定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理

[考纲传真] 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．

【知识通关】

1．定积分的有关概念与几何意义

(1)定积分的定义

如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在

每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n

i ＝1 b －a n f (ξi )，当n →∞

时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定

积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a b f (x )d x ＝lim n →∞∑n i ＝1 b －a n

f (ξi )． 在⎠⎛a

b f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．

(2)定积分的几何意义

图形 阴影部分面积

S ＝⎠⎛a

b f (x )d x

S ＝－⎠⎛a

b f (x )d x

S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c

b f (x )d x

S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g(x )d x ＝⎠⎛a

b [f (x )－g(x )]d x 2.(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a

b f (x )d x (k 为常数)；

(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a

b f 2(x )d x ； (3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a

c f (x )

d x ＋⎠⎛c

b f (x )d x (其中a

一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式． 其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．

为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，

即⎠⎛a

b f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )． [常用结论]

函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有

(1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝2⎠⎛0

a f (x )d x . (2)若f (x )为奇函数，则⎠

⎛a －af (x )d x ＝0. 【基础自测】

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a

b f (t )d t .( ) (2)定积分一定是曲边梯形的面积．( )

(3)若⎠⎛a

b f (x )d x ＜0，那么由y ＝f (x )的图象，直线x ＝a ，直线x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )

[答案] (1)√ (2)× (3)×

2.⎠⎛0

1e x d x 的值等于( ) A ．e

B ．1－e

C ．e －1

D .12(e －1) C

3．已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( )

A ．10t 20

B ．5t 20

C .103t 20

D .53

t 20 B

4．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．

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【题型突破】

定积分的计算

1．(2019·玉溪模拟)计算⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x 的值为( ) A .34

B .32＋ln 2

C .52

＋ln 2 D ．3＋ln 2 B

2．(2018·吉林三模)⎠⎛0

1|x －1|d x ＝( ) A ．1

B ．2

C ．3

D .12 D

3．设f (x )＝⎩⎨⎧ x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，

则⎠⎛02f (x )d x 等于( ) A .34

B .45

C .56

D ．不存在

C

4.⎠⎛0

π(sin x －cos x )d x ＝________. 2 [方法总结] 1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点

(1)对被积函数要先化简，再求积分．

(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．

(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分．

(4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．

2．根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分．

定积分的几何意义

【例1】 (1)(2019·皖南八校联考)用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的最小值，设f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x ，x ⎝

⎛⎭⎪⎫x ≥14，则由函数f (x )的图象，x 轴与直线x ＝14和直线x ＝2所围成的封闭图形的面积为________．

(2)(2019·黄山模拟)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43

，则k ＝________. (1)

712＋ln 2 (2)2

[方法总结] 利用定积分求平面图形面积的步骤

(1)根据题意画出图形.

(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限.

(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和.

(4)计算定积分，写出答案.

易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.

(1)曲线y ＝－x ＋2，y ＝x 与x 轴所围成的面积为________．

(2)如图所示，由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．

(1)76 (2)94

定积分在物理中的应用

【例2】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t

(t 的单位：s ，v 的单位：m/s )行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113

C ．4＋25ln 5

D ．4＋50ln 2 (2)(2019·渭南模拟)一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，