去绝对值化简(教师版)
第03讲 绝对值 有理数的大小比较(九大题型)(教师版)24-25学年六年级数学上册同步(沪教版)
第03讲绝对值有理数的大小比较（九大题型）学习目标1、了解绝对值的意义；2、会求一个数的绝对值；3、掌握绝对值的化简；4、知道对有理数大小比较的方法。
一、绝对值的意义1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．要点：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．二、绝对值性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．三、有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：同为正号：绝对值大的数大两数同号同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数正数与0：正数大于0－数为0负数与0：负数小于0要点：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小．拓展：3．作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4．求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b <，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5．倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．【即学即练1】．123-的绝对值是 ．【即学即练2】．比较大小：12- ﹣5；﹣|﹣2| ﹣（﹣2）．(0)||0(0)(0)a a a a a a >ìï==íï-<î∵﹣|﹣2|=﹣2，﹣（﹣2）=2，∴﹣|﹣2|＜﹣（﹣2）；∵﹣23=﹣8，﹣32=﹣9，∴﹣23＞﹣32．考点：实数的大小的比较【即学即练3】．用符号表述“正数的绝对值等于它本身”，正确的是（ ）A ．(0)a a a =>B ．(0)a a a =<C ．()0a a a =-³D ．()0a a a =-£A ．3B ．3-C ．21x -D ．12x-题型1：求一个数的绝对值【典例1】．．2024-的绝对值是（ ）A ．2024B ．2024-C ．12024D ．12024-【答案】A【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义解答即可．【解析】解：2024-的绝对值是2024，故选：A ．【典例2】．．实数3-的绝对值是 （ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．13【答案】A【分析】本题考查了实数的绝对值，掌握“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”是解题的关键．根据一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案．【解析】解：3-的绝对值是3．故选：A ．题型2：绝对值与相反数【典例3】．．0.2的相反数的绝对值为（ ）A ．5-B ．0.2C ．5D ．0.2-【典例4】．．2024--的相反数是（ ）A ．2024-B ．2024C ．12024-D ．12024【典例5】．．12024-的相反数是（ ）A ．12024-B ．12024C ．2024D ．－2024【答案】A【分析】本题考查了化简绝对值以及相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可作【典例6】．．3-的绝对值的相反数是（ ）A ．3-B ．3C ．13D ．0【答案】A【分析】本题考查了绝对值和相反数，理解绝对值和相反数的含义是解题的关键．先求出3-的绝对值，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．【解析】3-的绝对值是3，3的相反数是3-．故选：A ．【典例7】．．在()4--，|1|-，|0|-，p -四个数中非负数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【典例8】．．绝对值是2的数是（ ）A ．1-B ．12-C ．2±D ．12±【答案】C【分析】本题考查绝对值的定义：绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值．理解绝对值的定义是解题的关键．【解析】根据绝对值的定义可知，2和2-的绝对值都是2．故选择：C【典例9】．．如果一个数的绝对值等于23，则这个数是 ．故答案为：23或23-．【典例10】．．下列说法正确的是（ ）A ．一个数的绝对值一定是正数B ．一个数的相反数一定是负数C ．若不相等的两个数的绝对值相等，则这两个数互为相反数D ．整数的绝对值大于分数的绝对值【典例11】．．绝对值不大于6的整数有 个．【答案】13【分析】本题主要考查的是有理数大小比较和绝对值，求得符合条件的数是解题的关键．依次列出绝对值不大于6的整数即可解答．【解析】解：绝对值不大于6的整数有：6±，5±，4±，3±，2±，1±，0．绝对值不大于6的整数有13个．故答案为：13．题型4：绝对值与数轴【典例12】．．如图，数轴上被墨水遮盖的数的绝对值可能是（ ）A ．72-B ．52-C ．72D ．52【答案】C【分析】本题主要考查了有理数与数轴，求一个数的绝对值．根据数轴确定该数的绝对值在3到4之间即可判断．【解析】解：由题意得，遮住的数在4-到3-之间，∴遮住的数的绝对值在3到4之间，∴四个选项中只有C 选项符合题意，故选：C ．【典例13】．．如图，数轴上被遮挡住的整数的绝对值是（ ）A ．1B ．3-C ．1-D ．0【答案】A 【分析】本题考查数轴以及绝对值的定义，根据数轴上点的特征可知遮住的点表示的数是1-，再根据绝对值的定义求解即可．【解析】解：根据数轴上点的特征可知遮住的点表示的数是1-，1-的绝对值是1，故选A ．题型5：有理数的大小比较【典例14】．．比较下列各对数的大小：(1)3和7-．(2) 5.3-和( 5.4)-+．(3)45-和23-．(4)(7)--和1-．【典例15】．．下列四个数中，最小的是（ ）A ．3-B ． 3.5-C ．0D ．|5|-【答案】B【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值，熟练掌握两个负数比较，绝对值小的反而大是解题的关键．根据两个负数比较，绝对值小的反而大，负数小于0，0小于正数，即可解答．【解析】解：∵|3|3-=，| 3.5| 3.5-=，∴3.53>，∴ 3.53-<-，∵|5|5-=，∴在|3, 3.5,05|---，这四个数中， 3.5305||--<-<<，∴最小的是 3.5-，故选：B ．【典例16】．．比 2.99-小的最大整数是 ．【答案】3-【分析】此题主要考查了有理数大小比较，正确理解最大整数定义是解题关键．根据有理数大小比较即可得比 2.99-小的最大整数是3-．【解析】解：比 2.99-小的最大整数是3-．故答案为：3-．【典例17】．．在有理数中，既不是正数也不是负数的数是 ；最小的非负数是 ；最大的非正数是；【答案】 0 0 0【分析】本题考查了有理数的分类，有理数包括正数，0，负数；非负数是0和正数，非正数是0和负数，根据有理数大小比较的法则即可得出正确答案．【解析】解：根据有理数包括正数，0，负数，可知既不是正数也不是负数的数是0．由于正数大于0，所以最小的非负数是0；由于负数小于0，所以最大的非正数是0．故答案为：0，0，0．【典例18】．．（1）在数轴上分别表示出下列三个数：(1)--，4-，()2.5+-，（2）有理数m 、n 在数轴上的对应点如图所示：①在数轴上分别表示出数n -，m ，②把m ，n ，n -，m 这四个数从小到大用“<”号连接．较有理数的大小，掌握以上基础知识是解本题的关键．【典例19】．．对于一个数，给定条件A ：该数是负整数，且大于3-；条件B ：该数的绝对值等于2，那么同时满足这两个条件的数是 ．【答案】2-【分析】本题考查了绝对值和有理数大小比较，首先根据有理数大小比较的方法，可得大于3-的负整数有：2-、1-；然后根据绝对值即可求解；会求限定范围的负整数及一个数的绝对值是解题的关键．【解析】解：Q 大于3-的负整数有：2-、1-，绝对值等于2的数有两个：2-、2，\同时满足这两个条件的数是2-．故答案为：2-．题型6：有理数大小比较的实际应用【典例20】．．2024年1月1日，我市某地4个时刻的气温（单位：C °）分别为4-，0，1，3-，其中最低的气温是．【答案】4-【分析】本题主要考查有理数的大小比较；由题意可根据有理数的大小比较进行求解．【解析】解：∵4301-<-<<，∴最低的气温是4C -°；故答案为：4-．【典例21】．．