CD：CE．∴CE＝BD•CD÷AB＝．（3）解：应该是∠BAC＝2∠ACB．26．证明：（1）∵CB＝CE，∴∠E＝∠CBE．∵CG为⊙O切线，∴∠BCD＝∠E．∴∠CBE＝∠BCD．∴BE∥DG．（2）∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠CBE．∵∠ACB＝∠ACB，∴△CBF∽△CAB，．∴CB2＝CF•AC＝CF•（CF+AF）＝CF2+CF•AF．即CB2﹣CF2＝AF•CF．由相交弦定理，得AF•CF＝BF•FE．∴CB2﹣CF2＝BF•FE．。
(八)弦切角
中考总复习圆（八）弦切角1．如图7-136，在⊙O中，AC是弦，AD是切线，CB⊥AD，垂足为B，CB与圆相交于点E，如果AE平分∠BAC，则∠ACB=____2．如图7-137，⊙O的两条直径AB与CD，BT是过B点的切点，且弧BD＝45°，则∠BAD＝____；∠CBT=____3．如图7-138，MN切⊙O于点p，AB∥MN，PA交⊙O于点C，PB交⊙O于点D．求证：C、D、B、A四点共圆．4．如图7-139，AB是⊙O的弦，C是弧AB的中点，BD是切线，CD∥AB．求证：DC=DB．5．如图7-140，PA、PC分别切⊙O于点A、C，D为弧AC上任一点，连结CD交AP于点E，∠P＝30°，则∠ADE ＝____ 6．如图7-141，CD为⊙O的直径，AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠DBE=62°，则∠A＝____度．7．如图7-142，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，CE切⊙O于点C，BE⊥AC，则∠E＝_____ 度.8．如图7-143，AD是切线，点D是切点，BC是半圆O的直径，AB=BC＝2，则AD=___ DC:DB＝____ ；DB=____，DC＝____，S△ABD＝____．9．如图7-144，∠ACB＝90°，MN切△ABC的外接圆于点C，AE⊥MN，BF⊥MN，垂足分别是点E、F，AC＝3，BC＝4，则四边形AEFB的面积等于____.10．如图7-145，PA、PB切⊙O于点A、B，CE⊥AD，垂足为点E，交BD于点C，且CE过圆心O，则图中与∠D相等的角共有( )．(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个11．如图7-146，PA 切⊙O 于点A ，C 为弧AB 上任一点，∠PAB=42°，则∠C 的度数 为( )．(A)116° (B)132° (C)138° (D)159°12．如图7-147，割线PAB 过⊙O 的圆心，交⊙O 于A 、B 两点，PC 切⊙O 于C 点,且PC=BCCD ⊥PB ，垂足为D ，求CD ：BC ．13．如图7-148，BC 切⊙O 于C 点，DF ∥BC ，延长BD 交⊙O 于点A ，AC 交DF 于 点E ．求证：BD:CE ＝BC:CF.14．如图7-149，已知△ABC 是⊙O 内接三角形，BM 、CN 是圆的切线，AD ∥CN ，AE//BM,求证：AD 2=BE •CD15．半圆O 的直径AB ＝2，C 是半圆上的一点，且弧AC ：弧CB ＝1：2，过点B 、C 的切线交于点P ，PA 交⊙O 于点E ，求PE 的长．16．AB 是⊙O 的直径，延长AB 至点C ，使BC ＝21AB ，自点C 作CD 切⊙O 于点D ，连结AD ．求证：△DAC 是等腰三角形．17．已知在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A=73°，∠B=92°，且弧DC=弧BC ，过各顶点作⊙O 的切线，围成的四边形为PQMN ，求⊙O 外切四边形PQMN 各内角的度数．18．设⊙O l 与⊙O 2。
中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
几何语言：若弦CD AB ，交于点P ，则PD PC PB PA ⋅=⋅。
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ，则PB PA PD PC ⋅==22。
2. 弦切角定理：（1）弦切角的定义：如图像∠ACP 这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。
等于这条弧所对的圆周角。
即∠PCA=∠PBC 。
3. 切线长定理：（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
4. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA•PB（切割线定理）。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD。
5. 三角形的内切圆与内心：内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。
练习题1、（2022•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【分析】根据题意，先作出相应的辅助线，然后求出内切圆的半径，再根据图形可知：阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣正方形CEOD的面积﹣⊙O面积的，代入数据计算即可．【解答】解：作OD⊥AC于点D，作OE⊥CB于点E，作OF⊥AB于点F，连接OA、OC、OB，如图，∵∠C＝90°，OD＝OE＝OF，∴四边形CEOD是正方形，∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝S△AOC+S△COB+S△BOA，∴＝，解得OD＝OE＝OF＝1，∴图中阴影部分的面积为：﹣1×1﹣π×12×＝5﹣π，故答案为：5﹣π．2、（2022•泰州）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为．【分析】连接BO，CO，结合内心的概念及平行线的判定分析可得当DE＝CD+BE时，DE∥BC，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算．【解答】解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO，∵O为△ABC的内心，∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，当CD＝OD时，则∠OCD＝∠COD，∴∠BCO＝∠COD，∴BC∥DE，∴∠CBO＝∠BOE，∴BE＝OE，则DE＝CD+BE，设CD＝OD＝x，BE＝OE＝y，在Rt△ABC中，AB＝＝10，∴，即，解得，∴CD＝2，过点O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，∵点O为△ABC的内心，∴OD＝OE′，在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，，∴△ODD′≌△OE′E（ASA），∴OE＝OD′，∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+＝，在△AD′E′和△ABC中，，∴△AD′E′∽△ABC，∴，∴，解得：AD′＝，∴CD′＝AC﹣AD′＝，故答案为：2或．3、（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含π的式子表示）【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，∴S扇形DOE＝＝（cm2），故答案为：．4、（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为．【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，∴OE＝OD＝3＝，∴AC+BC﹣AB＝6，∴AC+BC＝AB+6，∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，而BC2+AC2＝AB2，∴2BC×AC＝12AB+36①，∵小正方形的面积为49，∴（BC﹣AC）2＝49，∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，把①代入②中得AB2﹣12AB﹣85＝0，∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，∴AB＝17（负值舍去），∴大正方形的面积为289．故答案为：289．。
中考数学 考点系统复习 第六章 圆 微专题(七) 与切线有关的常考五大模型
模型二：角平分线模型
已知：如图，AB 是直径，AC⊥EC 于点 C，BE⊥EC 于点 E，EC 是⊙O 的切 线． 【常见结论与方法】①AD 平分∠BAC；②BD＝DF，ED＝DC；③△ADC∽△ ABD(AD2＝AC·AB)；④△FDC∽△DAC(DC2＝CF·CA)；⑤△BED∽△DCA(ED2 ＝BE·AC＝14EC2)；⑥常见辅助线：连接 OD，过点 O 作 OG⊥AC，构造矩形．
4．★如图，在⊙O 中，AB 为直径，过圆上一点 C 作切线 CD 交 AB 的延长 44 33
线于点 D.若∠BAC＝30°，AD＝4，则 CD 的长为3 3 .
模型五：双切线模型 已知：如图，PA，PC 与⊙O 分别相切于 A，C 两点． 【常见结论与方法】连接 OA，OC，OP，则有： ①∠PAO＝∠PCO＝90°； ②OP 平分∠APC；③PA＝PC； ④△OPA≌△OPC.
∵DE＝2，∴BD＝4，BE＝2 5.
∵∠C＝∠C，∠EBD＝∠EDC，∴△CDE∽△CBD，
∴CCED＝DBCC＝DBED＝12，
设 CE＝x，则 DC＝2x，∴(2x)2＝x(x＋2 5)，
25
25
∴x1＝0(舍去)，x2＝ 3 ，即线段 EC 的长五大模型
模型一：直角三角形模型 已知：如图，BC 是直径，AC⊥BC，DE 切⊙O 于点 D，交 AC 于点 E.
【常见结论与方法】①EA＝EC＝ED；②OE 綊12AB；③连接 CD，构造“双 垂”模型得 CD＝ACA·B BC，CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.
