四心与向量
向量与三角形四心的关系
向量与三角形四心的关系三角形中的“四心”的向量表示向量既反映数量关系，又体现位置关系，从而能数形结合地用代数方法来研究几何问题，即把几何代数化，从而用代数运算解几何问题。
作为处理几何问题的一种工具，向量方法兼有几何的直观性，表述的简洁性和方法的一般性。
使用向量的第一步，是要在图中指定基向量（基底），这组基底一般是线性无关的。
一旦确定了基向量，在整个问题的解决过程中，以此为依据而进行计算。
在确定点的位置时，经常用向量的线性关系（这是向量的重要性质，贯穿在整个向量法中）来解决;在处理垂直关系，长度关系及交角等问题时，一般用向量的数量积来解决。
一、线共点问题。
解决线共点问题转化为向量共线问题来解决。
=例1、用向量法求证：△ABC 的三条高共点.分析：得BC 与AC 边上的高AD 与BE 交于H ，连接CH ，只要证明CH ⊥AB 即可。
因此，关键是选好基向量. 设l =，m =，n =，则 由⊥，⊥得 ()()()⎩⎨⎧=-⋅=-⋅⋅=⋅=-⋅000l m n l n m n l n l 即由此得 ∴CH ⊥AB ，同理，BC AH ⊥得证。
类似方法，还可以证明：（1）三角形的三条内角平分线交于一点。
(2)三角形的三条中线交与一点。
二、三角形的四心——重心、垂心、外心、内心的向量表示例2、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若-=+，则点O 是△ABC 的重心。
分析：利用-=+及加法的平行四边形法则可证。
拓展：若()AC AB OA OP ++=λ，λ∈(0，+∞)，则点P 的的轨迹一定是△ABC 的_______心。
(重心)例3、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若·=·=·，则点O 是△ABC 的垂心。
分析：·=·得·==0，∴OB ⊥AC 同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB 可证。
拓展1：已知O 是△ABC 平面上一定点，若=+λ⎫⎛+C AC B AB cos cos ，λ∈（0，+∞），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的_______心。
三角形四心和向量
三角形的四心与平面向量总结三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222O O O ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOCsin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4．O是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成0)e e (O )e e (O )e e (O 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。
若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)(例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又=-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将=+代入++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 +=+=+=⇒)()(3+++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略）） 例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心 解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OEOD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
三角形四心与向量的关系
三角形四心与向量的关系三角形是几何学中的基本图形之一，它有许多重要的性质和特点。
在三角形中，有四个特殊的点，它们被称为三角形的四心，分别是重心、外心、垂心和内心。
本文将探讨这四个特殊点与向量之间的关系。
我们来介绍一下三角形的四心。
重心是三角形三条中线交于一点的点，它被定义为三角形三个顶点的坐标的平均值。
外心是三角形外接圆的圆心，它被定义为三角形三个顶点和三个外接圆弧的交点之一。
垂心是三角形三个高线交于一点的点，它被定义为三角形三个顶点和三个高线的交点之一。
内心是三角形的内切圆的圆心，它被定义为三角形三条边的垂直平分线的交点之一。
接下来，我们来研究这些四心与向量之间的关系。
首先，我们来看重心。
重心可以表示为三个顶点向量的平均值。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c，则重心G可以表示为G=(a+b+c)/3。
这个公式说明了重心与向量之间的关系，即重心是三个顶点向量的平均值。
然后，我们来看外心。
外心可以表示为三个顶点向量的线性组合。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c，则外心O可以表示为O=(a+b+c)/2。
这个公式说明了外心与向量之间的关系，即外心是三个顶点向量的线性组合。
接下来，我们来看垂心。
垂心可以表示为三个顶点向量的和的负数。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c，则垂心H可以表示为H=-(a+b+c)。
这个公式说明了垂心与向量之间的关系，即垂心是三个顶点向量的和的负数。
我们来看内心。
内心可以表示为三条边的单位法向量的线性组合。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的边向量为AB、BC、CA，单位法向量为n1、n2、n3，则内心I可以表示为I=(n1+n2+n3)/(|n1|+|n2|+|n3|)。
这个公式说明了内心与向量之间的关系，即内心是三条边的单位法向量的线性组合。
我们可以得出结论：三角形的四心与向量之间有着紧密的关系。
「高中数学」三角形四心与向量.doc
「高中数学」三角形四心与向量
掌握四心问题，解决四心类拓展问题需要掌握住四心问题用向量法的证明方法，另外再结合向量专题中常用的向量共线点共线的结论即可。
重心的证明需要确定出动点所在的向量和中线向量共线即可，即存在常数λ
垂心的证明一般利用动点所在的向量乘对边向量为零。
外心的证明是重心和垂心的结合（中垂线）
内心的证明需要证明动点所在的向量和角平分线所在的向量共线，因此若要出现角平分线，则在两腰长不相等的条件下各自取其单位向量即可。
解读：注意重心在向量专题中的一个常用结论：从重心出发到三个顶点的向量之和(若各自存在系数，则系数相等)为零向量。
题目重点注意等腰三角形底边上的高线，中线重合。
解读：题目也是个结论，需要记下来，判定是什么心，我们需要变形得到共线关系或者向量乘积为0的关系，而且一般也需要从该点到三个顶点的一点的向量和另外两条边长向量的关系，因此该题目很自然想到需要变形，变形之后自然而然也就知道是什么心了。
注意红框中表示两个单位向量相加，之后的向量与角A
角平分线的方向一致。
解读：垂心问题很容易想到需要乘对边所在的向量，这样相乘之后会是0，利用两次即可，解法中给出了用三点共线的方法来求解，比乘向量要简单。
解读：注意向量中如果出现两个数之和为1，则一定要想到肯定存在三点共线，这也是题目出题的题眼所在。
第4讲 向量与四心
第4讲向量与四心四心的概念：外心:三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H 表示)。
重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点。
