(全国卷Ⅰ)2020年高考数学压轴卷文(含解析)
2020高考数学新教材全国一卷解答题22、21、20、18押题成功
2020高考数学新教材全国一卷解答题22、21、20、18押题成功
下面是22题：这是解析几何的压轴题
《高考数学核心题型与解题技巧》185页内容：
通过例5知道抛物线上定点张直角的弦过定点，掌握了了垂足M轨迹方程的求法，轨迹是一个圆；通过例6展示了对于椭圆上的定
点张直角的弦也过定点，而且给出了所过定
点的坐标是一个二级结论而且
这一结论有详细的推导过程；下面还有双曲
线对应的相应结论。
下面是21题：这是导数部分的压轴题
《高考数学核心题型与解题技巧》44页内容：
本专题有5个例题，重点是利用这两个不等式进行放缩去解决证明求参问题。
对于立体几何第一问很多同学推导过程的严谨性是是一个失分点！证明l与AD平行是重点，对于该类问题我们早有准备：
《高考数学核心题型与解题技巧》148页
这两个题目的出现绝不是巧合，因为在教学中得到的信息是很多学生不会用相关定理解答此类问题，我们时刻准备着！！！
《高考数学核心题型与解题技巧》228页
在对2016年高考试题进行分析讲解之后，我
后续强调的两个与对数结合取整函数的规律
与结论再次验证了我们对重点核考点的把握！。
2020年高考全国1卷数学试题解析解读分析
2020年高考全国1卷数学试题解析解读分析今年1卷相比19年，在试题结构变化上有所回稳，尤其是19题概率题，导数应用，为增加文理合卷的导向性，导数应用不在函数的复杂度上做文章，常见两个基本初等函数的复合，分析，解题方法多样，常规，个人认为：融入的素材，时政热点，彰显文化等不应作为数学学科关注的焦点，因为这些已是常态，更不是决定学生答题的关注点，作为数学学科领域，我们应该更多的关注试题所体现的改革导向，教学导向，学生发展导向；决定做好这份答卷的着力点依然是在学科核心素养上。
2020年高考数学试题落实立德树人根本任务，贯彻德智体美劳全面发展教育方针，坚持素养导向、能力为重的命题原则，体现了高考数学的科学选拔和育人导向作用。
试题重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，突出对关键能力的考查。
试题展现了我国社会主义建设成就与科学防疫的成果，紧密联系社会实际，设计真实的问题情境，具有鲜明的时代特色。
试卷体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，难度设计科学合理，很好把握了稳定与创新、稳定与改革的关系，对协同推进高考综合改革、引导中学数学教学都将起到积极的作用。
1. 融入的时代素材，时政热点，彰显文化依然作为常态，但这不是作为我们关注的焦点，也不是决定学生能否正确解题的关键。
2. 文理合卷的导向性明显，文理差异大的知识点得到中和1卷概率题，整卷的难度，考点分布得到体现3. 高中数学教育迈向大众化需求，普及的方向，同时兼顾当前的选拔功能整卷考点稳定，仅仅在试题情景上稍作创新、变动，小题与大题的压轴，考查单一，不再具有综合性很强的区分度。
4.坚持探索创新，推进高考内容改革一是考试内容的改革。
2020年是山东、海南实行高考综合改革后的首次高考，数学不分文理科，2021年又将有8个省份使用新高考卷。
过渡时期的数学科考试依据《新高考过渡期数学科考试范围说明》，科学设计考试内容，重点关注实验版高中数学课程标准和2017年版数学课程标准中的公共内容，并将这些内容确定为过渡时期的数学科考试的重点内容。
2024年高考数学(新高考压轴卷)(全解全析)
2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<8．从椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。
压轴题05 立体几何压轴题(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-文)
压轴题05立体几何压轴题题型/考向一：点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积题型/考向二：外接球、内切球等相关问题题型/考向三：平面关系、垂直关系、体积、表面积等综合问题一、空间几何体的体积、表面积热点一空间几何体的侧面积、表面积柱体、锥体、台体和球的表面积公式：(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l).(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l ＋rl).(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.热点二空间几何体的体积柱体、锥体、台体和球的体积公式：(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；Sh(S为底面面积，h为高)；(2)V锥体＝13(S上＋S下＋S上S下)h(S上、S下分别为上、下底面面积，h为高)；(3)V台体＝13(4)V球＝4πR3.3二、外接球、内切球问题类型一外接球问题考向1墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长.长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R.则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝a2＋b2＋c2.常见的有以下三种类型：考向2对棱相等模型对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2(长方体的长、宽高分别为a ，b ，c )，即R 2＝18(x 2＋y 2＋z 2)，如图.考向3汉堡模型汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下，由对称性可知，球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2的连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝h 2，所以R 2＝r 2＋h 24.考向4垂面模型垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O 的位置是△CBD 的外心O 1与△AB 2D 2的外心O 2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝h2，则R＝r2＋h24.类型二内切球问题内切球问题的解法(以三棱锥为例)第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式V P－ABC＝V O－ABC＋V O－P AB＋V O－P AC＋V O－PBC⇒V P－ABC＝13S△ABC·r＋13S△P AB·r＋13S△P AC·r＋13S PBC·r＝13(S△ABC＋S△P AB＋S△P AC＋S△PBC)r；第三步：解出r＝3V P－ABCS△ABC＋S△P AB＋S△P AC＋S△PBC.类型三球的截面问题解决球的截面问题抓住以下几个方面：(1)球心到截面圆的距离；(2)截面圆的半径；(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).三、平行关系和垂直关系的证明、二面角等热点一空间线、面位置关系的判定判断空间线、面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断.(3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.热点二几何法证明平行、垂直1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面○热○点○题○型一点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积一、单选题1．设l ，m 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A ．若//l α，//m α，则//l mB ．若//l α，//l β，则//αβC ．若l α⊥，m α⊥，则//l mD ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ2．将半径为6的半圆卷成一个无底圆锥（钢接处不重合），则该无底圆锥的体积为（）A ．273πB ．27πC ．3πD ．9π3．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线m 、n 分别在平面ABCD 和11ABB A ，且m n ⊥，则下列命题中正确的是（）A ．若m 垂直于AB ，则n 垂直于AB B ．若m 垂直于AB ，则n 不垂直于ABC ．若m 不垂直于AB ，则n 垂直于ABD ．若m 不垂直于AB ，则n 不垂直于AB4．如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓可看作正四棱台，已知该四棱台的上底面边长为40cm ，下底面边长为10cm ，侧棱长为30cm ，则该款粉碎机进物仓的容积为（）A ．32cmB ．386003cmC ．3105002cmD ．33cm5．已知在春分或秋分时节，太阳直射赤道附近.若赤道附近某地在此季节的日出时间为早上6点，日落时间为晚上18点，该地有一个底面半径为4m 的圆锥形的建筑物，且该建筑物在一天中恰好有四个小时在地面上没有影子，则该建筑物的体积为（）A ．643πB ．π3C ．16π3D ．π36．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（）A ．4B 3C D 7．在三棱锥A BCD -中，4AB AC BD CD BC =====，平面α经过AC 的中点E ，并且与BC 垂直，则α截此三棱锥所得的截面面积的最大值为（）A B ．34C 2D ．328．已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为π2，则圆台的高为（）A ．BC ．4D ．二、多选题9．已知平面α，β，直线l ，m ，则下列命题正确的是（）A ．若αβ⊥，,,m l m l αβα⋂=⊥⊂，则l β⊥B ．若l αβα⊂∥，，m β⊂，则//l mC ．若m α⊂，则“l α⊥”是“l m ⊥”的充分不必要条件D ．若m α⊂，l α⊄，则“l α∥”是“l m ”的必要不充分条件10．下列说法正确的是（）A ．若直线a 不平行于平面α，a α⊄，则α内不存在与a 平行的直线B ．若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则αβ∥C ．设l ，m ，n 为直线，m ，n 在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充要条件D ．若平面α⊥平面1α，平面β⊥平面1β，则平面α与平面β所成的二面角和平面1α与平面1β所成的二面角相等或互补三、解答题11．已知直棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且2AB AD BD ===，1AA =，点E 为11B D 的中点．(1)证明：//AE 平面1BDC ；(2)求三棱锥1E BDC -的体积．12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为边长为2的正三角形，D 为BC 的中点，12AA =，且160CCB ∠= ，平面11BB C C ⊥平面ABC .(1)证明：1C D AB ⊥；(2)求三棱锥111B AA C -的体积.○热○点○题○型二外接球、内切球等相关问题一、单选题1．已知ABC 是边长为3的等边三角形，其顶点都在球O 的球面上，若球O 的体积为323π，则球心O 到平面ABC 的距离为（）AB ．32C ．1D ．22．已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 是边长为1的正三角形，侧棱,,PA PB PC 两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）A ．3πB ．πC ．3π4D ．3π23．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为（）A ．103B ．2C ．3D 4．已知圆锥的侧面积为2π，母线与底面所成角的余弦值为12，则该圆锥的内切球的体积为（）A ．4π3B C D 5．如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为A ，圆柱的上、下底面的圆心分别为B 、C ，若该几何体Ω存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知24BC AB ==，则该组合体的体积等于（）A ．56πB ．70π3C ．48πD ．64π6．已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O 的球面上，3AB =，BC =，且四棱锥O ABCD-的体积为，则球O 的表面积为（）A ．76πB ．112πCD 7．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）A ．4B ．2C ．2D ．68．已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在球O 的球面上，2PA BC ==，PB AC ==PC AB =Q 为球O 的球面上一动点，则点Q 到平面PAB 的最大距离为（）A 2211B C 2211D 二、填空题9．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，14AB AC PA AB AC ⊥=+=，，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥-P ABC 外接球的体积为______．10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB BC ==．设D 为1AC 的中点，三棱锥D ABC -的体积为94，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为______．11．如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱111ABC A B C -的体积为___________.12．如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均相等的六边形是某棱锥的侧面展开图，若该六边形的面积为12，则该棱锥的内切球半径为___．○热○点○题○型三平面关系、垂直关系、体积、表面积等综合问题1．已知直棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且2AB AD BD ===，1AA =，点E 为11B D 的中点．(1)证明：//AE 平面1BDC ；(2)求三棱锥1E BDC -的体积．2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 是等边三角形，底面ABCD 是棱长为2的菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，O 是AD 的中点，π3DAB ∠=.(1)证明：OB ⊥平面PAD ；(2)求点O 到平面PAB 的距离.3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为边长为2的正三角形，D 为BC 的中点，12AA =，且160CCB ∠= ，平面11BB C C ⊥平面ABC .(1)证明：1C D AB ⊥；(2)求三棱锥111B AAC -的体积.4．如图1，在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=︒，AB CD ，122AD CD AB ===，E 为AC 的中点，将ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，如图2.在图2所示的几何体D ABC -中：(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD EF ，求几何体F BCE -的体积.5．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为菱形，60BCD ∠=︒，4AB =，EF CD ∥，2EF =，4CF =，点F 在平面ABCD 内的射影恰为BC 的中点G ．(1)求证：平面ACE 平面BED；(2)求该几何体的体积．。
2020年高考数学压轴填空题闯关： 以数列为背景的填空题(解析版+原卷版)
1第六关 以数列为背景的填空题(解析版)【名师综述】数列是高中数学的重要知识，是高中数学中等价转化思想的典型体现．近年来，高考对数列的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显利用数列考查数学能力的价值． 类型一 以数列为载体考查数学思想与方法典例1．【2020江苏常州溧阳期中考试】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=．其中*m N ∈且2m ≥，则m =______．【答案】5 【解析】【分析】设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m ．【详解】因为0m S =，故设()n An n m S =-，因为12m S -=-，13m S +=，(1)(1)2,(1)13A m A m -⋅-=-⎧∴⎨+⋅=⎩，12,513m m m -∴==+，故答案为：5． 【名师点睛】本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少．【举一反三】已知等差数列的通项公式为，前项和为，若不等式恒成立，则的最小值为__________． 【答案】【解析】由题可知： 恒成立，即{}n a n a n =n n S ()()2*13222Nn n S M n a a n ++≤+∈M 6259()()()()()2112232222n n n n n S Mn n +++=⇒≤++2恒成立，设t=n+1，则，因为函数在，，所以，所以M 的最小值是． 类型二 综合考查数列性质典例2．【2020江苏盐城上学期期中考试】若数列{}n a 满足121a a ==，32a =，则数列{}1n n a a +⋅是等比数列，则数列{}n a 的前19项和的值为________．【答案】1534【解析】由于121a a ==，32a =，则数列{}1n n a a +⋅是等比数列，而12231,2a a a a ==，所以17344518194,8,,2a a a a a a ===L ，由此求得456782,4,8a a a a a =====，91011121314151616,32,64,128a a a a a a a a ========，171819256,512a a a ===，所以数列{}n a 的前19项和为11222562565121534+++++++=L ，故答案为：1534．【名师点睛】本小题主要考查根据等比数列求数列的项，考查列举法找数列的规律，属于基础题． 【举一反三】数列为单调递增数列，且 ，则的取值范围是__________．【答案】 【解析】要使数列为单调递增数列，则．当n <4时，必须单调递增，∴2t －3>0，即t >．①．当n ≥4时，也必须单调递增，∴t >1 ②另外，由于这里类似()()1322n Mn n +≤++()()()()21131322311323132n t t n n t t t t t t+===++++++++31t t+(∞）递增()()5667565,6565f f ==<311259324366t t ++≥=6259{}n a ()23814,4,{ log ,4n t t n t n a n n --+<=≥*t N ∈t 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭{}n a 123a a a <<<⋅⋅⋅()23814n a t n t =--+32log n t a n =3于分段函数的增减性，因而，即3(2t －3)－8t ＋14<，化简得＋2t>5；③当时，＋2t >5；当时，＋2t >5；当时，＋2t >5，故③式对任意恒成立，综上，解的取值范围是．类型三 以生成数列为研究对象考查数学能力 典例3．定义nP 1+P 2+．．．+P n 为n 个正数P 1，P 2，．．．，P n 的“均倒数”．若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n+3，又b n =a n +12，则1b 1b 2+1b 2b 3+．．．+1b 9b 10=________．【答案】17【解析】因为数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n+3，所以na1+a 2+⋯+a n=12n+3∴a 1+a 2+⋯+a n =n(2n +3)，当n ≥2时a 1+a 2+⋯+a n -1=(n −1)(2n +1)，作差得a n =4n +1，因为a 1=1×(2×1+3)=5=4×1+1，所以a n =4n +1，b n =a n +12=2n +1，1b 1b 2+1b 2b 3+⋯+1b 9b 10=13×5+15×7+⋯+119×21=12(13−15+15−17+⋯+119−121)=12(13−121)=17．【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如{c a n a n+1} (其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列．裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(n+1)(n+3)或1n(n+2)．典例4．【2020江苏丹靖沭10月联考】已知列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，n *∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，{}n b 的第n a 项等于2n a n =的第n b 项，则()()149161234lg lg b b b b b b b b =___________．【答案】2【解析】{}n b 的第n a 项等于2n a n =的第n b 项即说明22n n a b n n b a b b =⇒=，当1n =时，211b b =；当2n =时，242b b =；当3n =时，293b b =；当4n =时，2164b b =；34a a <log 4t log 4t 322t <≤log 4t 522t <≤log 4t 52t >log 4t 32t >t 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4所以()()()221491612341491612341234=lg lg 2lg b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⇒==，即()()149161234lg 2lg b b b b b b b b =，故填2．【举一反三】已知为数列的前项和，且，若，，给定四个命题①；②；③；④． 则上述四个命题中真命题的序号为____．【答案】②④【解析】构造函数为奇函数，且单调递增，依题意有又，故数列为等差数列，且公差故故①错误；故②正确；由题意知若，则而此时，不成立，故③错误； ，故④成立．即答案为②④．【精选名校模拟】1．【2020江苏昆山调研】正项等差数列{}n a 中，31a =，则2413a a +的最小值为______．