一维连续小波变换实验报告
小波实验报告一维Haar小波2次分解
一、题目：一维Haar 小波2次分解二、目的：编程实现信号的分解与重构三、算法及其实现：离散小波变换离散小波变换是对信号的时－频局部化分析，其定义为：/2200()(,)()(),()()j j Wf j k a f t a t k dt f t L R φ+∞---∞=-∈⎰ 本实验实现对信号的分解与重构：（１）信号分解：用小波工具箱中的dwt 函数来实现离散小波变换，函数dwt 将信号分解为两部分，分别称为逼近系数和细节系数（也称为低频系数和高频系数）,实验中分别记为cA1,cD1，它们的长度均为原始信号的一半，但dwt 只能实现原始信号的单级分解。
在本实验中使用小波函数db1来实现单尺度小波分解，即：[cA1,cD1]＝dwt(s,’db1’)，其中s 是原信号;再通过[cA2,cD2]＝dwt(cA1,’db1’)进行第二次分解，长度又为cA2的一半。
（２）信号重构：用小波工具箱中的upcoef 来实现，upcoef 是进行一维小波分解系数的直接重构,即：A1 = upcoef('a',cA1,'db1'); D1 = upcoef('a',cD1,'db1')。
四、实现工具：Matlab五、程序代码：%装载leleccum 信号load leleccum;s = leleccum(1:3920);%用小波函数db1对信号进行单尺度小波分解[cA1,cD1]=dwt(s,'db1');subplot(3,2,1);plot(s);title('leleccum 原始信号');%单尺度低频系数cA1向上一步的重构信号A1 = upcoef('a',cA1,'db1');%单尺度高频系数cD1向上一步的重构信号D1 = upcoef('a',cD1,'db1');subplot(3,2,3);plot(A1);title('单尺度低频系数cA1向上一步的重构信号');subplot(3,2,5);plot(D1);title('单尺度高频系数cD1向上一步的重构信号');[cA1,cD1]=dwt(cA1,’db1');subplot(3,2,2);plot(s);title('leleccum 第一次分解后的cA1信号');%第二次分解单尺度低频系数cA2向上一步的重构信号A2= upcoef('a',cA2,'db1',2);%第二次分解单尺度高频系数cD2向上一步的重构信号D2 = upcoef('a',cD2,'db1',2);subplot(3,2,4);plot(A2);title('第二次分解单尺度低频系数cA2向上一步的重构信号');subplot(3,2,6);plot(D2);title('的二次分解单尺度高频系数cD2向上一步的重构信号');六、运行结果：七、结果分析：。
小波变换报告
小a
大a
时窗宽度与频窗宽度的变 化是反向的。 小波特有的时频窗结构很 符合实际应用的需要。 低频信号持续时间长，希 望时窗尽量宽些，而频域 精细些。 分析高频信号时则希望时 窗尽量窄一些，频域可以 适当降低精度。
a增大，小波基函数被拉伸，变“胖”，即时窗变 宽。 a减小，小波基函数被压缩，变“瘦”，即时窗变 窄。
小波是从一个单一函数（基函数，或称为母小波）通过在时 间（频率）域的膨胀（尺度）与平移（位移）产生的函数。用ψ (t) 表示母小波。
平均值为零，即： 平均值为零
∞
−∞
∫ ψ (t )dt = 0
紧支撑性（Compact support），即在一个很小的区域之外 紧支撑性 函数均为零，函数具有速降特性。 具有震荡性和迅速衰减性
小波变换
连续小波变换(continuous wavelet transform，CWT)
–
傅立叶分析
用一系列不同频率的正弦波表示一个信号。 一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数。
–
小波分析
用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号。 一系列小波可用作表示一些函数的基函数。
– –
凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析 用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波更有效，或 者说对信号的基本特性描述得更好。
连续小波变换的性质
线性叠加性 x (t)和y (t)的线性叠加表示为z(t)=k1x(t)+k2y(t),则 z(t)的连续小波变换为： WTz (a, b)=K1WTx(a, b)+k2WTy(a, b) 时不变性 令原信号x (t)的延时信号表示为z(t)=x(t-t0),则其连续小波变换表示为： WTz (a,b)=WT x (a, b-t0) 平移和伸缩的共变性
python中对一维信号经验小波变换
python中对一维信号经验小波变换
Python中的一维信号经验小波变换是一种非常实用的信号处理技术，它可以将一维信号分解成多个频带，以便更好地进行分析和处理。
在Python中，可以使用PyWavelets库来实现经验小波变换，该库提供了许多小波函数和变换方法，可以灵活地应用于不同的信号处理任务。
经验小波变换的基本过程包括：选择小波函数、进行分解、重构和去噪。
在Python中，可以使用pywt.wavelet函数来选择小波函数，常用的小波函数包括haar、db、sym、coif等。
对于一维信号的分解，可以使用pywt.wavedec函数，该函数将一维信号分解为多个频带，每个频带对应一个小波系数向量。
重构过程可以使用pywt.waverec 函数，该函数可以将多个频带的小波系数向量合成为原始信号。
去噪是经验小波变换的一个重要应用，可以使用pywt.threshold函数来实现。
除了以上基本操作，PyWavelets库还提供了其他辅助函数和工具，如pywt.dwt、pywt.idwt、pywt.dwtn、pywt.idwtn等，可以对高维信号进行经验小波变换。
此外，PyWavelets库还支持多种小波变换方法，如循环卷积小波变换、多尺度小波变换和非对称小波变换等，可以根据不同的信号处理任务选择合适的方法。
