分式化简的技巧
分式的处理技巧
分式的处理技巧分式是数学中常见的一种形式，它由分子和分母组成，分子表示分数的一部分，而分母表示整体的一部分。
处理分式可以通过化简、通分、简化等方法来实现。
1. 化简分式化简分式是将分式中的分子和分母进行约分，使得分子和分母的数字尽可能小。
化简分式的关键在于找到可以同时整除分子和分母的最大公因数。
例如，对于分式4/8，可以化简为1/2，因为分子和分母都可以被4整除。
2. 通分分式当两个分式的分母不相同时，需要进行通分操作。
通分的目的是将两个分式的分母变成相同的数字，从而方便比较大小或者进行运算。
通分分式的关键在于找到两个分母的最小公倍数，并将分子和分母都乘以相应的倍数，使得分母相同。
例如，对于分式1/2和2/3，可以通过通分操作将它们变为3/6和4/6，从而方便进行比较。
3. 简化分式简化分式是将分式中的分子和分母进行约简，使得它们没有公因数。
简化分式的关键在于找到分子和分母的最大公因数，并将其约去。
例如，对于分式12/20，可以将其简化为3/5，因为12和20的最大公因数是4，将分子和分母都除以4即可。
4. 相加、相减分式当需要对两个分式进行相加或相减时，需要先进行通分操作，将分母变成相同的数字，然后将分子相加或相减，并保持分母不变。
例如，对于分式1/2和3/4，可以通分为2/4和3/4，然后将分子相加得到5/4。
5. 相乘、相除分式当需要对两个分式进行相乘或相除时，可以直接将分子相乘或相除，分母相乘或相除。
例如，对于分式1/2和3/4，可以相乘得到3/8，相除得到4/6。
6. 分式的倒数一个分式的倒数是将该分式的分子与分母互换位置得到的结果。
例如，分式3/4的倒数是4/3。
7. 分式的平方、开方对于一个分式进行平方或开方时，需要将其分子和分母分别进行平方或开方。
例如，对于分式2/3，其平方是4/9，开方是√2/√3。
8. 分式的整数部分和小数部分对于一个分式，可以通过做除法运算得到它的整数部分和小数部分。
分式化简技巧使用分式化简技巧解决问题
分式化简技巧使用分式化简技巧解决问题在数学中，分式是一种表达形式，由分子和分母组成，中间有一个分割线。
在解决数学问题时，我们经常会遇到需要化简分式的情况。
本文将介绍一些常用的分式化简技巧，以帮助读者更好地解决问题。
一、约分法约分法是最基本的分式化简技巧之一。
当分子和分母有公因子时，可以约去它们的公因子，从而化简分式。
下面以一个例子来说明这个技巧。
例子：将分式$\frac{12}{18}$化简。
解析：12和18都可以被2整除，因此它们的公因子是2。
我们可以将分子和分母都除以2，得到$\frac{6}{9}$。
接着，6和9都可以被3整除，所以它们的公因子是3。
将分子和分母都除以3，最终得到化简后的分式$\frac{2}{3}$。
二、分子因式分解法当分子可以因式分解时，我们可以将分子分解后进行化简。
下面以一个例子来展示这个技巧。
例子：将分式$\frac{x^2-4}{x^2-2x}$化简。
解析：首先，我们可以因式分解分子的二次多项式$x^2-4$，得到$(x-2)(x+2)$。
对于分母$x^2-2x$，我们可以提取公因子$x$，得到$x(x-2)$。
因此，将分子分母带入分式，得到$\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}$。
可以看出，分子和分母都含有因式$(x-2)$，我们可以约去这个因式，最终化简得到$\frac{x+2}{x}$。
三、通分法通分法是化简带有分子和分母的分式的常用技巧。
这种情况通常发生在两个或多个分式相加或相减的时候。
下面以一个例子来说明通分法的使用。
例子：将分式$\frac{1}{x}+\frac{x}{1}$化简。
解析：首先，将两个分式通分，得到$\frac{1}{x}+\frac{x}{1}=\frac{1}{x}+\frac{x^2}{x}$。
接下来，我们需要将分子化为相同的形式。
因此，将分子$x^2$化为$\frac{x^2}{x}$。
最后，我们可以将这两个分式合并，并进行化简，得到$\frac{1+x^2}{x}$。
分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
初中数学常考分式化简计算题
初中数学常考分式化简计算题
在初中数学中，分式化简计算题是一个重要的知识点，也是中考数学考试中的一个重点。
以下是一些常见的分式化简计算方法和例题:
1. 分式化简的一般步骤:
(1) 找到分式中的常数项和系数;
(2) 将分式中的常数项和系数分别化成最简分数;
(3) 合并同类项，消去分母;
(4) 检查化简结果是否满足有理数范围。
2. 常用化简方法:
(1) 约分法：将分式中的分子和分母同时除以它们的最大公约数，以达到化简的目的;
(2) 代入法：将一个复杂的分式转化为一个较简单的分式，然后代入已知分式中进行化简;
(3) 加减法：对于两个分式，可以通过加减运算使其化为同一个分式的分子和分母，以达到化简的目的。
3. 例题展示:
例 1:将分式方程 5x+2=12x-7 化简成最简分式。
解：将方程两边同时除以 12，得到 x+5/6=7/6。
接着，将分式
方程中的常数项和系数分别化成最简分数，合并同类项，消去分母，最终化简得到 x=1/3。
例 2:将分式方程 3x+4=7x-1 化简成最简分式。
解：将方程两边同时除以 7，得到 x+3/7=x-1/7。
接着，将分式方程中的常数项和系数分别化成最简分数，合并同类项，消去分母，最终化简得到 x=2/7。
以上是分式化简计算题的一些常见方法和例题展示。
