镶嵌问题的判断技巧及练习题
初一数学人教下册镶嵌习题三
镶嵌习题三典型例题【例1】 商店出售下列形状的地砖：①正方形；②长方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形.如果要求只选购其中一种地砖镶嵌平面，则可供选择的地砖有( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种【解析】 判断一个多边形能不能用来作平面镶嵌，就是看这个多边形的内角能否组成360°若能，则可以用来作平面镶嵌，否则就不能.正方形和长方形的内角为90°，4个内角刚好构成360°，所以①②可以用来作平面镶嵌；正五边形的内角为108°，它不可能构成360°角，因此正五边形不能用来平面镶嵌；正六边形的内角为120°，三个内角可拼成360°角，所以正六边形可用来平面镶嵌；同样正八边形不能用作平面镶嵌. 【答案】 C【例2】 如图7-65是某广场的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石地砖密铺，从里向外共铺了12层(不包括中央的正六边形地砖)，每一层的外边界都围成了一个多边形，若中央正六边形地砖的边长为0.5 m ，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是_____________.图7-64【解析】 这类题一定要通过图形寻求数字规律.各层的镶嵌实际上只有两种(正三角形和正方形)镶嵌，从图形上看到每一层都有6个正方形，由第1层开始，外边界依次有(1×6)个，(2×6)个，…，(n ×6)个正三角形的边，所以第12层外边界应是5个正方形和(12×6)个正三角形的边围成的多边形.所以第12层处边界所围成的多边形的周长为6×0. 5+12×6×0.5=39(m). 【答案】 39m【例3】 某单位的地板由三种正多边形铺成，设这三种多边形的边数为m 、n 、p 求pn m 111++的值.【解析】 求出这三种正多边形的每个内角的度数，再根据三者的和为360°求解. 【答案】依题意，得m 边形的每个内角为:mm ︒•-180)2(；n 边形的每个内角为:nn ︒•-180)1(；p 边形的每个内角为:pp ︒•-180)1(.因为m m ︒•-180)2(+nn ︒•-180)1(+p p ︒•-180)1(=360°.所以21111=++p n m . 其正整数解可列表如下：n 1 n 2 n 3 3 7 42 3 8 24 3 9[ 18 3 10 15 3 12 12 4 6 12 4 8 8 5 5 10 666根据上表，我们可以得到一些用三种不同正多边形镶嵌的图案. 总分100分 时间60分钟 成绩评定____________ 一、填空题(每题5分，共50分) 课前热身1. 正五边形、正六边形、正八边形的每个内角的度数分别是_______. 答案：108°、120°、135°2.形状、大小完全相同的任意三角形、四边形能否单独作镶嵌_______(填“能”或“不能”) 答案：能 课上作业3.用任意三角形镶嵌平面时，同一顶点处应摆放_______个三角形；用任意四边形镶嵌平面时，同一顶点处应摆放_______个四边形.答案：6；414.(2010福建)只用同一种正多边形铺满地面，请你写出一种这样的正多边形；___________. 答案：正边三角形(或正四边形，正六边形)5.通常情况下，用地砖及瓷砖铺设时，基本要求是______________.答案：顶点角度和为360°，且相接处边长相等6.图7-66是用四个大小一样的长方形和一个正方形镶嵌而成的，请利用图中正方形面积的不同表示方法写出一个关于(a-b)的等式_________.图7-66答案：(a+b)2=(a-b)2+4ab课下作业7.用两种正多边形铺成的图案，这两种正多边形分别是_____________________.答案：正三角形和正六边形或正三角形和正方形8.如图7-67，用8块相同的长方形地砖镶嵌成一个大长方形，则每个长方形地砖的面积是____.图7-67答案：300 cm29.某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图7-68a；第2次把第1次铺的完全围起来，如图7-68b；第3次把第2次铺的完全围起来，如图7-68c；…依此方法，第n次铺完后，用字母n表示第n次镶嵌所使用的木块块数为____________.图7-68答案：8n-610.图7-9中几个图形都是由同一个长方形变化而来的，只用其中一种图形来铺地板，不能选用的个数为___________.图7-69答案：0二、选择题(每题5分，共10分)模拟在线11.(2010福建)用以下图形为基本单位，不能进行密铺(铺满地面)的是( )A.等边三角形B.矩形C.正五边形D.正六边形答案：C12.(2010湖北)阳光中学阅览室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖镶嵌地面，在每个顶点的周围正方形、正三角形地砖的块数可以分别是( )A.2，2B.2，3C.1，2D.2，1答案：B三、解答题(13题15分，14题25分，共40分)13.某生产厂家因工作失误，使一批正方形瓷砖的一个角都受到了同样的损坏如图7-70所示，在有人决定将这批瓷砖全部报废时，一位技术员设计了一个合理的方案，使这批瓷砖经过简单加工后又能铺地用了，请画图表示这位技术员的设计方案.图7-70答案：如图所示(提供两种设计方案)：第13题图14.我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺(镶嵌).我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360°时，就能够拼成一个平面图形，某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法；如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60°×x+120°×y=360°，化简得x+2y=6.因为x、y都是正整数，所以只有当x=2，y=2或x=4，y=1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图7-71(1)、(2)、(3).①请你依照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图(4)中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后的图形的示意图(只要画出一种图形即可)；②如用形状、大小相同的如图(5)方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗?若能，请在方格纸中画出密铺的设计图.图7-71答案：①用x个正三角形，y个正方形进行镶嵌，可得60°·x+90°·y=360°，即2x+3y=12因为.x、y都是正整数，所以只有当x=3，y=2时上式才成立，即用三个正三角形和两个正方形可以进行平面密铺.拼法如图a、b[②正确图形如图c所示.第14题图。
高中生物题型分析----生物膜的流动镶嵌模型
高中生物题型分析---- 生物膜的流动镶嵌模型题型一、对生物膜结构的探索历程一、考查形式选择题或填空题二、典型例题1.在电子显微镜下观察细胞膜，可以看到的是两条暗带中间夹一条明带，那么关于对这两条暗带和一条明带的化学成分的说法比较准确的是( )A．两条暗带的主要成分是蛋白质；明带的主要成分是磷脂，无蛋白质B．明带的主要成分是蛋白质；两条暗带的主要成分是磷脂，无蛋白质C．两条暗带的主要成分是蛋白质；明带的主要成分是磷脂，也有蛋白质D．明带的主要成分是蛋白质；两条暗带的主要成分是磷脂，也有蛋白质答案C 解析 1959年，罗伯特森根据电镜下看到的细胞膜清晰的暗—亮—暗三层结构，结合其他科学家的工作提出蛋白质—脂质—蛋白质三层结构模型。
流动镶嵌模型指出，蛋白质分子有的镶在磷脂双分子层表面，有的部分或全部嵌入磷脂双分子层中，有的横跨整个磷脂双分子层。
2.将人的红细胞放入4 ℃蒸馏水中，一段时间后红细胞破裂，主要原因是( )A．红细胞膜具有水溶性B．红细胞的液泡体积增大C．蒸馏水大量进入红细胞D．低温时红细胞膜流动性增大答案 C解析红细胞膜属于生物膜，生物膜的主要成分是蛋白质和脂质，故红细胞膜不具有水溶性，A项错误；与成熟的植物细胞不同，红细胞没有液泡，B项错误；由于外界溶液的浓度小于细胞质的浓度，红细胞在4 ℃蒸馏水中将因吸水过多而涨破，C项正确；低温时红细胞膜的流动性减小，D项错误。
三、答题技巧1.探索历程2．有关细胞膜的成分及功能特性的实验探究或鉴定。
(1)组成成分的鉴定①实验：用溶解脂质的溶剂处理细胞膜，细胞膜被溶解；脂溶性物质能够优先通过细胞膜；磷脂酶处理细胞膜，细胞膜被破坏等都可说明细胞膜中含有脂质成分。
②实验：用蛋白酶处理细胞膜，膜被破坏；制备细胞膜样液，用双缩脲试剂鉴定，结果呈现紫色。
则都说明细胞膜中含有蛋白质成分。
③实验：从细胞膜中提取某种物质，经非酶法处理后，加入双缩脲试剂出现紫色；加入斐林试剂并加热出现砖红色沉淀，则说明该物质为糖蛋白。
中考数学复习指导：中考数学中的镶嵌问题
中考数学中的镶嵌问题解答镶嵌问题的关键是判断围绕一个点拼在一起的几个多边形的内角加在一起是否恰好是一个周角．如果能构成一个周角，则能镶嵌成一个平面，否则不能镶嵌．现以中考题为例加以说明．一、用同一种正多边形镶嵌例 1 某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）（A ）4种；（B ）3种 ；（C ）2种；（D ）1种．分析：解答此类问题的关键是求出各正多边形的内角度数，若内角度数是360°的约数，则这个正多边形能够进行平面镶嵌，否则不能进行平面镶嵌．解：由于正三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角度数分别为60°、90°、108°、120°．显然，108°不是360°的约数，所以正五边形不能进行平面镶嵌．故应选C ． 评注：只用同一种正多边形进行平面镶嵌的，只有三种正多边形，即正三角形、正方形、正六边形．二、用两种或两种以上正多边形组合镶嵌例2 一幅图案．在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 ．分析：本题是用三种正多边形平面镶嵌，并且一个顶点处每种正多边形只有一个的情形，不妨设所用的三种正多边形的边数分别为n 1、n 2、n 3，则有()111802n n ︒⋅-＋()221802n n ︒⋅-＋()331802n n ︒⋅-=360°，整理得，11n ＋21n ＋31n =21． 解：根据分析可知，11n ＋21n ＋31n =21，即41＋61＋31n =21．解得，n 3=12．所以第三个正多边形的边数是12．评注：（1）用两种正多边形组合镶嵌：通过计算会发现，正三角形分别与正四边形、正六边形、正十二边形等组合进行镶嵌；正四边形分别与正三角形、正八边形等组合进行镶嵌．（2）用三种正多边形组合镶嵌，且一个顶点处每种正多边形只有一个，则所用正多边形的边数应满足11n ＋21n ＋31n =21． 三、运用镶嵌探索规律例3 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有 个．分析：本题可从每次铺设地面中完整的圆的个数进行分析，按照由特殊到一般的数学解题方法来寻找规律．解：把如图所示的四个图案中完整的圆的个数列表如下，并对这些数据进行分析：完整圆的个数 第1个1=12＋（1－1）2 第2个5=22＋（2－1）2 第3个13=32＋（3－1）2 第4个25=42＋（4－1）2 …… n 个 n 2＋（n －1）2所以，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆的个数为：n 2＋（n －1）2= 102＋（10－1）2=181．评注：解决此类问题要把握住图案及图案中所反映出的数据之间的对应关系，通过观察、对比、归纳、猜想等方法，研究图案的变化规律，从而探索出数字的变化规律，进而找到问题的解决方法．。
