常用的数学思想方法简介
小学数学中常见的数学思想方法有哪些
小学数学中常见的数学思想方法有哪些1.归纳法：通过观察一般情况，从而推断出普遍规律。
例如，通过寻找一些数列的规律，利用归纳法可以推出数列的通项公式。
2.逆向思维：通过逆向思考问题，从结果出发逆推回起始状态。
逆向思维常用于解决逻辑推理和问题求解。
例如，将一个求和问题转化为找到使得等式成立的数。
3.分解与组合：将一个大问题分解为若干个较小的子问题，然后通过解决子问题得到解决整个问题的方法。
这种思想方法常用于解决复杂的问题，可以降低问题的难度。
4.比较与类比：通过比较或类比不同的情况或对象，找到相似之处或变化的规律，从而解决问题。
例如，可以通过类比找到两个数的最大公约数和两个数的最大公倍数之间的关系。
5.推理与证明：通过逻辑推理和数学证明解决问题。
推理与证明是数学思维中最基本和最重要的方法之一、通过推理和证明，可以建立数学定理和推理规则，从而解决更复杂的问题。
6.抽象与泛化：将问题抽象为一般性质或模式，从而简化问题，找到问题的本质。
抽象与泛化是数学思想中的核心思维方法之一，通过抽象和泛化，可以建立数学概念和定理。
7.反证法：通过反证得到正证结论。
反证法常用于证明一些结论的唯一性或否定性。
通过假设结论不成立，然后推导出与已知条件矛盾的结果，从而得到结论的成立性。
8.猜想与验证：通过猜想和验证的方法解决问题。
猜想与验证是一种探索性的方法，通过发现规律和验证猜想的正确性，找到问题的解决方法。
9.近似与估算：通过近似和估算的方法解决问题。
近似与估算是数学思维中的实用方法之一，可以在缺乏精确计算方法时得到近似的结果。
以上是小学数学中常见的数学思想方法，请注意，数学思想方法的具体应用还受到问题性质、题型以及学生认识和思维水平的影响，因此，教学中还应根据具体情况灵活运用。
常用数学思想归类总结
常用数学思想归类总结数学作为一门学科，涵盖了广泛的思想和方法。
在数学的发展过程中，数学家们提出了许多重要的思想，这些思想成为解决问题、推理和证明的基础。
在本文中，我将归纳总结一些常用的数学思想，并解释它们的应用以及重要性。
一、归纳法归纳法是一种证明数学命题的常用方法。
它通过证明基本情况成立，并假设对于某个自然数 n 成立，然后利用这个假设证明n+1 也成立。
归纳法不仅常用于证明自然数之间的关系，也可以用来证明其他一些性质和推断。
例如，我们可以使用归纳法来证明等差数列的求和公式或者斐波那契数列的性质。
二、反证法反证法是一种独特的证明方法，它假设待证明的命题为假，然后通过推导出矛盾的结论来得出结论为真的结论。
反证法常用于证明一些命题的唯一性或者存在性。
例如，我们可以使用反证法来证明无理数的存在性，即假设不存在无理数，然后通过推导出矛盾的结论来证明无理数的存在。
三、递归思想递归思想是一种将一个问题分解为一个或多个相同类型的子问题，并通过解决子问题来解决整个问题的思想。
递归思想在数学中的应用非常广泛，它常被用于定义数列、集合和函数等。
例如，斐波那契数列的定义就是一个递归定义，即前两项之和等于下一项。
递归思想也常用于解决组合数学和图论等领域的问题。
四、对称性对称性是指对象在某种变换下保持不变的性质。
在数学中，对称性经常被用于简化问题的求解过程。
例如，对称关系可以帮助我们推导出解方程的一些性质，对称图形可以帮助我们简化图形的分析过程。
对称性在代数、几何和数论等领域都有广泛的应用。
五、等价关系等价关系是指具有自反性、对称性和传递性的关系。
在数学中，等价关系可以帮助我们将一些对象划分为不同的等价类，从而简化分析和求解问题的过程。
等价关系常用于集合、模运算和拓扑等领域的问题。
例如，同余关系在模运算中起着重要的作用，它将整数划分为不同的同余类。
六、极限思想极限思想是一种将无穷过程视为有限过程的思维方式。
在数学中，极限思想经常被用于定义和研究一些重要的概念，例如极限、连续性和导数等。
数学思想方法介绍
◆数学方法具有三个基本特征：
（1）高度的抽象性和概括性； （2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性； （3）应用的普遍性和可操作性。
◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：
（1）提供简洁精确的形式化语言； （2）提供数量分析及计算的方法； （3）提供逻辑推理的工具。
二. 中学数学中常用的数学方法
一种方法，数学中许多方法都属于RMI方法，例如，分割法、
函数法、坐标法、换元法、复数法、向量法、参数法等。
☆RMI方法不仅是数学中应用广泛的方法，而且可以拓展到人
文社会科学中去。例如，哲学家处理现实问题的思想方法，就 可以看作RMI方法的拓展 （客观物质世界---哲学家的思维---哲
学理论体系---解决客观世界的现实问题）。
3）同态与同构 4）数的概念的扩充 5）多项式理论与整数理论的类比 整数
＋、－ 、×
带余除法 算术基本定理
多项式
＋、－ 、× 带余除法 代数基本定理
3. 归纳法（逻辑学中的方法）
与数学归纳法（数学中的一般方法）
☆归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的 一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。 归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜 测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。 归纳法用于猜测和推断。 例子：1) Fermat数(1640年，Fn=22 +1, Fermat素数：3，5， 17，257，65537)； 2)Goldbach猜想（1742年）。
《数学思想与数学文化》
数学思想方法介绍
内 容
一.前言
二.中学数学中常用的数学方法
三.几类常用的数学思想方法介绍
1.演绎法或公理化方法 2.类比法 3.归纳法与数学归纳法 4.数学构造法
主要数学思想方法简介