1．如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 与斜边 AC 交于点 D，E 为 BC 边的中点，连接 DE，OE.求证：DE 是⊙O 的切线．
中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理(圆)(附解析答案)
5.中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理（圆）•选择题BD 于 F 点.若/ ADE= 19°,则/ AFB 的度数为何？（点A 、B 重合），则/ ACB 等于（ ）如图为△ABC 和一圆的重迭情形， 此圆与直线BC 相切于C 点，且与AC 交于另一点D.若1. 如图，AB 是O O 的直径, DB DE 分别切O O 于点B 、C,若/ AC 巨25°，则/ D 的度数是2. B. 55° C. 60° D. 65°如图，BD 为圆0的直径, 直线 ED 为圆0的切线，A 、C 两点在圆上，AC 平分/ BAD 且交3. B. 104° C. 116 ° 点P 是O 0外一点，PA PB 分别切O 0于点A B,Z P = 70°, 占 八D. 142 °C 是O O 上的点（不与A. 70°B. 55°C. 70° 或 110°D. 55° 或 125° 4./ A = 70°,/ B= 60°, 则 的度数为何（ B. 60° C. 100 ° D. 120 °如图，AB 是O O 的直径, DE 为O O 的切线，切点为 B,点C 在O O 上，若/ CBE= 40°, 则/A 的度数为（B. 40°C. 50°D. 60°A. 97° A. 30°7.如图，△ ABC 内接于O Q BD 切O O 于点 B, AB= AC 若/ CBD= 40°,则/ ABC 等于（）&如图，四边形ABCD 内接于O Q AB= BCAT 是O Q 的切线，/ BAT= 55 °，则/ D 等于（•：）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120 °B. 50°C. 60°D. 70°A. 110°B. 115°C. 120 °D. 125 °9.如图，AB 为O Q 的直径, C D 为O Q 上的点，直线 MN 切O Q 于V 点，图中与/ BCt 互余 A. 40A. 1个 C. 3个 D. 4个的角有（DB. 2个10.已知：如图，E 是相交两圆O M 和O N 的一个交点，且 ME L NE AB 为外公切线，切点分别为 A B 连接AE BE 则/ AEB 的度数为（C. 135 °D. 130 °二.填空题11.已知，如图，半径为 1 的O M 经过直角坐标系的原点 O,且与x 轴、y 轴分别交于点 A 、0）, O M 的切线OC 与直线AB 交于点C.则/ AC Q度. PC 切O Q 于点C,Z PCB= 35°，则/ B 等于度. 13.如图 PA 切O O 于点 A , / PAB= 30°，则/ AQB= 度，/ ACB= 度.B, AC 是O Q 的直径，且/ BAC= 35°，则/ P =度. OB,点A 的坐标为（-,15•如图，已知直线CD与O O相切于点C, AB为直径•若/ BCD= 35°，则/ ABC的大小等于_______ 度.16•如图四边形ABC［内接于O O AB为直径，PD切O 0于D,与BA延长线交于P点，已知/ BCD= 130。
模型26 圆幂定理(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
1．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．2、相交弦定理【结论1】如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则①AP·BP＝CP·DP,②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.3、切割线定理【结论2】如图，PBC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，半径为r,则①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r24、割线定理【结论3】如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，半径为r,则①PA·PB＝PC·PD②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2口诀：从两线交点处引出的共线线段的乘积相等例题精讲考点一：相交弦定理【例1】．已知：如图弦AB经过⊙O的半径OC的中点P，且AP＝2，PB＝3，则是⊙O的半径等于（）A．B．C．D．解：延长CO交⊙O于D，设⊙O的半径是R，∵弦AB经过⊙O的半径OC的中点P，∴CP＝R＝OP，PD＝R+R，由相交弦定理得：AP×BP＝CP×DP，则2×3＝R×（R+R），解得：R＝2，故选：C．变式训练【变式1-1】．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝2：3．解：∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，∴AE•BE＝CE•DE，∴AE：DE＝CE：BE＝2：3，故答案为：2：3．【变式1-2】．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，CA＝CB，过点A作AC的垂线交CD的延长线于点E，连结BE．若cos∠ACB＝，则的值为．解：设AC，BD交于点F，过点B作BG⊥EA，交EA的延长线于点G，如图，∵AC⊥BD，cos∠ACB＝，∴cos∠ACB＝＝，设CF＝3k，则CB＝5k，∴BF＝＝4k．∵CA＝CB，∴AC＝5k，∴AF＝AC﹣CF＝2k．∵CF•AF＝DF•BF，∴DF＝k．∵AC⊥BD，AE⊥AC，∴DF∥AE，∴，∴，∴AE＝k．∴CE＝＝k．∵AC⊥BD，AE⊥AC，BG⊥EA，∴四边形AFBG为矩形，∴BG＝AF＝2k，AG＝BF＝4k，∴EG＝AE+AG＝k，∴BE＝＝k，∴＝，故答案为：．考点二：弦切角定理【例2】．如图，割线PAB过圆心O，PD切⊙O于D，C是上一点，∠PDA＝20°，则∠C的度数是110度．解：连接BD，则∠BDA＝90°，∵PD切⊙O于点D，∴∠ABD＝∠PDA＝20°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣20°＝70°；又∵四边形ADCB是圆内接四边形，∴∠C＝180°﹣∠DAB＝180°﹣70°＝110°．变式训练【变式2-1】．如图，已知∠P＝45°，角的一边与⊙O相切于A点，另一边交⊙O于B、C两点，⊙O的半径为，AC＝，则AB的长度为（）A．B．6C．D．5解：连接OA，OB，作OD⊥AC于D，CE⊥AP于E，∵OA＝OB，∴∠AOD＝∠AOC，AD＝DC＝，∴OD＝＝2，∵PA切⊙O于A，∴∠CAE＝∠B，∵∠B＝∠AOC，∴∠CAE＝∠AOD，∵∠AEC＝∠ADO＝90°，∴△ACE∽△OAD，∴＝＝，∴＝＝，∴CE＝，AE＝，∵∠P＝45°，∴△PCE是等腰直角三角形，∴PE＝CE＝，PC＝，∵PA＝AE+PE，∴PA＝，∵∠CAE＝∠B，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PBA，∴AC：AB＝PC：PA，∴2：AB＝：，∴AB＝6．故选：B．【变式2-2】．如图，BP是⊙O的切线，弦DC与过切点的直径AB交于点E，DC的延长线和切线交于点P，连接AD，BC．若DE＝DA＝，BC＝2，则线段CP的长为．解：连接BD，如图，∵DE＝DA，∴∠A＝∠DEA，∵∠DEA＝∠BEC，∠DCB＝∠A，∴∠BEC＝∠DCB．∴BE＝BC＝2．∵∠DEB＝180°﹣∠BEC，∠BCP＝180°﹣∠BCE，∴∠DEB＝∠BCP，∵BP是⊙O的切线，∴∠BDE＝∠PBC，∴△DEB∽△BCP，∴，∴，∴CP＝．故答案为：．考点三：切割线定理【例3】．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC＝3，PB＝1，则该半圆的半径为4．解：∵PC切半圆与点C，∴PC2＝PA•PB，即PA＝9，则AB＝9﹣1＝8，则圆的半径是4．故答案为4．变式训练【变式3-1】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径作圆O与BC相切于点D，分别交AC、AB于E、F，若CD＝2CE＝4，则⊙O的直径为（）A．10B．C．5D．12解：连接OD，过O作AC的垂线，设垂足为G，∵∠C＝90°，∴四边形ODCG是矩形，∵CD是切线，CEA是割线，∴CD2＝CE•CA，∵CD＝2CE＝4，∴AC＝8，∴AE＝6，∴GE＝3，∴OD＝CG＝5，∴⊙O的直径为10．故选：A．【变式3-2】．如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C，D．AC与BD相交于点E，CD2＝CE•CA，分别延长AB，DC相交于点P，PB＝BO，CD＝2．则BO的长是4．解：连接OC，如图，∵CD2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴，即，∴r＝4（负根已经舍弃），∴OB＝4，故答案为4．【变式3-3】．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（2）若，求BD的长．（1）证明：连接OE，∵BE平分∠ABC交AC于点E，∴∠1＝∠EBC，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠CBE，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC是⊙O的切线，∵⊙O是△BDE的外接圆，∴AC是△BDE的外接圆的切线；（2）解：∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，根据切割线定理：AE2＝AD×AB，∵，∴（）2＝2×（2+BD），解得：BD＝4．∴BD的长是：4．考点四：割线定理【例4】．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3B．7.5C．5D．5.5解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．变式训练【变式4-1】．如图，P是圆O外的一点，点B、D在圆上，PB、PD分别交圆O于点A、C，如果AP＝4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝4．解：如图，∵AP＝4，AB＝2，PC＝CD，∴PB＝AP+AB＝6，PC＝PD．又∵PA•PB＝PC•PD，∴4×6＝PD2，则PD＝4．故答案是：4．【变式4-2】．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为4．