检查5个足球的质量（克），把超过标准质量的克数记为正数，低于标准质量的克数记为负数，数据统计结果如下表：足球编号12345与标准质量的差（克）5+7+3-9-9+则最接近标准质量的是号足球．（只填写编号）【典例22】．．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表：做乒乓球的同学李明张兵王敏余佳赵平蔡伟检测结果0.031+0.017-0.023+0.021-0.022+0.011-(1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？(2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？【答案】(1)张兵和蔡伟做的合乎要求(2)蔡伟做的质量最好；李明做的较差【分析】（1）绝对值大于0.02的就都是不合格的，所以张兵、蔡伟合格；（2）绝对值越小质量越好，越大质量越差，所以蔡伟最好、李明最差．【解析】（1）解：Q |0.031|0.031+=，|0.017|0.017-=，|0.023|0.023+=，|0.021|0.021-=，|0.022|0.022+=，|0.011|0.011-=，\0.0310.02>，0.0170.02<，0.0230.02>，0.0210.02>，0.0220.02>，0.0110.02<，∵直径与规定直径不超过0.02毫米的误差视为符合要求，张兵的是−0.017，蔡伟的是−0.011不超过0.02毫米的误差，∴张兵和蔡伟做的乒乓球是符合要求的；（2）解：Q |0.031||0.023||0.022||0.021||0.017||0.011|+>+>+>->->-，∴6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名为：蔡伟、张兵、余佳、赵平、王芳、李明，∴蔡伟做的质量最好，李明同学做的质量最差，答：蔡伟做的质量最好；李明做的较差．【点睛】本题考查正数与负数的实际运用，涉及绝对值运算，弄清题意是解本题的关键．题型7：绝对值的非负性及应用【典例23】．．若|||10|3-+-=a b ，则=a ，b = ．【典例24】．．若a a -=-，a 一定是（ ）A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数【典例25】．．下列说法正确的是（ ）A ．a --一定是负数B ．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等C ．若a b =，则a 与 b 一定互为相反数D ．若a a =-，则a 是非正数【典例26】．．若2a -与4b +互为相反数，则a b +的值为 ．对值的性质是解题的关键．【典例27】．．如果有理数x 、y 满足10x x y -++=，那么xy 的值是（ ）A ．1-B ．1±C ．1D ．2【典例28】．．已知a 为有理数，则24a -+的最小值为 ．【典例29】．．数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，化简a b c -+-的结果为（ ）A ．a b c-+-B ．a b c --+C ．a b c +-D．a b c-+【典例30】．当2x >时，化简2x -= ．【典例31】．．若有理数a b c 、、在数轴上对应的点如图，化简：a c b c a b -++--= ．【典例.32】．．在数轴上，a ，b ，c 对应的数如图所示，b c =．(1)确定符号：a ______0，b ______0，c _____0，b c +_____0，a c -______0；(2)化简：a c b +-；(3)化简：a a c --．c =-．【典例33】．．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a b +______0，c a -______0，2b +______0．(2)化简：22a b c a b ++--+．【典例34】．．如果a 表示有理数，那么a +1，|a +1|，（a +1），|a |+1中肯定为正数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】根据有理数和绝对值的意义，可根据a 的值不确定，知a+1不一定是正数，（a+1）的值不确定，但是|a|≥0，可知|a+1|是正数， |a|+1一定是一个正数.故选A.【典例35】．．把197201093618,,,198201193719----四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（ ）A ．181979362010191989372011->->->-B ．189361972010199371982011->->->-C ．201019793618201119893719->->->-D ．201093619718201193719819->->->-【典例36】．．对于任意实数x ，通常用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[2.9]2=，下列结论正确的是（ ）①[]33-=- ②[]2.92-=- ③[0.9]0= ④[][]0x x +-=A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【答案】C【分析】根据符号[x]表示不超过x 的最大整数，依次判断可得答案．【解析】解：由题意可得，[-3]=-3，故①正确；[-2.9]=-3，故②错误；[0.9]=0，故③正确；当x 为整数时，[x]+[-x]=x+（-x ）=0，当x 为小数时，如x=1.2，则[x]+[-x]=1+（-2）=-1≠0，故④错误；故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是理解题目中的新定义．一、单选题1．32-的绝对值是（ ）A ．23-B ．32-C ．23D ．32A ．B ．C ．D ．A ．2024-和2024-B ．2024和12024C ．2024-和2024D ．2024-和12024A ．227733æö--=--ç÷èøB ．5465-<-C ．()()2121--<+-D ．|10|8-->【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握比较大小的方法是解题的关键．先根据绝对值和相反数的意中表示绝对值最小的数的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】C【分析】本题考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较的应用，解此题的关键是找出原点的位置，注意数形结合思想的运用．先根据相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定表示绝对值最小的数的点即可．【解析】解：因为点B，D表示的有理数互为相反数，所以原点的位置在线段BD的中点处，∵离原点越近的点表示的数绝对值越小，∴表示绝对值最小的数的点是C点．故选：C．6．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（）A．3-B．1C．2D．3查了四款儿童口罩，结果如下，从长度的角度看最接近标准的儿童口罩是（ ）A ．B ．C ．D ．A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个\011c \<-<，则()110a c a c +-=+-<；0b c +>；b a -A ．1或5B ．1-或5-C ．1-或5D ．2或4二、填空题11． 3.5-的相反数为；5-的绝对值是 ；绝对值是2的数是 ．【答案】 3.5 5 2±【分析】本题主要考查了绝对值和相反数．根据相反数的定义：如果两个数只有符号不同，数字相同，那么这两个数互为相反数，0的相反数是0；绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对数是它的相反数，0的绝对值是0，进行求解即可【解析】解： 3.5-的相反数为3.5；5-的绝对值是5；绝对值是2的数是2±．故答案为：3.5；5，2±．12．比较大小：（填“>”或“<”）．（1）78-34-，（2）45- 34-；（3）56-- 23-．个．【答案】13【分析】本题主要考查的是有理数大小比较和绝对值，求得符合条件的数是解题的关键．依次列出绝对值不大于6的整数即可解答．【解析】解：绝对值不大于6的整数有：6±，5±，4±，3±，2±，1±，0．绝对值不大于6的整数有13个．故答案为：13．15．绝对值小于2.5的所有整数是，绝对值等于它本身的数是 ．18．