第一章数学思想和方法第一节主要数学思想方法简介数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.数学思想方法是一种数学意识，属于思维范畴，只能领会和运用.通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高.掌握数学思想，就是掌握数学的精髓.掌握数学思想方法，可以受用一生.常用的数学思想：分类讨论思想、数形结合思想、方程与函数思想、化归与转化思想等，其他还有建模思想、归纳推理思想、两边夹的思想、换元思想、等效思想、优化思想、连续性思想、运动变化思想等.数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略.常用的一般性数学方法有定义法、配方法、换元法、消元法、参数法、待定系数法、数学归纳法等，常用的逻辑方法有分析法、综合法、反证法、同一法、归纳法、演绎法等，常用的数学思维方法有观察与实验、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳与演绎等.数学思想方法与数学基础知识相比较，它是深层次的.它来源于数学基础知识及常用的数学方法,在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位.数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义.而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段.一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略.但由于中学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的.如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以中学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即中学数学思想方法.下面介绍四种主要的数学思想方法.一、函数与方程思想方法用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，然后运用函数的图像和性质去分析问题和解决问题的思想即函数思想.从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程（组）或不等式（组）等数学模型，然后通过解方程（组）或不等式（组）来解决问题的思想即方程思想.函数与方程是互相转化的,方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标，即函数y＝f(x)的零点，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0.所以方程的问题可以用函数的方法解决，反之函数问题也可以用方程的方法来解决.挖掘题目中的隐含条件，找出需要解答的问题与函数方程的关系，是应用函数与方程思想的关键.比如函数与不等式的关系：()()f x g x >的几何意义就是函数()y f x =的图象在函517数()y g x =的图象的上方，故可用函数思想解决有关不等式问题.又如函数与数列的关系：数列是特殊的函数，即数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，故用函数思想可以处理数列问题.再如函数与二项式定理的关系：函数*()()()n f x ax b n N =+∈与二项式定理具有相同的形式，故利用函数思想及赋值法和比较系数法可以解决很多二项式问题.再如函数方程与几何的关系：解析几何中的线和线的位置关系就是方程组问题，参数的取值范围、线段长度的最值、图形面积的最值等就是函数的值域问题.立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算也经常用列方程或建立函数的方法来解决.下面举几个简单的例子.1.一般问题典型例题：已知,,a b c R ∈且515b c a -=，则____.A.24b ac > B.ac b 42≥ C.ac b 42< D.ac b 42≤解：观察选择支，显然与判别式相关，故构造方程.由题意得550a b c ⋅-⋅+=，看成5是实系数一元二次方程20ax bx c -+=的一个实根，所以240b ac ∆=-≥，即ac b 42≥，故选 B.2.计算问题典型例题：求12122+++⋅⋅⋅的极限值.解：这是求无限式的值，一般是用极限方法解决此题，这里我们用方程来解决.设原式x =，列出方程12x x +=，解得262x +=（262x -=舍去），所以原式262+=.3.函数与方程的转化典型例题：已知,a b R ∈，且32351a a a -+=，32355b b b -+=，求a b +的值.解：这是解方程问题，直接解方程难度较大，故转化为函数问题.条件变形得3(1)2(1)2a a -+-=-，3(1)2(1)2b b -+-=，构造函数3()2f x x x =+，则()f x 是奇函数、单调递增函数，所以(1)(1)(1)f a f b f b -=--=-，于是11a b -=-即2a b +=.5184.解决三角函数问题典型例题：已知,,A B C R +∈且2A B C++=，求证1sin sin sin 8A B C ≤.解：这里有三个变量，故可以以其中一个变量为主元构造方程.设sin sin sin t A B C =1sin [cos()cos()]2A B C B C =--+1sin [cos()sin ]2A B C A =--，整理得到一个关于sin A 的一元二次方程2sin cos()sin 20A B C A t --+=，因为方程有解，故其判别式2cos ()80B C t ∆=--≥，则211cos ()88t B C ≤-≤，即1sin sin sin 8A B C ≤.5.解决不等式问题典型例题：对于任意1[,3]2m ∈不等式2424x mx m x ++>+恒成立，求x 的取值范围.解：转化为2(2)(2)0m x x -+->恒成立.（1）当2x =时，不等式不成立；（2）当2x ≠时，看成m 的一次函数2()(2)(2)f m x m x =-+-，则1()02(3)0f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩，解之得(,1)(2,)x ∈-∞-+∞ .6.解决数列问题典型例题：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知123=a ，120S >，130S <，问1S 、2S 、3S 、…、12S 中哪一个最大，并说明理由.解：由题意1122a d =-，则215(12)22n S dn d n =+-，这是关于n 的二次函数；而函数215()(12)22f x dx d x =+-的对称轴方程为5122x d =-；再由题意得1213144420156520S d S d =+>⎧⎨=+<⎩，得2437d -<<-，故51213622d <-<，所以6n =时n S 最大.7.列方程解应用题常见的列方程解应用题，就是方程思想的体现.典型例题：有一种玻璃瓶装饮料，每瓶1元.为了环保，玻璃瓶回收.某人用6元钱买这种饮料，回收3个玻璃瓶可以换1瓶饮料，问此人最多可以喝到多少瓶饮料？解：设此人最终喝了x 瓶饮料，则可列出方程63x x =+，解得9x =.即此人最终喝了9519瓶饮料.