2021-2022年高一5月月考试题(数学)
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一年级下册学期5月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．若复数()2100(10)i z x x =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ）A ．10-B ．10C ．100D ．10-或10【答案】A【分析】根据复数为纯虚数知虚部不为0，实部为0求解即可. 【详解】z 为纯虚数， 21000x ∴-=同时100x -≠10x ∴=-，故选：A2．某学校共有老、中、青职工200人，其中有老年职工60人，中年职工人数与青年职工人数相等．现采用分层抽样的方法抽取部分职工进行调查，已知抽取的老年职工有12人，则抽取的青年职工应有（ ） A ．12人 B ．14人 C ．16人 D ．20人【答案】B【分析】利用分层抽样的性质求解. 【详解】由题意知： 抽取的青年职工应有：1220060()14602-⨯=人 . 故选：B.3．在ABC 中，,3,43A AB AC π===，则BC 边上的高为（ ）A ．2BC ．D 【答案】B【分析】利用余弦定理可求BC ，利用等积可求BC 边上的高.【详解】由余弦定理可得22234234cos133BC π=+-⨯⨯⨯=，故BC =设BC 边上的高为h ，故113422h ⨯=⨯⨯h =故选：B.4．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =（ ）A ．1292525a b + B ．16122525a b + C ．4355a b +D ．3455a b +【答案】B【分析】根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.【详解】因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =，则34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++33()44BC BF BA =+-+93164BC BF BA =-+，解得16122525BF BC BA =+，所以16122525a b BF =+. 故选：B5．在ABC 中，150,15ABC BAC ∠=︒∠=︒，则向量BA 在向量BC 上的投影向量为（ ） A ．12BCB3C ．12BC -D ．3BC 【答案】D【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】由题意：||||BA BC = BA ∴在BC 方向上的投影向量为:3||cos ,cos150||BCBA BA BC BC BC →→→→→→→⋅<>⋅=︒⋅=.6．已知直线a ，b ，平面α，β，b αβ=，//a α，a b ⊥，那么“a β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】过直线a 作平面γ，交平面α于直线a '，//a α，//a a '∴，a b '∴⊥，由a β⊥可推出αβ⊥，由αβ⊥可推出a β⊥，故“a β⊥”是“αβ⊥”的充要条件． 【详解】解：若a β⊥，过直线a 作平面γ，交平面α于直线a '，//a α，//a a '∴， 又a β⊥，a β'∴⊥， 又a α'⊆，αβ∴⊥， 若αβ⊥，过直线a 作平面γ，交平面α于直线a '，//a α，//a a '∴， a b ⊥，a b '∴⊥，又αβ⊥，b αβ=，a β'∴⊥，a β∴⊥，故“a β⊥”是“αβ⊥”的充要条件， 故选：C ．7．如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB 的直观图（图中虚线分别与x '轴，y '轴平行），则原图形△AOB 的周长是（ ）A ．654B ．654C ．174D ．4174【答案】B【分析】根据所给斜二测画法的直观图，判断原三角形为等腰三角形且高为16，底为4即可求解.【详解】由直观图可知，原图形△AOB 是等腰三角形，且底边上的高为16，由勾股定理可得，△AOB 的周长为44=. 故选：B8．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作实验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为1x ，2x ，，n x ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（ ） A ．1x ，2x ，，n x 的平均数 B ．1x ，2x ，，n x 的标准差 C ．1x ，2x ，，n x 的众数D ．1x ，2x ，，n x 的中位数【答案】B【分析】利用平均数，标准差，众数，中位数的定义和意义直接求解．【详解】解：平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A 不可以用来评估共享单车使用量的稳定程度，故A 选项错误，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B 可以用来评估共享单车使用量的稳定程度，故B 选项正确，众数表示一组数据中出现次数最多的数，故C 不可以用来评估共享单车使用量的稳定程度，故C 选项错误，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故D 不可以用来评估共享单车使用量的稳定程度，故D 选项错误． 故选：B ．二、多选题9．甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的10次成绩分别为8，6，7，7，8，10，10，9，7，8，乙的10次成绩的平均数为8，方差为0.4，则（ ） A ．甲的10次成绩的极差为4 B ．甲的10次成绩的75%分位数为8 C ．甲和乙的20次成绩的平均数为8 D ．乙比甲的成绩更稳定【答案】ACD【分析】根据给定数据，计算极差、75%分位数、平均数、方差判断各选项作答. 【详解】甲的极差为1064-=，A 正确；将甲的10次成绩由小到大排列为： 6，7，7，7，8，8，8，9，10，10，而1075%7.5⨯=，所以甲的10次成绩的75%分位数为9，B 不正确；甲的10次成绩的平均数为8，而乙的10次成绩的平均数为8，则甲和乙的20次成绩的平均数为108108820⨯+⨯=，C 正确；甲的10次成绩的方差222221[(68)3(78)3(88)(98)2(108)] 1.610-+⨯-+⨯-+-+⨯-=， 显然1.60.4>，乙比甲的成绩更稳定，D 正确. 故选：ACD10．在ABC 中，2A π=，2AB AC ==，下述四个结论中正确的是（ ）A ．若G 为ABC 的重心，则1331AG AB AC =+ B ．若P 为BC 边上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+为定值2C ．若M ，N 为BC 边上的两个动点，且MN AM AN ⋅的最小值为32D ．已知P 为ABC 内一点，若1BP =，且AP AB AC λμ=+，则λ+的最大值为2 【答案】AC【分析】A.以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，由G 为ABC 的重心，结合向量的数乘运算判断；B.设()01BP tBC t =≤≤，把()AP AB AC ⋅+用含t 的代数式表示判断；C.不妨设M 靠近B ，,0BM x x =≤，求得M ，N 的坐标，得到AM AN ⋅关于x 的函数，利用二次函数求值判断；D. 由AP AB AC λμ=+结合BP =1，得到()22114λμ-+=，再令111sin ,cos ,,2242ππλθμθθ⎛⎫-==∈ ⎪⎝⎭，转化为)1sin 1cos 126πλθθθ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质求解判断.【详解】如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则()()()()()0,0,2,0,0,2,2,0,0,2A B C AB AC ==，因为G 为ABC 的重心，所以22,33G ⎛⎫⎪⎝⎭，则22,33AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以 112222,00,,333333AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1331AG AB AC =+，故A 正确；设()01BP tBC t =≤≤，则()1AP AB BP AB tBC t AC t AB =+=+=+-，则()()()()1AP AB AC t AC t AB AB AC ⋅+=+-⋅+，()()()22114414t AC AB t AC t AB t AB AC t t =⋅++-+-⋅=+-=，故B 错误； 不妨设M 靠近B ，,02BM x x =≤，得)2222222,2221,1M N x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则2222221122AM AN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2x =时，AM AN ⋅的最小值为32：故C 正确；由AP AB AC λμ=+，且P 为ABC 内一点，BP =1，则()()2214141BP AP AB AB AC λμλμ=-=-+=-+，即()22114λμ-+=， 令111sin ,cos ,,2242ππλθμθθ⎛⎫-==∈ ⎪⎝⎭，则()133sin 1cos 126πλμθθθ⎛⎫+=-+=++ ⎪⎝⎭，因为,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则52,6123πππθ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以162cos 62πθ⎛-⎛⎫+∈- ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 所以3λμ+的范围是162,12⎛- ⎝⎭，故D 错误. 故选：AC11．已知ABC 中，sin sin cos B C A ＝，tan 37A =，点M 在线段BC 上，AM ＝2，∠BAM ＝∠CAM ，则下列说法正确的是（ ） A ．△ABC 是直角三角形 B ．37sin 8A =C ．BM ＝6CMD ．△ABM 的面积为37【答案】ABD【分析】根据内角和公式化简sin sin cos B C A ＝由此判断A ，再由tan 37A =结合同角关系求sin A 由此判断B ，结合三角形面积公式判断C ，D.【详解】因为sin sin cos B C A ＝，故()sin sin cos A C C A +=，即sin cos cos sin sin cos A C A C C A +=，则sin cos 0A C =，因为sin 0A ≠，则cos C ＝0，2C π=，故ABC 是直角三角形，故A 正确；因为22sin tan 37,cos sin cos 1,A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得37sin ,81cos ,8A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故B 正确；11sin 2211sin 22ACM ABM CM AC AM AC CAM S S BM AC AB AM BAM ⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠△△，则1cos 8CM AC A BM AB ===， 故C 错误；212cos 18CAM ∠-=，3cos cos 4CAM BAM ∠==∠，解得32AC =，AB ＝12，在△ABM 中，7sin 4BAM ∠=，所以711sin 21237224ABM S AM AB BAM =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△，故D 正确，故选：ABD ．12．如图,正方形ABCD 中,E F 、分别是AB BC 、的中点将,,ADE CDF BEF ∆分别沿DE DF EF 、、折起,使、、A B C 重合于点P .则下列结论正确的是A ．PD EF ⊥B ．平面PDE PDF ⊥平面C ．二面角P EFD --的余弦值为13D ．点P 在平面DEF 上的投影是DEF ∆的外心 【答案】ABC【分析】对于A 选项，只需取EF 中点H ，证明EF ⊥平面PDH ；对于B 选项，知,,PE PF PD 三线两两垂直，可知正确；对于C 选项，通过余弦定理计算可判断；对于D 选项，由于PE PF PD =≠，可判断正误.