与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有1设()+∞∈,0λ，则向量AC ABλ必平分∠BAC，该向量必通过△ABC 的内心;2设()+∞∈,0λ，则向量AC AB λ必平分∠BAC 的邻补角3设()+∞∈,0λ，则向量AC AB λ必垂直于边BC，该向量必通过△ABC 的垂心4△ABC 中+一定过BC的中点，通过△ABC 的重心5点O 是△ABC 的外心222OC OB OA ==⇔6点O 是△ABC 的重心0=++⇔OC OB OA 7点O 是△ABC 的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅（移项证明）8点O 是△ABC 的内心=⋅+⋅+⋅⇔c b a (其中a、b、c 为△ABC 三边)9△ABC 的外心O 、重心G 、垂心H 共线，即∥10设O 为△ABC 所在平面内任意一点，G 为△ABC 的重心，，I 为△ABC 的内心，则有)(31OC OB OA OG++=cb a OCc OB b OA a OI ++++=并且重心G（X A +X B +X C 3，Y A +Y B +Y C3）内心I（aX A +bX B +cX C a+b+c ，ay A +by B +cy Ca+b+c）推论（结合奔驰定理）ABC 内有一点O ，0xO A yO B zO C ++=1.如果点O 是ABC 的重心：::1:1:1x y z =2.如果点O 是ABC 的内心：::sin :sin :sin x y z A B C =3.如果点O 是ABC 的外心：::sin 2:sin 2:sin 2x y z A B C =4.如果点O 是ABC 的垂心：::tanA :tanB :tanCx y z =典型例题1．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()[0||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC C λλ=++∈，)+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解答】解： ||sin ||sin AB B AC C =设它们等于t ，∴1()OP OA AB AC tλ=++而2AB AC AD+= 1()AB AC tλ+表示与AD 共线的向量AP 而点D 是BC 的中点，所以即P 的轨迹一定通过三角形的重心．故选：C ．2．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++ ，[0λ∈，)+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心【解答】解：设BC 的中点为D ，(2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++，∴()||cos ||cos AB ACOP OD AB B AC C λ=++，即(||cos ||cos AB ACDP AB B AC Cλ=+，两端同时点乘BC ， ||||cos()||||cos (()(||||)0||cos ||cos ||cos ||cos AB BC AC BC AB BC B AC BC CDP BC BC BC AB B AC C AB B AC Cπλλλ-=+=+=-+=，DP BC ∴⊥，∴点P 在BC 的垂直平分线上，即P 经过ABC ∆的外心故选：D ．3．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(||||AB ACOP OA AB AC λ=++，(0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解答】解：||AB AB 、||ACAC分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，||||AB ACAB AC ∴+的方向与BAC ∠的角平分线重合，又()||||AB AC OP OA AB AC λ=++可得到()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+∴向量AP的方向与BAC ∠的角平分线重合，∴一定通过ABC ∆的内心故选：B ．模拟自测1．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心2．P 是ABC ∆所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ==，则P 是ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心3．已知O 是ABC ∆所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++（其中P 是ABC 所在平面内任意一点），则O 点是ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．已知ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边的长依次为a ，b ，c ，M 为该三角形所在平面内的一点，若0aMA bMB cMC ++=，则M 是ABC ∆的()A ．内心B ．重心C ．垂心D ．外心5．已知O 是平面内一点，且222OA OB OC ==，则O 是ABC ∆的()A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心6．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足222222OA BC OB CA OC AB +=+=+ ，则O 点的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心7已知点O 、N 、P 在ABC ∆所在平面内，且OA OB OC == ，0NA NB NC ++=，PA PB PB PC PC PA ==，则点O 、N 、P 依次为ABC ∆的()A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心8．已知点P 是ABC ∆的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足222AP BC AC AB =- ，则点P 一定是ABC ∆的()A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心9．已知非零向量AB ，AC 满足()0||||AB AC BC AB AC += ，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC∆的形状是()A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形10．已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠角的平分线，I为PC 上一点，满足(0)||||AC APBI BA AC AP λλ=++>，||||4PA PB -= ，||10PA PB -= ，则||BI BABA的值为()A ．2B ．3C ．4D ．5参考答案1）解：令D 为BC 的中点，则()2OP OA AB AC OA AD λλ=++=+ ，于是有2AP AD λ= ，∴点A 、D 、P 共线，即点P 的轨迹通过三角形ABC 的重心．故选：D ．2）解：PA PB PB PC PC PA ==，则由PA PB PB PC =得：()0,0PB PC PA PB AC ⋅-=⋅=即，PB AC∴⊥同理PA BC ⊥，PC AB ⊥，即P 是垂心故选：D ．3）解：由aPA bPB cPCPO a b c ++=++得aPO bPO cPO aPA bPB cPC ++=++ ，即()()()0a PA PO b PA PO c PC PO -+-+-=．