解：延长CD交⊙O于点G，设BE，DG的中点分别为点M，N，则易知AM＝DN，∵BC＝CD＝10，由割线定理得，CB•CF＝CD•CG，∵CB＝CD，∴BF＝DG，∴BE﹣BF＝BE﹣DG＝2（BM﹣DN）＝2（BM﹣AM）＝2AB＝4．故答案为：4．1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切⊙O于点C，∠BCM＝60°，则∠B的正切值是（）A．B．C．D．解：连接BD．AB是直径，则∠ADB＝90°，∴∠CDB＝∠BCM＝60°．∴∠CDA＝∠CDB+∠ADB＝150°．∵∠CBA＝180°﹣∠CDA＝30°，∴tan∠ABC＝tan30°＝．故选：B．2．如图，从圆外一点P引圆的切线PA，点A为切点，割线PDB交⊙O于点D、B．已知PA＝12，PD＝8，则S△ABP：S△DAP＝9：4．解：由切割线定理可得PA2＝PD×PB，∵PA＝12，PD＝8∴PB＝18．由弦切角和公共角易知△PAD∽△PBA．：S△PBA＝PA2：PB2＝4：9．∴S△P AD3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过AB两点且与BC切于B，与AC交于D，连接BD，若BC＝﹣1，则AC＝2．解：∵AB＝AC，∠C＝72°，BC是⊙O的切线，∴∠CBD＝∠BAC＝36°，∴∠ABD＝36°，∴∠BDC＝∠BCD＝72°，∴AD＝BD＝BC；又∵BC是切线，∴BC2＝CD•AC，∴BC2＝（AC﹣BC）•AC（设AC＝x），则可得到：（x﹣）2＝，解得：x1＝2，x2＝（x2＜0不合题意，舍去）．∴AC＝2．4．如图，⊙O的直径AB＝8，将弧BC沿弦BC折叠后与∠ABC的角平分线相切，则△ABC的面积为8．解：设弧BC沿弦BC折叠后的圆弧的圆心为O′，连接O′B，如图，∵将弧BC沿弦BC折叠后与∠ABC的角平分线相切，∴O′B⊥BD，∴∠O′BD＝90°．设∠ABD＝α，则∠BCD＝∠ABD＝α，∴∠ABC＝2α．由折叠的性质得：∠ABC＝∠O′BC＝2α，∴∠O′BD＝∠O′BC+∠DBC＝3α＝90°，∴α＝30°．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AB•cos∠ABC＝8×cos60°＝4，AC＝AB•sin∠ABC＝8×＝4．∴△ABC的面积为AC•BC＝4×＝8．故答案为：8．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是．解：连接OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4+1＝5，∴OB＝OC＝，∴OA＝，OF＝BF＝，∴DF＝BD﹣BF＝，∴OG＝，GD＝，解法一：在Rt△AGO中，AG＝＝，∴GE＝，∴DE＝GE﹣GD＝．解法二：在Rt△AGO中，AG＝＝，∴AD＝AG+GD＝，∵AD×DE＝BD×CD，∴DE＝＝．故答案为：．6．如图，已知AC＝AB，AD＝5DB＝4，∠A＝2∠E．则CD•DE＝56．解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，交CD于点H；过点B作BG∥AH，交DE于点G；∵AB＝AC，∴CF＝BF，∠A＝2∠HAD；而∠A＝2∠E，∴∠HAD＝∠E，∴A、H、B、E四点共圆，∴DH•DE＝DA•DB＝4×5＝20；∵BG∥AH，且CF＝BF，∴△AHD∽△BGD，CH＝HG；∴，设HD＝5λ，则DG＝4λ，∴CD＝CH+HD＝14λ，∴DH＝，∴•DE＝20，∴CD•DE＝56．故答案为56．7．如图：BE切⊙O于点B，CE交⊙O于C，D两点，且交直径于AB于点P，OH⊥CD于H，OH＝5，连接BC、OD，且BC＝BE，∠C＝40°，劣弧BD的长是．解：连接AD，BD∵BE＝BC∴∠E＝∠C＝40°，∠BOD＝80°，∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD）÷2＝50°∵BE是切线∴∠DBE＝∠C＝40°∴∠BDE＝180°﹣∠E﹣∠DBE＝100°∴∠HDO＝180°﹣∠ODB﹣∠BDE＝30°∵OH⊥CD∴OD＝＝10，即圆的半径是10∴弧BD的度数是80度弧BD＝＝．8．如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点A（4，3），点B与点C在y轴上，点B与原点O重合，且AB＝AC，AC与⊙O交于点D，延长AO与⊙O交于点E，连接CE、DE与x轴分别交于点G、F，则tan∠DFO＝，tan∠A＝．解：设圆O与y轴交于点H，K，过点A作AM⊥OC于点M，过点D作DN⊥OC于点N，如图，∵A（4，3），∴AM＝4，MO＝3，∴AO＝＝5．∵AB＝AC，点B与原点O重合，∴AB＝AC＝5．∴AE＝2AO＝10．∵AE为⊙O的直径，∴ED⊥AD．∵AB＝AC，AM⊥OC，∴OC＝2OM＝6．∴CH＝CO﹣OH＝6﹣5＝1，∴CK＝CH+HK＝1+10＝11．∵CD•CA＝CH•CK，∴CD＝＝，∴AD＝AC﹣CD＝5﹣＝．∴DE＝＝．∴tan∠DAE＝＝＝．∵DH⊥OC，FO⊥OC，∴DH∥OF．∴∠DFO＝∠NDF．∵ED⊥AD，∴∠NDF+∠CDN＝90°．∵DN⊥OC，∴∠CDN+∠NCD＝90°．∴∠NDF＝∠NCD．∴∠DFC＝∠NCD．∴tan∠DFC＝tan∠NCD＝．故答案为：；．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，C为切点，且CD＝CB，连接AD，与⊙O交于点E．（1）求证AD＝AB；（2）若AE＝5，BC＝6，求⊙O的半径．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠ACB，∵BC＝BD，AC＝AC，∴△ACB≌△ACD（SAS），∴AB＝AD；（2）连接OB，OC，CE，连接AO并延长交BC于点F，∵△ACB≌△ACD，∴∠CAB＝∠CAD，∴＝，∴BC＝CE，∵BC＝CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠D＝∠CED，∵AB＝AC，AB＝AD，∴AD＝AC，∴∠ACD＝∠D，∴∠CED＝∠ACD，∴△DEC∽△DCA，∴＝，∴＝，∴DE＝4或DE＝﹣9（舍去），∴AD＝AE+DE＝9，∴AB＝AC＝AD＝9，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AF是BC的垂直平分线，∴AF⊥BC，BF＝CF＝BC＝3，∴AF＝＝＝6，设⊙O的半径为r，在Rt△OFC中，OF2+CF2＝OC2，∴（6﹣r）2+32＝r2，∴r＝，∴⊙O的半径为．10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，过点A作⊙O 的切线交CD的延长线于点F，连接FB．（1）求证：FB是⊙O的切线．（2）若AC＝4，tan∠ACD＝，求⊙O的半径．（1）证明：连接OA，OB，∵FA是⊙O的切线，∴OA⊥FA，∴∠FAO＝90°，∵直径CD⊥AB，∴CF垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠FBE＝∠FAE，∵OA＝OB，∴∠OBE＝∠OAE，∴∠OBE+∠FBE＝∠FAE+∠OAE＝∠FAO＝90°，∴半径OB⊥FB，∴FB是⊙O的切线（2）解：∵tan∠ACD＝＝，∴令AD＝x，则CD＝2x，∵△ADC是直角三角形，∴AC＝＝＝x＝4，∴x＝4，∴AD＝4，CD＝8，∵AD2＝DE•CE，∴42＝8DE，∴DE＝2，∴CD＝DE+CE＝2+8＝10，∴⊙O的半径长是5．11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE 交⊙O于点G，连接BG．（1）求证：FB2＝FE•FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的长．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∴．∴∠DBA＝∠G．∵∠EFB＝∠BFG，∴△EFB∽△BFG，∴，∴FB2＝FE•FG；（2）解：连接OE，如图，∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，∴BD＝＝6．∴OB＝BD＝3．∵点E为AB的中点，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，∴OE∥BC，OE＝BE＝AB．∴．∴，∴，∴BF＝2；∵点E为AB的中点，∴AE＝BE＝3，∴EC＝＝3．∵AE•BE＝EG•EC，∴EG＝．12．如图，⊙O的割线PBA交⊙O于A、B，PE切⊙O于E，∠APE的平分线和AE、BE 分别交于C、D，PE＝4，PB＝4，∠AEB＝60°．（1）求证：△PDE∽△PCA；（2）试求以PA、PB的长为根的一元二次方程；（3）求⊙O的面积．（答案保留π）（1）证明：由弦切角定理得∠PEB＝∠EAB，∵PC是∠APE的平分线，∴∠CPE＝∠CPA，∴△PDE∽△PCA；（2）解：由切割线定理得PE2＝PA•PB，∵PE＝4，PB＝4，∴PA＝12，∴PA+PB＝16，PA•PB＝48，∴所求方程为：x2﹣16x+48＝0；（3）解：连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，则BF是⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∴∠AEB＝∠F＝60°在Rt△ABF中，sin60°＝＝＝＝＝，∴BF＝．∴⊙O的面积为：π（）2＝π（面积单位）．13．如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上，且FC＝FE．（1）求证：CF是圆O的切线；（2）若，BE＝2，求圆O的半径和DE•EC的值．证明：（1）∵AC是直径，点D是的中点，∴∠ABC＝90°，∠ACD＝∠BCD．∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠ABC＝90°，∴∠CEF+∠BCE＝90°．∴∠ECF+∠ACD＝90°，即∠ACF＝90°．∴AC⊥CF．又∵点C在圆O上，∴CF是圆O的切线；（2）连接AD．∵AC是直径，点D是的中点，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，∠ACD ＝∠BCD ．∴△BEC ∽△DEA ．∴DE •EC ＝AE •BE ，在Rt △ACF 和Rt △BCF 中，∵＝＝，设CF ＝3k ，则AF ＝5k ．∴BF ＝k ，AC ＝＝4k ．∵FC ＝FE ＝3k ，BE ＝FE ﹣BF ，∴3k ﹣k ＝2．∴k ＝．∴AC ＝．∴圆O 的半径＝AC ＝．∵AE ＝AF ﹣FE ＝5k ﹣3k ＝2k ＝，∴AE ×BE ＝×2＝．∴DE •EC ＝．14．如图，AB 为⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，且PC 2＝PB •PA ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．