在初中数学学习中，同学们需要熟练掌握各种化简方法，并且多做一些练习题，才能熟练掌握分式化简的计算技巧。
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简是指将一个分式写成一个最简形式的过程。
下面列举一些分式化简的方法与技巧：
1. 因式分解法：如果分子和分母都可以被一个公因子因式分解，可以先进行因式分解，然后约去公因子。
2. 公约法：将分子和分母的公因子约去，使分子和分母无公因子。
3. 分子与分母分别除以最大公约数法：先求出分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数，使得分子和分母互质。
4. 乘法逆元法：如果分子和分母互为乘法逆元，即分子和分母互为倒数关系，可以将分式化简为整数。
5. 积化和差法：对于有相同分子或分母的分式，可以将其化为积或差的形式，然后进行约分或运算。
6. 公倍数法：如果分式的分子和分母都是整数，可以找到一个公倍数使得分子和分母变为整数，然后约去公倍数。
7. 有理化法：对于含有根号的分式，可以通过有理化的方法将其转化为整数或分数。
8. 倒数法：对于一个分式，可以将其倒数的分子和分母对换位
置，然后约分。
以上是一些常见的分式化简的方法与技巧，根据具体的情况选择合适的方法进行求解。
分式化简求值解题技巧
分式化简求值解题技巧分式化简求值解题技巧一、整体代入对于一些分式表达式，可以先将其中的变量整体代入，然后再求值。
比如：已知a+2b=2006，求3a²+12ab+12b² ÷ (2a+4b)的值。
可以先将a替换为2006-2b，然后化简得到：3a²+12ab+12b² ÷ (2a+4b) = 3(2006-2b)² + 12b(2006-2b) + 12b² ÷ (2(2006-2b)+4b)再进行进一步化简求解。
练一练：1.已知x+y=3，求(2x+3y) ÷ (x-y)的值。
2.已知112x-3xy+2y ÷ xy-x-2y = 5，求xy ÷ (x+2y)的值。
3.若a+b=3ab，求(1+2b²) ÷ (2a-b)的值。
二、构造代入有些分式表达式可以通过构造代入的方式来求解。
比如：已知x-5 ÷ (x-2) = 2001，求(x-2)³ - (x-1)² + 1的值。
可以构造一个分式，使得它的分母为(x-2)，分子为(x-2)³-(x-1)²+1，然后将其化简，得到：x-2)³-(x-1)²+1 ÷ (x-2) = (x-5) + 4(x-2) + 9再进行进一步化简求解。
练一练：4.若ab=1，求a ÷ (b+c) + b ÷ (c+a) + c ÷ (a+b)的值。
5.已知xy+yz+zx ÷ xyz = 2，求(x+y)² ÷ z²的值。
三、参数辅助，多元归一有些分式表达式可以通过引入参数或多元归一的方式来求解。
比如：已知a+b+c=1，求a(1-b) ÷ (b+c) + b(1-c) ÷ (c+a) + c(1-a) ÷(a+b)的值。
分式的简化和运算的解题技巧总结
分式的简化和运算的解题技巧总结分式在数学中有着重要的应用，是一种有理数的表示形式，可以帮助我们更方便地处理数学问题。
本文将总结分式的简化和运算的解题技巧，以帮助读者更好地掌握这一知识点。
1. 分式的简化分式的简化是指将分子和分母的公因式约去，使得分数的大小关系不变，同时使得表达更简洁。
简化分式的主要步骤如下：a. 将分子和分母进行因式分解；b. 找出分子和分母的公因式，并约去；c. 化简后的分子作为新的分子，分母作为新的分母。
例如，简化分式$\frac{12x^4y^3}{18x^2y^5}$的步骤如下：a. 分子因式分解为$2^2 \cdot 3 \cdot x^4 \cdot y^3$，分母因式分解为$2 \cdot 3^2 \cdot x^2 \cdot y^5$；b. 找出分子和分母的公因式为$2 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot y^3$，约去公因式得到$\frac{2x^2}{3y^2}$。
2. 分式的乘法和除法分式的乘法和除法是两种常见的运算方法，需要注意的是在进行运算之前，需要将分式化简到最简形式，以便进行后续计算。
分式的乘法规则：a. 将两个分式的分子相乘，得到新的分子；b. 将两个分式的分母相乘，得到新的分母；c. 新的分子作为新的分子，新的分母作为新的分母。
例如，计算分式$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}$的步骤如下：a. 将分子相乘得到$3 \cdot 5 = 15$；b. 将分母相乘得到$4 \cdot 6 = 24$；c. 得到的新的分子为15，新的分母为24，所以$\frac{3}{4} \cdot\frac{5}{6} = \frac{15}{24}$。
分式的除法规则：a. 将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，得到新的分子；b. 将第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘，得到新的分母；c. 新的分子作为新的分子，新的分母作为新的分母。
谈谈分式化简的几个小技巧