二、化归与转化思想方法解题时，把未知的、不熟悉的、复杂的、抽象的、一般的、非基本的问题通过不同方式，转化为已知的、熟悉的、简单的、具体的、特殊的、基本的容易解决的问题，这种方法称为转化法，又称为化归法.转化有等价转化与非等价转化.等价转化的转化过程是充分且必要的，转化后的结果仍为原问题的结果.非等价转化其过程是充分或必要的，之后要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根）.消元法、换元法、数形结合法等具体方法，其实都体现了转化思想.1.数学语言和自然语言的转化典型例题：设(){}22,|4A x y x y =+=，()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=，其中0r >,若A B =∅ ,求r 的取值范围.解：由题意，转化为“集合A 表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B 表示以（3，4）为圆心以r 为半径的圆，当两圆无交点时，求半径r 的取值范围”.由图象易得r 的取值范围为03r <<或7r >.2.数与形的转化典型例题：若函数2()4f x x x a =+-+有且仅有一个零点，求a 的取值范围.解：转化为直线y x a =--与半圆24y x =-有且仅有一个交点，如图可知a 的取值范围为22a -<≤或22a =-.3.生疏问题转化为熟悉问题典型例题：求和222222222141614121416141n n S n ++++=+++⋅⋅⋅+----.解：拆分分式转化为熟悉的裂项抵消，22221111133557(21)(21)n S n n =++++++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯-⨯+52011111113352121n n n =+-+-+⋅⋅⋅+--+221n n n =++．4.困难问题转化为容易问题典型例题：判断命题“若5x y ->，则3x >或2y <-”的真假.解：设y a -=，转化为判断“若5x a +>，则3x >或2a >”，再转化为判断其逆否命题“若3x ≤且2a ≤，则5x a +≤”，此命题显然正确，故原命题正确.5.繁杂问题转化为简单问题典型例题：已知1111a b c a b c++=++=，求证a 、b 、c 中至少有一个等于1.证明：a 、b 、c 中至少有一个为1，转化为1a -、1b -、1c -中至少有一个为零，只需证(1)(1)(1)0a b c ---=即可.由1111a b c ++=得bc ac ab abc ++=，所以(1)(1)(1)a b c ---()()10abc ab ac bc a b c =-+++++-=，故结论成立.6.正与反的转化当顺向思维较难或无从下手时就反向思考，即反证法、逆向思维的思想.典型例题：已知()f x 、()g x 是定义在R 上的函数，证明存在,[0,1]x y ∈使1()()4xy f x g y --≥.证明：假设对任意,[0,1]x y ∈，有1()()4xy f x g y --<.令0x y ==，则1(0)(0)4f g +<；令0,1x y ==，则1(0)(1)4f g +<；令1,0x y ==，则1(1)(0)4f g +<；则当1x y ==时1(1)(1)f g --1[(1)(0)][(0)(0)][(0)(1)]f g g f f g =-+++-+1(1)(0)(0)(0)f g g f ≥-+-+1(0)(1)4f g -+>，这与假设矛盾，故原命题得证.7.常量与变量的转化典型例题：对于任意01m ≤≤，不等式2(1)20x m x m --+->恒成立，求x 的取值范围.解：我们习惯于x 为变量m 为常量，所以题目转化为“对于任意01x ≤≤，不等式2(1)20m x m x --+->恒成立，求m 的取值范围”，即2()(1)20f x m x m m =-++->对521于任意01x ≤≤恒成立，则22(0)20(1)10f m m f m ⎧=+->⎪⎨=->⎪⎩，解之得(,2)(1,)m ∈-∞-+∞ ，即x 的取值范围为(,2)(1,)x ∈-∞-+∞ .8.抽象问题转化为具体问题典型例题：设函数2()f x ax bx c =-+，若不等式()0f x >的解集为(1,3)，解关于t 的不等式2(8)(2)f t f t +<+.抽象不等式可以根据函数单调性转化为具体不等式.解：不等式()0f x >的解集为(1,3)，则0a <且函数对称轴为2x =，故函数在区间[2,)+∞上递减，而88t +≥，222t +≥，由函数的单调性，不等式转化为282t t +>+即260t t --<，解之得(3,3)t ∈-.三、数形结合思想方法把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来解决数学问题的方法即数形结合方法.运用数形结合，能避免复杂的计算与推理，能简化解题过程.它在解选择题、填空题中更显其优越性.下面举少数简单的例子说明，与其他知识点结合还有许多，更多参见本书后面各章节的图象法.1.解决集合问题典型例题：已知集合3cos (,),03sin x M x y y θθπθ⎧⎫=⎧⎪⎪=<<⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭，{(,)|}N x y y x b ==+，且M N ≠∅ ，求b 的取值范围.解：集合M 表示以原点为圆心3为半径的上半圆（不含端点），题意为直线y x b =+与半圆有交点，求b 的取值范围.画出草图，如图易知b 的取值范围为332b -<≤.2.解决函数问题典型例题：设2()22f x x ax =-+，当[1,)x ∈-+∞时()f x a >恒成立，求a 的取值范围.522解：转化为“函数2()22g x x ax a =-+-，[1,)x ∈-+∞的图像在x 轴上方”.函数的对称轴x a =，当1a ≥-时由图象得244(2)0a a ∆=--<，故11a -≤<；当1a <-时由图象得(1)0g ->，故31a -<<-；综上可知a 的取值范围为31a -<<.3.解决方程与不等式的问题典型例题：已知关于x 的方程2230x kx k ++=的两根都在1-和3之间（含1-和3），求k 的取值范围.解：由题意画出草图，如图，则2134120(1)0(3)0k k k f f -≤-≤⎧⎪∆=-≥⎪⎨-≥⎪⎪≥⎩，解之得k ∈[-1,0],即k 的取值范围.4.解决三角问题典型例题：求函数sin 2cos 2x y x +=-的值域.解：因为函数sin 2cos 2x y x +=-表示过两点(2,2)P -、(cos sin )A x x ,的直线的斜率，而点A 是圆221x y +=上的点，如图，求函数的值域即求过点P 与圆有交点的直线的斜率的取值范围12[,]y k k ∈，设过点P 的切线为2(2)y k x +=-，则有2|22|11k k +=+，解之得1,2473k -=±，所以函数的值域为4747[]33y ---+∈，.5.