（1）证明：连接OC，如图1所示：∵PC2＝PB•PA，即＝，∵∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴∠PCB＝∠PAC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接OD，如图2所示：∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB•PA，∴PA＝＝＝40，∴AB＝PA﹣PB＝30，∵△PBC∽△PCA，∴＝＝2，设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，解得：x＝6，即BC＝6，∵点D是的中点，AB为⊙O的直径，∴∠AOD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AEF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DFO＝∠ABC，∴△DOF∽△ACB，∴＝＝，∴OF＝OD＝，即AF＝，∵EF∥BC，∴＝＝，∴EF＝BC＝．15．已知：如图，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O 于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，（1）求证：PE∥BC；（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．（1）证明：∵PF与⊙O相切，∴PF2＝PD•PA．∵PE＝PF，∴PE2＝PD•PA．∴PE：PD＝PA：PE．∵∠APE＝∠APE，∴△EPD∽△APE．∴∠PED＝∠A．∵∠ECB＝∠A，∴∠PED＝∠ECB．∴PE∥BC．（2）解：PE与BC仍然平行．证明：画图如图，∵△EPD∽△APE，∴∠PEA＝∠D．∵∠B＝∠D，∴∠PEA＝∠B．∴PE∥BC．16．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．（1）如图①，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD＝DI；（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；（3）如图③，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：FG＝HG．证明：（1）如图①，∵AD平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAD，∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠CBD+∠CBI，∴∠BID＝∠DBI，∴BD＝DI；（2）如图②，连接OD，∵∠CAD＝∠BAD，∴＝，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）如图，作直径交⊙O于M，连接CM，BH，CH，∴∠MCH＝90°，∴∠M+∠CHM＝90°，∵∠B＝∠M，∴∠B+∠CHM＝90°，∵GH是⊙O的切线，∴∠OHG＝∠CHG+∠CHM＝90°，∴∠CHG＝∠B，如图③，连接BH，CH，∵GH是⊙O的切线，∴∠CHG＝∠HBG，∵∠CGH＝∠BGH，∴△HCG∽△BHG，∴＝，∴GH2＝BG•CG，∵AD∥GF，∴∠AFG＝∠CAD，∵∠CAD＝∠FBG，∴∠FBG＝∠AFG，∵∠CGF＝∠BGF，∴△CGF∽△FGB，∴＝，∴FG2＝BG•CG，∴FG＝HG．17．【提出问题】小聪同学类比所学的“圆心角“与“圆周角”的概念，将顶点在圆内（顶点不在圆心）的角命名为圆内角．如图1中，∠AEC，∠BED就是圆内角，所对的分别是、，那么圆内角的度数与所对弧的度数之间有什么关系呢？【解决问题】小聪想到了将圆内角转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角，再进一步解决问题：＝＝＝的度数的度数）（1）如图1，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，若弧的度数是65°，弧的度数是40°，则∠AED的度数是127.5°．【类比探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角．（2）如图3，在⊙O中，弦AB，CD的延长线相交于点E，试探索圆外角∠E的度数与它所夹的两段弧、的度数之间的关系．【灵活运用】（3）如图4，平面直角坐标系内，点A（，1）在⊙O上，⊙O与y轴正半轴交于点B，点C，点D是线段OB上的两个动点，满足AC＝AD．AC，AD的延长线分别交⊙O 于点E、F．延长FE交y轴于点G，试探究∠FGO的度数是否变化．若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由．解：（1）∵∠AEC的度数＝（的度数+的度数），∴∠AEC＝（65°+40°）＝52.5°，∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝180°﹣52.5°＝127.5°，故答案为：127.5°；（2）连接OA，OB，OC，OD，BC，∵∠E＝∠ABC﹣∠BCE＝∠AOC﹣∠BOD＝（的度数﹣的度数），∴∠E＝（的度数﹣的度数）；（3）∠FGO的度数不变，连接OA，作AH⊥x轴于H，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴（的度数+的度数＝（的度数+的度数），∴的度数+的度数＝的度数+的度数，∴的度数﹣的度数＝的度数﹣的度数，由（2）知，∠FGO＝（的度数﹣的度数）＝（的度数﹣的度数），∵点A（，1），∴OH＝，AH＝1，∴tan∠AOH＝，∴∠AOH＝30°，∴∠AON＝120°，∠AOB＝60°，∴∠FGO＝（120°﹣60°）＝30°，∴∠FGO的度数不变，为30°．。
2023年中考数学复习---圆综合知识点总结与专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学复习---圆综合知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2.垂径定理的推论：推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
3.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。
4.圆周角定理：5.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
6.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。
②性质：I：圆内接四边形的对角互补。
II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
7.三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。
圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
8.切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径。
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题。
9. 切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。
专题：圆之弦切角定理—冲刺2020年全国中考数学真题专项强化练习卷(含答案)
专题：圆之弦切角定理—冲刺2020年全国中考数学真题专项强化练习卷时间：100分钟满分：100分一．选择题（每题3分，共27分）1．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD 且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（）A．97°B．104°C．116°D．142°2．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（）A．50°B．60°C．100°D．120°3．如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．80°4．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC．AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°6．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN 互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的切线，点A为切点，∠ACB＝60°，则∠DAB的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．直线AB切⊙O于点A，割线BDC交⊙O于点D、C．若∠C＝30°，∠B＝20°，则∠ADC＝（）A．70°B．50°C．30°D．20°9．已知：如图，E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点，且ME⊥NE，AB为外公切线，切点分别为A，B连接AE，BE，则∠AEB的度数为（）A．145°B．140°C．135°D．130°二．填空题（每题3分，共33分）10．已知⊙O中，的度数为70°，过点A的直线AC与⊙O相切，则弦切角∠BAC的度数为．11．如图，割线P AB过圆心O，PD切⊙O于D，C是上一点，∠PDA＝20°，则∠C的度数是度．12．如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC＝100°，∠BCT＝40°，则∠AOB ＝度．13．如图，AB切⊙O于C，AO交⊙O于D，AO的延长线交⊙O于E，若∠A＝α，则∠ECB ＝（用含α的式子表示）．14．如图，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，则∠ABO﹣∠ABP＝．15．如图，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，∠BAC＝60°，则∠ADB的度数为度．16．如图，AB为⊙O直径，CE切⊙O于点C，CD⊥AB，D为垂足，AB＝12cm，∠B＝30°，则∠ECB＝度；CD＝cm．17．如图，已知AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，∠BAC的平分线交圆O于D，连BD 并延长交AC于点C，若∠DAC＝40°，则∠B＝度，∠ADC＝度．18．已知一个圆的弦切角等于40°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数是．19．如图，EF切△ABC的外接圆于C，∠BAC＝80°，那么∠BCE＝度．20．如图，P A切⊙O于A点，C是弧AB上任意一点，∠P AB＝58°，则∠C的度数是度．三．解答题（每题8分，共40分）21．