【答案】2【解析】由题得24322a a a +==，n S {}n a n ()*112,2m m m a a a m N m -+=+∈≥()()()53222220172201822018a a a -+-+-=()()()53201720172017220172201822018a a a -+-+-=20174034S =20184036S =20172S S <201720a a -<()()5320172018,f x x x x f x =++Q ()()()()22017220172201722018.22018,220,4f a f a f a f a a a -=-=-∴-+-=∴+=()*112,2m m m a a a m N m -+=+∈≥{}n a 0,d ≠()120172017201820172017,4034,2a a a a S +≠=≠()()12018220172018201820184036,22a a a a S ++===()22017201720182018112122,2,0,403644032,,a a d S S a a a S a a ><∴<=-=--=+=+20172S S <24032,a >()()()53222220172201822018a a a -+-+-=220172,2,a a ><∴Q 201720a a -<5所以2424242413131131=()2()()22a a a a a a a a ++⨯⨯=+⨯+⨯=4224131(4)(4222a a a a =++≥+=当且仅当241,3a a =时取等，所以最小值为2+，故答案为：2+．2．【2020江苏昆山调研】设数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2141n n S S n ++=+（n *∈N ），若1n n a a +<，n *∈N ，则12a a ⨯的取值范围为______．【答案】253,8⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】因为2141n n S S n ++=+，214(1)1n n S S n -+=-+，(2)n …把上面的两式相减得，184n n a a n ++=-，18(1)4n n a a n -+=--，(3)n …再把这两个等式相减，得118n n a a +--=，(3)n …，所以数列{}n a 的偶数项是以8为公差的等差数列，从第三项起也是以8为公差的等差数列．若1n n a a +<，*n N ∈恒成立，当且仅当1234a a a a <<<，解得，11322a -<<，即可求出答案．【详解】因为2141n n S S n ++=+，214(1)1n n S S n -+=-+，(2)n …把上面的两式相减得，184n n a a n ++=-，18(1)4n n a a n -+=--，(3)n … 再把这两个等式相减，得118n n a a +--=，(3)n …所以数列{}n a 的偶数项是以8为公差的等差数列，从第三项起也是以8为公差的等差数列． 若1n n a a +<，*n N ∈恒成立，当且仅当1234a a a a <<<，又125a S +=，所以2152a a =-， 所以3211272a a a =-=+，41132a a =-，所以11115272132a a a a <-<+<-，解得，11322a -<<，2121111(52)25a a a a a a =-=-+，113()22a -<<，所以12(3a a ∈-，25]8，故答案为：(3-，25]8．3．【2020江苏苏州五校联考】设公比不为1的等比数列{}n a 满足1231a a a =-，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则数列{}n a 的前4项和为______．6【答案】54【解析】由等比数列的性质可知312321a a a a ==-，21a ∴=-，243,,a a a Q 成等差数列，4232a a a ∴=+，22222a q a a q =+，2210q q ∴--=，解得：1q =（舍）或12q =-， 212a a q ∴==，()4414121121112a q S q⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭54=，故答案为：54． 4．【2020江苏盐城中学月考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____． 【答案】24【解析】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12， 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24．5．【2020江苏常州溧阳期中考试】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第五天走的路程为______里． 【答案】12【解析】设这个人每天走的路程构成等比数列{}n a ，则61378,2S q ==， 所以661161[1()](1)23781112a a q S q --===--，解得：1192a =，所以44511192()122a a q ==⋅=． 故答案为：12．76．【2020江苏沭阳修远中学月考】在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则1a d的值为_______． 【答案】1【解析】设等差数列{a n }的公差为d ≠0，∵a 1，a 3，a 9成等比数列，∴23a =a 1•a 9，∴（a 1+2d ）2＝a 1×（a 1+8d ），解得d ＝a 1，∴11a d=，故答案为1． 7．【2020江苏淮阴中学上学期期中】已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥-，当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --＝3，故答案为：3．8．【2020江苏淮安四校联考】若等比数列{}n a 的前n 项和12n n S c +=+，则c =______．【答案】2-【解析】Q 等比数列{}n a 的前n 项和12n n S c +=+，则114a S c ==+．当2n ≥且n *∈N ，()()11122222n n n n n n n n a S S c c ++-=-=+-+=-=．14a c =+适合2n n a =，则42c +=，解得2c =-，故答案为：2-．9．【2020江苏淮安四校联考】《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两8多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两__________文． 【答案】6【解析】设肉价是每两x 文，由题意得1630818x x -=+，解得6x =，即肉价是每两6文．10．【2020江苏南通调研】已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若32a =，则152a a +的最小值为_____．【答案】【解析】由题意可得，0q >，10a >，2312a a q ==Q ，122a q ∴=， 42151122224a a a a q q q ∴+=+=+2224q q =+≥=2224q q =即142q -=时取等号，故答案为．11．【2020江苏苏州上学期期中考】等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S =_________． 【答案】31【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，48a =，3418a q a ∴==，解得2q =，则前5项和55213121S -==-，故答案为：31．12．【2020江苏苏州上学期期中考】已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为_________． 【答案】9【解析】依题意，等差数列{}n a 各项都为正数，所以370,0a a >>，所以()223737592a a a a a +⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，当且仅当373a a ==时等号成立，故答案为：9． 13．【2020江苏苏州上学期期中考】在等比数列{}n a 中，已知11a =-，427a =，则5a =______．9【答案】-81【解析】由题意341a a q =，3271q =-⨯，3q =-，∴5427(3)81a a q ==⨯-=-，故答案为－81．14．【2020江苏无锡上学期期中考】若数列{}n a 和{}n b 满足21n n b a =-，{}25,9,7,15,35n b ∈---，且数列{}n a 中存在三个数经过适当排列后可以构成公比为()1q q <的等数列，则q =______． 【答案】23-【解析】{}2125,9,7,15,35n n b a =-∈---，则{}12,4,3,8,18n a ∈---， ∵()212818-=⨯，n a 可取18，-12，8这三项，122183q -==-．故答案为23-．15．【2020江苏南京溧水区月考】已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a =，927S =，则1a 的值是____．【答案】5-．【解析】设等差数{}n a 的公差为()d d ≠0，因为2345a a a a =，927S =，所以11111()(2)(3)(4)989272a d a d a d a d a d ++=++⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得15,2a d =-=，故答案为：5-．16．【2020江苏镇江八校联考】已知n S 是等比数列{}n a 前n 项和，若11a =，3520a a +=，则84S S =_________． 【答案】17【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，2424351120a a a q a q q q +=+=+=，解得24q =，或25q =-（舍去），48444(1)17S q S S S +==，故答案为：17． 17．【2020江苏南京海门泗阳联考】已知等差数列{}n a 的公差为2﹣，且245a a a ，，成等比数列，则245a a a ，，10的公比为_____．【答案】12【解析】等差数列{}n a 的公差d 为2﹣，且245,,a a a 成等比数列，可得2425a a a ＝，即()()()211134a d a d a d +=++，即()()()2111628a a a -=--， 解得110a =，则245,,a a a 的公比为4210611022a a -==-，故答案为：12． 18．【2020江苏盐城上学期期中考】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =，且公差d 0≠，则1a d的值为________． 【答案】72-【解析】由于数列{}n a 是等差数列，所以1133510a d a d +=+，即127a d =-，由于0d ≠，所以172a d =-． 故答案为：72-． 19．【2020江苏常州上学期期中考试】已知在等差数列{}n a 中，若34515a a a ++=，则1267a a a a ++++=L ________．【答案】35【解析】由等差数列的性质得，3454415=35a a a a a ++=⇒=， ∴1267a a a a ++++=L 7a 4＝35，故答案为：35．20．【2020江苏常州上学期期中考试】已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①数列{}n a 是等比数列；②数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；③数列(){}2lg na 是等比数列；④数列{}1n n a a+⋅是等比数列．11其中正确命题的序号为________． 【答案】①②④【解析】由{a n }是等比数列可得1nn a a -=q （q 为常数，q ≠0）， ①11n n n n a a a a --==|q |为常数，故是等比数列；11111n n n n a a a q a --==②常数，故是等比数列；③数列a n ＝1是等比数列，但是lga n 2＝0不是等比数列；④1111n n n n n n a a a a a a ++--==q 2为常数，故是等比数列；故答案为：①②④．21．【2020江苏南京9月调研】等差数列｛n a ｝的前n 项和记为n S ，已知147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，若存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有n k S S ≤恒成立，则k 的值为_______． 【答案】20【解析】因为1474399a a a a ++==，所以433a =；因为2585393a a a a ++==，所以531a =； 则5431332d a a =-=-=-，14339a a d =-=， 所以221(1)40(20)4002n n n S a n d n n n -=+=-+=--+，则20n =时，n S 有最大值，即20k =． 22．【2020江苏泰州中学开学考试】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12,a =-2S 是34,S S 的等差中项．设m 是整数，若存在N n +∈，使得等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=成立，则m 的最大值是________． 【答案】16【解析】因为2S 是34,S S 的等差中项，所以34243234322222S S S S S S S a a q +=⇒-=-⇒=-⇒=-，所以()2nn a =-，()1223n n S +---=，12所以等式()31402n n n S a m a m ++⋅+=，化为：()()22240n n m ⎡⎤-+-+=⎣⎦，因此()()()()2216242424nn n nm --==--+-+-+， 因为m 为整数，所以()24161,2,3nn -+≤⇒=， 当1n =时，2482m m -=--+⇒=-； 当2n =时，164428m m -=-+⇒=-； 当3n =时，1684164m m -=--+⇒=-． 从而m 的最大值是16．13第六关 以数列为背景的填空题（原卷版）【名师综述】数列是高中数学的重要知识，是高中数学中等价转化思想的典型体现．近年来，高考对数列的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显利用数列考查数学能力的价值． 类型一 以数列为载体考查数学思想与方法典例1．【2020江苏常州溧阳期中考试】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=．其中*m N ∈且2m ≥，则m =______．【举一反三】已知等差数列的通项公式为，前项和为，若不等式恒成立，则的最小值为__________．类型二 综合考查数列性质典例2．【2020江苏盐城上学期期中考试】若数列{}n a 满足121a a ==，32a =，则数列{}1n n a a +⋅是等比数列，则数列{}n a 的前19项和的值为________．【举一反三】数列为单调递增数列，且 ，则的取值范围是__________．类型三 以生成数列为研究对象考查数学能力 典例3．定义nP 1+P 2+．．．+P n 为n 个正数P 1，P 2，．．．，P n 的“均倒数”．若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n+3，又b n =a n +12，则1b1b 2+1b2b 3+．．．+1b9b 10=________．{}n a n a n =n n S ()()2*13222Nn n S M n a a n ++≤+∈M {}n a ()23814,4,{ log ,4n t t n t n a n n --+<=≥*t N ∈t14典例4．【2020江苏丹靖沭10月联考】已知列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，n *∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，{}n b 的第n a 项等于2n a n =的第n b 项，则()()149161234lg lg b b b b b b b b =___________．【举一反三】已知为数列的前项和，且，若，，给定四个命题①；②；③；④． 则上述四个命题中真命题的序号为____．【精选名校模拟】1．【2020江苏昆山调研】正项等差数列{}n a 中，31a =，则2413a a +的最小值为______．2．【2020江苏昆山调研】设数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2141n n S S n ++=+（n *∈N ），若1n n a a +<，n *∈N ，则12a a ⨯的取值范围为______．n S {}n a n ()*112,2m m m a a a m N m -+=+∈≥()()()53222220172201822018a a a -+-+-=()()()53201720172017220172201822018a a a -+-+-=20174034S =20184036S =20172S S <201720a a -<153．【2020江苏苏州五校联考】设公比不为1的等比数列{}n a 满足1231a a a =-，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则数列{}n a 的前4项和为______．4．【2020江苏盐城中学月考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____．5．【2020江苏常州溧阳期中考试】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第五天走的路程为______里．6．【2020江苏沭阳修远中学月考】在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则1a d的值为_______．7．【2020江苏淮阴中学上学期期中】已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．8．【2020江苏淮安四校联考】若等比数列{}n a 的前n 项和12n n S c +=+，则c =______．9．【2020江苏淮安四校联考】《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两__________文．10．【2020江苏南通调研】已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若32a =，则152a a +的最小值为_____．1611．【2020江苏苏州上学期期中考】等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S =_________．12．【2020江苏苏州上学期期中考】已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为_________．13．【2020江苏苏州上学期期中考】在等比数列{}n a 中，已知11a =-，427a =，则5a =______．14．【2020江苏无锡上学期期中考】若数列{}n a 和{}n b 满足21n n b a =-，{}25,9,7,15,35n b ∈---，且数列{}n a 中存在三个数经过适当排列后可以构成公比为()1q q <的等数列，则q =______．15．【2020江苏南京溧水区月考】已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a =，927S =，则1a 的值是____．16．【2020江苏镇江八校联考】已知n S 是等比数列{}n a 前n 项和，若11a =，3520a a +=，则84S S =_________．17．【2020江苏南京海门泗阳联考】已知等差数列{}n a 的公差为2﹣，且245a a a ，，成等比数列，则245a a a ，，的公比为_____．18．【2020江苏盐城上学期期中考】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =，且公差d 0≠，则1a d的值为________．1719．【2020江苏常州上学期期中考试】已知在等差数列{}n a 中，若34515a a a ++=，则1267a a a a ++++=L ________．20．【2020江苏常州上学期期中考试】已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①数列{}n a 是等比数列；②数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；③数列(){}2lg na 是等比数列；④数列{}1n n a a+⋅是等比数列．其中正确命题的序号为________．21．【2020江苏南京9月调研】等差数列｛n a ｝的前n 项和记为n S ，已知147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，若存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有n k S S ≤恒成立，则k 的值为_______．22．【2020江苏泰州中学开学考试】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12,a =-2S 是34,S S 的等差中项．设m 是整数，若存在N n +∈，使得等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=成立，则m 的最大值是________．。
江苏省2020年高考数学压轴卷(含解析)
江苏省2020年高考数学压轴卷（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：球体的体积公式：V＝334Rπ，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集12{}345U＝，，，，，集合134{}}35{A B＝，，，＝，，则UA B⋂（）ð═．2．已知i是虚数单位，若12i a i a R+∈（﹣)(）＝，，则a＝．3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y的取值范围是．5．已知函数22353log(1)3x xf xx x-⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，若f（m）＝﹣6，则f（m﹣61）＝．6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，则f （76π）的值为 ．8．已知A ，B 分别是双曲线2212x y C m ：-＝的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x ）＝x ，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且23AB ＝，点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则|PA PB |+u u u r u u u r的最小值是 ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝23π，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ．13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =u u u r u u u r，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满足：11414n n n n n E A E D E a B a +=+u u u u r u u u u ru u u u r （﹣）﹣5，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则111a -+211a -+311a -+…+11n a -＝ ．14．已知函数2910(1)e ,023xx x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ； （2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=), （1）求22sin αβ（﹣）的值； （2）求cos α的值．17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝2π，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ． （1）用a ，θ表示S 和T ； （2）设f （θ）＝TS，试求f （θ）的最大值P ；18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221x y C a b：+＝0a b （＞＞）的离心率为22，短轴长为22（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM 面积为23，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）； （Ⅱ）若集合A ＝2，4，8， (2)，求证：(1)()2n n l A -=； （Ⅲ）l A （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡．．．指定区域内．．．．．作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BD CD⊥于点D. 求证：2BC BA BD=⋅．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a bMc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=12N⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()11402MN-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M．C．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2{2x ty t==--（t为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合），圆C的方程为42cos4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求直线l被圆C截得的弦长．D．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z、、，满足3x y z xyz++=，求xy yz xz++的最小值．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。