(初二数学)平面图形的镶嵌02
总结：其他平面图形镶嵌方法包括圆形、椭圆形、扇形等非 多边形的平面图形进行镶嵌，其优点在于给人以自然、和谐 的视觉感受，但拼接难度较大。
04
平面图形镶嵌的应用
装饰设计中的应用
平面图形镶嵌在装饰设计中有着广泛 的应用，它能够为室内外空间带来独 特的视觉效果和艺术美感。
平面图形镶嵌还可以与其他装饰手法 相结合，如绘画、雕塑等，以营造出 更加丰富和立体的空间氛围。
通过使用不同形状、大小和颜色的平 面图形，设计师可以创造出丰富多彩 的拼贴图案，为墙面、地面、天花板 等各个部位增添艺术气息。
建筑设计中的应用
在建筑设计中，平面图形的镶嵌 也有着重要的应用价值。
利用不同材质、纹理和颜色的平 面图形，建筑师可以创造出独特 的立面、室内装饰和景观设计，
使建筑更具特色和个性化。
思考题2
用两种不同的正多边形进 行镶嵌，如何确定需要的 图形数量？
思考题3
平面图形的镶嵌有哪些实 际应用？
探究题
探究题1
探究平面图形镶嵌的基本原则是 什么？
探究题2
探究平面图形镶嵌在建筑设计中的 应用。
探究题3
探究平面图形镶嵌在装饰设计中的 应用。
THANKS
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03
平面图形的镶嵌方法
三角形镶嵌
三角形镶嵌
利用等边或等腰三角形进行镶嵌，可以形成丰富多彩的图案 。三角形镶嵌的特点是结构稳定，可以适应不同的拼接方式 ，从而创造出多种视觉效果。
总结
三角形镶嵌是一种常见的平面图形镶嵌方法，其优点在于结 构稳定、拼接方式灵活多变，可以创造出丰富的视觉效果。
四边形镶嵌
平面图形镶嵌还可以用于建筑的 细节处理，如窗户、门框、栏杆 等部位，以增强建筑的精致感和
初一数学课题学习 镶嵌试题
初一数学课题学习镶嵌试题1.形状、大小完全相同的任意三角形、四边形能否单独作镶嵌_______(填“能”或“不能”)【答案】能【解析】本题考查了平面镶嵌的条件由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角的和为360°时，就能镶嵌．任意三角形内角和为180°，用6个同一种三角形就可以在同一顶点镶嵌．而任意四边形的内角和是360°，只要放在同一顶点的4个内角和为360°，故能密铺．因为任意三角形的内角和为180°，所以，即拼接点处有6个角，能镶嵌；任意四边形的内角和是360°，只要放在同一顶点的4个内角和为360°，能镶嵌。
2.只用同一种正多边形铺满地面，请你写出一种这样的正多边形；___________.【答案】正边三角形（或正四边形，正六边形）【解析】本题考查了平面镶嵌的条件求出正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能密铺；正方形的每个内角是90°，能整除360°，4个能密铺；正六边形每个内角为120度，能整除360度，3个能密铺．3.图中几个图形都是由同一个长方形变化而来的，只用其中一种图形来铺地板，不能选用的个数为________ .【答案】【解析】本题考查了平面镶嵌的条件根据每个图形的特征即可判断得到结果。
观察图形可知每一个图形的缺口部分均恰好可以由本图上的部分补足，故不能选用的个数为4.某生产厂家因工作失误，使一批正方形瓷砖的一个角都受到了同样的损坏如图所示，在有人决定将这批瓷砖全部报废时，一位技术员设计了一个合理的方案，使这批瓷砖经过简单加工后又能铺地用了，请画图表示这位技术员的设计方案.【答案】如图所示：【解析】本题考查了平面镶嵌的条件可截去一部分变成一个有规律得图形，且边长正好能相互补足即可。
如图所示(提供两种设计方案)：5.不能镶嵌成平面图案的正多边形组合为( )A．正八边形和正方形B．正五边形和正十边形C．正六边形和正三角形D．正六边形和正八边形【答案】D【解析】本题考查了平面镶嵌的条件正多边形的组合能否构成平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能镶嵌；反之，则说明不能镶嵌．A、正方形和正八边形内角分别为90°、135°，由于90°+135°×2=360°，故能镶嵌；B、B、正五边形和正十边形内角分别为108°、144°，由于108°×2+144°=360°，故能镶嵌．C、C、正六边形和正三角形内角分别为120°、60°，由于60°×2+120°×2=360°，故能镶嵌；D、D、正六边形和正八边形内角分别为120°、135°，由于120m+135n=360，得，显然n取任何正整数时，m均不能取得正整数，故不能镶嵌．E、故选D．6.用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有个正三角形、个正六边形，则满足的关系式是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】本题考查了平面镶嵌的条件正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．正多边形的平面镶嵌，每一个顶点处的几个角之和应为，而正三角形和正六边形的每一个内角分别为、，根据题意可知，化简得到．故选D．7.用正三角形和正六边形镶嵌，在每个顶点处有_______个正三角形和_____ 个正六边形，或在每个顶点处有______个正三角形和________个正六边形.【答案】2，2；4，1【解析】本题考查了平面镶嵌的条件正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．∵正三边形和正六边形内角分别为、，又∵，或，∴在每个顶点处有2个正三角形和2个正六边形，或在每个顶点处有4个正三角形和1个正六边形.8.用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图3所示的规律，拼成若干个图案.（1）第四个图案中有白色地砖_______块；（2）第个图案中有白色地砖_______块.【答案】（1）；（2）【解析】本题考查了图形的规律性问题易得第一个图形中有6块白色地砖，找到其余图形中白色地砖的块数是在6的基础上增加几个4即可．第一个图形中有6块白色地砖；第二个图形中有块白色地砖；第三个图形中有块白色地砖；第4个图形中有块白色地砖；…第n个图形中有块白色地砖．9.为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方，政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖，其中不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【答案】C【解析】本题主要考查了平面镶嵌（密铺）．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°解：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能镶嵌；B、正方形的每个内角是90°，4个能镶嵌；C、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能镶嵌；D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能镶嵌．故选C．10.列举几个你所见到的能够密铺的“基本单位”：_____、_____、_____．（至少写出三种）【答案】正三角形，正方形，正六边形【解析】本题主要考查了平面镶嵌（密铺）．用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．。
7.4 课题学习 镶嵌(含答案)
7.4 课题学习镶嵌题号一1 二2 三3 四4 五5 六6 七7 八8 得分角度的反复训练才能取得跟多的收获，我们设计的试卷主要就是从这点出发，所以从你下载这张试卷开始，就与知识接近了一步。
◆回顾归纳1．多边形能覆盖平面或平面镶嵌需要满足两个条件：（1）拼接在同一个点的各个角和恰好等于________；（2）相邻的多边形有______．2．有边长相同的正三角形，正方形，正五边形，正六边形，如果用其中一种多边形镶嵌，________能镶嵌成一个平面图案；如果用其中两种正多边形镶嵌，______•能镶嵌成一个平面图案．◆课堂测控知识点用多边形进行平面镶嵌1．任意四边形都能密铺，每个拼接点的四个角恰好是一个四边形的四个______，它们的和是______．2．下列图形中，不能够密铺地面的是_______（填序号）．①任意三角形②任意四边形③任意五边形④正六边形3．用正三角形和正方形镶嵌地面，在每一个顶点处有_____个正三角形和____个正方形．4．如图所示是用四个大小一样的长方形和一个正方形镶嵌而成的图形，请利用图中正方形面积的两种不同表示方法写出一个等式：_______．5．（过程探究题）探索：当n取何值时，正n边形能进行平面密铺．取值内角周角内角是否整数n=3 a3=60° 6 是n=4 a4=n=5 a5=n=6 a6=（1）除本身外，360°的最大约数为______；（2）当围绕一点拼在一起的几个多边形内角加在一起恰好组成一个周角的时候，就拼成一个平面图形，试根据本题所给的探索过程，总结出结论；用同种正多边形能拼成平面图形的正多边形只有______．◆课后测控1．在正三角形，正方形，正六边形，正八边形中，任选两种正多边形镶嵌，•这样的组合最多能找到（）A．2组 B．3组 C．4组 D．5组2．用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图7．4-2所示的规律镶嵌成若干个图案：（1）第四个图案中有白色地板砖_______块．（2）第n个图案中有白色地板砖______块．◆拓展创新3．如图所示，正多边形A，B，C密铺地面，其中A为正六边形，C为正方形，请通过计算求出正多边形B的边数．答案:回顾归纳1．（1）360°（2）公共边2．正三角形，正方形，正六边形；正三角形和正方形，正三角形和正六边形课堂测控1．内角；360° 2．③ 3．3：2 4．（a-b）2=（a+b）2-4ab5．90°，4，是；108°，103，不是；120°，3，是（1）180°（2）正三角形，正方形，正六边形课后测控1．B 2．（1）18 （2）4n+23．设正多边形B一个内角为x，则有120°+90°+x=360°，∴x=150° 150=(2)180nn-︒，∴n=12解题技巧：以正多边形B的一个顶点的周角为360°来构建方程求解．可以编辑的试卷（可以删除）。
初中数学 7.4 课题学习 镶嵌(含答案)