总之，Python中的经验小波变换是一种非常实用的信号处理技术，可以帮助我们更好地理解和处理信号，PyWavelets库提供了丰富的小波函数和变换方法，可以灵活地应用于不同的信号处理任务。
python中对一维信号经验小波变换
python中对一维信号经验小波变换Python中的小波变换是一种非常重要的信号处理方法，可以将信号分解成不同频率的子信号，从而帮助我们更好地理解和分析信号。
在本文中，我们将介绍如何使用Python进行一维信号的经验小波变换。
首先，我们需要导入必要的Python库，包括numpy、pywt和matplotlib。
其中，numpy是用来处理数学计算的库，pywt是用来进行小波变换的库，matplotlib是用来绘制图形的库。
import numpy as npimport pywtimport matplotlib.pyplot as plt接着，我们需要定义一个一维的信号。
在本例中，我们使用一个正弦曲线作为我们的信号。
t = np.linspace(0, 1, 200, endpoint=False)signal = np.sin(4 * np.pi * t) + np.sin(8 * np.pi * t)plt.plot(t, signal)plt.show()上述代码中，我们使用了linspace函数来生成一个包含200个点、范围为0到1的一维数组。
接着，我们分别对这个一维数组进行了4和8Hz的正弦波叠加，并使用plot函数将信号进行了绘制。
接下来，我们使用pywt库中的wavedec函数来对信号进行小波分解。
其中，第一个参数为信号，第二个参数为小波基函数的名称，第三个参数为分解的层数。
coeffs = pywt.wavedec(signal, 'db1', level=5) 这里我们使用了db1小波基，分解的层数为5。
分解后，我们可以得到一个包含6个子信号的列表，其中第一个子信号是最高频率的细节系数，其余子信号是低频的近似系数。
接着，我们可以使用pywt库中的waverec函数对分解后的系数进行重构，得到经验小波变换后的信号。
reconstructed_signal = pywt.waverec(coeffs, 'db1') 最后，我们可以将原始信号和经过小波变换后的信号进行对比，以便更好地理解小波变换的作用。
小波变换图像拼接实验报告
图像拼接实验报告一、实验目的选用适当的拼接算法实现两幅图像的拼接。
二、实验原理图像拼接技术就是将数张有重叠部分的图像（可能是不同时间、不同视角或者不同传感器获得的）拼成一幅大型的无缝高分辨率图像的技术。
图像配准和图像融合是图像拼接的两个关键技术。
图像配准是图像融合的基础,而且图像配准算法的计算量一般非常大,因此图像拼接技术的发展很大程度上取决于图像配准技术的创新。
早期的图像配准技术主要采用点匹配法,这类方法速度慢、精度低,而且常常需要人工选取初始匹配点,无法适应大数据量图像的融合。
图像拼接的方法很多,不同的算法步骤会有一定差异,但大致的过程是相同的。
一般来说,图像拼接主要包括以下五步:（1）图像预处理：包括数字图像处理的基本操作(如去噪、边缘提取、直方图处理等)、建立图像的匹配模板以及对图像进行某种变换(如傅里叶变换、小波变换等)等操作。
（2）图像配准：就是采用一定的匹配策略,找出待拼接图像中的模板或特征点在参考图像中对应的位置,进而确定两幅图像之间的变换关系。
（3）建立变换模型：根据模板或者图像特征之间的对应关系,计算出数学模型中的各参数值,从而建立两幅图像的数学变换模型。
（4）统一坐标变换：根据建立的数学转换模型,将待拼接图像转换到参考图像的坐标系中,完成统一坐标变换。
（5）融合重构：将带拼接图像的重合区域进行融合得到拼接重构的平滑无缝全景图像。
图像拼接技术主要包括两个关键环节即图像配准和图像融合对于图像融合部分，由于其耗时不太大，且现有的几种主要方法效果差别也不多，所以总体来说算法上比较成熟。
而图像配准部分是整个图像拼接技术的核心部分，它直接关系到图像拼接算法的成功率和运行速度，因此配准算法的研究是多年来研究的重点。
目前的图像配准算法基本上可以分为两类:基于频域的方法(相位相关方法)和基于时域的方法。
相位相关法对拼接的图像进行快速傅立叶变换，将两幅待配准图像变换到频域，然后通过它们的互功率谱直接计算出两幅图像间的平移矢量，从而实现图像的配准。
小波变换分析报告
小波变换的理论基础及应用专业班级电气工程学院姓名学号任课教师日期目录一、小波分析的发展历史和前景 (1)二、小波变换的理论基础 (2)2.1连续小波变换 (2)2.2离散小波变换 (3)2.3二进小波变换 (4)2.4多分辨分析与二尺度方程 (4)2.4.1 多分辨分析 (5)2.4.2 二尺度方程 (6)2.5MALLAT算法 (6)2.5.1 Mallat算法的综述 (7)2.5.2 Mallat分解算法 (7)2.5.3 Mallat合成算法 (8)2.6小波基和小波函数的选取 (9)2.6.1 小波基选择的标准 (9)2.6.2 小波基选择的五要素 (9)三、小波变换的应用 (10)3.1图像、信号压缩 (10)3.2小波降噪 (10)3.3小波在信号处理中的应用 (11)3.4小波变换在故障诊断中的应用 (11)3.5小波变换在边界检测中的应用 (11)3.6小波变换的结合应用——小波网络等 (12)参考文献 (12)小波变换的理论基础及应用一、小波分析的发展历史和前景1984年,法国地球物理学家Morlet在分析地震波的局部特性时首次采用了小波变换。
随后，理论物理学家 Grossman 对 Morlet 的这种信号按一个确定函数的伸缩，平移系展开的可行性进行了研究，这无疑为小波分析的形成开了先河。
由于其在时频两域都具有表征信号局部特征的能力和多分辨率分析的特点,因此被誉为“数学显微镜”。
小波变换的基本思想是将原始信号通过伸缩和平移后,分解为一系列具有不同空间分辨率、不同频率特性和方向特性的子带信号,这些子带信号具有良好的时域、频域等局部特征。
这些特征可用来表示原始信号的局部特征,进而实现对信号时间、频率的局部化分析,从而克服了傅里叶分析在处理非平稳信号和复杂图像时所存在的局限性。