KS5U2024高考压轴卷——数学(理)(全国甲卷) 含解析
KS5U2024高考压轴卷全国甲卷数学试卷（理工农医类）说明：1．本试卷分第1卷和第11卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．2.本试卷满分150分，120分钟完卷．第1卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．l已知集合A={x l-1釭<s},B ={xE Nly= I o g3(x-2)}，则矿B=（）A.{-1,2,3,4}B.{3,4}C.{3,4,5}D.{2,3}2欧拉公式矿＝cos0+isin0把自然对数的底数e'虚数单位i,cos0和sin0联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z满足(e;•+ i) · z = I + i,则正确的是()A.z的共辄复数为－i C.z的虏部为IB.z的实部为l D.z的模为13在(l+x)3+（l+x)4+(l+x)5的展开式中，含x2项的系数是（） A.16 B.19 C.214已知角a的终边经过点p[A.5－沉B.41而2a＇），则2cos—+sin a= ()4 4 2－而－5C. 5＋而4 4D.24D.扣－545.执行下面的程序框图，输出的s = (I I25 A —B.—1224c.－D .l6已知向量OA=(l,0),08=(1,1),0力坐标原占，6点P(x ,y)满足约束条件{°三OP O A 三1，则O::;;OP-OB::;;2z=x-2y 的最大值为() A.-2B.2C.一3D. 37.2023年7月28日至8月8日，第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行，组委会将5名大学生分配到A,B, C 三个路口进行引导工作，每个路口至少分配一人，每人只能去一个路口若甲、乙要求去同一个路口，则不同的分配方案共有()A. 18种B. 24种C. 36种D.48种8.Cl., 13, y为不同的平面，m,n, I为不同的直线，则m..L0的一个充分条件是A.nJ_a,nJ_/J ，mJ_a c.aJ_y,fJJ_y,mJ_aB.a nr =m ,a .Lr ,fJ.Lr D.a.LfJ,anf]=l,m.Ll9如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y-(单位：小时）与储藏温度x（单位：．C）满足函数关系y = e•x+b (a, b.为常数），若该果蔬在7°C的保鲜时间为288小时，在21·c的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温）最高不能超过()A.l4'CB.l5'Cc.l3.cD.l6'CJO “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为J5，则该多而体外接球的表面积为（A. 8兀C.2兀B. 4亢4D.-nx 2v2II.设凡，F 2是双曲线C—--S,=l(a>O,b >O )的左、右焦点，0是坐标原点，点P 是C上异千实轴a 2 b2 端点的任意一点，若I PF; II PF 21-1 OPl 2= 2a 2，则C的离心率为（）A.石B.五C.3D.212已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且（x-2)[f'(x)-f(x)]>0,/(4-x)=f(x)e七2入．，则不等式e 3/(I n x )＜寸(3)的解集是（）A.(0,e 3)B.(l,e 3)C.(e 心）D.(e3，叫第11卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上．13.已知f(x)=x 2+1为偶函数，则a=(3x+2)(x-a)14已知丛ABC 的三边长AB =4cm, BC = 2cm ,A C = 3cm ,则丛ABC 的面积为cm 215.已知两点M(-1,0),N(l,0),若臼线x-y+m=O 上存在唯一点P 满足PM -PN=O ,则实数m 的值为16已知F为抛物线C:x2=4y的焦点，过点F的直线／与抛物线C相交千不同的两点A、B,若抛物线C4的最小值为在A、B两点处的切线相交千点P,则IPFl2＋了了三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17已知S,，为各项均为正数的数列{a,，｝的前n项和lZi E (0, 2), a: + 3a,, + 2 = 6S,,(l)求{a,,}的通项公式；(2)设九＝，数列｛丸｝的前，i项和为兀，若对VnEN.，区4T,，恒成立，求实数t的最大值a,,a,i+118某公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收渠并整理了近6个月广告投入量x（单位：万元）和收益}{单位：万元）的数据如表（其中有些数据污损不清）：月份I23456广告投入侵 2 7 8 lO收益20 30 34 37他们分别用两种模型＠y = b x+ a, ® y = ae 1,'进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值．8 6 4残差残差图｀2 -－ － i -－一疗3 _ ｀、,4-－ － 5-－ － －6 -－ － －。
2023高考压轴卷——数学(文)(全国乙卷)含解析
KS5U2023全国乙卷高考压轴卷数学试题（文科）（考试时间：120分钟满分：150分）第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{1,0,1,2,3}M =-，{R |1}N x x =∈>，则下面Venn 图中阴影部分表示的集合是（）A.(,1)-∞B.(,1]-∞C.{1,0}- D.{1,0,1}-2.设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（）A.B.4C.D.3.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>0y ±=，则双曲线的离心率为（）A.B.4C.2D.154.考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在20世纪30年代提出，其内容是：任意给定正整数s ，如果s 是奇数，则将其乘3加1；如果s 是偶数，则将其除以2，所得的数再次重复上面步骤，最终都能够得到1．下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入s 的值为5，则输出i 的值为（）A.4B.5C.6D.75.若1:310l x my --=与23(2)31:0m x l y +-+=是两条不同的直线，则“1m =”是“12l l ∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，*n ∈N ，若1020S =，则56a a +=（）A ．0B ．2C ．4D ．87.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（）A.16B.14C.13D.128.已知角π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，角()0,2πα∈，α终边上有一点()cos ,cos θθ，则α=（）．A.θB.π2θ+ C.π4D.5π49．已知函数()e xf x x =，若()12f x ax a ≥-恒成立，则实数a 的最大值为（）A ．121e 2-B ．e 1+C ．2eD ．e 4+10.抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交抛物线C 的准线l 于M ，N 两点，MN =，则直线AF 的斜率为（）A.1±B.C.D.11.设5log 15a =，7log 21b =，252c =，则（）A.b a c << B.c<a<b C.c b a<< D.a c b<<12.在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，12AB AC AA ===，P 为该三棱柱表面上一动点，若1CP B P =，则P 点的轨迹长度为（）A. B.C.D.第II 卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把KS5U 答案填在答题卡上的相应位置．13.已知向量()1,2AB =-，()2,5B t t C =+ ，若A 、B 、C 三点共线，则t =_____．14.如图，圆柱1OO 的轴截面是正方形，AB 是底面圆的直径，AD 是母线，点C 是AB 的中点，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为________．15.已知数列{}n a 前n 项和22n n n S +=，记2n an b =，若数列{}n a 中去掉数列{}n b 中的项后，余下的项按原来顺序组成数列{}n c ，则数列{}n c 的前50项和为________．16.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数图象关于直线2x =对称，对x ∀∈R ，()()22f x f ≤=，则以下结论：①()4f x +为奇函数；②()2f x +为偶函数；③()42f =-；④在区间()2,0-上，()f x 为增函数．其中正确的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.《中国统计年鉴2021》数据显示，截止到2020年底，我国私人汽车拥有量超过24千万辆．下图是2011年至2020年十年间我国私人汽车拥有量y（单位：千万辆）折线图．（注：年份代码1-10分别对应年份2011-2020）（1）由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于t 的线性回归方程（系数精确到0.01），并预测2022年我国私人汽车拥有量．参考数据：15.5y =，()()101160.1i i i tty y =--=∑，()1021311.4i i y y =-=∑，()102182.5i i t t=-=∑，159.8≈160.3≈．参考公式：相关系数()()nii tty y r --=∑，线性回归方程ˆˆˆy bt a =+中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆnnii i i i i nni ii i tty y t y ntybt t tnt====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bt=-．18.已知函数()()2ππ2sin sin cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的对称中心及最小正周期；（2）若π3π,88θ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()65f θ=，求tan θ的值．19.如图，在矩形ABCD 中，2AB AD ==M 为边AB 的中点，以CM 为折痕把BCM 折起，使点B 到达点P 的位置，使得3PMB π∠=，连结PA ，PB ，PD ．（1）证明：平面PMC ⊥平面AMCD ；（2）求点M 到平面PAD 的距离．20.已知函数2()sin 1,f x x a x a R =--∈．（1）设函数()()g x f x '=，若()y g x =是区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数，求a 的取值范围；（2）当2a =时，证明函数()f x 在区间(0,)π上有且仅有一个零点．21.已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点E 在C 上，以点E 为圆心，EF 为半径的圆的最小面积为π．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点F 的直线与C 交于M ，N 两点，过点M ，N 分别作C 的切线1l ，2l ，两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程．请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2(0)cos 2,a a R ρθρ=>∈．（1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线()4R πθρ=∈与直线l 交于点M ，直线()6R πθρ=∈与曲线C 交于点,A B ，且AM BM ⊥，求实数a 的值．选修4-5：不等式选讲23.已知函数()221f x x x =-++．（1）求函数()f x 的最小值；（2）设0a >，0b >，若()f x 的最小值为m ，且221a b m +=-，求2a b +的最大值．【KS5U 答案1】D【分析】根据Venn 图，明确阴影部分表示的集合的含义，即可求得KS5U 答案.【KS5U 解析】由题意,可知Venn 图中阴影部分表示的集合是(){1,0,1}U M N =- ð,故选：D 【KS5U 答案2】A【分析】由复数的四则运算结合几何意义得出||z .【KS5U 解析】224i 4i 14i,||ii i z z --+===-+=-A 【KS5U 答案3】B【分析】求出ba的值，利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率的值.【KS5U 解析】双曲线的渐近线方程为b y x a=±=，所以，ba =，因此，该双曲线的离心率为4e ===.故选：B.【KS5U 答案4】B【分析】根据程序框图列举出算法循环的每一步，即可得出输出结果.【KS5U 解析】第一次循环，15Z 22s =∈不成立，35116s =⨯+=，011i =+=，1s =不成立；第二次循环，18Z 2s =∈成立，11682s =⨯=，112i =+=，1s =不成立；第三次循环，14Z 2s =∈成立，则1842s =⨯=，213i =+=，1s =不成立；第四次循环，12Z 2s =∈成立，则1422s =⨯=，314i =+=，1s =不成立；第五次循环，11Z 2s =∈成立，则1212s =⨯=，415i =+=，1s =成立.跳出循环体，输出5i =.故选：B.【KS5U 答案5】C【分析】由题意解出12l l ∥时m 的值后判断【KS5U 解析】若12l l ∥，则3(3)3(2)m m ⨯-=-⨯+，解得1m =或3m =-而3m =-时，12l l ,重合，故舍去则“1m =”是“12l l ∥”的充要条件。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(全国卷1,含解析)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试课标1理科数学2020年全国1高考数学与2020全国1高考数学难度方面相对持平，在选择题和填空题方面难度有所提升，解答题方面难度有所减缓.在保持稳定的基础上，进行适度创新，尤其是选择填空压轴题.试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础性的考查，同时加大了综合性、应用性和创新性的考查，如理科第2、3、10、11、12、16、19题，文科第2、4、9、12、19题.1.体现新课标理念，重视对传统核心考点考查的同时，增加了对数学文化的考查，如理科第2题，文科第4题以中国古代的太极图为背景，考查几何概型.2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求.3.考查了数学思想、数学能力、数学的科学与人文价值，体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的精神.如理科第6、10、13、15题，文科第5、12、13、16题对数形结合思想的考查；理科第11，文科第9题对函数与方程思想的考查；理科第12、16题对数学的科学与人文价值的考查.4.体现了创新性，如理科第19题，文科第19题立意新、情景新、设问新，增强了学生数学应用意识和创新能力.命题趋势：（1）函数与导数知识：以函数性质为基础，考查函数与不等式综合知识，如理科第5题，；以基本初等函数为背景考查构造新函数解决比较大小问题，如理科第11题；对含参单调性以及零点问题的考查，如理科21题，比较常规.（2）三角函数与解三角形知识：对三角函数图像与性质的考查，如理科第9题；；对解三角形问题的考查，如理科第17题.重视对基础知识与运算能力的考查.（3）数列知识：对数列性质的考查，如理科第4题；突出了数列与现实生活的联系，考查学生分析问题的能力，如理科第12题，难点较大.整体考查比较平稳，没有出现偏、怪的数列相关考点.（4）立体几何知识：对立体几何图形的认识与考查，如理科第7题，试题难度不大，比较常规；对简单几何体的体积知识的考查，如理科第16题，用到函数知识进行解决，体现了综合性，难度较大，立体几何解答题的考查较常规，如理科对二面角的考查.（5）解析几何知识：对圆锥曲线综合知识的考查，如理科第15题，难度偏大；解答题考查较为常规，考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度中等，重视对学生运算能力的考查.【试卷解析】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B =R U C ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I【答案】A2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B 【解析】试题分析：设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，则正方形的面积为2a ，圆的面积为24a π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221248a a ππ⋅=，选B. 秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率1142p <<，故选B.【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】试题分析：设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.秒杀解析：因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x ⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C. 【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好2x 的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B8．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1B．A>1 000和n=n+2C．A≤1 000和n=n+1D．A≤1 000和n=n+2【答案】D9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =，再将曲线向左平移12π个单位得到2C ，故选D. 【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sin cos(),cos sin()22ππαααα=-=+；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A2222||sin cos()2p pDE παα==-，所以22222211||||4()cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+ 2222222211sin cos 4()(cos sin )4(2)4(22)16cos sin cos sin αααααααα=++=++≥⋅+=11．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】试题分析：由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -LL L则该数列的前(1)122k k k ++++=L 项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭L L 要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k +L 的部分和，即1212221t t k -+=+++=-L ，所以2314tk =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 对应满足的最小条件为293054402N ⨯=+=，故选A. 【考点】等差数列、等比数列的求和.【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . 【答案】2314．设x，y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y=-的最小值为.【答案】5-15．已知双曲线C：22221x ya b-=（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.23【考点】双曲线的简单性质.【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc.16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】415【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.【考点】三角函数及其变换.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A -PB -C 的余弦值.则3cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.969.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，161622221111()(16)0.2121616i ii i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=，0.0080.09≈．试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-=.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.20.（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，24t -，（t ，24t -）. 则221242421t t k k ---++==-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简. 21.（12分）已知函数2()(2)x xf x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 17 a.【解析】试题分析：（1）先将曲线C 和直线l 化成普通方程，然后联立求出交点坐标；（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点(3cos ,sin )θθ，l 的距离为17d =.对a 进行讨23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│.（1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.【解析】试题分析：（1）将1a =代入，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤，对x 按1x <-，11x -≤≤，1x >讨论，得出最值的解集；（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，。
