山东省济南市中考数学试卷真题及答案
2024年山东省济南市中考数学试卷及答案解析
2024年山东省济南市中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。
1．（4分）9的相反数是（）A．﹣9B．C．D．92．（4分）黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同C．左视图与俯视图相同D．三种视图都相同3．（4分）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%．将数字3465000000用科学记数法表示为（）A．0.3465×109B．3.465×109C．3.465×108D．34.65×1084．（4分）若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是（）A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形5．（4分）如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°6．（4分）下列运算正确的是（）A．3x+3y＝6xy B．（xy2）3＝xy6C．3（x+8）＝3x+8D．x2•x3＝x57．（4分）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．m＜﹣4D．m＞﹣48．（4分）3月14日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（）A．B．C．D．9．（4分）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK＝2，则正方形ABCD的边长为（）A．B．C．D．10．（4分）如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD＝2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC﹣CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为t（s），DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①AB＝3；②当t＝5时，y＝1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC﹣CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2＝6，则y1＞y2．其中正确结论的序号是（）A．①②③B．①②C．③④D．①②④二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．11．（4分）若分式的值为0，则实数x的值为．12．（4分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为．13．（4分）如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2＝°．14．（4分）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kw•h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多kw•h．15．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′，连接BD′．若BD′＝2，则DF＝．三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（7分）计算：．17．（7分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．18．（7分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F．求证：AF＝CE．19．（8分）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便．某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：综合实践活动记录表活动内容测量轻轨高架站的相关距离测量工具测倾器，红外测距仪等过程资料轻轨高架站示意图相关数据及说明：图中点A，B，C，D，E，F在同一平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD＝98°，∠CDE＝97°，AE＝8.5m，CD＝6.7m．成果梳理…请根据记录表提供的信息完成下列问题：（1）求点C到地面DE的距离；（2）求顶部线段BC的长．（结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，sin83°≈0.993，cos83°≈0.122，tan83°≈8.144）20．（8分）如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°．（1）求证：AG与⊙O相切；（2）若，，求DE的长．21．（9分）2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100．下面给出了部分信息：a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79．b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下：请根据以上信息完成下列问题：（1）求随机抽取的八年级学生人数；（2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为度；（3）请补全频数分布直方图；（4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是分；（5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数．22．（10分）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．（1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？（2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？23．（10分）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．（1）求反比例函数的表达式；（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B 的坐标；（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A（0，2），B（2，2），顶点为D；抛物线C2：y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），顶点为Q．（1）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；（2）如图1，连接AD，点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，点F是抛物线C2上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值；（3）如图2，连接BD，DQ，点M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN，DN，求△BDN面积的最小值．25．（12分）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．（一）拓展探究如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）兴趣小组的同学得出AC 2＝AD •AB ．理由如下：∵∠ACB ＝90°∴∠A +∠B ＝90°∵CD ⊥AB ∴∠ADC ＝90°∴∠A +∠ACD ＝90°∴∠B ＝①_____∵∠A ＝∠A ∴△ABC ∽△ACD ∴＝②_____∴AC 2＝AD •AB请完成填空：①；②；（2）如图2，F 为线段CD 上一点，连接AF 并延长至点E ，连接CE ，当∠ACE ＝∠AFC 时，请判断△AEB 的形状，并说明理由．（二）学以致用（3）如图3，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝2，，平面内一点D ，满足AD ＝AC ，连接CD 并延长至点E ，且∠CEB ＝∠CBD ，当线段BE 的长度取得最小值时．求线段CE 的长．2024年山东省济南市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。
2024年济南市中考数学试卷
2024年济南市中考数学试卷一、单项选择题（共12分）1.如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对2．下列各数中，是无理数的是（）A. B. C. D.0.131333.对于反比例函数，下列所给的四个结论中，正确的是（）A．过图象上任一点作轴、轴的垂线，垂足分别AB，则矩形APB的面积为k B．若点在其图象上，则也在其图象上C．反比例函数的图象关于直线和成轴对称D．当时，随的增大而减小4．一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2 D．x1＝0，x2＝35.已知，那么下列式子中一定成立的是A．B．C．D．二、填空题（共24分）6.学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是___.(单位:分)7.把一张半径为2cm，圆心角为120°的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面积是。
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=一的图象与↵0交于A,B 两点，且点A,B都在第一象限.若A(1,2)，则点B的坐标为___.9.已知反比例函数，当时，随的增大而增大，那么一次函数的图象经过（）。
A．第一，二，三象限B．第一，二，四象限C．第一，三，四象限D．第二，三，四象限三、解答题10．如图，把正方形ABCD绕点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H．求证：HG＝HB．11.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（﹣1，﹣1）。
（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C 的图形并写出点B2的坐标；（3）把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△AB3C3的图形。
济南初三考试数学试题及答案
济南初三考试数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. -3.14B. 根号2C. 0.33333D. π2. 如果一个二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的判别式Δ=b²-4ac小于0，那么这个方程：A. 有一个实数解B. 有两个实数解C. 没有实数解D. 有一个正数解和一个负数解3. 以下哪个选项不是整式的运算法则？A. 合并同类项B. 幂的乘方C. 多项式乘以多项式D. 分式的加减4. 函数y = 3x - 2的斜率是：A. 3B. -2C. -3D. 25. 如果一个角的余角是20°，那么这个角的度数是：B. 90°-20°C. 110°D. 180°-20°6. 下列哪个是等腰三角形的判定条件？A. 两边相等B. 三边相等C. 两角相等D. 一边相等7. 一个圆的半径为5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π8. 一个长方体的长、宽、高分别为2，3，4，那么它的体积是：A. 24B. 36C. 48D. 649. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 210. 一个等差数列的首项是3，公差是2，那么第5项是：A. 11C. 15D. 17二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的立方根是它本身，这个数可以是_________。
12. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么它的斜边长为_________。
13. 如果一个多项式f(x) = ax³ + bx² + cx + d，其中a，b，c，d是常数，那么f(x)的导数是_________。
14. 一个圆的周长为2πr，其中r是半径，那么这个圆的直径是_________。
15. 一个二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标是_________。
(中考精品卷)山东省济南市中考数学真题(解析版)
济南市2022年九年级学业水平考试数学试题选择题部分共48分一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. ﹣7的相反数是（ ）A. ﹣7B. 7C. 17D. ﹣17【答案】B【解析】【分析】据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．【详解】解：根据概念，﹣7的相反数是7．故选：B．【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A. 圆柱B. 球C. 圆锥D. 正四棱柱【答案】A【解析】【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【详解】解：主视图和左视图都是长方形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆柱．故选：A．【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．3. 神舟十三号飞船在近地点高度200000m，远地点高度356000m的轨道上驻留了6个月后，于2022年4月16日顺利返回．将数字356000用科学记数法表示为（ ）A. 53.5610⨯B. 60.35610⨯C. 63.5610⨯D. 435.610⨯【答案】A【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a ×10n ，其中1≤|a |＜10，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：356000＝3.56×105．故选：A ．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a ×10n ，其中1≤|a |＜10，确定a 与n 的值是解题的关键．4. 如图，//AB CD ，点E 在AB 上，EC 平分∠AED ，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）A 45° B. 50° C. 57.5° D. 65°【答案】B【解析】【分析】根据平行线及角平分线的性质即可求解．【详解】解：∵//AB CD ，∴∠AEC =∠1（两直线平行，内错角相等），∵EC 平分∠AED ，∴∠A EC =∠CED=∠1，∵∠1=65°，∴∠CED =∠1=65°，∴∠2=180°-∠CED -∠1=180°-65°-65°=50°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键根据直线平行和角平分线的性质得出角度之间的关系即可得出答案．5. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．6. 实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A. 0ab >B. 0a b +>C. a b <D. 11+<+a b【答案】D【解析】【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．【详解】解：根据图形可以得到：320a -<<-<，01b <<，∴0ab <，故A 项错误，0a b +<，故B 项错误，a b >，故C 项错误，11+<+a b ，故D 项错误．故选：D．【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．7. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（）A. 19B.16C.13D.23【答案】C【解析】【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题结果有3种，再由概率公式求解即可．【详解】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种，∴小明和小刚恰好选择同一个主题的概率为31 93 =．故选：C．【点睛】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8. 若m－n＝2，则代数式222m n mm m n-⋅+的值是（）A. －2B. 2C. －4D. 4 【答案】D【解析】【分析】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：原式m n m nm+-=（）（）•2mm n+＝2（m-n），当m -n ＝2时，原式＝2×2＝4．故选：D ．【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．9. 某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m ．如图所示，设矩形一边长为xm ，另一边长为ym ，当x 在一定范围内变化时，y 随x 的变化而变化，则y 与x 满足的函数关系是（ ）A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 反比例函数关系D. 二次函数关系【答案】B【解析】 【分析】根据矩形周长找出关于x 和y 的等量关系即可解答．【详解】解：根据题意得：240x y +=，∴240y x =-+，∴y 与x 满足的函数关系是一次函数；故选：B ．【点睛】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．10. 如图，矩形ABCD 中，分别以A ，C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN 分别交AD ，BC 于点E ，F ，连接AF ，若BF ＝3，AE ＝5，以下结论错误的是（ ）A. AF ＝CFB. ∠FAC ＝∠EACC. AB ＝4D. AC ＝2AB【答案】D【解析】【分析】根据作图过程可得，MN 是AC 的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明AFO CEO △≌△，可得5,AF CE AE ===再根据勾股定理可得AB 的长，即可判定得出结论．【详解】解：A ，根据作图过程可得，MN 是AC 的垂直平分线，,AF CF ∴=故此选项不符合题意．B ，如图，由矩形的性质可以证明AFO CEO △≌△，,AE CF ∴=,FA FC =,AE AF ∴=∵MN 是AC 的垂直平分线，,FAC EAC ∴∠∠＝故此选项不符合题意．C ，5AE ＝，5AF AE ∴=＝，在Rt ABF 中3,BF =4,AB ∴===故此选项不符合题意．D ，358,BC BF FC =+=+=AC ∴===4,AB =2.AC AB ∴≠故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法．11. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度．如图，他们在地面上C 点测得最高点A 的仰角为22°，再向前70m 至D 点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C ，D ，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为（ ）（精确到1m ．参考数据：sin 220.37︒≈，tan 220.40︒≈，sin 580.85︒≈，tan 58 1.60︒≈）A. 28mB. 34mC. 37mD. 46m【答案】C【解析】 【分析】在Rt △ABD 中，解直角三角形求出58DB AB =，在Rt △ABC 中，解直角三角形可求出AB ．【详解】解：在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB DB ， ∴5tan 58 1.68AB AB DB AB =≈=︒，在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝AB CB， ∴tan 220.45708AB AB ︒=≈+， 解得：112373AB =≈m ， 故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键． 12. 抛物线2222y x mx m =-+-+与y 轴交于点C ，过点C 作直线l 垂直于y 轴，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，组成图形G ，点()11,M m y -，()21,N m y +为图形G 上两点，若12y y <，则m 的取值范围是（ ）A. 1m <-或0m >B. 1122m -<<C. 0m ≤<D.11m -<< 【答案】D【解析】【分析】求出抛物线的对称轴、C 点坐标以及当x =m -1和x =m +1时的函数值，再根据m -1＜m +1，判断出M 点在N 点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N 点在y 轴左侧时，第二种情况，当M 点在y 轴的右侧时，第三种情况，当y 轴在M 、N 点之间时，来讨论，结合图像即可求解．【详解】抛物线解析式2222y x mx m =-+-+变形为：22()y x m =--，即抛物线对称轴为x m =，当x =m -1时，有22(1)1y m m =---=，当x =m +1时，有22(1)1y m m =-+-=，设(m -1,1)为A 点，(m +1,1)为B 点，即点A (m -1,1)与B (m +1,1)关于抛物线对称轴对称，当x =0时，有222(0)2y m m =--=-，∴C 点坐标为2(0,2)m -，当x =m 时，有22()2y m m =--=，∴抛物线顶点坐标为(,2)m ，∵直线l ⊥y 轴，∴直线l 为22y m =-，∵m -1＜m +1，∴M 点在N 点左侧，此时分情况讨论：第一种情况，当N 点在y 轴左侧时，如图，由图可知此时M 、N 点分别对应A 、B 点，即有121y y ==，∴此时不符合题意；第二种情况，当M 点在y 轴的右侧时，如图，由图可知此时M 、N 点满足12y y =，∴此时不符合题意；第三种情况，当y 轴在M 、N 点之间时，如图，或者 ，由图可知此时M 、N 点满足12y y ＜，∴此时符合题意；此时由图可知：101m m -+＜＜，解得11m -＜＜，综上所述：m 的取值范围为：11m -＜＜，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键．非选择题部分 共102分二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，直接填写答案．） 13. 因式分解：244a a ++=______．【答案】()22a + 【解析】【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：244a a ++=()22a +． 故答案为：()22a +． 【点睛】此题考查了公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．【答案】4 9【解析】【分析】根据题意可得一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，再根据概率公式计算，即可求解．【详解】解：根据题意得：一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，∴它最终停留在阴影区域的概率是49．故答案为：4 9【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．15. 小的整数_____．【答案】3（答案不唯一）【解析】进行估算，再根据题意即可得出答案．＜2＜3＜45<，小的整数有2，3，4.故答案为：3（答案不唯一）．是解题的关键．16. 代数式32x+与代数式21x-的值相等，则x＝______．【答案】7【解析】【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．【详解】解：∵代数式32x+与代数式21x-的值相等，∴3221 x x=+-，去分母()() 3122x x-=+，去括号号3324x x-=+，解得7x =，检验：当7x =时，()()210x x +-≠，∴分式方程的解为7x =．故答案为：7．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 17. 利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD 是矩形ABCD 的对角线，将△BCD 分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a ＝4，b ＝2，则矩形ABCD 的面积是______．【答案】16【解析】【分析】设小正方形的边长为x ，利用a 、b 、x 表示矩形的面积，再用a 、b 、x 表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于a 、b 、x 的关系式，解出x ，即可求出矩形面积．【详解】解：设小正方形边长为x ，∴矩形的长为()a x + ，宽为()b x + ，由图1可得：()()211122222a xb x ax bx x ++=⨯+⨯+， 整理得：20x ax bx ab ++-=，4a = ，2b =，2680x x ∴+-=，268x x ∴+=，∴矩形的面积为()()()()242688816a x b x x x x x ++=++=++=+= ．故答案为：16．【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键．18. 规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上的的面描述依次连续变换．例如：如图，点()0,0O 按序列“011…”作变换，表示点O 先向右平移一个单位得到()11,0O ，再将()11,0O 绕原点顺时针旋转90°得到()20,1O -，再将()20,1O -绕原点顺时针旋转90°得到()31,0O -…依次类推．点()0,1经过“011011011”变换后得到点的坐标为______．【答案】()1,1--【解析】【分析】根据题意得出点()0,1坐标变化规律，进而得出变换后的坐标位置，进而得出答案．【详解】解：点()0,1按序列“011011011”作变换，表示点()0,1先向右平移一个单位得到()1,1，再将()1,1绕原点顺时针旋转90°得到()1,1-，再将()1,1-绕原点顺时针旋转90°得到()1,1--，然后右平移一个单位得到()0,1-，再将()0,1-绕原点顺时针旋转90°得到()1,0-，再将()1,0-绕原点顺时针旋转90°得到()0,1，然后右平移一个单位得到()1,1，再将()1,1绕原点顺时针旋转90°得到()1,1-，再将()1,1-绕原点顺时针旋转90°得到()1,1--．故答案为：()1,1--【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19. 计算：1134sin 303-⎛⎫--︒++ ⎪⎝⎭． 【答案】6【解析】【分析】先根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义进行化简，然后再进行计算即可．【详解】解：1134sin 303-⎛⎫--︒ ⎪⎝⎭ 11342123=-⨯++ 3223=-++6=【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义，是解题的关键．20. 解不等式组：()1,232532.x x x x -⎧<⎪⎨⎪-≤-⎩①②，并写出它的所有整数解．【答案】13x ≤<，整数解为1，2【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．【详解】解不等式①，得3x <，解不等式②，得1≥x ，在同一条数轴上表示不等式①②的解集原不等式组解集是13x ≤<，∴整数解为1，2．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．21. 已知：如图，在菱形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上两点，连接DE ，DF ，∠ADF ＝∠CDE ．求证：AE ＝CF ．【答案】见解析【解析】的【分析】根据菱形的性质得出DA DC =，DAC DCA ∠=∠，再利用角的等量代换得出ADE CDF ∠=∠，接着由角边角判定DAE DCF △≌△，最后由全等的性质即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，E ，F 是对角线AC 上两点，∴DA DC =，DAC DCA ∠=∠．∵ADF CDE ∠=∠，∴ADF EDF CDE EDF ∠-∠=∠-∠，即ADE CDF ∠=∠．在DAE △和DCF 中，DA DC ADE CD DAC DC F A ⎧⎪=⎨⎪∠=∠∠∠⎩=，∴DAE DCF ASA △≌△（）， ∴AE CF =．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练地掌握这些性质和判定定理，并能从题中找到合适的条件进行证明．22. 某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：a ：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．（数据分成5组，5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）b ：七年级抽取成绩在7080x ≤<这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．c ：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：年级平均数 中位数 七年级 76.5 m八年级78.2 79请结合以上信息完成下列问题： （1）七年级抽取成绩在6090x ≤<的人数是_______，并补全频数分布直方图；（2）表中m 的值为______；（3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则______（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；（4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．【答案】（1）38，理由见解析（2）77 （3）甲 （4）七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人【解析】【分析】（1）根据题意及频数分布直方图即可得出结果；（2）根据中位数的计算方法求解即可；（3）由七八年级中位数与甲乙学生成绩比较即可得出结果；（4）用总人数乘以七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数占总的人数的比例求解即可．【小问1详解】解：由题意可得：70≤x <80这组的数据有16人，∴七年级抽取成绩在60≤x <90的人数是：12+16+10=38人，故答案为：38；补全频数分布直方图如图所示；【小问2详解】解：∵4+12=16<25，4+12+16>25，∴七年级中位数在70≤x <80这组数据中，∴第25、26的数据分别为77，77，∴m =7777772+=，故答案为：77；【小问3详解】的解：∵七年级学生的中位数为77<78，八年级学生的中位数为79>78，∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前，故答案为：甲；【小问4详解】 解：84006450⨯=（人） 答：七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人．