设表示大于的最小整数，如2.330.2012=-==、、，则下列结论：①[)2.121-=；②[)x x -的最小值是0；③[)x x -的最大值是1；④若[)0.1x x -=，则x 可以表示成0.9n +（n 为整数）的形式；⑤若整数x 满足[)2x =，则1x =±．其中正确 （填写序号）．三、解答题19．写出下列各数的绝对值．(1) 1.5-；(2)83；(3)6-；(4)83 -；(5)320．已知6个有理数：52，0，4-，1(2--，32-，4-，按要求完成下列各小题．(1)互为相反数的一组数是________；(2)将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上，并用“＜”将上面的数连接起来．∴315404222æö-<-<<--<<-ç÷èø；（2）若5a =，1=b ，且a b <，求a ，b 的值．(1)在数轴上表示a -、b -；(2)用>、=或<填空：||a ______a ，||a -______a -，||b ______b ，||b -______b-(3)试用>连接a b a b +-，，0，a b -+，【答案】(1)见解析(2)>，=，=，>(3)0a b a b a b-+>>+>-【分析】本题考查了绝对值的性质，利用数轴判断式子的正负，有理数大小比较，掌握有理数大小比较方（2）由图可知：0a b b a <-<<<-，B B 然数．(1)求A 、B 之间的距离；(2)比较点A 、B 、C 表示的数的大小；【答案】(1)2；(2)101-<<【分析】本题考查有理数的分类及数轴上两点之间的距离，（1）根据最小的正整数是1，最大的负整数是1-，最小的自然数为0代入求解即可得到答案；（2）根据正负数大小比较方法比较即可．【解析】（1）最大的负整数是1-，最小的正整数是1，最小的自然数是0，∴点A 、B 、C 是数轴上表示的数分别是1-，0，1，A \、B 之间的距离112+=；（2）由于正数大于0，负数小于0，∴101-<<；24．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表：做乒乓球的同学李明张兵王敏余佳赵平蔡伟检测结果＋0.031-0.017＋0.023-0.021＋0.022-0.011(1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？(2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？(3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；用学过的绝对值的知识说明．【答案】(1)张兵、蔡伟；(2)蔡伟；李明；(3)蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明；说明见详解．【分析】（1）绝对值大于0.02毫米的就是不合格，所以张兵、蔡伟是合格的；（2）绝对值越小质量越好，越大质量越差，所以蔡伟做的质量最好，李明的最差；（3）按绝对值由大到小排即可．【解析】（1）Q 直径与规定直径不超过0.02毫米的误差视为合格，张兵的是0.017-，蔡伟的是0.011-，两人的都不超过0.02毫米的误差，\张兵、蔡伟做的乒乓球是合格的．（2）Q 蔡伟做的为0.011-毫米，李明做的为0.031+，\蔡伟做的质量最好，李明的最差．（3）|0.011||0.017||0.021||0.022||0.023||0.031|-<-<-<+<+<+Q ，\6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名为：蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明．【点睛】此题考查了正数与负数，以及绝对值的意义，正确理解题目的意思是解此题的关键．25．点AB 、在数轴上分别表示有理数,a b A B 、、两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A B 、两点之间的距离AB a b =-． 已知数轴上两点A B 、对应的数分别为1-、3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ．(1),A B 两点之间的距离是 ；(2)设点P 在数轴上表示的数为x ，则x 与4-之间的距离表示为 ；(3)若点P 到点A 、点B 的距离相等，则点P 对应的数为 ；(4)数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为8？若存在，请直接写出x 的值；若不存在，说明理由．。
绝对值（教案）
华师大版数学七年级绝对值教学设计课题绝对值单元 2.4 学科数学年级七年级学习目标1、借助数轴理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值；2、会利用绝对值的概念进行有关绝对值的计算；3、理解绝对值的非负性质，并能应用这一性质解决问题；重点借助数轴理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值；难点理解绝对值的非负性质，并能应用这一性质解决问题；教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课一、复习与练习1、汽车向东行驶5千米，记作+5千米，那么汽车向西行驶5千米，记作千米；+5的相反数是；如果汽车千米耗油0.2升，那么汽车向东行驶5千米耗油升，汽车向西行驶5千米耗油升。
2、如图所示：A点表示的数是；它在原点的旁，与原点相距单位长度；B点表示的数是，它在原点的旁，与原点相距单位长度；A点和B点表示的数互为，它们与原点的距离；二、提出问题有一些量的计算中，有时并不注重其方向，如何表示这些量呢？直接回答直接回答思考复习巩固引出新课讲授新课一、绝对值的概念1、绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.2、举例子：（1）在数轴上表示+3的点与原点的距离是，读并理解直接回答数形结合所以+3的绝对值是，记作；（2）在数轴上表示－6的点与原点的距离是，所以－6的绝对值是，记作；（3）在数轴上表示+2.5的点与原点的距离是，所以+2.5的绝对值是，记作；（4）在数轴上表示－7.2的点与原点的距离是，所以－7.2的绝对值是，记作；（5）在数轴上表示0的点与原点的距离是，所以0的绝对值是，记作；3、绝对值符号的理解（1）|+1.8|表示的绝对值，结果是；（2）|－1.8|表示的绝对值，结果是；（3）|0|表示的绝对值，结果是；（4）|a|表示的绝对值，结果是；二、绝对值法则1、完成课本P23页的试一试。
2、绝对值法则（1）文字表述：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数。
第03讲 绝对值（教师版）
第3讲 绝对值【知识扫描】知识点一 对绝对值的几何定义的理解1. 数轴上表示数a 的点与原点的距离叫数a 的绝对值，记作|a |。
它是一个非负数，即|a |≥0。
拓展：若干个非负数之和为0，则每一个非负数都为0。
即|a |＋|b |＋…＋＝0，则有|a |＝0，|b|＝0，……，所以a ＝0，b ＝0，……2. 绝对值等于同一个整数的有理数有2个，它们互为相反数；反之，互为相反数的两个数绝对值相等，如|a |＝5，则a ＝±5。
知识点二 对绝对值的代数定义的理解一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数。
即：对于任何有理数a ，都有()()()⎪⎩⎪⎨⎧0000＜－＝＞＝a a a a a a知识点三 有理数的大小比较（1）两个正数比较，绝对值大的数较大； （2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小。
【典型例题】考点一 利用绝对值的定义求解 【例1】－6的绝对值是（ ）A ．6B ．61 C ．61－ D ．－6 【解答】A【变式】（1）在－3，－3.5，－3.75中，绝对值最小的数是________，离原点最远的是________（2）化简：|3.14－π|＝____________【解答】（1）|－3|＝3，|－3.5|＝3.5，|－3.75|＝3.75 ∵3＜3.5＜3.75∴绝对值最小的数是－3，离原点最远的是－3.75 （2）∵3.14－π＜0∴|3.14－π|＝－(3.14－π)＝π－3.14考点二 已知一个数的绝对值，求这个数【例2】已知一个数的绝对值等于2018，则这个数是____________ 【解答】∵|2018|＝2018，|－2018|＝2018，∴绝对值等于2018的数是±2018． 故答案为：±2018．【变式】绝对值小于3的所有整数是________________ 【解答】绝对值小于3的所有整数有：－2，－1，0，1，2． 【例3】如果|a |＝2，|b |＝3，且a ＜b ，求a 、b 的值。
绝对值化简-题库教师版
⑸若x2
x 20，求x
的取值范围.