2020年新高考全国Ⅰ卷(山东卷)数学第21题解法研究——同构放缩携起手导数不等式难题不再有
２０２０年新高考全国Ⅰ卷(山东卷)数学第２１题解法研究同构放缩携起手导数不等式难题不再有高振宁(山东省新泰市第一中学㊀２７１２００)摘㊀要:本文通过对２０２０年高考数学山东卷第２１题解法的探研ꎬ从命题人的角度来反思问题解决的方法ꎬ发现放缩法㊁隐零点法㊁同构法放缩法㊁分而治之法之间的联系与区别ꎬ得出导数解决高考数学中函数与导数压轴题的基本途径ꎬ旨在高中导数与函数复习中提高实效.关键词:导数与单调性ꎻ同构与放缩ꎻ分而治之ꎻ隐零点中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００２６－０２收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:高振宁(１９８３.４－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀原题再现㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ.(１)当ａ＝ｅ时ꎬ求曲线ｙ＝ｆ(ｘ)在点(１ꎬｆ(１))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积ꎻ(２)若ｆ(ｘ)ȡ１ꎬ求ａ的取值范围.解㊀(１)略.(２)方法一(隐零点法):由ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１－１ｘꎬ显然ａ>０.设ｇ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１＋１ｘ２>０ꎬ所以ｇ(ｘ)在０ꎬ＋¥()上单调递增ꎬ即ｆᶄ(ｘ)在０ꎬ＋¥()上单调递增.当ａ＝１时ꎬｆᶄ(１)＝０ꎬ当ｘɪ(０ꎬ１)ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬｆ(ｘ)在０ꎬ１()上是减函数ꎻｘɪ(１ꎬ＋¥)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬｆ(ｘ)在(１ꎬ＋¥)上是增函数.ʑｆ(ｘ)ｍｉｎ＝ｆ(１)＝１ꎬ故ｆｘ()ȡ１恒成立.当ａ>１时ꎬ１ａ<１ꎬ所以ｅ－１<１ꎬｆᶄ(１ａ)ｆᶄ(１)＝ａ(ｅ－１－１)(ａ－１)<０ꎬ故存在唯一ｘ０>０ꎬ使得ｆᶄ(ｘ０)＝ａｅｘ－１－１ｘ０＝０ꎬ且当ｘɪ(０ꎬｘ０)时ｆᶄ(ｘ)<０ꎬ当ｘɪ(ｘ０ꎬ＋¥)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ所以ａｅｘ－１＝１ｘ０ꎬ即ｌｎａ＋ｘ０－１＝－ｌｎｘ０.因此ｆ(ｘ)ｍｉｎ＝ｆ(ｘ０)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ０＋ｌｎａ＝１ｘ０＋ｌｎａ＋ｘ０－１＋ｌｎａȡ２ｌｎａ－１＋２１ｘ０ｘ０＝２ｌｎａ＋１>１ꎬ所以ｆ(ｘ)ȡ１恒成立.当０<ａ<１时ꎬｆ(１)＝ａ＋ｌｎａ<ａ<１ꎬʑｆ(１)<１ꎬｆ(ｘ)ȡ１不恒成立.综上所述ꎬ实数ａ的取值范围是[１ꎬ＋ɕ).方法二(放缩法):当０<ａ<１时ꎬｆ(１)＝ａ＋ｌｎａ<１.当ａ＝１时ꎬｆ(ｘ)＝ｅｘ－１－ｌｎｘꎬｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ－１－１ｘꎬ显然ｆᶄ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上是增函数.当ｘɪ(０ꎬ１)时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬｆ(ｘ)在(０ꎬ１)上是减函数ꎻｘɪ(１ꎬ＋¥)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬｆ(ｘ)在(１ꎬ＋¥)上是增函数.所以ｆ(ｘ)最小值＝ｆ(１)＝１ꎬ从而ｆ(ｘ)ȡ１恒成立ꎬ当ａ>１时ꎬｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡｅｘ－１－ｌｎｘꎬ由ａ＝１的结论可知ｆ(ｘ)＝ｅｘ－１－ｌｎｘȡ１恒成立.综上可知:ａ的取值范围是１ꎬ＋¥[).方法三(同构函数ｙ＝ｅｘ＋ｘ):显然ａ>０ꎬａ＝ｅｌｎａꎬ则ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ＝ｅｌｎａ＋ｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡ１ꎬ等价于ｅｌｎａ＋ｘ－１＋ｌｎａ＋ｘ－１ȡｌｎｘ＋ｘ＝ｅｌｎｘ＋ｌｎｘ.令ｇｘ()＝ｅｘ＋ｘꎬ上述不等式等价于ｇ(ｌｎａ＋ｘ－１)ȡｇ(ｌｎｘ).显然ｇ(ｘ)为Ｒ上的单调增函数ꎬ故ｌｎａ＋ｘ－１ȡｌｎｘꎬ即ｌｎａȡｌｎｘ－ｘ＋１.令ｈ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘ＋１ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝１ｘ－１＝１－ｘｘꎬ在(０ꎬ１)上ｈᶄ(ｘ)>０ꎬｈ(ｘ)是增函数ꎻ在(１ꎬ＋¥)上ｈᶄ(ｘ)<０ꎬｈ(ｘ)是减函数.ʑｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ(１)＝０ꎬ则ｌｎａȡ０ꎬ即ａȡ１ꎬ即ａ的取值范围是[１ꎬ＋ɕ).方法四(同构函数ｙ＝ｘｅｘ):因ｆ(１)＝ａ＋ｌｎａȡ１ꎬ设ｇ(ａ)＝ａ＋ｌｎａꎬ显然ｙ＝ｇ(ａ)在区间０ꎬ＋¥()上是增函数ꎬｇ(ａ)ȡｇ(１)＝１ꎬ故ａȡ１.ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡ１ꎬ得ａｅｘ－１ȡｌｎｅｘａ⇔ｅｘȡｅａｌｎｅｘａ⇔ｘｅｘȡｅｘａｌｎｅｘａ.显然ｘ>０ꎬｅｘａ＝ｅｌｎ(ｅ/ａ)ꎬ则原不等６２式等价于ｘｅｘȡｌｎｅｘａｅｌｎ(ｅ/ａ).设ｇ(ｘ)＝ｘｅｘꎬ显然ｇ(ｘ)在０ꎬ＋¥()上是增函数ꎬ则上述不等式等价于ｇ(ｘ)ȡｇ(ｌｎｅｘａ).当ｌｎｅｘａ<０时ｇ(ｘ)>０ꎬｇ(ｌｎｅｘａ)<０ꎬ显然ｇ(ｘ)ȡｇ(ｌｎｅｘａ)成立ꎻ当ｌｎｅｘａ>０时ꎬ原不等式等价于ｘȡｌｎｅｘａꎬ由于ｅｘȡ１＋ｘꎬ且ａȡ１则可得ｅｘ－１ȡｘȡｘａꎬ故ａ的取值范围是１ꎬ＋¥[).方法五(同构函数ｙ＝ｘｌｎｘ):同方法四可得ｘｅｘȡｅｘａｌｎｅｘａꎬ即ｅｘｌｎｅｘȡｅｘａｌｎｅｘａ.设ｇ(ｘ)＝ｘｌｎｘꎬ则上述不等式等价于ｇ(ｅｘ)ȡｇ(ｅｘａ).ｇᶄ(ｘ)＝ｌｎｘ＋１ꎬｇ(ｘ)在０ꎬ１ｅæèçöø÷上是减函数ꎬ在(１ｅꎬ＋¥)上是增函数.当ｅｘａ<１时ꎬｇ(ｅｘ)>０ꎬ而ｇ(ｅｘａ)<０ꎬ显然有ｇ(ｅｘ)ȡｇ(ｅｘａ)成立ꎻ当ｅｘａȡ１>１ｅ时ꎬ不等式ｇ(ｅｘ)ȡｇ(ｅｘａ)⇔ｅｘȡｅｘａ⇔ｅｘ－１ȡｘａ.以下同方法四.方法六(分而治之法):ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡ１⇔ａｅｘ－１ȡｌｎｅｘａ⇔ａｅｘｅȡｌｎｅｘａ⇔ａｅˑｅｘｘȡｌｎｅｘａｅｘａˑｅａ.ａｅˑ(ｅｘｘ)ｍｉｎȡ(ｌｎｅｘａｅｘａ)ｍａｘˑｅａ.设ｇ(ｘ)＝ｅｘｘꎬｘ>０ꎬｇᶄ(ｘ)＝(ｘ－１)ｅｘｘ２ꎬ易知ｇ(ｘ)＝ｅｘｘ在０ꎬ１()上是减函数ꎬ在１ꎬ＋¥()上是增函数ꎬ故ｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｇ(１)＝ｅ.设ｈ(ｘ)＝ｌｎｘｘ(ｘ>０)ꎬｈᶄ(ｘ)＝１－ｌｎｘｘ２ꎬ易知ｈ(ｘ)＝ｌｎｘｘ在(０ꎬｅ)上是增函数ꎬ在(ｅꎬ＋¥)上是减函数ꎬ故ｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ(ｅ)＝１ｅꎬ则知(ｌｎｅｘａｅｘａ)ｍａｘ＝１ｅꎬ则ａȡ１ａꎬ故ａ的取值范围是１ꎬ＋¥[).从解决问题方法的角度看ꎬ隐零点法是解决问题的一般性通法ꎬ但是此种方法需要强大的计算能力作为基础ꎬ特别是在利用ａｅｘ－１＝１ｘ０进行代换得到ｌｎａ＋ｘ０－１＝－ｌｎｘ０的这种思路ꎬ应该作为一种基本的解决导数不等式压轴题的基本思路进行培养.放缩法是山东省教育招生考试院给出的官方答案ꎬ此种办法的优点是ꎬ计算量不是大ꎬ借助分类讨论思想ꎬ利用特殊点明确参数的范围进而证明此范围符合题意ꎬ但是在实际的教学中ꎬ新教材已经把分析法和综合法等不等式证明方法删除ꎬ学生证明不等式能力较弱的情况下掌握放缩法不易ꎬ这就需要教师在教学中渗透不等式的证明方法.为了突破这个教学难点ꎬ笔者认为可以利用具体的证明方法ꎬ而不用过多的纠缠这种方法的具体含义和要求ꎬ比方说把 执果索因 给学生讲解成 把结论等价变形成能解决问题的形式 ꎬ在教学的实践中怎么充实这一点ꎬ还需要不断的在实际中摸索与探究.方法三㊁四㊁五可以归结成同构法ꎬ同构法的本质是构造目标函数ꎬ借助目标函数单调性把复杂函数简单化递减ꎬ比方说若Ｆ(ｘ)ȡ０能等价变形为Ｆ(ｆ(ｘ))ȡＦ(ｇ(ｘ))ꎬ若Ｆ(ｘ)递增ꎬ则问题转化为ｆ(ｘ)ȡｇ(ｘ)ꎬ若Ｆ(ｘ)递减ꎬ则问题转化为ｆ(ｘ)ɤｇ(ｘ).此类方法的关键是构造目标函数ꎬ高考压轴题中的构造常见形式可分为两类:(１)ａｅａɤｂｌｎｂ可以同构ａｅａɤｌｎｂｅｌｎｂꎬ借助函数ｆ(ｘ)＝ｘｅｘ解决ꎬ也可以同构ｅａｌｎｅａɤｂｌｎｂꎬ借助ｆ(ｘ)＝ｘｌｎｘ解决ꎬ更可以同构为ｌｎａ＋ａɤｌｎｂ＋ｌｎ(ｌｎｂ)ꎬ借助ｆ(ｘ)＝ｘ＋ｌｎｘ解决.(２)ｅａａɤｂｌｎｂ可以同构ｅａａɤｅｌｎｂｌｎｂꎬ借助函数ｆ(ｘ)＝ｅｘｘ解决ꎬ也可以同构为ｅａｌｎｅａɤｂｌｎｂꎬ借助函数ｆ(ｘ)＝ｘｌｎｘ解决ꎬ更可以同构ａ－ｌｎａɤｌｎｂ－ｌｎ(ｌｎｂ)ꎬ借助函数ｆ(ｘ)＝ｘ－ｌｎｘ解决.当然ꎬ用同构法解题ꎬ除了要有同构法的思想意识外ꎬ对观察能力㊁对代数式的变形能力的要求也是比较高的.但是笔者认为ꎬ利用同构法可以最接近命题者的原始创作方向ꎬ此题目设计思路的开始点应该是ｅｘȡｅｘａ.正所谓ꎬ同构新天地ꎬ放缩大舞台!方法六属于解决问题的巧妙方法ꎬ不属于通性解法ꎬ一般情况下ｆ(ｘ)ȡｇ(ｘ)不等价于ｆ(ｘ)ｍｉｎȡｇ(ｘ)ｍａｘꎬ但是对于极个别的问题ꎬ利用上分而治之的方法ꎬ会极大地降低运算程度ꎬ但是构造不等式两侧的目标函数有一定的技巧性ꎬ学生不易掌握.㊀㊀参考文献:[１]陈永清.轻松快捷巧记高中数学知识与解题方法[Ｍ].长沙:湖南师范大学出版社ꎬ２０２０:４２－４７.[责任编辑:李㊀璟]７２。
2020年浙江省高考数学压轴试卷(含答案解析)
2020年浙江省高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，集合0，1，2，，则A. B. 1， C. 0， D. 0，1，2.复数的共轭复数是A. B. C. D.3.记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 84.底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是A.B. 8C.D.5.若实数x，y满足不等式组，则A. 有最大值，最小值B. 有最大值，最小值2C. 有最大值2，无最小值D. 有最小值，无最大值6.“”是“直线和直线互相垂直”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.函数其中e为自然对数的底数的图象大致为A. B.C. D.8.已知a，，且，则A. B. C. D.9.设是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，M为PC中点，过AM作平面AEMF与线段PB，PD分别交于点E，可以是线段端点，则四棱锥的体积的取值范围为A. B. C. D.10.若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是A. B.C. 或D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.九章算术中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺．12.二项式的展开式中常数项为______所有项的系数和为______．13.设双曲线的半焦距为c，直线l过，两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为______；渐近线方程为______．14.已知函数，若，则实数______；若存在最小值，则实数a的取值范围为______．15.设向量，，满足，，，若，则的最大值是______．16.某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是______．17.已知函数，若在区间上方程只有一个解，则实数m的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数．求的单调递增区间；当时，求的值域．19.如图，四棱柱的底面ABCD是菱形，，底面ABCD，．求证：平面平面；若，求OB与平面所成角的正弦值．20.等比数列的各项均为正数，且，．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．21.已知抛物线上的两个动点和，焦点为线段AB的中点为，且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8．求抛物线的标准方程；若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求面积的最大值．22.已知函数．Ⅰ若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；Ⅱ若函数有两个不同的零点，，求实数a的取值范围；求证：其中为的极小值点-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用，属基础题．先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出．【解答】解：集合，0，1，2，，0，．故选C．2.答案：A解析：解：复数的共轭复数．故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查等差数列通项公式及等差数列求和的基本量运算，属于简单题．利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的公差．【解答】解：为等差数列的前n项和，设公差为d，，，解得，，的公差为4．故选C．4.答案：C解析：解：根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为，高为；所以该四棱锥的体积是．故选：C．根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．5.答案：C解析：解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；设，则直线是一组平行线；当直线过点A时，z有最大值，由，得；所以z的最大值为，且z无最小值．故选：C．画出不等式组表示的平面区域，设，则直线是一组平行线，找出最优解，求出z有最大值，且z无最小值．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．6.答案：C解析：解：“”时，直线为，和互相垂直，充分条件成立；“直线和直线互相垂直”，两线斜率乘积为，，所以“”，必要条件成立，因而是充分必要条件．故选：C．验证比较易，对于只须两线斜率乘积为即可．本题主要考查直线与直线垂直的判定，以及充要条件，是基础题目．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特殊值法进行排除是解决本题的关键，属于基础题．根据函数值的符号是否对应，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当时，，则；当时，，则，所以的图象恒在x轴下方，排除B，C，D，故选A．8.答案：C解析：解：设，由指数函数的性质知，函数为R上的减函数，又，故．故选：C．由不等式的性质及指数函数的图象及性质直接判断得解．本题考查不等式的性质及指数函数的图象及性质，属于基础题．9.答案：B解析：解：为了建立四棱锥的体积与原三棱锥的体积的关系，我们先引用下面的事实，如图设，，分别在三棱锥的侧棱SA，SB，SC上，又与的体积分别为和V，则事实上，设C，在平面SAB的射影分别为H，，则又所以下面回到原题：设，的体积，于是由上面的事实有：，得：，于是，而由，，得，则，又得，所以，当时，，V为减函数，当时，，V为增函数所以得：，又，得，故答案为，故选：B．由三棱锥被截四面体的体积与原四棱锥的体积的结论，转化到本题中，进而转化成函数求最值问题，求导分析单调性后即可求得最值，本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度较大10.答案：D解析：【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题．由题意可得可以看作点P到直线m：与直线l：距离之和的5倍，，根据点到直线的距离公式解得即可．【解答】解：设，故可以看作点P到直线m：与直线l：距离之和的5倍，取值与x，y无关，这个距离之和与P无关，如图所示：当圆在两直线之间时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，此时与x，y的值无关，当直线m与圆相切时，，化简得，解得或舍去，．故选：D．11.答案：165解析：解：设该女子每天的织布数量为，由题可知数列为公比为2的等比数列，设数列的前n项和为，则，解得，所以，．故答案为：，165．设该女子每天的织布数量为，由题可知数列为公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式以及前n项和公式即可求解．本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题．12.答案：5 32解析：解：展开式的通项为：，令，解得，所以展开式中的常数项为：．令，得到所有项的系数和为．故答案为：5，32．利用展开式的通项公式可得展开式中的常数项；令，得到所有项的系数和．本题考查了二项式的展开式的通项公式及其性质、方程的解法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.答案：2解析：解：由题可设直线l方程为：，即，则原点到直线的距离，解得，两式同时平方可得，又，代换可得，展开得：，同时除以得：，整理得，解得或4，又，所以，所以；，所以渐近线方程为：．故答案为：2；．利用已知条件结合点到直线的距离，求出a，b，c关系，然后求解离心率，然后求解渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，考查计算能力．14.答案：解析：解：，，，．易知时，；又时，递增，故，要使函数存在最小值，只需，解得：．故答案为：，．根据题意列出关于a的方程即可；在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．本题考查分段函数的值域的求法．分段函数问题本着先分段研究，再综合的原则解决问题，属于基础题．15.答案：解析：解：，，，，不妨设，，，，，，表示线段上的点到圆的距离，在直角坐标系中画出线段线段和圆，如下：由图象知当．故答案为：．不妨设，，，则，表示线段上的点到圆的距离，然后求出最大距离即可．本题考查了平面向量的坐标运算和向量模的几何意义，考查了转化思想与数形结合思想，属中档题．16.答案：36解析：解：把“参观工厂”与“环保宣讲”这两个项目当做一个整体，共有种方法，其中，把“民俗调查”安排在周一，有种方法，满足条件的不同安排方法的种数为，故答案为：36．利用“捆绑法”、“间接法”及排列组合的计算公式即可得出结果．本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用，熟练掌握排列组合的意义及其计算公式是解题的关键．对于相邻问题经常使用“捆绑法”对于排除不符合条件的选法可用排除法，属于中档题．17.答案：或解析：解：当时，由，得到，即：，当时，由，得到：，令函数，转换为：与函数的图象在区间上有且只有一个交点．在同一坐标系内画出，与函数的图象，结合函数的图象，即，由于函数的图象只有一个交点，如图所示：故：，解得：．故函数有一个交点，则：m的取值范围是：或故答案为：或利用分类讨论思想对函数的关系式进行应用，进一步利用函数的图象的应用求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：函数的图象的应用，函数的图象的交点的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.答案：解：函数，令，求得，故函数的增区间为；若，则，故当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为，所以函数的值域为．解析：直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出结果．利用函数的定义域的应用求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.答案：证明：由底面ABCD可得，又底面ABCD是菱形，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面D.解：因为底面ABCD，以O为原点，，，为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则0，，，，0，，，，设平面的一个法向量为，由，即，取得，又，所以，所以OB与平面所成角的正弦值为．解析：证明，，推出平面，然后证明平面平面D.以O为原点，，，为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，结合，利用空间向量的数量积求解OB与平面所成角的正弦值即可．本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.答案：解：设数列的公比为q，由．得．所以．由条件可知，故．由，得，所以．故数列的通项式为．．故，数列的前n项和：．所以数列的前n项和为：．解析：本题考查数列求和以及通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，为中档题．利用已知条件求出数列的公比与首项，然后求数列的通项公式．利用对数运算法则化简，然后化简数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可．21.答案：解：由题意可知，则，，抛物线的标准方程为：；设直线AB的方程为：，联立方程，消去x得：，，，即，即，，设AB的中垂线方程方程为：，即，可得点C的坐标为，直线AB的方程为：，即，点C到直线AB的距离，，令，则，，令，，令得，，在上，，函数单调递增；在上，，函数单调递减，当，即时，．解析：利用抛物线的定义可得，求出p的值，从而得到抛物线的方程；设直线AB的方程为：，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得，利用AB的中垂线方程可得点C的坐标，再利用点到直线距离公式求出点C到直线AB的距离d，所以，令，则，利用导数得到当，即时，．本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．22.答案：解：Ⅰ由，得，设，；则；由，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上单调递增，，所以；所以，实数a的取值范围是：Ⅱ因为函数有两个不同的零点，不单调，所以．因此有两个根，设为，，且，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；又，，当x充分大时，取值为正，因此要使得有两个不同的零点，则必须有，即；又因为；所以：，解得，所以；因此当函数有两个不同的零点时，实数a的取值范围是．先证明不等式，若，，，则．证明：不妨设，即证，设，，只需证且；因为，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，从而不等式得证．再证原命题．由得；所以，两边取对数得：；即．因为，所以，因此，要证．只需证；因为在上单调递增，，所以只需证，只需证，即证，其中；设，，只需证；计算得；．由在上单调递增，得，所以；即在上单调递减，所以：；即在上单调递增，所以成立，即原命题得证．解析：Ⅰ先求其导函数，转化为，即求的最小值即可；Ⅱ结合第一问的结论得不单调，故；设有两个根，设为，，且，可得原函数的单调性，把问题转化为，即可求解结论．转化为先证明不等式，若，，，则再把原结论成立转化为证；构造函数一步步推其成立即可．本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明，是对导数知识的综合考查，属于难题．。