【详解】对于A 选项，作出图形，取EF 中点H ，连接PH ，DH ，又原图知BEF ∆和DEF ∆为等腰三角形，故PH EF ⊥,DH EF ⊥，所以EF ⊥平面PDH ，所以PD EF ⊥，故A 正确；根据折起前后，可知,,PE PF PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE PDF ⊥平面，故B 正确；根据A 选项可知 PHD ∠为二面角P EF D --的平面角，设正方形边长为2，因此1PE PF ==，22PH =，2322222DH =-=，222PD DF PF =-=，由余弦定理得：2221cos 23PH HD PD PHD PH HD +-∠==⋅，故C 正确；由于PE PF PD =≠，故点P 在平面DEF 上的投影不是DEF ∆的外心，即D 错误；故答案为ABC.【点睛】本题主要考查异面直线垂直，面面垂直，二面角的计算，投影等相关概念，综合性强，意在考查学生的分析能力，计算能力及空间想象能力，难度较大.三、填空题13．若复数i(,)z x y x y =+∈R ，且满足i 1z -=，则点(,)x y 所围成的图形面积为__________. 【答案】π【分析】在复平面中，1||2z z -表示复数12z ,z 对应点12Z ,Z 之间的距离． 【详解】由i 1z -=可知(,)Z x y 到(0,1)的距离为1， 即点Z 的轨迹为以(0,1)为圆心，半径为1的圆， 点(,)x y 所围成的图形面积为π． 故答案为：π．14．在某个位置测得一旗杆的仰角为θ，对着旗杆在平行地面上前进60米后测得旗杆仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进203米后，测得旗杆的仰角为原来的4倍，则该旗杆的高度为______米．【答案】30【分析】在EBC 中，由余弦定理求得1cos 2ECB ∠=-，得到60ECD ∠=，结合sin 60DE EC =，即可求解.【详解】如图所示，在EBC 中，60,203EB AB BC EC ====，由余弦定理得222(203)(203)601cos 22203203ECB +-∠==-⨯⨯， 可得120ECB ∠=，60ECD ∠=， 所以3sin 60203302DE EC ==⨯=. 故答案为：30.15．如图，一块边长为4的正方形纸片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形和一个正方形做成一个正四棱锥，则该四棱锥的体积与表面积之比为______．【答案】16【分析】设正方形纸片为1111D C B A ，其内的小正方形为ABCD ，取11D C ，AD 的中点分别为,H G ，连接1,D G DH ，对称性可知1DH =，从而求出1DG 的长，从而得到正四棱锥中的斜高，从而可求出其高，得到体积与表面积. 【详解】如图，设正方形纸片为1111D C B A ，其内的小正方形为ABCD ，做成的正四棱锥为P ABCD - 取11D C ，AD 的中点分别为,H G ，连接1,D G DH由题意，112,4BD A D ==,由对称性可知1DH =，12D H =所以15DD =22211232522D G DD DG ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭即在正四棱锥P ABCD -中，3222PG ==，又122OG AB ==所以22292222PO PG OG ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以正四棱锥P ABCD -的体积为211422333ABCD V S PO =⨯=⨯⨯=， 表面积 2232(2)814222S AD PG AD =⨯⋅+==⋅,所以41386V S ==,故答案为：1616．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到 第6行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号_____ 【答案】578【分析】根据题意按既定的方法向右读，直到取到第六个样本为止，即可得其编号．【详解】根据题意第六行第六列的数是8，从8开始向右读，得到一个三位数808，由于808>600，将它去掉，继续向右读，得到436，436<600说明它在总体内，将它取出，继续向右读，得到789，789>600，将它去掉，再向右读，得到535，535<600，将它取出，按此方法向右读，直到取到第六个样本为止，获得6个样本的编号依次为：436，535，577，348，522，578，因此第6个样本编号为578. 故答案为：578.【点睛】本题考查随机数表法，属于基础题．四、解答题17．已知复数()21i z a =-，243i z =-，其中a 是实数．(1)若12i z z =，求实数a 的值；(2)若12z z 是纯虚数，a 是正实数，求231003111122224444z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】(1)2- (2)1-【分析】（1）利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解； （2）利用12z z 为纯虚数求a ，从而得124i z z =-，然后通过复数的周期性进行求解即可.【详解】（1）∵()21i z a =-，243i z =-，12i z z =∴()22i i 12i 34a a a ==---+从而21324a a ⎧-=⎨-=⎩，解得2a =-，所以实数a 的值为2-．（2）依题意得：()()()()()2212i i 43i 43i 43i 43i a a z z --+==--+ ()()()()2222223222i i 43i 48i 4i 3i 6i 3i 16943i aa a a a a -++-++-+==---()()22464383i25a a a a +-+--=因为12z z 是纯虚数，所以：2246403830a a a a ⎧+-=⎨--≠⎩，从而2a =-或12a =；又因为a 是正实数，所以12a =． 当12a =时，2113()24i i z =-=--，所以12434i i 43i z z --==--， 因为1i i =，2i 1=-，3i i =-，41i =，……，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，（n N ∈）所以231003111122224444z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2341003(i)(i)(i)(i)i （）=-+-+-+-+⋅⋅⋅+-5678100110021003(i 1i 1)(i)(i)(i)(i)(i)(i)(i)⎡⎤⎡⎤=--+++-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-+-⎣⎦⎣⎦00(i 1i)=++⋅⋅⋅+--+1=-所以2310031111222244441z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.18．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，向量()1,1OA =，()2,3OB =-，()6,OC k =-， (1)当29k时，试判断A ，B ，C 三点是否共线，写出理由；(2)若A ，B ，C 三点构成直角三角形，求实数k 的值 【答案】(1)共线，理由见解析(2)34-或5-【分析】（1）利用向量共线的条件进行运算求解即可； （2）分三种情况分别计算数量积为0时，实数k 的值即可. 【详解】（1）因为()()()2,31,11,4AB OB OA =-=--=-,()()()6,291,17,28AC OC OA =-=--=-,所以7AC AB =-，且有公共点A ,故A ，B ，C 三点共线.（2）由(1)知，()1,4AB =-，()()()6,1,17,1AC OC OA k k =-=--=--，()()()6,2,38,3BC OC OB k k =-=---=-+，若90A ∠=︒，则0AB AC ⋅=，即()()17410k ⨯---=，34k =-.若90B ，则0BA BC ⋅=，即()()()18430k -⨯-++=，5k =-若90C ∠=︒，则0CA CB ⋅=，即()()()()78130k k -⨯-+-+=，22530k k ++=，无实根. 故实数k 的值为34-或5-.19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin cos C c A =，3a =． (1)求A 大小；(2)若BC ，求ABC 的面积． 【答案】(1)π6A =【分析】(1)由正弦定理化边为角，化简求解；(2)由余弦定理列方程求bc ，再由三角形面积公式求面积.【详解】（1sin cos C c A =，sin sin cos A C C A =，因为sin 0C ≠，所以tan A ()0,πA ∈，所以π6A =，（2）设BC 边上的中线为AD ，在ABC 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即2293b c bc =+-①．在ADC △和ADB 中，cos cos 0ADC ADB ∠+∠=，所以222222022AD CD b AD BD c AD CD AD BD+-+-+=⨯⨯，即()22222=AD CD b c ++化简2215b c +=， 代入①式得23bc =，所以ABC 的面积1113sin 232222S bc A ==⋅⋅=20．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球(球A 和球)B ，圆柱的底面直径为22+，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球.B(1)求球A 的体积；(2)求圆柱的侧面积与球B 的表面积之比. 【答案】(1)4π3322+【分析】（1）根据圆柱的轴截面分析即可；（2）直接利用球表面积、圆柱的侧面积公式计算即可．【详解】（1）设圆柱的底面半径为R ，小球的半径为r ，且r R <， 由圆柱与球的性质知2222(2)(22)(22)AB r R r R r ==-+-，即22420r Rr R -+=，r R <，()()222222 1.2r R +∴=-=-⨯= ∴球A 的体积为344ππ.33V r ==（2）球B 的表面积214π4πS r ==，圆柱的侧面积22π24π(642)πS R R R =⋅==+2， ∴圆柱的侧面积与球B 的表面积之比为322.2+21．由于2020年1月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民生活也逐步恢复正常．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机．某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地AOB 进行改造．如图所示，平行四边形OMPN 区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P 在弧AB 上，点M 和点N 分别在线段OA 和线段OB 上，且90OA =米，3AOB π∠=．记POB θ∠=．(1)当4πθ=时，求OM ON ⋅；(2)请写出顾客的休息区域OMPN 的面积S 关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S 取得最大值． 【答案】(1)()135031；(2)S 270032135036πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π0θ3；当6πθ=时，S 取得最大值.【分析】（1）在△OPM 中由正弦定理求得,PM OM ，即可由数量积的定义求得结果；（2）在△OPM 中由正弦定理用θ表示,PM OM ，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据三角函数的性质，即可求得取得最大值时对应的θ.【详解】（1）根据题意，在△OPM 中，2,,1234MOP PMO MPO πππ∠=∠=∠=，又90OP =， 故由正弦定理sin sin sin OP PM OMPMO MOP MPO==∠∠∠==解得45PM ON ==⎭，OM = 故OM ON⋅)1cos 45135012OM ON AOB =⨯⨯∠=⨯=⎭.即OM ON⋅)13501=.