解决几何问题523典型例题：求函数246u t t =++-的最值.解：设24x t =+，6y t =-，u x y =+，则22216(04022)x y x y +=≤≤≤≤，，转化为直线y x u =-+与椭圆22216x y +=第一象限的部分（包括端点）有公共点，如图，min 22u =，当直线与部分椭圆相切于第一象限时，u 取最大值，由22216y x u x y =-+⎧⎨+=⎩得22342160x ux u -+-=，根据∆=0得26u =±，取26u =，即max 26u =.四、分类讨论思想方法在数学中有些问题的结论有多种情况，有些问题的结论不能以统一的形式进行表示，有些问题的条件中含有字母且字母的取值不同结果也不同，等等，解决这些问题时就需要根据题目的特点和要求分类，转化成若干个小问题；这种按不同情况分类，然后再逐一解决的思想方法，就是分类讨论思想方法.解题时，要抓住引起分类讨论的原因，把握分类标准，进行合理分类.分类的对象是确定的，标准是统一的，原则是不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.中学数学中引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、指数函数与对数函数的底数的意义、等比数列的前n 项和公式等等；由数学运算要求引起的分类讨论：如开偶次方、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响、函数单调性对不等式中不等号方向的影响等等；由某些概念、定理、法则、公式的限制条件引起的分类讨论；由几何图形中点、线、面、体的相对形状、位置不确定引起的分类讨论；由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等.典型例题1.设{}2|870A x x x =-+=，{}|140B x ax =-=，若A B B = ，求实数a 的值.524解：由题意得{}1,7A =，由A B B = 知B A ⊆，故分B =∅与B ≠∅讨论.（1）当B =∅时，即方程140ax -=无解，则0a =；（2）当B ≠∅时，即方程140ax -=的解为1或7，则14a =或2；综上，a 的值为0、2、14.典型例题2.解关于x 的不等式(1)12a x x ->-.解：原不等式化为(1)(2)02a x a x -+->-，即2(1)()(2)01a a x x a---->-.（1）当1a >时，原不等式化为2()(2)01a x x a --->-，因为211211a a a -=-<--，故其解为2(,)(2,)1a x a -∈-∞+∞- ；（2）当1a =时，原不等式化为102x >-，其解为(2,)x ∈+∞；（3）当01a <<时，原不等式化为2()(2)01a x x a ---<-，因为211211a a a -=->--，故其解为2(2,)1a x a -∈-；（4）当0a =时，原不等式无解；（5）当0a <时，原不等式化为2()(2)01a x x a ---<-，因为211211a a a -=-<--，故其解为2(,2)1a x a -∈-；综上所述：当1a >时，解为2(,)(2,)1a x a -∈-∞+∞- ；当1a =时，解为(2,)x ∈+∞；当01a <<时，解为2(2,)1a x a -∈-；当0a =时，无解；当0a <时，解为2(,2)1a x a -∈-.典型例题3.已知函数2()log ()a f x ax x =-在[2,4]上是增函数，求实数a 的取值范围.解：（1）当1a >时，则2()u x ax x =-在[2,4]上是增函数且恒大于零，根据图象得122(2)420a u a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩，解得12a >，所以1a >；（2）当01a <<时，则2()u x ax x =-在[2,4]上是减函数且恒大于零，根据图象得525()14241640a u a ⎧≥⎪⎨⎪=->⎩，不等式组无解；综上所述，实数a 的取值范围为1a >.典型例题4.数列}{n a 中，11=a ，22=a ，数列}{1+⋅n n a a 是公比为q （0>q ）的等比数列，求数列}{n a 的前n 2项的和n S 2．解：由题意得121n n n n a a q a a +++=，即2n na q a +=，故数列}{n a 的所有奇数项、所有偶数项分别成等比数列，且公比都是q .(1)当1≠q 时，n S 2135212462()()n n a a a a a a a a -=+++++++++ 12(1)(1)11n n a q a q q q --=+--3(1)1n q q-=-；（2）当1=q 时，n S 2135212462()()3n n a a a a a a a a n -=+++++++++= .典型例题5.设常数0a >，变量R λ∈，经过原点O 以(,)e a λ= 为方向向量的直线与经过定点(0,)A a 以(1,2)f a λ=- 为方向向量的直线相交于点P ，问是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值.解：由题意直线OP 、AP 的方程分别为y ax λ=、2y a ax λ-=-，当0λ≠时消去λ，得点(,)P x y 的方程为22()2y y a a x -=-，即222()211()82a y x a -+=；当0λ=时得点(0,)P a ，也在此方程上.（1）当22=a 时，方程表示圆，故不存在满足题意的定点E 、F ；（2）当202a <<或22a >时，方程表示椭圆，故存在两个定点E 、F 使得PE PF +为定值，这时E 、F 为椭圆的焦点.典型例题6.如果异面直线a 、b 所成的角为θ，P 为空间一定点，且过点P 的直线l 与a 、b 所成的角相等，设求满足条件的直线l 的条数.526解：平行平移三条直线交于一点P ，如图，设过点P 的直线l 与a 、b 所成的角均为ϕ；由题意知,(0,]2πθϕ∈，直线l 绕点P 运动变化，则（1）当02θϕ<<时，这样的直线不存在；（2）当2θϕ=时，这样的直线只有一条；（3）当22θπθϕ-<<时，这样的直线有两条；（4）当2πθϕ-=时这样的直线有3条；（5）当22πθπϕ-<<时，这样的直线有四条；（6）当2πϕ=时，这样的直线只有一条.第二节常见的数学方法简介前面介绍了宏观的数学思想方法，在具体的解题中，要用到许多微观的方法技巧.这些方法技巧有几百种之多，这里介绍几种常用的方法.一、定义法定义法，就是直接用数学定义解题.数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来.用定义法解题，是最直接的方法.典型例题1.已知{}0,1A =，}{B x x A =⊆，则下列关系正确的是.A.A ⊆BB.A ⊇BC.A∈BD.A ∉B 解：由题意{}{}{}{},0,1,0,1B =∅，由定义{}0,1A =是B 的一个元素，故选C .典型例题2.函数()y f x =存在反函数，则方程()3f x =的的零点有个.A.只有1个 B.至少1个 C.至多1个D.可以有无数个解：由题意，函数()y f x =是一一映射，根据一一映射的定义，选C .典型例题3.奇函数()f x 的最小正周期为T，求()2T f -的值.解：由奇函数的定义得()()22T T f f -=-，由周期函数的定义得()()()222T T T f f T f =-=-，所以()()22T T f f -=--，即()02T f -=.527。