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O 于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．（Ⅰ）求证：RP＝R Q；（Ⅱ）若OP＝P A＝1，试求PQ的长．22．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，P A是⊙O的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD．（1）求证：P A∥BC；（2）求⊙O的半径及CD的长．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E．（1）求证：BC∥DE；（2）若AB＝3，BD＝2，求CE的长；（3）在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件（不要求证明）．24．如图，已知AB为⊙O的弦，以OB为直径作⊙O1交AB于D，⊙O的弦AE切⊙O1于点C．求证：（1）BC2＝BE•BD；（2）AC•CE＝BE•BD．25．如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，B E与AC 相交于点F，且CB＝CE．求证：（1）BE∥DG；（2）CB2﹣CF2＝BF•FE．参考答案一．选择题1．解：∵BD是圆O的直径，∴∠BAD＝90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∵直线ED为圆O的切线，∴∠ADE＝∠ABD＝19°，∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．故选：C．2．解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝50°．∵此圆与直线BC相切于C点，∴的度数＝2∠C＝100°．故选：C．3．解：∵四边形ABET是圆内接四边形，∴∠E＝180°﹣∠A＝80°，又CD是⊙O的切线，T为切点，∴∠BTD＝∠E＝80°．故选：D．4．解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，∴∠CAD＝∠B＝60°．（弦切角定理）故选：B．5．解：如图，连接AC，由弦切角定理知∠ACB＝∠BAT＝55°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝55°，∴∠B＝180°﹣2∠ACB＝70°，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°．故选：A．6．【解答】解：∵直线MN切⊙O于C点，∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°．故选：C．7．解：∵AD是⊙O的切线，∴∠DAB＝∠ACB＝60°．故选：C．8．解：∵直线AB切⊙O于点A，∴∠BAD＝∠C＝30°，∴∠ADC＝50°．故选：B．9．解：连接AM，BN，∵∠BAE＝∠AME，∠ABM＝∠BNE，∴∠BAE+∠ABE＝（∠AME+∠BNE），∵MA⊥AB，NB⊥AB，∴MA∥NB，∴∠AMN+∠BNM＝180°．∵∠MEN＝90°，∴∠EMN+∠ENM＝90°，∴∠AME+∠BNE＝180°﹣90°＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝×90°＝45°，∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°．故选：C．二．填空题（共11小题）10．解：如图；的度数为70°，EF与⊙O相切，切点为A；∵的度数为70°，∴∠ADB＝35°．∵EF是⊙O的切线，∴∠F AB＝∠ADB＝35°，∴∠DAE＝180°﹣∠F AB＝145°．①当∠BAC＝∠BAF时，∠BAC＝35°；②当∠BAC＝∠BAE时，∠BAE＝145°；因此弦切角∠BAC的度数为35°或145°．11．解：连接BD，则∠BDA＝90°，∵PD切⊙O于点D，∴∠ABD＝∠PDA＝20°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣20°＝70°；又∵四边形ADCB是圆内接四边形，∴∠C＝180°﹣∠DAB＝180°﹣70°＝110°．12．解：∵CT切⊙O于C∴∠BAC＝∠BCT＝40°；在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ABC＝100°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣40°﹣100°＝40°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°．13．解：连接CD；则∠BCE＝∠CDE，∠CDE+∠E＝90°；∵∠A+∠ACD＝∠CDE，∴α+∠ACD＝∠CDE；又∵∠ACD＝∠E，∴∠E＝90°﹣∠CDE＝∠CDE﹣α；∴∠CDE＝45°+；故∠CDE＝∠ECB＝45°+．14．解：连接OA，根据切线的性质定理得OB⊥BP、OA⊥AP，则∠AOB+∠P＝180°；又∠ABO+∠OAB+∠AOB＝180°，∠OAB＝∠ABO，∴∠ABO＝∠P，根据切线长定理得P A＝PB，则∠PBA＝∠P AB＝，因此∠ABO﹣∠ABP＝∠P﹣45°．15．解：∵AC切⊙O于点A，∴∠DAC＝∠ABD；又∠BAC＝60°，∴∠ABD+∠BAD＝∠BAC＝60°，∴∠ADB＝180°﹣60°＝120°．16．解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∠A＝60°；由弦切角定理知，∠ECB＝∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝12cm；BC＝AB•cos∠B＝6cm；在Rt△BCD中，∠B＝30°，BC＝6cm；CD＝BC•sin∠B＝3cm．故∠ECB＝60°，CD＝3cm．17．解：∵AC是圆O的切线，∠DAC＝40°，∴∠B＝40°，∵∠BAC的平分线交圆O于D，∴∠BAD＝∠DAC＝40°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+40°＝80°，故答案为：40，80．18．解：由弦切角定理可得：这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数＝2×弦切角的度数＝80°．故答案为：80°．19．解：∵EF切⊙O于点C，∴∠BCE＝∠BAC＝80°．（弦切角定理）20．解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD、BD；∵P A与⊙O相切，切点为A，∴∠D＝∠P AB＝58°，∵四边形ACBD内接于⊙O，∴∠C+∠D＝180°，即∠C＝122°．三．解答题（共5小题）21．（Ⅰ）证法一：连接OQ；∵RQ是⊙O的切线，∴∠OQB+∠BQR＝90°．∵OA⊥OB，∴∠OPB+∠B＝90°．又∵OB＝OQ，∴∠OQB＝∠B．∴∠PQR＝∠BPO＝∠RPQ．∴RP＝RQ．证法二：作直径BC，连接CQ；∵BC是⊙O的直径，∴∠B+∠C＝90°．∵OA⊥OB，∴∠B+∠BPO＝90°．∴∠C＝∠BPO．又∠BPO＝∠RPQ，∴∠C＝∠RPQ．又∵RQ为⊙O的切线，∴∠PQR＝∠C．∴∠PQR＝∠RPQ．∴RP＝RQ．（Ⅱ）解法一：作直径AC，∵OP＝P A＝1，∴PC＝3．由勾股定理，得BP＝＝由相交弦定理，得PQ•PB＝P A•PC．即PQ×＝1×3，∴PQ＝．解法二：作直径AE，过R作RF⊥BQ，垂足为F，设RQ＝RP＝x；由切割线定理，得：x2＝（x﹣1），（x+3）解得：x＝，又由△BPO∽△RPF得：，∴PF＝，由等腰三角形性质得：PQ＝2PF＝．22．（1）证明：∵P A是⊙O的切线，∴∠P AB＝∠2．又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∴∠P AB＝∠1．∴P A∥BC．（2）解：连接OA交BC于点G，则OA⊥P A；由（1）可知，P A∥BC，∴OA⊥BC．∴G为BC的中点，∵BC＝24，∴BG＝12．又∵AB＝13，∴AG＝5．设⊙O的半径为R，则OG＝OA﹣AG＝R﹣5，在Rt△BOG中，∵OB2＝BG2+OG2，∴R2＝122+（R﹣5）2，∴R＝16.9，OG＝11.9；∵BD是⊙O的直径，∴DC⊥BC．又∵OG⊥BC，∴OG∥DC．∵点O是BD的中点，∴DC＝2OG＝23.8．23．（1）证明：连接CD；∵DE是圆O的切线，∴∠CDE＝∠CBD．∵∠CBD＝∠DAC，∴∠CDE＝∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴∠CDE＝∠BAD．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CDE＝∠BCD．∴BC∥DE．（2）解：如图，连接CD；∵AD平分∠BAC，∴＝．∴∠BC D＝∠CBD．∴BD＝CD＝2．∵BC∥DE，∴∠E＝∠ACB＝∠ADB．又由（1）中已证得∠CDE＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE．∴AB：BD＝CD：CE．∴CE＝BD•CD÷AB＝．（3）解：应该是∠BAC＝2∠A CB．24．证明：（1）过点B作⊙O1的切线MN，连接CD，（1分）∵OB是⊙O的半径，∴MN切⊙O于点B，∵∠E＝∠MBA，∠BCD＝∠MBA，∴∠E＝∠BCD，∵AE切⊙O1于点C，∴∠BDC＝∠BCE，∴△BCE∽△BDC，（3分）∴，∴BC2＝BE•BD；（4分）（2）延长BC与⊙O相交于点F，连接OC，（1分）∵OB是⊙O1的直径，∴OC⊥BC，∴BC＝CF，（2分）∵AC•CE＝BC•CF，∴AC•CE＝BC2，∴AC•CE＝BE•BD．（3分）25．证明：（1）∵CB＝CE，∴∠E＝∠CBE．∵CG为⊙O切线，∴∠BCD＝∠E．∴∠CBE＝∠BCD．∴BE∥DG．（2）∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠CBE．∵∠ACB＝∠ACB，∴△CBF∽△CAB，．∴CB2＝CF•AC＝CF•（CF+AF）＝CF2+CF•AF．即CB2﹣CF2＝AF•CF．由相交弦定理，得AF•CF＝BF•FE．∴CB2﹣CF2＝BF•FE．。
弦切角
1.如图，AC是⊙O的弦，BD切⊙O于C，则图中弦切角有 个 4 若上题， ∠ AOC=120,则 ∠ ACD = .度 120 B 。 O C D A
2.如图，直线MN切⊙O于C，AB是⊙O的直径，若∠ BCM=40度，则∠ ABC等于（ ） A: 40度 B B: 50度 C: 45度 D:60度 A .O B 3.已知⊙O是△ABC的内切圆，D,E,F为切点， 若∠ A: ∠ B: ∠ C=4:3:2，则∠DEF = ∠FBC= 70 度。 度， 50 M C D N
2 2 2
勾股（逆）定理 切 线 判 定
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∴PC为⊙D的切线.