（2）由题可知，在△PMO 中，290,,,33OP PMO MPO MOP ππθθ=∠=∠=∠=-， 则由正弦定理sin sin sin OP OM PMPMO MPO MOP ==∠∠∠sin sin 3OM PMπθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，故可得,3OM PM πθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故1sin 23PMOSPMO MP MO πθθ⎛⎫=∠⨯⨯=-⨯ ⎪⎝⎭21sin cos sin 32πθθθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112cos 244θθ⎫=+-⎪⎪⎝⎭11sin 2264πθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦26πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)3πθ<<即22)63PMOS S ππθθ⎛⎫==+-<< ⎪⎝⎭.当6πθ=时，sin 216πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时S 取得最大值.22．在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长2AB =，M ，N ，P 分别是1C C ，11B C ，11C D 的中点．(1)直线11A C 交PN 于点E ，直线1AC 交平面MNP 于点F ，求证：M ，E ，F 三点共线． (2)求三棱锥D MNP -的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）本意利用点线面位置关系的额相关知识，先证平面11AAC C 平面PMN ME =，再证F ∈平面PMN ，F ∈平面11AAC C ；（2）利用转换顶点处理即D MNP N MDP V V --=．【详解】（1）证明：11AC PN E =， 11E AC ∴∈，E PN ∈，则E ∈平面11AAC C ，E ∈平面MPN 又1M CC ∈，M ∴∈平面11AAC C ，又M ∈平面PMN ， ∴平面11AAC C 平面PMN ME =，1AC 平面MPN F =，F ∴∈平面PMN ，F ∈平面11AAC C ，∴点F 在直线ME 上，则M ，E ，F 三点共线．（2）解：113D MNP N MDP MDPV V S NC --==⋅，又1113222111212222MDPS=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，。
2021-2022学年山东省济南市长清中学高一年级下册学期5月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省济南市长清中学高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队的平均每场进球数为，全年比赛进球个数的3.2标准差为3；乙队的平均每场进球数为，全年比赛进球个数的标准差为．下列说法正确的个1.80.3数为（ ）①甲队的技术比乙队好； ②乙队发挥比甲队稳定；③甲队的表现时好时坏．A ．0B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】根据平均数、方差的知识，对四个说法逐一分析，由此得出正确选项.【详解】∵甲队平均数大于乙队的平均数，∴甲队的技术比乙队好，又∵甲队的标准差大于乙队的标准差，∴乙队发挥比甲队稳定，甲队的表现时好时坏，故①②③都对．故选：B【点睛】本题主要考查平均数、方差在实际生活中的应用，属于基础题.2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为（ ）A ．3件都是正品B ．至少有1件次品C ．3件都是次品D ．至少有1件正品【答案】C【分析】根据随机事件、不可能事件、必然事件即可得出结果.【详解】25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品.故选：C3．长方体同一顶点上的三条棱长分别为2，2，3，则长方体的体积与表面积分别为（ ）A ．12，32B ．12，24C ．22，12D ．12，11【答案】A【分析】根据长方体的体积公式和表面积公式可得正确的选项.【详解】长方体的体积为，表面积为，22312⨯⨯=()222+23+2332⨯⨯⨯=故选：A.4．饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能P A 的，那么点经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（ ）P BA ．B ．C ．D ．116181412【答案】B【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】解：点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，P A 则样本空间{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），Ω=（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B ”为事件，则{（下，下，右）}，由古典C C =概型的概率公式可知．()18P C =故选：B ．5．连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量与向量的夹角的概率是（ ）(,)m n (1,1)-2πθ>A ．B ．C ．D ．1213712512【答案】D【分析】确定的可能组合数，由题设列举出的可能组合，即可求概率.(,)m n n m <【详解】由题设，向量的可能组合有36种，(,)m n 要使向量与向量的夹角，则，即，(,)m n (1,1)-2πθ>(1,1)(,)0n m n m ⋅-=-<n m <满足条件的情况如下：时，，2m ={1}n ∈时，，3m ={1,2}n ∈时，，4m ={1,2,3}n ∈时，，5m ={1,2,3,4}n ∈时，，6m ={1,2,3,4,5}n ∈综上，共有15种，故向量与向量的夹角的概率是.(,)m n (1,1)-2πθ>1553612=故选：D6．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：66674037146405711105650995866876832037905716031163149084452175738805905223594310若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ）A ．10B ．09C ．71D ．20【答案】B【分析】按照题意依次读出前4个数即可.【详解】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，所以选出来的第4个个体的编号为09，故选：B7．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为A ．85，85，85B ．87，85，86C ．87，85，85D ．87，85，90【答案】C【详解】由题意可知，学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数，成绩排列为75,80,85,85,85,85，90,90,95,100，可得众数为1009590285480758710++⨯+⨯++=85，中位数，因此选C8585852+=8．用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为（ ）A B ．C ．4D ．【答案】A【分析】画出直观图，求出底和高，进而求出面积.【详解】如图，，，，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则所以直观2OA =1OC =45COA ∠=︒CD =图是底为2､的平行四边形.OABC故选：A.二、多选题9．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法正确的是（ ）A ．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则1x 2x 12x x >B ．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则12s 22s 2212s s >C ．甲成绩的极差小于乙成绩的极差D ．甲成绩比乙成绩稳定【答案】ACD【分析】根据折线图中的数据，结合平均数的求法、方差的求法及其意义、极差的概念，应用数形结合的方法即可判断各项的正误.【详解】由图知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试都高于乙同学，知，12x x >A 正确；甲同学的成绩比乙同学稳定，故，所以B 错误，D 正确；极差为数据样本的最大值2212s s >与最小值的差，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，所以C 正确.故选：ACD ．10．一组数据，，…，的平均数是3，方差为4，关于数据，，…，，1x 2x n x 131x -231x -31n x -下列说法正确的是（ ）A ．平均数是3B ．平均数是8C ．方差是11D ．方差是36【答案】BD【分析】利用平均数和方差的线性关系直接求解.【详解】设：，，，…，的平均数为，方差为，则，.1x 2x 3x n x x 2s 3x =24s =所以，，…，的平均数为，131x -231x -31n x -313318x -=⨯-=方差为.22233436s =⨯= 故选：BD.11．如图，是水平放置的的直观图，A B C ''' ABC 2,A B A C B C ''=''=''=中，有（ ）ABCA ．B ．AC BC =2AB =C ．D ．AC =ABC S =△【答案】BD【分析】将直观图还原为原平面图形即可求解.A B C ''' ABC 【详解】解：在直观图中，过作于A B C ''' C 'C D A B ''''⊥D ¢2,A B A C B C ''=''=''=，∴1,2A D C D ''''===又，所以，，，45C O D '''∠=2O D ''=1O A ''=O C ''=所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图A B C ''' ABC，故选项B 正确；1,2OC OA AB ===又A 、C 错误；AC AC ====D 正确；11222ABC S AB OC =⨯⨯=⨯⨯= 故选：BD.12．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，1412下列结论正确的是（ ）A ．2个球都是红球的概率为B ．2个球中恰有一个红球的概率为1812C ．至少有1个红球的概率为D ．2个球不都是红球的概率为3878【答案】ABD【分析】A 选项直接乘法公式计算；B 选项分甲袋红球和乙袋红球两种情况；C 、D 选项先计算对立事件概率.【详解】对于A ，，正确；对于B ，，正确；对于C ，111428P =⨯=1131142422P =⨯+⨯=，错误；对于D ，，正确.3151428P =-⨯=1171428P =-⨯=故选：ABD.三、填空题13．同时抛三枚均匀的硬币，则事件“恰有2个正面朝上”的概率为________.【答案】##380.375【分析】由古典概型的概率公式求解，【详解】设正面为1，反面为0，则同时抛三枚均匀的硬币的结果有000，001，010，011，100，101，110，111共8种，其中恰有2个正面朝上的结果有3种，故所求概率为 38故答案为：3814．某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手打出如下分数：，则其百7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.7,9.950分位数为________．【答案】8.5【分析】由题意，数据按照从小到大的顺序排列，分析得百分位数即为这组数据的中位数，所50以找第个数据.48.5【详解】由题意可知，共有个数据并且已经按照从小到大的顺序排列，其百分位数即为这组数750据的中位数，所以其百分位数是第个数据为.5048.5故答案为：8.515．《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何?”其意为:“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出 ____________钱．