小学数学教材中蕴涵的7种常见数学思想方法
小学数学教材中蕴涵了几种常见的数学思想方法，梳理一下，大概有以下七种：1.归纳。
归纳是通过特例的分析引出普遍的结论。
在研究一般性问题时，先研究几个简单、个别的、特殊的情况，从中概括出一般的规律和性质，这种由部分到整体、由特殊到一般的推理被称为归纳。
小学数学中的有些数学问题是直接建立在类比之上的归纳，有些数学问题是建立在抽象分析之上的归纳。
小学阶段学生接触较多的是不完全归纳推理。
加法结合律，我们就采用了不完全归纳推理展开教学。
例如，28个男生在跳绳，17个女生在跳绳，23个女生在踢毽子。
求跳绳和踢毽子的一共有多少人，可以先求跳绳的人数列出算式（28+17）+23计算，也可以先求女生的人数列出算式28+（17+23）计算。
这两道算式的算理是等价的，得数也相同，因此可以写成等式（28+17）+23=28+（17+23）。
在这第一个实例中，学生看到的数学现象是不是普遍性的规律，需要在类似的情况中验证。
于是，我们让学生分别算一算（45+25）+13和45+（25+13）、（36+18）+22和36+（18+22），看看每组的两道算式是不是相等，两道算式中间能不能填上等号，再看看这些相等的算式有什么结构上的特点，猜想有这种结构特点的算式结果是否一定相等，通过实验发现第一个实例中的数学现象在类似的情况中同样存在。
接着，鼓励学生自己写出类似的几组算式，进行更多的验证，体验现象的普遍性。
学生通过进行类似的实验，在实验中概括出加法结合律，并用字母a、b、c分别表示三个加数，写成（a+b）+c= a+（b+c）。
这样，学生在学习加法结合律等的过程中，就经历了由具体到一般的抽象、概括过程，不仅可以发现数学规律、定理，而且能够初步感受归纳的思想方法，使思维水平得到提升。
2.演绎。
演绎与归纳相反，是从普遍性结论或一般性的前提推出个别或特殊的结论。
在研究个别问题时，以一般性的逻辑假设为基础，推出特定结论，这种从一般到特殊的推理被称为演绎。
小学数学中常见的数学思想方法有哪些？
小学数学中常见的数学思想方法有哪些？答;1、集合思想。
集合思想对数学的影响巨大，很多的数学分支都需要用集合语言表达。
①教学中要注重集合概念的渗透。
例如，认识“2”的教学中，例举多个两个物体，这多个两个物体的所在类的代表就是“2”。
又如六头猪和六只狗等所在类的代表就是“6”。
这里的2、6就是集合的基数。
”②教学中要注重集合关系的渗透。
如：一一对应关系，包含关系等。
③教学中要注重集合运算的渗透。
如：加法运算其实就是并集，减法运算的结果就是差集。
2、数形结合思想。
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数与形之间的联系即称为数形结合，或形数结合。
数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
即“以形助数”或“以数解形”。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用一般可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系。
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决很多数学问题。
①利用数与形的对应来理解数学概念。
例如：认识分数的教学。
②利用数与形的对应解应用题。
例如：画线段图解应用题。
③坐标思想。
用方程表示图形，沟通数形之间的关系。
在教学中要培养学生积极主动地利用数形结合的思想解决问题。
3、函数思想。
函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。
函数的思想方法就是提取问题的数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系，并利用函数的性质研究、解决问题的一种数学思想方法。
在小学阶段学习的对应关系，正、反比例关系中就蕴藏中基本的函数思想。
4、变换与转化思想。
变换与转化思想是中小学数学中最重要的数学思想，充分重视这种数学思想方法在解题中的应用，不但可使问题化繁为简、化难为易，而且还可以提高学生的思维品质，培养学生的创新能力。
小学数学常见的数学思想方法
小学数学常见的数学思想方法在小学数学中，有一些常见的数学思想方法，这些方法不仅帮助学生理解和解决数学问题，还培养了他们的逻辑思维和问题解决能力。
本文将介绍一些常见的小学数学思想方法。
第一、归纳法归纳法是一种从特殊到一般的思维方法。
通过观察和分析特殊情况，再总结规律，推广到一般情况。
例如，学习排列组合时，可以先从2个数字的排列开始归纳，然后推广到更多数字的排列。
这样做可以帮助学生理解和记忆更抽象的概念。
第二、类比法类比法是通过寻找事物之间的共同特征，把问题转化为已知问题的方法。
例如，在学习解方程时，可以把方程看作一个天平，通过移项和化简，使方程两边平衡。
这种类比可以帮助学生把抽象的数学问题转化为更具体和易于理解的形式。
第三、分解法分解法是将复杂的问题分解为若干简单的子问题来解决的思维方法。
例如，在学习长除时，可以将被除数分解成各个位的数字，并逐位进行计算。
这种分解的思维方法可以帮助学生理清思路，简化问题，更容易得到答案。
第四、逆向思维法逆向思维法是从问题的结果出发，逆向推导出解决问题的方法。
例如，在学习排序时，可以先思考如何将数字从大到小排列，然后将步骤反转，即可得到从小到大排列的方法。
逆向思维法可以培养学生的逻辑思维和反向推理能力。
第五、模型法模型法是通过建立数学模型，把实际问题转化为数学问题来解决的思维方法。
例如，在学习面积时，可以通过绘制图形模型来计算面积。
这种方法可以帮助学生理解数学概念，并将数学应用于实际问题中。
第六、试错法试错法是通过尝试不同的方法和策略，找到解决问题的最优解的思维方法。
例如，在学习解方程时，可以尝试不同的代入法或变形法，直到找到满足方程的解。