§7．4 课题学习镶嵌课前感悟（课前自主预习，先试试你的身手）1． n边形的内角和等于________°，正方形的每个内角等于_______°，正五边形的每个内角等于______°，正六边形的每个内角等于______°，正n边形的每个内角等于______°．2．平面镶嵌要求拼成的平面图形不重叠、无空隙，把平面的一部分_________，所以围绕一个顶点周围各角的和为________°，叠合的边长度_________．3．用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有个正三角形和个正四边形．4．（2004龙岩）商店里出售下列形状的地砖：○1正三角形○2正方形○3正五边形○4正六边形，只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种5．剪一些形状、大小相同的三角形，可以进行平面镶嵌吗？画图说明你的方案．举一反三（典型例题引路，探求规律方法技巧）【例1】（2003陕西）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：图7－65（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．解 （1）60°，90°，108°，…， nn ︒⋅-180)2(； （2） 正三角形、正四边形、正六边形；（3）如：正方形和正八边形，如图7－66，设在一个顶点周围有m 个正方形的角，n 个正八边形的角，那么m 、n 应是方程︒=︒⋅+︒⋅36013590n m 的整数解，即2m ＋3n ＝8，整数解只有⎩⎨⎧==21n m 一组，∴符合条件的图形只有一种． 图7－66点评 探索存在性问题时，可先假设存在，列出一个二元一次方程，如果能找到这个二元一次方程的整数解（符合题意的两个未知数的值都是整数），就能肯定两种正多边形可以平面镶嵌，再画图找出这两种正多边形平面镶嵌的方法；如果这个二元一次方程没有整数解，这两种正多边形就不可以平面镶嵌．【例2】用两种正多边形进行平面镶嵌，你能举出几种组合方式，说出你是怎样做的． 分析 只要一个顶点处拼的各内角的和为360°即可．解 这样的组合有：（1）一个正三角形和两个正十二边形；（2）两个正三角形和两个正六边形；（3）三个正三角形和两个正方形；（4）四个正三角形和一个正六边形；（5）一个正方形和两个正八边形．潜能开发（当堂学习巩固，训练重点、难点、考点）6． （2004锦州） 边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是（ ）．A ．正方形与正三角形B ．正五边形与正三角形C ．正六边形与正三角形D ．正八边形与正方形7．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．88．有以下边长相等的三种图形：①正三角形，②正方形，③正八边形．选其中两种图形镶嵌成平面图形，请你写出两种不同的选法（用序号表示图形）： ，或 ；9．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按图7－67所示的规律，拼成若干个图案：图7－67（1）第4个图案中有白色地面砖 块；（2）第n 个图案中有白色地面砖 块．10． 请用一些等边三角形地转把下面的长方形的操场铺满（操场四周可留部分空隙），并填上两种颜色，看谁的设计美观．图7－6811．剪一些形状、大小相同的四边形，可以进行平面镶嵌吗？画图说明你的方案．12．在下列正多边形中，能够进行平面镶嵌的正多边形有哪些？请把它找出来，并说明理由．（1）正三角形（2）正方形（3）正五边形（4）正六边形（5）正八边形13．在下列两种正多边形的组合中，能够进行平面镶嵌的有哪些？请把它们找出来，并说明理由．（1）正三角形和正六边形（2）正方形和正八边形（3）正五边形和正十边形14．建筑工人师傅用板砖砌墙通常有两种方式，一种叫实墙（侧面如图a），美观结实；一种叫孔墙（侧面如图b），经济实用．你能说出工人师傅这样使用板砖的道理吗？图a 图7－69 图b15．老刘是一家村办瓷砖厂厂长，他发现市场上用来单一拼图（只用一种规格）的正多边形瓷砖只有三种形状：正三角形、正方形、正六边形，他想搞一个创意，设计形状为正五边形的瓷砖推向市场．你认为他的想法好吗？市场前景如何？16．边长相等的正三角形与正方形能否铺满地面？边长相等的正方形与正六边形能否铺满地面？你是怎样判断的？17．边长不相等的正三角形与正六边形一定不能进行平面镶嵌，你同意这种说法吗？如果不同意，你能举一个反例吗？探究创新（拓展视野，迁移发散，开发智力、潜力、能力）18．边长相等的正三角形、正方形和正六边形三者结合一起能否铺满地面？如果可以，请给出方案．如果不可以，请说明理由．19．阅读下面内容并回答问题：①在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．有边数分别为x ，y ，z 的三种型号不同的正多边形，如果每种型号的多边形各取一个，拼在A 点，恰好能覆盖住A 点及其周围小区域， 猜想x ，y ，z 之间关系，你能对你给出的这个猜想给出证明吗?解：边数为x 的正多边形的每个内角为xx 2-·180°，边数为y 的正多边形的每个内角为y y 2-·180°，边数为z 的正多边形的每个内角为z z 2-·180°，所以有xx 2-·180°＋y y 2-·180°＋z z 2-·180°＝360°，在等式两边同时____________得：xx 2-＋y y 2-＋z z 2-＝2，因为x x 2-＝xx x 2-＝1－x 2，所以（1－x 2）＋（1－y 2）＋（1－z 2）＝2， 所以－（x 2＋y 2＋z 2）＝－1，在等式两边同时____________得：x 1＋y 1＋z 1＝21． ②根据上面的结论，从正三角形、正方形中选一种，再在其他正多边形中选两种，请尝试找出几种用三种不同的正多边形镶嵌的组合．多彩生活（最有趣的数学）精彩的正多边形镶嵌单独用一种同样大小正多边形来镶嵌平面，只有三种情况：正方形、正三角形、正六边形．如果这种镶嵌不限于用一种正多边形，只要同一种正多边形是同一尺寸的，那么有哪些镶嵌方案呢？下面列出17组情况：（3，7，42）（3，8，24）（3，9，18）（3，10，15）（3，12，12）（4，5，20）（4，6，12）（4，8，8）（5，5，10）（6，6，6）（3，3，4，12）（3，3，6，6）（3，4，4，6）（4，4，4，4）（3，3，3，4，4）（3，3，3，3，6）（3，3，3，3，3，3）．有书记载，这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的．实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地绘出了这些图样，真是令人叹为观止．图7－70如图7－70 ，可以发现（3，3，6，6）就有两种不同的组合图案．这种平面镶嵌，大体上看上去是水平式的，即可以用水平直线把平面分开．事实上，也可以镶嵌出不可以用水平直线分割开来的图案，如图7－71．我们在装饰室内的墙纸或地板时，常常考虑利用不同的色块，使图案看上去更美妙．图7－71中完全相同的镶嵌，由于涂色的不同，看上去却是两样！图7－71参考答案1. （n-2）·180°、90、108、120、1082•-nn 2. 完全覆盖、360、相等 3. 3、2 4.C 5. 可以 6.B 7.A 8.①②、②③ 9. 18、4n ＋2 10.略 11.可以 12.正三角形、正方形、正六边形 13.正三角形和正六边形、正方形和正八边形 14. 长方形的内角为90° 15. 不好，五边形每个内角是108°，不能被360°整除 16.可以、不可以 17. 这种说法不对，六个正三角形也可拼成一个正六边形，如果这个正六边形的边长与原来的正六边形边长相等就可以进行平面镶嵌 18.可以，正三角形每个内角是60°，正方形每个内角是90°，正六边形每个内角是120°，60°＋120°＋90°×2＝180°，所以可以镶嵌 19. ①除以180°、除以－2 ② 正三角形和正七边形和正四十二边形、正三角形和正八边形和正二十四边形、正三角形和正九边形和正十八边形、正三角形和正十边形和正十五边形、正方形和正五边形和正二十边形、正方形和正六边形和正十二边形。
初中几何专题六：镶嵌问题
初中几何专题六：镶嵌问题一、镶嵌方案设计例1：(2005温州) 小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工(如图甲所示)，他想在现有的六块瓷砖余料中(如图乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)。
列举以下四种铺设的示意图供参考二、铺设方案设计例2：(2005惠安县) 某一广场进行装修，所用三种板材（0.50.5,0.20.5,0.20.2)a b c =⨯=⨯=⨯规格如图所示（单位：米）．⑴根据铺设部分面积的不同大小，设计如下列图案1、2、3有一定规律的图案：中间部分 由a 种板材铺成正方形，四周由种种和c b 板材镶边．①请直接写出图案2的面积；②若某一图案的面积为211.56m ，求该图案每边有b 种板材多少块？⑵在第⑴题②所求图案的基础上，根据实际需要中间由a 种板材铺成的部分要设计成长方形，四周仍由种种和c b 板材镶边，要求原有的三种板材不能浪费，如果需多用材料，只能用b 种板材不超过6块，请求出其余的铺设方案有几种．a 种b 种c 图案1 图案解：⑴ ①()21.96m②设每边有b 种板材x 块， 依题意得2(0.50.22)11.56x +⨯=整理为：0.50.4 3.4x +=±解 得：()126,7.6x x ==-舍去∴只取6x =∴该图案每边有b 种板材6块。
⑵依题意，中间部分的a 种板材共有36块363611821239466=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯ⅰ）b 种板材共需()361274+⨯=块ⅱ）b 种板材共需()182240+⨯=块ⅲ）b 种板材共需()123230+⨯=块ⅳ）b 种板材共需()94226+⨯=块依题意，b 种板材最多可用64630⨯+=块∴符合条件的其余的铺设方案有2种。
练习：1.2、当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个 时，就拼成一个平面图形。
初中数学《镶嵌》解题技巧
《镶嵌》解题技巧新余九中熊大城◆类型一：只用一种正多边形镶嵌问题【例1】在美丽的岳阳南湖广场中心地带整修工程中，计划采用同一种正多边形地板砖铺设地面，在下面的地板砖：⑴正方形⑵正五边形⑶正六边形⑷正八边形中能够铺满地面的地板砖的种数有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【分析】能自镶嵌的正多边形只有三种：正三角形，正六边形和正方形．【解】B．◆类型二：用两种正多边形镶嵌问题【例2】如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n 的值是( ) A．3 B．4 C．5 D．6【分析】本题可利用多边形能镶嵌成平面图案需要满足的条件，拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°(周角)．且正方形和正三角形的内角分别是90°和60°，两个正方形应当与三个正三角形恰好能镶嵌．【解】A【例3】小明家准备选用两种形状的地板砖铺地，现在家中已有正六边形地板砖，下列形状的地板砖能与正六边形的地板砖共同使用的是（）A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正八边形．【解】A◆类型三：用多种正多边形镶嵌问题【例4】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6六个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依次类推，第8层中含有正三角形个数是（）A．54个B．90个C．102个D．114个【分析】本题是由正六边形、正方形和正三角形构成的平面镶嵌问题．要求出第8层中含有正三角形个数，必须根据所给的第1层中含有正三角形个数和第2层中含有正三角形个数，找到其中的规律方可解决问题．【解】根据图形可知，第1层含有6个正三角形，第2层含有18个正三角形，第3层含有30个正三角形，后面一层正三角形的个数依次比前一层多12个，所以第8层中含有正三角形个数6+12×7=90个．故选B．。