（所得结果四舍五入，保留整数）【答案】17【分析】利用分层抽样找到丙所带钱数占三人所带钱总数的比例即可.【详解】依照钱的多少按比例出钱，则丙应出:钱.18056100=1617560+350+180109⨯≈故答案为：1716．在三棱锥中，点Р在底面ABC 内的射影为Q ，若，则点Q 定是-P ABC PA PB PC ==的______心．ABC 【答案】外【分析】由可得，故是的外心.PA PB PC ==QA QB QC ==Q ABC 【详解】解：如图，∵点在底面ABC 内的射影为,∴平面P Q PQ ⊥ABC 又∵平面、平面、平面，QA ⊂ABC QB ⊂ABC QC ⊂ABC∴、、.PQ QA ⊥PQ QB ⊥PQ QC ⊥在和中，,∴，∴Rt PQA Rt PQB PA PB PQ PQ =⎧⎨=⎩PQA PQB ≅ QA QB =同理可得：,故QA QC =QA QB QC ==故是的外心.Q ABC 故答案为：外.四、解答题17．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．（1）共有多少个样本点？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？【答案】（1）10个；（2） .310【分析】（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，即可枚举出基本事件；（2）根据古典概型公式即可得到结果.【详解】（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1，2号球用(1，2)表示)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．因此，共有10个样本点；（2）上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A )，即(1，2)，(1，3)，(2，3)，故P (A )＝.310故摸出2只球都是白球的概率为.31018．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡墙（dǎo ），周四丈八尺，高一丈一尺，文积几何？”意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少立方尺？（注：，1丈=10尺）3π≈【答案】(立方尺)2112【分析】根据圆柱底面周长求出城堡的底面半径，结合圆柱的体积公式计算即可.【详解】设圆柱形城堡的底面圆半径为，r 则，解得尺，248r π=4882r π==又城堡的高尺，11h =所以它的体积立方尺．211642112V r h ππ==⨯=19．国家射箭女队的某优秀队员射箭一次，击中环数的概率统计如表：命中环数10环9环8环7环概率0.300.320.200.10若该射箭队员射箭一次.求：(1)射中9环或10环的概率；(2)至少射中8环的概率.【答案】(1)0.62(2)0.82【分析】由事件间的关系结合互斥事件概率加法公式即可计算所求事件概率.【详解】（1）设射中9环或10环的概率为，则；1P 10.300.320.62P =+=（2）设至少射中8环的概率为，则.2P 20.300.320.200.82P =++=20．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.【答案】80+【解析】首先求出四棱台上、下底面面积与侧面面积，然后求出表面积即可.【详解】如图，在四棱台中，1111ABCD A B C D -过作，垂足为，1B 1B F BC ⊥F 在中，，，1Rt B FB 1(84)22BF =⨯-=18B B =故，1B F ==所以111(84)2BB C C S =⨯+⨯=梯形故四棱台的侧面积，4S =⨯=侧所以四棱台的表面积448880S =⨯+⨯=+表【点睛】本题考查了四棱台的表面积，属于基础题.21．某中学要从高一年级甲乙两个班级中选择一个班参加电视台组织的“环保知识竞赛”，该校对甲乙两班的参赛选手（每班7人）进行了一次环保知识测试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是85.（1）求，的值；x y （2）根据茎叶图，求甲乙两班同学方差的大小，并从统计学角度分析，该校应选择甲班还是乙班参赛.【答案】（1），；（2）乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加．9x =5y =【分析】（1）利用茎叶图，根据甲班7名学生成绩的平均分是85，乙班7名学生成绩的中位数是85．先求出，，x y （2）求出乙班平均分，再求出甲班7名学生成绩方差和乙班名学生成绩的方差，由此能求出结果．【详解】解：（1）甲班的平均分为：；1(75788080859296)857x +++++++=解得，9x =乙班7名学生成绩的中位数是85，，5y ∴=（2）乙班平均分为：；1(75808085909095)857++++++=甲班7名学生成绩方差，2222222211360(107540711)77S =++++++=乙班名学生成绩的方差，2222222221300(105505510)77S =++++++=两个班平均分相同，，2221S S <乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加．∴【点睛】本题考查茎叶图的应用，解题时要认真审题，属于基础题．22．某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：)，并绘制频率分布直方图如下：kg（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)【答案】（1）众数为为85，平均数为；（2）每天应该进98千克苹果.89.75【分析】（1）在图中找最高的矩形对应的值即为众数，利用平均数公式求平均数；（2）由题意分析需要找概率为0.8对应的数，类比在频率分布直方图中找中位数的方法即可求解.【详解】（1）如图示：区间频率最大，所以众数为85，[)80,90平均数为：()650.0025750.01850.04950.0351050.011150.002510x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯89.75.=（2）日销售量[60，90)的频率为，日销量[60，100)的频率为，0.5250.8<0.8750.8>故所求的量位于[)90,100.由得0.80.0250.10.40.275,---=0.2759098,0.035+≈故每天应该进98千克苹果.【点睛】从频率分布直方图可以估计出的几个数据：(1)众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；(2)平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加；(3)中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．。
2021-2022年高一数学第一次月考试题及答案
2021-2022年高一数学第一次月考试题及答案说明：本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为填空题和解答题，共90分。
全卷满分为150分，答题时间为120分钟。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是正确的，请把正确答案涂在机读卡相应的位置上。
1．设全集，，，则等于( )(A) (B) {d} (C) {a,c} (D) {b,e}2．函数的定义域为（）（A）（B）（C）（D）3．下列函数中是偶函数的是（）（A）（B）（C）（D）4．已知，则的大小关系是（）A．B．C．D．5．．函数的图象是（）7．函数的单调递减区间为（）（A）（B）（C）（D）8．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）9．设函数对任意满足，且，则（）（A）-2 （B）（C）2 （D）110．，则（）（A）（B）（C）(D)11．定义在上的函数满足下列两个条件：⑴对于任意的，都有；⑵的图象关于轴对称。
则下列结论中，正确的是（）（A）（B）（C）（D）12.对于，不等式恒成立的的取值范围是（）(A) (B) 或 (C) (D) 或第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）把答案填在答卷相应的横线上。
13．设集合，，则等于_______ __。
14． 。
15．函数的值域为_________ 。
16．已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则_______（用区间表示）。
三、解答题（本题共6个小题，共70分）解答应写出必要的文字说明、证明过程以及演算步骤，把答案写在答卷相对应题号的方框内。
17．（本题满分10分）求下列各式的值（1）49lg 213lg 247lg 35lg 2++- （2）021231)12()972()71()027.0(--+---- 18．（本题满分12分）已知是方程()22040x px q p q ++=->的解集，，，且，，试求、的值。
2021-2022年高一数学上学期第一次月考题
2021-2022年高一数学上学期第一次月考题一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合,,则 （ ） A ． B ． C ． D ．2．在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是 （ ） A ．B ．C ．D ．3．下列四个函数中，在上是增函数的是 （ ）A ．． B. C. D.4．已知，那么的值是 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 5．已知两个函数和的定义域和值域都是集合 ，则方程的解集是 （ ） A. B. C. D. 6是 （ ） A. B. C. D. 7．函数是上的增函数，若对于都有成立，则必有（ ）A. B. C. D.8．若与在区间上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．（0，1）D ． 9．设函R ）的最大值为，当有最小值时的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．若，是，这两个函数中的较小者，则的最大值是（ ） A.2 B.1 C.-1 D.无最大值 11．设函数，给出下列四个命题： （1）当时，函数是单调函数； （2）当时，方程只有一个实根； （3）函数的图像关于点对称； （4）方程至多有3个实根。
其中正确命题的个数是 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个12．已知定义的R 上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 （）A. B ． C ． D ．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） 13．一次函数是减函数，且满足，则 ． 14．已知函定义在上的减函数，那么的取值范围是 ．15．设，则集合的所有元素的积为_______________16．已知当，表示不超过的最大整数，称为取整函数，例如，若，且函数，则方程的所有解之和为__________．三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合（1）当时，求；（2）若，求实数的值.18．(本小题满分12分)已知函数，且． (1)求实数k 的值及函数的定义域；(2)用定义法判断函数在(0，＋∞)上的单调性 19．(本小题满分12分)设函数．（1）在区间上画出函数的图象；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明.20．(本小题满分12分)已知集合，．（1）若，求的取值范围；（2）当取使不等式恒成立的的最小值时，求．21．(本小题满分12分)已知函数.(Ⅰ)若函数的值域为，求的值；(Ⅱ)若函数的函数值均为非负数，求的值域．22．(本小题满分12分)对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。
2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题含答案 (2)
（2）问从种植起，第几年树木生长最快？
22.对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点.已知f(x)＝ax2＋1.