即0aOA bOB cOC ++= ．即()()0aOA b OA AB c OA AC ++++=．再设1e 为AB 的单位向量，2e 为AC 的单位向量，所以12()()a b c OA bc e e ++=-+ ，所以12()bcOA e e a b c=-+++ ．则说明O 在A ∠的角平分线上，同理可得O 也在B ∠，C ∠的平分线上，故O 为ABC ∆的内心．故选：B ．4）解：M 是三角形ABC 的内心．理由如下：已知0aMA bMB cMC ++=，延长CM 交AB 于D ，根据向量加法得：MA MD DA =+ ，MB MD DB =+ ，代入已知得：()()0a MD DA b MD DB cMC ++++=，因为MD 与MC共线，所以可设MD kMC = ，上式可化为()(ka kb c MC +++ )0aDA bDB +=，由于DA 与DB 共线，MC 与DA 、DB不共线，所以只能有：0ka kb c ++=，0aDA bDB +=，由0aDA bDB += 可知：DA 与DB 的长度之比为b a，所以由内角平分线定理的逆定理可得CD 为ACB ∠的平分线，同理可证AM ，BM 的延长线也是角平分线．故M 为内心．故选：A ．5）解：O 是平面内一点，且222OA OB OC == ，可得：||||||OA OB OC ==，所以O 是ABC ∆的外心．故选：B ．6）解：BC OC OB =- ，CA OA OC =- 、AB OB OA =-，∴由222222OA BC OB CA OC AB +=+=+ ，得222222()()()OA OC OB OB OA OC OC OB OA +-=+-=+- ，OB OC OA OC OA OB ∴== ，即()()()OC OB OA OA OC OB OB OC OA -=-=- ，OC AB OA BC OB AC ∴== ，则OC AB ⊥，OA BC ⊥，OB AC ⊥．O ∴是ABC ∆的垂心．故选：D ．7）证明： OA OB OC ==，O ∴到三角形三个顶点的距离相等，O ∴是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C ，D 两个选项，∴只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，PA PB PB PC PC PA == ，∴()0PB PA PC -=，∴0PB CA =，∴PB CA ⊥ ，同理得到另外两个向量都与相对应的边垂直，得到P 是三角形的垂心，故选：C ．8）解：设D 为BC 的中点，可得2AC AB AD +=22()()AC AB AC AB AC AB -=+- ，∴点P 满足2222()AP BC AC AB AD AC AB =-=-，向量BC AC AB =- ，∴22AP BC AD BC = ，移项得2()0BC AD AP -=即0BC PD = ，得BC PD ⊥．结合D 为BC 的中点，可得P 在BC 的垂直平分线上又 点P 是ABC ∆的内心、外心、重心和垂心之一∴结合三角形外接圆的性质，得点P 是ABC ∆的外心故选：B ．9）解：()0||||AB AC BC AB AC += ，||AB AB ，||ACAC分别为单位向量，A ∴∠的角平分线与BC 垂直，AB AC ∴=，1cos ||||2AB AC A AB AC == ，3A π∴∠=，3B C A π∴∠=∠=∠=，∴三角形为等边三角形．故选：D ．10）解： ||||10PA PB AB -==，PC 是APB ∠角的平分线，又满足(0)||||AC AP BI BA AC AP λλ=++>，即(||||AC APAI AC AP λ=+，所以I 在BAP ∠的角平分线上，由此得I 是ABP ∆的内心，过I 作IH AB ⊥于H ，I 为圆心，IH 为半径，作PAB ∆的内切圆，如图，分别切PA ，PB 于E 、F ，||||4PA PB -= ，||10PA PB -=，11||||(||||||)[||(||||)]322BH BF PB AB PA AB PA PB ==+-=--=，在直角三角形BIH 中，||cos ||BH IBH BI ∠= ，所以||cos ||3||BI BA BI IBH BH BA =∠==．故选：B ．。
三角形四心和向量的关系
三角形四心和向量的关系三角形四心和向量的关系，听起来可能有点高深，但其实这其中的奥妙，咱们可以轻松聊聊。
三角形有四个重要的“心”，分别是重心、内心、外心和垂心。
说白了，这些心就像是三角形的小秘密，它们各自的位置和特性，能让我们更好地理解三角形的构造。
想象一下，重心就像那种总能把大家聚在一起的朋友，嘿，谁都愿意跟它在一起，三角形的质量分布就是围绕着它的。
它是三条中线的交点，简单说就是把三角形“撑开”之后，能够让每一部分都平衡的地方。
内心就是个温暖的地方，哦，这里是三角形内切圆的中心，形象点说就像是一个小小的避风港，三角形里的每一点到它的距离都差不多。
你可以想象一下，在一个雨天，大家都挤在这个小港湾里避雨，它的存在让三角形显得更圆满。
再说外心，它的神秘感十足，简直就是个三角形的守护者。
外心是三角形外接圆的中心，想象一下，外心就像是为三角形“披上外衣”，让它的每个角都显得那么得体。
三角形的每一个角都能指向这个心，形成一个美丽的圆，像是为三角形加冕一样，优雅极了。
再谈谈垂心，嘿，它的性格有点酷。
垂心是从一个顶点落下的垂线与对边的交点。
这个点就像是个叛逆的小家伙，总是让人意想不到。
它的存在让我们能更好地理解三角形的高度和形状，毕竟高度可不是随随便便就能到的。
每个三角形的形状各不相同，垂心的位置也是千变万化，真是让人看了又爱又恨。
四个心之间的关系，也可以用向量来表达。
向量嘛，简单来说就是一种“指向”，它可以告诉我们心与心之间的距离和方向。
比如说，从重心到内心的向量，可以看作是三角形的一部分特征，这就像是你和你最好的朋友之间的默契，虽然有时候会有距离，但心里明白彼此总是相互吸引。
再比如，重心到垂心的向量，能够告诉我们三角形的高度变化。
试想一下，向量的变化就像是三角形的成长，随着形状的变化，它们的关系也在不断调整。
这就好比生活中的关系，人与人之间的距离和方向时刻在变化。
三角形的四个心，不就是象征着我们生活中不同的角色吗？有时你是重心，有时你又是那种在外拼搏的外心，内心时而温暖，时而也有点叛逆。
向量与正方形四心结合(纯干货)
向量与正方形四心结合(纯干货)本文将介绍向量与正方形四个特殊点的关系，即正方形的四心，包括重心、外心、内心和垂心。
1. 正方形的定义正方形是一种特殊的四边形，具有以下特点：- 四条边相等- 任意两条相邻边垂直- 任意两个相对角相等2. 向量的基本概念向量是具有大小和方向的量，可以表示为箭头或有向线段。
向量有三种表示方式：1. 以坐标表示：(x, y)2. 以位置向量表示：AB（表示从点A指向点B的向量）3. 以分量表示：向量的水平方向分量和垂直方向分量3. 正方形的四心正方形的四个特殊点被称为四心，它们分别是：1. 重心：正方形对角线交点的中点，表示为G。
2. 外心：正方形的四个顶点到外接圆圆心的连线交点，称为O。
3. 内心：正方形内接圆的圆心，表示为I。
4. 垂心：正方形的四边的垂心所形成的四边形的垂心，表示为H。
4. 向量与正方形四心的关系向量与正方形四心之间存在以下关系：- 重心：连接正方形两对对角线中点的向量与重心的向量相等，即OG = GH = GI = GO / 3。
- 外心：外心的向量等于正方形顶点向量的平均值，即O = (A+ B + C + D) / 4。
- 内心：内心的向量等于正方形两边中点向量的平均值，即I = (AB/2 + BC/2 + CD/2 + DA/2) / 4。
- 垂心：垂心与正方形的顶点之间的向量的和为0，即AH +BH + CH + DH = 0。
5. 应用举例以下是一些与向量与正方形四心相关的典型应用：- 判断四边形是否为正方形：可以通过验证正方形的四心关系来判断一个四边形是否为正方形。
- 计算正方形的四心坐标：已知正方形的顶点坐标，可以利用向量的性质计算出正方形的四心坐标。
以上就是关于向量与正方形四心结合的纯干货介绍。
参考资料：。