中考中的镶嵌问题
中考中的镶嵌问题解答镶嵌问题的关键是判断围绕一个点拼在一起的几个多边形的内角加在一起是否恰好是一个周角．如果能构成一个周角，则能镶嵌成一个平面，否则不能镶嵌．现以中考题为例加以说明．一、用同一种正多边形镶嵌例1（2008 年哈尔滨市）某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）（A ）4种；（B ）3种 ；（C ）2种；（D ）1种．分析：解答此类问题的关键是求出各正多边形的内角度数，若内角度数是360°的约数，则这个正多边形能够进行平面镶嵌，否则不能进行平面镶嵌．解：由于正三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角度数分别为60°、90°、108°、120°．显然，108°不是360°的约数，所以正五边形不能进行平面镶嵌．故应选C ．评注：只用同一种正多边形进行平面镶嵌的，只有三种正多边形，即正三角形、正方形、正六边形．二、用两种或两种以上正多边形组合镶嵌例2（2008年绥化市）一幅图案．在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 ．分析：本题是用三种正多边形平面镶嵌，并且一个顶点处每种正多边形只有一个的情形，不妨设所用的三种正多边形的边数分别为n 1、n 2、n 3，则有()111802n n ︒⋅-＋()221802n n ︒⋅-＋()331802n n ︒⋅-=360°，整理得，11n ＋21n ＋31n =21． 解：根据分析可知，11n ＋21n ＋31n =21，即41＋61＋31n =21．解得，n 3=12．所以第三个正多边形的边数是12．评注：（1）用两种正多边形组合镶嵌：通过计算会发现，正三角形分别与正四边形、正六边形、正十二边形等组合进行镶嵌；正四边形分别与正三角形、正八边形等组合进行镶嵌．（2）用三种正多边形组合镶嵌，且一个顶点处每种正多边形只有一个，则所用正多边形的边数应满足11n ＋21n ＋31n =21． 三、运用镶嵌探索规律例3（2008年重庆市）如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有 个．分析：本题可从每次铺设地面中完整的圆的个数进行分析，按照由特殊到一般的数学解题方法来寻找规律．解：把如图所示的四个图案中完整的圆的个数列表如下，并对这些数据进行分析：所以，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆的个数为：n 2＋（n －1）2= 102＋（10－1）2=181．评注：解决此类问题要把握住图案及图案中所反映出的数据之间的对应关系，通过观察、对比、归纳、猜想等方法，研究图案的变化规律，从而探索出数字的变化规律，进而找到问题的解决方法．用正多边形瓷砖镶嵌地面观察一些建筑物的地面，可以发现这些地面常常是用一种或几种正多边形瓷砖铺砌而成，你知道用哪些正多边形瓷砖可以镶嵌地面吗？一、用同一种正多边形瓷砖镶嵌地面例1为迎接大学生冬季运动会，某市正在进行城区人行道路翻新，准备选用同一种正多边形地砖铺设地面．下列正多边形的地砖中，不能进行平面镶嵌的是（ ）正三角形 正方形 正五边形 正六边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ分析：当用n 块内角为x °的同一种正多边形围绕一点拼在一起时，则有nx °=360°，此时有n=x360，由于n 为正整数，所以x 只能为60，90，120．也就是正多边形中只有正三角形（内角为60°），正方形（内角为90°），正六边形（内角为120°）才能单独镶嵌地面，而其它的同一种正多边形瓷砖不能单独镶嵌地面．解：选C ．提示：用一种正多边形瓷砖可以镶嵌地面，这种正多边形只能是正三角形，正方形，正六边形中的一种．二、用两种正多边形瓷砖镶嵌地面例2 在下列四组多边形地板砖中，①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正六边形与正方形；④正八边形与正方形．将每组中的两种多边形结合，能镶嵌地面的是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②③D ．①②④分析：假设用x 块正三角形瓷砖与y 块正方形瓷砖可以镶嵌．则60°x+90°y=360°，即2x+3y=12，由于x ，y 为正整数，只有当x=3，y=2时2x+3y=12成立，所以用3块正三角形瓷砖和2块正方形瓷砖可以镶嵌地面；同样的方法可以知用2块正三角形瓷砖和2正六边形瓷砖或用4块正三角形瓷砖和1块正六边形瓷砖可以镶嵌地面；用2块正八边形瓷砖和1块正方形瓷砖可以镶嵌地面；用正六边形和正方形瓷砖不能镶嵌地面．解：选D ．提示：用两种正多边形瓷砖镶嵌地面，这两种瓷砖可以是正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形．三、用三种不同的正多边形瓷砖镶嵌地面例3 一块美观的地板是由四块边长相等的正多边形瓷砖镶嵌而成，其中3块分别是正三角形，正四边形、正六边形瓷砖，则另外一块瓷砖为( )．A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形分析: 因为正三角形、正方形、正六边形的内角分别是60°，90°，120°，因为镶嵌时，拼接处的角度和应为360°，所以另一块正多边形的内角应为360°-60°-90°-120°=90°．由此可知另一块瓷砖为正方形．解：选B．提示：用一块正三角形瓷砖，两块正方形瓷砖和一块正六边形瓷砖可以镶嵌地面．注意：不存在四种或四种以上的正多边形瓷砖的镶嵌的情况．在用同一种正多边形瓷砖镶嵌地面时，一般多用正方形瓷砖或正六边形瓷砖，虽然正三角形瓷砖也可以镶嵌地面，但它不及正方形瓷砖大方实用，施工也麻烦，在镶嵌地面时，一般不使用正三角形瓷砖．而多用正方形或正六边形瓷砖．用什么样的正多边形才能镶嵌用形状相同或不同的平面封闭图形，把一块地面既无缝隙、又不重叠地全部覆盖，叫做平面镶嵌，也叫做密铺。
7.4镶嵌跟踪联系及解析
7.4 镶嵌1.下列图形中,能镶嵌成平面图案的是( )A.正六边形B.正七边形C.正八边形D.正九边形知识点：一种正多边形的平面镶嵌知识点的解读：在用同一种正多边形进行平面镶嵌时，若其内角度数能整除360º则可以镶嵌，反之则不能镶嵌答案：A详细解答：n 边形的内角和为（n-2）×180°，正多边形的每一个内角都相等，每一个内角都是0(2)180n n -⨯，因此计算出正六边形的每个内角是0(62)1806-⨯=120º，能整除360º，所以正六边形能镶嵌成平面图案。
1.若铺满地面的瓷砖每一个顶点处由4块相同的正多边形组成，此时的正多边形是（ ）A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正八边形答案：B详细解答：镶嵌的关键是每个拼接点处的几个角拼在一起恰好组成一个 360º 的周角，铺满地面的瓷砖每一个顶点处由4块相同的正多边形组成，那么这个正多边形的每个内角就是00360904=，因此是正方形 2.商店里出售下列形状的地砖：○1正三角形 ○2正方形 ○3正五边形 ○4正六边形，只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ） ．A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种知识点：一种正多边形的平面镶嵌知识点的解读：在用同一种正多边形进行平面镶嵌时，若其内角度数能整除360º则可以镶嵌，反之则不能镶嵌答案：C详细解答：镶嵌的关键是每个拼接点处的几个角拼在一起恰好组成一个 360º 的周角， 正三角形的每个内角等于180°÷3=60°。
360°是60°的整数倍,也就是用一些60°角能拼出360°的角.正方形的每个内角等于90°。
360°是90°的整数倍,也就是用一些90°角能拼出360°的角.由多边形内角和定理,可以得到五边形内角和等于（5-2）×180°=540°，因此，正五边形的每个内角等于540°÷5=108°。
图形镶嵌试题解析及答案
图形镶嵌试题解析及答案一、单项选择题1. 一个多边形能否进行平面镶嵌，关键在于多边形的内角和是否能够整除360°。
下列多边形中不能进行平面镶嵌的是（）。
A. 正三角形B. 正方形C. 正六边形D. 正五边形答案：D解析：正三角形的每个内角为60°，6个正三角形可以进行平面镶嵌；正方形的每个内角为90°，4个正方形可以进行平面镶嵌；正六边形的每个内角为120°，3个正六边形可以进行平面镶嵌；正五边形的每个内角为108°，不能整除360°，因此不能进行平面镶嵌。
2. 用两种正多边形进行平面镶嵌，下列组合中不能实现的是（）。
A. 正三角形和正方形B. 正三角形和正六边形C. 正三角形和正八边形D. 正四边形和正八边形答案：C解析：正三角形的每个内角为60°，正方形的每个内角为90°，3个正三角形和2个正方形可以进行平面镶嵌；正三角形的每个内角为60°，正六边形的每个内角为120°，2个正三角形和2个正六边形可以进行平面镶嵌；正三角形的每个内角为60°，正八边形的每个内角为135°，不能整除360°，因此不能进行平面镶嵌；正四边形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，2个正四边形和1个正八边形可以进行平面镶嵌。
3. 用三种正多边形进行平面镶嵌，下列组合中不能实现的是（）。
A. 正三角形、正方形和正六边形B. 正三角形、正四边形和正十二边形C. 正三角形、正五边形和正六边形D. 正三角形、正四边形和正八边形答案：C解析：正三角形的每个内角为60°，正方形的每个内角为90°，正六边形的每个内角为120°，2个正三角形、1个正方形和1个正六边形可以进行平面镶嵌；正三角形的每个内角为60°，正四边形的每个内角为90°，正十二边形的每个内角为150°，2个正三角形、1个正四边形和1个正十二边形可以进行平面镶嵌；正三角形的每个内角为60°，正五边形的每个内角为108°，正六边形的每个内角为120°，不能整除360°，因此不能进行平面镶嵌；正三角形的每个内角为60°，正四边形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，1个正三角形、1个正四边形和1个正八边形可以进行平面镶嵌。
人教版初二数学上册镶嵌知识点与练习