【点睛】题目主要考查统计的相关应用，包括频数分布直方图及用部分估计总体、中位数的求法等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．23. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，交AB 延长线于点D ，连接AC ，BC ，∠D ＝30°，CE 平分∠ACB 交⊙O 于点E ，过点B 作BF ⊥CE ，垂足为F ．（1）求证：CA ＝CD ；（2）若AB ＝12，求线段BF 的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接OC ，欲证明CA ＝CD ，只要证明CAD CDA ∠=∠即可．（2）因为AB 为直径，所以90ACB ∠=︒，可得出三角形CBF 为等腰直角三角形，即可求出BF ，由此即可解决问题．【小问1详解】证明：连接OC∵CD 与O 相切于点C ，∴OC CD ⊥，∴90OCD ∠=︒，∵30CDA ∠=︒，∴9060COB CDA ∠=︒-∠=︒， ∵ BC所对的圆周角为CAB ∠，圆心角为COB ∠， ∴1302CAB COB ∠=∠=︒， ∴CAD CDA ∠=∠，∴CA CD =．【小问2详解】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，在Rt ABC 中，30CAB ∠=︒，12AB =， ∴162BC AB ==， ∵CE 平分ACB ∠， ∴1452ECB ACB ∠=∠=︒， ∵BF CE ⊥，∴90CFB ∠=︒，∴sin 456BF BC =⋅==︒ 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．24. 为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．【答案】（1）甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元（2）当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少，理由见解析【解析】【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x 元，每棵乙种树苗的价格y 元，由“购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可；（2）设购买甲种树苗m 棵，则购买乙种树苗()100m -棵，购买两种树苗总费用为W 元得出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．【小问1详解】设甲种树苗每棵x 元，乙种树苗每棵y 元．由题意得，2016128010x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得4030x y =⎧⎨=⎩， 答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元．【小问2详解】设购买甲种树苗m 棵，则购买乙种树苗()100m -棵，购买两种树苗总费用为W 元， 由题意得()4030100W m m =+-，103000W m =+，由题意得1003m m -≤，解得25m ≥，因为W 随m 的增大而增大，所以当25m =时W 取得最小值．答：当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．25. 如图，一次函数112y x =+的图象与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点(),3A a ，与y 轴交于点B ．（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC ＝AD ，连接C B ．①求△ABC 的面积；②点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．【答案】（1）4a =，12k =；（2）①8；②符合条件的点P 坐标是()6,2和()3,4．【解析】【分析】（1）将点(),3A a 代入112y x =+，求出4a =，即可得()4,3A ，将点()4,3A代入k y x=，即可求出k ； （2）①如图，过A 作AM x ⊥轴于点M ，过C 作CN x ⊥轴于点N ，交AB 于点E ，求出()2,6C ，()2,2E ，得到CE ，进一步可求出△ABC 的面积；②设()11,P x y ，()2,0Q x ．分情况讨论：ⅰ、当四边形ABQP 为平行四边形时，ⅱ、当四边形APBQ 为平行四边形时，计算即可．【小问1详解】解：将点(),3A a 代入112y x =+，得4a =，()4,3A ， 将点()4,3A 代入k y x=，得4312k =⨯=， 反比例函数的解析式为12y x =． 【小问2详解】解：①如图，过A 作AM x ⊥轴于点M ，过C 作CN x ⊥轴于点N ，交AB 于点E ，∴AM CN ∥，∵AC AD =， ∴12AM DA CN DC ==， ∴6CN =， ∴1226C x ==， ∴()2,6C ，∴()2,2E ，∴624CE =-=， ∴114242822ABC ACE BCE S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△．②分两种情况：设()11,P x y ，()2,0Q x ．ⅰ、如图，当四边形ABQP 为平行四边形时，∵点B 向下平移1个单位、向右平移2x 个单位得到点Q ，∴点A 向下平移1个单位，向右平移2x 个单位得到点P ，∴1312y =-=，11262x ==， ∴()6,2P ．ⅱ、如图，当四边形APBQ 为平行四边形时，∵点Q 向上平移1个单位，向左平移2x 个单位得到点B ，∴点A 向上平移1个单位，向左平移2x 个单位得到点P ，∴1314y =+=，11234x ==， ∴()3,4P ．综上所述，符合条件的点P 坐标是()6,2和()3,4．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质．26. 如图1，△ABC 是等边三角形，点D 在△ABC 的内部，连接AD ，将线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AE ，连接BD ，DE ，CE ．（1）判断线段BD 与CE 的数量关系并给出证明；（2）延长ED 交直线BC 于点F ．①如图2，当点F 与点B 重合时，直接用等式表示线段AE ，BE 和CE 的数量关系为_______；②如图3，当点F 为线段BC 中点，且ED ＝EC 时，猜想∠BAD 的度数，并说明理由．【答案】（1）BD CE =，理由见解析（2）①BE AE CE =+；②45BAD ∠=︒，理由见解析【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到()ABD ACE SAS △≌△，再由全等三角形的性质求解；（2）①根据线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到AE 得到ADE 是等边三角形， 由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A 作AG EF ⊥于点G ，连接AF ，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到BAF DAG ∠=∠，AG AF AD AB=，进而得到BAD FAG ∽△△，进而求出90ADB ∠=︒，结合BD CE =，ED ＝EC 得到BD AD =，再用等腰直角三角形的性质求解．【小问1详解】解：BD CE =．证明：∵ABC 是等边三角形，∴AB AC =，60BAC ∠=︒．∵线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到AE ，∴AD AE =，60DAE ∠=︒，∴BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠．在ABD △和ACE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACE SAS △≌△，∴BD CE =；【小问2详解】解：①BE AE CE =+理由：∵线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到AE ，∴ADE 是等边三角形，∴AD DE AE ==，由（1）得BD CE =，∴BE DE BD AE CE =+=+；②过点A 作AG EF ⊥于点G ，连接AF ，如下图．∵ADE 是等边三角形，AG DE ⊥， ∴1302DAG DAE ∠=∠=︒，∴cos AG DAG AD =∠=． ∵ABC 是等边三角形，点F 为线段BC 中点， ∴BF CF =，AF BC ⊥，1302BAF BAC ∠=∠=︒，∴cos AF BAF AB =∠= ∴BAF DAG ∠=∠，AG AF AD AB =， ∴BAF DAF DAG DAF ∠+∠=∠+∠，即BAD FAG ∠=∠，∴BAD FAG ∽△△，∴90ADB AGF ∠=∠=︒．∵BD CE =，ED EC ＝，∴BD AD =，即ABD △是等腰直角三角形，∴45BAD ∠=︒．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．27. 抛物线21164y ax x =+-与x 轴交于(),0A t ，()8,0B 两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝kx －6经过点B ．点P 在抛物线上，设点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线的表达式和t ，k 的值；（2）如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以CP 为斜边的直角三角形，求点P 的坐标；（3）如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作PQ ⊥BC ，垂足为Q ，求12CQ PQ +的最大值． 【答案】（1），2111644y x x =-+-，t =3，34k = （2）点710,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭ （3）16916【解析】【分析】（1）分别把()8,0B 代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；（2）作PM x ⊥轴于点M ，根据题意可得2111,644P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，从而得到2111644PM m m =-+，3AM m =-，再根据COA AMP ∽△△，可求出m ，即可求解；（3）作PN x ⊥轴交BC 于点N ，过点N 作NE y ⊥轴于点E ，则22111316624444PN m m m m m ⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭，再根据PQN BOC ∽△△，可得35NQ PN =，45PQ PN =，然后根据CNE CBO ∽△△，可得54CN m =，从而得到1122CQ PQ CN NQ PQ CN PN +=++=+，在根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】解：∵()8,0B 在抛物线21164y ax x =+-上， ∴11648604a +⨯-=， ∴14a =-， ∴抛物线解析式为2111644y x x =-+-， 当0y =时，21116044t t -+-=， ∴13t =，28t =（舍），∴3t =．∵()8,0B 在直线6y kx =-上，∴860k -=， ∴34k =， ∴一次函数解析式为364y x =-． 【小问2详解】 解：如图，作PM x ⊥轴于点M ，对于2111644y x x =-+-，令x =0，则y =-6， ∴点C （0，-6），即OC =6，∵A （3，0），∴OA =3，∵点P 的横坐标为m ． ∴2111,644P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， ∴2111644PM m m =-+，3AM m =-， ∵∠CAP =90°，∴90OAC PAM ∠+∠=︒，∵90APM PAM ∠+∠=︒，∴OAC APM ∠=∠，∵∠AOC =∠AMP =90°，∴COA AMP ∽△△， ∴OA OC PM MA=， ∴OA MA OC PM ⋅=⋅，即21113(3)6644m m m ⎛⎫-=⋅-+ ⎪⎝⎭， ∴13m =（舍），210m =，∴10m =，∴点710,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【小问3详解】解：如图，作PN x ⊥轴交BC 于点N ，过点N 作NE y ⊥轴于点E ，∵2111,644P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， ∴点3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴22111316624444PN m m m m m ⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭， ∵PN ⊥x 轴，∴PN ∥y 轴，∴∠PNQ =∠OCB ，∵∠PQN =∠BOC =90°，∴PQN BOC ∽△△， ∴PN NQ PQ BC OC OB==， ∵8OB =，6OC =，∴10BC =， ∴35NQ PN =，45PQ PN =， ∵EN ⊥y 轴，∴EN ∥x 轴，∴CNE CBO ∽△△， ∴CN EN BC OB =，即108CN m = ∴54CN m =，∴1131422525CQ PQ CN NQ PQ CN PN PN CN PN +=++=++⨯=+，∴2221511131131692244444216 CQ PQ m m m m m m⎛⎫+=-+=-+=--+⎪⎝⎭，∴当132m=时，12CQ PQ+的最大值是16916．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题。
山东省济南市中考数学试卷含答案解析版
2017年山东省济南市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．（3分）（2017济南）在实数0，﹣2，√5，3中，最大的是（）A．0 B．﹣2 C．√5D．3【考点】2A：实数大小比较．【分析】根据正负数的大小比较，估算无理数的大小进行判断即可．【解答】解：2＜√5＜3，实数0，﹣2，√5，3中，最大的是3．故选D．【点评】本题考查了实数的大小比较，要注意无理数的大小范围．2．（3分）（2017济南）如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据几何体确定出其左视图即可．【解答】解：根据题意得：几何体的左视图为：，故选A【点评】此题考查了简单组合体的三视图，锻炼了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．3．（3分）（2017济南）2017年5月5日国产大型客机C919首飞成功，圆了中国人的“大飞机梦”，它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数168人，最大航程约5550公里．数字5550用科学记数法表示为（）A．×104B．×104C．×103D．×103【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：5550=×103，故选C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2017济南）如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C，∠1=40°，则∠2的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．60°【考点】JA：平行线的性质；J3：垂线．【分析】先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出∠2的度数．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠1=∠CBA，∵∠1=40°，∴∠CBA=40°，∵AC⊥AB，∴∠2+∠CBA=90°，∴∠2=50°，故选C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．5．（3分）（2017济南）中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（）A．B．C．D．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：B是轴对称图形又是中心对称图形，故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．（3分）（2017济南）化简a2+aaa−a÷aaa−a的结果是（）A．a2B．a2a−aC．a−aaD．a+aa【考点】6A：分式的乘除法．【分析】先将分子因式分解，再将除法转化为乘法后约分即可．【解答】解：原式=a(a+a)a−aa−aaa=a+aa，故选：D．【点评】本题主要考查分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键．7．（3分）（2017济南）关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为﹣2，则另一个根是（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6【考点】AB：根与系数的关系．【分析】设方程的另一个根为n，根据两根之和等于﹣aa，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设方程的另一个根为n，则有﹣2+n=﹣5，解得：n=﹣3．故选C．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣aa、两根之积等于aa是解题的关键．8．（3分）（2017济南）《九章算术》是中国传统数学的重要着作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（）A．{a−8a=3a−7a=4B．{a−8a=37a−a=4C．{8a−a=3a−7a=4D．{8a−a=37a−a=4【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得到相等关系：①8×人数﹣物品价值=3，②物品价值﹣7×人数=4，据此可列方程组．【解答】解：设合伙人数为x 人，物价为y 钱，根据题意，可列方程组：{8a −a =3a −7a =4， 故选：C ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．9．（3分）（2017济南）如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A 和B 为入口，C ，D ，E 为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A 入口进入、从C ，D 出口离开的概率是（ ）A ．12B ．13C ．16D ．23【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得聪聪从入口A 进入景区并从C ，D 出口离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树形图如图得：由树形图可知所有可能的结果有6种，设小红从入口A 进入景区并从C ，D 出口离开的概率是P ，∵小红从入口A 进入景区并从C ，D 出口离开的有2种情况，∴P=13． 故选：B ．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．10．（3分）（2017济南）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（）A．12cm B．24cm C．6√3cm D．12√3cm【考点】MC：切线的性质．【分析】设圆形螺母的圆心为O，连接OD，OE，OA，如图所示：根据切线的性质得到AO为∠DAB的平分线，OD⊥AC，OD⊥AC，又∠CAB=60°，得到∠OAE=∠OAD=1 2∠DAB=60°，根据三角函数的定义求出OD的长，即为圆的半径，进而确定出圆的直径．【解答】解：设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接OD，OE，OA，如图所示：∵AD，AB分别为圆O的切线，∴AO为∠DAB的平分线，OD⊥AC，OD⊥AC，又∠CAB=60°，∴∠OAE=∠OAD=12∠DAB=60°，在Rt△AOD中，∠OAD=60°，AD=6cm，∴tan∠OAD=tan60°=aaaa，即aa6=√3，∴OD=6√3cm，则圆形螺母的直径为12√3cm．故选D．【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．11．（3分）（2017济南）将一次函数y=2x的图象向上平移2个单位后，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x＞1 C．x＞﹣2 D．x＞2【考点】F9：一次函数图象与几何变换．【分析】首先得出平移后解析式，进而求出函数与坐标轴交点，即可得出y＞0时，x的取值范围．【解答】解：∵将y=2x的图象向上平移2个单位，∴平移后解析式为：y=2x+2，当y=0时，x=﹣1，故y＞0，则x的取值范围是：x＞﹣1．故选A【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键．12．（3分）（2017济南）如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m 处的D点离地面的高度DE=，又量的杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（）A ．34B ．3C ．35D ．4 【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】先过C 作CF ⊥AB 于F ，根据DE ∥CF ，可得aa aa =aa aa，进而得出CF=3，根据勾股定理可得AF 的长，根据CF 和BF 的长可得石坝的坡度．【解答】解：如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，则DE ∥CF ，∴aa aa =aa aa ，即15=0.6aa， 解得CF=3，∴Rt △ACF 中，AF=√52−32=4，又∵AB=3，∴BF=4﹣3=1，∴石坝的坡度为aa aa =31=3， 故选：B ．【点评】本题主要考查了坡度问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．13．（3分）（2017济南）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB=3√2，E 为OC 上一点，OE=1，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，与BD 交于点G ，则BF 的长是（ ）A ．3√105B ．2√2C ．3√54D ．3√22【考点】LE ：正方形的性质；KD ：全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△GAO ≌△EBO ，得到OG=OE=1，证明△BFG ∽△BOE ，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，AB=3√2，∴∠AOB=90°，AO=BO=CO=3，∵AF ⊥BE ，∴∠EBO=∠GAO ，在△GAO 和△EBO 中，{∠aaa =∠aaa aa =aa ∠aaa =∠aaa，∴△GAO ≌△EBO ，∴OG=OE=1，∴BG=2，在Rt △BOE 中，BE=√aa 2+aa 2=√10，∵∠BFG=∠BOE=90°，∠GBF=∠EBO ，∴△BFG ∽△BOE ，∴aa aa =aa aa ，即aa 3=2√10， 解得，BF=3√105， 故选：A ．【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．14．（3分）（2017济南）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过点（﹣2，0），（x 0，0），1＜x 0＜2，与y 轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列结论：①b ＞0；②2a ＜b ；③2a ﹣b ﹣1＜0；④2a+c ＜0．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】①由图象开口向上知a ＞0，由y=ax 2+bx+c 与x 轴的另一个交点坐标为（x 1，0 ），且1＜x 1＜2，则该抛物线的对称轴为x=﹣a 2a =−2+a 12＞﹣12，即 a a ＜1，于是得到b ＞0；故①正确；②由x=﹣2时，4a ﹣2b+c=0得2a ﹣b=﹣a 2，而﹣2＜c ＞0，解不等式即可得到2a ＞b ，所以②正确．③由②知2a ﹣b ＜0，于是得到2a ﹣b ﹣1＜0，故③正确；④把（﹣2，0）代入y=ax 2+bx+c 得：4a ﹣2b+c=0，即2b=4a+c ＞0（因为b ＞0），等量代换得到2a+c ＜0，故④正确．【解答】解：如图：①由图象开口向上知a ＞0，由y=ax 2+bx+c 与x 轴的另一个交点坐标为（x 1，0 ），且1＜x 1＜2，则该抛物线的对称轴为x=﹣=﹣a 2a =−2+a 12＞﹣12，即 a a＜1， 由a ＞0，两边都乘以a 得：b ＞a ，∵a ＞0，对称轴x=﹣a 2a＜0， ∴b ＞0；故①正确；②由x=﹣2时，4a ﹣2b+c=0得2a ﹣b=﹣a 2，而﹣2＜c ＜0，∴2a ﹣b ＞0，所以②错误．③∵2a ﹣b ＜0，∴2a ﹣b ﹣1＜0，故③正确；④∵把（﹣2，0）代入y=ax 2+bx+c 得：4a ﹣2b+c=0，∴即2b=4a+c ＞0（因为b ＞0），∵当x=1时，a+b+c ＜0，∴2a+2b+2c ＜0，∴6a+3c＜0，即2a+c＜0，∴④正确；故选D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析的能力，用了数形结合思想，题目比较好，但是难度偏大．15．（3分）（2017济南）如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，aâ表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x （m）时，相应影子的长度为y （m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（）A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】根据函数图象的中间一部分为水平方向的线段，可知沿着弧形道路步行，根据函数图象中第一段和第三段图象对应的x的范围相等，且均小于中间一段图象对应的x的范围，即可得出第一段函数图象对应的路径为正方形的边AB或AD，第三段函数图象对应的路径为BC或DC．【解答】解：根据图3可得，函数图象的中间一部分为水平方向的线段，故影子的长度不变，即沿着弧形道路步行，因为函数图象中第一段和第三段图象对应的x的范围相等，且均小于中间一段图象对应的x的范围，故中间一段图象对应的路径为aâ，又因为第一段和第三段图象都从左往右上升，所以第一段函数图象对应的路径为正方形的边AB或AD，第三段函数图象对应的路径为BC或DC，故行走的路线是A→B→D→C（或A→D→B→C），故选：D．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时注意：在点光源的照射下，在不同位置，物体高度与影长不成比例．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）16．（3分）（2017济南）分解因式：x2﹣4x+4= （x﹣2）2．【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【分析】直接用完全平方公式分解即可．【解答】解：x2﹣4x+4=（x﹣2）2．【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．17．（3分）（2017济南）计算：|﹣2﹣4|+（√3）0= 7 ．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．【分析】直接利用绝对值的性质结合零指数幂的性质计算得出答案．【解答】解：|﹣2﹣4|+（√3）0=6+1=7．故答案为：7．【点评】此题主要考查了实数运算以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．18．（3分）（2017济南）在学校的歌咏比赛中，10名选手的成绩如统计图所示，则这10名选手成绩的众数是90 ．【考点】W5：众数．【分析】根据众数的定义和给出的数据可直接得出答案．【解答】解：根据折线统计图可得：90分的人数有5个，人数最多，则众数是90；故答案为：90．【点评】此题考查了众数，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数是本题的关键．19．（3分）（2017济南）如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC的面积为300πcm2，∠BAC=120°，BD=2AD，则BD的长度为20 cm．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】设AD=x，则AB=3x．由题意300π=120?a?(3a)2360，解方程即可．【解答】解：设AD=x，则AB=3x．由题意300π=120?a?(3a)2360，解得x=10， ∴BD=2x=20cm ． 故答案为20．【点评】本题考查扇形的面积公式、解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．20．（3分）（2017济南）如图，过点O 的直线AB 与反比例函数y=aa的图象交于A ，B 两点，A （2，1），直线BC ∥y 轴，与反比例函数y=−3aa（x ＜0）的图象交于点C ，连接AC ，则△ABC 的面积为 8 ．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】由A （2，1）求得两个反比例函数分别为y=2a ，y=−6a，与AB 的解析式y=12x ，解方程组求得B 的坐标，进而求得C 点的纵坐标，即可求得BC ，根据三角形的面积公式即可求得结论．【解答】解：∵A （2，1）在反比例函数y=aa 的图象上，∴k=2×1=2，∴两个反比例函数分别为y=2a ，y=−6a，设AB 的解析式为y=kx ，把A （2，1）代入得，k=12，∴y=12x ，解方程组{a =12a a =2a 得：{a 1=2a 1=1，{a 2=−2a 2=−1，∴B （﹣2，﹣1），∵BC∥y轴，∴C点的横坐标为﹣2，∴C点的纵坐标为−6−2=3，∴BC=3﹣（﹣1）=4，∴△ABC的面积为12×4×4=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查了反比例函数于一次函数的交点问题，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．21．（3分）（2017济南）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（﹣1，1），Q（2，3），则P，Q的“实际距离”为5，即PS+SQ=5或PT+TQ=5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为A（3，1），B（5，﹣3），C（﹣1，﹣5），若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为（1，﹣2）．【考点】D3：坐标确定位置．【分析】直接利用实际距离的定义，结合A，B，C点的坐标，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为（1，﹣2），此时M到A，B，C的实际距离都为5．故答案为：（1，﹣2）．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关键．三、解答题（本大题共8小题，共57分）22．（6分）（2017济南）（1）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+2）（a+3），其中a=3．