三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）
三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
平面向量与四心(向量与三角形内心、外心、重心、垂心),含答案,上课直接用
补充：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合（1）证明：⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.（2）证明：⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.*（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：b AC c AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量，∴bACc AB +平分BAC ∠,(λ=∴AO b AC c AB +)，令c b a bc ++=λ∴cb a bcAO ++=（b AC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a ∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．3C ．23D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21B ．0C ．1D ．21-3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23C ．45D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =7．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形 8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 9.在△ABC 中，已知向量21||||0||||(==⋅+AC ACAB ABBC AC AC AB AB AC AB 满足与，则△ABC 为（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形 10. 在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(OC OB OA +⋅的最小值为 .补充：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇答案一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
高三数学-专题复习-向量专题(1)向量与三角形四心内心、外心、重心、垂心(附向量知识点)
高三数学-三角形四心与向量关系 -内心、外心、重心、垂心（附向量知识点）一、三角形四心知识点（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、向量知识点☆零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行☆单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量☆向量加法AB BC u u u r u u u r =AC u u ur 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．☆实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的☆两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =☆平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底☆平面向量的坐标运算：(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y r r ，1212a b x x y y rr (2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r，则a b r r ，02121 y y x x☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质☆两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r 与b r 的数量积（或内积） 规定0a r r☆向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影☆数量积的几何意义： a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r 方向上的投影的乘积☆向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r☆乘法公式成立：2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a ba ab b r r r r r r 222a a b b r r r r☆向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA uu u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB= （001800 ）叫做向量a r与b r 的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充： 线段的定比分点设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在P x y P x y P x y P P P 11122212ll 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212P P P P P P P P 12121200所成的比（，在线段内，，在外），且x x x y y y P P P x x x y y y12121212121122 ，为中点时， 如：，，，，，， ABC A x y B x y C x y 112233则重心的坐标是， ABC G x x x y y y 12312333三、三角形四心与向量关系典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)( ， ,0 ，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 分析：如图所示ABC ，E D 、分别为边AC BC 、的中点.2 2 2 // 点P 的轨迹一定通过ABC 的重心，即选C .例2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足， ,0 ，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分BAC ,点P 的轨迹一定通过ABC 的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足， ,0 ，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足.BC=0点P 的轨迹一定通过ABC 的垂心，即选D .三、四心与向量的结合（1） 0OC OB OA O 是ABC 的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O0OC OB OA)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x33321321y y y y x x x x O 是ABC 的重心. 证法2：如图OC OB OA 02 OD OA OD AO 2D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 O 是ABC 的重心（2） OA OC OC OB OB OA O 为ABC 的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)( AC OB 同理BC OA ，AB OC O 为ABC 的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是 ABC 的内心BCDB CDO c b a 为ABC 的内心.证明：bc 、分别为方向上的单位向量，bc平分BAC , (AO bc)，令c b a bcc b a bc （bACc AB) 化简得0)( AC c AB b OA c b a0 OC c OB b OA a（4O 为ABC 的外心。