镶嵌知识点与练习知识点一：镶嵌定义用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称平面图形的镶嵌知识点二：一种正多边形的平面镶嵌活动1．问题：分别剪一些边长相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图案？结论：问题2：观察每个拼接点处有几个角？它们与正多边形的每个内角有什么关系？它们的和又有何特征？用简洁的语言总结出规律：练习：1．用多边形把平面的一部分完全覆盖的意思是指既不留下______，又不_____，•这与多边形的_______有关．2．下列图形不能用来铺满地面的是（）．A．钝角三角形 B．长方形 C．梯形 D．正五边形3．下列说法正确的是（）．A．只有正多边形可以平面镶嵌; B．最多能用两种正多边形进行平面镶嵌 C．一般的凸多边形也可以平面镶嵌; D．只有正五边形不可以平面镶嵌4．我们已经知道，用一种正多边形铺地面时，只有______，_______，_______三种能铺满地面。
知识点三：两种正多边形的平面镶嵌活动2．问题：用刚才剪出的边长相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形中的两种正多边形镶嵌，哪两种正多边形能镶嵌成一个平面图案？由此可得出结论：练习：1．有以下边长相等的三种图形：①正三角形；②正方形；③正八边形．选其中两种图形镶嵌成平面图形，请你写出两种不同的选法：_______或________．（•用序号表示图形）2．当围绕一个顶点拼在一起的多边形中有_____个正三角形与______个正方形，这个组合能铺满平台；当围绕一个顶点拼在一起的多边形中有______个正三角形与_______个正方形和______个正六边形，则这个组合也能平面镶嵌．3．不能铺满地面的正多边形的组合是（）．A．正三角形和正五边形 B．正方形和正八边形C．正三角形和正十二边形 D．正三角形，正方形和正六边形知识点四：任意相同三角形或四边形的平面镶嵌活动3．问题：任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板，拼拼看，它们能否镶嵌成平面图案．任意剪出一些形状、大小相同的四边形纸板，拼拼看，它们能否镶嵌成平面图案．总结：用一些形状、大小相同的多边形，它们能够镶嵌成平面图案的条件是什么？结论： .综合练习1.用多边形或其组合可以拼成许多漂亮的密铺图案．•下面的图案是现实生活中大量存在的密铺图案的一部分．欣赏这些图案，你能发现哪些多边形或其组合可以密铺？2.同学们经常见到如图所示那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面．现在，问：（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）•的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．（3）请你再画一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．。
2017年中考数学热身 多边形与平面图形的镶嵌(含解析)
多边形与平面图形的镶嵌一.选择题1．只用下列图形不能镶嵌的是（）A．三角形B．四边形C．正五边形 D．正六边形2．若n边形的每个内角为150°，则这个n边形是（）A．九边形B．十边形C．十一边形 D．十二边形3．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形4．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．85．某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）A．4种B．3种C．2种D．1种6．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD，则∠CAD的度数是度．7．下面各角能成为某多边形的内角和的是（）A．430°B．4343°C．4320°D．4360°8．一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题9．四边形的内角和等于度．10．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是．11．一个内角和为1440°的正多边形的外角和为．12．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为．三、解答题13．已知一个多边形的内角和等于外角和的5倍，求这个多边形的内角和及边数．14．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．15．请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案．16．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．（1）求它的边数；（2）求少的那个内角的度数．27．求下图中x的值．多边形与平面图形的镶嵌参考答案与试题解析一.选择题1．只用下列图形不能镶嵌的是（）A．三角形B．四边形C．正五边形 D．正六边形【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能组成镶嵌．同理四边形的内角和是360°，也能组成镶嵌．正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，其中180°，360°，120°能整除360°，所以不适用的是正五边形．【解答】解：A、任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺；B、任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺；C、正五边形的每一个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，所以不能密铺；D、正六边形每个内角是120度，能整除360°，可以密铺．故选C．【点评】本题考查一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．2．若n边形的每个内角为150°，则这个n边形是（）A．九边形B．十边形C．十一边形 D．十二边形【考点】多边形内角与外角．【分析】首先根据内角的度数计算出外角度数，再用360°÷外角的度数即可得到边数．【解答】解：∵n边形的每个内角为150°，∴它的外角是180°﹣150°=30°，∴n=360°÷30°=12，故选：D．【点评】此题主要考查了多边形的内角和外角的关系，关键是掌握多边形的内角与相邻的外角互补．3．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【考点】多边形内角与外角．【分析】设这个多边形是n（n≥3）边形，则它的内角和是（n﹣2）180°，得到关于n的方程组，就可以求出边数n．【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意知，（n﹣2）×180°=1080°，∴n=8，所以该多边形的边数是八边形．故选C．【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．4．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】多边形内角与外角．【专题】压轴题．【分析】利用多边形的内角和公式即可求解．【解答】解：因为多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，所以（n﹣2）×180°=720°，解得n=6，所以这个多边形的边数是6．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．内角和公式可能部分学生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了公式，推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要．5．某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）A．4种B．3种C．2种D．1种【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．【解答】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能组成镶嵌②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能镶嵌；④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有3种．故选B．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．6．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD，则∠CAD的度数是36 度．【考点】正多边形和圆．【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，得到△ABC≌△AED，AC=AD，AB=BC=AE=ED，先求出∠BAC和∠DAE的度数，再求∠CAD就很容易了．【解答】解：根据正五边形的性质，△ABC≌△AED，∴∠CAB=∠DAE=（180°﹣108°）=36°，∴∠CAD=108°﹣36°﹣36°=36°．【点评】本题考查了正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为540°．7．下面各角能成为某多边形的内角和的是（）A．430°B．4343°C．4320°D．4360°【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的内角和公式可知，多边形的内角和是180度的倍数，由此即可找出答案．【解答】解：因为多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），则多边形的内角和是180度的倍数，在这四个选项中是180的倍数的只有4320度．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理，是需要识记的内容．8．一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】多边形内角与外角．【专题】方程思想．【分析】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解．【解答】解法1：设边数为n，这个外角为x度，则0＜x＜180°根据题意，得（n﹣2）•180°+x=570°解之，得n=．∵n为正整数，∴930﹣x必为180的倍数，又∵0＜x＜180，∴n=5．解法2：∵0＜x＜180．∴570﹣180＜570﹣x＜570，即390＜570﹣x＜570．又∵（n﹣2）•180°=570﹣x，∴390＜（n﹣2）•180°＜570，解之得4.2＜n＜5.2．∵边数n为正整数，∴n=5．故选A．【点评】此题较难，考查比较新颖，涉及到整式方程，不等式的应用．二、填空题9．四边形的内角和等于360 度．【考点】多边形内角与外角．【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．【解答】解：（4﹣2）•180°=360°．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．10．