（2）解不等式组：{3a−5≥2(a−2)①a2＞a−1②．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值；CB：解一元一次不等式组．【分析】（1）根据完全平方公式和多项式乘多项式可以解答本题；（2）根据解不等式组的方法可以解答本题．【解答】解：（1）（a+3）2﹣（a+2）（a+3）=a2+6a+9﹣a2﹣5a﹣6=a+3，当a=3时，原式=3+3=6；（2）{3a−5≥2(a−2)①a2＞a−1②由不等式①，得x≥1，由不等式②，得x＜2故原不等式组的解集是1≤x＜2．【点评】．本题考查整式的混合运算﹣化简求值、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．23．（4分）（2017济南）如图，在矩形ABCD，AD=AE，DF⊥AE于点F．求证：AB=DF．【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】利用矩形和直角三角形的性质得到∠AEB=∠EAD、∠AFD=∠B，从而证得两个三角形全等，可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B=90°，∴∠AEB=∠DAE，∵DF⊥AE，∴∠AFD=∠B=90°，在△ABE和△DFA中∵{∠aaa=∠aaa ∠aaa=∠aaa=aa∴△ABE≌△DFA，∴AB=DF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质的知识，属于基础题，难度不是很大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键．24．（4分）（2017济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．【考点】M5：圆周角定理．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．【解答】解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°∴∠B=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．【点评】考查了圆周角定理的推论．利用直径所对的圆周角是直角是解题关键．25．（8分）（2017济南）某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少【考点】B7：分式方程的应用．【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．【解答】解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为元，12000 a +90001.5a=150，解得，x=120，经检验x=120是原分式方程的解，∴=180，答：银杏树和玉兰树的单价各是120元、180元．【点评】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意分式方程要经验26．（8分）（2017济南）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：本频频数（本）数（人数）率5a618714b88合计c1（1）统计表中的a= 10，b= ，c= 50 ；（2）请将频数分布表直方图补充完整；（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；（4）若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数．【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．【分析】（1）根据百分比=所占人数总人数计算即可；（2）求出a组人数，画出直方图即可；（3）根据平均数的定义计算即可；（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可；【解答】解：（1）由题意c=18÷=50，∴a=50×=10，b=1450 =，故答案为10，，50．（2）频数分布表直方图如图所示．（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数=10×5+18×6+14×7+8×850=（本）（4）该校八年级共有1200名学生，该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数有1200×14+850=528（名）．【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．27．（9分）（2017济南）如图1，OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3，A（2，1），反比例函数y=aa（x＞0）的图象经过的B．（1）求点B 的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图2，直线MN 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于M ，N 两点，若点O 和点B 关于直线MN 成轴对称，求线段ON 的长；（3）如图3，将线段OA 延长交y=a a （x ＞0）的图象于点D ，过B ，D 的直线分别交x 轴、y 轴于E ，F 两点，请探究线段ED 与BF 的数量关系，并说明理由．【考点】GB ：反比例函数综合题．【分析】（1）利用平行四边形的性质求出点B 的坐标即可解决问题；（2）根据两直线垂直的条件，求出直线MN 的解析式即可解决问题；（3）结论：BF=DE ．如图3中，延长BA 交x 轴于N ，作DM ⊥x 轴于M ，作NK ∥EF 交y 轴于K ．设ON=n ，OM=m ，ME=a ．则BN=a a ，DM=a a．由△EDM ∽△EBN ，推出aa aa =aa aa ，即a a +a −a =a a a a ，可得a=m ，由△KNO ≌△DEM ，推出DE=KN ，再证明四边形NKFB 是平行四边形，即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB=OC=3，∵A （2，1），∴B （2，4），把B （2，4）代入y=a a中，得到k=8， ∴反比例函数的解析式为y=8a．（2）如图2中，设K 是OB 的中点，则K （1，2）．∵直线OB 的解析式为y=2x ，∴直线MN 的解析式为y=﹣12x+52， ∴N （0，52）， ∴ON=52．（3）结论：BF=DE ．理由如下： 如图3中，延长BA 交x 轴于N ，作DM ⊥x 轴于M ，作NK ∥EF 交y 轴于K ．设ON=n ，OM=m ，ME=a ．则BN=a a ，DM=a a．∵△EDM ∽△EBN ，∴aa aa =aa aa， ∴a a +a −a =aa a a，可得a=m ， ∵NK ∥EF ，∴∠KNO=∠DEM ，∠KON=∠DME=90°，ON=EM ，∴△KNO ≌△DEM ，∴DE=KN ，∵FK ∥BN ，NK ∥FB ，∴四边形NKFB 是平行四边形，∴NK=BF，∴BF=DE．【点评】本题考查一次函数，反比例函数、平行四边形，全等三角形，相似三角形等几何知识结合在一起，综合性比较强，要求学生有较强的分析问题好解决问题的能力．28．（9分）（2017济南）某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠CAB=∠EAD=60°，点E，A，C在同一条直线上，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF，试判断△CEF的形状并说明理由．问题探究：（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF的两条边是否相等，如EF=CF，以下是她的证明过程证明：延长线段E F 交C ∴∠B G F =∠D E F ．的延长线于点G ．∵F 是B D 的中点，∴B F = D F ．∵∠A C ∵∠B F G =∠D F E ，∴△B G F ≌△D E F （A S A）=∠A E D = 9 0°，∴E D ∥C G ．∴E F = F G ．∴C F = E F =1 2 EG ．请根据以上证明过程，解答下列两个问题：①在图1中作出证明中所描述的辅助线；②在证明的括号中填写理由（请在SAS，ASA，AAS，SSS中选择）．（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF的形状．问题拓展：（3）如图2，当△ADE绕点A逆时针旋转某个角度时，连接CE，延长DE交BC 的延长线于点P，其他条件不变，判断△CEF的形状并给出证明．【考点】RB：几何变换综合题．【分析】（1）①由证明过程即可作出图形；②根据判断三角形全等的方法即可得出结论；（2）先判断出EH=DE ，进而判断出四边形BGEH 是平行四边形，得出∠DEF=∠H=30°，即可求出∠CEF=∠AED ﹣∠DEF=60°，即可得出结论；（3）先判断出△DEF ≌△BGF （SAS ），得出∠CAE=∠CBG ，再判断出aa aa =aa aa，进而得出△BCG ∽△ACE ，得出∠BCG=∠ACE ，进而判断出=90°，即可得出CF=EF=12EG ，再求出aa aa=√3，最后用锐角三角函数求出∠CEG 即可得出结论． 【解答】解：（1）①由题意作图如图1所示图形，②证明：延长线段EF 交CB 的延长线于点G ．∵F 是BD 的中点，∴BF=DF ．∵∠ACB=∠AED=90°，∴ED ∥CG ．∴∠BGF=∠DEF ．又∵∠BFG=∠DFE ，∴△BGF ≌△DEF （ ASA ）．∴EF=FG ．∴CF=EF=12EG ． 故答案为ASA ；（2）如图3，延长BA ，DE 相交于点F ，∵∠BAC=60°，∴∠EAH=60°=∠EAD ，∵∠AED=90°，∴∠H=30°，EH=DE ，由（1）②知，△BGF ≌△DEF ，∴DE=BG ，∴EH=BG ，∵DE ∥BG ，∴四边形BGEH 是平行四边形，∠DEF=∠H=30°，∴∠CEF=∠AED ﹣∠DEF=60°，∵CF=EF ，∴△CEF 是等边三角形；（3）如图2，延长EF 至G 使，FG=EF ，∵点F 是BD 的中点，∴DF=BF ，∵∠DFE=∠BFG ，∴△DEF ≌△BGF （SAS ），∴BG ∥DP ，∴∠P+∠CBG=180°，在四边形ACPE 中，∠AEP=∠ACP=90°，根据四边形的内角和得，∠CAE+∠P=180°，∴∠CAE=∠CBG ，在Rt △ADE 中，∠DAE=60°，∴tan ∠DAE=aa aa=√3， 即：aa aa=√3， 同理：aa aa=√3， ∴aa aa =aa aa， ∵∠CBG=∠CAE ，∴△BCG ∽△ACE ，∴∠BCG=∠ACE ，∴∠ECG=∠ACE+∠ACG=∠BCG+∠ACG=90°，在Rt △CEG 中，EF=GF ，∴CF=EF=12EG ， ∵△BCG ∽△ACE ，∴aa aa =aa aa=√3， 在Rt △CEG 中，tan ∠CEG=aa aa=√3， ∴∠CEG=60°，∵CF=EF ，∴△CEF 是等边三角形．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，四边形内角和公式，解本题的关键是构造全等三角形，难点是判断出△BCG ∽△ACE ，是一道典型的中考常考题．29．（9分）（2017济南）如图1，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD 交B C 于点D ，tan ∠OAD=2，抛物线M 1：y=ax 2+bx （a ≠0）过A ，D 两点．（1）求点D的坐标和抛物线M的表达式；1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点（2）点P是抛物线M1P的坐标；的图象向下平移m（m＞0）个（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1．单位得到抛物线M2①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；与直线AE有两个交点，求m的取值范围．②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．在Rt△ADH中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．由∠CPA=90°，可得PC2+PA2=AC2，可得22+（m ﹣6）2+22+m2=42+62，解方程即可；（3）①求出D′的坐标；②构建方程组，利用判别式△＞0，求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；③求出x=m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断．【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．∵四边形CDHO是矩形，∴OC=DH=6，∵tan∠DAH=aaaa=2，∴AH=3，∵OA=4，∴CD=OH=1，∴D（1，6），把D（1，6），A（4，0）代入y=ax2+bx中，则有{a+a=616a+4a=0，解得{a=−2a=8，∴抛物线M1的表达式为y=﹣2x2+8x．（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．∵∠CPA=90°，∴PC2+PA2=AC2，∴22+（m ﹣6）2+22+m 2=42+62，解得m=3±√13，∴P （2，3+√13），P′（2，3﹣√13）．（3）①如图2中，易知直线AE 的解析式为y=﹣x+4，x=1时，y=3，∴D′（1，3），平移后的抛物线的解析式为y=﹣2x 2+8x ﹣m ，把点D′坐标代入可得3=﹣2+8﹣m ，∴m=3．②由{a =−a +4a =−2a 2+8a −a ，消去y 得到2x 2﹣9x+4+m=0， 当抛物线与直线AE 有两个交点时，△＞0，∴92﹣4×2×（4+m ）＞0，∴m ＜498， ③x=m 时，﹣m+4=﹣2m 2+8m ﹣m ，解得m=2+√2或2﹣√2（舍弃），综上所述，当2+√2≤m ＜498时，抛物线M 2与直线AE 有两个交点． 【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程组，利用判别式解决问题，属于中考压轴题．。
2020年山东省济南市中考数学试卷(含答案解析)
2020年山东省济南市中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.−2的绝对值是()A. 2B. −2C. ±2D. √22.如图所示的几何体，其俯视图是()A. B. C. D.3.2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统(BDS)星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为()A. 0.215×108B. 2.15×107C. 2.15×106D. 21.5×1064.如图，AB//CD，AD⊥AC，∠BAD=35°，则∠ACD=()A. 35°B. 45°C. 55°D. 70°5.古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.6.某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法正确的是()A. 每月阅读课外书本数的众数是45B. 每月阅读课外书本数的中位数是58C. 从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降D. 从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多457.下列运算正确的是()A. (−2a3)2=4a6B. a2⋅a3=a6C. 3a+a2=3a3D. (a−b)2=a2−b28.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐标为()A. (1,7)B. (0,5)C. (3,4)D. (−3,2)9.若m<−2，则一次函数y=(m+1)x+1−m的图象可能是()A. B. C. D.10.如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC=4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为()A. 52B. 3C. 4D. 511.如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE=43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB=20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF//BE，AC⊥BE，FD⊥BE.若A点到B点的距离AB=1.6m，则盲区中DE的长度是()(参者数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4)A. 2.6mB. 2.8mC. 3.4mD. 4.5m12.已知抛物线y=x2+(2m−6)x+m2−3与y轴交于点A，与直线x=4交于点B，当x>2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G(包含A、B两点)，M为G上任意一点，设M 的纵坐标为t，若t≥−3，则m的取值范围是()A. m≥32B. 32≤m≤3 C. m≥3 D. 1≤m≤3二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.分解因式：2a2−ab=______．14.在一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，则摸出白球的概率是______．15.代数式3x−1与代数式2x−3的值相等，则x=______．16.如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为______．17.如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为______米．18.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=10，AB=8，将AB沿AE翻折，使点B落在B′处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB′上的点C′处，EF为折痕，连接AC′.若CF=3，则tan∠B′AC′=______．三、解答题（本大题共9小题，共78.0分）19.计算：(π2)0−2sin30°+√4+(12)−1．20.解不等式组：{4(2x−1)≤3x+1①2x >x−32②，并写出它的所有整数解．21.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.求证：AE=CF．22.促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如表格和统计图：等级次数频率不合格100≤x<120a合格120≤x<140b良好140≤x<160优秀160≤x<180请结合上述信息完成下列问题：(1)a=______，b=______；(2)请补全频数分布直方图；(3)在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是______；(4)若该校有2000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．23.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．(1)求证：AC是∠DAB的角平分线；(2)若AD=2，AB=3，求AC的长．24.5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格进价(元/部)售价(元/部)A30003400B35004000某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．(1)营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？(2)若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？25.如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B(2,2√3)，反比例函数y=kx(x>0)的图象与BC，AB分别交于D，E，BD=12．(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；(2)写出DE与AC的位置关系并说明理由；(3)点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．26.在等腰△ABC中，AC=BC，△ADE是直角三角形，∠DAE=90°，∠ADE=12∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．(1)当∠CAB=45°时．①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是______.线段BE与线段CF的数量关系是______；②如图2，当顶点D在边AB上时，(1)中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．(2)当∠CAB=30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．27.如图1，抛物线y=−x2+bx+c过点A(−1,0)，点B(3,0)与y轴交于点C.在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<3)，过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．(1)求抛物线的解析式及C点坐标；(2)当m=1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；(3)如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1=2S2，求m的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：−2的绝对值是2；故选：A．根据绝对值的性质，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数−a，解答即可．此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2.【答案】C【解析】解：从几何体上面看，共2层，底层2个小正方形，上层是3个小正方形，左齐．故选：C．根据俯视图是从物体上面看所得到的图形判断即可．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．3.【答案】B【解析】解：将21500000用科学记数法表示为2.15×107，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】C【解析】解：∵AB//CD，∴∠ADC=∠BAD=35°，∵AD⊥AC，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠ACD=90°−35°=55°，故选：C．由平行线的性质得∠ADC=∠BAD=35°，再由垂线的定义可得三角形ACD是直角三角形，进而得出∠ACD 的度数．本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，属于基础题型．5.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了轴对称与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6.【答案】B【解析】解：因为58出现了两次，其他数据都出现了一次，所以每月阅读课外书本数的众数是58，故选项A错误；每月阅读课外书本数从小到大的顺序为：28、33、45、58、58、72、78，最中间的数字为58，所以该组数据的中位数为58，故选项B正确；从折线图可以看出，从2月到4月阅读课外书的本数下降，4月到5月阅读课外书的本数上升，故选项C错误；从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值78比最小值多28多50，故选项D错误．故选：B．从折线图中获取信息，通过折线图和中位数、众数的定义及极差等知识求解．本题考查折线统计图、众数及中位数的定义等知识点，掌握众数、中位数的定义，并能从统计图中得到必要的信息是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：∵(−2a3)2=4a6，故选项A正确；∵a2⋅a3=a5，故选项B错误；∵3a+a2不能合并，故选项C错误；∵(a−b)2=a2−2ab+b2，故选项D错误；故选：A．根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．本题考查积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．8.【答案】C【解析】解：由坐标系可得B(−3,1)，将△ABC先沿y轴翻折得到B点对应点为(3,1)，再向上平移3个单位长度，点B的对应点B′的坐标为(3,1+3)，即(3,4)，故选：C．根据轴对称的性质和平移规律求得即可．此题主要考查了坐标与图形的变化--对称和平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．9.【答案】D【解析】解：∵m<−2，∴m+1<0，1−m>0，所以一次函数y=(m−1)x+1−m的图象经过一，二，四象限，故选：D．由m<−2得出m+1<0，1−m>0，进而利用一次函数的性质解答即可．本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限；k<0时，直线必经过二、四象限．b> 0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．10.【答案】D【解析】解：由作法得EF垂直平分AB，∴MB=MA，∴BM+MD=MA+MD，连接MA、DA，如图，∵MA+MD≥AD(当且仅当M点在AD上时取等号)，∴MA+MD的最小值为AD，∵AB=AC，D点为BC的中点，∴AD⊥BC，∵S△ABC=12⋅BC⋅AD=10，∴AD=10×24=5，∴BM+MD长度的最小值为5．故选：D．由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB=MA，所以BM+MD=MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了等腰三角形的性质．11.【答案】B【解析】解：∵FD⊥AB，AC⊥EB，∴DF//AC，∵AF//EB，∴四边形ACDF是平行四边形，∵∠ACD=90°，∴四边形ACDF是矩形，∴DF=AC，在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，∴AC=AB⋅sin43°≈1.6×0.7=1.12(m)，∴DF=AC=1.44(m)，在Rt△DEF中，∵∠FDE=90°，∴tan∠E=DFDE，∴DE≈1.120.4=2.8(m)，故选：B．首先证明四边形ACDF是矩形，求出AC，DF即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12.【答案】A【解析】解：当对称轴在y 轴的右侧时，{2m −6<0−2m−62≤24(m 2−3)−(2m−6)24≥−3，解得32≤m <3，当对称轴是y 轴时，m =3，符合题意，当对称轴在y 轴的左侧时，2m −6>0，解得m >3， 综上所述，满足条件的m 的值为m ≥32． 故选：A ．根据题意，x =−b2a ≤2，4ac−b 24a≥−3本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．13.【答案】a(2a −b)【解析】解：2a 2−ab =a(2a −b)． 故答案为：a(2a −b)．直接提取公因式a ，进而得出答案．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．14.【答案】25【解析】解：共有球3+2=5个，白球有2个， 因此摸出的球是白球的概率为：25． 故答案为：25．让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P(A)=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．15.【答案】7【解析】解：根据题意得：3x−1=2x−3， 去分母得：3x −9=2x −2， 解得：x =7，经检验x =7是分式方程的解．故答案为：7．根据题意列出分式方程，求出解即可．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．16.【答案】36【解析】解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π， 设正六边形的边长为r ， ∴120π×r 2360×2=24π，解得r =6．则正六边形的边长为6．根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式计算即可．本题考查了扇形面积的计算．本题的关键是根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角．17.【答案】1【解析】解：设道路的宽为x m ，根据题意得： (10−x)(15−x)=126，解得：x 1=1，x 2=24(不合题意，舍去)， 则道路的宽应为1米； 故答案为：1．把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．18.【答案】14【解析】解：连接AF ，设CE =x ，则C′E =CE =x ，BE =B′E =10−x ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =8，AD =BC =10，∠B =∠C =∠D =90°， ∴AE 2=AB 2+BE 2=82+(10−x)2=164−20x +x 2， EF 2=CE 2+CF 2=x 2+32=x 2+9， 由折叠知，∠AEB =∠AEB′，∠CEF =∠C′EF ，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF=180°，∴∠AEF=∠AEB′+∠C′EF=90°，∴AF2=AE2+EF2=164−20x+x2+x2+9=2x2−20x+173，∵AF2=AD2+DF2=102+(8−3)2=125，∴2x2−20x+173=125，解得，x=4或6，当x=6时，EC=EC′=6，BE=B′E=8−6=2，EC′>B′E，不合题意，应舍去，∴CE=C′E=4，∴B′C′=B′E−C′E=(10−4)−4=2，∵∠B′=∠B=90°，AB′=AB=8，∴tan∠B′AC′=B′C′A′B′=28=14．故答案为：14．连接AF，设CE=x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF=90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形的性质，关键是利用勾股定理列出方程．19.【答案】解：原式1−2×12+2+2=1−1+2+2=4．【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质等知识分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：{4(2x−1)≤3x+1①2x>x−32②，解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x>−1，∴不等式组的解集为−1<x≤1，∴不等式组的所有整数解为0，1．【解析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出不等式组的解集是解此题的关键．21.【答案】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO=CO，AD//BC，∴∠EAC=∠FCO，在△AOE和△COF中{∠EAO=∠FCOAO=OC∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE=CF．