（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；
（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2.
【答案】（1） ；（2） ．
19.已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的定义域，并判断函数 的奇偶性；
（Ⅱ）求解关于 的不等式 ．
【19题答案】
【答案】（Ⅰ）定义域为 ，函数 既不是奇函数，也不是偶函数；（Ⅱ） .
20.已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在区间 上 单调递增区间.
【20题答案】
A. B.
C. D.
【5题答案】
【答案】D
6. “ ”是“ ”成立的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【6题答案】
【答案】B
7.函数 的部分图象如图所示.将 图象上所有的点向右平移 个单位长度，所得图象的函数解析式是（）
A. B.
C. D.
【7题答案】
① 在区间 上是单调的；
②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称 是函数 的一个“黄金区间”.
如果 可是函数 的一个“黄金区间“，则 的最大值为（）
A. B.1C. D.2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.若 为第二象限角，则下列结论正确的是（）
A B. C. D.
【9题答案】
2021-2022学年重庆市永川中学校高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
2021-2022学年重庆市永川中学校高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．若a R ∈，则2a =-是复数()()226a a a i +++-为纯虚数的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据纯虚数的概念和充分、必要条件的概念进行判定即可.【详解】设()2(2)6(2)(2)(3)z a a a i a a a i =+++-=++-+,当2a =-时4z i =-,是纯虚数，当z 为纯虚数时，()()20230a a a +=⎧⎨-+≠⎩，∴2a =-,故2a =-是复数()2(2)6a a a i ++--为纯虚数的充分必要条件.故选：C.2．已知a ，b 是不共线的非零向量，若()()2//2a kb a b -+，则实数k =（ ） A ．4- B ．1C ．1-D ．2【答案】A【分析】利用向量共线基本定理，可得()22a kb a b λ-=+，即2,2,k λλ=⎧⎨-=⎩求解即可【详解】由()()2//2a kb a b -+可知存在实数，使得()222a kb a b a b λλλ-=+=+，所以2,2,k λλ=⎧⎨-=⎩从而可得4k =-． 故选：A3．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD 是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A 到C 的路径中，最短路径的长度为A ．210B ．25C ．3D ．2【答案】A【解析】由圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求解． 【详解】圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2， 则在此圆柱侧面上从A 到C 的最短路径为线段AC ，2226210AC =+=.故选A ．【点睛】本题考查圆柱侧面展开图中的最短距离问题，是基础题．4．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A 测得滕王阁顶端仰角为30︒，此人往膝王阁方向走了42米到达点B ，测得滕王阁顶端的仰角为45︒，则滕王阁的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（参考数据：3 1.732≈）A ．49米B ．51米C ．54米D ．57米【答案】D【分析】设滕王阁的高度为h ，由题设可得3tan 42h CAD h ∠==+，即可求滕王阁的高度. 【详解】设滕王阁的高度为h ，由题设知：45,30CBD CAD ∠∠=︒=︒， 所以BD CD h ==，则42AD AB BD h =+=+， 又3tan 42CD h CAD AD h ∠===+5731h =≈-米. 故选：D5．一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，该圆锥的母线长为A ．83B ．4C ．D ．【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，利用扇形面积公式和圆锥表面积公式，求出圆锥的底面圆半径和母线长．【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l 它的侧面展开图是圆心角为90的扇形 22r l ππ=⋅∴ 4l r ∴=又圆锥的表面积为5π 2245r rl r r r πππππ∴+=+⋅=，解得：1r = ∴母线长为：44l r ==本题正确选项：B【点睛】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，关键是能够熟练应用扇形面积公式和圆锥表面积公式，是基础题．6．设向量a ，b 满足()1,3,0a a b a a b =+=⋅+=，则2a b -（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】B【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得24,1b a b =-⋅=，从而求得2a b -的值． 【详解】解：∵()0a a b ⋅+=，1a = ∴21a a b =-⋅=∵向量a ，b 满足3a b += ∴2223a a b b +⋅+= ∴24b =则()2222244444a b a ba ab b -=-=-⋅+=++=故选B ．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．7．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.若四棱锥P ABCD -为阳马，已知PA ⊥面ABCD ，PA AB AD ==四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．5πC ．6πD ．7π【答案】C【分析】由题意，将四棱锥P ABCD -补形为正方体，则四棱锥P ABCD -外接球的直径即为正方体的体对角线长，最后根据球的面积公式即可得答案.【详解】解：由题意，因为PA ⊥面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，又AB AD ⊥，2PA AB AD ===，所以将四棱锥P ABCD -放置在如图所示的正方体中，则正方体的外接球即为四棱锥P ABCD -的外接球， 所以四棱锥P ABCD -的外接球直径为()()()22222226PC R ==++=所以球O 的表面积为246S R ππ==， 故选：C.8．设O 是ABC ∆的外心，满足11()22AO t AB t AC =+-，()t R +∈，若||||4AB AC ==，则ABC ∆的面积是 A ．4 B ．3C ．8 D ．6【答案】B【分析】取AC 中点D,由AO AD DO =+以及题设条件得到8AO AC ⋅=，计算11()22AO AC t AB AC t AC AC ⋅=⋅+-⋅，得到3sin BAC ∠.【详解】取AC 中点D ，因为O 是ABC ∆的外心，所以DO AC ⊥()21=82AO AC AD DO AC AD AC AC ⋅=+⋅=⋅=11()22AO t AB t AC =+-21111()cos ()82222AO AC t AB AC t AC AC t AB AC BAC t AC ∴⋅=⋅+-⋅=⋅∠+-=则111cos ()168226BAC t t ∠+-⨯= ，解得：1cos 2BAC ∠=所以3sin BAC ∠= 即13sin 44432212ABCS AB AC BAC ∆故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角形外心的知识，属于中档题.二、多选题9．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i-B ．z 的虚部为75i C ．3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限【答案】AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】()()32232474725555i i i i iz i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，1649653z +==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数. 10．已知向量(cos ,sin )a αα=，(2,1)b =，则下列命题正确的是（ ） A ．||a b -51B ．若||||a b a b +=-，则1tan 2α=C ．若e 是与b 共线的单位向量，则255(,5e = D ．当()f a b α=⋅取得最大值时，1tan 2α=【答案】AD【分析】设(cos ,sin )OA a ==αα，(2,1)OB b ==，利用向量的减法的几何意义可判定A ；利用向量的数量积运算法则转化为2cos sin 0a b ⋅=+=αα，可判定B ；根据与b 共线的单位向量有两个相反的方向，可以否定C ；利用向量的数量积等于一个向量的模与另一个向量在第一个向量上的投影的乘积，转化为求何时向量(cos ,sin )a αα=在向量(2,1)b =上的投影最大，利用向量共线且方向相同的坐标表示即可判定D.