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是12 ．【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．【解答】解：∵正方形的一个内角度数为180°﹣360°÷4=90°，正六边形的一个内角度数为180°﹣360°÷6=120°，∴需要的多边形的一个内角度数为360°﹣90°﹣120°=150°，∴需要的多边形的一个外角度数为180°﹣150°=30°，∴第三个正多边形的边数为360÷30=12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，关键是掌握多边形镶嵌成平面图形的条件：同一顶点处的几个内角之和为360°；正多边形的边数为360÷一个外角的度数．11．一个内角和为1440°的正多边形的外角和为360°．【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】根据了多边形的外角和定理即可得到答案．【解答】解：∵一个多边形的外角和为360°，∴一个内角和为1440°的正多边形的外角和为360°．故答案为360°．【点评】本题考查了多边形内角和定理和外角和定理：多边形内角和为（n﹣2）•180°，外角和为360°．12．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 5 ．【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．【解答】解：多边形的边数是：360÷72=5．故答案为：5．【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．三、解答题13．已知一个多边形的内角和等于外角和的5倍，求这个多边形的内角和及边数．【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题；方程思想．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和是固定的360°，从而可根据一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍列方程求解．【解答】解：设这个多边形是n边形．则（n﹣2）×180°=5×360°，n=12．5×360°=1800°．答：这个多边形内角和是1800°，是6边形．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征．14．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．【考点】多边形的对角线．【专题】探究型．【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是2条对角线，五边形有5=2+3条对角线，六边形有9=2+3+4条对角线，则七边形有9+5=14条对角线，则八边形有14+6=20条对角线．【解答】解：凸八边形的对角线条数应该是20．理由：∵从一个顶点发出的对角线数目，它不能向本身引对角线，不能向相邻的两个顶点引对角线，∴从一个顶点能引的对角线数为（n﹣3）条；∵n边形共有n个顶点，∴能引n（n﹣3）条，但是考虑到这样每一条对角线都重复计算过一次，∴能引条．∴凸八边形的对角线条数应该是： =20．【点评】能够从特殊中找到规律进行计算．15．请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案．【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】根据多边形镶嵌成平面图形的条件，因为正三角形的内角和为60°，而正方形、正六边形的内角分别为90°、120°，由于60+90×2+120=360，故能进行平面镶嵌，进而得出即可．【解答】解：因为三种瓷砖都必须用到，所以在每一个顶点处正三角形1个，正方形2个，正六边形1个即可．如图：【点评】此题主要考查了平面镶嵌，解这类题，需要掌握多边形镶嵌成平面图形的条件，即围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．16．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．（1）求它的边数；（2）求少的那个内角的度数．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可．【解答】解：（1）∵2300°÷180°=12…140°，则边数是：12+1+2=15；（2）该内角应是180°﹣140°=40°．【点评】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．17．求下图中x的值．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据五边形的内角和定理即可列方程求解．【解答】解：根据五边形的内角和是（5﹣2）•180=540°得到：2x+120+150+x+90=540解得：x=60．【点评】此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
初一数学人教版(下册)镶嵌习题四(含答案)
镶嵌习题四5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列正多边形中，能够铺满地面的是（ ）A.正八边形、正方形B.正五边形、正八边形C.正六边形、正三角形D.上述三种情况均不能解析：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个平面图形.如正六边形的每个内角为120°，三个120°拼一起恰好组成周角.所以全用正六边形瓷砖就可以铺满地面.同理，用正三角形瓷砖也能够铺满地面.答案：C 2.正n 边形的每个内角是_____________.解析：根据正n 边形的内角和定理求解. 答案：nn ︒-180)2( 3.当围绕一点拼接在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成_____________时，多边形能够铺满平面.答案：周角4.正五边形不能铺满平面，其原因是它的每个内角是_____________度，_____________度不是这个度数的整数倍，因此在一个拼接点处，拼上三个内角不能做到没有_____________，而拼上四个必定有_____________现象.答案：108360空隙重叠10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.不能够进行组合铺满平面的正多边形是（ ）A.正六边形和正三角形B.正八边形和正方形C.正方形和正三角形D.正五边形和正七边形解析：在选项A 中120°+4×60°=360°；在选项B 中135°×2+90°=360°；在选项C 中3×60°+90°×2=360°.故选项A 、B 、C 中的组合都能铺满平面.选项D 中正五边形每个内角均为108°，正七边形每个内角均为（74128）°，无论怎样组合，拼接点处的各角之和都不可能等于360°，故选项D 的组合不能铺满平面.答案：D2.如图7-4-1，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为____________块；当白色瓷砖为n2(n为正整数)块时，黑色瓷砖为____________块.图7-4-1解析：由题图得，当白瓷砖1块时，黑砖为8块，当白砖4块时，黑砖12块=4×2+4(块)，当白砖9块时，黑砖4×3+4=16块，所以当白砖为n2块时，黑砖为4n+4块.答案：16 4n+43.蜜蜂没有学习过镶嵌的理论，但却聪明地营造出最富效率的巢，你能看出蜂巢是如何组成的吗？见图7-4-2.图7-4-2解：都是正六边形的巢口，蜜蜂这个大自然的设计师知道这样的形状比其他形状更节省材料且面积最大.4.小明家刚刚购买了一套新房，准备用地板砖密铺新居地面，要求地板砖都是正多边形，某装饰商店有如下五种型号的地板砖，它们的每个内角度数分别为60°，90°，108°，120°，135°，请你帮小明家选择适用的地板砖，说明理由.解：每个内角度数分别为60°，90°，120°，135°的正多边形适用.理由如下：因为60°，90°，120°都能整除360°，因此每个内角为60°，90°，120°的正多边形地板砖可以铺满平面；又两个135°的角与一个90°的角，可以拼成一个周角，所以每个内角为135°和90°的地板砖也可以铺满平面.5.图7-4-3中的各个图形分别是用哪两种多边形铺满地面的？（只考虑正三角形、正方形、正六边形、正八边形和正十二边形）（1）（2）（3）（4）（5）（6）图7-4-3解：不论是用一种多边形铺满地面，还是用两种多边形铺满地面，都必须在一个顶点处正多边形的内角和为360°.观察题图可知，图（1）（2）是由正三角形与正方形铺满的，图（3）（4）是由正三角形和正六边形铺满的，图（5）（6）是由正方形与正八边形铺满的.6.请用正三角形和正方形尽可能多地设计铺满平面的方案.解：根据铺满平面的条件进行设计.如图（1）（2）（3）（4）所示，30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.用下列同一种多边形不能拼成一个平面图形的个数是（）①三角形②四边形③正五边形④正七边形A.1B.2C.3D.4解析：任意一个三角形、四边形可以进行密铺，仅用正五、七边形不能进行密铺.答案：B2.(2010湖北武汉模拟，3)阳光中学阅览室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地面砖镶嵌地面，在每个顶点的周围正方形、三角形的块数可以分别是（）A.2，2 B.2，3 C.1，2 D.2，1解析：∵选项A中90°×2+60°×2=300°，选项C中90°+60°×2=210°，选项D中90°×2+60°=240°，∴选项A、C、D都不对；只有选项B中90°×2+60°×3=360°，∴应选B.答案：B3.(山东威海模拟，9)用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是（）A.正方形B.正六边形C.正十二边形D.正十八边形解析：因为正三角形、正方形、正六边形、正十二边形的每个内角分别是60°、90°、120°、150°，而若干个90°与若干个60°、若干个120°与若干个60°、若干个150°与若干个60°都可以组成周角，所以正方形、正六边形、正十二边形都可以与正三角形匹配.因为正十八边形的每个内角为160°，而160°与60°无论怎样组合，它们的连接点处各角之和都不是360°，所以应选D.答案：D4.(2010北京海淀模拟，12)如图7-4-4所示的矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形，又能拼成三角形的图形是________________.（请填图形下面的代号）图7-4-4解析：结合实际操作易得到答案.答案：②5.我们常见如图7-4-5所示那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整无隙的地面.请你再画出两个用两种不同的正多边形材料铺成的平面的草图.图7-4-5解：用两种不同的正多边形拼凑起来的地砖铺平面，就必须使在某一点处几块地砖的各角合起来构成360°.