【解析】利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD//BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．22.【答案】0.10.35108°【解析】解：(1)根据频数分布直方图可知：a=4÷40=0.1，因为40×25%=10，所以b=(40−4−12−10)÷40=14÷40=0.35，故答案为：0.1；0.35；(2)如图，即为补全的频数分布直方图；(3)在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是360°×1240=108°；故答案为：108°；(4)因为2000×40−440=1800，所以估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数是1800．(1)用调查总人数减去其他小组的频数即可求得a值；(2)根据调查的总人数和每一小组的频数即可确定中位数落在那个范围内；(3)用总人数乘以达标率即可．此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．解题的关键是根据直方图得到进一步解题的有关信息．23.【答案】解：(1)证明：连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD=90°，∴∠ACD+∠ACO=90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠ACO=∠DAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，∴AC是∠DAB的角平分线；(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，∵∠DAC=∠BAC，∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴ADAC=ACAB，∴AC2=AD⋅AB=2×3=6，∴AC=√6．【解析】(1)连接OC，根据切线的性质可得∠OCD=90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB 的角平分线；(2)利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．24.【答案】解：(1)设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，{3000a+3500b=32000(3400−3000)a+(4000−3500)b=4400，解得，{a=6b=4，答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；(2)设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机(30−x)部，获得的利润为w元，w=(3400−3000)x+(4000−3500)(30−x)=−100x+15000，∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，∴30−x≤2x，解得，x≥10，∵w=−100x+15000，k=−100，∴w随x的增大而减小，∴当x=10时，w取得最大值，此时w=14000，30−x=20，答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．【解析】(1)根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B 两种型号手机各多少部；(2)根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．25.【答案】解：(1)∵B(2,2√3)，则BC=2，而BD =12，∴CD =2−12=32，故点D(32,2√3)，将点D 的坐标代入反比例函数表达式得：2√3=k32，解得k =3√3，故反比例函数表达式为y =3√3x，当x =2时，y =3√32，故点E(2,3√32)；(2)由(1)知，D(32,2√3)，点E(2,3√32)，点B(2,2√3)，则BD =12，BE =√32，故BD BC=122=14，EB AB=√322√3=14=BD BC， ∴DE//AC ；(3)①当点F 在点C 的下方时，如下图，过点F 作FH ⊥y 轴于点H ，∵四边形BCFG 为菱形，则BC =CF =FG =BG =2， 在Rt △OAC 中，OA =BC =2，OB =AB =2√3， 则tan∠OCA =AO CO=22√3=√33，故∠OCA =30°，则FH =12FC =1，CH =CF ⋅cos∠OCA =2×√32=√3，故点F(1,√3)，则点G(3,√3)， 当x =3时，y =3√3x=√3，故点G 在反比例函数图象上；②当点F 在点C 的上方时， 同理可得，点G(1,3√3)，同理可得，点G 在反比例函数图象上；综上，点G 的坐标为(3,√3)或(1,3√3)，这两个点都在反比例函数图象上．【解析】(1)求出D(32,2√3)，再用待定系数法即可求解； (2)证明EBAB =BD BC，即可求解；(3)①当点F 在点C 的下方时，求出FH =1，CH =√3，求出点F(1,√3)，则点G(3,√3)，即可求解；②当点F 在点C 的上方时，同理可解．此题为反比例函数综合题，涉及到菱形的性质、解直角三角形、矩形的性质、平行线分线段成比例等知识点，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．26.【答案】∠EAB =∠CBA CF =12BE【解析】解：(1)①如图1中，连接BE ，设DE 交AB 于T ．∵CA =CB ，∠CAB =45°， ∴∠CAB =∠ABC =45°，∴∠ACB =90°，∵∠ADE =12∠ACB =45°，∠DAE =90°，∴∠ADE =∠AED =45°， ∴AD =AE ，∵∠DAT =∠EAT =45°， ∴AT ⊥DE ，DT =ET ， ∴AB 垂直平分DE ， ∴BD =BE ，∵∠BCD =90°，DF =FB ， ∴CF =12BD ，∴CF =12BE．∵∠CBA=45°，∠EAB=45°，∴∠EAB=∠ABC．故答案为：∠EAB=∠ABC，CF=12BE．②结论不变．解法一：如图2−1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．∵∠ACB=90°，CA=CB，AM=BM，∴CM⊥AB，CM=BM=AM，设AD=AE=y.FM=x，DM=a，则DF=FB=a+x，∵AM=BM，∴y+a=a+2x，∴y=2x，即AD=2FM，∵AM=BM，EN=BN，∴AE=2MN，MN//AE，∴MN=FM，∠BMN=∠EAB=90°，∴∠CMF=∠BMN=90°，∴△CMF≌△BMN(SAS)，∴CF=BN，∵BE=2BN，∴CF=12BE．解法二：如图2−2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到△CBT，连接DT，GT，BG．∵AD=AE，∠EAD=90°，EG=DG，∴AG⊥DE，∠EAG=∠DAG=45°，AG=DG=EG，∵∠CAB=45°，∴∠CAG=90°，∴AC⊥AG，∴AC//DE，∵∠ACB=∠CBT=90°，∴AC//BT//BD，∵AG=BT，∴DG=BT=EG，∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，∴BD与GT互相平分，∵点F是BD的中点，∴BD与GT交于点F，∴GF=FT，∵△GCT是等腰直角三角形，∴CF=FG=FT，∴CF=12BE．(2)结论：BE=2√3CF．理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．∵CA=CB，∴∠CAB=∠CBA=30°，∠ACB=120°，∵AT=TB，∴CT⊥AB，∴AT=√3CT，∴AB=2√3CT，∵DF=FB，AT=TB，∴TF//AD，AD=2FT，∴∠FTB=∠CAB=30°，∵∠CTB=∠DAE=90°，∴∠CTF=∠BAE=60°，∵∠ADE=12∠ACB=60°，∴AE=√3AD=2√3FT，∴ABCT =AEFT=2√3，∴△BAE∽△CTF，∴BECF =BACT=2√3，∴BE=2√3CF．(1)①如图1中，连接BE，设DE交AB于T.首先证明BD=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．②解法一：如图2−1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN.证明△CMF≌△BMN(SAS)可得结论．解法二：如图2−2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到△CBT，连接DT，GT，BG.证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，可得结论．(2)结论：BE=2√3CF.如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT.证明△BAE∽△CTF可得结论．本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．27.【答案】解：(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得{−1−b+c=0−9+3b+c=0，解得{b=2c=3，故抛物线的表达式为y=−x2+2x+3，当x=0时，y=3，故点C(0,3)；(2)当m=1时，点E(1,0)，设点D的坐标为(1,a)，由点A、C、D的坐标得，AC=√(0+1)2+(3−0)2=√10，同理可得：AD=√a2+4，CD=√1+(a−3)2，①当CD=AD时，即√a2+4=√1+(a−3)2，解得a=1；②当AC=AD时，同理可得a=±√6(舍去负值)；故点D的坐标为(1,1)或(1,√6)；(3)∵E(m,0)，则设点M(m,−m2+2m+3)，设直线BM的表达式为y=sx+t，则{−m2+2m+3=sm+t0=3s+t，解得{s=−1m+1t=3m+1，故直线BM的表达式为y=−1m+1x+3m+1，当x=0时，y=3m+1，故点N(0,3m+1)，则ON=3m+1；S1=12×AE×y M=12×(m+1)×(−m2+2m+3)，2S2=ON⋅x M=3m+1×m=S1=12×(m+1)×(−m2+2m+3)，解得m=−2±√7(舍去负值)，经检验m=√7−2是方程的根，故m=√7−2．【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD=AD或AC=AD两种情况，分别求解即可；(3)S1=12×AE×y M，2S2=ON⋅x M，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．。
2023年山东省济南市中考数学真题及答案
济南市2023年九年级学业水平考试数学试题本试卷共8页，满分150分．考试时间为120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0．5mm 黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．1.下列几何体中，主视图是三角形的为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】分别判断出各选项中的几何体的主视图，即可得出答案.【详解】解：A 、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意；B 、球的主视图是圆，故本选项不符合题意；C 、长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意；D 、三棱柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意；故选：A .【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知常见几何体的主视图是解本题的关键.2.2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（）A.80.6865310⨯B.86.865310⨯C.76.865310⨯ D.768.65310⨯【答案】B 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】解：866.68360503000851=⨯，故选：B【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3.如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果170=︒∠，那么2∠的度数是（）A.20︒B.25︒C.30︒D.45︒【答案】A 【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等可得13∠=∠，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出2∠的度数．【详解】解：如下图进行标注，AB CD ∥ ，1370∴∠=∠=︒，2180903907020∴∠=︒-︒-∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线性质，三角形平角的定义，利用三角板的特点求出结果是解答本题的关键．4.实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A.0ab >B.0a b +>C.33a b +<+D.33a b-<-【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得32,2b a -<<-=，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.【详解】解：由题意可得：32,2b a -<<-=，所以b a <，∴,30,033,3a b ab a b a b <+-<><-++，观察四个选项可知：只有选项D 的结论是正确的；故选：D .【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出32,2b a -<<-=是解题的关键.5.下图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．将一个图形沿着一条直线翻折后，直线两侧能完全重合的图形是轴对称图形，将一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合的图形是中心对称图形；轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6.下列运算正确的是（）A.248a a a ⋅=B.43a a a -=C.()325a a = D.422a a a ÷=【答案】D 【解析】【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方等运算法则逐项判断即得答案.【详解】解：A 、246a a a ⋅=，故本选项运算错误，不符合题意；B 、4a 与3a -不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；C 、()326a a =，故本选项运算错误，不符合题意；D 、422a a a ÷=，故本选项运算正确，符合题意；故选：D .【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.7.已知点()14,A y -，()22,B y -，()33,C y 都在反比例函数()0ky k x=<的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A.321y y y <<B.132y y y <<C.312y y y << D.231y y y <<【答案】C 【解析】【分析】先根据函数解析式中的比例系数k 确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．【详解】解： 在反比例函数(0)ky k x=<中，0k <，∴此函数图象在二、四象限，420-<-< ，∴点()14,A y -，2(2,)B y -在第二象限，10y ∴>，20y >，函数图象在第二象限内为增函数，420-<-<，120y y ∴<<．30> ，3(3,)C y ∴点在第四象限，30y \<，1y ∴，2y ，3y 的大小关系为312y y y <<．故选：C ．【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．8.从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（）A.13B.12C.23D.34【答案】B 【解析】【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案．【详解】解：根据题意，画树状图如下：∴一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，61122P ∴==，故选：B ．【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．9.如图，在ABC 中，AB AC =，36BAC ∠=︒，以点C 为圆心，以BC 为半径作弧交AC 于点D ，再分别以B ，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ，作射线CP 交AB 于点E ，连接DE ．以下结论不正确．．．的是（）A.36BCE ∠=︒B.BC AE =C.512BE AC = D.512AEC BEC S S +=△△【答案】C 【解析】【分析】由题意得，BC DC =，CE 平分ABC ∠，根据三角形内角和及角平分线判断A 即可；由角平分线求出36ACE A ∠=︒=∠，得到AE CE =，根据三角形内角和求出72BEC B ∠=︒=∠，得到CE BC =，即可判断B ；证明ABC CBE △∽△，得到AB BCBC BE=，设1,AB BC x ==，则1BE x =-，求出x ，即可判断C ；过点E 作EG BC ⊥于G ，EH AC ⊥于H ，由角平分线的性质定理推出EG EH =，即可根据三角形面积公式判断D ．【详解】解：由题意得，BC DC =，CE 平分ABC ∠，∵在ABC 中，AB AC =，36BAC ∠=︒，∴72ABC ACB ∠=∠=︒∵CE 平分ABC ∠，∴36BCE ∠=︒，故A 正确；∵CE 平分ABC ∠，72ACB ∠=︒∴36ACE A ∠=︒=∠，∴AE CE =，∵72ABC ∠=︒，36BCE ∠=︒，∴72BEC B ∠=︒=∠，∴CE BC =，∴BC AE =，故B 正确；∵,A BCE ABC CBE ∠=∠∠=∠，∴ABC CBE △∽△，∴AB BCBC BE=，设1,AB BC x ==，则1BE x =-，∴11x x x=-，∴21x x =-，解得12x =，∴5135122BE -=-=，∴352BE AC =，故C 错误；过点E 作EG BC ⊥于G ，EH AC ⊥于H，∵CE 平分ACB ∠，EG BC ⊥，EH AC ⊥，∴EG EH=∴1512122AEC BECAC EHS ACS BC BC EG ⋅⋅+===⋅⋅△△，故D 正确；故选：C ．【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．10.定义：在平面直角坐标系中，对于点()11,P x y ，当点()22,Q x y 满足()12122x x y y +=+时，称点()22,Q x y 是点()11,P x y 的“倍增点”，已知点()11,0P ，有下列结论：①点()13,8Q ，()22,2Q --都是点1P 的“倍增点”；②若直线2y x =+上的点A 是点1P 的“倍增点”，则点A 的坐标为()2,4；③抛物线223y x x =--上存在两个点是点1P 的“倍增点”；④若点B 是点1P 的“倍增点”，则1PB 的最小值是455．其中，正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证12,Q Q 即可；②点(),2A a a +，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a 的值，即可判断；③设抛物线上点()2,23D t t t --是点1P 的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点(),B m n ，根据“倍增点”定义可得()21m n +=，根据两点间距离公式可得()22211PB m n =-+，把()21n m =+代入化简并配方，即可得出21PB 的最小值为165，即可判断．【详解】解：①∵()11,0P ，()13,8Q ，∴()()121282288103,x x y y +=+=++⨯==，∴()12122x x y y +=+，则()13,8Q 是点1P 的“倍增点”；∵()11,0P ，()22,2Q --，∴()()121222212202,x x y y +==-⨯-=-=-+，∴()12122x x y y +=+，则()22,2Q --是点1P 的“倍增点”；故①正确，符合题意；②设点(),2A a a +，∵点A 是点1P 的“倍增点”，∴()2102a a ⨯+=++，解得：0a =，∴()0,2A ，故②不正确，不符合题意；③设抛物线上点()2,23D t t t --是点1P 的“倍增点”，∴()22123t t t +=--，整理得：2450t t --=，∵()()24415360∆=--⨯⨯-=>，∴方程有两个不相等实根，即抛物线223y x x =--上存在两个点是点1P 的“倍增点”；故③正确，符合题意；④设点(),B m n ，∵点B 是点1P 的“倍增点”，∴()21m n +=，∵(),B m n ，()11,0P ，∴()22211PB m n =-+()()22121m m ⎡⎤=-++⎣⎦2565m m =++2316555m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵50>，∴21PB 的最小值为165，∴1PB 5=，故④正确，符合题意；综上：正确的有①③④，共3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案．11.因式分解：216x -=__________．【答案】（x+4）（x-4）【解析】【分析】【详解】x 2-16=(x+4)(x-4)，故答案为：(x+4)(x-4)12.围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是14，则盒子中棋子的总个数是_________．【答案】12【解析】【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数．【详解】解：13124÷=，∴盒子中棋子的总个数是12．故答案为：12．【点睛】本题考查了简单随机事件概率的相关计算，事件出现的概率等于出现的情况数与总情况数之比．13.关于x 的一元二次方程2420x x a -+=有实数根，则a 的值可以是_________（写出一个即可）．【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式0∆≥，由此可以得到关于a 的不等式，解不等式就可以求出a 的取值范围，进而得出答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2420x x a -+=有实数根，∴()22444120b ac a ∆=-=--⨯⨯≥，即1680a -≥，解得：2a ≤，∴a 的值可以是2．故答案为：2（答案不唯一）．【点睛】本题考查一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与判别式的关系，当0a >时，方程有两个不相等的实数根；当0a =时，方程有两个相等的实数根；当a<0时，方程没有实数根．14.如图，正五边形ABCDE 的边长为2，以A 为圆心，以AB 为半径作弧BE ，则阴影部分的面积为_________（结果保留π）．【答案】65π【解析】【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出A ∠的度数，利用扇形面积公式计算即可．【详解】解：正五边形的内角和()52180540=-⨯︒=︒，5401085A ︒∴∠==︒，2108263605ABES ππ∴==扇形，故答案为：65π．【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键．15.学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，1l 和2l 分别表示两人到小亮家的距离()km s 和时间()h t 的关系，则出发__________h 后两人相遇．【答案】0.35【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出小明和小亮的速度，从而可以解答本题．【详解】解：由题意和图象可得，小明0.5小时行驶了()6 3.5 2.5km -=，∴小明的速度为：()2.55km/h 0.5=，小亮0.4小时行驶了6km ，∴小明的速度为：()615km/h 0.4=，设两人出发h x 后两人相遇，∴()155 3.5x -=解得0.35x =，∴两人出发0.35后两人相遇，故答案为：0.35【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16.如图，将菱形纸片ABCD 沿过点C 的直线折叠，使点D 落在射线CA 上的点E 处，折痕CP 交AD 于点P ．若30ABC ∠=︒，2AP =，则PE 的长等于__________．【答案】26+【解析】【分析】过点A 作AQ PE ⊥于点Q ，根据菱形性质可得75DAC ∠=︒，根据折叠所得30E D ∠=∠=︒，结合三角形的外角定理得出45EAP ∠=︒，最后根据cos 45PQ AP =⋅︒=tan 30AQ EQ ==︒求解．【详解】解：过点A 作AQ PE ⊥于点Q ，∵四边形ABCD 为菱形，30ABC ∠=︒，∴AB BC CD AC ===，30ABC D ∠=∠=︒，∴()118030752DAC ∠=︒-︒=︒，∵CPE △由CPD △沿CP 折叠所得，∴30E D ∠=∠=︒，∴753045EAP ∠=︒-︒=︒，∵AQ PE ⊥，2AP =，∴cos 45PQ AP =⋅︒=AQ PQ ==，∴tan 30AQ EQ ==︒∴PE EQ PQ =+=+．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：()1011tan 602π-⎛⎫+++-︒ ⎪⎝⎭．【答案】3【解析】【分析】根据绝对值的意义、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案．【详解】解：()1011tan 602π-⎛⎫+++-︒ ⎪⎝⎭21=+-3=．【点睛】本题考查了绝对值的意义、负整数指数幂运算、零指数幂运算、特殊角的三角函数值、二次根式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．18.解不等式组：()223235x x x x ⎧+>+⎪⎨+<⎪⎩①②，并写出它的所有整数解．【答案】13x -<<，整数解为0，1，2【解析】【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可．【详解】解：解不等式①，得1x >-，解不等式②，得3x <，在同一条数轴上表示不等式①②的解集，原不等式组的解集是13x -<<，∴整数解为0，1，2．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．19.已知：如图，点O 为ABCD Y 对角线AC 的中点，过点O 的直线与AD ，BC 分别相交于点E ，F ．求证：DE BF =．【答案】详见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出AD BC =，AD BC ∥，进而得出EAO FCO ∠=∠，OEA OFC ∠=∠，再证明AOE COF ≌△△，根据全等三角形的性质得出AE CF =，再利用线段的差得出AD AE BC CF -=-，即可得出结论．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，∴EAO FCO ∠=∠，OEA OFC ∠=∠，∵点O 为对角线AC 的中点，∴AO CO =，∴AOE COF ≌△△，∴AE CF =，∴AD AE BC CF -=-，∴DE BF =．【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．20.图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知1m =AB ，0.6m BC =，123ABC ∠=︒，该车的高度 1.7m AO =．如图2，打开后备箱，车后盖ABC 落在AB C ''处，AB '与水平面的夹角27B AD '∠=︒．（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B '到地面l 的距离；（2）若小琳爸爸的身高为1.8m ，他从打开的车后盖C '处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．（结果精确到．．．．．001m ．，参考数据：sin 270.454︒≈，cos 270.891︒≈，tan 270.510︒≈ 1.732≈）【答案】（1）车后盖最高点B '到地面的距离为2.15m（2）没有危险,详见解析【解析】【分析】（1）作B E AD '⊥，垂足为点E ，先求出B E '的长，再求出B E AO '+的长即可；（2）过C '作C F B E ''⊥，垂足为点F ，先求得63AB E '∠=︒，再得到60C B F AB C AB E '''''∠=∠-∠=︒，再求得cos600.3B F B C '''=⋅︒=，从而得出C '到地面的距离为2.150.3 1.85-=，最后比较即可．【小问1详解】如图，作B E AD '⊥，垂足为点E在Rt AB E '△中∵27B AD '∠=︒，1AB AB '==∴sin 27B EAB '︒='∴sin 2710.4540.454B E AB ''=︒≈⨯=∵平行线间的距离处处相等∴0.454 1.7 2.154 2.15B E AO '+=+=≈答：车后盖最高点B '到地面的距离为2.15m ．【小问2详解】没有危险，理由如下：过C '作C F B E ''⊥，垂足为点F∵27B AD '∠=︒，90B EA '∠=︒∴63AB E '∠=︒∵123AB C ABC ''∠=∠=︒∴60C B F AB C AB E '''''∠=∠-∠=︒在Rt B FC '' 中，0.6B C BC ''==∴cos600.3B F B C '''=⋅︒=．∵平行线间的距离处处相等∴C '到地面的距离为2.150.3 1.85-=．∵1.85 1.8>∴没有危险．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．21.2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用m 表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5组：A 组：112m ≤<；B 组：1223m ≤<；C 组：2334m ≤<；D 组：3445m ≤<；E 组：4556m ≤<．下面给出了部分信息：a ．B 组的数据：12，13，15，16，17，17，18，20．b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如下：请根据以上信息完成下列问题：（1）统计图中E 组对应扇形的圆心角为____________度；（2）请补全频数分布直方图；（3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是___________百万；（4）各组“五一”假期的平均出游人数如下表：组别A 112m ≤<B 1223m ≤<C 2334m ≤<D 3445m ≤<E 4556m ≤<平均出游人数（百万）5.51632.54250求这30个地区“五一”假期的平均出游人数．【答案】（1）36（2）详见解析（3）15.5（4）20百万【解析】【分析】（1）由E 组的个数除以总个数，再乘以360︒即可；（2）先用D 组所占百分比乘以总个数得出其个数，再用总个数减去A 、B 、D 、E 组的个数得出C 组个数，最后画图即可；（3）根据中位数的定义可得出中位数为第15和16个数的平均数，第15和16个数均在B 组，求解即可；（4）根据加权平均数的求解方法计算即可．