数学篇初中数学中“分式的化简”是非常重要的知识点，其运算的综合性和技巧性较强.如果化简运算方法选取不当，不仅会使解题过程变得复杂，而且错误率高.下面介绍三种分式化简的常用技巧：通分约分、因式分解、提取公因式.同学们需注意的是，有时候要综合运用这三种技巧，才能实现快速解题的目标.首先，巧借“通分约分”化简分式.此技巧适合包含多个简单分式的题型，分式之间往往通过“+”“-”这两个符号连接.此时，可以尝试“通分”同化分母，再根据具体情况结合部分相同项进行“约分”，从而达到简化分式的目的.其次，妙用“因式分解”化简分式.有的时候，分式化简的式子往往比较复杂，直接求解比较困难.利用“因式分解”可以寻找部分共同项，然后利用乘除法抵消部分或全部共同项，以达到化简分式的目的.在抵消“共同项”时，一定要注意整个式子的“+”“-”符号，以防出错.此方法适合局部可以因式分解的复杂分式，通过局部的因式分解，可以简化分式形式.第三，灵活“提取公因式”化简分式.在化简分式的过程中，首先看多项式的各项是否有公因式，若有公因式，则把它提取出来.及时灵活地提取公因式，可以大大简化计算过程.需要注意的是，提取的公因式应尽量单独放在最前面，而且保持独立性，以便为后续的“约分”或“消项”做准备.例1化简（1x +1-1x -1）÷2x 2-1.分析：先计算（1x +1-1x -1），采用“通分”处理可得-2(x +1)(x -1)，再结合后面的2x 2-1计算最终结果.解：（1x +1-1x -1）÷2x 2-1=-2（x +1）（x -1）÷2x 2-1=-2x 2-1÷2x 2-1=-1.评注：该题比较简单，采用“通分”可以整合（1x +1-1x -1），再利用“约分”去掉共同项1x 2-1即可得出最后结果.变式：化简（x +1x -x x -1）÷1（x -1）2.分析：该题同例1，利用“通分”处理（x +1x -x x -1），得到-1x (x -1)，结合后面的1（x -1）2，利用“约分”抵消1(x -1)项，最后算出结果即可.解：（x +1x -x x -1）÷1（x -1）2=[(x +1)(x -1)-x 2x (x -1)]÷1（x -1）2=-1x (x -1)÷1（x -1）2=-1x (x -1)∙(x -1)2=1-x x .评注：先计算括号里的内容，利用“通分”处理（x +1x -x x -1）得到-1x (x -1)，整个式子就变得简单了.“通分约分”可以简化部分分式.例2化简（xy -x 2）÷x -yxy.分析：解答这道题，可以先把题目中(xy -x 2)因式分解为x （y -x ），这样，与后面的x -yxy 有共同项（x -y ），再通过“约分”抵消，得到结果.解：（xy -x 2）÷x -y xy =x （y -x ）÷x -yxy =x （y -x ）×xyx -y=-x 2y .谈谈分式化简的几个小技巧新疆阿勒泰地区福海县初级中学李红艳解法荟萃32数学篇评注：通过“因式分解”（xy -x 2），找到共同项(x -y )，再利用乘除法全部或部分“约去”共同项，从而简化分式，得出结果.变式：化简2x -64-4x +x2÷(x +3)∙x 2+x -63-x .分析：可以先“因式分解”寻找共同项，尝试消项.2x -64-4x +x2因式分解为2(x -3)(x -2)2，x 2+x -63-x因式分解为(x +3)(x -2)3-x ，最后综合求解即可.解：2x -64-4x +x2÷（x +3）∙x 2+x -63-x =2(x -3)(x -2)2÷（x +3）∙（x +3）(x -2)3-x =2(x -3)(x -2)2∙1x +3∙（x +3）(x -2)3-x =-2x -2.评注：此题式子比较复杂，但是利用“因式分解”可以找出很多共同项，综合所有项后，发现很多可以抵消的项，从而大大简化了原式.但在抵消“共同项”或“近似共同项”时，一定要注意“+”“-”号，避免出错.例3化简(y +1y 2-4y +3-y -2y 2-6y +9)÷y -5y -1.分析：题目式子比较复杂，先对扩号内部式子的分母进行“因式分解”，得到y +1(y -1)(y -3)-y -2(y -3)2，此时观察发现可以“提取公因式”1y -3，得到1y -3（y +1y -1-y -2y -3）.然后再运用“通分”处理（y +1y -1-y -2y -3）得y -5(y -1)(y -3)，最后综合计算1y -3∙y -5(y -1)(y -3)÷y -5y -1，得出结果1(y -3)2.=[y +1(y -1)(y -3)-y -2(y -3)2]÷y -5y -1=1y -3（y +1y -1-y -2y -3）∙y -1y -5=1y -3∙(y +1)(y -3)-(y -2)(y -1)(y -1)(y -3)∙y -1y -5=1y -3∙y -5(y -1)(y -3)∙y -1y -5=1(y -3)2.评注：此题两个分式的分母经过因式分解以后有公因式可提取，分解因式并提取公因式后为1y -3（y +1y -1-y -2y -3），然后再计算最后答案.变式：化简(x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4)÷x -4x +2.分析：对（x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4）分母进行因式分解可得（x -2x (x +2)-x -1(x +2)2）,然后提取公因式1x +2可得1x +2∙（x -2x -x -1x +2）.再通分（x -2x -x -1x +2）可得x -4x （x +2）.最后求1x +2∙x -4x （x +2）÷x -4x +2得1x （x +2）.解：（x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4）÷x -4x +2=éëêùûúx -2x (x +2)-x -1(x +2)2÷x -4x +2=1x +2∙（x -2x -x -1x +2）÷x -4x +2=1x +2∙x -4x （x +2）÷x -4x +2=1x +2∙x -4x （x +2）∙x +2x -4=1x （x +2）.评注：此题的解题关键是综合“因式分解”与“通分约分”，在处理过程中应及时、灵活提取公因式，从而化简分式.分式化简问题虽然复杂难解，但是有规律可循，有技巧可取.只要同学们仔细观察，善于综合运用“通分约分”“因式分解”“提取解法荟萃。