【例2】已知：⑴
a 5,b 2，且
a b:⑵
a1
2
b
20，分别求a
,b的值
【例3】已知2x
33 2x，求x的取值范围
【巩固】（4级）若a b且a b,
则下列说法正确的是（
)
A.a一定:
是正数B.a
一定是负数
C .
.b
一定是正数D
.b一定是负数
)
a
【例4】
-1 0 1
这道题目体现了一种重要的先估算+后化简+再代入求值”的思想.
（2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉，
若a>b时，(a b)2(b
a) a b
(a
b)2
(a
b)2
0
ab,
若a b时，(a b)2(b
a) a b
(a
b)2
(b
a)2
2(a
b)2ab,
从平方的非负性我们知道
中考要求
内容
基本要求
略咼要求
较咼要求
绝对值
借助数轴理解绝对值的意义，会求实 数的绝对值
会利用绝对值的知识解决简单的化简 问题
例题精讲
绝对值的几何意义：
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
【巩固】
求出所有满足条件 非零整数m,n满足m
()
如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求|a b b1a c1c的值.
a b 0 c 1
第2讲 绝对值的化简(教师版)
；
∴原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质 作业4
化简：
．
答案 原式
．
解析 ①当 原式
②当 原式
③当 原式
时
； 时
； 时
；
∴原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 题型：零点分段法 作业5
化简：
．
答案 ．
解析 ①当 原式 ②当 原式 ③当 原式 ④当 原式
时， 时， 时，
时，
．
综上所得
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
已知 、 、 为有理数，且
A.
B.
，
，则
C. 或
的值为（ ）． D.
答案 B
解析
，
∵
，
，
∴ ， ， 为三个负数，或有其中两个为正数，一个为负数，
则原式
可能出现的结果为 ．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 题型：|a|/a的化简
二、课后创新培养
例题1
、 、 在数轴上的位置如图所示，化简
．
答案 ． 解析 略 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
设 ， ， 为非零实数，且
，
，
．化简
．
答案 解析
，
，；
，
；
，
，
所以可以得到 ， ， ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
模块二 绝对值的无条件化简
考点 零点分段法
知识导航
，
绝对值化简-题库教师版备课讲稿
绝对值化简- 题库教师版精品文档绝对值化简中考要求内容基本要求略高要求较高要求绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实会利用绝对值的知识解决简单的化简数的绝对值问题例题精讲绝对值的几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离.数 a 的绝对值记作 a .绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号 .②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0 .③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如： 5 符号是负号，绝对值是 5 .求字母 a 的绝对值：a( a0)a(a0)a(a0)① a0( a0)②a0)③ a0)a(a0)a( a a( a利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小 .绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若 a b c0 ，则a 0，b 0，c 0绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即 a a ，且 a a ；（2）若a b ，则a b 或 a b ；（3）ab a b ；a a0) ；(bb b| a |222精品文档（5）a b a b a b ，对于 a b a b ，等号当且仅当 a 、b同号或 a 、b中至少有一个0时，等号成立；对于 a b a b ，等号当且仅当 a 、b异号或 a 、b中至少有一个0时，等号成立．板块一：绝对值代数意义及化简【例 1】（2级）⑴ 下列各组判断中，正确的是() A．若a b ，则一定有a b B．若a b ，则一定有a bC. 若a b ，则一定有 a b D ．若a b ，则一定有 a22b⑵如果 a2＞ b 2，则()A．a b B．a＞b C．a b D a＜b⑶ 下列式子中正确的是( )A．a a B． a a C．a a D ．a a⑷对于 m 1 ，下列结论正确的是()A．m 1≥| m |B．m 1≤| m |C．m 1≥| m | 1D．m 1≤| m | 1⑸若 x2x20 ，求 x 的取值范围．【例 2】已知：⑴ a5，b 2 ，且a2b20 ，分别求 a，b 的值b ；⑵ a 1【例 3】已知 2 x33 2 x，求 x 的取值范围【巩固】（ 4 级）若a b 且a b ，则下列说法正确的是（）A．a一定是正数B．a一定是负数C．b一定是正数 D ．b一定是负数【例 4】求出所有满足条件 a b ab 1的非负整数对 a ，b【巩固】非零整数 m，n 满足m n50，所有这样的整数组m，n 共有如果有理数 a 、b、 c 在数轴上的位置如图所示，求a b b 1 a c1 c 的值.a b0 c 1【巩固】已知 x0z，xy0，y z x ，那么 x z y z x y【例 5】 abcde是一个五位自然数，其中 a 、b、 c 、d、 e 为阿拉伯数码，且a b c d ，则a b b c c d d e 的最大值是．【例 6】已知 y x b x20x b20，其中 0b20，b ≤ x≤ 20，那么 y 的最小值为【例 7】设 a，b，c 为整数，且 a b c a1，求 c a a b b c 的值【巩固】已知 a1，b 2，c3，且a b c，那么 a b c【例 8】（6级）（1）（第10届希望杯2试）已知x1999，则4x25x9 4 x22x23x7．（2）（第12届希望杯2试）精品文档满足 (a b) 2(b a) a b ab （ab0 ）有理数a、 b ，一定不满足的关系是（）A．ab0B．ab0C．a b 0D．a b 0（3）（第7届希望杯2试）已知有理数 a 、b的和a b 及差 a b在数轴上如图所示，化简2a b 2 a b 7 ．a-ba+b-101这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想．