【数学】2020年全国卷Ⅰ高考压轴卷(文)(解析版)
12020年全国卷Ⅰ高考压轴卷（文）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{}{}228023A x x x B x x =+-≥=-<<，，则A∩B= ( ).A. (2,3)B. [2,3)C.[－4,2]D. (－4,3)2.已知(1i)(2i)z =+-，则2||z =（ ） A. 2i +B.3i +C.5 D. 103.若向量a＝1,2⎛ ⎝⎭，|b |＝a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( ) A.6πB.4π C.3π D.2π 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 12C. 16D. 245. 甲、乙二人参加普法知识竞答共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是( ) A ．1115B ．1315C ．35D ．10136.我国古代名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )2A. 17?,,+1i s s i i i ≤=-=B. 1128?,,2i s s i i i ≤=-=C 17?,,+12i s s i i i≤=-=D. 1128?,,22i s s i i i≤=-=7.已知变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47109,a a a ++=14377S S -=,则使n S 取得最小值时n 的值为( ) A ．7B ．6C ．5D ．49.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，3,sin a c b A === cos 6a B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则b=( ) A. 1B.C.D.10..若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆014222=+-++y x y x 截得弦长为4，则41a b +的最小值是（ ）A. 9B. 4C.12D.14311.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2p x =交于E ，G 两点，若1sin 3MFG ∠=，则抛物线C的方程是（ ） A. 2y x = B. 22y x = C. 24y x =D. 28y x =12.已知函数1,0(),0x x mf x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，若方程23()(23)()20mf x m f x -++=有5个解，则m 的取值范围是（） A. (1,)+∞ B. (0,1)(1,)⋃+∞C. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭D. 331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知()0,θπ∈，且sin()4πθ-=，则tan2θ=________．14. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，双曲线的渐近线上存在一点P ，使得A ，B ，F ，P 顺次连接构成平行四边形，则双曲线C 的离心率e =______.15. 已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+，令()13log n a n b +=，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和2020S =__________．16.如图，已知六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，给出下列结论：①PB AE⊥；②直线//BC平面PAE；③平面PAE⊥平面PDE；④异面直线PD与BC所成角为45°；⑤直线PD与平面PAB其中正确的有_______（把所有正确的序号都填上）三．解答题（本大题共6小题.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题12分）△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知24sin4sin sin22A BA B-+=（1）求角C的大小；（2）已知4b=，△ABC的面积为6，求边长c的值.18. （本小题12分）4如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，12 2BC CD AB===，∠ABC=∠BCD=90°，E为PB的中点。
全国卷Ⅰ2024年高考数学压轴卷理含解析
（全国卷Ⅰ）2024年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A．B ．1-CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD5．若221m n >>，则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面对量a ，b，满意(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2024 B ．2024 C ．2024D ．20248．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能接着连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x =-+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线M A 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满意()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的绽开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________． 15.知变量x ，y 满意条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数223x y z x y-=+的最大值为16．如图，在ABC △中，3sin23ABC ∠=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，433BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满意：113a b ==，24b a =， 且1a ，4a ，13a 成等比数列． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市实行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成果大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参与了初赛，全部学生的成果均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参与学校座谈沟通，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参与全市座谈沟通，设X 表示得分在区间(]130,150中参与全市座谈沟通的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分） 设函数()(2ln 1f x x x x =-++． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的一般方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的随意一点，求PA PB ⋅的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2024全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2AB =-，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1i a +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a=C ．5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>， 因为0m n >>，所以可解除选项A ，B ；32m =，1n =时，可解除选项C ， 由指数函数的性质可推断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面对量模的计算公式可得：3-=a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 其次次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2024，故选B ．8．【答案】A【解析】设事务A 为48h 发病，事务B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．， 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】视察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()2sin22cos212sin 4π21f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确； 当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确； 当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确； 若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，M AF ∠必需取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+， 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++， 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+， 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯= ⎝，据此可得：7n =，73x x ⎛+ ⎝绽开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==， 令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()()()2222223,1,32cos 31x y x y z x yx y θ-⋅-===++-⋅+，其中θ为向量)3,1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π， 目标函数223x y z x y-=+3C ．16．【答案】32 【解析】由3sin2ABC ∠=可得：6cos 2ABC ∠=， 则22sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由32sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =． （2）由（1）可知213n nn c +=， 所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n n n S +=-．18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =．【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴3ED DB=， 由3AD =，可知32BD =36DE =6AF = 则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ， ∴(0,6)BF =-，(3,0,26)EF =-．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即360,360,y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,2,6)n =． ∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-，∴||13cos ,||||3226n CA n CA n CA ⋅<>===⋅⨯ ∵二面角F BE D --为锐角，∴二面角F BE D --的余弦值为1313． 20.（本小题满分12分） 【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，依据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==，()()224223BC p p =-，1223832ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x y y kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---， 得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ．由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=--，则()2131'ax g x --，令())2131h x ax =--，则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 留意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，留意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >； （iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+ 【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）． 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ． 设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++．因为θ∈R ，所以44PA PB -≤⋅≤+23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<， 当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-； 当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立； 当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。
2023高考压轴卷——数学(理)(全国乙卷)含解析
KS5U2023全国乙卷高考压轴卷数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1282x A x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭∣，{}1,0,1,2B =-，则A B = （）A.{}2 B.{}1,0- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1,2-2.设命题:p x ∀∈R ，e 1x x ≥+，则p ⌝是（）A.x ∀∈R ，e 1≤+x x B.x ∀∈R ，e 1x x <+C.x ∃∈R ，e 1≤+x x D.x ∃∈R ，e 1x x <+3.已知复数z 满足()1i 2i z -=-，则复数z 的虚部为（）A.12B.1i 2C.32D.3i 24.已知△ABC 中，D 为BC 边上一点，且13BD BC =，则AD =（）A.1233AC AB +B.2133AC AB +C.1344AC AB +D.3144AC AB +5.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）A.6B.3π3C.D.π36.如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（）A.4B.2C.D.7.已知30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则x ＋2y 的最大值为（）A.2B.3C.5D.68.函数()4ee x xf x +-=-（e 是自然对数的底数）的图象关于（）A.直线e x =-对称B.点(e,0)-对称C.直线2x =-对称D.点(2,0)-对称9.已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，若()*5,p q p q +=∈N ，则p q a a =（）A.8B.16C.32D.6410.已知点(),P x y 到点()1F 和点)2F 的距离之和为4，则xy （）A.有最大值1B.有最大值4C.有最小值1D.有最小值4-11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则下述结论中正确的个数为（）①MN ∥平面ABCD ；②平面1A ND ⊥平面1D MB ；③直线MN 与11B D 所成的角为45︒；④直线1D B 与平面1A ND 所成的角为45︒．A.1B.2C.3D.412.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数()()e ln xf x x a x =-为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是（）A.(],0-∞ B.1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.(],1-∞ D.(],e -∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()()2sin 0,08f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，其最小正周期为T ，且322T ππ<<，则ω的值为______．14.已知点()1,0A ，()2,2B ，C 为y 轴上一点，若π4BAC ∠=，则⋅= AB AC ______．15.3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D 线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm ，下底直径为9cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为______cm ．16.在数列{}n a 中，11a =，()()*212nn n a a n ++-=∈N ．记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则4n S =______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()sin 2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，（1）求证：B C =；（2）若3cos 5A =，ABC ∆的外接圆面积为254π，求ABC ∆的周长．18.研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天昼夜温差x（℃）47891412新增就诊人数y（位）1y2y3y4y5y6y参考数据：6213160iiy==∑，()216256iiy y=-=∑．（1）已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为1724，求1y的值；（2）已知两个变量x与y之间的样本相关系数1516r=，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程ˆˆˆy bx a=+，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数（结果保留整数）．参考公式：()()()121ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，()()ni ix x y yr--=∑．19.如图，△ABC是正三角形，在等腰梯形ABEF中，//AB EF，12AF EF BE AB===．平面ABC⊥平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，4CE=．（1）证明：//MN平面ABC；（2）求二面角--M AB N的余弦值．20.已知函数()ln e 2e e xf x a x x a =+-+．（1）当e a =时，求曲线() y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若a 为整数，当1x ≥时，()0f x ≥，求a 的最小值．21.已知椭圆()2222:10+x y C a b a b=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12，M 为椭圆C 上一动点，FAM△面积的最大值为332．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点M 的直线:1l y kx =+与椭圆C 的另一个交点为N ，P 为线段MN 的中点，射线OP 与椭圆交于点D ．点Q 为直线OP 上一动点，且2OP OQ OD ⋅=，求证：点Q 在定直线上．（二）选考题：共10分．请考生在22~23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222x pty pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），()2,4为曲线C 上一点的坐标．