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比例的性质：⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m ab d n b+++=+++（...0b d n +++≠）基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c ⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数知识点睛分式化简的技巧分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、基本运算【例1】 计算：⑴22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- ⑵2342()()()b a b a b a-⋅-÷- ⑶32231(4)()2mn m n ---÷- ⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++【巩固】 化简22x y y x y x---的结果是（ ） A ．x y -- B ．y x - C ．x y - D ．x y +【巩固】 计算a b a bb a a +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的结果为（ ）A ．a b b -B ．a b b +C ．a ba-D ．a ba+【例2】 计算：⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++ ⑵22222621616x x x x x+-++--【巩固】 化简：422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+例题精讲【巩固】 化简：22222222112()22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-+÷+⋅⎢⎥++-+⎣⎦【例3】 化简：222222222222()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+++-+-+-【例4】 已知：2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =【巩固】 当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值【巩固】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，23c =-【例5】 计算：2482112482111111nnx x x x x x++++++-+++++(n 为自然数)【巩固】 已知24816124816()11111f x x x x x x=+++++++++，求(2)f .二、整体代入运算【例6】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示m n．【巩固】 已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值【巩固】 已知221547280x xy y -+=，求xy的值.【例7】 已知分式1x yxy+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系【巩固】 (第11届“希望杯”邀请赛试题)已知代数式25342()x ax bx cx x dx +++，当1=x 时，值为 1，求该代数式当1-=x 时的值．【例8】 已知210x y xy +=，求代数式4224x xy yx xy y++-+的值.【巩固】 已知：12xy =-，4x y +=-，求1111x y y x +++++的值.【巩固】 已知3a ba b-=+，求代数式2()4()3()a b a b a b a b +---+的值.【例9】 已知111m n -=，求575232m mn nn mn m+---的值.【巩固】 已知：111x y x y+=+，求y xx y +的值.【巩固】 (新加坡中学生数学竞赛)设1114x y -=，求2322y xy x y x xy +---【巩固】 如果235x yy x+=-，求2222410623x xy y x y +++的值.三、消元计算【例10】 已知3a b =，23a c =，求代数式a b ca b c+++-的值.【巩固】 (第9届华罗庚金杯总决赛1试)已知22(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xy a x ab y b xy ++++的值．【巩固】 (清华附中暑假作业)已知：2232a b ab -=，求2a ba b+-的值.【例11】 已知：230a b c -+=，3260a b c --=，且0abc ≠，求3332223273a b c ab bc a c-++-的值.