（2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉，若 a ≥ b 时，( a b)2(b a) a b(a b) 2(a b)20ab ，若 a b 时，(a b) 2(b a) a b( a b)2(b a)22( a b)2ab ，从平方的非负性我们知道ab0 ，且 ab0 ，所以 ab0 ，则答案A一定不满足．（3）由图可知0 a b1， a b 1 ，两式相加可得： 2a0 ， a 0 进而可判断出 b0 ，此时 2a b 0 ， b 70 ，所以 2a b 2 a b7(2 a b )2(a)(b 7)7 ．【巩固】（ 8 级）（第9届希望杯1试）若m1998，则m211m999m222m 99920．【解析】 m211m999m(m11)999199819879990 ，m222m 999 m( m 22) 9991998 19769990 ，故(m211m999)( m222m999)20 20000 ．【补充】（8 级）若x0.239，求x 1 x 3 L x 1997x x 2 L x 1996 的值．【解析】法1：∵ x0.239，则精品文档原式( x1)( x3)L( x1997)x(x2)L( x1996)x1x3x5L x1997x x 2 L x19961(32)(54)L(19971996)1 1 L 1 999法 2：由x≤a b，可得 x b x a b a ，则原式( x1x )( x3x 2 )L( x1997x1996 )11L 1 999点评：解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用．【例 9】（10 级）设A x b x 20x b20 ，其中0 b ≤ x ≤ 20 ，试证明 A 必有最小值【解析】因为 0 b ≤ x ≤ 20 ，所以x b ≥ 0，x20 ≤ 0，x b20 0，进而可以得到：A x 2b≥ x 2x x≥ 20 ，所以 A 的最小值为 20【例 10】（8级）若 2a45a13a 的值是一个定值，求 a 的取值范围.【解析】要想使 2a45a13a的值是一个定值，就必须使得 4 5a0，且 13a ≤ 0 ，原式 2a 45a(13a ) 3 ，即1≤ a ≤4时，原式的值永远为3. 35【巩固】（8 级）若x 1 x 2x 3 L x 2008 的值为常数，试求x 的取值范围．【解析】要使式子的值为常数，x 得相消完，当1004≤x≤1005时，满足题意．【例 11】（2级）数 a, b 在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a aa0b 【解析】 a b b a b a aa bb a b2a b ．【巩固】（2 级）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a cb a 0c 【解析】由题意可知： a 0，c b 0，a b 0 ，a c 0 ，所以原式2c a【巩固】（2 级）若a b 且a0 ，化简 a b a b ab .b精品文档【解析】若 a b 且a0 ， a0,b0 ， a b0,ab0 ba b a b ab a b a b ab ab2a【例 12】（8级）(北大附中2005-2006学年度第一学期期中考试)设a,b,c为非零实数，且a a 0 ， ab ab ， c c 0 ．化简 b a b c b a c ．【解析】 a a 0 ， a a ，a≤0； ab ab ，ab≥0； c c 0 ， c c ，c≥0所以可以得到 a 0 ， b 0 ， c0 ；b a bc b a c b a b c b a c b ．【例 13】（6级）如果 0m 10 并且 m ≤ x ≤ 10，化简x m x 10 x m 10 .【解析】 x m x 10x m 10 x m 10 x m 10 x20x .【巩固】（ 2 级）化简：⑴ 3x ；⑵ x 1 x 23x x2 x3 x2 3≤ x1【解析】⑴原式3；⑵原式1 2x x≥ 33 x ≥12x【巩固】（ 6级）若 a b ，求b a1 a b 5 的值.【解析】 b a 1 a b 5 b a 1 a b5 4 .【巩固】（ 8 级）（第7届希望杯2试）若a0 ， ab 0，那么 b a 1 a b 5 等于．【解析】 a 0 ， ab 0 ，可得： b 0 ，所以 b a 0 ， a b 0 ，b a 1 a b 5 b a 1 a b 5 4 ．【巩固】（2 级）已知1≤x 5，化简 1x x 5【解析】因为 1≤ x 5 ，所以1x ≤ 0，x50 ，原式x 1 5 x 4【例 14】（8级）已知 x3，化简321x .【解析】当 x3时，3 2 1 x321x 3 3 x 3 3 xxx .【巩固】（ 8 级）（第16届希望杯培训试题）已知x 1 x 1 2 ，化简 4 2 x 1 ．【解析】由 x1x 1 2的几何意义，我们容易判断出1≤ x ≤1 ．所以 42x 1 4 2 1 x 4 3 x 4 3 x 1 x 1 x ．【例 15】（8级）若xx 2 x0 ，化简．x3 xx 2 x x 2 x3xx ．【解析】x 3x x3x 3（8 级）（四中）已知a 2a4b42【巩固】 a ，b0，化简(a2b)2a2b4b32a3．【解析】∵ a a ，∴a≤0，又∵b0 ，∴ 2a4b0 ，∴ 2a4b(2 a4b)2(a2a4b2(a2b)22b) ，∴2b)2(a2b)2 a 2b(a又∵ a2b0 ，∴444 a2b(a2b ) a 2b又∵ 2a 30 ，∴222214b32a34b3(2 a3) 2 a4b2a4b a2b∴原式2413a2b a 2b a2b a2b点评：详细的过程要先判断被绝对值的式子x ，再去绝对值的符号．、【例 16】（8级）（第14届希望杯邀请赛试题）已知a，b，，c d 是有理数， a b ≤ 9，c d ≤ 16，且 a b c d25 ，求 b a d c 的值【解析】因 a b ≤ 9，c d ≤ 16 ，故 a b c d ≤ 916 25，又因为25 a b c da bd c≤ a b d c ≤ 25 ，所以 a b9，c d 16 ，故原式7板块二：关于a的探讨应用a【例 17】（6级）已知 a 是非零有理数，求aa2a3的值 .a a2a3【解析】若 a0 ，那么a a2a31113；若 a0 ，那么a a 2a31111.a a2a3a a 2a3【例 18】（10级）（2006年第二届“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）已知 x a b c abc ，且a b c abca ，b，c 都不等于0，求 x 的所有可能值【解析】 4或0或 4【巩固】（10 级）（北京市迎春杯竞赛试题）已知a，b，c 是非零整数，且a b c0 ，求a b c abc 的值a b c abc【解析】因为 a ，b，c 是非零有理数，且a b c0 ，所以a，b，c中必有一正二负，不妨设a0，b0，c0 ，则原式a b c abca b c 11110abc【巩固】（2级）若 a0 ，则a_____ ；若a0 ，则a_____ .a a【解析】 1； 1 .重要结论一定要记得.