试错法可以培养学生的探索精神和自主解题能力。
小学数学常见的数学思想方法多种多样，每种方法都有其独特的特点和适用范围。
学生在学习数学时，可以根据问题的性质和自己的思维特点选择合适的方法，培养灵活运用数学思想方法的能力。
通过不断练习和思考，学生可以提高数学思维能力，更好地理解和应用数学知识。
小学数学常用的16种解题思想方法
数学|小学数学常用的16种思想方法数学基础打得好，对将来的升学也有较大帮助。
但是数学的学习比较抽象，小学生在学习过程中会碰到一些“拦路虎”，掌握一些方法，这些就都不怕了。
1、对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
2、假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
3、比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
4、符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。
如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式、等。
5、类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。
如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。
类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。
6、转化思想方法转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。
如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
7、分类思想方法分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。
如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。
常用的数学思想和方法
常用的数学思想和方法数学是一门既具有理论性又具有实践性的学科。
它以逻辑严密的推理和抽象的思维方式，研究数量、结构、变化等概念及其相互关系。
数学思想和方法在现实生活和各个行业中都发挥着重要的作用。
本文将介绍一些常用的数学思想和方法，探讨它们的应用和意义。
一、代数思想和方法代数是研究数与数之间的关系、数量关系和代数运算的数学分支。
代数思想和方法的应用广泛，包括求解方程、建立数学模型等。
代数能够帮助我们描述和解决各种关系问题，从而提供解决实际问题的工具。
1.方程求解方程是数学中重要的概念，它描述了数之间的等式关系。
在实际生活中，我们常常会遇到各种各样的问题需要求解方程。
通过代数思想和方法，我们可以将问题转化为数学方程，通过解方程得到问题的解答。
例如，在经济学中，我们可以通过求解方程组来确定生产成本和销售价格之间的关系，从而为企业的决策提供依据。
2.数学模型的建立数学模型是将实际问题抽象为数学问题的一种方法。
代数思想和方法可以帮助我们建立数学模型，通过数学建模来解决实际问题。
例如，在物流管理中，我们可以使用线性规划模型来确定运输路线、调度资源等，以达到最优化的效果。
二、几何思想和方法几何是研究空间形状、大小、位置关系及其度量的数学分支。
几何思想和方法在日常生活中应用广泛，不仅用于建筑、设计等领域，还用于解决实际问题和提升空间思维能力。
1.图形的描述和比较几何思想和方法可以帮助我们描述和比较不同图形的形状、大小和特征。
通过几何的概念和性质，我们可以准确地描述和比较各种图形，从而更好地理解现实世界中的事物。
2.空间位置关系的研究几何思想和方法可以帮助我们研究空间中的位置关系。
例如，在地理学中，我们可以通过几何思想和方法来研究地球的形状、大小以及不同地区之间的位置关系，从而帮助我们理解地理现象和解决相关问题。
三、概率与统计思想和方法概率与统计是研究不确定性、随机性和数据的收集与分析的数学分支。
概率与统计思想和方法在各个领域都有着广泛的应用，如金融、经济、医学等。
初中常用的数学思想方法
初中常用的数学思想方法1、分类讨论的思想在数学问题中，我们常常需要根据研究对象的差异，分不同情况予以讨论，比如：当X>0，X=0，X<0的情况，我们需要进行讨论，从而得出正确结果，这是一种重要的解题方法。
2、数形结合思想就是利用代数和几何图形相结合的方法，相互辅助，以便于我们更好解决数学问题。
例如：求线段最值问题。
就需要借助图形帮助我们更好理解及作答。
3、待定系数法此法常用于方程组或方程式中，我们在计算数学式子具有某种特定形式时，我们只需求出式子中待确定的字母的值就可以了。
我们可以把已知条件代入这个待定形式的式子中，就能轻松求解出这个问题了。
4、配方法利用已知代数式构造成平方差或完全平方式，再根据需要进行计算。
配方法在计算分解因式、解方程、讨论二次函数等问题上起着重要的作用。
6、换元法就是把带有某个或某些字母的式子看成一个整体，用一个新的字母进行表示，把一个复杂的式子进行化简进行计算，从而求出正确答案。
7、分析法常用于证明命题时，从结论向已知条件推理，推理出它成立的充分条件。
我们通过逆向思维思考问题，从而使问题更加简明，正所谓正难则反易。
8、联系与转化的思想事物之间是可以相互联系、相互转化的。
数学学科的知识点各部分之间也是相互联系的。
在解题时，如果能巧妙利用处理它们往往可以使问题化难为易，化繁为简。
如：代换转化、数形转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化等等。
9、演绎归纳法即从一般到特殊的演绎，把握现象，抓住本质，总结归纳其一般规律，并将其运用到解决实际问题当中。
10、类比法此法和上面一法有相似之处，其利用某些事物属性相同或相似的一面，推理到其他属性方面也可能有相同或相似的一面。
类比法既可能是从特殊到特殊，也可能从一般到一般的推理。
11、综合法在处理数学问题时，当使用一种方法不能很好解决问题时，我们可利用多种方法进行解决，选取适合的方法往往有助于我们快速解决难题，从而大大节省我们的时间。
常见的数学思想方法
常见的数学思想方法
1. 归纳法：通过已知结论推导出未知结论的方法。
2. 反证法：通过假设逆命题的真假，来证明所需要的命题的真假。
3. 递推法：通过已知项和递推关系式，推导出未知项。
4. 分析法：通过分析问题的特点和条件，将其转化成易于解决的数学模型。
5. 近似法：通过简化问题，使用近似的方法求解。
6. 对称法：通过利用问题的对称性质，简化问题的求解过程。
7. 反思法：通过回顾和反思已有的知识和结果，寻找新的问题解决思路。
8. 等价转化法：通过将问题转化为等价或相似的问题，来求解原问题。