下面提供一个解决方案作为参考.如下图.6.如图7-4-6，周长为68 cm的矩形ABCD是由七个相同的小矩形铺满平面而成的，求矩形ABCD的面积.图7-4-6解：设小矩形的宽为x cm，则长为2.5x cm.由题意得2（x+2.5x）+5x×2=68,解得x=4，则小矩形的长为10 cm，宽为4 cm.所以S矩形ABCD=7×10×4=280（cm2）.7.一个六边形的花坛周围用正三角形和正方形的砖块铺路，如图7-4-7，以正六边形花坛为中心向外共铺10层，则铺设整个路面共需要正三角形和正方形的砖块总数为多少？图7-4-7解：图形铺满特点是，正方形铺在六边形的边上，其余的位置用三角形来铺.由图形可知，正方形的砖块仅仅铺在六边形的各边的方向上，所以共需正方形砖块6×10=60块，从六边形的每个角铺去的都是三角形砖块，所以从每个角用去的三角形砖块有1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100块，所以共需三角形砖块600块.所以铺设整个路面共需要正三角形和正方形的砖块总数为660块.8.我们知道，任意四边形的内角和都等于360°，红光木器厂的工人师傅准备用一批形状、大小完全相同，但不规则的四边形边脚余料来铺设地板.你认为工人师傅这样做行吗？请你用一叠白纸剪一些这样的任意四边形拼一拼.（如图7-4-8）图7-4-8解：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个平面图形.因为四边形的内角和是360°，四块形状、大小完全相同，但不规则的四边形按下图就可以拼在一起.下图是用任意的四边形材料拼成的地板示意图.9.如图7-4-9所示，用正五边形的地砖进行铺满平面是无法办到的，你能说出图中空隙是什么图形吗？它的每一个内角各是多少？图7-4-9解：由于正五边形的各边都相等，所以空隙处为菱形.根据图形特点知：“菱形的一个锐角+3个正五边形的内角=360°.”由于正五边形的每个内角为5180)25(︒⨯-=108°，所以菱形的锐角度数为360°-108°×3=36°.所以菱形的钝角的度数为180°-36°=144°.10.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形.（1）请根据下列图形，填写表中空格.图7-4-10（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？答：___________________________________________________.（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由.解析：用不同的正多边形拼凑起来的地砖铺平面，就必须使在某一点处几块地砖的各角合起来构成360°.（1）108° 120° nn ︒∙-180)2( (2)正三角形、正方形、正六边形（3）解：如正方形和正八边形，草图如右图.理由：设在一个顶点周围有m 个正方形的角，n 个正八边形的角，那么，m 、n 应是方程m ·90°+n ·135°=360°的整数解，即2m+3n=8的整数解. 又∵这个方程的整数解只有⎩⎨⎧==2,1n m 一组，∴符合条件的图形只有一种.。
几何图形的镶嵌题目
几何图形的镶嵌题目1. 下列哪种图形不能用来进行平面图形的镶嵌？A. 正三角形B. 正方形C. 圆形D. 菱形2. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间共有几个直角？A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 下列哪种图形可以用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形4. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的边长关系是什么？B. 不相等C. 有的相等，有的不相等D. 无法确定5. 下列哪种图形不能用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形6. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的夹角是多少度？A. 30度B. 60度C. 90度D. 120度7. 下列哪种图形可以用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形D. 菱形8. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的距离是多少？A. 边长B. 边长的倍数C. 边长的平方D. 无法确定9. 下列哪种图形不能用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形10. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的夹角是多少度？A. 30度B. 60度C. 90度D. 120度11. 下列哪种图形可以用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形12. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的距离是多少？A. 边长B. 边长的倍数C. 边长的平方D. 无法确定13. 下列哪种图形不能用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形14. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的夹角是多少度？A. 30度B. 60度C. 90度D. 120度15. 下列哪种图形可以用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形16. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的距离是多少？A. 边长B. 边长的倍数C. 边长的平方D. 无法确定17. 下列哪种图形不能用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形18. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的夹角是多少度？A. 30度B. 60度C. 90度D. 120度19. 下列哪种图形可以用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形20. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的距离是多少？A. 边长B. 边长的倍数C. 边长的平方D. 无法确定21. 下列哪种图形不能用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形22. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的夹角是多少度？A. 30度B. 60度C. 90度D. 120度23. 下列哪种图形可以用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形24. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的距离是多少？A. 边长B. 边长的倍数C. 边长的平方D. 无法确定25. 下列哪种图形不能用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形26. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的夹角是多少度？A. 30度B. 60度C. 90度D. 120度27. 下列哪种图形可以用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形28. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的距离是多少？A. 边长B. 边长的倍数C. 边长的平方D. 无法确定29. 下列哪种图形不能用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形30. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的夹角是多少度？A. 30度B. 60度C. 90度D. 120度31. 下列哪种图形可以用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形32. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的距离是多少？A. 边长B. 边长的倍数C. 边长的平方D. 无法确定33. 下列哪种图形不能用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形34. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的夹角是多少度？A. 30度B. 60度C. 90度D. 120度35. 下列哪种图形可以用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形36. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的距离是多少？A. 边长B. 边长的倍数C. 边长的平方D. 无法确定37. 下列哪种图形不能用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形38. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的夹角是多少度？A. 30度B. 60度C. 90度D. 120度39. 下列哪种图形可以用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形40. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的距离是多少？A. 边长B. 边长的倍数C. 边长的平方D. 无法确定41. 下列哪种图形不能用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形42. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的夹角是多少度？A. 30度B. 60度C. 90度D. 120度43. 下列哪种图形可以用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形44. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的距离是多少？A. 边长B. 边长的倍数C. 边长的平方D. 无法确定45. 下列哪种图形不能用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形46. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的夹角是多少度？A. 30度B. 60度C. 90度D. 120度47. 下列哪种图形可以用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形48. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的距离是多少？A. 边长B. 边长的倍数C. 边长的平方D. 无法确定49. 下列哪种图形不能用来进行平面图形的镶嵌，且镶嵌的每个顶点处都是直角？A. 圆形B. 正三角形C. 正方形D. 菱形50. 在正方形的镶嵌中，相邻的两个正方形之间的夹角是多少度？A. 30度B. 60度C. 90度D. 120度。