四心的向量表示方法
四心的向量表示方法引言：在数学和计算机科学中，向量是一种重要的数学工具，可以用来表示物理量、数据集以及抽象的概念等。
四心是指一个由四个关键点组成的几何结构，它在图像处理、机器学习和计算机视觉等领域发挥着重要的作用。
本文将介绍四心的向量表示方法，以及其在实际应用中的意义和优势。
一、四心的定义和特性四心是指一个由四个关键点组成的几何结构，其中包括内心、垂心、外心和重心。
这四个点具有以下特性：1. 内心是指由三角形的三条角平分线的交点构成的点，它到三角形的三个顶点的距离相等。
2. 垂心是指由三角形的三条边的垂直平分线的交点构成的点，它到三条边的距离相等。
3. 外心是指由三角形的三条边的中垂线的交点构成的点，它到三个顶点的距离相等。
4. 重心是指由三角形的三个顶点的中点构成的点，它到三个顶点的距离成比例。
二、四心的向量表示方法为了方便计算和使用，我们可以将四心表示为向量的形式。
下面是四心的向量表示方法：1. 内心的向量表示方法：内心的向量表示方法是将内心的坐标表示为三个顶点坐标的线性组合，即：内心坐标 = (顶点1坐标 + 顶点2坐标 + 顶点3坐标) / 32. 垂心的向量表示方法：垂心的向量表示方法是将垂心的坐标表示为三个顶点坐标的线性组合，即：垂心坐标 = (顶点1坐标 + 顶点2坐标 + 顶点3坐标) / 33. 外心的向量表示方法：外心的向量表示方法是将外心的坐标表示为三个顶点坐标的线性组合，即：外心坐标 = (顶点1坐标 + 顶点2坐标 + 顶点3坐标) / 34. 重心的向量表示方法：重心的向量表示方法是将重心的坐标表示为三个顶点坐标的线性组合，即：重心坐标 = (顶点1坐标 + 顶点2坐标 + 顶点3坐标) / 3三、四心的应用意义和优势四心的向量表示方法在实际应用中具有以下意义和优势：1. 方便计算和使用：四心的向量表示方法可以简化计算过程，减少了对复杂几何结构的处理和计算。
2. 提高效率和精度：四心的向量表示方法可以提高计算效率和精度，减少计算误差和数据处理的复杂性。
三角形“四心”向量形式的结论及证明
三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。
它们的位置可以用向量的形式来描述。
本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。
1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。
证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。
而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。
因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
根据向量加法的性质，可以得到上述结论。
2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。
用O表示外心。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。
其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。
证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。
根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。
根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。
三角形“四心” 与向量的完美结合
三角形的“四心”与向量的完美结合三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一． 知识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔=++; 若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222==) 若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是(=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 C sin B sin A sin c b a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二． 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
三角形中的四心与向量
三角形中的四“心”与向量平面几何中的三角形四“心”，即三角形的内心（内角平分线的交点，内切圆的圆心）、重心（中线的交点）、垂心（高线的交点）、外心（各边垂直平分线的交点，三角形外接圆的圆心）。
在引入向量这个工具后，我们可以通过向量来表示三角形的四“心”，这样使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识。
一、重心：例1、已知O 是ABC V 所在平面上的一点，若0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ,则O 是ABC V的A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】若0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则=OA OB OC +-u u u r u u u r u u u r ，以,OA OB u u u r u u u r 为邻边作平行四边形'OAC B ，设OC 与AB 交于点D ，则D 为AB 中点，有'=OA OB OC +u u u u r u u u r u u u r ，得'=OC OC -u u u u r u u u r ，即',,,C O D C 四点共线，故CD 为ABC V 的中线，同理,AE BF亦为ABC V 的中线，所以O 是ABC V 的重心。
例2、已知O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足(),(0,)OP OA AB AC λλ=++∈+∞u u u r u u u r u u u r u u u r ，则动点P 的轨迹一定通过ABC V 的A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】上式可化为()AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，当(0,)λ∈+∞时，由于()AB AC λ+u u u r u u u r 表示BC 边上的中线所在直线的方向向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC V 的重心。
高中数学：三角形四心与向量