（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程；（2）过点O 任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C 交于点A ，B ，以直线OA 的斜率k 为参数，求线段AB 的中点M 的轨迹的参数方程，并化为普通方程．［选修4—5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()21f x x a x =++-．（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若0a >，0b >时，对任意[]1,2x ∈使得不等式()21f x x b >-+恒成立，证明：2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【KS5U 答案1】C【分析】由指数函数的单调性得{}13A x x =-<<，后由交集定义可得KS5U 答案.【KS5U 解析】13128222132x x x -<<⇔<<⇔<-<<，则{}13A x x =-<<，又{}1,0,1,2B =-，则A B = {}0,1,2.故选：C【KS5U 答案2】D【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后再动，原题让我们选择一个全称命题的否定，任意和存在是一对，要注意互相变化，大于等于的否定是小于.【KS5U 解析】x ∀∈R ，e 1x x ≥+的否定是x ∃∈R ，e 1x x <+.故选：D 【KS5U 答案3】A【分析】根据复数的除法运算可求得31i 22z =+，即可求得结果.【KS5U 解析】由()1i 2i z -=-可得()()()()222i 1i 2i 22i i i 31i 1i 1i 1i 1i 22z -+-+--====+--+-，所以复数z 的虚部为12.故选：A 【KS5U 答案4】A【分析】利用向量的线性运算即可求得.【KS5U 解析】在△ABC 中，BC AC AB=-.因为13BD BC =，所以()1133B AC AB D BC ==- .所以()112333AD AB BD AB A A C AB C AB =++-==+.故选：A 【KS5U 答案5】B【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．【KS5U 解析】设圆锥母线长为l ，高为h ，底面半径为1r =，则由2π1πl ⨯=得2l =，所以h ==所以2211ππ1π333V r h ==⨯=．故选：B ．【KS5U 答案6】B【分析】由平均数相等求出m ，再求方差.【KS5U 解析】由80290392180290329189055m ⨯+⨯++++⨯+⨯++++==可得，8m =，即甲同学成绩的方差为()22221211225+++=,故选：B 【KS5U 答案7】C【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可．【KS5U 解析】作出可行域如图：由2z x y =+可得：122zy x =-+，平移直线12y x =-经过点A 时，z 有最大值，由3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得(1,2)A ，max 145z =+=．故选：C【KS5U 答案8】D【分析】根据对称性进行检验．【KS5U 解析】由题意()()2e 2e 42e 42e 2e eee e x x x xf x -----+--++--=-=-，它与()f x 之间没有恒等关系，相加也不为0，AB 均错，而44(4)4(4)e e e e ()x x x x f x f x --+----+--=-=-=-，所以()f x 的图象关于点(2,0)-对称．故选：D ．【KS5U 答案9】C【分析】当1n =时，由122n n S +=-可得1a ，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，验证1a 是否适合可得通项公式，代入通项公式求解可得结果.【KS5U 解析】解：当1n =时，211222a S ==-=，当2n ≥时，()1122222n n n n n n a S S +-=-=---=，12a = ，符合上式，∴数列{}n a 的通项公式为：2n n a =,5222232p q q p q p a a +=⋅===，故选：C.【KS5U 答案10】A【分析】根据题意，求出点P 的轨迹方程，利用三角换元法即可求解.【KS5U 解析】因为点(),P x y 到点()1F 和点)2F 的距离之和为4，所以点P 的轨迹是以()1F ，)2F 为焦点的椭圆，且长轴长24a =，焦距21c b ==，所以点P 的轨迹方程为2214x y +=，设(2cos ,sin ),(02π)P θθθ≤≤，则[]2cos sin sin21,1xy θθθ==∈-，所以xy 有最大值1，故选：A.【KS5U 答案11】C【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【KS5U 解析】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，111(0,0,0),(2,0,2),(2,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(1,0,1),(1,1,1)D A B D B M N ，由正方体的性质可知：1D D ⊥平面ABCD ，则平面ABCD 的法向量为1(0,0,2)DD =，(0,1,0)MN =，因为10D D MN ⋅= ，所以1D D MN ⊥ ，而MN ⊄平面ABCD ，因此MN ∥平面ABCD ，故①对；设平面1A ND 的法向量为(,,)m x y z = ，(1,1,1)DN =，1(2,0,2)DA = ，所以有1100(1,0,1)2200m DN m DN x y z m x z m DA m DA ⎧⎧⊥⋅=++=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩，同理可求出平面1D MB 的法向量(1,0,1)n =，因为110m n ⋅=-= ，所以m n ⊥，因此平面1A ND ⊥平面1D MB ，故②正确；因为(0,1,0)MN =，11(2,2,0)B D =-- ，所以11cos ,2MN B D 〈〉=-，因为异面直线所成的角范围为(0,90] ，所以直线MN 与11B D 所成的角为45︒，故③正确；设直线1D B 与平面1A ND 所成的角为θ，因为1(2,2,2)D B =- ，平面1A ND 的法向量为(1,0,1)m =-，所以11162sin cos ,32D B m D B m D B mθ⋅=〈〉===≠⋅ ，所以直线1D B 与平面1A ND 所成的角不是45︒，因此④错误，一共有3个结论正确，故选：C 【KS5U 答案12】B【分析】根据题意列出关于0x 和a 的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点.【KS5U 解析】由题意得若函数()()e ln xf x x a x =-为不动点函数则满足()()00000e ln x f x x a x x =-=，即00ln 1x ae x =+，即00ln 1x x a e +=设()ln 1xx g x e+=，()()()()()21ln 1ln 1ln 1x x xx x x e e x x g x e e ''--+⋅-+'==设()()2111ln 1,0h x x h x x x x'=--=--<,所以()h x 在()0+∞，单调递减，且()10h =()0,1x ∈，()()0,0h x g x '>>所以()g x 在()01，上单调递增，()()()1,,0,0x h x g x ∞+<'∈<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()1max ln111g x e e+==当()10,,ln 10,0,xx x e e ⎛⎫∈+<> ⎪⎝⎭则()0g x <,当()1,,ln 10,0,xx x e e⎛⎫∈+∞+>> ⎪⎝⎭则()0g x >所以()g x的图像为：要想00ln 1x x a e +=成立，则y a =与()g x 有交点，所以()max1a g x e≤=,故选：B 【KS5U 答案13】54【KS5U 解析】根据题意，()2sin cos 28242A A f x A x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，分析可得22A =，所以4A =()2cos 224f x x πω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()2242k k πππωπ⨯+=+∈Z ，所以()14k k ω=+∈Z ，又因为最小正周期为T ，且322T ππ<<，所以可得23222πππω<<，则223ω<<，所以ω的值为1．【KS5U 答案14】5【分析】设(0,)C y ，利用余弦定理求C 点坐标，然后利用数量积的坐标表示求解即可.【KS5U 解析】设(0,)C y，所以AB ==AC ==，BC ==，因为π4BAC ∠=，所以由余弦定理得222π2cos 4BC AB AC AB AC =+-，即224851y y y -+=++3y =，所以(0,3)C ，所以(1,2)AB =，(1,3)AC =- ，所以1(1)235AB AC ⋅=⨯-+⨯= ，故KS5U 答案为：5【KS5U 答案15】【分析】由已知，根据题意，以最细处所在的直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出,a b 之间的关系，由题意底直径为6cm ，所以双曲线过点()3,m ，下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点9,92m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径.【KS5U 解析】由已知，以最细处所在的直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由已知可得，c e a ==，且222c a b =+，所以224a b =，所以双曲线方程为222214x y a a-=，底直径为6cm ，所以双曲线过点()3,m ，下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点9,92m ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入双曲线方程得：()222222914819414m a a m aa ⎧-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得：2m a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以喉部（最细处）的直径为cm.故KS5U答案为：【KS5U 答案16】242n n+【分析】根据当n 为奇数时，22n n a a +-=，当n 为偶数时，22n n a a ++=，分组求和即可.【KS5U 解析】由题知，11a =，2(1)2nn n a a ++-=,当n 为奇数时，22n n a a +-=，所以奇数项构成等差数列，首项为1，公差为2，当n 为偶数时，22n n a a ++=，所以2468......2a a a a =++==,所以4135412464(......)(......)n n n S a a a a a a a a -=+++++++++22(21)1222422n n n n n n -=⨯+⨯+⨯=+故KS5U 答案为：242n n+【KS5U 答案17】(1)见证明；(2)4.【分析】（1）由()sin 2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++=⎪⎝⎭，利用诱导公式、两角和与差的正弦公式化简可得sin()0B C -=，从而可得结论；（2）利用圆的面积公式可求得三角形外接圆半径52R =，利用同角三角函数的关系与正弦定理可得2sin 4a R A ==，结合（1），利用余弦定理列方程求得b c ==，从而可得结果.【KS5U 解析】（1）∵sin()2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++=⎪⎝⎭，∴sin()2sin cos 0B C B C +-=，∴sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C B C +-=，∴cos sin sin cos 0B C B C -=，∴sin()0B C -=.∴在ABC ∆中，B C =，（2）设ABC ∆的外接圆半径为R ，由已知得2254R ππ=，∴52R =，∵3cos 5A =，0A π<<，∴4sin 5A =，∴2sin 4a R A ==，∵BC =，∴b c =，由2222cos a b c bc A =+-⋅得2261625b b =-，解得b =，∴4a b c ++=，∴ABC ∆的周长为4.【KS5U 答案18】（1）110y =,（2）33人【分析】（1）根据题意由1373C 1C y -求解；（2）根据样本相关系数1516r =，求得()()61i i i x x y y =--∑，再利用公式求得ˆˆ,b a 即可.【小问1KS5U 解析】解：∵1373C 171C 24y -=，∴()()11176571224y y y ⨯⨯=--，∴()()111127201098y y y --==⨯⨯，∴110y =．【小问2KS5U 解析】∵6154i i x ==∑，∴9=x ，∴()62164i i x x =-=∑．∵()()()()6611581616iiiii x x y y x x y y r =----==⨯∑∑，∴()()61815i i i x x y y =--=⨯∑，∴()()()12181515ˆ648niii ni i x x y y bx x ==--⨯===-∑∑．又∵()6666222221111266256iii i i i i i y y yy y y y y ====-=-⋅+=-=∑∑∑∑，解得22y =．∴1541ˆˆ22988ay bx =-=-⨯=，∴4115ˆ88yx =+，当15x =时，4115ˆ153388y=+⨯≈，∴可以估计，昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数为33人．【KS5U 答案19】【分析】（1）取CF 的中点D ，连接DM ，DN ，证明平面//MND 平面ABC ，原题即得证；（2）取AB 的中点O ，连接OC ，OE ．求出122AF EF EB AB ====，取EF 的中点P ，连接OP ，以O 为原点，OP ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系如图所示．利用向量法求解.【小问1KS5U 解析】解：取CF 的中点D ，连接DM ，DN ，∵M ，N 分别是AF ，CE 的中点，∴//DM AC ，//DN EF ，又∵DM ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴//DM 平面ABC ．又//EF AB ，∴//DN AB ，同理可得，//DN 平面ABC ．∵DM ⊂平面MND ，DN ⊂平面MND ，DM DN D = ，∴平面//MND 平面ABC ．∵MN ⊂平面MND ，∴//MN 平面ABC．【小问2KS5U 解析】取AB 的中点O ，连接OC ，OE ．由已知得//,OA EF OA EF =，∴OAFE 是平行四边形，∴//,//OE AF OE AF ．∵△ABC 是正三角形，∴OC AB ⊥，∵平面ABC⊥平面ABEF ，平面ABC ⋂平面ABEF AB =，∴OC ⊥平面ABEF ，又OE ⊂平面ABEF ，∴OC OE ⊥．设12AF EF EB AB a ====，OC =．在Rt COE 中，由222OC OE CE +=，解得2a =，即122AF EF EB AB ====，取EF 的中点P ，连接OP ，则OP AB ⊥，以O 为原点，OP ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系如图所示．则()0,2,0A -，(0,0,C，)E，31,22N ⎛ ⎝，()0,2,0OA =-，1,22ON ⎛= ⎝ ，由已知易得，平面ABM的一个法向量为(0,0,OC = ，设平面ABN 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,OA n ON n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,310,22y x y z -=⎧+=⎩取2x =，则平面ABN 的一个法向量为()2,0,1n =-,∴cos ,5OC n OC n OC n ⋅==-，∵二面角--M AB N 为锐角，∴二面角--M AB N 的余弦值为55．【KS5U 答案20】（1）2e e y =-,（2）2【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率及切点即可求解KS5U 答案；（2）根据导函数分子部分的最小值与零比较分类讨论，分别分e a ≥、2a =、1a ≤讨论即可.【小问1KS5U 解析】当e a =时，()2eln e 2e e xf x x =+-+，所以2(1)e e f =-，又因为()ee 2e xf x x=+-，其中0x >，则在点(1,(1))f 处的切线斜率(1)0k f '==，所以切线方程为2e e y =-【小问2KS5U 解析】由题知(e 2e)()x a x f x x+-'=，其中1x ≥，设()(e 2e)x g x a x =+-，则()(1)e 2e x g x x '=+-，可知()g x '为[1,)+∞上的增函数，则()(1)0g x g ''≥=，所以()g x 为[1,)+∞上的增函数，则min ()(1)e g x g a ==-.①当e 0a -≥，即e a ≥时，()0g x ≥，即()0f x '≥，所以()f x 为[1,)+∞上的增函数，则()(1)e e>0f x f a ≥=-，由于a 为整数，可知3a ≥时，()0f x ≥恒成立，符合题意.②当2a =时，()2ln e 2e 2e xf x x x =+-+，()2(e 2e)xg x x =+-，则()g x 的最小值为min ()(1)2e<0g x g ==-，又2(2)22(e 2e)>0g =+-，由于()g x 为[1,)+∞上的增函数，则存在0(1,2)x ∈使得0()0g x =（即02e 2e x x =-），当01x x <<时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 为减函数；当0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 为增函数，则00000001()()2ln e 2e 2e=2(ln e 2e)x f x f x x x x x x ==+-+--+极小值，其中0(1,2)x ∈，令1()ln e 2e(1<<2)u x x x x x =--+，则22211e 1()e=<2)x x u x x x x x-++'=+-，当12x <<时，()0u x '<，()u x 在(1,2)上单调递减，则1()(2)ln 202u x u >=->，即0()()0f x f x =>极小值.所以2a =也符合题意.③当1a ≤时，min ()(1)e<0g x g a ==-，由于()g x 为(1,)+∞上的增函数，则存在实数1m >，且(1,)x m ∈，使得()0g x <，即()0f x '<，故()f x 为(1,)m 上的减函数，则当(1,)x m ∈时，()(1)(1)e 0f x f a <=-≤，故1a ≤不符合题意，舍去.综上所述，a 的最小值为2.【KS5U 答案21】【分析】(1)按照题目所给的条件即可求解；(2)作图，联立方程，将M ，N ，P ，Q ，D 的坐标用斜率k 表示出来，(3)按照向量数量积的运算规则即可.【小问1KS5U 解析】设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的几何性质知，当点M 位于椭圆的短轴端点时，FAM △的面积取得最大值，此时1()2FAMSa cb =+，1()22a cb ∴+=，()a c b ∴+=．由离心率12c a =得2a c =，b ∴=，解得1c =，2a =，b =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；【小问2KS5U解析】由题意作下图：设()11,M x y ，()22,N x y ．由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234880k x kx ++-=．∵点(0,1)在这个椭圆内部，所以0∆>，122843k x x k +=-+，122843x x k =-+，()212122286224343k y y k x x k k ∴+=++=-+=++，∴点P 的坐标为2243,4343k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭当0k ≠时，直线OP 的斜率为34k -，∴直线OP 的方程为34y x k =-，即43kx y =-，将直线OP 的方程代入椭圆方程得22943Dy k =+，2221643D k x k =+，设点4,3k Q y y ⎛⎫-⎪⎝⎭，由2OP OQ OD ⋅= 得22222443169433434343k kk y y k k k k ⎛⎫-⋅-+⋅=+ ⎪++++⎝⎭，化简得()222216916943343k k y k k ++⋅=++，化简得3y =，∴点Q 在直线3y =上，当直线l 的斜率0k =时，此时(0,1)P，D ，由2OP OQ OD ⋅=得(0,3)Q ，也满足条件，∴点Q 在直线3y =上；综上，椭圆C 的标准方程为22143x y +=，点Q 在直线3y =上.【KS5U 答案22】（1）2x y =,（2）221x y =-【分析】（1）根据曲线C 的参数方程为222x pty pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），消去参数t 求解；（2）设OA 的斜率为k ，方程为y kx =，则OB 的方程为：1=-y x k，分别与抛物线方程联立，求得A ，B 的坐标，再利用中点坐标求解.【小问1KS5U 解析】解：因为曲线C 的参数方程为222x pt y pt =⎧⎨=⎩（t 为参数），消去参数t 可得：22x py =，将点()2,4代入可得12p =，所以曲线C 的普通方程为：2x y =；【小问2KS5U 解析】由已知得：OA ，OB 的斜率存在且不为0，设OA 的斜率为k ，方程为y kx =，则OB 的方程为：1=-y x k ，联立方程2,,y kx x y =⎧⎨=⎩可得：()2,A k k ，同理可得：211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设(),M x y ，所以2211,211,2x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩所以22214222x k y k=+-=-，所以221x y =-即为点M 轨迹的普通方程．【KS5U 答案23】【分析】（1）分段求解()f x 的最小值和范围，即可求得结果；（2）转化()21f x x b >-+为233a b x x +>-+，结合二次函数在区间上的最值，利用不等式，即可证明.【小问1KS5U 解析】当1a =时，()121f x x x =++-，当1x ≤-，()31f x x =-+，()min ()14f x f =-=；当11x -<<，()3f x x =-+，()()2,4f x ∈；当1x ≥，()31f x x =-，()min ()12f x f ==；∴当1a =时，()f x 的最小值为2．【小问2KS5U 解析】0a >，0b >，当12x ≤≤时，2211x a x x b ++->-+可化为233a b x x +>-+，令()233h x x x =-+，[]1,2x ∈，()()()max 121h x h h ===，∴1a b +>∴22222111()122222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=++++≥+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b =时取得等号；又当1a b +>时，2()122a b a b ++++2>，故2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(江西卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（江西卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：样本数据1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y 的回归方程：y a bx =+其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =- 锥体体积公式1212,n n x x x y y y x y n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+== 13V Sh = 其中S 为底面积，h 为高第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若()2,,x i i y i x y R -=+∈，则复数x yi +=（ ） A.2i -+ B.2i + C.12i - D.12i + 答案：B2.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ） A.M N ⋃ B.M N ⋂ C.()()U U C M C N ⋃ D.()()U U C M C N ⋂ 答案：D3.若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为( )A.1(,0)2-B.1(,)2-+∞C.1(,0)(0,)2-⋃+∞D.1(,2)2-答案：C4.曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C.e D.1e答案：A5.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B6.观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20117的末两位数字为（ ）A.01B.43C.07D.49 答案：B7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均值为x ，则（ ） A.e o m m x== B.e o m m x =<C.e o m m x <<D.o e m m x <<答案：D 计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选D父亲身高x （cm ） 174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ） 175 175176177177则y 对x 的线性回归方程为A.y = x-1B.y = x+1C.y = 88+12x D.y = 176 C 线性回归方程bx a y +=，()()()∑∑==---=ni i ni ii x x y y x x b 121，x b y a -=9.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）答案：D 左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案。