随着小波理论的日趋成熟，人们对小波变换的实际应用越来越重视,它已广泛地应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、模式识别、机器视觉、机械故障诊断与监控以及数字电视等科技领域。
一维连续小波变换的matlab基础程序实现
小波变换实验二连续小波变换1、实验目的本实验的目的在于充分理解连续小波变换的算法和作用，利用matlab程序实现对一维信号进行连续小波变换，进而在程序的编辑过程理解一位连续小波变换的小波系数矩阵的含义。
同时通过对预算的到的小波系数矩阵进行分析解释，得到原始信号的频谱分布以及了解小波系数在尺度和位移两个分量上的意义。
2、实验原理、实验编程思路1、根据书本的理论知识，知道一维连续小波变换的公式为：实际在编程过程当中，对于上式中积分的求解可以采用将积分函数离散化，通过求和来实现求积分，离散的过程如下式：本实验中，根据题目可以知道采样的时间间隔为0.03s，即上式中Δt，在实际编程当中为了计算方便可以省略掉这个时间常数，所以在编程过程当中使用的公式实际为：2、小波函数的选取：使用墨西哥草帽（mexhat）小波来进行小波变换，墨西哥草帽的函数为（支撑区间为-5—5）：对于连续小波函数的采样间隔，根据不同的尺度参量来进行采样，比如尺度为i，实际对应小波的采样间隔取k/i，以保持和原信号在不同尺度上的同步。
3、程序运算简化：在程序设计过程当中，如果对于小波系数的每一个系数都按照公式来计算，算法的时间复杂度应当为o(n3)。
但通过对公式的分析，不难看出，对于同意尺度a，相邻的两个小波系数之间的求和项，只有第一项或者最后一项或者二者都不同，所以在下一个系数求解的时候可以减少一次循环，从而将时间复杂度降到o(n2)，运算效率大大提高。
4、在程序设计的过程当中，还分别对原信号进行傅里叶分析和直接的cwt变换，将得到的结果与设计的连续小波变换程序进行比对分析。
3、实验程序和结果墨西哥草帽小波参数获取函数：mexh.m连续小波变换主函数：mexh-cwt.m傅里叶分析和cwt分析：fft cwt result.m1、利用mexh-cwt.m对源数据进行分析得到的结果：原信号波形图小波系数矩阵及原信号的三个主成分小波系数矩阵的三维视图功率谱图和功率等值线图从上述的小波变换结果，特别是小波系数矩阵的信息中可以看出，原始信号主要有三个平率不同且时域分布也不同的主成份组成，从图中可以定性地看出，频率最高的成分1始终出现在整个信号段，而频率次之的成分2只在信号刚开始的阶段出现，频率最低的成分3基本上在成分2消失之后开始出现。
小波分析实验报告
( x) e
x2 2
e i0 x
0 5
程序代码： >> syms x i w0; >> f=exp(-x^2/2)*exp(i*w0*x); >> F=fourier(f,x); F= (2^(1/2)*pi^(1/2))/exp((x + i*w0*sqrt(-1))^2/2) >> f=ifourier(F) f= exp((i^2*w0^2)/2 - (t - i*w0)^2/2) 2．Marr 小波
小波分析实验报告
姓名: 班级: 学号: 成绩: 教师签名:
实验一名称： 小波函数的 Fourier 变换和 Fourier 逆变换 实验目的
用 Matlab 实现函数的 Fourier 变换和 Fourier 逆变换
实验内容 一、用 Matlab 实现下列函数的 Fourier 变换和 Fourier 逆变换 1．Morlet 小波
1.4 g1 g2 g3
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
5．定义信号 f (t ) sin(2t ) sin(4t ) sin(10t ) ，并画出图形
N=1024; >> t=1:N; >> s1=sin(2*pi*t); >> s2=sin(4*pi*t); >> s3=sin(10*pi*t); >> s=s1+s2+s3; >> plot(t,s); >> xlabel('时间 t/s'); >> ylabel('幅值 A');
一维小波变换 python -回复
一维小波变换python -回复一维小波变换是一种信号处理技术，常用于信号的分析、压缩和去噪等应用。
本文将以Python语言为工具，详细介绍一维小波变换的原理、实现方法和应用示例。
1. 什么是小波变换小波变换是一种基于波形函数的数学变换方法，它可以将时域上的信号转换到频域上进行分析。
相比于傅里叶变换，小波变换能够更好地描述信号的时域和频域特征，具有局部化和多尺度分析的特性。
小波变换可以将信号分解为不同频率的小波项，并且可以对这些小波项进行重构，从而实现信号的分析和处理。
2. 一维小波变换原理一维小波变换的原理基于信号的分解和重构。
首先，将信号分解为多个小波项，每个小波项代表了不同频率的信号成分。
这个分解过程可以使用小波函数进行，小波函数是一种特殊的函数，可以覆盖不同频率的信号成分。
常用的小波函数有Haar小波、Daubechies小波等。
具体来说，一维小波变换可以通过迭代地进行卷积运算和下采样来实现。
给定一个信号序列x，我们首先选择一个小波函数h作为分析滤波器，然后进行一次卷积运算和下采样来得到低频部分的系数c和下采样后的信号序列x1。
然后，我们再选择一个小波函数g作为逆向滤波器，对下采样的信号序列进行一次卷积运算来得到高频部分的系数d和下采样后的信号序列x2。
这个过程可以迭代地进行，直到得到所需的小波项。
在重构过程中，我们可以通过逆向卷积运算和上采样来将小波项合成为原始的信号。
重构过程也可以迭代地进行，每一步都是从低频部分和高频部分的系数恢复上一步的信号序列。
3. 一维小波变换的Python实现在Python中，我们可以使用`pywt`库来实现一维小波变换。
首先，我们需要安装`pywt`库，可以通过以下命令来安装：pip install pywt接下来，我们可以使用以下代码来进行一维小波变换：pythonimport pywt# 选择小波函数wavelet = pywt.Wavelet('db4')# 进行一维小波变换coeffs = pywt.wavedec(data, wavelet)# 获取低频部分和高频部分的系数cA = coeffs[0] # 低频部分cD = coeffs[1:] # 高频部分# 重构信号reconstructed = pywt.waverec(coeffs, wavelet)在上述代码中，`data`是一个一维信号的序列，`wavelet`是选择的小波函数。