已知,如图,D(0,1),⊙D交y轴于A、B两点,交x 轴负半轴于C点,过C点的直线:y=－2x－4 与y轴交于P. ⑵判断在直线PC上是否存在点E，使得 S△EOC=4S△CDO,若存在， 求出点E的坐标； 若不存在，请说明理由.
存 在 性 问 题
解：假设在直线PC上存在这样的点E(x0,y0),使得S△EOC =4S △CDO，
y0 4 y 0 4
1 SEOC OC y 0 4 2
1 1 SΔCOD CD OD 2 1 1 2 2
∵E点在直线PC：y=-2x-4上， ∴当y0=4时有：
m
B C
△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的切线， 求证：∠BCE=∠A.
3.证明：分三种情况讨论． １．如图(1)，圆心O ２．如图(2),圆心O在 在△ABC的边BC上.即 △ABC的内部．即 △ABC是Rt△. △ABC为锐角三角形.
C
E E C (2) O A B
数学人教版九年级上册弦切角
[科目] 数学[年级] 初三[章节] 7.11[关键词] 弦切角/圆[标题] 弦切角[内容]弦切角教学目标1.使学生理解弦切角的概念；2.使学生掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题；3.使学生进一步理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法.教学重点和难点弦切角定理及其应用是重点；弦切角定理的证明是难点.教学过程设计一、创设情境，以旧探新1.提问：什么样的角是圆周角?2.电脑显示：圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A 旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE.(图7-132)提问：这时∠BAE还是圆周角吗?为什么?引导学生共同分析∠BAE的特点，并仿照圆心角、圆周角，给这个特殊角命名.学生很可能猜出这样的角叫弦切角，引出课题.3.启发学生进行观察，并归纳总结出弦切角的特点：(1)顶点在圆周上； (2)一边与圆相交； (3)一边与圆相切.进一步引导学生用数学语言给弦切角下定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.4.用反例图形剖析定义，揭示概念本质属性：判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：(投影打出，让学生讨论，在学生讨论的基础上，教师加以总结)(图7-133)以下各图中的角都不是弦切角.图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件.通过以上分析，使全体学生明确：弦切角定义中的三个条件缺一不可.教师引导学生继续观察图形，当固定切线，让过切点的弦运动，可发现一个圆的弦切角有无数个.如图7-134.由此发现，弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部； (2)圆心在角的一边上； (3)圆心在角的内部.二、观察联想、发现规律1.教师演示电脑，当弦切角一边通过圆心时，(如图7-135)(1)弦切角∠CAB是多少度?为什么?(2)∠CAB所夹弧所对的圆周角∠D是多少度?为什么?(3)此时，弦切角与它所夹弧所对的圆周角有什么关系?学生观察图形，不难发现，此时弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角.2.教师继续演示电脑或投影.以A为端点.旋转AC边，使弦切角增大或减小，观察它与所夹弧所对圆周角之间的关系，引导学生得出猜想：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.三、类比联想，尝试论证1.首先让学生回忆联想：(1)圆周角定理的证明采用了什么方法?(2)既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢?2.已经证明了特殊情况，下面考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况.(电脑或投影演示两种图形，如图7-136)组织学生讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况.在此基础上，教师小结分析. 如图7-136(1)，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ-∠1＝∠APQ-∠2＝∠APC.如图7-136(2)，圆心O 在∠CAB 内，作⊙O 的直径AQ ，连结PQ ，则∠BAC ＝∠QAB+∠1＝∠QPA+∠2＝∠APC.(分析完毕，师生共同写出完整的证明过程)回顾证明方法：将情形图7-136都化归至情形图7-135，利用角的合成、对三种情况进行完全归纳、从而证明了上述猜想是正确的，得：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.(板书)3.学生看书并考虑：课本上关于定理的证明与我们现在的证明方法有何异同?由此得出：推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等.四、巩固练习、初步应用例1 如图7-139，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线CE 和⊙O 切于点C ，AD ⊥CE ，垂足为D.求证：AC 平分∠BAD.思路一：要证∠BAC ＝∠CAD ，可证这两角所在的直角三角形相似，于是连结BC ，得Rt △ACB ，只需证∠ACD ＝∠B.(图7-139)证明：(学生口述，教师板书)组织学生积极思考，可否用前边学过的知识证明此题?由学生回答，教师小结.思路二:连结OC ，由切线性质，可得OC ∥AD ，于是有∠1＝∠3，又由于∠1＝∠2，可证 得结论.(图7-140)思路三:过C 作CF ⊥AB ，交⊙O 于F ，连结AF.由垂径定理可知∠1＝∠3，又根据弦切角定理有∠2＝∠1，于是∠2＝∠3，进而可证明结论成立.(图7-141)练习题1.如图7-142，AB 为⊙O 的直径，直线EF 切⊙O 于C ，若∠BAC ＝56°，则∠ECA ＝_____ 度. (学生思考、口答)2. AB 切⊙O 于A 点，圆周被AC 所分成的优弧与劣弧之比为3∶1，则夹劣弧的弦切角 ∠BAC ＝_________ .(学生画图，思考、口答)3.如图7-143，经过⊙O 上的点T 的切线和弦AB的延长线相交于点C.求证：∠ATC ＝∠TBC.(此题为课本的练习题，证明方法较多，可组织学生讨论，教师归纳证法.在此基础上，可进一步让学生证明CT 2＝CB ·CA ，为下一节课打基础.)五、归纳小结1.教师提出问题，学生回答：图 7-142(1)这节课我们主要学习了哪些知识?(2)在学习过程中你体会到哪些重要的数学思想方法?2.在学生回答的基础上，教师加以小结：(1)(先投影出图形：图7-144)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.(2)在证明弦切角定理时，我们是从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从而证明了弦切角定理.通过弦切角概念的引入和定理的证明过程，逐步学会用运动变化的观点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律.(3)还学习了分类讨论的思想和完全归纳的证明方法.在这里一定要注意为什么要对弦切角进行分类和如何进行分类.六、作业1.阅读本节课内容2.同步测评7.4课堂教学设计说明:这份教案为1课时.弦切角的教学内容，课本要求两课时完成.第二课时可选择一些有深度的题目进行强化训练，使学生掌握知识的实质，学会怎样应用有关知识和方法，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.。
九年级数学弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理首师大版知识精讲
初三数学弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理首师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：弦切角、相交弦定理、割线定理、切割线定理（一）弦切角：1. 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
满足三个条件：（1）顶点在圆上；（2）一边和圆相交；（3）一边和圆相切。
判断下列图形中的∠BAC是不是弦切角：图A中，缺少“顶点在圆上”的条件；图B中，缺少“一边和圆相交”的条件；圆C中，缺少“一边和圆相切”的条件；圆D中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件。
所以，图中的∠BAC都不是弦切角。
2. 分类（以圆心的位置分）：（1）圆心在角的外部；（2）圆心在角的一边上；（3）圆心在角的内部。
3. 弦切角的度理定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
推论1：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论2：在同圆或等圆中，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
（二）相交弦定理圆的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。
如图1（1），在⊙O中，AB、CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD。
（三）割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图1（3），有PA·PB＝PC·PD。
（四）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图1（4），有PA2＝PC·PD。
当点P从圆内运动到圆上、圆外时（从图1（1）到图1（3）），总有PA·PB＝PC·PD，图1（2）中，点B、D与点P重合，PB＝PD＝0，PA·PB＝PC·PD同样成立。
当割线PBA绕着点P旋转到切线PA的位置时，点B与A重合，结论不变，仍有PA·PB ＝PC·PD，此时PA＝PB，所以PA2＝PC·PD。
中考专题――切线长定理及弦切角定理
中考复习专题——切线长定理与弦切角定理【知识要点】1.切线长定理：过圆外一点P 做该圆的两条切线，切点为A 、B 。
AB 交PO 于点C ，则有如下结论： （1）PA=PB（2）PO ⊥AB,且PO 平分AB（3）APO BPO OAC OBC ∠=∠=∠=∠;AOP BOP CAP CBP ∠=∠=∠=∠2.弦切角定理：弦切角（切线与圆的夹角）等于它所夹的弧所对的圆周角 推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等【典型例题】【例1】 如图1，AB ， AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为 B 、 C 、 D 是优弧BC 上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______.图1 图2 图3 举一反三：1.如图2，AB 是⊙ O 的弦， AD 是⊙ O 的切线，C 为 AB 上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______.2.如图3，PA ，PB 切⊙ O 于 A ， B 两点， AC ⊥PB ，且与⊙ O 相交于 D ，若∠DBC=220，则∠APB=________.【例2】如图，已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ； (2)BC 2＝BE ×CD .C BO A DC BA D POPBAO举一反三：1.如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC .【例3】已知：如图 7－149，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，AC 为直径，则图中与∠PAB 相等的角的个数为A ．1 个；B ．2个；C ．4个；D ．5个．【例4】如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．举一反三：1. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA ＝3时，求AP 的长．2．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC 的长．3．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．4.如图，在△ABC中，已知∠ABC=90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2 cm，AD=4 cm．(1)求⊙O的直径BE的长；(2)计算△ABC的面积．【课后作业】1．如图1，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D ∠=︒，则DBE ∠的大小为( )A. 20︒B. 40︒C. 60︒D. 70︒图1 图2 图32.如图2，ABC ∆是圆的内接三角形，PA 切圆于点A ，PB 交圆于点D .若60ABC ∠=，1PD =，8BD =，则PAC ∠=________,PA =________.3.如图3，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ， ∠PCB ＝25°，则∠ADC 为A.105°B.115°C.120°D.125°4.如图4，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为 A.2 B.3 C.23图4 图5 图65.如图5，AB 是⊙ O 的直径，AC 、BC 是⊙ O 的弦，PC 是⊙ O 的切线，切点为 C ，∠BAC=350，那么∠ACP 等于A. 350B. 550C. 650D. 12506.如图6，在⊙ O 中，AB 是弦，AC 是⊙ O 的切线，A 是切点，过 B 作BD ⊥AC 于D ，BD 交⊙ O 于 E 点，若 AE 平分∠BAD ，则∠BAD=A. 300B. 450C. 500D. 6007．已知：如图7－154，⊙O 的半径OA ⊥OB ，过A 点的直线交OB 于P ，交⊙O 于Q ，过Q 引⊙O 的切线交OB 延长线于C ，且PQ=QC ．求∠A 的度数．CDE OAFB PO ACBD EO A C B D A P O C O DB C D8．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O直径．求∠ADC的度数．9.已知：如图，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF ⊥AE于F．求证：（1）△ABE为等腰三角形；（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．。
中考数学专项复习之弦切角练习及答案
弦切角.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
与圆有关的比例线段圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数| |（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。
在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。
2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则________。
4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。
5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。
6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。
求证：7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。
求证：AD·BC＝CD·AB8.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。
点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。
当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点；9.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。
10.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。
11.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半径。
【精品】2020年中考数学总复习专题讲义★☆弦切角
【精品】2020年中考数学总复习专题讲义★☆弦切角.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
与圆有关的比例线段圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数| |（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。
在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。
2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则________。
4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。
5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。
6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。
求证：7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。
求证：AD·BC＝CD·AB8.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。
点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。
当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点；9.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。
10.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。
初三数学弦切角及和圆有关的比例线段知识精讲试题
卜人入州八九几市潮王学校初三数学弦切角及和圆有关的比例线段知识精讲一.本周教学内容：弦切角及和圆有关的比例线段二.重点、难点：1.弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
注意：弦切角必须具备三个条件：〔1〕顶点在圆上〔切点〕，〔2〕一边和圆相切，〔3〕一边和圆相交〔弦〕，三者缺一不可。
2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
3.弦切角定理的推论：假设两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
弦切角是和圆有关的角之一，其他几种有圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
这四种角之间的关系及转换是与圆有关的论证及计算的根底。
4.相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
5.相交弦定理的推论：假设弦与直径相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
6.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
7.切割线定理的推论〔或者称割线定理〕：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
本节是本章中综合性最强的局部，是本章及初中平面几何中难点之一。
其中，相交弦定理、切割线定理及割线定理在证明等积式、比例式和线段长度的计算中起着极其重要的作用。
这三个定理实际是一个整体，可以看做相交弦交点从圆内移到圆外，由割线旋转到切线时的结果。
应用定理和推论解题时，要注意数形结合的思想、方程思想的运用。
由于定理和推论的结论都是两条线段乘积的形式，所以一元二次方程更显威力。
例1.如图，经过⊙O 上的点T 的切线和弦AB 的延长线相交于点C 。
求证：∠ATC ＝∠TBC证明一：∵TC 为⊙O 切线，∴∠BTC ＝∠A∵∠TBC ＝∠A ＋∠ATB∴∠TBC ＝∠BTC ＋∠ATB即∠ATC ＝∠TBC证明二：∵∠ETA ＝∠TBA又∵∠ATC ＝180°－∠ETA∠TBC ＝180°－∠TBA∴∠ATC ＝∠TBC证明三：在上任取一点，连结、EA D AD DT∵TC 为⊙O 切线∴∠ATC ＝∠D∵圆内接四边形ABTD∴∠TBC ＝∠D∴∠ATC ＝∠TBC例2.：如图，AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，AB ＝10cm ，PA ＝4cm ，OP ＝5cm ，求⊙O 的半径。
中考数学 几何复习 第七章 圆 第21课时 弦切角(二)教案(2021年整理)
辽宁省北镇市2017届中考数学几何复习第七章圆第21课时弦切角（二）教案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省北镇市2017届中考数学几何复习第七章圆第21课时弦切角（二）教案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第七章：圆第22课时：弦切角(二)教学目标1、使学生熟练掌握弦切角定理及其应用．2、通过对具体习题的解答培养学生的分析问题能力；3、培养学生的综合运用能力．教学重点：使学生较熟练运用弦切角定理证明有关几何问题．教学难点：学生不能准确地找到解题思路将弦切角定理及其推论灵活运用．教学过程：一、新课引入：上一节我们已经学习了弦切角定理及其推论，这一节我们来学习将定理和推论熟练应用于解题之中．弦切角也是圆的一个重要的角,它同圆心角、圆周角相互关联，是证明或计算几何综合性习题一个重要途径．当我们从题目中看到圆的切线时,不光想到切线的性质、切线长，还要想到弦切角,同学们将从下面的习题中感悟到这一点．二、新课讲解：练习一，如图7-75,AC是⊙O的弦，AD是切线，CB⊥AD于B，CB交⊙O于E．如果EA平分∠BAC，那么∠C=______．(答案30°）练习二，P是直径AB的延长线上一点，PC为⊙O的切线，C为切点，若∠PCB=25°,则∠P=______（答案40°)练习三，BC是⊙O的弦，P是BC延长线上一点，PA与⊙O相切于点A，∠ABC=25°，∠ACB=80°，求∠P的度数．(答案63°）练习四，弦切角的弦分圆成两部分，其中一部分比另一部分大44°,求这个弦切角的度数．（答案79°、101°．为什么是两种？教师指导学生弄清楚．）练习五,AB是⊙O的弦,PA切⊙O于A，C为⊙O上除A、B外任意一点，若∠PAB=42°，则∠ACB的度数为______．P．124 例2已知：如图7-76，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是⊙O′的切线，交⊙O于点C,AD是⊙O的切线⊙O′于点D求证：AB2=BC·BD．学生在教师的指导下完成分析过程．△ABD∽△ABC即可，而题目中分别给出两圆切线，可产生弦切角定理，从而命题得证．注意，例题证明过程板书时，应参照教材改成推出法．练习六，P．124练习1．如图7—77，AB是⊙的弦，CD是经过⊙O上一点M的切线，求证:（1）AB∥CD时，AM=MB．(2)AM=MB时，AB∥CD．提醒学生注意到，本题目的两个结论，正好是互逆，在处理这类问题时，只要把其中一个问题分析透彻即可．练习七,P．124中2．在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于D，⊙O过点A,且和BC切于D，和AB、AC分别交于E、F．求证：EF∥BC．教师指导学生分析,要证EF∥BC,如果从角相等来考虑，同位角比较困难，可连结DE(或DF）证内错角相等．弦切角定理∠1=∠3，圆周角定理推论∠2=∠4，而∠3=∠4,从而∠1=∠2，命题得证．想一想，本题还可以怎样证？你能就这个图形，编绘出另外一道题吗?1．另外一个证法是连结OD，运用垂径定理和切线性质定理来证．2．另编题:如图7—78，BC切△AEF的外接圆O于D，且EF∥BC．求证：AD平分∠BAC．证明由学生独立完成．教师着重于启发,引导学生的思维．三、课堂小结：教师指导学生总结出本课主要内容：1．弦切角的概念：反映了两个方面的问题;（1)角的顶点也就是切点．（2）角的两边中一边与圆相交，一边与圆相切，要准确判断圆的切线与割线间的角不是弦切角,因为它的项点不在圆上．2．弦切角定理：这个重要的定理确定了弦切角的度量，即弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．3．在证明中使用弦切角定理的前提是必须出现圆的切线，务必使学生明白这一点，提醒学生在今后的证明中，如果需要，可以过圆上某一点作圆的切线，以造成弦切角定理的使用前提．四、布置作业本节作业均为课外补充作业，用题签的形式发给学生，详见习题参考答案．。