三角形四心的向量表示知识点总结奔驰定理：O 为ABC 内的一点，,,BOC AOC AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=1.重心（1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;说明：若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;（2）P 为ABC 所在平面内的一点，1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 证明 ：CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））2．垂心（1）O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心⇔0OC C tan OB B tan OA A tan =++;说明：若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C tan OB B tan OA A tan=++（2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;3．外心（1）O 是ABC ∆(非直角三角形)的外心⇔0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++;说明：若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OAA 2sin =++（2）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OCOB OA ==)4．内心（1）O 是ABC ∆内心⇔0OC c OB b OA a =++ 。
高考数学专题平面向量与三角形的四心(含解析)
2023届高考专题——平面向量与三角形的“四心”一、三角形的“四心”(1)重心：三角形的三条中线的交点；O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)垂心：三角形的三条高线的交点；O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；(3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)；(4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O 是△ABC 的内心⇔OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|＝0. 注意：向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．类型一 平面向量与三角形的“重心”问题例1 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( C )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点 [解析] 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]， ∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →] ＝21－λ3OD →＋1＋2λ3OC →， 而21－λ3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线， ∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．类型二 平面向量与三角形的“外心”问题例2 设P 是△ABC 所在平面内一点，若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，且AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，则点P 是△ABC 的( A )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[解析] 由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0，即AB →·[(CB →－CP →)＋(CA →－CP →)]＝0，所以AB →·(PB →＋PA →)＝0.设D 为AB 的中点，则AB →·2PD →＝0，故AB →·PD →＝0.由AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝－2BC →·AP →，即(AB →＋AC →－2AP →)·BC →＝0.设E 为BC 的中点，则(2AE →－2AP →)·BC →＝0，则2PE →·BC →＝0，故BC →·PE →＝0.所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点，所以P 是△ABC 的外心．故选A ．跟踪练习在△ABC 中，O 为其外心，OA ―→·OC ―→＝3，且 3 OA ―→＋7OB ―→＋OC ―→＝0，则边AC 的长是________．[解析] 设△ABC 外接圆的半径为R ，∵O 为△ABC 的外心，∴|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝R ，又 3 OA ―→ ＋7 OB ―→＋OC ―→＝0，则 3 OA ―→＋OC ―→＝－7OB ―→，∴3OA ―→2＋OC ―→2＋2 3OA ―→·OC ―→＝7OB ―→2，从而OA ―→·OC ―→＝32R 2，又OA ―→·OC ―→＝3，所以R 2＝2，又OA ―→·OC ―→＝|OA ―→||OC ―→|cos ∠AOC ＝R 2cos ∠AOC ＝3，∴cos ∠AOC ＝32，∴∠AOC ＝π6，在△AOC 中，由余弦定理得AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos∠AOC ＝R 2＋R 2－2R 2×32＝(2－3)R 2＝4－23．所以AC ＝3－1． 类型三 平面向量与三角形的“垂心”问题例3 (2022·济南质检)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB―→|AB ―→|cos B ＋|AC ―→||AC ―→|cos C ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心 [解析] OP ―→－OA ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，BC ―→·AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC ―→·AB ―→|AB ―→|cos B ＋BC ―→·AC ―→|AC ―→|cos C ＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫|BC ―→||AB ―→|cos π－B |AB ―→|cos B ＋|BC ―→||AC ―→|cos C |AC ―→|cos C ＝λ(－|BC ―→|＋|BC ―→|)＝0，所以BC ―→⊥AP ―→，动点P 在BC 的高线上，动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心，故选C ．类型四 平面向量与三角形的“内心”问题例4 在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝2，AD →＝12AB →＋34AC →，则直线AD 通过△ABC 的( D ) A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心[解析] ∵|AB →|＝3，|AC →|＝2，∴12|AB →|＝34|AC →|＝32.