四心与向量
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三角形的“四心”与向量的完美结合
三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式
一． 知识点总结 1）O 是的重心;
若O 是的重心，则
故
;
1()3
PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
⇔G 为ABC ∆的重心. 2）O 是的垂心;
若O 是(非直角三角形)的垂心，
则
故 3）O
是的外心(或)
若O 是的外心
则
故 4）O 是内心的充要条件是
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O 是内心的充要条件可以
ABC ∆⇔
=++ABC ∆ABC AOB AOC BOC S 3
1
S S S ∆∆∆∆=
===++ABC ∆⇔
OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅ABC ∆C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆C tan B tan A tan =++ABC ∆⇔|OC ||OB ||OA |==2
2
2
==ABC ∆C
2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：C 2sin B 2sin A 2sin =++ABC ∆0
|
CB ||
CA ||
BC ||
BA |AC
|
AB |(
=-⋅=-⋅=-⋅CA ,BC ,AB 321e ,e ,e ABC ∆
写成
O是内心的充要条件也可以是
若O是的内心，则
故;
||||||0
AB PC BC PA CA PB P
++=⇔
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r
ABC
∆的内心;
向量()(0)
||||
AC
AB
AB AC
λλ
+≠
u u u r
u u u r
u u u r u u u r所在直线过ABC
∆的内心(是BAC
∠
的角平分线所在直线)；
二．范例
(一)．将平面向量与三角形内心结合考查
例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足)
(
AC
AC
AB
AB
OA
OP+
+
=λ，[)
+∞
∈,0
λ则P点的轨迹一定通过ABC
∆的（）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
解析：因为
AB
AB是向量AB u u u r的单位向量设AB u u u r与AC u u u r方向上的
)
e
e(
OC
)
e
e(
OB
)
e
e(
OA
3
2
2
1
3
1
=
+
⋅
=
+
⋅
=
+
⋅
ABC
∆0
OC
c
OB
b
OA
a=
+
+
ABC
∆c
b
a
S
S
S
AOB
AOC
BOC
：
：
：
：=
∆
∆
∆
OC
C
sin
OB
B
sin
OA
A
sin
OC
c
OB
b
OA
a=
+
+
=
+
+或
A
C
B
P
单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e +=λ，
由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.
点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，AB
是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，
HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔
点H 是△ABC 的垂心.
由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证
略））
例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若
⋅=⋅=⋅，则
P 是△ABC 的（D ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心 解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得. 即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即
则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理