8.4连续小波变换--案例
连续小波变换--案例
解：应用Matlab软件，调用其中的子程序编制本题的计算程序。 选用采样频率 fs=500Hz，采样点数为N＝2560，则Δt=1/fs，采样 时长T=5.12s，生成的时间历程曲线如图所示：
连续小波变换--案例
连续小波变换--案例
连续小波变换--案例
连续小波变换--案例
连续小波变换--案例
分别对其进行傅里叶变换和小波变换，求得结果如图所示。
傅
பைடு நூலகம்
里 叶 变
t=0~0.25s,Δt=1/fs, f1=100Hz; t=0.25~0.5s, Δt=1/fs , f2=200Hz;
换
连续小波变换--案例
小波变换结果(小波系数)
t=0~0.25s,Δt=1/fs, f1=100Hz; t=0.25~0.5s, Δt=1/fs , f2=200Hz;
0 < t < 0.25 0.25 < t < 0.5
分别对其进行傅里叶变换和小波变换，分析其结果有何不同。
连续小波变换--案例
解：应用Matlab软件，调用其中的子程序编制本题的计算程序。 选用采样频率 fs=4000Hz，采样点数为N＝2000，则Δt=1/fs，采样 时长T=0.5s，生成的时间历程曲线如图所示：
这一节主要掌握的知识点： 1、了解连续小波系数的表达形式。 2、掌握连续小波变换的计算方法。 3、掌握连续小波变换程序的编程方法。
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
连续小波变换--案例
原时间历程曲线
t=0~0.25s,Δt=1/fs, f1=100Hz; t=0.25~0.5s, Δt=1/fs , f2=200Hz;
实验五 小波变换
实验五小波变换一、实验目的进一步理解小波变换二、实验内容1 小波的产生（以morlet为例）格式：[psi,x]=morlet(lb,ub,n)说明：该函数返回一个有效支撑为[lb,ub]，在有效支撑上有N个均匀分布点的morlet的小波输出参数为在x上的psi函数的值，该函数具有有效支撑为[-4,4]。
clear,close all;1b=-5;ub=5;n=1000;[psi,x]=mexihat(1b,ub,n);p;ot(x,psi);2一维连续小波变换load noissin;s=noissin(1:100);figure;plot(s)ls=length(s);w=cwt(s,[0.48,1.0,1.2,2:2:10],'db3');figure;subplot(4,2,1),plot(w(1,:));3.小波变换（DWT）A)对图像做二维小波分解[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,’wname’)%近似变量、水平细节分量、垂直细节分量、对角细节分量load woman;nbcol=size(map,1);%用名为morlet,db1,db2,db3分别进行处理cod_X=wcodemat(X,nbcol);cod_cA1=wcodemat(cA1,nbcol);cod_cH1=wcodemat(cH1,nbcol);cod_cV1=wcodemat(cV1,nbcol);cod_cD1=wcodemat(cD1,nbcol);dec2d=[cod_cA1,cod_cH1;cod_cV1,cod_cD1];subplot(1,2,1),imshow(cod_X,[]);title('原图');subplot(1,2,2),imshow(dec2d,[]);title('小波变换分解后图形')二维离散小波反变换load woman;sX=size(X);[cA1,cH1,cV1,cD1]=dwt2(X,'db4');%逆变换后的结果返回给A0subplot(1,2,1),imshow(X,[]);title('原图像');subplot(1,2,2),imshow(A0,[]);title('小波变换分解后重构图形')三、分析实验结果并得出结论.y=wcodemat(x,nb,opt,absol)2.y=wcodemat(x,nb,opt)3.y=wcodemat(x,nb)4.y=wcodemat(x)该函数是用来对矩阵X进行量化编码,它返回矩阵X的一个编码矩阵,在编码中,把矩阵X中元素绝对值最大的作为NB(NB是一个整数),绝对值最小的作为1,其他元素依其绝对值的大小在1与NB中排列.当OPT为'row'时,做行编码;当OPT为'col'时,做列编码,当OPT 为'mat'时,做全局编码,即把整个矩阵中的元素绝对值最大的元素作为NB,最小的作为1,其他元素依其绝对值的大小在整个矩阵中排列.当ABSOL为0时,该函数返回输入矩阵X的一个编码版本,为非0时,返回X的ABS(X).Y = WCODEMAT(X,NBCODES,OPT) is equivalent toY = WCODEMAT(X,NBCODES,OPT,1).Y = WCODEMAT(X,NBCODES) is equivalent toY = WCODEMAT(X,NBCODES,'mat',1).Y = WCODEMAT(X) is equivalent toY = WCODEMAT(X,16,'mat',1).。
基于小波变换的一维数据中的特征部位提取算法
基于小波变换的一维数据中的特征部位提取算法摘要：介绍了基于小波变换的图像分解与重构，小波变换具有时—频局部化的特点，因此不能对图像提供较精确的时域定位，也能提供较精确的频域定位。
基于小波变换的这些特性，对图像进行变换，例如图像的增强，图像的特征部位的提取。
研究结果表明，基于小波变换的图像处理的特征部位的提取具有理想的效果。
关键词：小波分析，图像处理，特征部位的提取一、小波的基本知识1、小波的发展历史及现状小波理论是傅里叶分析的重要发展，1807年J. Fourier 提出Fourier 级数，1946年，Gabor 提出了Gabor 变换；稍后Gabor 变换发展为窗口傅里叶变换，20世纪80年代初，一些科学家开始使用小波，1986年Y . Meyer 第一次构造出正交小波基。