设AE →＝12AB →，AF →＝34AC →，则|AE →|＝|AF →|.∵AD →＝12AB →＋34AC →＝AE →＋AF →，∴AD 平分∠EAF ， ∴AD 平分∠BAC ，∴直线AD 通过△ABC 的内心．跟踪练习(2022·海南模拟)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP ―→＝x OB ―→＋y OC ―→，其中x ，y ∈[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A ．1063B ．1463C ．4 3D ．6 2 [解析] 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7．设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763．故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463． 二、三角形形状的判断在△ABC 中，①若|AB →|＝|AC →|，则△ABC 为等腰三角形；②若AB →·AC →＝0，则△ABC 为直角三角形；③若AB →·AC →<0，则△ABC 为钝角三角形；④若AB →·AC →>0，BA →·BC →>0，且CA →·CB →>0，则△ABC 为锐角三角形；⑤若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则△ABC 为直角三角形；⑥若(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 为等腰三角形．例5 (2022·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( C )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 [解析] 由题意知CB →·(AB →＋AC →)＝0.所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C ．〔变式训练4〕(1)若P 为△ABC 所在平面内一点．①若(OP →－OA →)·(AB →－AC →)＝0，则动点P 的轨迹必过△ABC 的垂心.②若OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)(λ≥0)，则动点P 的轨迹必过△ABC 的重心.③若CA →2＝CB →2－2AB →·CP →，则动点P 的轨迹必过△ABC 的外心.(2)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( D )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形[解析] (1)①由题意知AP →·CB →＝0，∴AP ⊥BC ，∴动点P 必过△ABC 的垂心；②由题意知AP →＝λ(AB →＋AC →)＝2λAM →(M 为BC 中点)∴P 、A 、M 共线，∴P 必过△ABC 的重心；③2AB →·CP →＝CB →2－CA →2＝(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝AB →·(CB →＋CA →)，即2AB →·CP →＝AB →·(CB →＋CA →)，∴AB →·(2CP →－CB →－CA →)＝AB →·(BP →＋AP →)＝0.∴以BP →，AP →为邻边的平行四边形的对角线互相垂直．∴点P 在线段AB 的中垂线上，∴P 必过△ABC 的外心．(2)因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ．又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D ．。
三角形四心的向量公式及证明
三角形四心的向量公式及证明在我们的数学世界里，三角形可是个相当重要的角色。
而三角形的“四心”——重心、外心、内心和垂心，更是藏着许多有趣的秘密，特别是它们与向量公式之间的奇妙关系。
先来说说重心。
重心是三角形三条中线的交点。
假设三角形的三个顶点分别是 A(x₁,y₁) 、B(x₂,y₂) 、C(x₃,y₃) ，那么重心 G 的坐标就是 ((x₁ + x₂ + x₃) / 3, (y₁ + y₂ + y₃) / 3) 。
这背后的向量公式是这样的：若有向量 \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\) ，则点 G 就是重心。
给大家举个小例子吧，我曾经在课堂上给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就特别好奇地问我：“老师，这重心在生活中有啥用啊？”我笑着回答他：“你想想看啊，假如我们要做一个三角形的风筝，要让它飞得稳，重心的位置就得找好，不然它可就歪歪扭扭飞不起来啦！”这一下，同学们都恍然大悟，对重心的理解也更深刻了。
再聊聊外心。
外心是三角形三边中垂线的交点，也就是三角形外接圆的圆心。
若点 O 是外心，那么 \(|\overrightarrow{OA}| =|\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|\) 。
说到外心，我想起有一次带学生们在操场上做数学实践活动。
我们用绳子和标杆模拟画出三角形，然后一起找它的外心。
同学们兴致勃勃，七嘴八舌地讨论着，那场面别提多热闹了。
接着是内心。
内心是三角形三条内角平分线的交点，也就是内切圆的圆心。
若点 I 是内心，\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{IA} +\overrightarrow{b}\overrightarrow{IB} +\overrightarrow{c}\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}\) （其中 a、b、c 是三角形三边的长度）。
向量与三角形四心结论
向量与三角形四心结论在几何学中，向量与三角形的四心结论是一个重要的定理，也是研究三角形内部向量的有用结论。
这一定理指出，如果三角形的三个内角的对应边的中点连接在一起，则这三个内角的乘积等于三个半周长的乘积。
本文将研究“向量与三角形四心结论”。
首先讨论向量与三角形四心结论的定义。
它是指三角形内的三个内角的对应边的中点向量的乘积等于三个半周长的乘积。
用符号表示为：AM * BM * CM = 2 * R * (A + B + C)，其中，AM是三角形ABC内角A的边BC的中点M的向量，BM是三角形ABC内角B的边AC的中点的向量，CM是三角形ABC内角C的边AB的中点的向量，R是三角形ABC的半径，A、B、C是三角形ABC的内角。
接下来，考虑“向量与三角形四心结论”的证明。
由于中点向量的乘积，可以用调和公式得到：AM * BM * CM = (AB + AC + BC) * (AB + AC - BC) * (AB - AC + BC) * (- AB + AC + BC)，接着，回到原来的公式，AM * BM * CM = 2 * R * (A + B + C)，从而，就可以用展开二次方程的方法来证明“向量与三角形四心结论”。
最后，讨论“向量与三角形四心结论”的应用。
三角形内向量的乘积是由“向量与三角形四心结论”来确定的，因此，“向量与三角形四心结论”可以用于求解三角形内部向量的乘积。
此外，“向量与三角形四心结论”也可以用来判断三角形是不是等腰三角形，从而帮助我们分析三角形的形状特征。
综上所述，“向量与三角形四心结论”是一个重要的定理，它可以用来研究三角形内部的向量乘积，也可以用来判断是不是等腰三角形，帮助我们分析三角形的形状特征。
相信随着今后的进一步研究，“向量与三角形四心结论”会发挥更大的作用，为几何学的研究和应用提供更多的依据。
三角形的“四心”与平面向量
线( O ， G ， H 三点连线称为欧拉线)，且 OG ＝ GH .