【详解】∵22cos +sin =1a =αα，∴(cos ,sin )a αα=是单位向量，设(cos ,sin )OA a ==αα，(2,1)OB b ==，则||||||||15a b AB OA OB -=≤+=+，当(cos ,sin )a αα=，(2,1)b =方向相反，即cos 2sin 0αα=<时取等号，∴||a b -的最大值为51+，故A 正确；||||a b a b +=-等价于()()22a ba b +=-即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，即2cos sin 0a b ⋅=+=αα，∴1tan 2α=-，故B 错误；与b 共线的单位向量为(2,1)255,555b b⎛⎫±=±=± ⎪ ⎪⎝⎭，故Ｃ错误； ()f a b α=⋅最大，当且仅当向量(cos ,sin )a αα=在向量(2,1)b =上的投影最大，即向量(cos ,sin )a αα=与(2,1)b =同向，亦即cos 2sin 0αα=>，此时1tan 2α=，故D 正确. 故选：AD11．三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论正确的是（ ）A ．12m n+为常数 B ．2m n +的最小值为3 C ．m n +的最小值为169D ．2211m n +的最小值为95 【答案】ABD【分析】利用三点共线可得12133m n+=，然后利用基本不等式和构造二次函数，即可判断正误. 【详解】解：对于A ：P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =， 则1233AP AB AC =+， 若AM mAB =，AN nAC =，则1233AP AM AN m n=+，又由M 、P 、N 三点共线，可得12133m n+= 所以123m n+=，故12m n +为常数，A 选项正确；对于B ：11212212(2)5523333m n m n m n m n n m ⎡⎛⎫⎡⎤+=++=++≥+=⎢ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣，当且仅当22m nn m=，即1m n ==时等号成立，则2m n +的最小值为3，B 选项正确；对于C ：112121()33213333m n m n m n m n n m ⎡⎛⎫⎡⎤+=++=++≥+=+⎢ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣当且仅当n =时等号成立，C 选项错误； 对于D ：11120,0,3m n m n>>+=， 121330,02m n n ∴=-><<，2222221*********(3)51295555m n n n n n n ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭， 即当16123,355n m n ==-=时，2211m n +的最小值为95，D 选项正确；故选：ABD.12．在ABC 中，D 在线段AB 上，且5AD =，3BD =.若2CB CD =，1cos 4CDB ∠=-，则（ ）A ．3sin 10CDB ∠=B ．ABCC ．ABC 的周长为12+D ．ABC 为钝角三角形【答案】CD【分析】由已知结合余弦定理，同角平方关系及三角形的面积公式分别判断各选项即可．【详解】由1cos 4CDB ∠=-可得sin CDB ∠=，故A 错误；设CD x =，2CB x =，在△CBD 中由余弦定理可得，2219446x x x+--=，整理可得，2260x x --=， 解可得，2x =，即2CD =，4CB =， 所以115115325221522ABC BCD ADC S S S =+=⨯⨯⨯⨯=△△△B 错误； 由余弦定理得222222cos 22BC BD CD BC AB AC B BC BD BC AB +-+-==⋅⋅, 即216941664234284AC +-+-=⨯⨯⨯⨯，解得26AC =故周长84261226AB AC BC ++=+++C 正确； 由余弦定理可得，6cos 02426C =⨯⨯， 故C 为钝角，D 正确， 故选：CD ．【点睛】本题综合考查了余弦定理，三角形的面积公式及同角平方关系的应用，属于中档题．关键在于熟练云用余弦定理进行计算.三、填空题13．在解三角形时，往往要判断三角形解的情况，现有△ABC 满足条件：边20c =，角60B =︒，我想让它有两解，那么边b 的整数值我认为可取______（只填符合条件的一种即可） 【答案】18或19【分析】在三角形中，已知其中一边和其中一角，根据几何关系得出另一边和已知边和角的关系，求出b 的取值范围，即可求出b 的整数值 【详解】解：由题意，在△ABC 中，20c =，60B =︒，b 为整数，∵三角形有两解， ∴sin c b c B >>即2020sin 60b ，解得：10320b，∴b 的整数值为18或19. 故答案为：18或19.14．复数z 满足34i 2z ++=，则z z ⋅的最大值是______． 【答案】49【分析】利用复数z 的几何意义，得到复数z 对应的图形，由图形求出z z ⋅的最大值.【详解】解：设复数z 在复平面内对应的点坐标为(),Z a b ，复数z 满足34i 2z ++=，则z 的几何意义为复平面内到点()3,4--的距离为2的点的集合，即以()3,4--为圆心，以2为半径的圆. 2z z z ⋅=，其几何意义为复平面内点Z 到原点距离的平方，所以z z ⋅的最大值为圆心到原点的距离加半径的平方，即()22234249z z ⋅=++=.故答案为：4915．如图，点O 为ABC 内一点，且0OA OB OC ++=，0OA OB ⋅=，2AB =，则CA CB ⋅=______【答案】8【分析】由0OA OB OC ++=，知点O 为ABC 的重心．连接CO 并延长，交AB 于点D ，可得CO 和OD 的长，又·()?()CA CB CO OA CO OB =++，利用平面向量的数量积公式计算即可得解． 【详解】解：由0OA OB OC ++=，所以点O 为ABC 的重心．连接CO 并延长，交AB 于点D ．又0OA OB ⋅=，所以OA OB ⊥． 在Rt ABO △中，112OD AB ==，所以22CO OD ==． ()()()222448CA CB CO OA CO OB CO CO OA OB OA OB CO CO OD ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+⋅=+=故答案为：8.四、双空题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin 2sin sin A B C =，则c bb c +的最大值为______，此时内角A 的值为______ 【答案】 22π4【分析】由正弦定理可得22sin a bc A =，结合余弦定理和辅助角公式、正弦函数的最值，可得所求角．【详解】解：由sin 2sin sin A B C =，根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==，可得22sin a bc A =，再由余弦定理得222cos 2b c a A bc+-=，则()222cos sin b c bc A A +=+，所以()()222cos sin π2sin cos 24bc A A c b b c A A A b c bc bc ++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭，又()0,πA ∈，当π4A =时，πsin()4A +取得最大值1，则b c c b +取得最大值故答案为：π4五、解答题17．已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---.（1）若//AB BC ，求实数m 的值；（2）若AB AC ⊥，求实数m 的值.【答案】（1）12m =；（2）74m =. 【解析】（1）计算出AB 和BC 的坐标，利用//AB BC 得出关于实数m 的等式，解出即可； （2）求出AC 的坐标，由AB AC ⊥，可得出0AB AC ⋅=，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数m 的等式，解出即可.【详解】()()()6,33,43,1AB OB OA =-=---=，()()()5,36,31,BC OC OB m m m m =-=-----=---，//AB BC ，31m m ∴-=--，解得12m =； （2）()()()5,33,42,1AC OC OA m m m m =-=-----=--，AB AC ⊥，()()3211740AB AC m m m ∴⋅=⨯-+⨯-=-=，解得74m =. 【点睛】本题考查利用向量平行与垂直求参数，同时也考查了平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.18．已知复数()2i z a a =-∈R ，且()12i z -为纯虚数.（1）求复数z ；（2）若3iz ω=+，求复数ω及其模ω.【答案】（1）2i z =-；（2）11i 22ω=-，2ω=. 【分析】（1）先求出()12i z -，再由复数为纯虚数的条件求解即可；（2）先求出ω，再由模的公司求解即可【详解】（1）将2i z a =-代入()12i z -得()()()()12i 12i 2i 224i z a a a -⋅=--=--+，∵()12i z -为纯虚数，∴22040a a -=⎧⎨+≠⎩， 解得1a =，所以复数2i z =-.（2）由（1）知2i z =-， ()()()()2i 3i 2i 55i 1i 3i 3i 3i 3i 10221z ω----=====-+++-， 22112222ω⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 19．