【巩固】 已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠)，求：::x y z四、设比例参数【例12】 已知232332234a b c b c a c a b+--+++==，则2332a b c a b c -++-=____________.【补充】设1x y z u +++=，()()()2:12:22:3(2):4x y y z z u u x +=+=+=+，则733x y z u +++=___________．【例13】 若x y z x y z x y z z y x +--+-++==，求()()()x y y z z x xyz+++的值.【巩固】 若a b c db c d a===，求a b c d a b c d -+-+-+的值.【巩固】 已知x y y z u z u x =++++z u u x y x y z ==++++．求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值．【例14】 已知x y zb c a c a b a b c==+-+-+-，求()()()b c x c a y a b z -+-+-的值. 【巩固】 已知9p q r ++=，且222p q rx yz y zx z xy==---，则 px qy rzx y z++++的值等于（ ）A. 9 C. 8 D. 7【巩固】 已知2220(0)x yz y zx z xyxyz a b c---==≠≠，求证：222a bc b ca c ab x y z ---==.五、分式与裂项【例15】 设n 为正整数，求证：1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+.【巩固】 化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++.【例16】 化简：22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++【巩固】 化简：[]1111()()(2)(2)(3)(1)()x x m x m x m x m x m x n m x nm ++++++++++-+【例17】 已知：1xy x y =+，2yz y z =+，3zxz x =+，求x y z ++的值.【巩固】 解方程组：21232(1)(2)43xy xx y xz xx z y z y z +⎧=⎪++⎪+⎪=⎨++⎪⎪++=⎪++⎩【例18】 化简：()()()()()()a b b c c ac a c b b a a c b c b a ---++------【巩固】 化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++-----+--+--+---.【巩固】 化简：222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.六、倒数法【例19】 已知：1x x -=，求221x x+的值.【巩固】设1x x-1x x +的值.【巩固】 若11a a -=，求1a a+的值.【例20】 若12x x +=，求2421x x x ++的值.【巩固】 本类题有一种典型错题，如：已知11x x+=，求1242++x x x 的值.【巩固】(湖北黄冈市初级数学竞赛)设21xa x x =++，其中0a ≠，则2421x x x =++【补充】设211xx mx =-+，求36331x x m x -+的值.【例21】 已知：2710x x -+=，求⑴1x x +；⑵221x x +；⑶441x x+的值.【巩固】 已知：2510a a -+=，求4221a a a ++的值.【巩固】 已知：2310x x -+=，求221x x+的值.【例22】 (上海市高中理科实验班招生试题)已知：210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值.【巩固】 (第17届江苏省竞赛题)已知2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m .【巩固】已知a 是2310x x -+=的根，求5432225281a a a a a -+-+的值.【巩固】 (广西竞赛题)已知：210x x --=，求4521x x x ++【习题1】 计算：⑴232435126111a a a a a a a -+--+-++- ⑵222434332a a a a a a --⋅-+++ ⑶22233(3)(4)m n mn ---⋅-【习题2】 先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a +++÷--÷-+，其中4a =【习题3】 已知2232a b ab -=，0a >，0b >，求证：252a b a b +=-课后作业【习题4】 设113x y -=，求3237y xy xx xy y+-+-的值.【习题5】 （“希望杯”试题）已知234x y z==，则222x y z xy yz zx ++=++___________．【习题6】 (第11届希望杯试题)已知a ，b ，c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，求abcab bc ca++.【习题7】 已知：2213a a+=，求1a a -的值.。