从数学的角度看，小波实际上是在特定的空间内按照称之为小波的基函数对数学表达式的展开与逼近。
经典的小波理论尽管在90年代初期已经显得非常完善，但在实际应用中仍然存在许多缺陷。
1995年，Sweldens 提出了通过矩阵的提升格式(lifting scheme)来研究完全重构滤波器，从而建立了称之为第二代小波变换的框架体系。
1999年，Kingsbury 等提出了复小波变换，1999年，Candes 与Donoho 提出了脊波(ridgelet)和曲波(curvelet)。
2002年，Donoho 和M. Vetterli 提出了轮廓波(contourlet)。
2005年，Le Pennec 和Mallat 提出了Bandlet 。
2005年，D. Labate 等提出了shearlet 。
2．小波的特点和发展小波变换的具有如下3个特点：1、小波变换，既有频率分析的性质，又能表现发生的时间。
有利于分析确定时间发生的现象（傅里叶变换只具有频率分析的性质）。
2、小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征不同特征的提取（图像的压缩、边缘抽取、噪声过滤等）。
实验3 一维离散小波变换
实验六一维离散小波变换一．函数介绍1.单尺度[cA,cD]=dwt(X,’wname’),单尺度一维小波变换，返回低频和高频系数，其中X――信号名字，wname――小波名字选择X=idwt(cA,cD,’wname’)，单尺度一维小波逆变换。
其中cA,cD为小波变换所返回的系数。
2.多尺度[C,L]=wavedec(X,N,’wname’)，多尺度一维小波分解，返回各层低频高频系数，其中X――信号名字，N――分解层数，wname――小波名字选择。
X=wavrec(C,L,’wname’), 一维多尺度小波重构，其中C,L为小波分解所返回的系数X=Wrcoef(‘type’,C,L,’wname’,N),由一维小波系数进行单支重构。
其中C,L为小波分解所返回的系数，重构第N层，’type’=’a’,重构低频，’type’=’d’，重构高频。
Y=Upcoef(O,X,’wname’,N),一维小波系数直接重构。
O=’a’,重构低频，O=’d’，重构高频，X――分解时返回系数，N――向上重构层数A=Appcoef(C,L,’wname’,N),提取一维近似系数。
其中C,L为小波分解所返回的系数，N 提取层数。
二．举例％单尺度>> load noisbloc;>> s=noisbloc(1:1024);>> [cA1,cD1]=dwt(s,'db4');>> A1=upcoef('a',cA1,'db4',1);>> D1=upcoef('d',cD1,'db4',1);>> subplot(4,1,1);plot(s);title('原始信号')>> subplot(4,1,2);plot(A1);title('低频')>> subplot(4,1,3);plot(D1);title('高频')>> s0=idwt(cA1,cD1,'db4');>> subplot(4,1,4);plot(s0);title('重构信号')％多尺度>> s0=idwt(cA1,cD1,'db4');>> [C,L]=wavedec(s,3,'db4');>> cA5=appcoef(C,L,'db4',3);>> A3=wrcoef('a',C,L,'db4',3);>> D1=wrcoef('d',C,L,'db4',1);>> D2=wrcoef('d',C,L,'db4',2);>> D3=wrcoef('d',C,L,'db4',3);>> figure(2);>> subplot(4,1,1);plot(A3);title('第三层低频')>> subplot(4,1,2);plot(D3);title('第三层高频')>> subplot(4,1,3);plot(D2);title('第二层高频')>> subplot(4,1,4);plot(D1);title('第一层高频')>> figure(3);>> s1=waverec(C,L,'db4');>> subplot(3,1,1);plot(s);title('原始信号')>> subplot(3,1,2);plot(s1);title('重构信号')>> subplot(3,1,3);plot(s-s1);title('误差信号')三．实验内容1． 对信号noissin 分别采用图形接口和命令行两种方式进行单尺度小波分解重构和多尺度小波分解重构层数为4，并显示各层低频高频图形，加以比较。
现代信息处理技术实验报告
目录实验一短时傅里叶变化与小波变换 (1)一、实验目的 (1)二、实验内容 (1)1、短时傅里叶变换 (1)2、小波变换 (14)实验二图像处理 (27)一、实验目的 (27)二、实验内容 (27)实验一短时傅里叶变换与小波变换一、实验目的1)熟悉并掌握短时傅里叶变换的性质、参数以及不同信号的短时傅里叶变换；2)熟悉并掌握小波变换的性质、参数以及不同信号的小波变换。
二、实验内容1、短时傅里叶变换a)Matlab中的短时傅里叶变换函数spectrogramS = spectrogram(x)S = spectrogram(x,window)S = spectrogram(x,window,noverlap)S = spectrogram(x,window,noverlap,nfft)S = spectrogram(x,window,noverlap,nfft,fs)调用及参数描述：window is a Hamming window of length nfft.noverlap is the number of samples that each segment overlaps. The default.value is the number producing 50% overlap between segments.nfft is the FFT length and is the maximum of 256 or the next power of 2 greater than the length of each segment of x.Instead of nfft, you can specify a vector of frequencies,F. See below for more information.fs is the sampling frequency, which defaults to normalized frequencyb)短时傅里叶变换i.正弦信号1)生成信号长度为1s、采样频率为1kHz、周期分别为0.1s、1s和10s的正弦信号s，并画出这些正弦信号。