【巩固】（6 级）当m 3 时，化简m3 m3【解析】m 3 ， m 30，当 m 3 ，即 m30 时，m3m 3 ，所以m3 1 ；m3当 m 3 ，即 m30 时，m3(m 3) ，所以m3 1 . m3【例 19】（8级）（2009年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题）若0 a 1 ， 2 b1，则a 1b 2a ba 1b 2a b的值是（）A ．0B ． 1C ． 3D ．4【解析】 ⑴ C ．特殊值法：取 a 0.5 , b1.5代入计算即可．【巩固】 （2 级）下列可能正确的是（）A ．C ．a b 1B ．ab c 2aba bca b c d D ．ab c d a b c d a bc3abc d4dabcd【解析】 选 D ．排除法比较好或特殊值法1 ， 1， 1 ， 1．【巩固】 （6 级）如果 2ab 0 ，则a1a ）2等于（bbA ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 B2002 2002 2002【例 20】 （ 8 级）如果 a b c 0，a b c 0， a b c 0，则ab c 的值等于abc（ ）A ． 1B ． 1C ． 0D ． 32002 20022002【解析】 易知a， b，c1 ，所以原式1，故选择 Aa 11c b【例 21】 （ 8 级）已知 abc0 ，求abac bc 的值．abacbc【解析】 ∵ abc 0 ，∴ a 、 b 、 c 三个数都不为零．若 a 、 b 、 c 三个数都是正数，则 ab 、 ac 、 bc 也都是正数，故原式值为若 a 、 b 、 c 中两正、一负，则 ab 、 ac 、 bc 中一正、两负，故原式值为若 a 、 b 、 c 中一正、两负，则 ab 、 ac 、 bc 中一正、两负，故原式值为若 a 、 b 、 c 中三负，则 ab 、 ac 、 bc 中三正，故原式值为 3．3．1．1．【巩固】 （6 级）若 a ， b ， c 均不为零，求a b cab.c【解析】 若 a ， b ， c ，全为正数，则原式3 ；若 a ， b ， c ，两正一负，则原式1；若 a ， b ， c ，一正两负，则原式 1；若 a ， b ， c ，全为负数，则原式3 .【例 22】（6级）（第13届希望杯 1试）如果2a b 0，求a a2 的值．1b b【解析】由 2a b 0 得 b2a ，进而有aa a1a ， a a1a b2a2 a 2ab2a2a若 a0 ，则a a2111 2 3 ，1b b22若 a0 ，则a a2111 2 3 ．1b b22【巩固】（6 级）若a，b，c均不为零，且a b c 0 ，求ab c.a b c【解析】根据条件可得 a ，b， c 有1个负数或2个负数，所以所求式子的值为 1 或1【例 23】（8级） a ，b， c 为非零有理数，且 a b c0 ，则a bb cc a的值等于多少？a b b c c a【解析】由 a b c 0 可知a， b ，c里存在两正一负或者一正两负；a b b c c a a b b c c aa b b c c a a b b c c a若两正一负，那么a bbcca11 1 ；b c1a b c a若一正两负，那么a bbcca11 1 ．b c1a b c a综上所得a bb c c a 1 ．a b b c c a【巩固】（10 级）（海口市竞赛题）三个数 a ，b， c 的积为负数，和为正数，且a b c ab ac bc xb c ab ac ，a bc求 ax3 bx2 cx 1 的值.【解析】 a ，b， c 中必为一负两正，不妨设 a 0 ，则b0,c 0 ；精品文档a b c ab ac bc xbcabac1 1 1 1 1 1 0，所以原式＝1.abc【巩固】 (8 级)（第 13 届希望杯培训试题）如果 ab c0 ， ab c0 ， ab c0，求 ( a)2002(b) 2003 ( c)2004 的值． ab c【解析】 由 a b c 0 ， a b c 0 ， a b c 0 ，两两相加可得： a 0 ， b 0 ， c 0 ，所以原式结果为 1．若将此题变形为：非零有理数a 、b 、c ，求 b 1 等于多少？从总体出发： ( a)2008 1 ，所以原式 1 1 1 1 ．a【例 24】 （ 8 级）（“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）设实数 a ， b ， c 满足 ab c 0 ，及abc0 ，若 xa bc， y a ( 1 1 ) b( 1 1 ) c( 1 1 ) ，那么代数式 x 2 y 3xy 的值| a | | b | | c | b ca c a b为．【解析】 由 ab c0 及 abc 0 ，知实数 a ， b ， c 中必有两个负数，一个正数，从而有 x 1 ．又 y a (11 ) b( 11 ) c(11) = abc 3 ，则 x 2 y 3xy16 9 2 ．b ca ca b ab c【例 25】 （ 8 级）有理数 a ，b ，c 均不为零，且 a b c0 ，设 xa b c b ca c a，则代数式b2002007的值为多少？x4x【解析】 由 ab c0 易知 a ，b ，c 中必有一正两负或两正一负，不妨设 a 0，b 0，c 0 或a0，b 0，c 0所以 xabc1 或者 xa b c1，所以 x1 ，所以原式 2004a b a c a bb c a c a b【巩固】 （8 级）有理数 a ，b ，c 均不为零，且 a b c0 ，设 xa b c，则代数式19b cac ab的值为多少？x 99x 2000【解析】 由 ab c0 易知 a ，b ，c 中必有一正两负或两正一负，不妨设 a 0，b 0，c 0 或a 0，b 0，c 0所以 xabc或者 xabc时，原式 19021 1，所以当 x 1a b a c a bb c a c a b当 x 1 时，原式 2098【巩固】 （8 级）已知 a 、 b 、 c 互不相等，求(ab)(b c) (b c)(c a) ( c a)( a b) 的值．(a b)(b c)(b c)(c a) ( c a)( a b)【解析】 由题意可得 (a b)(b c)(c a ) 0 且 ( ab) (b c) (ca)0 ，把 a b ， b c ， c a 当成整体分类讨论：① 两正一负，原式值为1 ；② 两负一正，原式值为 1 ．【例 26】 （ 8 级）（第 18届希望杯 2试）若有理数 m 、 n 、 p 满足mn p 1 ，求2mnp的mnp3mnp值．【解析】 由mn p 1 可得：有理数 m 、 n 、 p 中两正一负，所以 mnp0 ，所以mnp1 ，m n pmnp2mnp 2 mnp 2 ．3mnp3 mnp3【巩固】 （6 级）已知有理数 a ，b ，c 满足ab c 1 ，则abc（）ab cabcA ． 1B ． 1C ． 0D ．不能确定【解析】 提示：其中两个字母为正数，一个为负数，即abc 0【巩固】 （8 级）有理数 a ， b ， c ， d 满足abcd1 ，求ab c d的值．abcdabcd【解析】 由abcd1 知 abcd 0 ，所以 a ， b ， c ， d 里含有 1 个负数或 3 个负数：abcd若含有 1 个负数，则ab c d 2 ；若含有 3 个负数，则ab c d 2 ．