【小问1详解】33603630⨯︒=︒，故答案为：36；【小问2详解】D 组个数：3010%3⨯=个，C 组个数：30128334----=个，补全频数分布直方图如下：【小问3详解】共30个数，中位数为第15和16个数的平均数，第15和16个数均在B 组，∴中位数为151615.52+=百万，故答案为：15.5；【小问4详解】5.51216832.544235032030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百万），答：这30个地区“五一”假期的平均出游人数是20百万．【点睛】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图的相关知识，涉及求扇形所对的圆心角的度数，画频数分布直方图，求中位数，求加权平均数，熟练掌握知识点，并能够从题目中获取信息是解题的关键．22.如图，AB ，CD 为O 的直径，C 为O 上一点，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ，2ABC BCP ∠=∠，点E 是 BD的中点，弦CE ，BD 相交于点E ．（1）求OCB ∠的度数；（2）若3EF =，求O 直径的长．【答案】（1）60︒（2）【解析】【分析】（1）根据切线的性质，得出OC PC ⊥，再根据直角三角形两锐角互余，得出90OCB BCP ∠+∠=︒，再根据等边对等角，得出OCB OBC ∠=∠，再根据等量代换，得出2OCB BCP ∠=∠，再根据90OCB BCP ∠+∠=︒，得出290BCP BCP ∠+∠=︒，即390BCP ∠=︒，得出30BCP ∠=︒，进而计算即可得出答案；（2）连接DE ，根据圆周角定理，得出90DEC ∠=︒，再根据中点的定义，得出 DEEB =，再根据同弧或同弦所对的圆周角相等，得出1302DCE ECB FDE DCB ∠=∠=∠=∠=︒，再根据正切的定义，得出DE =，再根据30︒角所对的直角边等于斜边的一半，得出2CD DE ==【小问1详解】解：∵PC 与O 相切于点C ，∴OC PC ⊥，∴90OCB BCP ∠+∠=︒，∵OB OC =，∴OCB OBC ∠=∠，∵2ABC BCP ∠=∠，∴2OCB BCP ∠=∠，∴290BCP BCP ∠+∠=︒，即390BCP ∠=︒，∴30BCP ∠=︒，∴260OCB BCP ∠=∠=︒；【小问2详解】解：如图，连接DE ，∵CD 是O 直径，∴90DEC ∠=︒，∵点E 是 BD的中点，∴ DEEB =，∴1302DCE ECB FDE DCB ∠=∠=∠=∠=︒，在Rt FDE △中，∵3EF =，30FDE ∠=︒，∴tan 30EF DE ==︒，在Rt DEC △中，∵30DCE ∠=︒，∴2CD DE ==∴O 的直径的长为．【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、等边对等角、圆周角定理及其推论、锐角三角函数、含30︒角的直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．23.某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A ，B 两种型号的机器人模型．A 型机器人模型单价比B 型机器人模型单价多200元，用2000元购买A 型机器人模型和用1200元购买B 型机器人模型的数量相同．（1）求A 型，B 型机器人模型的单价分别是多少元?（2）学校准备再次购买A 型和B 型机器人模型共40台，购买B 型机器人模型不超过A 型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A 型和B 型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?【答案】（1）A 型编程机器人模型单价是500元，B 型编程机器人模型单价是300元（2）购买A 型机器人模型10台和B 型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元【解析】【分析】（1）设A 型编程机器人模型单价是x 元，B 型编程机器人模型单价是()200x -元，根据：用2000元购买A 型机器人模型和用1200元购买B 型机器人模型的数量相同即可列出关于x 的分式方程，解方程并检验后即可求解；（2）设购买A 型编程机器人模型m 台，购买A 型和B 型编程机器人模型共花费w 元，根据题意可求出m 的范围和W 关于m 的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值【小问1详解】解：设A 型编程机器人模型单价是x 元，B 型编程机器人模型单价是()200x -元．根据题意，得20001200200x x =-解这个方程，得500x =经检验，500x =是原方程的根．200300x -=答：A 型编程机器人模型单价是500元，B 型编程机器人模型单价是300元．【小问2详解】设购买A 型编程机器人模型m 台，购买B 型编程机器人模型()40m -台，购买A 型和B 型编程机器人模型共花费w 元，由题意得：403m m -≤，解得10m ≥．∴()5000.83000.840w m m =⨯⋅+⨯⋅-即1609600w m =+，∵1600>，∴w 随m 的增大而增大．∴当10m =时，w 取得最小值11200，此时4030m -=；答：购买A 型机器人模型10台和B 型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．24.综合与实践如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为28m 的矩形地块ABCD 种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为2m a ．【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若10a =，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB 为m x ，BC 为m y ．由矩形地块面积为28m ，得到8xy =，满足条件的(),x y 可看成是反比例函数8y x=的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m ，得到210x y +=，满足条件的(),x y 可看成一次函数210y x =-+的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(),x y 就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数()80y x x=>的图象与直线1l ：210y x =-+的交点坐标为()1,8和_________，因此，木栏总长为10m 时，能围出矩形地块，分别为：1m =AB ，8m BC =；或AB =___________m ，BC =__________m ．（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．【类比探究】（2）若6a =，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．【问题延伸】当木栏总长为m a 时，小颖建立了一次函数2y x a =-+．发现直线2y x a =-+可以看成是直线2y x =-通过平移得到的，在平移过程中，当过点()2,4时，直线2y x a =-+与反比例函数()80y x x =>的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线2y x a =-+过点()2,4时的图象，并求出a 的值．【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“2y x a =-+与8y x=图象在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB 和BC 的长均不小于1m ，请直接写出a 的取值范围．【答案】（1）()4,2；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，8a =；（4）817a ≤≤【解析】【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；（2）根据6a =得出，26y x =-+，在图中画出26y x =-+的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；（3）过点()2,4作1l 的平行线，即可作出直线2y x a =-+的图象，将点()2,4代入2y x a =-+，即可求出a 的值；（4）根据存在交点，得出方程()820x a a x -+=>有实数根，根据根的判别式得出8a ≥，再得出反比例函数图象经过点()1,8，()8,1，则当2y x a =-+与8y x =图象在点()1,8左边，点()8,1右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围．【详解】解：（1）∵反比例函数()80y x x=>，直线1l ：210y x =-+，∴联立得：8210y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得：1118x y =⎧⎨=⎩，2242x y =⎧⎨=⎩，∴反比例函与直线1l ：210y x =-+的交点坐标为()1,8和()4,2，当木栏总长为10m 时，能围出矩形地块，分别为：1m =AB ，8m BC =；或4m AB =，2m BC =．故答案为：()4,24；2．（2）不能围出．∵木栏总长为6m ，∴26x y +=，则26y x =-+，画出直线26y x =-+的图象，如图中2l 所示：∵2l 与函数8y x=图象没有交点，∴不能围出面积为28m 的矩形；（3）如图中直线3l 所示，3l 即为2y x a =-+图象，将点()2,4代入2y x a =-+，得：422a =-⨯+，解得8a =；（4）根据题意可得∶若要围出满足条件的矩形地块，2y x a =-+与8y x =图象在第一象限内交点的存在问题，即方程()820x a a x-+=>有实数根，整理得：2280x ax -+=，∴()24280a ∆=--⨯⨯≥，解得：8a ≥，把1x =代入8y x =得：188y ==，∴反比例函数图象经过点()1,8，把1y =代入8y x =得：81x =，解得：8x =，∴反比例函数图象经过点()8,1，令()1,8A ，()8,1B ，过点()1,8A ，()8,1B 分别作直线3l 的平行线，由图可知，当2y x a =-+与8y x=图象在点A 左边，点B 右边存在交点时，满足题意；把()8,1代入2y x a =-+得：116a =-+，解得：17a =，∴817a ≤≤．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．25.在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，()2,3C ，()1,3D -．抛物线()220y ax ax c a =-+<与x 轴交于点()2,0E -和点F ．（1）如图1，若抛物线过点C ，求抛物线的表达式和点F 的坐标；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF ，作直线CE ，平移线段CF ，使点C 的对应点P 落在直线CE 上，点F 的对应点Q 落在抛物线上，求点Q 的坐标；（3）若抛物线()220y ax ax c a =-+<与正方形ABCD 恰有两个交点，求a 的取值范围．【答案】（1）233384y x x =-++，()4,0F ；（2）()4,6--；（3）103a -<<或3358a -<<-【解析】【分析】（1）将点()2,3C ，()2,0E -代入抛物线22y ax ax c =-+，利用待定系数法求出抛物线的表达式，再令0y =，求出x 值，即可得到点F 的坐标；（2）设直线CE 的表达式为y kx b =+，将点()2,3C ，()2,0E -代入解析式，利用待定系数法求出直线CE 的表达式为：33y x 42=+，设点233,384Q t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，根据平移的性质，得到点2332,684P t t t ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭，将点P 代入33y x 42=+，求出t 的值，即可得到点Q 的坐标；（3）根据正方形和点C 的坐标，得出3BC =，2OB =，1OA =，将()2,0E -代入22y ax ax c =-+，求得()222819y ax ax a a x a =--=--，进而得到顶点坐标()1,9a -，分两种情况讨论：①当抛物线顶点在正方形内部时，②当抛物线与直线BC 交点在点C 上方，且与直线AD 交点在点D 下方时，分别列出不等式组求解，即可得到答案．【小问1详解】解： 抛物线22y ax ax c =-+过点()2,3C ，()2,0E -∴443440a a c a a c -+=⎧⎨++=⎩，解得：383a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线表达式为233384y x x =-++，当0y =时，2333084x x -++=，解得：12x =-（舍去），24x =，()4,0F ∴；【小问2详解】解：设直线CE 的表达式为y kx b =+，直线过点()2,3C ，()2,0E -，∴2320k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得：3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线CE 的表达式为：33y x 42=+，点Q 在抛物线233384y x x =-++上，∴设点233,384Q t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，()2,3C ，()4,0F ，且PQ 由CF 平移得到，∴点Q 向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点2332,684P t t t ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭，点P 在直线CE 上，∴将2332,684P t t t ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭代入33y x 42=+，()23333642428t t t -+-+=+∴，整理得：216t =，解得：14t =-，24t =（舍去），当4x =-时，()()233443684y -⨯-+⨯+=-=-∴Q 点坐标为()4,6--；【小问3详解】解： 四边形ABCD 是正方形，()2,3C ，3BC AB ∴==，2OB =，1OA AB OB ∴=-=，∴点A 和点D 的横坐标为1-，点B 和点C 的横坐标为2，将()2,0E -代入22y ax ax c =-+，得：8c a =-，()222819y ax ax a a x a ∴=--=--，∴顶点坐标为()1,9a -，①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，∴9390a a -<⎧⎨->⎩，解得：103a -<<；②如图，当抛物线与直线BC 交点在点C 上方，且与直线AD 交点在点D下方时，与正方形有两个交点，()()222228312183a a a a a a ⎧⨯-⨯->⎪∴⎨⨯--⨯--<⎪⎩，解得：3358a -<<-，综上所述，a 的取值范围为103a -<<或3358a -<<-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，函数图像上点的坐标特征，抛物线与直线交点问题，解一元二次方程，解一元一次不等式组等知识，利用。
济南市中考数学试卷及答案(Word解析版)
济南中考数学试题解析一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．（3分）（•济南）下列计算正确的是（）A．=9B．=﹣2 C．（﹣2）0=﹣1 D．|﹣5﹣3|=2考点：负整数指数幂；绝对值；算术平方根；零指数幂．分析：对各项分别进行负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、绝对值的化简等运算，然后选出正确选项即可．解答：解：A 、（）﹣2=9，该式计算正确，故本选项正确；B 、=2，该式计算错误，故本选项错误；C、（﹣2）0=1，该式计算错误，故本选项错误；D、|﹣5﹣3|=8，该式计算错误，故本选项错误；故选A．点评：本题考查了负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、绝对值的化简等运算，属于基础题，掌握各知识点运算法则是解题的关键．2．（3分）（•济南）民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了中心对称及轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）（•济南）森林是地球之肺，每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物．28.3亿吨用科学记数法表示为（）A．28.3×107B．2.83×108C．0.283×1010D．2.83×109考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：28.3亿=28.3×108=2.83×109．故选D．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（•济南）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）A．68°B．32°C．22°D．16°考点：平行线的性质；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠C的度数，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．解答：解：∵CD=CE，∴∠D=∠DEC，∵∠D=74°，∴∠C=180°﹣74°×2=32°，∵AB∥CD，∴∠B=∠C=32°．故选B．点评：本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．5．（3分）（•济南）图中三视图所对应的直观图是（）A．B．C．D．考点：由三视图判断几何体．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下面的答：长方体的顶面的两边相切高度相同．只有C满足这两点．故选C．点评：本题考查了三视图的概念．易错易混点：学生易忽略圆柱的高与长方体的高的大小关系，错选B．6．（3分）（•济南）甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲、乙两人的速度相同B．甲先到达终点C．乙用的时间短D．乙比甲跑的路程多考点：函数的图象．分析：利用图象可得出，甲，乙的速度，以及所行路程等，注意利用所给数据结合图形逐个分析．解答：解：结合图象可知：两人同时出发，甲比乙先到达终点，甲的速度比乙的速度快，故选B．点评：本题考查了函数的图象，关键是会看函数图象，要求同学们能从图象中得到正确信息．7．（3分）（•济南）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是等腰梯形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．四个角相等的四边形是矩形考点：命题与定理．分析：根据矩形、菱形、正方形的判定与性质分别判断得出答案即可．解答：解：A、根据对角线相等的四边形也可能是矩形，故此选项错误；B、根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误；C、根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误；D、根据四个角相等的四边形是矩形，是真命题，故此选项正确．故选：D．点评：此题主要考查了命题与定理，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定与性质是解题关键．8．（3分）（•济南）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A．y=﹣x+1 B．y=x2﹣1 C．y=D．y=﹣x2+1考点：二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．分析：根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．解答：解：A、y=﹣x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，错误；B、y=x2﹣1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而减小，正确．C、y=，k=1＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，错误；D、y=﹣x2+1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而增大，错误；故选B．点评：本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．9．（3分）（•济南）一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关；否则不算过关，则能过第二关的概率是（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：由在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n 次，n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关；可得能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，然后根据题意列出表格，由表格求得所有等可能的结果与能过第二关的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关；∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，列表得：6 7 8 9 10 11 125 6 7 8 9 10 114 5 6 7 8 9 103 4 5 6 7 8 92 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，∴能过第二关的概率是：=．故选A．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．10．（3分）（•济南）如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．考点：扇形面积的计算．分析：首先利用扇形公式计算出半圆的面积和扇形AOB的面积，然后求出△AOB的面积，用S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB可求出阴影部分的面积．解答：解：在Rt△AOB中，AB==，S半圆=π×（）2=π，S△AOB=OB×OA=，S扇形OBA==，故S阴影=S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB=．故选C．点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，仔细观察图形，得出阴影部分面积的表达式．11．（3分）（•济南）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．解答：解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误；当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选B．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．12．（3分）（•济南）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4）B．（5，0）C．（6，4）D．（8，3）考点：规律型：点的坐标．专题：规律型．分析：根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．解答：解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵÷6=335…3，∴当点P第次碰到矩形的边时为第336个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（8，3）．故选D．点评：本题是对点的坐标的规律变化的考查了，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．（4分）（•济南）cos30°的值是．考点：特殊角的三角函数值．分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可．解答：解：cos30°=×=．故答案为：．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，掌握几个特殊角的三角函数值是解题的关键．14．（4分）（•济南）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因两点之间线段最短．考点：线段的性质：两点之间线段最短；三角形三边关系．专题：开放型．分析：根据线段的性质解答即可．解答：解：为抄近路践踏草坪原因是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．点评：本题考查了线段的性质，是基础题，主要利用了两点之间线段最短．15．（4分）（•济南）甲乙两种水稻试验品中连续5年的平均单位面积产量如下（单位：吨/公顷）品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.8 9.9 10.1 10 10.2乙9.4 10.3 10.8 9.7 9.8经计算，=10，=10，试根据这组数据估计甲中水稻品种的产量比较稳定．考点：方差．分析：根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]分别求出两种水稻的产量的方差，再进行比较即可．解答：解：甲种水稻产量的方差是：[（9.8﹣10）2+（9.9﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2]=0.02，乙种水稻产量的方差是：[（9.4﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10.8﹣10）2+（9.7﹣10）2+（9.8﹣10）2]=0.124．∴0.02＜0.124，∴产量比较稳定的小麦品种是甲，故答案为：甲点评：此题考查了方差，用到的知识点是方差和平均数的计算公式，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．16．（4分）（•济南）函数y=与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a，b，则+的值为﹣2．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：先根据反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式得到=x﹣2，去分母化为一元二次方程得到x2﹣2x﹣1=0，根据根与系数的关系得到a+b=2，ab=﹣1，然后变形+得，再利用整体思想计算即可．解答：解：根据题意得=x﹣2，化为整式方程，整理得x2﹣2x﹣1=0，∵函数y=与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a，b，∴a、b为方程x2﹣2x﹣1=0的两根，∴a+b=2，ab=﹣1，∴+===﹣2．故答案为﹣2．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了一元二次方程根与系数的关系．17．（4分）（•济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上）．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正确，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAD≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a2=2+，S正方形ABCD=2+，④说法正确，故答案为①②④．点评：本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．三、解答题：本大题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（6分）（•济南）先化简，再求值：÷，其中a=﹣1．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：将括号内的部分通分后相减，再将除法转化为乘法后代入求值．解答：解：原式=[﹣]•=•=•=．当a=﹣1时，原式==1．点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉通分、约分及因式分解是解题的关键．19．（8分）（•济南）某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年月平均用水量（单位：吨），并将调查数据进行如下整理：4.7 2.1 3.1 2.35.2 2.8 7.3 4.3 4.86.74.55.16.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.53.5 3.5 3.64.9 3.7 3.85.6 5.5 5.96.25.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.26.4 3.54.5 4.5 4.65.4 5.66.6 5.8 4.5 6.27.5频数分布表分组划记频数2.0＜x≤3.5 正正113.5＜x≤5.0 195.0＜x≤6.56.5＜x≤8.08.0＜x≤9.5 合计2 50（1）把上面频数分布表和频数分布直方图补充完整；（2）从直方图中你能得到什么信息？（写出两条即可）；（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表．分析：（1）根据题中给出的50个数据，从中分别找出5.0＜x≤6.5与 6.5＜x≤8.0 的个数，进行划记，得到对应的频数，进而完成频数分布表和频数分布直方图；（2）本题答案不唯一．例如：从直方图可以看出：①居民月平均用水量大部分在2.0至6.5之间；②居民月平均用水量在3.5＜x≤5.0范围内的最多，有19户；（3）由于50×60%=30，所以为了鼓励节约用水，要使60%的家庭收费不受影响，即要使30户的家庭收费不受影响，而11+19=30，故家庭月均用水量应该定为5吨．解答：解：（1）频数分布表如下：分组划记频数2.0＜x≤3.5 正正113.5＜x≤5.0 195.0＜x≤6.56.5＜x≤8.01358.0＜x≤9.5合计250 频数分布直方图如下：（2）从直方图可以看出：①居民月平均用水量大部分在2.0至6.5之间；②居民月平均用水量在3.5＜x≤5.0范围内的最多，有19户；（3）要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为5吨，因为月平均用水量不超过5吨的有30户，30÷50=60%．点评：本题考查读频数分布直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．20．（8分）（•济南）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．考点：切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质．专题：计算题．分析：（1）连接BD，由ED为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠DBE为直角，由BCOE为平行四边形，得到BC与OE平行，且BC=OE=1，在直角三角形ABD中，C为AD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出AD的长即可；（2）连接OB，由BC与OD平行，BC=OD，得到四边形BCDO为平行四边形，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AD，可得出四边形BCDO为矩形，利用矩形的性质得到OB垂直于BC，即可得出BC为圆O的切线．