9. 极限思想：通过分析问题的极限情况，来得到问题的解或性质。
10. 约束条件法：通过分析问题的约束条件，确定问题的可行解范围。
11. 逆向思维：通过倒推或逆向思考，找到问题的解决方法。
12. 概率思想：通过概率与统计的方法，分析问题的可能性和影响因素。
数学常用的数学思想方法有哪些
数学常用的数学思想方法有哪些初中数学涉及到的思想方法很多,在此仅仅谈谈常见的八种思想方法:一、用字母表示数的思想这是基本的数学思想之一.在代数第一册第二章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。
例如: 设甲数为a，乙数为b，用代数式表示:(1)甲乙两数的和的2倍:2(a+b)(2)甲数的2倍与乙数的5倍差:2a-5b二、数形结合的思想“数形结合”是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。
“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括.数学教材中下列内容体现了这种思想。
1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。
2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。
3、函数式与图像之间的关系。
4、线段(角)的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。
5、解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决何问题。
6、“圆”这一章中，圆的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。
7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。
实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。
实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。
三、转化思想(化归思想) 在整个初中数学中，转化(化归)思想一直贯穿其中。
转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想,它是数学基本思想方法之一。
下列内容体现了这种思想: 1、分式方程的求解是分式方程转化为前面学过的一元二次方程求解，这里把待解决的新问题化为已解决的问题来求解，体现了转化思想。
2、解直角三角形;把非直角三形问题化为直角三角形问题;把实际问题转化为数学问题。
3、证明四边形的内角和为360度.是把四边形转化成两个三角形的.同时探索多边形的内角和也是利用转化的思想的.四、分类思想有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论的。
小学数学常见数学思想方法
小学数学常见数学思想方法数学思想方法是指在解决数学问题时，常用的一些思考方式和方法。
在小学数学中，常见的数学思想方法包括：抽象思维、归纳思维、推理思维、分析思维、直观思维、实用思维等。
抽象思维是指将具体的数学问题通用化的思考方式。
例如，在解决加法问题时，可以将问题中的具体数字抽象为变量，从而得到一个通用的解决方法。
在小学数学中，常见的加法问题包括：“小明有5本书，小红给了他3本书，问小明一共有多少本书？”通过抽象思维，可以将问题描述为：a+b=c，其中a代表小明原先有的书的数量，b代表小红给的书的数量，c代表小明一共有的书的数量。
这样，对于任意的a和b，都可以通过计算得到正确的答案。
归纳思维是指通过观察个别现象，找到一般规律的思考方式。
例如，在解决找规律的数列问题时，可以通过观察数列中的数字规律，推断出未知的数字。
例如，给出数列1，4，7，10，...，要求找出下一个数字。
通过观察，我们可以发现每个数字与前一个数字的差都为3、因此，下一个数字应为10+3=13推理思维是指通过已知条件得出结论的思考方式。
例如，在解决“等式”问题时，可以通过推理得到未知数的值。
例如，给出等式2x+3=9，要求求解x的值。
通过推理，我们可以得到2x=6，再进一步推理，可以得到x=3、这种思维方式能够培养学生的逻辑思维能力，有利于提高解决问题的能力。
分析思维是指将复杂问题拆分为简单的部分，从而更好地理解和解决问题的思考方式。
例如，在解决复杂问题时，可以将问题分解为多个步骤，分别解决每个步骤，最后将结果组合起来得到最终的解答。
这种思维方式可以帮助学生更好地理解问题的本质和解决思路，提高解决问题的效率和准确性。
直观思维是指通过观察事物的特征和属性，从感性认识到理性认识的思考方式。
例如，在解决几何形状的问题时，可以通过观察几何形状的特点，从而得出结论。
例如，在解决判断一个图形是否是正方形的问题时，可以通过观察四条边是否相等，四个内角是否都为直角等特征，从而得出结论。
常见的数学思想方法
1x y 2=常见的数学思想方法一、中考考点：1.方程（组）是解决应用题、实际问题和许多方面数学问题的重要基础知识。
在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系，列出方程（组）来解决，这就是方程思想。
2. 数形结合思想是一种重要的数学思想方法。
通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是一种数形结合思想。
3. 所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。
转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机。
二、基础练习： （一）整体思想 1.如果代数式1322+-x x 的值为2，那么代数式x x 322-的值等于( )A ．21 B ．3 C ．6 D ．9 2.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ） A ．图（1）需要的材料多 B ．图（2）需要的材料多 C ．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D ．无法确定 （二）方程思想 3.如图，已知点A 是一次函数x y =的图象与反比例函数 的图象在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ）A ．2 B ．22C ．2D ．22 （三）数形结合思想4.如图，A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点OA （A 与O 点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A 恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是___________．