ab c dab c d【例 27】 （ 6 级）已知 ab0 ，求ab的值ab 【解析】 ⑴ 若 a ，b 异号，则a b 0ab⑵若 a ，b 都是正数，则a b a 2b ⑶若 a ，b 都是负数，则a b a2b【巩固】 （6 级）已知 ab0，求a b的值．ab【解析】 分类讨论：当 a0 ， ba b 110．当 a 0 ， b 0 时，0 时，baa b ( 1)2 ．a1b当 a0 ， ba b 11 2．当 a 0 ， b 0 时， 0 时，ba ab ( 1)0 ．a1b综上所述，a b的值为2，0， 2．ab【例 28】 （ 6 级）若 a ，b ，c 均为非零的有理数，求 abc的值 a b c【解析】 ⑴ 当 a ，b ，c 都是正数时，原式a b c 3abc⑵当 a ，b ，c 都是负数时，原式 3⑶当 a ，b ，c 有两个正数一个负数时，原式 1 ⑷当 a ，b ，c 有两个负数一个正数时，原式1【巩固】（ 6 级）（第 16 届希望杯培训试题）若 abc0 ，求ab c 的值．abc【解析】 由 abc 0 可得， a 、 b 、 c 中有 3个负数或 1个负数，当 a 、 b 、 c 中有 3个负数时，原式 1 1 ( 1)1 ；当 c 是负数时，原式 1 1 ( 1) 3 ．板块三：零点分段讨论法（中考高端，可选讲）【例 29】（4级）（2005年云南省中考试题）阅读下列材料并解决相关问题：x x0我们知道 x0x0，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化x x0简代数式 x1x 2 时，可令x10和 x20 ，分别求得x1，x 2 （称 1，2 分别为x 1 与 x 2 的零点值），在有理数范围内，零点值x 1和 x 2 可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：·⑴当 x1时，原式x1x2 2 x1⑵当 1≤ x 2 时，原式x 1x23⑶当 x ≥ 2 时，原式x1x22x12x 1 x1综上讨论，原式 3 1 ≤ x22 x 1 x ≥2通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：⑴分别求出 x2和 x 4 的零点值⑵化简代数式 x2x4【解析】⑴分别令 x20 和 x40 ，分别求得 x 2 和 x 4 ，所以x 2 和 x4的零点值分别为 x 2 和 x4⑵当 x 2 时，原式x2x4x2x 42x 2 ；当 2 ≤ x4时，原式x 2x46；当 x≥ 4 时，原式x 2x42x 22 x 2 x2所以综上讨论，原式62≤ x42x 2 x ≥4【例 30】（6级）求 m m 1m 2 的值．【解析】先找零点， m0 ， m 10 ， m20 ，解得 m0，1， 2．依这三个零点将数轴分为四段：m0 ， 0m 1 ， 1m 2 ， m 2 ．当 m0时，原式m m1m23m 3 ；当 0m 1 时，原式m m1m2m3；当 1m 2 时，原式m m1m2m 1 ；【例 31】 （ 4 级）化简： 2x 1 x 2 【解析】 由题意可知：零点为 x1 ，x 01时，原式2当 xx12当1≤ x 2 时，原式 3x 32当 x ≥ 2 时，原式 x 1【巩固】 （ 4 级） (2005 年淮安市中考题 )化简 x 52 x3 ．【解析】 先找零点 . x5 0 ， x5 ； 2 x 3 0，x3，零点可以将数轴分成三段．当 x ≥ 3， x 520 ， 2x 3≥ 0 ， x 5 2x 33x 2 ；2当 5 ≤ x3， x 5≥ 0， 2x3 0 ， x 5 2x3 8 x ；2当 x 5 ， x 5 0 ， 2x 3 0 ， x 5 2 x 33 x 2 ．【巩固】 （ 6 级） (北京市中考模拟题 )化简： x 1 2 x 1 .【解析】 先找零点 . x1 0 ， x 1． x1 0， x1．x 1 2 0 ， x12 ， x1 2 或 x 12 ，可得 x3 或者 x 1 ；综上所得零点有 1，-1 ，3 ，依次零点可以将数轴分成四段． ⑴ x ≥ 3 ， x 1 0 ， x 1 2 ≥ 0 ， x 1 0 ， x 1 2 x 1 2 x 2 ； ⑵ 1≤ x 3 ， x 1 0 ， x1 2 0 ， x 1 0， x 1 2 x 1 4 ；⑶ 1≤ x 1 ， x1 0 ， x 12 0 ， x 1≥ 0 ， x 1 2 x 12 x 2 ；⑷ x 1 ， x 1 0 ， x 12 0 ， x 1 0 ， x 1 2 x 1 2x 2 ．【例 32】 （ 6 级）（选讲）（北京市中考题）已知 x 2 ，求 x 3 x 2 的最大值与最小值．【解析】 法1：根据几何意义可以得到，当 x 2 时，取最大值为 5 ；当 x 2 时，取最小值为3．法 2：找到零点 3、 2 ，结合 x 2 可以分为以下两段进行分析：当 2 x 2 时， x 3 x 2 3 x x 2 1 2x ，有最值 3和 5 ；当 x2 时， x3x 2 3 x x 2 5 ；综上可得最小值为3，最大值为 5 ．【巩固】 （ 8 级）（第 10届希望杯 2试）已知 0a 4 ，那么 a23 a 的最大值等于 ．【解析】 （法 1）：我们可以利用零点，将a 的范围分为 3 段，分类讨论（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性）（2）当 2 a 3 时， a 2 3 a 1（3）当 3 a 4 时， a 23 a2a 5 ，当 a 4 时，达到最大值 3 综合可知，在 0a 4 上， a 23 a 的最大值为 5（法 2）：我们可以利用零点，将a 的范围分为 3 段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很容易发现答案：当 a 0 时达到最大值 5 ．【巩固】 （ 6 级）如果 y x 1 2 x x 2 ，且 【解析】 当 1≤ x 0 时，有 yx1 2 xx 2当 0 ≤ x ≤ 2 时，有 y x 1 2 x x 2综上所述， y 的最大值为 3，最小值为1≤ x ≤ 2，求 y 的最大值和最小值2x 3 ，所以 1≤ y 3 ；3 2 x ，所以 1 ≤ y ≤ 31【巩固】 （ 6 级）（ 2001 年大同市中考题）已知5 x7，求 x 取何值时 x 1x 3的最大值9与最小值．【解析】 法 1： x1 x3 表示 x 到点 1和 3 的距离差，画出数轴我们会发现当，x7时两者的距离9差最小为32，即 x 1 x 3min 32 ；当 5 x3 时，两者的距离差最大为4，即99( x 1 x3 )max4 ．法 2：分类讨论：先找零点，根据范围分段，当 5 x3时， x 1 x 34；当 3 x 7 时， x1 x 32x2 ，当 x7有最小99值32；当 x3 有最大值4 ．综上所得，当 5≤ x ≤ 3 时，最大值为 4；当 x7时，9 32 ．9最小值为9课后练习练习 1． （ 2 级）若 abab ，则下列结论正确的是()A. a 0，b 0B. a0，b 0C. a 0，b 0D. ab【解析】 答案 BC 不完善，选择 D ．练习 2． （ 2 级） (人大附期中考试 )如果有理数 a 、 b 、 c 在数轴上的位置如图所示，求a ba cb c 的值 .b-1 c 0 a 1【解析】原式(a b) (a c) (b c) 0练习 3． （6 级）已知 x0 z, xy 0, yz x ，求 xz y z x y 的值 .