解答：解：（1）连接BD，则∠DBE=90°，∵四边形BCOE为平行四边形，∴BC∥OE，BC=OE=1，在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=AD=1，则AD=2；（2）连接OB，∵BC∥OD，BC=OD，∴四边形BCDO为平行四边形，∵AD为圆O的切线，∴OD⊥AD，∴四边形BCDO为矩形，∴OB⊥BC，则BC为圆O的切线．点评：此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．21．（10分）（•济南）某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？考点：反比例函数的应用；分式方程的应用．专题：应用题．分析：（1）利用“每天的工作量×天数=土方总量”可以得到两个变量之间的函数关系；（2）根据“工期比原计划减少了24天”找到等量关系并列出方程求解即可；解答：解：（1）由题意得，y=把y=120代入y=，得x=3把y=180代入y=，得x=2，∴自变量的取值范围为：2≤x≤3，∴y=（2≤x≤3）；（2）设原计划平均每天运送土石方x万米3，则实际平均每天运送土石方（x+0.5）万米3，根据题意得：解得：x=2.5或x=﹣3经检验x=2.5或x=﹣3均为原方程的根，但x=﹣3不符合题意，故舍去，答：原计划每天运送2.5万米3，实际每天运送3万米3．点评：本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．22．（10分）（•济南）设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．（1）数表A如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可）表11 2 3 ﹣7﹣2 ﹣1 0 1（2）数表A如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值表2．a a2﹣1 ﹣a ﹣a22﹣a 1﹣a2a﹣2 a2考点：一元一次不等式组的应用．分析：（1）根据某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变改行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”，先改变表1的第4列，再改变第2行即可；（2）根据每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1，然后分别根据如果操作第三列或第一行，根据每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，列出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出答案．解答：解：（1）根据题意得：改变第4列改变第2行（2）∵每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1，则①如果操作第三列，则第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，，解得：≤a，又∵a为整数，∴a=1或a=2，②如果操作第一行，则每一列之和分别为2﹣2a，2﹣2a2，2a﹣2，2a2，，解得a=1，此时2﹣2a2，=0，2a2=2，综上可知：a=1．点评：此题考查了一元一次不等式组的应用，关键是读懂题意，根据题目中的操作要求，列出不等式组，注意a为整数．23．（10分）（•济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．考点：四边形综合题．专题：计算题．分析：（1）分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，同理连接AE，CE，如图所示，由三角形ABD与三角形ACE都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相等，都为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ABD与三角形ACE全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）BE=CD，理由与（1）同理；（3）根据（1）、（2）的经验，过A作等腰直角三角形ABD，连接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的长，由题意得到三角形DBC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长，即为BE的长．解解：（1）完成图形，如图所示：答：证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE=CD；（2）BE=CD，理由同（1），∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE=CD；（3）由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，则AD=AB=100米，∠ABD=45°，∴BD=100米，连接CD，则由（2）可得BE=CD，∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100米，根据勾股定理得：CD==100米，则BE=CD=100米．点评：此题考查了四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形，以及正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．24．（12分）（•济南）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式；（2）①由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当∠CEF=90°时，当∠CFE=90°时，根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标；②先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N，根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD 的面积，运用顶点式就可以求出结论．解答：解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO==3，∴OB=3OA=3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC=OB=3，OD=OA=1，∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．代入解析式为，解得：．∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∴对称轴l=﹣=﹣1，∴E点的坐标为（﹣1，0）．如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．∴，∴MP=3EM．∵P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．∵P在二象限，∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，∴﹣t2﹣2t+3=3（﹣1﹣t），解得：t1=﹣2，t2=﹣3（与C重合，舍去），∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．∴P（﹣2，3）．∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线CD的解析式为：y=x+1．设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，t+1），∴NM=t+1．∴PN=PM﹣NM=t2﹣2t+3﹣（t+1）=﹣t2﹣+2．∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，∴S△PCD=PM•CM+PN•OM=PN（CM+OM）=PN•OC=×3（﹣t2﹣+2）=﹣（t+）2+，∴当t=﹣时，S△PCD的最大值为．点评：本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出△PCD的面积由顶点式求最大值是难点．。
2023年山东省济南市中考数学试卷及其答案
2023年山东省济南市中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1．（4分）下列几何体中，主视图是三角形的为（）A．B．C．D．2．（4分）2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（）A．0.68653×108B．6.8653×108C．6.8653×107D．68.653×1073．（4分）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝70°，那么∠2的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．45°4．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．ab＞0B．a+b＞0C．a+3＜b+3D．﹣3a＜﹣3b5．（4分）如图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（4分）下列运算正确的是（）A．a 2•a 4＝a 8B．a 4﹣a 3＝aC．（a 2）3＝a 5D．a 4÷a 2＝a 27．（4分）已知点A （﹣4，y 1），B （﹣2，y 2），C （3，y 3）都在反比例函数y ＝（k ＜0）的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（）A．y 3＜y 2＜y 1B．y 1＜y 3＜y 2C．y 3＜y 1＜y 2D．y 2＜y 3＜y 18．（4分）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（）A．B．C．D．9．（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，以点C 为圆心，以BC 为半径作弧交AC 于点D ，再分别以B ，D 为圆心，以大于BD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ，作射线CP 交AB 于点E ，连接DE ．以下结论不正确的是（）A．∠BCE ＝36°B．BC ＝AEC．D．10．（4分）定义：在平面直角坐标系中，对于点P （x 1，y 1），当点Q （x 2，y 2）满足2（x 1+x 2）＝y 1+y 2时，称点Q （x 2，y 2）是点P （x 1，y 1）的“倍增点”．已知点P 1（1，0），有下列结论：①点Q 1（3，8），Q 2（﹣2，﹣2）都是点P 1的“倍增点”；②若直线y ＝x +2上的点A 是点P 1的“倍增点”，则点A 的坐标为（2，4）；③抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3上存在两个点是点P 1的“倍增点”；④若点B 是点P 1的“倍增点”，则P 1B 的最小值是；其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案．11．（4分）因式分解：m 2﹣16＝．12．（4分）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是个．13．（4分）关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +2a ＝0有实数根，则a 的值可以是（写出一个即可）．14．（4分）如图，正五边形ABCDE 的边长为2，以A 为圆心，以AB 为半径作弧BE ，则阴影部分的面积为（结果保留π）．15．（4分）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l 1和l 2分别表示两人到小亮家的距离s （km ）和时间t （h ）的关系，则出发h 后两人相遇．16．（4分）如图，将菱形纸片ABCD 沿过点C 的直线折叠，使点D 落在射线CA 上的点E 处，折痕CP 交AD 于点P ．若∠ABC ＝30°，AP ＝2，则PE 的长等于．三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（6分）计算：|﹣|+（）﹣1+（π+1）0﹣tan60°．18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．19．（6分）已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE＝BF．20．（8分）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC ＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离；（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）21．（8分）2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用m表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5组：A组：1≤m＜12；B组：12≤m＜23；C组：23≤m＜34；D 组：34≤m＜45；E组：45≤m＜56．下面给出了部分信息：a．B组的数据：12，13，15，16，17，17，18，20．b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如图：请根据以上信息完成下列问题：（1）统计图中E 组对应扇形的圆心角为度；（2）请补全频数分布直方图；（3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是百万；（4）各组“五一”假期的平均出游人数如表：组别A 1≤m ＜12B 12≤m ＜23C 23≤m ＜34D 34≤m ＜45E 45≤m ＜56平均出游人数（百万）5.51632.54250求这30个地区“五一”假期的平均出游人数．22．（8分）如图，AB ，CD 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ，∠ABC ＝2∠BCP ，点E 是的中点，弦CE ，BD 相交于点F ．（1）求∠OCB 的度数；（2）若EF ＝3，求⊙O 直径的长．23．（10分）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？24．（10分）综合与实践如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线l1和，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB ＝m，BC＝m．（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；【类比探究】（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；【问题延伸】当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝（x ＞0）的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝图象在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（﹣1，3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F．（1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围．26．（12分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．2023年山东省济南市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1．（4分）下列几何体中，主视图是三角形的为（）A．B．C．D．【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；B、球的主视图是圆，故此选项不符合题意；C、立方体的主视图是正方形，故此选项不符合题意；D、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条虚线，故此选项不符合题意；故选：A．2．（4分）2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（）A．0.68653×108B．6.8653×108C．6.8653×107D．68.653×107【解答】解：686530000＝6.8653×108，故选：B．3．（4分）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝70°，那么∠2的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．45°【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝70°，∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，故选：A．4．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．ab＞0B．a+b＞0C．a+3＜b+3D．﹣3a＜﹣3b【解答】解：从图中得出：a＝2，﹣3＜b＜﹣2．（1）a和b相乘是负数，所以ab＜0，故A选项错误；（2）a和b相加是负数，所以a+b＜0，故B选项错误；（3）因为a＞b，所以a+3＞b+3，故C选项错误；（4）因为a是正数，所以﹣3a＜0，又因为b是负数，所以﹣3b＞0，即﹣3a＜﹣3b，故选项D正确，所以选择D；答案为：D．5．（4分）如图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．故选：A．6．（4分）下列运算正确的是（）A．a2•a4＝a8B．a4﹣a3＝a C．（a2）3＝a5D．a4÷a2＝a2【解答】解：A、a2•a4＝a6，原式计算错误，故A不符合题意；B、a4与a3不是同类项，不能合并，故B不符合题意；C、（a2）3＝a6，原式计算错误，故C不符合题意；D、a4÷a2＝a2，原式计算正确，故D符合题意；故选：D．7．（4分）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【解答】解：∵，k＜0，∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，又∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），∴点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，又∵﹣4＜﹣2，∴y1＜y2，∴y3＜y1＜y2．故选：C．8．（4分）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（）A．B．C．D．【解答】∴一共有12种等可能的情况，其中被抽到的2名同学都是男生的情况有6种情况，∴被抽到的2名同学都是男生的概率＝＝．故选：B．9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（）A．∠BCE＝36°B．BC＝AEC．D．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，由题意得：CP平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，∴∠A＝∠ACE＝36°，∴AE＝CE，∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，∴∠B＝∠CEB＝72°，∴CB＝CE，∴AE＝CE＝CB，∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形，∴△BCE是黄金三角形，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝＝，故A、B、D不符合题意，C符合题意；故选：C．10．（4分）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论：①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”；②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”；④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：依据题意，由“倍增点”的意义，∵2（1+3）＝8+0，2（1﹣2）＝﹣2+0，∴点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”．∴①正确．对于②，由题意，可设满足题意得“倍增点”A为（x，x+2），∴2（x+1）＝x+2+0．∴x＝0．∴A（0，2）．∴②错误．对于③，可设抛物线上的“倍增点”为（x，x2﹣2x﹣3），∴2（x+1）＝x2﹣2x﹣3．∴x＝5或﹣1．∴此时满足题意的“倍增点”有（5，12），（﹣1，0）两个．∴③正确．对于④，设B（x，y），∴2（x+1）＝y+0．∴y＝2（x+1）．∴P1B＝＝＝．∴当x＝﹣时，P1B有最小值为．∴④正确．故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案．11．（4分）因式分解：m2﹣16＝（m+4）（m﹣4）．【解答】解：根据平方差公式：m2﹣16＝（m+4）（m﹣4），故答案为：（m+4）（m﹣4）．12．（4分）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是12个．【解答】解：由题意：3÷＝12（个），故答案为：12．13．（4分）关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +2a ＝0有实数根，则a 的值可以是1（写出一个即可）．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +2a ＝0有实数根，∴Δ＝16﹣8a ≥0，解得：a ≤2，则a 的值可以是1．故答案为：1．14．（4分）如图，正五边形ABCDE 的边长为2，以A 为圆心，以AB 为半径作弧BE ，则阴影部分的面积为（结果保留π）．【解答】解：∠BAE ＝＝108°，∴阴影部分的面积为＝，故答案为：．15．（4分）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l 1和l 2分别表示两人到小亮家的距离s （km ）和时间t （h ）的关系，则出发0.35h 后两人相遇．【解答】解：设l1的函数解析式为y1＝kx+b，则，解得，∴l1的函数解析式为S1＝5t+3.5；设l2的函数解析式为S2＝mt，则0.4m＝6，解得m＝15，∴l2的函数解析式为S2＝15t；令S1＝S2，即5t+3.5＝15t，解得t＝0.35，∴出发0.35小时后两人相遇．故答案为：0.35．16．（4分）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC＝30°，AP＝2，则PE的长等于+．【解答】解：过点A作AF⊥PE于点F，∵四边形ABCD是菱形，∴∠D＝∠ABC＝30°，AD＝CD，∴∠DAC＝＝75°，由折叠可知：∠E＝∠D＝30°，∴∠APE＝∠DAC﹣∠AEP＝45°，在Rt△APF中，PF＝AP•cos∠APE，∴PF＝AF＝2×cos45°＝，在Rt△AEF中，tan∠AEP＝，∴EF＝＝＝，∴PE＝PF+EF＝+，故答案为：+．三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（6分）计算：|﹣|+（）﹣1+（π+1）0﹣tan60°．【解答】解：|﹣|+（）﹣1+（π+1）0﹣tan60°＝＝3．18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x＜3，在数轴上表示不等式①②的解集如下：∴原不等式组的解集是﹣1＜x＜3，∴它的所有整数解有：0，1，2．19．（6分）已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE＝BF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC，∵点O为对角线AC的中点，∴AO＝CO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，∴DE＝BF．20．（8分）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC ＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离；（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）【解答】解：（1）如图，作B′E⊥AD，垂足为点E，在Rt△AB′E中，∵∠B′AD＝27°，AB′＝AB＝1，∴sin27°＝，∴B′E＝AB′sin27°≈1×0.454＝0.454，∵平行线间的距离处处相等，∴B′E+AO＝0.454+1.7＝2.154≈2.15，答：车后盖最高点B′到地面的距离为2.15m．（2）没有危险，理由如下：过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F，∵∠B′AD＝27°，∠B′EA＝90°，∴∠AB′E＝63°，∵∠AB′C′＝∠ABC＝123°，∴∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，在Rt△B′FC′中，B′C′＝BC＝0.6，∴B′F＝B′C′•cos60°＝0.3．∵平行线间的距离处处相等，∴C′到地面的距离为2.15﹣0.3＝1.85．∵1.85＞1.8，∴没有危险．21．（8分）2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用m表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5组：A组：1≤m＜12；B组：12≤m＜23；C组：23≤m＜34；D 组：34≤m＜45；E组：45≤m＜56．下面给出了部分信息：a．B组的数据：12，13，15，16，17，17，18，20．b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如图：请根据以上信息完成下列问题：（1）统计图中E组对应扇形的圆心角为36度；（2）请补全频数分布直方图；（3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是15.5百万；（4）各组“五一”假期的平均出游人数如表：组别A 1≤m ＜12B 12≤m ＜23C 23≤m ＜34D 34≤m ＜45E 45≤m ＜56平均出游人数（百万）5.51632.54250求这30个地区“五一”假期的平均出游人数．【解答】解：（1）统计图中E 组对应扇形的圆心角为360°×＝36°，故答案为：36；（2）D 组个数为30×10%＝3（个），所以C 组地区个数为30﹣（12+8+3+3）＝4（个），补全图形如下：（3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是＝15.5（百万），故答案为：15.5；（4）（百万），答：这30个地区“五一”假期的平均出游人数是20百万．22．（8分）如图，AB ，CD 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ，∠ABC ＝2∠BCP ，点E 是的中点，弦CE ，BD 相交于点F ．（1）求∠OCB 的度数；（2）若EF ＝3，求⊙O 直径的长．【解答】解：（1）∵PC与⊙O相切于点C，∴OC⊥PC，∴∠OCB+∠BCP＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠OCB＝2∠BCP，∴3∠BCP＝90°，∴∠BCP＝30°，∴∠OCB＝60°．（2）连接DE，∵CD是直径，∴∠DEC＝90°，∵点E是的中点，∴，∴∠DCE＝∠FDE＝∠ECB＝∠DCB＝30°，∵∠E＝90°，EF＝3，∠FDE＝30°，∴DE＝FE＝3，∵∠E＝90°，∠DCE＝30°，∴，∴⊙O的直径的长为．23．（10分）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？【解答】解：（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是（x﹣200）元．根据题意：，解这个方程，得：x＝500，经检验，x＝500是原方程的根，∴x﹣200＝300，答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元；（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型（40﹣m）台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，由题意得：40﹣m≤3m，解得：m≥10，w＝500×0.8•m+300×0.8﹣（40﹣m），即：w＝160m+9600，∵160＞0∴w随m的减小而减小．当m＝10时，w取得最小值11200，∴40﹣m＝30答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．24．（10分）综合与实践如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和（4，如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线l12），因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝4m，BC＝2m．（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；【类比探究】（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；【问题延伸】当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝（x ＞0）的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝图象在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．【解答】解：（1）将反比例函数y＝与直线l：y＝﹣2x+10联立得1，∴＝﹣2x+10，∴x2﹣5x+4＝0，∴x1＝1，x2＝4，∴另一个交点坐标为（4，2），∵AB为xm，BC为ym，∴AB＝4，BC＝2．故答案为：（4，2）；4；2；（2）不能围出；y＝﹣2x+6的图象，如答案图中l2所示：∵l2与函数图象没有交点，∴不能围出面积为8m2的矩形．（3）如答案图中直线l3所示：将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8．（4）∵AB和BC的长均不小于1m，∴x≥1，y≥1，∴≥1，∴x≤8，∴1≤x≤8，如图所示，直线y＝﹣2x+a在l3、l4上面或之间移动，把（8，1）代入y＝﹣2x+a得a＝17，∴8≤a≤17．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（﹣1，3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F．（1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点C（2，3），E（﹣2，0），得，解得，∴抛物线表达式为，当y＝0时，，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝4，∴F（4，0）；（2）设直线CE的表达式为y＝kx+b，∵直线过点C（2，3），E（﹣2，0），得，解得，∴直线CE的表达式为，设点，则点Q向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点，将代入，解得t1＝﹣4，t2＝4（舍去），∴Q点坐标为（﹣4，﹣6）；（3）将E（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax+c得c＝﹣8a，∴y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a（x﹣1）2﹣9a，∴顶点坐标为（1，﹣9a），①当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，∴0＜﹣9a＜3，解得，②当抛物线与直线BC交点在点C上方，且与直线AD交点在点D下方时，与正方形有两个交点，，解得综上所述，a的取值范围为或．26．（12分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝2，，∴∠C＝90°，CD＝AB＝2，，∴，∴∠BDC＝60°，∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°，∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD，即∠DAG＝∠BAE，∴△ADG∽△ABE，∴；（2）如图2，过点F作FM⊥CG于点M，∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF，∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°，∴△ABE≌△GMF（AAS），∴BE＝MF，AB＝GM＝2，∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG，∴，∴，设DM＝x，则，∴DG＝GM+MD＝2+x，由（1）可知：，∴，解得x＝1，∴；（3）如图3，连接AC，将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP'，连接PP'，矩形ABCD中，AD＝BC＝，AB＝2，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝4，∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°，∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°，∴△AGC是等边三角形，AG＝AC＝4，∴PE＝EF＝AG＝4，∵将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP'，∴PA＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，∴，∴当点P，C，P′三点共线时，PA+PC的值最小，此时为．。