小波分析期末报告分析解析
学习报告——基于小波分析的去噪应用专业：计算数学班级：数学二班学号：152111033姓名：刘楠楠小波分析是传统傅里叶分析发展史上里程碑式的发展，近年来成为众多学科共同关注的热点，本篇报告在小波变换的基础上将其应用于信号去噪中，利用小波方法去噪，是小波分析应用于实际的重要方面。
小波去噪的关键是如何选择阈值和如何利用阈值来处理小波系数，通过对几种去噪方法不同阀值的选取比对分析和基于MATLAB 信号去噪的仿真试验，比较各种阀值选取队去噪效果的影响。
小波分析同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。
它与Fourier 变换、 窗口Fourier 变换(Gabor 变换) 相比， 是一个时间和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析(Multiscale Analysis)解决了Fourier 变换不能解决的许多问题， 从而小波变化被誉为 “数学显微镜” ， 它是调和分析发展史上里程碑式的进展。
1小波变换理论1.1小波变换的定义设)(t ψ为一平方可积函数，即)()(2R L t ∈ψ，若其Fourier 变换)(ˆωψ满足条件： ⎰∞<=R d C ωωωψψ||)(ˆ2（1.1） 则称)(t ψ为一个基本小波、母小波或者容许小波，我们称式（1）为小波函数的可容许条件。
)(2R L 表示满足⎰+∞<R dt t f 2)(的函数空间。
更一般地，)(R L p 表示满足⎰+∞<R pdt t f )(的函数空间。
1.2连续小波变换1.2.1一维连续小波变换定义：设)()(2R L t ∈ψ，其傅立叶变换为)(ˆωψ，当)(ˆωψ满足允许条件（完全重构条件或恒等分辨条件）⎰<=R d C ωωωψψ2)(ˆ∞ (1.2) 时，我们称)(t ψ为一个基本小波或母小波。
将母函数)(t ψ经伸缩和平移后得 )(1)(,ab t a t b a -=ψψ 0;,≠∈a R b a (1.3) 称其为一个小波序列。
连续小波时频分析实验
连续小波时频分析实验－、实验目的通过实验理解小波时频关系，认识小波时频分析的特点，掌握小波时频分析matlab 实现，为小波分析应用打下基础。
二、连续小波变换原理()()R L t f 2∈∀，()t f 的连续小波变换（有时也称为积分小波变换）定义为：()()0,,2/1≠⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰∞∞--a dt a b t t f ab a WT f ψ (1) 或用内积形式：()ba f fb a WT ,,,ψ= (2)式中()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a b t at b a ψψ2/1,。
要使逆变换存在，()t ψ要满足允许性条件：()∞<=⎰∞∞-ωωωψψd C 2ˆ (3)式中()ωψˆ是()t ψ的傅里叶变换。
这时，逆变换为()()()2,1,ada dbb a WT t C t f f b a ⎰⎰∞∞-∞∞--=ψψ(4)ψC 这个常数限制了能作为“基小波（或母小波）”的属于()R L 2的函数ψ的类，尤其是若还要求ψ是一个窗函数，那么ψ还必须属于()R L 1，即()∞<⎰∞∞-dt t ψ故()ωψˆ是R 中的一个连续函数。
由式(3)可得ψˆ在原点必定为零，即()()00ˆ==⎰∞∞-dt t ψψ(5)从式(5)可以发现小波函数必然具有振荡性。
三、连续小波时频图绘制（一）连续小波时频图绘制需要用到的小波工具箱中的三个函数 COEFS = cwt(S,SCALES,'wname')说明：该函数能实现连续小波变换，其中S 为输入信号，SCALES 为尺度，wname 为小波名称。
FREQ = centfrq('wname')说明：该函数能求出以wname 命名的母小波的中心频率。
F = scal2frq(A,'wname',DELTA) 说明：该函数能将尺度转换为实际频率，其中A 为尺度，wname 为小波名称，DELTA 为采样周期。
一维连续小波变换实验报告
连续小波变换实验报告实验目的：通过matlab 编程实现一维连续小波变换，更好地理解连续小波变换的算法和作用，以及小波系数矩阵的含义。
同时通过小波系数矩阵对原始信号进行频谱分析，并了解小波小波系数在尺度和位移两个分量上的意义。
实验原理：一维连续小波变换公式：()1*2(,)f t b W a b af t dt a ψ+∞--∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰当小波函数()t ψ为实函数时(,)f W a b ()12(,)f t b W a b af t dt a ψ+∞--∞-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰在给定尺度下，对待分析信号()f t 和小波函数()t ψ按照s t nT =，s b nT =进行采样，其中s T 为采样间隔，则小波变换可近似如下：()12()(,)s f s sn n k T W a b T af nT a ψ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ =()12nn k T af n a ψ--⎛⎫∆ ⎪⎝⎭∑对给定的a 值，依次求出不同a 值下的一组小波系数，由于数据采样间隔∆t 为0.03（常量），所以可以把这个系数忽略,并通过公式下面对小波变换矩阵进行归一化处理。