已知在直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，2,tan ABC 22BC =∠=（如右图所示）（Ⅰ）若以AC 为轴，直角三角形ABC 旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积.（Ⅱ）一只蚂蚁在问题（Ⅰ）形成的几何体上从点B 绕着几何体的侧面爬行一周回到点B ，求蚂蚁爬行的最短距离.【答案】（Ⅰ）几何体为以2BC =为半径，高42AC =16π（Ⅱ）3【分析】（Ⅰ）若以AC 为轴，直角三角形ABC 旋转一周，形成的几何体为以2BC =为半径，高42AC =（Ⅱ）利用侧面展开图，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B 的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B 到点1B 的距离，代入数值，即可求出结果．【详解】解：（Ⅰ）在直角三角形ABC 中，由2,tan ABC 22BC =∠=即tan ABC 22AC BC∠==42AC =AC 为轴旋转一周， 形成的几何体为以2BC =为半径，高42AC =则()222426AB =+=，其表面积为212226162S πππ=⨯+⨯⨯⨯=. （Ⅱ）由问题（Ⅰ）的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B 的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B 到点1B 的距离，122263BAB ππ⨯∠==， 在1ABB ∆中，由余弦定理得：221266266cos33BB π=+-⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了圆锥的表面积以及侧面展开图的应用，考查了学生的空间想象能力，属于基础题．20．在①2cos (cos cos )A c B b C a +=，3cos b c C C a++=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角A ；(2)若O 是ABC 内一点，120,150,1,3∠=︒∠=︒==AOB AOC b c ，求tan ABO ∠．【答案】(1)60︒；3【分析】（1）若选条件①，利用正弦定理边化角公式以及两角和的正弦公式进行化简，即可求出A 的值；若选条件②，利用利用正弦定理边化角公式以及两角和的正弦公式进行化简，3cos 1A A -=，再利用辅助角公式得1sin(30)2A -︒=，结合三角形中0180A <<︒︒，从而可求出A 的值；（2）结合题中条件及三角形内角和得出OAC ABO ∠=∠，利用正弦定理、两角和与差的正弦公式和同角三角函数关系，即可求出tan ABO ∠的值.【详解】（1）解：若选条件①：2cos (cos cos )A c B b C a +=，整理得：2cos (sin cos sin cos )sin +=A C B B C A ，则()2cos sin sin A B C A +=，即2cos sin sin A A A =，又0180A <<︒︒，sin 0A >，所以1cos 2A =， 所以60A =︒； 若选条件②：3sin cos b c C C a ++=， 整理得：sin sin 3sin cos sin B C C C A++=， 所以3sin sin cos sin sin()sin C A C A A C C +=++，化简得：(3sin cos )sin sin A A C C -=，又0180C ︒<<︒，sin 0C >，所以3sin cos 1A A -=，故1sin(30)2A -︒=，由于0180A <<︒︒，所以60A =︒．（2）解：由于60A OAC OAB ∠=∠+∠=︒，18012060OAB ABO ∠+∠=︒-︒=︒， 所以OAC ABO ∠=∠，在ABO 中，3sin sin120AO ABO =∠︒， 所以23sin AO ABO =∠，在ACO △中，1sin150sin sin(30)AO AOACO ABO ==︒∠︒-∠，所以2sin(30)AO ABO =︒-∠，2sin(30)23sin ABO ABO ︒-∠=∠， 整理得：cos 33sin ABO ABO ∠=∠，故3tan 9ABO ∠=． 21．如图，四边形ABCD 的四个顶点共圆，5cos 13ABD ∠=，14AB =，15AD =.（1）求BD 和sin A 的值；（2）求四边形ABCD 的周长的最大值.【答案】（1）13BD =，4sin 5A =；（2）29+【解析】（1）在ABD △中利用余弦定理可求得BD ，再利用正弦定理可求得sin A ；（2）求四边形ABCD 的周长的最大值，即求BC CD +的最大值，在BCD △中，利用余弦定理得到BC 与CD 关系式，利用基本不等式求最值，即可求得四边形周长的最大值.【详解】（1）在ABD △中，5cos 13ABD ∠=，14AB =，15AD = 利用余弦定理：22222214155cos 221413AB BD AD BD ABD AB BD BD +-+-∠===⋅⨯⋅，解得13BD =或2913BD =-（舍去）在ABD △中，5cos 013ABD ∠=>，可知02ABD π<∠<，则12sin 13ABD ∠= 利用正弦定理知sin sin AD BD ABD A =∠，即1513sin 1213A =，解得4sin 5A = 所以13BD =，4sin 5A =. （2）由四边形ABCD 的四个顶点共圆，可知A C π+=，即4sin 5C =， 又由（1）知，BD AB AD <<，即A 为ABD △中最小角，则2C ππ<<，所以3cos 5C =- 在BCD △中， 利用余弦定理：2222223513cos 22BC CD BD BC CD C BC CD BC CD +-+-===-⋅⋅， 整理得：()2221696964551BC CD BC CD BC CD BC CD +⋅=⇒+-⋅=+ 利用基本不等式得：()()2216944554BC CD BC CD BC CD +⨯+-=⋅≤即()216945BC CD +≤，解得0BC CD <+≤，当且仅当BC CD =时，等号成立.所以四边形ABCD 的周长的最大值为：141529+= 【点睛】关键点睛：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，求四边形周长的最值，解题的关键是利用四边形外接圆找的A C π+=，从而求出cos C ，再利用余弦定理结合基本不等式求最值，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.22．某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，为迎接“五一“观光游，欲在边界BC 上选择一点P ，修建现赏小径PM ，PN ，其中M ，N 分别在边界AB ，AC 上，小径PM ，PN 与边界BC 的夹角都是60°，区域PMB 和区域PNC 内种植郁金香，区域AMPN 内种植月季花，(1)探究“赏小径PM ，PN 的长度之和是否为定值?请说明理由(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN ，当点P 在何处时，三条小径（PM ，PN ，MN ）的长度之和最小?(3)求郁金香区域面积之和的最小值.【答案】(1)400(31);(2)P 点是MN 的中点，31)； (3)20000(33).【分析】(1)在BPM △和CPN △中分别利用正弦定理即可求得PM 与PN 的长度之和；(2)在PMN 中利用MN 边的余弦定理，再根据两边的积与和的基本不等式求解即可；(3) 由（1）可知PM ＝(31)PB ，31)PN PC =，进而表达出BPM S △与CPN S，并利用PB +PC =BC 为定值，利用基本不等式求解即可.【详解】（1）解：在BPM △中，BMP ∠＝180°－60°－45°＝75°， 由正弦定理可得：sin sin PM PB B BMP=∠∠， 即sin 45sin 75PB PM ︒⋅=︒2226PB +＝(31)PB ， 同理可得(31)PN PC =， 所以(31)()PM PN PC PB +=+＝(31)31)BC =为定值；（2）解：在PMN 中，由余弦定理可得：2222cos60MN PM PN PM PN =+-⋅︒， 即2222()()3()34PM PN MN PM PN PM PN PM PN +=+-⋅≥+-⨯， 所以22()4PM PN MN +≥，2PM PN MN +≥，又由（1）有PM PN +＝1)，故1)MN ≥，当且仅当1)PM PN ==时等号成立.故当P 点是MN 的中点时，三条小径（PM ，PN ，MN ）的长度之和最小，最小为1)；（3）解：由（1）可知PM ＝1)PB ，故1sin 602BPM S PB PM =⋅⋅⋅︒21)PB ，同理可得：21)CPN SPC =，所以BPM CPN S S +221)()PB PC +＝2)2]PB PC PB PC +-⋅22())2]4PB PC PB PC +≥+-⨯2)PB PC +＝2＝20000(3.当且仅当PB =PC =200时取得最小值20000(3.。
2021年高一第二次月考数学试题 Word版含答案
2021年高一第二次月考数学试题 Word版含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合,,则A. B. C. D.[1,2]2.下列命题中，正确的个数是①棱台上、下底面是相似多边形，并且互相平行；②若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥可以是六棱锥；③直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；④球是空间中到一定点的距离等于定长的点的集合。