压轴题07 统计与概率压轴题(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-文)
压轴题07统计与概率压轴题题型/考向一：统计与概率题型/考向二：统计案例一、统计与概率热点一用样本估计总体1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2.在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数.(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数.(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.热点二概率1．古典概型的概率公式P(A)＝事件A中包含的样本点数试验的样本点总数.2．条件概率公式设A，B为随机事件，且P(A)＞0，则P(B|A)＝P（AB）P（A）.3．全概率公式设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)＞0，i＝1，2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑ni ＝1P (A i )P (B |A i )．○热○点○题○型一统计与概率一、单选题1．对某校中学学生的身高进行统计，并将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），则该校学生身高数据的中位数为（）A ．165B ．165.75C ．166D ．166.252．如图，一组数据123910,,,,,x x x x x ⋅⋅⋅，的平均数为5，方差为21s ，去除9x ，10x 这两个数据后，平均数为x ，方差为22s ，则（）A ．5x >，2212s s >B ．5x <，2212s s <C ．5x =，2212s s <D ．5x =，2212s s >3．已知数据12,,,n x x x 是某市()*5,n n n ≥∈N 个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入1n x +，组成1n +个数据，则下列说法正确的是（）A ．年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大C ．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变小D ．年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变4．甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（图1），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（图2）完好，则（）A ．甲的单场平均得分比乙低B ．乙的60%分位数为19C ．甲、乙的极差均为11D ．乙得分的中位数是16.55．某省普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为,,,,A B C D E 五个等级.某高中2022年参加“选择考”总人数是2020年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平，统计了该校2020年和2022年“选择考”成绩等级结果，得到如下统计图.针对该校“选择考”情况，2022年与2020年比较，下列说法正确的是（）A ．获得A 等级的人数减少了B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同6．在“2，3，5，7，11，13，17，19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是（）A ．328B ．528C ．17D ．3147．2022年11月30日，神舟十五号、神舟十四号乘组在太空“胜利会师”，在中国人自己的“太空家园”里留下了一张足以载入史册的太空合影.某班级开展了关于太空知识的分享交流活动，活动中有2名男生、3名女生发言，活动后从这5人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1名男生的概率为（）A ．310B ．25C ．35D ．7108．不透明箱子中装有大小相同标号为1，2，3，4，5的5个冰墩墩（北京冬奥会吉祥物），随机抽取2个冰墩墩，则被抽到的2个冰墩墩标号相邻的概率是（）A ．15B ．25C ．35D ．45二、多选题9．如图是国家统计局公布的2021年5月至2021年12月的规模以上工业日均发电量的月度走势情况，则（）．A ．2021年7月至2021年10月，规模以上工业月度日均发电量呈现下降趋势B ．2021年5月至2021年12月，规模以上工业月度日均发电量的中位数为228C ．2021年11月，规模以上工业发电总量约为6758亿千瓦时D ．从2021年5月至2021年12月中随机抽取2个月份，规模以上工业月度日均发电量都超过230亿千瓦时的概率为32810．树人中学2006班某科研小组，持续跟踪调查了他们班全体同学一学期中16周锻炼身体的时长，经过整理得到男生、女生各周锻炼身体的平均时长（单位：h ）的数据如下：男生：6.3、7.4、7.6、8.1、8.2、8.2、8.5、8.6、8.6、8.6、8.6、9.0、9.2、9.3、9.8、10.1；女生：5.1、5.6、6.0、6.3、6.5、6.8、7.2、7.3、7.5、7.7、8.1、8.2、8.4、8.6、9.2、9.4.以下判断中正确的是（）A ．女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于8B ．男生每周锻炼身体的平均时长的80%分位数是9.2C ．男生每周锻炼身体的平均时长大于9h 的概率的估计值为0.3125D ．与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大11．已知甲袋内有a 个红球，b 个黑球，乙袋内有b 个红球，a 个黑球(),a b *∈N ，从甲、乙两袋内各随机取出1个球，记事件A =“取出的2个球中恰有1个红球”，B =“取出的2个球都是红球”，C =“取出的2个球都是黑球”，则（）A ．()0.75P AB +≤B ．()()P A P B >C ．()()P B P C <D ．()()P A B P A C +=+12．某中学为了能充分调动学生对学术科技的积极性，鼓励更多的学生参与到学术科技之中，提升学生的创新意识，该学校决定邀请知名教授于9月2日和9月9日到学校做两场专题讲座．学校有东、西两个礼堂，第一次讲座地点的安排不影响下一次讲座的安排，假设选择东、西两个礼堂作为讲座地点是等可能的，则下列叙述正确的是（）A ．两次讲座都在东礼堂的概率是14B ．两次讲座安排在东、西礼堂各一场的概率是12C ．两次讲座中至少有一次安排在东礼堂的概率是34D ．若第一次讲座安排在东礼堂，下一次讲座安排在西礼堂的概率是13三、解答题13．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”．某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图．其中时间段9：20~9：40记作区间[)20,40，9：40~10：00记作[)40,60，10：00~10：20记作[)60,80，10：20~10：40记作[]80,100，例如：10点04分，记作时刻64．(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取5辆，再从这5辆车中随机抽取3辆，则恰有1辆为9：20~10：00之间通过的概率是多少？14．我国某医药研究所在针对某种世界疾病难题的解决方案中提到了中医疗法，为证实此方法的效用，该研究所购进若干副某种中草药，现按照每副该中草药的重量大小（单位：克）分为4组：[)0,20，[)20,40，[)40,60，[]60,80，并绘制频率分布直方图如下所示：(1)估计每副该中草药的平均重量（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；(2)现从每副重量在[)20,40，[]60,80内的中草药中按照分层抽样的方式一共抽取6副该中草药，再从这6副中草药中随机取出2副进行分析，求取出的2副中仅有1副重量在[]60,80中的概率．二、统计案例热点一回归分析求经验回归方程的步骤(1)依据成对样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略).(2)计算出x －，y －，∑n i ＝1x 2i ，∑ni ＝1x i y i 的值.(3)计算a ^，b ^.(4)写出经验回归方程.热点二独立性检验独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列2×2列联表；(2)根据公式χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），计算χ2的值；(3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断.χ2越大，对应假设事件H 0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H 0不成立的概率越大.○热○点○题○型二统计案例一、单选题1．以模型()e 0kxy c c =>去拟合一组数据时，设ln z y =，将其变换后得到线性回归方程21z x =-，则c =（）A ．12B ．2e -C ．1e -D ．e2．下列说法正确的有（）①对于分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 越大，说明“X 与Y 有关系”的把握越大；②我校高一、高二、高三共有学生4800人，其中高三有1200人.为调查需要，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本，那么应从高三年级抽取40人；③若数据1x 、2x 、L 、n x 的方差为5，则另一组数据11x +、21x +、L 、1n x +的方差为6；④把六进制数()6210转换成十进制数为：()012621006162678⨯⨯⨯=++=.A ．①④B ．①②C ．③④D ．①③3．给出以下四个命题：①在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好；②回归模型中离差是实际值i y 与估计值ˆy的差，离差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；③在一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅（2n ≥，12,,,n x x x ⋅⋅⋅不全相等）的散点图中，若所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为12-；④对分类变量x 与y 的统计量2χ来说，2χ值越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大.其中，真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．根据该折线图，下列说法错误的是（）A ．城镇人口与年份呈现正相关B ．乡村人口与年份的相关系数r 接近1C ．城镇人口逐年增长率大致相同D ．可预测乡村人口仍呈现下降趋势5．已知变量,x y 之间的线性回归方程为ˆ0.47.6yx =-+，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，x681012y6m32则下列说法中错误的有（）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．变量,x y 之间的相关系数0.4r =-C ．m 的值为5D ．该回归直线必过点(9,4)6．设两个相关变量x 和y 分别满足下表：x12345y128816若相关变量x 和y 可拟合为非线性回归方程ˆ2bx a y+=，则当6x =时，y 的估计值为（）（参考公式：对于一组数据()11u v ，，()22u v ，，⋯，()n n u v ，，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni ii nii u v nu vunu β==-⋅=-∑∑，ˆˆav u β=-；51.152≈）A ．33B ．37C ．65D ．737．通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有16的男大学生“不看”，有13的女大学生“不看”，若有99%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数可能为（）A ．150B ．170C ．240D ．1758．已知一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，根据这组数据的散点图分析x 与y 之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为0.8587ˆ 5.yx =-，则在样本点(165,57)处的残差为（）A ． 2.45-B ．2.45C ．3.45D ．54.55二、多选题9．下列关于成对数据的统计说法正确的有（）A ．若当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关B ．样本相关系数r 的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度C ．通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据D ．决定系数2R 越大，模型的拟合效果越差10．某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：编号12345678910身高/cm 165168170172173174175177179182体重/kg55896165677075757880由表中数据制作成如下所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为 11y bx a =+ ，相关系数为1r ，决定系数为21R ；经过残差分析确定()168,89为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为 22y bx a =+ ，相关系数为2r ，决定系数为22R ．则以下结论中正确的有（）A ． 12a a >B ．12bb > C ．12r r <D ．2212R R >11．下列命题中为真命题的是（）A ．用最小二乘法求得的一元线性回归模型的残差和一定是0．B ．一组数按照从小到大排列后为：1x ，2x ，…，n x ，计算得：25%17n ⨯=，则这组数的25%分位数是17x ．C ．在分层抽样时，如果知道各层的样本量、各层的样本均值及各层的样本方差，可以计算得出所有数据的样本均值和方差．D ．从统计量中得知有97%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指推断有3%的可能性出现错误．12．给出下列说法，其中正确的是（）A ．某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为5.5B ．已知数据12,,x x 的平均数为2，方差为3，那么数据121x +，221x +，L 的平均数和方差分别为5，13C ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定D ．样本相关系数()1,1r ∈-三、解答题13．国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋､焚烧､堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y （单位：座）进行统计，得到如下表格：年份20132014201520162017201820192020年份代码x 12345678垃圾焚烧无害化处理厂的个数y166188220249286331389463(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y 与变量x 之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；(2)求出y 关于x 的经验回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；(3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由.参考公式：相关系数()()ni i x x y y r --=∑ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,n ii i ni i x x yy b a y bx x x ==--==-∑∑参考数据：88882211112292,204,730348,12041i i i i i i i i i y x y x y ========∑∑∑∑，257385.84=≈≈14．为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A 级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A 级旅游景区首道门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的22⨯列联表：不满意满意总计50周岁及以下5550周岁以上15总计100(1)根据统计数据完成以上22⨯列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X ，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率．①求X 的分布列和数学期望；②求()11P X -≤．参考公式及数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．()2P k αχ=≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828。
2020届全国卷Ⅰ高考压轴卷 数学(文)(解析版)
2020新课标1高考压轴卷数学（文）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}228023A x x x B x x =+-≥=-<<，，则A∩B= ( ).A. (2,3)B. [2,3)C.[－4,2]D. (－4,3)2.已知(1i)(2i)z =+-，则2||z =（ ） A. 2i + B. 3i + C. 5 D. 103.若向量a r ＝13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，|b r |＝23，若a r ·(b r －a r )＝2，则向量a r 与b r 的夹角为( )A.6πB.4π C.3π D.2π 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 12C. 16D. 245. 甲、乙二人参加普法知识竞答共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是( ) A ．1115B ．1315C ．35D ．10136.我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A. 17?,,+1i s s i i i ≤=-=B. 1128?,,2i s s i i i ≤=-=C 17?,,+12i s s i i i≤=-=D. 1128?,,22i s s i i i≤=-=7.已知变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47109,a a a ++=14377S S -=,则使n S 取得最小值时n 的值为( ) A ．7B ．6C ．5D ．49.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3,23,sin a c b A ===cos 6a B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则b=( ) A. 1B.2C.3D.510..若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆014222=+-++y x y x 截得弦长为4，则41a b +的最小值是（ ） A. 9B. 4C.12D.1411.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,222p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2p x =交于E ，G 两点，若1sin 3MFG ∠=，则抛物线C 的方程是（ ）A. 2y x =B. 22y x = C. 24y x =D. 28y x =12.已知函数1,0(),0x x mf x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，若方程23()(23)()20mf x m f x -++=有5个解，则m 的取值范围是（） A. (1,)+∞ B. (0,1)(1,)⋃+∞C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知()0,θπ∈，且2sin()410πθ-=，则tan2θ=________． 14. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，双曲线的渐近线上存在一点P ，使得A ，B ，F ，P 顺次连接构成平行四边形，则双曲线C 的离心率e =______.15. 已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+，令()13log n a nb +=，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和2020S =__________．16.如图，已知六棱锥P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，给出下列结论：①PB AE ⊥；②直线//BC 平面PAE ； ③平面PAE ⊥平面PDE ；④异面直线PD 与BC 所成角为45°；⑤直线PD与平面PAB所成角的余弦值为10.其中正确的有_______（把所有正确的序号都填上）三．解答题（本大题共6小题.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题12分）△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知24sin4sin sin22 2A BA B-+=+（1）求角C的大小；（2）已知4b=，△ABC的面积为6，求边长c的值.18. （本小题12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，122BC CD AB===，∠ABC=∠BCD=90°，E为PB的中点。