(,)(,)min*255max minm n wfab m n I -=-实验结果：50100150200250300350400-20-15-10-55101520ORIGINAL DATATIMEA M P L I T U D ECOEFFS ABSOLUTETIMES C A L E5010015020025030035040010203040506070实验程序及注释（1）主程序load('data.mat'); n=length(dat); amax=70; %尺度a 的长度 a=zeros(1,amax);wfab=zeros(amax,n); %小波系数矩阵，均以零矩阵形式赋初值 mexhab=zeros(1,n); %某尺度下小波系数 for s=1:amax %s 表示尺度 for k=1:n mexhab(k)=mexh(k/s); endfor t=1:n % t 表示位移wfab(s,t)=(sum(mexhab.*dat))/sqrt(s); %将积分用求和代替 mexhab=[mexh(-1*t/s),mexhab(1:n-1)]; %mexhab 修改第一项并右移 end endwfab_abs=abs(wfab);figure(3); %画三维图 colormap(pink(255)); surfc(wfab_abs);400TRANSLATIONSCALEA M P L I T U D Exlabel('TRANSLATION')ylabel('SCALE')zlabel('AMPLITUDE')for index=1:amax %小波系数矩阵归一化处理max_coef=max(wfab_abs(index,:));min_coef=min(wfab_abs(index,:));ext=max_coef-min_coef;wfab_abs(index,:)=255*(wfab_abs(index,:)-min_coef)/ext; endfigure(1);plot(dat); %画原始数据图title('ORIGINAL DATA');xlabel('TIME')ylabel('AMPLITUDE')figure(2);image(wfab_abs); %画尺寸-位移图colormap(pink(255));title('COEFFS ABSOLUTE');xlabel('TIME')ylabel('SCALE')（2）墨西哥帽小波函数function Y=mexh(x) %单独用.M文件定义此函数if abs(x)<=5Y=((pi^(-1/4))*(2/sqrt(3)))*(1-x*x)*exp(-(x*x)/2);elseY=0;end;。
小波变换应用实验报告——去噪,融合,水印
一. 基础原理 1.小波简介小波一词由Morlet 和Grossman 在1980年代早期提出，其思想来源于伸缩平移方法。
小波分析(wavelet analysis), 或小波转换(wavelet transform)是指用有限长或快速衰减的、称为母小波(mother wavelet)的振荡波形来表示信号。
该波形被缩放和平移以匹配输入的信号。
小波变换是将时间信号展开为小波函数族的线性叠加，小波变换的核函数是小波函数，它在时间和频率域内都是局部化的。
所以，小波变化可对信号同时在时－频域内进行联合分析。
小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。
两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。
小波分析的一个重要领域就是是图像处理。
小波分解可以把小波分层次按照小波基展开，并可以根据图像的性质及给定的图像处理标准确定具体要展开到哪一级，还可以把细节分量和近似分量展开，所以小波分析常用于信号的压缩、去噪等方面，是图像处理的一个极其重要的工具。
本报告中将具体实例说明小波分解在图像中的应用。
2. 小波变换应用包括去噪，图像的压缩，图像的融合以及水印技术。
2.1去噪原理：在实际工程应用中，通常所分析的信号具有非线性，非平稳,并且奇异点较多的特点。
含噪的一维信号模型可表示为：式1其中，f(t)为真实信号，s(t)为含噪信号，e(t)为噪声， σ为噪声标准偏差。
有用信号通常表现为低频信号或是相对比较平稳。
而噪声信号通常表现为高频信号。
利用小波对含噪的原始信号分解后，含噪部分主要集中在高频小波系数中，并且，包含有用信号的小波系数幅值较大，但数目少；而噪声对应的小波系数幅值小，数目较多。
基于上述特点，可以应用门限阈值法对小波系数进行处理。
（即对较小的小波系数置为０，较大的保留或削弱），然后对信号重构即可达到消噪的目的。
在去噪方面，小波分析由于能同时在时－频域中对信号进行分析，具有多分辨分析的功能，所以在不同的分解层上有效的区分信号的突变部分和噪声，从而实现信号的消噪。
33 一维连续小波变换
∫
0
1 W f (a, b)W g (a, b)dbda = Cψ ∫ f (t ) g (t )dt 2 ∫ a −∞ −∞
f (t ) 进行以小波作基的连续函数变换。由
所以函数一经小波 于小波基具有尺度因子 a 和定位因子 b 两个参数， 变换，意味着将一个时间函数投影到二维的时间－尺度平面上去，这 样有利于提取信号函数的某些本质特征。
5
第 3 章 小波变换
3.3.2
CWT 的性质[2,6]
g 线性（叠加性质） 一个函数的小波变换等价于该函数各分量的连续小波变换之和。 证：设 W f1 ( a, b) 为 f1 (t ) 的小波变换； W f (a, b) 为 f 2 (t ) 的小波变换，
+∞
2 +∞ ⎞ Ψ ( aω ) 1 ⎛ ⎜ da ⎟ dω = ∫ F (ω ) G (ω ) ∫ 2 a π ⎜ ⎟ −∞ ⎝0 ⎠
1 = Cψ . 2π
where：
+∞
−∞
∫ F (ω ) G (ω )dω = Cψ . ∫ f ( t ) g ( t )dt
−∞
+∞
+∞
Cψ =
∫
0
Ψ ( aω ) a
^
jω b
dω ,
再由傅立叶变换定义知道：
⎡ F (ω ) Ψ ( aω ) ⎤ ⎦ 2π ⎣ ^ a ⎡G (ω ) Ψ ( aω ) ⎤ W g ( a, b ) = ⎦ 2π ⎣ W f ( a, b) =