A.1个B.2个C.3个D.4个3.设，，那么下列各点在角终边上的是A. B. C. D.4.已知函数的图象向左平移1个单位后关于轴对称，当时，恒成立，设，则的大小关系为5.在上满足的的取值范围是A. B. C. D.6.已知函数则的图象为7.函数的定义域是A.RB.(－3，＋∞)C.(－∞，－3)D.(－3,0)∪(0，＋∞) 8.已知则的解集为9. 设是第四象限角，则下列函数值一定为负数的是 A.B. C.D.10.如图所示，在正四棱锥S-ABCD 中，是的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界 上运动，并且总是保持.则动点的轨迹与△组成的相关图形最有可有 是图中的11.已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=，， 则棱锥S —ABC 的体积为 A.B. C. D.112.定义在R 上的函数满足()()();2)(,13,62+-=-<≤-=+x x f x x f x f 时当当=++++=<≤-)2012()3()2()1(,)(31f f f f x x f x 则时，A.335B.338C.1678D.xx第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二 填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.当x ＞0时，函数 的值总大于1，则a 的取值范围是 .14.已知函数—是增函数，则实数的取值范围是 。
15.设f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，f (x )＝lo g 3(1＋x )，则f (－2)＝ .16.在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________.三 .解答题：本大题共6小题，满分74分，写出必要文字说明和演算步骤 .17.（本题满分10分）已知，求的取值范围。
河南省洛阳市第一高级中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题+PDF版含答案
的值转化为求 n 个一次多项式的值．已知 f（x） ．
15．设 O 为△ABC 内部的一点，且
＝ ，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为
．
16．已知锐角△ABC，且 tanA+tanB＝3tanAtanB，则 tanA•tanB•tanC 的最小值为
．
三．解答题（共 6 小题，第 17 题 10 分，其他小题每小题 12 分）
的值转化为求 n 个一次多项式的值．已知 f（x） ．
15．设 O 为△ABC 内部的一点，且
＝ ，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为
．
16．已知锐角△ABC，且 tanA+tanB＝3tanAtanB，则 tanA•tanB•tanC 的最小值为
．
三．解答题（共 6 小题，第 17 题 10 分，其他小题每小题 12 分）
值作代表）．
第 3页（共 4页）
18．已知圆 C 经过点 A（2，﹣1），和直线 x+y﹣1＝0 相切，且圆心在直线 y＝﹣2x 上． （1）求圆 C 的方程； （2）已知直线 l 经过（2，0）点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．
19．已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为平行四边形，平面 PBC⊥平面 ABCD，点 E 在 AD 上，AD⊥平面 PEC． （1）求证：PC⊥平面 ABCD； （2）若 AE＝2ED，在线段 PB 上是否存在一点 F，使得 AF∥平面 PEC，请说明理由．
22．已知函数
．
（1）求函数 f（x）在区间
上的值域；
（2）求函数 f（ωx）（ω＞0）图象上的所有点向右平移 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来
的 倍（纵坐标不变），得到函数 g（x）的图象，若
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2021-2022年高一5月月考试题（数学）
一、选择题：请将正确答案的代号填入题后的表格中（每小题5分，共60分）1．数列0，0，0，…，0，…（）
A．既不是等差数列又不是等比数列 B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列 D．是等差数列但不是等比数列2．数列1，2，－5，8，……的一个通项式为（）
A． B．
C． D．
3．在中, ，, ∠＝45°，则∠等于（）
A．60°B．30°C．30°或150°D．60°或120°
4．已知是等差数列，，，则此数列的通项公式是（）
A. B. C. D.
5．△ABC中，∠A、∠B的对边分别为a、b，，且∠A=60°，那么满足条件的△ABC（）A．有一个解B．有两个解C．无解D．不能确定
6．在△ABC中，若，则B为（）
A.B.C. 或D.或
7．在中，、、分别为、、的对边．若a＝3 ，b＝4，∠C＝60°，则c的值等于() A．5 B．13 C．D．
8．已知是等比数列，，则公比= （）
A．B．C．D．
9．在等差数列中，，，则此数列前20项的和是（）
A．160 B．180 C．200 D．220
10．若成等比数列，则函数的图像与轴交点个数是（）
A．B．C．D．
11．设数列的前n项和为，令，称为数列，，…，的“理想数”．已知数列，，…，的“理想
数”为xx，那么数列2，，，…，的“理想数”为（）
A．xx B．2004 C．xx D．xx
12．在中，、、分别为、、的对边，如果、、成等差数列，＝30°，的面积为，那么（）
A.B.C.D.
四川省巴中市玉山中学xx下学期高一5月月考试题（数学）
（总分150分，120分钟完卷）
班级：_________ 姓名：___________ 考号：_________
一、选择题：请将正确答案的代号填入此表格中（每小题5分，共60分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题4分，共16分）
13．一船以每小时15的速度向东航行．船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为_ ．14．数列中，，那么这个数列的通项公式是______________．
15．在中，、、分别为、、的对边，其面积S ＝，则∠C ＝________ _．
16．若a、b、c成等比数列，a、、b成等差数列，b、y、c成等差数列，则＝___ ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共74分).
17．（12分）已知等差数列的前项和为，，，求的值.
18．（12分）在中，、、分别为、、的对边，，＝30°，＝60°，求边的长．
19．(12分) 在中，、、分别为、、的对边，，，面积为cm2，周长为20 cm，求此三角形的各边长．
20．已知数列满足，113 ( 2 )n n
n a a n --=+≥．
（1）求，； （2）求证：．
21．（12分）在中，、、分别为、、的对边，其面积
＝，＝48，＝2，求及边长a ．
22．(14分) 设数列的前项和，数列满足1
1*3 , ( ).k k k b b a b k N +==+∈
（1）求数列的前项和；
（2）设，且数列的前项为，求证：．
四川省巴中市玉山中学xx 下学期高一5月月考试题（数学）参考
答案
一、选择题
1－6、DCBCAD 7－12、DBBAAB 二、填空题
13、 14、 15、450 16、2 三、解答题
17．解：由已知条件得3118
126
2,2716a a d a d a a d =+=⎧⇒==⎨
=+=⎩，因此，有 101109109
10102211022
S a d ⨯⨯=+
=⨯+⨯= 18．解：∵
180()90C A B ︒∠=-∠+∠=︒ ，由正弦定理及等比定理得
：
6sin sin sin sin30sin60
c a b C A B ︒︒
++==++，
∴6(1121(1222
c
+=
==+ 19、解：依题意得，
1
sin 6010402
ac ac ==；b c a c b a -=+⇒=++2020 由余弦定理得，，即2
2
()22cos
60b a c ac ac =+--
2
1
402402)20(22⨯⨯-⨯--=∴b b ， 解得
又 且
解得， ，，．
20．解：（1）∵，， ∴21211334a a a -=+=+=，
（2）∵ ∴ ∴，，，…，，
∴12311333...3n n
a a --=++++ ∴1
2
3
1
1(13)311333 (3)
132
n n n n
a -⋅--=+++++==-， 即
21．解：由S △ABC ＝b c sin A ，得12＝×48×sin A
∴ sin A ＝ ∴ A ＝60°或A ＝120°
a 2＝
b 2＋
c 2-2bc cos A ＝(b -c )2＋2bc (1-cos A )＝4＋2×48×(1-cos A )
当A ＝60°时，a 2＝52，a ＝2； 当A ＝120°时，a 2＝148，a ＝2 22．解：（1）由 ①
可得 ② 由①－②得 …………2分 又当.1,12,11111=∴-===a a S a n 时是以1为首项，比为2的等比数列……4分
由，有
.
2232
1213,31111
12231121+=+--=+=+=+=+==-----n n n n n n n S b b a b b a b b a b b 得两端相加
所以122222221112-+=++++++='--n n S n n n n
………8分 （2）证明：)2
1
1(212)2(2+-=⋅+=
n n n n C n
所以)]211()1111()5131()4121()311[(21+-++--++-+-+-=
n n n n T n 4
3
)211(21)]2111()211[(21=+<+++-+=n n
…………14分 30307 7663 癣35219 8993 覓22270 56FE 图o 26820 68C4 棄o24865 6121 愡
23972 5DA4 嶤39599 9AAF 骯|。