辽宁省北镇市中考数学 几何复习 第七章 圆 第20课时 弦切角(一)教案
第七章：圆第21课时：弦切角(一)教学目标：1、使学生理解弦切角定义；2、初步掌握弦切角定理及其运用．3、通过运用弦切角定理，培养学生的推理论证能力；教学重点：正确理解弦切角定理，这一定理在以后的证明中经常使用．教学难点：弦切角定理的证明．学生不太容易想到把弦切角的(2)(3)种情况“转化”为(1)．教学中可提醒学生注意圆周角定理的证明方法．教学过程：一、新课引入：我们已经学过圆心角和圆周角，本课我们用同样的思想方法来学习弦切角．二、新课讲解：实际上，我们把圆周角∠BAC的一边AB绕顶点A旋转到与圆相切时，所成的∠BAC称为弦切角．从数学的角度看，弦切角能分为几大类？请同学们打开练习本，画一画．学生动手画，教师巡视，当所有学生都把三种情形的弦切角画出来时，教师可以打开计算机或幻灯给同学们作演示．按直角、锐角、钝角顺序分为图形(1)、(2)、(3)．教师指导学生给出弦切角的定义，并就图(1)中的弦切角猜想弦切角定理．指导学生完成证明，并得到推论．1．定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．3．弦切角定理推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等．(三)重点、难点的学习与目标完成过程．由圆周角定理我们知道，一条弧所对的圆周角无数个，但它们的度数相等．因此，一条弧的度数的大小，就决定了它所对的圆周角的大小．在猜想和证明弦切角定理时，教师可提示学生观察图7-71(1)中弦切角∠BAC所夹的弧为半圆，半圆所对的圆周角是直角，故图7-71(1)中∠BAC等于它所夹弧对的圆周角．在把图7-71(2)和(3)向(1)转化时，图7-71(2)中要运用“直角三角形的两锐角互余”，图7-71(3)中要用到“圆内接四边形对角互补”．教师务必就图形把转化过程讲清楚，得到推论已是顺理成章的事情了．证明过程参照教材．练习一，P．123练习1，如图7-72，直线AB和⊙O相切于点P，PC和PD为弦，指出图中所有的弦切角．此题利用定义直接判定∠APC、∠APD、∠BPD、∠BPC．练习二，P．123练习2，如图7-73，经过．⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于C．求证：∠ATC=∠TBC．分析：欲证∠ATC=∠TBC，可证△ATC∽△TBC或角的其它性质，△ATC∽△TBC∠ATC=∠TBC．∠ATC=∠TBC∠ATC=∠TBC．此题应指导学生结合学过的知识，灵活运用弦切角定理．例1，P．122如图7-74，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D．求证：AC平分∠BAD．分析，如果连结BC，则∠BAC和∠DAC分别在两个三角形中，可通过三角形相似证得，也可通过直角三角形两锐角互余证得．如果连结OC，还可通过平行线的性质和切线的性质证得，教师板书本书证法，另外两种方法让学生在练习本上完成．证明：连结BC．AB是⊙O的直径∠A CB=90°∠B+∠CAB=90°AD⊥CE ∠ADC=90°∠DAC=∠CAB即AC平分∠BAD．三、课堂小结：让学生阅读教材P．121至P．123．从中总结出本课学习的主要内容：1．弦切角定义，除了由位置上定义弦切角外，还可从运动的角度，通过圆周角一边的旋转产生弦切角．2．弦切角定理，定理所述“夹弧”一定要使学生注意弧的端点，一定是构成弦切角的弦的两个端点，这是学生经常出错的地方．3．弦切角定理推论，推论运用的机会相对较少，使用时怎样来识别题设呢？一是两个弦切角夹等弧，二是两个弦切角夹同弧．四、布置作业：1．教材P．131中5、2；P．132中6．。
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弦切角
.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
与圆有关的比例线段
圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数| |（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。
在正方形内作半圆O，
过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。
2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，
BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，
则________。
4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O
于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则
圆心O到AB的距离是___________cm。
5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于
点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；
（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。
6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD
的延长线于E。
求证：
7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。
求证：AD·BC＝CD·AB
8.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的
一段弧。
点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在
圆的切线，交边DC于点F，G为切点。
当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点；
9.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的
切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。
10.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，
CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。
11.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN
交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半径。
12.如下图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过
C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC＝________.
13.一个圆的两弦相交，一条弦被分为12 cm和18 cm两段，另一
弦被分为3∶8，则另一弦的长为________．
14.已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与
圆O交于点B，PB＝1，则圆O的半径R的长为________．
15.已知如下图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线
分别交两圆于C、D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为________．
15.如下图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O
交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．
(1)证明：A，P，O，M四点共圆；
(2)求∠OAM＋∠APM的大小．
16.如右图，梯形ABCD内接于⊙O，
AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.
(1)求证：AB2＝AE·BC.
(2)已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，求EF的长．
17.如右图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.
18.如下图，圆O和圆O′相交于A、B两点，AC是圆O′的切线，AD是圆O的切线，若BC＝2，AB＝4，则BD＝________.
19.如右图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．
四点共圆
四点共圆的性质及判定：
判定定理1：共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边
为圆的直径．
判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． 判定定理3：对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆
判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，
PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆 判定定理5：割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，
PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形ABCD 内接于圆，则有BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅. 1.如图1，⊙1o ，⊙2o ，⊙3o … 都经过点A 和B.点P 是线段AB 延长线上 任意一点，且PC ，PD ，PE …分别与⊙1o ，⊙2o ，⊙3o …相切于 点C,D,E,…。
求证：C,D,E …在同一个圆上。
2.如图所示，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交AC 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H ．
求证：（1）C ，D ，F ，E 四点共圆；（2）GF GE GH ⋅=2
．
3如图，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且不与顶点重合，已
知m AE =，n AC =，AD ，AB 为方程0142
=+-mn x x 的两根.
（1）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；
（2）若︒=∠90A ，4=m ，6=n ，求C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径．
4.如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ， 弦BM 与CD 交于点F ．（1）证明：A 、E 、F 、M 四点共圆； （2）证明：2
2
AB BM BF AC =⋅+．
5.如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠为钝角，且BC AE ⊥，CD AF ⊥． （1）求证：A 、E 、C 、F 四点共圆；
（2
）设线段BD 与（1）中的圆交于M 、N ．求证：ND BM =．
B
F
B
E
D
A
B。