济南中考数学试题及答案
济南中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. \(2^3 = 6\)B. \(3^2 = 9\)C. \(4^1 = 3\)D. \(5^0 = 1\)答案：B2. 哪个图形是轴对称图形？A. 圆B. 矩形C. 三角形D. 正方形答案：A3. 以下哪个数是无理数？A. \(\sqrt{4}\)B. \(\pi\)C. \(0.5\)D. \(\frac{1}{3}\)答案：B4. 已知函数 \(y = 2x + 3\)，当 \(x = 1\) 时，\(y\) 的值是多少？A. 5B. 4C. 3D. 2答案：A5. 以下哪个选项是等腰三角形？A. 三条边长分别为3、4、5B. 三条边长分别为2、2、3C. 三条边长分别为1、2、3D. 三条边长分别为4、4、4答案：B6. 计算 \((-2)^2\) 的结果是？A. 4B. -4C. 2D. -2答案：A7. 哪个选项是正确的因式分解？A. \(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)B. \(x^2 + 4 = (x + 2)(x - 2)\)C. \(x^2 - 4 = (x + 4)(x - 4)\)D. \(x^2 + 4 = (x + 2)(x + 2)\) 答案：A8. 以下哪个选项是正确的不等式？A. \(2x > 3\) 当 \(x > 1.5\)B. \(2x < 3\) 当 \(x < 1.5\)C. \(2x \leq 3\) 当 \(x \leq 1.5\)D. \(2x \geq 3\) 当 \(x \geq 1.5\)答案：A9. 计算 \(\sqrt{9}\) 的结果是？A. 3B. -3C. 3 或 -3D. 9答案：A10. 以下哪个选项是正确的比例？A. \(3:4 = 6:8\)B. \(3:4 = 6:9\)C. \(3:4 = 9:12\)D. \(3:4 = 9:8\)答案：C二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个数的相反数是它自己，这个数是 ________。
2022山东济南中考数学试题及标准答案
2022山东省济南市中考数学试题满分150分，考试时间120分钟选择题部分共48分一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．－7的相反数是A．－7B．－ 17 C．7D．172．如图是某几何体的三视图，该几何体是A．圆柱B．球C．圆锥D．正四棱柱3．神州十三号船在近地点高度200 000 m，远地点高度356 000 m的轨道上驻留了6个月后，于2022年4月16日顺利返回．将数字356 000用科学记数法表示为A．3.56×105B．0.356×106C．3.56×106D．35.6×1044．如图AB//CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为A．45°B．50°C．57.5°D．65°5．下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是6．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是A．ab＞0B．a＋b＞0C．|a|＜|b|D．a＋1＜b＋17．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题．若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是A． 19 B．16 C．13 D．238．若m－n＝2，则代数式m2－n2m·2mm＋n的值是A．－2B．2C．－4D．49．某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙．另外三边用木栏围成，木栏总长为40 m．如图所示，设矩形一边长为x m，另一边长为y m．当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是A．正比例函数关系B．一次函数关系C．反比例函数关系D．二次函数关系10．如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于 12 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是A．AF＝CF B．∠F AC＝∠EACC．AB＝4D．AC＝2AB11．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70 m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为(精确到1 m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60) A．28 mB．34 mC．37 mD．46 m12．抛物线y＝－x2＋2mx－m2＋2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m－1，y1），N（m ＋1，y2）为图形G上两点，y1＜y2，则m的取值范围是A．m＜－1或m＞0B．－ 12 ＜m＜12C．0≤m＜2D．－1＜m＜1非选择题部分共102分二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，直接填写答案．）13．因式分解：a2＋4a＋4＝．14．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是．15．写出一个比2大且比17小的整数是．16．代数式3x＋2 与代数式2x－1 的值相等，则x＝．17．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是．18．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移—单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O（0，0）按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1（1，0），再将O1（1，0）绕原点顺时针旋转90°得到O2（0，－1），再将O2（0，－1）绕原点顺时针旋转90°得到O3（－1，0）…依次类推．点（0，1）经过“011011011”变换后得到点的坐标为．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（本小题满分6分）计算：|－3|－4sin30°＋4＋( 13 )－120．（本小题满分6分）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －12＜x 3， ①2x －5≤3(x －2)．② ，并写出它的所有整数解．21．（本小题满分6分）已知：如图，在菱形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上两点，连接DE ，DF ，∠ADF ＝∠CDE ． 求证：AE ＝CF .22．（本小题满分8分）某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：a ：七年级抽取成绩的频数分布直方图如右图．（数据分成5组，50≤x ＜60，60≤x ＜70，70≤x ＜80，80≤x ＜90，90≤x ≤100）b ：七年级抽取成绩在70≤x ＜80这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，76， 77，77，78，78，79，79，79，79． c ：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：年级 平均数 中位数 七年级 76.5 m 八年级78.279请结合以上信息完成下列问题：（1）七年级抽取成绩在60≤x＜90的人数是，并补全频数分布直方图；（2）表中m的值为；（3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；（4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．23．（本小题满分8分）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．（1）求证：CA＝CD；（2）若AB＝12，求线段BF的长．24．（本小题满分10分）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵．且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍．则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．如图，一次函数y＝ 12 x＋1的图象与反比例函数y＝kx（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．（1）求a，k的值；（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．①求△ABC的面积；②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．26．（本小题满分12分）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；（2）延长ED交直线BC于点F．①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为；②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数并说明理由．抛物线y＝ax2＋ 114 x－6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式和t，k的值；（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ＋ 12 PQ的最大值．。
山东省济南市中考数学试卷(附答案解析)
2020年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．﹣2的绝对值是（）A．2B．﹣2C．±2D．√22．如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．3．2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（）A．0.215×108B．2.15×107C．2.15×106D．21.5×1064．如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（）A．35°B．45°C．55°D．70°5．古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法正确的是（）A．每月阅读课外书本数的众数是45B．每月阅读课外书本数的中位数是58C．从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降D．从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多457．下列运算正确的是（）A．（﹣2a3）2＝4a6B．a2•a3＝a6C．3a+a2＝3a3D．（a﹣b）2＝a2﹣b28．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（）A ．（1，7）B ．（0，5）C ．（3，4）D ．（﹣3，2）9．若m ＜﹣2，则一次函数y ＝（m +1）x +1﹣m 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若BC ＝4，△ABC 面积为10，则BM +MD 长度的最小值为（ ）A ．52B ．3C ．4D ．511．如图，△ABC 、△FED 区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB 与地面BE 的夹角∠PBE＝43°，视线PE 与地面BE 的夹角∠PEB ＝20°，点A ，F 为视线与车窗底端的交点，AF ∥BE ，AC ⊥BE ，FD ⊥BE ．若A 点到B 点的距离AB ＝1.6m ，则盲区中DE 的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A ．2.6mB ．2.8mC ．3.4mD ．4.5m12．已知抛物线y ＝x 2+（2m ﹣6）x +m 2﹣3与y 轴交于点A ，与直线x ＝4交于点B ，当x ＞2时，y 值随x 值的增大而增大．记抛物线在线段AB 下方的部分为G （包含A 、B 两点），M 为G 上任意一点，设M 的纵坐标为t ，若t ≥﹣3，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥32B ．32≤m ≤3C ．m ≥3D ．1≤m ≤3二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）13．分解因式：2a 2﹣ab ＝ ．14．在一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，则摸出白球的概率是 ．15．代数式3x−1与代数式2x−3的值相等，则x ＝ ．16．如图，在正六边形ABCDEF 中，分别以C ，F 为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为 ．17．如图，在一块长15m 、宽10m 的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m 2，则修建的路宽应为 米．18．如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝10，AB ＝8，将AB 沿AE 翻折，使点B 落在B '处，AE 为折痕；再将EC 沿EF 翻折，使点C 恰好落在线段EB '上的点C '处，EF 为折痕，连接AC '．若CF ＝3，则tan ∠B 'AC ′＝ ．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）19．（6分）计算：（π2）0﹣2sin30°+√4+（12）﹣1． 20．（6分）解不等式组：{4(2x −1)≤3x +1①2x ＞x−32②，并写出它的所有整数解． 21．（6分）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ．求证：AE ＝CF ．22．（8分）促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下表格和统计图：等级次数频率不合格100≤x＜120a合格120≤x＜140b良好140≤x＜160优秀160≤x＜180请结合上述信息完成下列问题：（1）a＝，b＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是；（4）若该校有2000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A 作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．24．（10分）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格进价（元/部）售价（元/部）A30003400B35004000某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？25．（10分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2√3），反比例函数y=kx（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD=12．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．26．（12分）在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE=1 2∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．（1）当∠CAB＝45°时．①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是．线段BE与线段CF的数量关系是；②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．27．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．2020年山东省济南市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．﹣2的绝对值是（）A．2B．﹣2C．±2D．√2解：﹣2的绝对值是2；故选：A．2．如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．解：从几何体上面看，共2层，底层2个小正方形，上层是3个小正方形，左齐．故选：C．3．2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（）A．0.215×108B．2.15×107C．2.15×106D．21.5×106解：将21500000用科学记数法表示为2.15×107，故选：B．4．如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（）A．35°B．45°C．55°D．70°解：∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠BAD＝35°，∵AD⊥AC，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，故选：C．5．古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意．故选：D．6．某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法正确的是（）。
山东省济南市2021年中考：数学考试真题与答案解析
山东省济南市2021年中考：数学考试真题与答案解析一、选择题1. 9的算术平方根是A. 3B. -3C. ±3D. 32. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是3. 2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆。
火星具有和地球相近的环境，与地球最近的时候的距离约55 000 000 km，将数字55 000 000用科学计数法表示为A. 0.55×108 B. 5.5×107C. 5.5×106D. 55×1064. 如图，AB∥CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为A. 45°B. 60°C. 75°D. 80°5. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是a b6. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是A. B.a b-a>>+bC. D.b<-a a<-b7. 计算的结果是11212----m m m m A. B. 1+m 1-m C.D.2-m 2--m 8. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”，“文明出行”，“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选在同一个宣传队的概率是 A. B. 9161C.D.31329. 反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数的)0(≠=k xky k kx y -=图象大致是10. 无人机低空遥感技术已经广泛应用于农作物检测，如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行检测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧边界N 处俯角为43°，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35°，则M 。
N 之间的距离为（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）A. 188m B. 269m C. 286mD. 312m11. 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧。
2020年山东省济南市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2020年山东省济南市中考数学试题及参考答案与解析（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．﹣2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2．如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．3．2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（）A．0.215×108B．2.15×107C．2.15×106D．21.5×1064．如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（）A．35°B．45°C．55°D．70°5．古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法正确的是（）A．每月阅读课外书本数的众数是45B．每月阅读课外书本数的中位数是58C．从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降D．从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多457．下列运算正确的是（）A．（﹣2a3）2＝4a6B．a2•a3＝a6C．3a+a2＝3a3D．（a﹣b）2＝a2﹣b28．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（）A．（1，7）B．（0，5）C．（3，4）D．（﹣3，2）9．若m＜﹣2，则一次函数y＝（m+1）x+1﹣m的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（）A．B．3 C．4 D．511．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（）（参者数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m12．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y 值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（）A．m≥B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分）13．分解因式：2a2﹣ab＝．14．在一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，则摸出白球的概率是．15．代数式与代数式的值相等，则x＝．16．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为．17．如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为米．18．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在B'处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点C'处，EF为折痕，连接AC'．若CF ＝3，则tan∠B'AC′＝．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）19．（6分）计算：（）0﹣2sin30°++（）﹣1．20．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．21．（6分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．22．（8分）促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下表格和统计图：等级次数频率不合格100≤x＜120 a合格120≤x＜140 b良好140≤x＜160优秀160≤x＜180请结合上述信息完成下列问题：（1）a＝，b＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是；（4）若该校有2000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．24．（10分）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格进价（元/部）售价（元/部）A 3000 3400B 3500 4000某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？25．（10分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．26．（12分）在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．（1）当∠CAB＝45°时．①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是．线段BE与线段CF的数量关系是；②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．27．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x 轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON 的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．答案与解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．﹣2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【知识考点】算术平方根；实数的性质．【思路分析】根据绝对值的性质，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a，解答即可．【解答过程】解：﹣2的绝对值是2；故选：A．【总结归纳】此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．【知识考点】简单组合体的三视图．【思路分析】根据俯视图是从物体上面看所得到的图形判断即可．【解答过程】解：从几何体上面看，共2层，底层2个小正方形，上层是3个小正方形，左齐．故选：C．【总结归纳】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．。
2022年山东省济南市中考数学真题(附答案)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
【详解】解：根据图形可以得到：
， ，
∴ ，故A项错误，
，故B项错误，
，故C项错误，
，故D项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．
【详解】解：主视图和左视图都是长方形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆柱．
故选：A．
【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．
3.神舟十三号飞船在近地点高度200000m，远地点高度356000m的轨道上驻留了6个月后，于2022年4月16日顺利返回．将数字356000用科学记数法表示为（）
【详解】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小刚恰好选择同一个主题的概率为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
山东省济南市中考数学试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的减法法则可直接进行求解．
【详解】解： ；
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．
8.某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（）
【详解】由题意可得： ，点P在线段BD的垂直平分线上
， 点A在线段BD 垂直平分线上
AP为线段BD的垂直平分线
点E在AP上， BE=DE，故A正确；
， ，
且
为等边三角形且
，
平分
，
，
垂直平分 ，故B正确；
， ，
，
，
，故C错误；
，
，
，故D正确
故选C．
【点睛】本题考查30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些基础知识为解题关键．
4.如图， ， ， 平分 ，则 的度数为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意易得 ，然后根据角平分线的定义可得 ，进而根据平行线的性质可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，用列表法求出概率即可．
【详解】根据题意，设三个宣传队分别为 列表如下：
山东省济南市中考数学试卷及答案解析