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（全国卷Ⅰ）2020年高考数学压轴卷文（含解析）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{} 228023 A x x x B x x=+-≥=-<<，，则A∩B= ( ).A. (2,3)B. [2,3)C.[－4,2]D. (－4,3)2.已知(1i)(2i)z=+-，则2||z=（）A. 2i+ B. 3i+ C. 5 D. 103.若向量ar＝13,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，|br|＝23，若ar·(br－ar)＝2，则向量ar与br的夹角为( )A.6πB.4πC.3πD.2π4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 12C. 16D. 245. 甲、乙二人参加普法知识竞答共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是( )A．1115B．1315C．35D．10136.我国古代名著《庄子g天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A. 17?,,+1i s s i i i ≤=-=B. 1128?,,2i s s i i i ≤=-=C 17?,,+12i s s i i i≤=-=D. 1128?,,22i s s i i i≤=-=7.已知变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47109,a a a ++=14377S S -=,则使n S 取得最小值时n 的值为( ) A ．7B ．6C ．5D ．49.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3,23,sin a c b A ===cos 6a B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则b=( ) A. 123510..若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆014222=+-++y x y x 截得弦长为4，则41a b +的最小值是（ ）A. 9B. 4C.12D.1411.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2p x =交于E ，G 两点，若1sin 3MFG ∠=，则抛物线C 的方程是（ ） A. 2y x = B. 22y x = C. 24y x =D. 28y x =12.已知函数1,0(),0x x mf x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，若方程23()(23)()20mf x m f x -++=有5个解，则m 的取值范围是（） A. (1,)+∞ B. (0,1)(1,)⋃+∞C. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭D. 331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知()0,θπ∈，且sin()410πθ-=，则tan2θ=________． 14. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，双曲线的渐近线上存在一点P ，使得A ，B ，F ，P 顺次连接构成平行四边形，则双曲线C 的离心率e =______.15. 已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+，令()13log n a n b +=，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和2020S =__________．16.如图，已知六棱锥P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，给出下列结论：①PB AE⊥；②直线//BC平面PAE；③平面PAE⊥平面PDE；④异面直线PD与BC所成角为45°；⑤直线PD与平面PAB所成角的余弦值为10.其中正确的有_______（把所有正确的序号都填上）三．解答题（本大题共6小题.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题12分）△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知24sin4sin sin222A BA B-+=+（1）求角C的大小；（2）已知4b=，△ABC的面积为6，求边长c的值.18. （本小题12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，122BC CD AB===，∠ABC=∠BCD=90°，E为PB的中点。
（1）证明：CE∥面PAD（2）若直线CE 与底面ABCD 所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD 的体积。
19. （本小题12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获得部分员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时）（1）求该单位乙部门的员工人数？（2）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A ，乙部门选出的员工记为B ，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求A 的睡眠时间不少于B 的睡眠时间的概率；（3）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从丙部门抽出的员工中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X 表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望． 20. （本小题12分）已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率为2，且22a b =.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l ：0x y m -+=与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆225x y +=上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由． 21. （本小题12分）设函数()()22ln f x a x x ax a R =-+∈.（1）求()f x 的单调区间；（2）求使()21e f x e -≤≤对[]1,x e ∈恒成立的a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.22. （本小题10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(其中t 为参数）.现以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 坐标为(－1,0)，直线l 交曲线C 于A,B 两点，求PA PB +的值. 23. （本小题10分）已知函数()()22f x x x a x R =++-∈． （1）当0a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()24f x x ≤+对任意[]10x ∈-，成立，求实数a 的取值范围．2020新课标1高考压轴卷数学（文）Word 版含解析参考答案1. 【答案】B【解析】因{}{}228024A x x x A x x x =+-≥⇒=≥≤-或， 所以23[2,3)B x A ≤<==I ，故本题选B. 2. 【答案】D【解析】因为()()12z i i =+-3i =+ 所以2223(1)10z =+-= 故选D 3. 【答案】A【解析】由已知可得：22a b a -=v v v g ，得3a b =v vg， 设向量a 与b 的夹角为θ，则cos 2a b a bθ==⨯v vg v v 所以向量a r 与b r 的夹角为6π故选A. 4. 【答案】A【解析】由三视图可知，几何体为三棱锥∴三棱锥体积为：1115 2.448332V Sh ==⨯⨯⨯⨯= 本题正确选项：A 5. 【答案】B【解析】由题意可知，甲乙两人依次各抽一题共有210109452C ⨯==种情况， 甲乙两人都抽到判断题共有246C =种情况， ∴甲乙两人中至少有一人抽到选择题共有39种情况， ∴甲乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为39134515P ==， 故选：B ． 6. 【答案】B【解析】由题意，执行程序框图，可得：第1次循环：11,42S i=-=；第2次循环：111,824S i=--=；第3次循环：1111,16248S i=--==；依次类推，第7次循环：11111,256241288S i=----==L，此时不满足条件，推出循环，其中判断框①应填入的条件为：128?i≤，执行框②应填入：1S Si=-，③应填入：2i i=.故选：B.7. 【答案】B【解析】画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，2y x z=-+，可知截距越大z值越大，根据图象得出最优解为(1,0)，则2z x y=+的最大值为2，选B.8. 【答案】C【解析】等差数列{an}中，∵a4+a7+a10=9，S14﹣S3=77，∴745143977aa a a=⎧⎨+++=⎩L，解得a1=﹣9，d=2．∴()19n 22n n n S -=-+⨯=n2﹣10n=（n ﹣5）2﹣25，∴当n=5时，Sn 取得最小值． 故选C ． 9. 【答案】C【解析】因为sin b A = cos 6a B π⎛⎫+⎪⎝⎭，展开得sin b A =1?cos sin 2B a B -，由正弦定理化简得sin sinB A =1?cos sin 2sinA B sinA B -= cos B即3tanB =，而三角形中0<B<π，所以π 6B =由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ，代入(2223236b π=+-⨯⨯解得b =所以选C10. 【答案】A【解析】圆22x y 2x 4y 10++-+=的标准方程为：（x+1）2+（y ﹣2）2 =4， 它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆； 设弦心距为d ，由题意可得 22+d 2=4，求得d=0， 可得直线经过圆心，故有﹣2a ﹣2b+2=0， 即a+b=1，再由a ＞0，b ＞0，可得41a b +=（41a b + ）（a+b ）=5+4b a a b +9= 当且仅当4b a =a b 时取等号，∴41a b+的最小值是9．故选：A ． 11. 【答案】C【解析】作MD EG ⊥，垂足为点D ．由题意得点(002p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭在抛物线上，则082px =得04px =．① 由抛物线的性质，可知，0||2p DM x =-， 因为1sin 3MFG ∠=，所以011||||332p DM MF x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．所以001232p p x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得：0x p =．②． 由①②，解得：02x p ==-（舍去）或02x p ==． 故抛物线C 的方程是24y x =． 故选C ． 12. 【答案】D【解析】23()(23)()20[3()2][()1]0mf x m f x f x mf x -++=⇒--=，2()3f x =，或1()f x m =，由题意可知：1(0)f m =，由题可知：当0x ≠时，2()3f x =有2个解且1()f x m =有2个解且21332m m ≠⇒≠ ，当0x ≠时，(1())xx f x e e -==，因为11()))((()x x f x e e f x -===-，所以函数()f x 是偶函数，当0x >时，函数()f x 是减函数，故有0()1<<f x ，函数()f x 是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当0x ≠时有，0()1<<f x ，所以0111mm <<⇒>，综上所述； m 的取值范围是331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，故本题选D.13. 【答案】247-【解析】由sin()410πθ-=得：()1sin cos sin cos 2105θθθθ-=⇒-=解方程组：221sin cos {5sin cos 1θθθθ-=+=得：4sin 5{3cos 5θθ==或3sin 5{4cos 5θθ=-=-因为()0,θπ∈，所以sin 0,θ>所以3sin 5{4cos 5θθ=-=-不合题意，舍去所以4tan 3θ=，所以22422tan 243tan 21tan 7413θθθ⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭，答案应填：247-. 14. 【答案】2 【解析】由题知点(),0A a -与点(),0F c 的中点,02c a -⎛⎫⎪⎝⎭也是点()0,B b 与点P 的中点， 所以点P 的坐标为(),c a b --， 又点P 在渐近线by x a=-上， 所以()bb c a a-=--， ∴2c a =， ∴2e =. 故答案为：2 15. 【答案】20202021【解析】12a =，()11113213131n n n n n n a a a a a a ++++=+⇒+=+⇒=+{}1n a +是等比数列，113a +=，11333n n n a -+=⨯= 31n n a =-()()3133log log nn a n b n +===()1111111n n b b n n nn +==-++ 20201111223202020211111112232020202111202120202021S ∴=+++⨯⨯⨯=-+-+⋅⋅⋅+-=-=L故答案为：2020202116. 【答案】①③④⑤【解析】设正六边形长为1，则2PA =.根据正六边形的几何性质可知AE AB ⊥，由PA ⊥平面ABC 得PA AE ⊥，所以AE ⊥平面PAB ，所以AE PB ⊥，故①正确.由于//BC AD ，而AD AE A ⋂=，所以直线//BC 平面PAE 不正确，故②错误.易证得,DE AE DE PA ⊥⊥,所以DE ⊥平面PAE ，所以平面PAE ⊥平面PDE ，故③正确.由于//BC AD ,所以PDA ∠是异面直线PD 与BC 所成角，在Rt PAD ∆中，2AP AD ==，故45PDA ∠=o ，也即异面直线PD 与BC 所成角为45o ，故④正确.连接BD ，则//BD AE ，由①证明过程可知AE ⊥平面PAB ，所以BD ⊥平面PAB ，所以DPB ∠是所求线面角，在三角形PBD 中，5,22,3PB PD BD ===，由余弦定理得10cos =2522DPB ∠=⋅⋅，故⑤正确.综上所述，正确的序号为①③④⑤.17. 【答案】（1）4π；（210.【解析】试题分析：（1）由已知得2[1cos()]4sin sin 22A B A B --+=+， 化简得2cos cos 2sin sin 2A B A B -+=，故2cos()2A B +=-，所以34A B π+=，因为A B C π++=，所以4C π=.（2）因为1sin 2S ab C ⊥=，由6ABC S =V ，4b =，4C π=，所以32a =， 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，所以10c = 18. 【答案】（1）见解析（2）42【解析】解法一:(1)取PA 中点Q ，连接QD ，QE ，则QE ∥AB ，且QE=12AB ∴QE ∥CD ，且QE=CD.即四边形CDQE 为平行四边形，CE ∥QD. 又∵CE ⊄平面PAD ，QD ⊂平面PAD ， ∴CE ∥平面PAD.(2)连接BD ，取BD 中点O ，连接EO ，CO 则EO ∥PD ，且EO=12PD. ∵PD ⊥平面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD. 则CO 为CE 在平面ABCD 上的射影，即∠ECO 为直线CE 与底面ABCD 所成的角，∠ECO=45°在等腰直角三角形BCD中，BC=CD=2，则BD=22，则在RtΔECO中，∠ECO=45°，EO=CO=12BD=22PD=2E0=22，∴1(24)262ABCDS=+⨯=底面∴116224233P ABCD ABCDV S-==⨯⨯=底面∴四棱锥P-ABCD的体积为42.解法二：(1)取AB中点Q，连接QC，QE则QE∥PA∵PA⊂平面PAD，QE⊄平面PAD∴QE∥平面PAD，又∵AQ=12AB=CD，AQ∥CD，∴四边形AQCDカ平行四迹形，则CQ∥DA∵DA⊂平面PAD，CQ⊄平面PAD，∴CQ∥平面PAD，(QE∥平面PAD.CQ∥平面PAD，证明其中一个即给2分) 又QE⊂平面CEQ，CQ⊂平面CEQ，QE I CQ=Q，∴平面CEQ∥平面PAD，又CE⊂平面CQ，∴CE∥平面PAD.(2)同解法一.19. 【答案】 (1)24人；(2)23；(3)X 的分布列见解析；数学期望为1 【解析】（1）由题意，得到分层抽样共抽取：3+6+6＝15名员工， 其中该单位乙部门抽取6名员工， ∴该单位乙部门的员工人数为：66015⨯=24人． （2）由题意甲部门抽取3名员工，乙部门抽取6名员工， 从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，基本事件总数n 1136C C ==18，A 的睡眠时间不少于B 的睡眠时间包含的基本事件（a ，b ）有12个：（6，5.5），（6，6），（7，5.5），（7，6），（7，6.5），（7，7），（8，5.5），（8，6），（8，6.5），（8，7），（8，7.5），（8，8），∴A 的睡眠时间不少于B 的睡眠时间的概率p 122=183=． （3）由题意从丙部门抽出的员工有6人，其中睡眠充足的员工人数有2 人，从丙部门抽出的员工中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X 表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，则X 的可能取值为0，1，2，P （X ＝0）343615C C ==，P （X ＝1）21423635C C C ==， P （X ＝2）12423615C C C ==， ∴X 的分布列为：E （X ）131012555=⨯+⨯+⨯=1． 20. 【答案】（1）；（2）实数m 不存在，理由见解析．【解析】（1）由题意得，解得故椭圆的方程为；（2）设，，线段的中点为联立直线与椭圆的方程得，即， 即，，所以，即．又因点在圆上，可得， 解得与矛盾．故实数不存在．21. 【答案】（1）见解析；（2）{}e【解析】（1）因为()22ln f x a x x ax =-+，其中0x >，所以()()()222x a x a a f x x a x x-+'=-+=-. 所以，0a >时，所以()f x 的单调递增区间为()0,a ，单调递减区间为(),a +∞；0a =时，所以()f x 的单调递减区间为()0,∞+；0a <时，所以()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间为,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭； （2）由题意得()111f a e =-≥-，即a e ≥.由（1）知()f x 在[]1,e 内单调递增，要使()21e f x e -≤≤对[]1,x e ∈恒成立.只要()()222111,,f a e f e a e ae e ⎧=-≥-⎪⎨=-+≤⎪⎩解得a e =.故a 的取值范围是{}e . 22. 【答案】（1）10x y -+=，()2239x y -+=；（2）【解析】（1）由122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y -+=又由6cos ρθ=得26cos ρρθ=，由x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=， 即()2239x y -+=；（2）其122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2260x y x +-=得270t -+=，则121270t t t t +==>所以1212PA PB t t t t +=+=+=23. 【答案】 (1) 533⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．(2) []21-， 【解析】（1）当0a =时，不等式()7f x ≤可化为227x x ++≤． 当0x >时，227x x ++≤，解得53x ≤，故503x <≤； 当10x -≤≤时，227x x +-≤，解得5x ≤，故10x -≤≤； 当1x <-时，()227x x -+-≤，解得3x ≥-，故31x -≤<-． 综上，当0a =时，不等式()7f x ≤的解集为533⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（2）∵()24f x x ≤+对任意[]10x ∈-，成立，∴2224x x a x ++-+≤任意[]10x ∈-，成立， ∴2x a -≤对任意[]10x ∈-，成立，所以22x a x -+≤≤对任意[]10x ∈-，成立又当[]10x ∈-，时，()()min max 212122x x +=-+=-=-，， 故所求实数a 的取值范围是[]21-，．。