八年级2020数学北京课标版平面图形的镶嵌整理练习
八年级数学北京课标版平面图形的镶嵌整理练习1、等于（;）A 答案C 解析2、下列二次根式中，是最简二次根式的是（; 答案B 解析3、分式的最简公分母是（答案A 解析4、如果，那么的值是A．B．C．D．答案D 解析5、下面图形中不是中心对称图形的是答案C 解析6、据新华社2010年2月9日报道：受特大干旱天气影响，我国西南地区林地受灾面积达到43050000亩．用科学计数法答案D 解析7、是一个无理数，则下列判断正确的是（）.A．1lt;-1 答案A 解析8、若a、b为实数，且满足|a－2|＋＝0，则b－a的值为( 答案C 解析9、若正比例函数的图象经过点（，2），则这个图象必经过点（答案D 解析10、（2014?鄂州）近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退答案B 解析试题分析：本题是关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设该厂缴税的年平均增长率为x，那么根据题意可用x表示今年缴税数，然后根据已知可以得出方程．解：如果设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，那么根据题意得今年缴税1500（1+x）2，列出方程为：1500（1+x）2=2160．故选：B．点评：考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．11、已知（2m－3）x2－（2－3m）x=1是关于x的一元一次方程，答案解析八年级数学部审湘教版使用适当的函数表示法不等式组的解集是( )A．B．C．D．答案D 解析在函数y＝中，自变量x的取值范围是;答案D 解析12、下列运算中，不正确的是（;）A．B．C．D．答案D 解析13。
人教版八年级上镶嵌(含答案)
7.4 课题学习镶嵌一、同步练习1．下面的正多边形组合能进行平面镶嵌的是.（1）正三角形与正四边形；（2）正三角形与正六边形；（3）正三角形与正八边形；（4）正三角形与正十边形；（5）正三角形、正四边形、正六边形；（6）正八边形与正四边形.2．如图7.4-1是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙，不重叠的图形的一部分，这种多边形是正边形，它的内角和等于.3．用两个全等的直角三角形一定可以拼成的图形有.（1）平行四边形；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形；（6）等边三角形.4．用正五边形地砖进行镶嵌，空隙处是图形，它的内角度数分别是度. 5．（2008恩施）为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方，政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖，其中不能．．进行平面镶嵌的是（）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形6．下列四种边长均为1的正多边形中，能与边长为1的正三角形作平面镶嵌的是（）正四边形正五边形正六边形正八边形A.4种B.3种C.2种D.1种7．某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是( )A.正方形B.正六边形C.正八边形D.正十二边形8.如图7.4-2，8块相同的长方形地砖拼成了一个矩形（缝隙忽略不计）求每块地砖的长和宽？二、拓展创新9．在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺成美丽的图案.1）请根据图7.4-3填写表格正多边形边数 3 4 5 6 …n正多边形每个内角的度数（2）如限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形.10．小明家买了新房，平面结构如图7.4-4，他们准备把卧室以外的地方铺上地砖（规格是客厅用0.8m×0.8m，每块地砖75元，卫生间和厨房用0.3m×0.3m，每块5元）问买地砖至少要多少钱？11. (2008甘肃)某地板厂要制作一批正六边形形状的地板砖如图7.4-5,为了适应市场多样化需求,要求在地板砖上设计的图案能够把正六边形6等份,请你帮助他们设计等分图案.(至少设计两种)图7.4-5。
第11章 第10课时 镶嵌
第10课时 镶嵌
★一、新课学习
►答案见：D3
单独的正多边形有哪些可以镶嵌的： 正正三三角角形形，，正正四四边边形形，， 正正六六边边形形 ． 用多种正多边形镶嵌的规律：拼接在同一个点的各个角的和恰 好等于 336600°° ．
★二、例变稳中练
►答案见：D3
某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无
(D ) A．正方形
B．正六边形
C．正十二边形
D．正十八边形
★三、四基三级练
►答案见：D3
一级
下列多边形不可以单独进行镶嵌的是( C )
A．正三角形
B．正四边形
C．正五边形
D．正六边形
某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算
购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同
一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是
三级 在下列四组多边形地板砖中： ①正三角形与正方形； ②正三角形与正六边形； ③正六边形与正八边形； ④正八边形与正方形．
将每组中的两种多边形结合，能密铺地面的是 ①①②②④④ ．(填序号)
Байду номын сангаас
用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干 个图案．
(1)第 4 个图案中有白色地砖 1188 块； (2)第 n 个图案中有白色地砖 (4(4nn＋＋22)) 块．
(C ) A．正方形
B．正六边形
C．正八边形
D．正十二边形
二级
一幅美丽的图案，某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌
而成，其中的三个分别为正三边形、正四边形、正六边形，
那么另外一个为( B ) A．正三边形
B．正四边形
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镶嵌问题
判断镶嵌的总原则:任意一个多边形的一个角是N度围绕一点有M个N度的角的和=360度就可以判断能够镶嵌（密铺）。
1.对于只用一种图形进行镶嵌：
（1）、任何一种三角形都能镶嵌，因为三角形的内角和为180度。
（2、）任何一种四边形都能镶嵌，因为任何一种四边形都的内角和为360度。
（3）.对于边数在5以上的多边形，咱们初中阶段只考虑正多边形。
因为多边形的内角和是（边数-2）*180，所以每个内角度数是（边数-2）*180/边数.如果存在正整数M,使M*（边数-2）*180/边数=360.则这种图形能够镶嵌（密铺）.
2、对于两种图形进行镶嵌，初中阶段只考虑正多边形。
首先分别计算两种图形的每个内角的度数（方法同上），分别记为P1、P2，如果存在两个正整数M1和M2，使M1*P1+M2*P2=360，则这两种图形能够镶嵌（密铺），否则不能。
例题一、用正多边形镶嵌，设在一个顶点周围有X个正方形、Y个正八边形，则X、Y的值分别为多少？
解：正方形的一个内角为（4-2）*180/4=90度、记P1=90度
正八边形的一个内角为（8-2）*180/8=135度、记p2=135度
这时要考虑存在两个正整数M1和M2 使MI*P1+M2*P2=360
所以M1=1 M2=2时
1*90+2*135=90+270=360度
∴X=1、y=2
3、如果是三种或三种以上的图形，也可以按照上面的规律判断看能否镶嵌（密铺）。
例题2、一幅图案，在某个顶点处至少用后面两种以上的多边形能够镶嵌成无缝的图形（正三角形、正4边形、正5边形、正6边形、正8边形、正10边形、正12边形）。
解：正三角形的一个内角为60度
正4边形的一个内角为90度
正5边形的一个内角为108度
正6边形的一个内角为120度
正8边形的一个内角为135度
正10边形的一个内角为144度
正12边形的一个内角为150度
情形1、即60+60+90+150=360也就是2个正三角形、1个正4边形和一个正12边形能够镶嵌。
情形2、即120+90+150=360也就是1个正6边形、1个正4边形和一个正12边形能够镶嵌。
情形3、即90+120+150=360也就是1个正4边形、一个正6边形和一个正12边形.
情形4、即60+60+90+150=360也就是2个正三角形、1个正4边形和一个正12边形.
经过组合有上面4种情形.
图形镶嵌复习题
一、填空题
1、
2、当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个
时，就拼成一个平面图形。
3、用一种正多边形铺满整个地面的正多边形只有三种。
二、选择题
4、某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是
A 正方形B正六边形 C 正八边形 D 正十二边形
5、某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是
A 正方形
B 矩形
C 正八边形D正六边形
6、下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是
A、正三角形
B、正五边形
C、正六边形
D、正八边形
三、解答下列问题
7．工人师傅把一批形状、大小完全相同，但不规则的四边形边脚余料用来铺地板，按照下面给出的拼接四边形木块的方法，就可以不留下任何空隙铺成一大片．
(1)请你说出工人师傅之所以能这样拼接的道理．
(2)如果工人师傅手里还有一批形状、大小完全相同，但不规则的三角形边脚余料，那么工人师傅能否用它们拼成平整且无空隙的地板呢?如果可以，请说出你的理由，并将你剪好的一些形状、大小完全相同、但不规则的三角形纸片，贴在下面的空白处(不互相重叠且无空隙)，镶嵌成地板模型．
8．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成一个平面图形．
(1)请根据下列图形，填写表中空格：
(3)不能用正五边形形状的材料铺满地面的理由是什么?
正五边形的地砖会留有不少缝隙
(4)某家庭准备用正三角形与正六边形两种瓷砖结合在一起镶嵌地面，由你帮助设计镶嵌图案，你能设计几种不同的镶嵌方案?
(5)正三角形和正方形组合呢?(画图说明)。