5.函数)0(≠=k xky 的图象如图所示，那么函数k kx y -=的图象大致是（ ）（四）化归思想 6.如图，当半径为30cm 的转动轮转过60°角时，传送带上的物体A 移动的距离为________cm ．（计算结果不取近似值）7.将边长为8cm 的正方形ABCD 的四边沿直线l 向右滚动（不滑动），当正方形滚动两面三刀周时，正方形的顶点A 所经过的路线的长是__________cm ．8.在图中，所有多边形的每条边的长都大于2，每个扇形的半径都是1．则第n 个多边形中，所有扇形的面积之和是__________．（五）数学建模思想9.如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角．在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长．（结果保留根号）（六）函数思想10.某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品．生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表： 煤的价格为400元/吨．生产1吨甲产品除原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x 吨，乙产品m 吨，公司获得的总利润为y 元．（1）写出m 与x 之间的关第式；（2）写出y 与x 的函数表达式（不要求写自变量的范围）； （3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大？最大利润是多少？（七）统计思想11．某地区有一条长100千米,宽0.5千米的防护林.有关部门为统计该防护林的树木量，从中选出5块防护林（每块长1千米,宽0.5千米）进行统计，每块防护林的树木树量如下（单位：棵）：65100、63200、64600、64700、67400．那么根据以上数据估算这一防护林总共约有_________棵树． 12．甲袋中放着19只红球和6只黑球、乙袋则放着170只红球、67只黑球和13只白球，这些球除了颜色外没有其他区别，两袋中的球都已经搅匀．如果只给一次机会，蒙上眼睛从一个口袋中摸出一只球，摸到黑球即获奖，那么选哪个口袋摸球获奖的机会大？请说明理由．三、典型例题：例1、如图，△ABC 中，∠C=90°，BE 是角平分线，DE ⊥BE 交AB 于D ，半圆O 是△BDE 的外接半圆。
数学常用的17种思想方法
数学常用的17种思想方法：小学初中都适用！数学如此简单！1、对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
2、假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
3、比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
4、符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。
如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式、等。
5、类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。
如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。
类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。
6、转化思想方法转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。
如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
7、分类思想方法分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。
如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。
又如三角形可以按边分，也可以按角分。
不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。
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转化思想：我们在解题中的困难，一般来说，都是或由于这个问题比较复杂，或由于这个问题不太熟悉。当你遇到较复杂或者你从未见过的一些题目时，一定别害怕，仔细分析，往往能把问题转化成另一种你所熟知的问题，变换其叙述的方式，或改变思考的角度，或把它转化成另一种你所熟悉的问题，从而使问题获得解决，这种思考方法，我们称之为转化思想。
量不变思想：在较复杂的应用题、数学竞赛及智力趣题中，当遇到问题中的某些条件前后发生变化时，有的学生往往抓不住数量关系，无从下手列式。对这类题目，按通常的方法（分析法、综合法、线段图示法、类比法等）进行分析，往往难以奏效。如若采取“抓不变量”的思路，在数量关系的分析中，集中全力抓住“变”中“不变”的量作为突破口，常可使问题迎刃而解。
特殊化思想：看上去似乎很难的某些问题，采用传统的方法去解相当麻烦，但是我们假若放开思想，从特殊情况入手去分析，就有可能使问题迎刃而解。我们称这种思想方法为特殊化思想。由于特殊问题常常比较简单，而且特殊问题的解决孕育着一般问题的解决，因此，特殊化是一种常用的解题思想和探索解题途径的重要方法。
数形结合思想：就是通过“数”与“形”之间的对应、转化来解决数学问题的思想。所谓“数”，就是指数或式，所谓“形”，就是指图形或图像Байду номын сангаас“数”与“形”之间互相依存，对应：“数”是“形”的抽象和概括，“形”是“数”的几何表现；同时，在一定的条件下，它们又可以互相转化：“数”借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念和数量关系直接化、形象化、简单化，而“形”的问题经过数量化处理，并借助于计算，可以使较深的问题归结为较容易处理的数量关系来研究。
常用的数学思想方法简介
整体思想：也就是从整体上考虑题目中的数量关系及性质的方法。运用整体思想解题可使我们不纠缠于局部细节，而能拓宽思路，开阔眼界，洞察题目中的整体与局部的关系。
分类思想：在解数学题时，如不分情况讨论，解题过程就无法进行的时候，我们就要考虑分类的思想。利用分类的方法思考问题、解决问题，这就是分类思想。在分类之前，我们首先要确定一个合适的分类标准，一定要使分类有利用于解题。