三角形的“四心”与平面向量
题型一 三角形的“重心”与平面向量
重心：三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点距离与该点
到对边中点距离之比为2∶1.
在向量表达形式中，设点 G 是△ ABC 所在平面内的一点，则当点 G
1
是△ ABC 的重心时，有 ＋ ＋ ＝0或 ＝ ( ＋ ＋ )(其
｜｜cos
所以 ＝ － ＝λ
所以 · ＝ ·λ
＋
｜｜cos
｜｜cos
｜｜cos
＋
＋
，
｜｜cos
｜｜cos
｜ ｜)＝0，
所以 ⊥ ，所以点 P 在 BC 的高线上，
即动点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的垂心.
示△ AB 1 C 1的面积，
1
1
所以 S △ COA ＝ S ， S △ AOB ＝ S ，
9
6
1
1
1
1
S △ BOC ＝ △1 ＝ × △1 1 ＝ S .
2
2
3
18
1
1
1
于是 S △ BOC ∶ S △ COA ∶ S △ AOB ＝
平行四边形为OAC'B， OC 与 AB 交于点 D (图略)，则 D 为 AB 的中点，由
＋ ＝ ′ 得， ＝－ ′ ，即 C ， O ， D ，C'四点共线，故 CD
为△ ABC 的中线，所以 O 在边 AB 的中线上，同理可证， O 在边 AC 的中
线上， O 在边 BC 的中线上，所以 O 是三角形 ABC 的重心.
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三角形的“四心”与向量的完美结合三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式一． 知识点总结 1）O 是的重心;若O 是的重心，则故;1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r⇔G 为ABC ∆的重心. 2）O 是的垂心;若O 是(非直角三角形)的垂心，则故 3）O是的外心(或)若O 是的外心则故 4）O 是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记的单位向量为，则刚才O 是内心的充要条件可以ABC ∆⇔=++ABC ∆ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆====++ABC ∆⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅ABC ∆C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆C tan B tan A tan =++ABC ∆⇔|OC ||OB ||OA |==222==ABC ∆C2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：C 2sin B 2sin A 2sin =++ABC ∆0|CB ||CA ||BC ||BA |AC|AB |(=-⋅=-⋅=-⋅CA ,BC ,AB 321e ,e ,e ABC ∆写成O是内心的充要条件也可以是若O是的内心，则故;||||||0AB PC BC PA CA PB P++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r rABC∆的内心;向量()(0)||||ACABAB ACλλ+≠u u u ru u u ru u u r u u u r所在直线过ABC∆的内心(是BAC∠的角平分线所在直线)；二．范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACACABABOAOP++=λ，[)+∞∈,0λ则P点的轨迹一定通过ABC∆的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为ABAB是向量AB u u u r的单位向量设AB u u u r与AC u u u r方向上的)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131=+⋅=+⋅=+⋅ABC∆0OCcOBbOAa=++ABC∆cbaSSSAOBAOCBOC：：：：=∆∆∆OCCsinOBBsinOAAsinOCcOBbOAa=++=++或ACBP单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，AB是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心.由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得. 即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC的重心ABCE DO ⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3+++++=∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CGBG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r，由平行四边形性质知12OE OD =u u u r u u u r，2OA OE=，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为21λ=。
本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。
(四)．将平面向量与三角形外心结合考查例7若O 为ABC ∆内一点，OA OB OC==u u u r u u u r u u u r，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心 解析：由向量模的定义知O 到ABC ∆的三顶点距离相等。
故O 是ABC ∆ 的外心 ，选B 。
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题）证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =21-， 同理2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-， ∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形. 反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |. 即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.例9．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。
求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。
AB(x 1,0)C(x 2,y 2)yx HQG DEF【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。
设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：112222,0)(,)(,)22222x x x y x y E F +D （、、 由题设可设1324,)(,)2x Q y H x y （、,122(,)33x x y G +212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--u u u u r u u u r ，212(,)BC x x y =-u u u r2212422142()0()AH BC AH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-u u u u r u u u r Q u u u u r u u u r212223221232()()0222()22QF AC x x yQF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+u u u r u u u u r Q u u u r u u u u r121221224323()(,),)22x x x x x x y QH x y y --∴=--=--u u u u r 2（22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1 (,)(,)6321 =3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH+--∴=--=------=--=--u u u r u u uu r 222（62y 66y 22y 即=3QH QG u u u u r u u u r，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH =1：2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。
例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证OC=.OH++OBOA Array证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.∴ABAD⊥，BCCD⊥.又垂心为H，BCCH⊥，AH⊥，AB∴AH∥CD，CH∥AD，∴四边形AHCD为平行四边形，∴OC+DO=+=.OAOH+AHDC=AH+=，故OCOBOA著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。