初一数学二元一次方程组的概念及解法

二元一次方程组的概念及解法

中考要求

例题精讲

版块一 二元一次方程（组）的基本概念

☞二元一次方程

1.含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程. 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”； ③含有未知数的项的次数为1——“一次”.

2.二元一次方程的一般形式：0ax by c ++=(0a ≠，0b ≠)

3.二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解.

【例1】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值. 【答案】由定义知：321m -=，11n -=，所以：1m =，2n =.

【巩固】已知方程1

1(2)2m n m x y

m ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值. 【答案】根据题意可得：20m -≠，11n -=，11m -=，所以2n =，0m =. 【例2】 已知2

1x y =⎧⎨=⎩

是方程3kx y -=的解，那么k 的值是（ ）

A.2

B.2-

C.1

D.1-

【答案】A

【巩固】已知2

1x y =⎧⎨=⎩

是方程25x ay +=的解，则a =

【答案】1a =

【例3】 ⑴设x 、y 为正整数，求524x y +=的所有解

⑵设x 、y 为非负整数，求25x y +=的所有解 ⑶设x 为正数，y 为正整数，求36x y +=的所有解

【答案】⑴119x y =⎧⎨=⎩，214x y =⎧⎨=⎩，39x y =⎧⎨=⎩，44x y =⎧⎨=⎩；⑵05x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩，2

1x y =⎧⎨=⎩

，

⑶531x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =⎧⎨=⎩，234x y ⎧

=⎪⎨⎪=⎩，135

x y ⎧=

⎪⎨⎪=⎩

【例4】 若方程24341358m n m n x y --+--=是二元一次方程，则22()()m n m mn n -++的值为 . 【答案】由二元一次方程的概念可列二元一次方程组2413411m n m n --=⎧⎨+-=⎩，解得2

1m n =⎧⎨=-⎩

，

22()()339m n m mn n -++=⨯=.

☞二元一次方程组：

1.由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组.

二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）. 如26

31x x y =⎧⎨-=⎩

也是二元一次方程组.

2.二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数. 【例5】 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）（多选）

A.3257x y xy -=⎧⎨=⎩

B.54x y =⎧⎨=⎩

C.1

345y x

x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ D.270453x y x z -=⎧⎨-=⎩

E.3435x y x y -=⎧⎨+=⎩

F.241241x y x y -=⎧⎨-=⎩

G.4541x z x z -=⎧⎨-=⎩

H.4

23531

x y x x y -=⎧⎪=⎨⎪-=⎩

【解析】区别二元一次方程组的方式，只需要抓住以下几点：①包含2个未知数；②最高次项为1次；整

式方程；与方程的个数，字母的选择没有任何关系。因此B 、E 、F 、G 、H 均为二元一次方程组，很多同学易在F 、G 、H 出错。

【答案】B 、E 、F 、G 、H

【例6】 下列每个方程组后的一对数值是不是这个方程组的解？

⑴1325x y x y +=⎧⎨+=⎩ 10x y =⎧⎨=⎩； ⑵264344x y y x =-⎧⎨=-⎩ 82x y =⎧⎨=⎩； ⑶2783108x y x y -=⎧⎨-=⎩ 65

45x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

【解析】判断一组数是不是方程的解，必须要看它是不是方程组中每个方程的解，如果是，则是方程组的

解，否则，不是方程组的解

【答案】⑴将

1

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

代入方程组中的第二个方程：左边3

=，右边5

=，左边≠右边，∴

1

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

不是第二个

方程的解，从而不是方程组的解

⑵将

8

2

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

方程组中的第一个方程：左边8

=，右边18

=，左边≠右边，∴

8

2

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

不是第一个方

程的解，从而不是方程组的解

⑶将

6

5

4

5

x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=-

⎪⎩

代入方程组中的第一个方程：左边8

=，右边8

=，左边=右边，∴

6

5

4

5

x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=-

⎪⎩

是第一

个方程的解；将

6

5

4

5

x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=-

⎪⎩

代入方程组中的第二个方程：左边

32

5

=-，右边

32

5

=-，左边=右边，

∴

6

5

4

5

x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=-

⎪⎩

是第二个方程的解；∴

6

5

4

5

x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=-

⎪⎩

是原方程组的解

【例7】请以

1

2

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

为解，构造一个二元一次方程组

【解析】本题答案不唯一，很多学生对类似的问题都无从下手，其实此类问题非常简单，构造的方式也多

样，完全可以转化为代数式求值有关的问题，如

2____

2____

x y

x y

+=

⎧

⎨

-=

⎩

，

3____

3____

x y

x y

+=

⎧

⎨

-=

⎩

，

42____

42____

x y

x y

+=

⎧

⎨

-=

⎩

，

因此只需要将

1

2

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

分别代入求值，填入数值即可

【答案】参考答案

3

1

x y

x y

+=

⎧

⎨

-=-

⎩

，其他答案符合条件即可

【巩固】请以

1

3

x

y

=-

⎧

⎨

=

⎩

为解，构造一个二元一次方程组

【答案】参考答案

2

4

x y

x y

+=

⎧

⎨

-=-

⎩

，答案不唯一

版块二二元一次方程组的解法

☞代入消元法

代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得