2020年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．﹣2的绝对值是（）A．2B．﹣2C．±2D．√22．如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．3．2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（）A．0.215×108B．2.15×107C．2.15×106D．21.5×1064．如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（）A．35°B．45°C．55°D．70°5．古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法正确的是（）A．每月阅读课外书本数的众数是45B．每月阅读课外书本数的中位数是58C．从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降D．从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多457．下列运算正确的是（）A．（﹣2a3）2＝4a6B．a2•a3＝a6C．3a+a2＝3a3D．（a﹣b）2＝a2﹣b28．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（）A ．（1，7）B ．（0，5）C ．（3，4）D ．（﹣3，2）9．若m ＜﹣2，则一次函数y ＝（m +1）x +1﹣m 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若BC ＝4，△ABC 面积为10，则BM +MD 长度的最小值为（ ）A ．52B ．3C ．4D ．511．如图，△ABC 、△FED 区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB 与地面BE 的夹角∠PBE＝43°，视线PE 与地面BE 的夹角∠PEB ＝20°，点A ，F 为视线与车窗底端的交点，AF ∥BE ，AC ⊥BE ，FD ⊥BE ．若A 点到B 点的距离AB ＝1.6m ，则盲区中DE 的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A ．2.6mB ．2.8mC ．3.4mD ．4.5m12．已知抛物线y ＝x 2+（2m ﹣6）x +m 2﹣3与y 轴交于点A ，与直线x ＝4交于点B ，当x ＞2时，y 值随x 值的增大而增大．记抛物线在线段AB 下方的部分为G （包含A 、B 两点），M 为G 上任意一点，设M 的纵坐标为t ，若t ≥﹣3，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥32B ．32≤m ≤3C ．m ≥3D ．1≤m ≤3二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）13．分解因式：2a 2﹣ab ＝ ．14．在一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，则摸出白球的概率是 ．15．代数式3x−1与代数式2x−3的值相等，则x ＝ ．16．如图，在正六边形ABCDEF 中，分别以C ，F 为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为 ．17．如图，在一块长15m 、宽10m 的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m 2，则修建的路宽应为 米．18．如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝10，AB ＝8，将AB 沿AE 翻折，使点B 落在B '处，AE 为折痕；再将EC 沿EF 翻折，使点C 恰好落在线段EB '上的点C '处，EF 为折痕，连接AC '．若CF ＝3，则tan ∠B 'AC ′＝ ．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）19．（6分）计算：（π2）0﹣2sin30°+√4+（12）﹣1． 20．（6分）解不等式组：{4(2x −1)≤3x +1①2x ＞x−32②，并写出它的所有整数解． 21．（6分）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ．求证：AE ＝CF ．22．（8分）促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下表格和统计图：等级次数频率不合格100≤x＜120a合格120≤x＜140b良好140≤x＜160优秀160≤x＜180请结合上述信息完成下列问题：（1）a＝，b＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是；（4）若该校有2000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A 作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．24．（10分）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格进价（元/部）售价（元/部）。
2024年山东省济南市中考数学试卷
济南市2024年九年级学业水平考试数学试题本试卷共8页，满分150分．考试时间为120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm 黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．1.9的相反数是（）A.19 B.19- C.9 D.9-2.黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（）A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同C .左视图与俯视图相同 D.三种视图都相同3.截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%，将数字3465000000用科学记数法表示为（）A.90.346510⨯ B.93.46510⨯ C.83.46510⨯ D.834.6510⨯4.一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是()A.正六边形B.正七边形C.正八边形D.正九边形5.如图，已知,60,40ABC DEC A B ∠=︒∠=︒△≌△，则DCE ∠的度数为（）．A.40︒B.60︒C.80︒D.100︒6.下列运算正确的是（）A.336x y xy += B.()326xy xy = C.()3838x x +=+ D.235x x x ×=7.若关于x 的方程20x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A.14m <- B.14m >- C.4m <- D.4m >-8.3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参力口其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（）A.19 B.16 C.13 D.239.如图，在正方形ABCD 中，分别以点A 和B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点E 和F ，作直线EF ，再以点A 为圆心，以AD 的长为半径作弧交直线EF 于点G （点G 在正方形ABCD 内部），连接DG 并延长交BC 于点K ．若2BK =，则正方形ABCD 的边长为（）A.21+ B.52 C.352+ D.31+9题图10题图10.如图1，ABC V 是等边三角形，点D 在边AB 上，2BD =，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点B 出发，沿折线BC CA -匀速运动，到达点A 后停止，连接DP ．设点P 的运动时间为()s t ，2DP 为y ．当动点P 沿BC 匀速运动到点C 时，y 与t 的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①3AB =；②当5t =时，1y =；③当46t ≤≤时，13y ≤≤；④动点P 沿BC CA -匀速运动时，两个时刻1t ，()212t t t <分别对应1y 和2y ，若126t t +=，则12y y >．其中正确结论的序号是（）A.①②③ B.①② C.③④ D.①②④二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．11.若分式12x x-的值为0，则x 的值是________．12.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为______．13.如图，已知12l l ∥，ABC V 是等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，顶点,A B 分别在12,l l 上，当170=︒∠时，2∠=______．14.某公司生产了,A B 两款新能源电动汽车．如图，12,l l 分别表示A 款，B 款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量()kw h y ⋅与汽车行驶路程()km x 的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km 时，A 款新能源电动汽车电池的剩余电量比B 款新能源电动汽车电池的剩余电量多______kw h ⋅．14题图15题图15.如图，在矩形纸片ABCD 中，2AD ==，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，连接EF ，将DEF ς沿EF 翻折，点D 的对应点为D ¢，连接BD '．若2BD '=，则DF =______．三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.101(π 3.14)2cos304-⎛⎫--++-︒ ⎪⎝⎭．17.解不等式组：()4212523x x x x ⎧>-⎪⎨++<⎪⎩①②，并写出它的所有整数解．18.如图，在菱形ABCD 中，AE CD ⊥，垂足为,E CF AD ⊥，垂足为F ．求证：AF CE =．19.城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：请根据记录表提供的信息完成下列问题：（1）求点C 到地面DE 的距离；（2）求顶部线段BC 的长．（结果精确到．．．．．0.01m ，参考数据：sin150.259︒≈，cos150.966︒≈，tan150.268︒≈，sin830.993,cos830.122,tan838.144︒≈︒≈︒≈）20.如图，,AB CD 为O的直径，点E 在≈BD 上，连接,AE DE ，点G 在BD 的延长线上，,45AB AG EAD EDB =∠+∠=︒．（1）求证：AG 与O相切；（2）若13BG DAE =∠=，求DE 的长．21.2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x 表示，单位：分）并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A ：5060x ≤<；B ：6070x ≤<；C ：7080x ≤<；D ：8090x ≤<；E ：90100x ≤≤．下面给出了部分信息：a ：C 组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79．b ：不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下：请根据以上信息完成下列问题：（1）求随机抽取的八年级学生人数；（2）扇形统计图中B 组对应扇形的圆心角为______度；（3）请补全频数直方图；（4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分；（5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数．22.近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A ，B 两种光伏车棚．已知修建2个A 种光伏车棚和1个B 种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A 种光伏车棚和3个B 种光伏车棚共需投资21万元．（1）求修建每个A 种，B 种光伏车棚分别需投资多少万元？（2）若修建A ，B 两种光伏车棚共20个，要求修建的A 种光伏车棚的数量不少于修建的B 种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A 种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？23.已知反比例函数(0)k y x x=>的图象与正比例函数()30y x x =≥的图象交于点()2,A a ，点B 是线段OA 上（不与点A 重合）的一点．（1）求反比例函数的表达式；（2）如图1，过点B 作y 轴的垂线,l l 与(0)k y x x=>的图象交于点D ，当线段3BD =时，求点B 的坐标；（3）如图2，将点A 绕点B 顺时针旋转90︒得到点E ，当点E 恰好落在(0)k y x x=>的图象上时，求点E 的坐标．24.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:C y x bx c =++经过点()()0,2,2,2A B ，顶点为D ；抛物线()222:221C y x mx m m m =-+-+≠，顶点为Q ．（1）求抛物线1C 的表达式及顶点D 的坐标；（2）如图1，连接AD ，点E 是拋物线1C 对称轴右侧图象上一点，点F 是拋物线2C 上一点，若四边形ADFE 是面积为12的平行四边形，求m 的值；（3）如图2，连接,BD DQ ，点M 是抛物线1C 对称轴左侧图像上的动点（不与点A 重合），过点M 作MN ∥DQ 交x 轴于点N ，连接,BN DN ，求ςBDN 面积的最小值．第11页/共11页25.某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．（一）拓展探究如图1，在ABC V 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥，垂足为D．（1）兴趣小组的同学得出2AC AD AB =⋅．理由如下：____________（2）如图2，F 为线段CD 上一点，连接AF 并延长至点E ，连接CE ，当ACE AFC ∠=∠时，请判断AEB ς的形状，并说明理由．（二）学以致用（3）如图3，ABC V 是直角三角形，90,2,ACB AC BC ∠=︒==，平面内一点D ，满足AD AC =，连接CD 并延长至点E ，且CEB CBD ∠∠=，当线段BE 的长度取得最小值时，求线段CE 的长．。
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2014年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题3分，共45 分）1. （ 3分）4的算术平方根是（ ）A . 2B . - 2C .±.D .162. （ 3分）如图，点0在直线AB 上，若/仁40°则/2的度数是（)M0 3A . 50°B.60° C .140°D . 150°3. （3分）下列运算中，结果是a 5的是（ ）A . a 2?a 3B10 2 .a 为C . (a 2) 3D . (-a ) 54. （ 3分）我国成功发射了嫦娥三号卫星，是世界上第三个实现月面软着陆和月面巡视探测的国家，嫦娥三号探测 器的发射总质量约为 3700千克，3700用科学记数法表示为（）2324A . X10B . XI0C . 37X10D . X106.（3分）如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（ ）U 士 〈A .主视图的面积为5 C.俯视图的面积为37. （ 3分）化简— '十」的结果是（)A . mB .二ITC . m - 1D .m _ 18 （3分）下列命题中，真命题是（ ）A. 两对角线相等的四边形是矩形B. 两对角线互相平分的四边形是平行四边形 C .两对角线互相垂直的四边形是菱形 D .两对角线相等的四边形是等腰梯形9. （3分）若一次函数y= （m - 3） x+5的函数值y 随x 的增大而增大，则（5. （ 3分）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是B .左视图的面积为3 D .三种视图的面积都是 4)10. （3分）如图，在？ABCD 中，延长AB 到点E ,使BE=AB ，连接DE 交BC 于点F ,则下列结论不一定成立的 是（ ）A . / E=Z CDFB . EF=DFC . AD=2BFD . BE=2CF11. （3分）学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团, 那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（）A ，上B . _C . _D .丄3 2 3 [413 . （ 3分）如图，O O 的半径为1, △ ABC 是O O 的内接等边三角形，点 D 、E 在圆上，四边形 BCDE 为矩形，这 个矩形的面积是（）14 . （3分）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S o ,将其中的每个数换成该数在 S 0中出现的次数，可得到一个新序列S 1,例如序列S o ： （4, 2, 3, 4, 2）,通过变换可生成新序列 S 1： （2, 2, 1, 2, 2）,若S o 可以为任意序列，则下面的序列可作为S 1的是（）A . （ 1, 2, 1, 2, 2）B . （2, 2, 2, 3, 3）C . （1, 1, 2, 2, 3）D . （1, 2, 1, 1, 2）2 215. （3分）二次函数y=x +bx 的图象如图，对称轴为直线 x=1，若关于x 的一元二次方程x +bx - t=0 （t 为实数） 在-1v x v 4的范围内有解，则t 的取值范围是（）与x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点，把△ AOB 沿直线AB 翻折后得到△ AO B ,C . （2, 2.；）D . （2. ；, 4）A . 2B . . ■；C .:;D.D . 3 v t v 8二、填空题（共 6小题，每小题3分，共18分）16. _____ （3 分）|- 7- 3|= .217. ________________ （3分）分解因式：x +2x+仁 .18.（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有 3个红球且摸到红球的概率为卡，那么口袋中球的总个数为 ________________________ .19. （3分）若代数式 一^和朋二■的值相等，则x= ____________________x - 220 . （3分）如图，将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ ABC 沿着AD 方向平移，得到△ AB'C', 当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离 AA'等于 _______________________ .三、解答题（共7小题，共57分）22. (7 分)(1)化简：(a+3) (a - 3) +a (4- a )23. （7分）（1）如图1，四边形ABCD 是矩形，点E 是边AD 的中点，求证：EB=EC .（2）如图2, AB 与O O 相切于点 C , / A= / B , O O 的半径为6, AB=16，求OA 的长.21. （3分）如图，△ OAC 和厶BAD 都是等腰直角三角形,/ ACO= / ADB=90，反比例函数y 丄在第一象限的图（2）解不等式组:f K - 3<114>x+226.(9分)如图1，反比例函数y€ (x>0)的图象经过点A (丽，1)，射线AB 与反比例函数图象交于另一点B (1 , a ),射线AC 与y 轴交于点 C , / BAC=75 ° AD 丄y 轴，垂足为 D .(1) 求k 的值；(2) 求tan / DAC 的值及直线 AC 的解析式； (3)如图2, M 是线段AC 上方反比例函数图象上一动点，过 M作直线I 丄x 轴，与AC 相交于点N ，连接CM ,24. (8分)2014年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网上预定了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元，其中小组赛球票每张 550元，淘汰赛球票每张 700元，问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？ 25.( 8分)在济南开展美丽泉城，创卫我同行”活动中，某校倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动, 并用得到的数据绘制不完整的统计图表, 如图所示:劳动时间(时)频数(人数)频率12130x218 y 合计m1(1)统计表中的 m=,x=,y= (2)被调查同学劳动时间的中位数是时；为了解同学们劳动情况, 学校随机调查了部分同学的劳动时间,(3)请将频数分布直方图补充完整; (4)求所有被调查同学的平均劳动时间.求厶CMN 面积的最大值.27. （9分）如图1，有一组平行线11// 12// 13// |4,正方形ABCD 的第四个顶点分别在11, 12, |3, |4上，EG 过点D 且垂直11于点E ，分别交12，14于点F l ，G 1，EF=DG=1，DF=2 . （1）AE= _ _ ，正方形ABCD的边长=_ _ ;（2）如图2,将/ AEG 绕点A 顺时针旋转得到 / AE 旋转角为 a （0 ° aV 90° ,点D 在直线13上，以AD 为 边在E D 左侧作菱形AB C D '，使B '，C 分别在直线12，14上① 写出/ B AD '与a 的数量关系并给出证明；28. （9分）如图1，抛物线y=x 2平移后过点A （8，0）和原点，顶点为 B ，对称轴与x 轴相交于点C ，与原抛物线相交于点 D .（1） 求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积 S 阴影；（2） 如图2,直线AB 与y 轴相交于点P ，点M 为线段0A 上一动点，/ PMN 为直角，边MN 与AP 相交于点N ， 设OM=t ，试探究： ① t 为何值时△ MAN 为等腰三角形；② t 为何值时线段PN 的长度最小，最小长度是多少.② 若a =30 °求菱形AB C D 的边长.A £ L图1闔1国上 斎用圉2014年山东省济南市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，共45分）1. （ 3分）4的算术平方根是（ ）A . 2B . - 2C .戈D . 16考点：算术平方根.分析：根据乘方运算，可得一个数的算术平方根. 解答：解：•/ 22=4,•••换2, 故选：A .点评：本题考查了算术平方根，乘方运算是解题关键.2. （ 3分）如图，点 O 在直线AB 上，若/仁40°则/ 2的度数是（）A. 50° B . 60° C . 140° D . 150°考点：余角和补角. 专题：常规题型.分析：根据互补两角之和为 180 °求解即可. 解答：解：•••/仁40°• / 2=180 ° - / 1=140 ° 故选：C .点评： 本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互补两角之和为180 °3. （3分）下列运算中，结果是 a 5的是（A . a 2?a 3B . a 10%2考点： 冋底数幕的除法；冋底数幕的乘法；幕的乘方与积的乘方. 专题： 计算题.分析： 根据冋底数幕的乘法与除法以及幕的乘方的知识求解即可求得答案. 解答：解：A 、a 2?a 3=a 5，故A 选项正确；B 、 a 10^a 2=a 8,故B 选项错误；C 、 （a 2） 3=a 6，故C 选项错误；D 、 （- a ） 5= - a 5,故D 选项错误. 故选：A .点评： 此题考查了冋底数幕的乘法与除法以及幕的乘方等知识，解题要注意细心.4. （ 3分）我国成功发射了嫦娥三号卫星，是世界上第三个实现月面软着陆和月面巡视探测的国家，嫦娥三号探测 器的发射总质量约为 3700千克，3700用科学记数法表示为（ ） 2324A . X102B . XI03C . 37X102D . X104考点：科学记数法一表示较大的数.(a 2) 3(-a )5.（3分）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）考点：中心对称图形；轴对称图形.分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形•故A选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形•故B选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形•故C选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形.故D选项正确. 故选：D.点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180。
后与原图重合.6. （3分）如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是U J乞面A .主视图的面积为5B .左视图的面积为3C .俯视图的面积为3D .三种视图的面积都是4考点：简单组合体的三视图.专题：几何图形问题.分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，看分别得到几个面，比较即可.解答：解：A、从正面看，可以看到4个正方形，面积为4,故A选项错误；B、从左面看，可以看到3个正方形，面积为3，故B选项正确；C、从上面看，可以看到4个正方形，面积为4，故C选项错误；D、三种视图的面积不相同，故D选项错误.故选：B .点评：本题主要考查了几何体的三种视图面积的求法及比较，关键是掌握三视图的画法.It）- 1 ITi- 17. （3分）化简十.的结果是（）A . mB .二C . m - 1D .-IT n - 1考点：分式的乘除法.专题：计算题.分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果解答：解：原式=m- !?_n)2m m - 1专题：常规题型.分析：科学记数法的表示形式为aXI0n的形式，其中1书|v 10, n为整数.确定n的值是易错点，由于位，所以可以确定n=4 - 1=3 .解答：解：3 700= X103.故选：B .点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键.3700 有4=m.故选：A.点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.&（3分）下列命题中，真命题是（）A .两对角线相等的四边形是矩形B .两对角线互相平分的四边形是平行四边形C .两对角线互相垂直的四边形是菱形D .两对角线相等的四边形是等腰梯形考点：命题与定理.专题：常规题型.分析：根据矩形的判定方法对A进行判断；根据平行四边形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定方法对C 进行判断；根据等腰梯形的定义对D进行判断.解答：解：A、两对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；B、两对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B选项正确；C、两对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误；D、两对角线相等的梯形是等腰梯形，故D选项错误. 故选：B .点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理.9. （3分）若一次函数y= （m —3）x+5的函数值y随x的增大而增大，则（)A . m > 0B . m v 0C . m > 3D . m v 3考点：一次函数图象与系数的关系.分析：直接根据一次函数的性质可得m - 3>0,解不等式即可确定答案.解答：解：•••一次函数y（m- 3）x+5中，y随着x的增大而增大，m —3> 0,解得：m> 3 .故选：C .点评：本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b （k旳）中，当k v 0时，y随x的增大而减小是解答此题的关键.10 . （3分）如图，在？ABCD中，延长AB到点E,使BE=AB，连接DE交BC于点F,则下列结论不一定成立的是（）A . / E=Z CDFB . EF=DFC . AD=2BFD . BE=2CF考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.分析：首先根据平行四边形的性质可得CD // AB ,再根据平行线的性质可得 / E=Z CDF ;首先证明△ DCF 也△ EBF可得EF=DF ;根据全等可得 CF=BF=：BC ，再利用等量代换可得 AD=2BF ;根据题意不能证明 AD=BE ，因2此BE 不一定等于2CF .解答： 解：•/四边形ABCD 是平行四边形，••• CD // AB ,••• / E=Z CDF , （故 A 成立）；•••四边形ABCD 是平行四边形，• CD=AB , CD // BE , • / C=Z CBE ,•/ BE=AB ,• CD=EB ,在^ CDF 和^ BEF 中，fZC=ZCBE{ZCFD=ZBFE ,•△ DCF ◎△ EBF （AAS ）,• EF=DF ,（故 B 成立）；•/ △ DCF ◎△ EBF ,• CF=BF=」BC ,2•/ AD=BC ,• AD=2BF , （故 C 成立）;•/ AD 用E ,• 2CF 毛E ,（故D 不成立）;故选：D .点评：此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等.11. （3分）学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团, 那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（）B . 1C . 1D . 12 3 ~4考点：列表法与树状图法.分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与征征和舟舟选到同一社团的情况，再利 用概率公式即可求得答案.解答： 解：画树状图得：•/共有9种等可能的结果，征征和舟舟选到同一社团的有3种情况，3 11•征征和舟舟选到同一社团的概率是： 二丄.故选：C .征征航檯徳航欖彩绘尿塑点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.12. （3分）如图，直线 y=-二x+2与x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点，把△ AOB 沿直线AB 翻折后得到△ AO B ,3考点：垂径定理；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形.考点： 专题： 分析： 翻折变换（折叠冋题）数形结合.；一次函数的性质.作O M 丄y 轴，交y 于点M , O'N 丄x 轴，交x 于点N ，由直线y= x+2与x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两 3点，求出A （0, 2）, B （2占,0）和/ BAO=30 °运用直角三角形求出 MB 和MO 再求出点 O'的坐标.x 于点N ,点评: ••• A （0, 2）, B （2 . ；, 0）,••• / BAO=30 °由折叠的特性得， O'B=OB=2 , / ABO= / ABO '=60°• MB=1 , MO =.'；,• OM=3 , ON=O 'M= 一「；，•- O ' （ . , 3）,故选：A .本题主要考查了折叠问题及一次函数问题，解题的关键是运用折叠的特性得出相等的角与线段.13. （ 3分）如图，O O 的半径为1, △ ABC 是O O 的内接等边三角形，点 D 、E 在圆上，四边形 BCDE 为矩形，这 个矩形的面积是（ ）A . 2B . . 1C .:: 解答:分析：连接BD、0C,根据矩形的性质得 / BCD=90 °再根据圆周角定理得BD为O O的直径，则BD=2 ;由ABC 为等边三角形得 / A=60 °于是利用圆周角定理得到/ BOC=2 / A=120 °易得/ CBD=30 °在Rt△ BCD中, 根据含30。