将（4）代入下列式：a（4）源自8第 3 章 小波变换
+∞
−∞
∫ W (a, b)W
f +∞ −∞
一维小波变换
一维小波变换现在可以正式定义若干密切相关的小波变换：一般小波序列展开、离散小波变换和连续小渡变换。
它们在傅里叶域的对应部分分别是傅里叶序列展开、离散傅里叶变换和连续傅里叶变换。
在 7.4 节，将定义一种计算效率很高的称做快速小波变换的离散小波变换。
一. 小波序列展开首先根据小波φ (x)和尺度函数φ (x)为函数f(x)∈L2( R)定义小波序列展开。
据式(7.2.27)，可写出：(7.3.1)其中 j 0是任意开始尺度，c j0和 d j (k) 分别是式 (7.2.12) 和式 (7.2.21)中αk的改写。
c j0 (k)通常称为近似值或尺度系数；d j (k) 称为细节或小波系数。
这是因为式(7.3.1) 的第一个和式用足度函数提供了 f(x)在尺度 j0的近似 [ 除非 f(x)∈V，此时为其精确值 ] 。
对于第二个和式j0中每一个较高尺度的j ≥j0，更细分辨率的函数 (一个小波和 ) 被添加到近似中以获得细节的增加。
如果展开函数形成了一个正交基或紧框架( 通常情况下是这样) ，基于式 (7.2.5) 和式(7.2.9) 的展开系数计算如下：(7.3.2)和(7.3.3)如果展开函数是双正交基的一部分，上式中的φ 和φ 项要分别由它们的对偶函数和代替。
例 7.7 y=x2 的哈尔小波序列展开考虑图 7.13(a) 中显示的简单函数：使用哈尔小波——见式(7.2.14) 和式 (7.2.30) ——和开始尺度J =0，式 (7.3.2)和式(7.3.3)可以被用来计算下述展开系数：将这些值代入式(7.3.1)，可以得到小波序列展开：上述展开中的第一项用c0(0) 生成待展开函数的V0子空间近似值。
该近似值如图7.13(b)所示，是原始函数的平均值。
第二项使用d0(0) 通过从 W0子空间添加一级细节来修饰该近似值。
添加的细节及V1的结果近似值分别如图7.13(c) 和 (d) 所示。
其他级别的细节由子空间W1的系数 d1(0) 和 d1(1) 给出。
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wfab(s,t)=(sum(mexhab.*dat))/sqrt(s);
%将积分用求和代替
mexhab=[mexh(-1*t/s),mexhab(1:n-1)];
%mexhab修改第一项并右移
end
end wfab_abs=abs(wfab); figure(3); colormap(pink(255)); surfc(wfab_abs);
Wf
(a,b) Ts
a
1 2
n
f
nTs
(n
k)Ts a
= T
a
1 2
n
f
n
n
a
k
对给定的 a 值，依次求出不同 a 值下的一组小波系数，由于数据采样间隔t为
0.03（常量），所以可以把这个系数忽略,并通过公式下面对小波变换矩阵进行归
%画三维图
xlabel('TRANSLATION')
ylabel('SCALE')
zlabel('AMPLITUDE')
for index=1:amax
%小波系数矩阵归一化处理
max_coef=max(wfab_abs(index,:));
min_coef=min(wfab_abs(index,:));
f
t
*
t
b a
dt
当小波函数 (t) 为实函数时
Wf
(a, b)
Wf
(a, b)
a
1 2
f
t
t
a
b
dt
在给定尺度下，对待分析信号 f t 和小波函数 (t) 按照 t nTs ， b nTs 进
行采样，其中Ts 为采样间隔，则小波变换可近似如下：
一化处理。
I(m,n)
wfab(m, n) min max min
* 255
实验结果：
AMPLITUDE
20 15 10
5 0 -5 -10 -15 -20
0
ORIGINAL DATA
50
100 150 200 250 300 350 400
TIME
COEFFS ABSOLUTE
SCALE
if abs(x)<=5
Y=((pi^(-1/4))*(2/sqrt(3)))*(1-x*x)*exp(-(x*x)/2);
else
Y=0;
end;
figure(2);
image(wfab_abs); colormap(pink(255));
%画尺寸-位移图
title('COEFFS ABSOLUTE');
xlabel('TIME')
ylabel('SCALE')
（2）墨西哥帽小波函数
function Y=mexh(x)
%单独用.M文件定义此函数
连续小波变换实验报告 实验目的：
通过matlab编程实现一维连续小波变换，更好地理解连续小波变换的算法 和作用，以及小波系数矩阵的含义。同时通过小波系数矩阵对原始信号进行频 谱分析，并了解小波小波系数在尺度和位移两个分量上的意义。
实验原理：
一维连续小波变换公式：
Wf
(a, b)
a
1 2
10
20
30
40
50
60
70
50
100 150 200 250 300 350 400
TIME
AMPLITUDE
50
40
30
20
10
0 80
60 40 20
SCALE
00
400 300 200 100
TRANSLATION
实验程序及注释
（1）主程序
load('data.mat'); n=length(dat); amax=70;
%尺度a的长度
a=zeros(1,amax); wfab=zeros(amax,n); mexhab=zeros(1,n);
%小波系数矩阵，均以零矩阵形式赋初值 %某尺度下小波系数
for s=1:amax
%s表示尺度
for k=1:n
mexhab(k)=mexh(/s);
end for t=1:n % t 表示位移
ext=max_coef-min_coef;
wfab_abs(index,:)=255*(wfab_abs(index,:)-min_coef)/ext;
end figure(1);
plot(dat); title('ORIGINAL DATA');
%画原始数据图
xlabel('TIME')
ylabel('AMPLITUDE')