【解析】 由 x0 z, xy0 可得： y0 z ，又 y z x ，可得： yx z ；原式 x zyz xy 0 .练习 4． （ 8 级）（第 13届希望杯培训试题）若 x 22001，则 | x | | x1| | x 2 || x3| | x 4 | | x5|．2002【解析】 因为 x2 2001 ，所以 2 x3 ，原式 x ( x1) ( x2)( x 3) ( x 4) ( x 5) 9 ．2002练习 5． （ 6 级）（ 2006 年七台河市中考题）设y x b x 20x b 20 ，其中0 b 20,b x20 ，求 y 的最小值 .【解析】 y x b x 20x b 20 x b (x 20) ( x b 20) 40 x ，则 x 20时， y 有最小值为 20.练习 6．（4级）若a0 ，化简a a.【解析】 a a a a2a2a .练习 7．（6级）若a0 ，试化简2a3a．3a a2a3a2a3a5a 5 ．【解析】a3a3a a4a4练习 8．（6级）若 2x 4 5x 1 3x 4 的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为多少？【解析】要使 2 x4 5 x 13x 4 的值恒为常数，那么须使45x0 ， 13x 0 ，即1x4，原式 2 x 4 5x 1 3x 4 2x 45x3x 1 47 . 35练习 9．（8级）（第6届希望杯2试）a 、b、 c 的大小关系如图所示，求ab bc c a ab ac的值．a b b c c a ab aca b0 1c【解析】从图中可知 a b c 且 a 0， b0， c0 ，所以 a b0 ， b c0 ， c a0 ， ab0 ， ac0 ，所以 ab ac0 ，原式(1) (1) 1 1 2 ．练习 10．（8级）若a b c0 ， abc 0 ，则b cc a a b．a b c∵ a b c0 ， abc0 ，∴a、 b 、c中一正二负，∴b c c a a b a b c a b c a b 1 ．c练习 11．（6级）求 y x1x 5的最大值和最小值．【解析】法 1：根据几何意义可以得答案；法 2：找到零点 5 ，1，可以分为以下三段进行讨论：当 x 5 时，y x 1 x 5 1 x x 5 6 ；综上所得最小值为 6 ，最大值为 6 ．练习 12．（6级）（第2届希望杯 2 试）如果 1 x 2 ，求代数式x2x1x的值．x21x x【解析】当 1 x 2 时， x0 ， x 10 ， x 2 0 ，原式x2x1x1111．x2x1x。
六年级寒假班第4讲：有理数章节复习-教师版
有理数是初中数学六年级下学期第1章的内容．这一章中，我们学习了有理数的概念及运算，数轴，绝对值及科学记数法的相关内容．重点是有理数的四则运算，同学们需多加练习；难点是绝对值的相关运算，这一点将在春季班的课程中着重讲解．单元练习：有理数内容分析知识结构除法有理数乘法 减法 绝对值 加法 相反数数轴 转化 转化科学记数法有理数比较大小加法法则减法法则乘法法则除法法则加法运算律乘法运算律乘方选择题【练习1】关于“零”的说法正确的是（）①是整数，也是有理数；②不是正数，也不是负数；③不是整数，是有理数；④是整数，不是自然数．A．①、④B．②、③C．①、②D．①、③【难度】★【答案】C【解析】0是最小的自然数，则必为整数和有理数，但同时0非正非负，①②正确．【总结】考查数字“0”的特征，注意“0”的特殊性．【练习2】如果30%+表示增加30%，那么6%-表示（）A．增加24% B．增加6% C．减少6% D．减少36%【难度】★【答案】C【解析】正负号表示相反意义的量，“+”表示增加，“-”号表示减少，故选C．【总结】考查正负号表示相反意义的量．【练习3】下列说法中，正确的是（）A．存在最小的有理数B．存在最大的负有理数C．存在最小的正有理数D．存在最大的负整数【难度】★【答案】D【解析】数字的最值，只能是整数，最大的负整数是“1-”，最小的正整数是“1”，故选D．【总结】考查数的分类和数字中的一些最值问题．【练习4】数轴上表示2-的点在（）A．原点的右侧B．原点的左侧C．原点D．无法确定【难度】★【答案】B【解析】数轴上表示负数都在原点的左侧，正数都在原点的右侧，故选B．【总结】考查正负数在数轴上的表示．【练习5】 一个点从数轴上的表示2-的点开始，先向右移动5个单位长度，再向左移动2个单位长度，经过两次移动后到达的终点表示（ ） A ．5+B ．1-C ．1+D ．5-【难度】★【答案】C 【解析】“2-”向右移动5个单位得“3+”，“3+”向左移动2个单位得“1+”，故选C ．【总结】考查数轴上点的移动．【练习6】 下列结论中，正确的是（ ）A ．x -一定是负数B ．x -一定是非正数C ．x 一定是正数D ．x -一定是负数【难度】★【答案】B【解析】绝对值表示距离，即为非负数，可知x -为非正数，故选B ． 【总结】考查绝对值的意义，绝对值表示距离，即为非负．【练习7】 两个非零有理数的和为零，则它们的商是（ ）A ．0B ．1-C ．1+D ．不能确定【难度】★【答案】B【解析】两数和为零，即0a b +=，得a b =-，两有理数非零，则有()1a b b b ÷=-÷=-， 故选B ．【总结】考查数轴上到原点距离相等的两个点的商．【练习8】 下列各式运算结果为正数的是（ ）A ．425-⨯B ．()4125-⨯C ．()4125-⨯D ．()6135-⨯【难度】★【答案】B【解析】A 选项中一个负号，积为负数；B 选项中是负数的偶数次幂，为正数；C 选项中括 号中计算差为负数，积为负数；D 选项显然为负数，故选B ． 【总结】考查积的“奇负偶正”．【练习9】 若mn > 0，则关于m 、n 的说法正确的是（ ）A ．都为正B ．都为负C ．同号D ．异号【难度】★【答案】C 【解析】由0mn >，分类讨论可知00m n >⎧⎨>⎩或00m n <⎧⎨<⎩，即为同号，故选C ．【总结】考查由两数积的正负性判断两数符号的同异．【练习10】 计算()111112234⎛⎫-++⨯- ⎪⎝⎭时，要避免通分，可运用（ ）A ．加法交换律B ．加法结合律C ．乘法交换律D ．乘法分配律【难度】★【答案】D【解析】2、3、4都是12的因数，可知可利用乘法分配律简便计算，故选D ． 【总结】考查有理数的计算，合理利用乘法运算律．【练习11】 两数相加，其和小于每一个加数，则下列说法正确的是（ ）A ．两个加数必有一个是0B ．两个加数一正一负，且负数的绝对值较大C ．两个加数都为负数D ．两个加数一正一负，且正数数的绝对值较大 【难度】★★【答案】C【解析】设两数分别为a 、b ，由a b a +<且a b b +<，可知0a <且0b <，即两加数都 为负数，故选C ．【总结】考查根据题目条件确定相应未知数的正负，解决问题．【练习12】 数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2016厘米的线段AB ，则AB 盖住的整点的个数是（ ） A ．2014或2015 B ．2015或2016 C ．2016或2017D ．2017或2018【难度】★★【答案】C【解析】若线段AB 的起点在整点上，覆盖整点个数为201612017+=个；若线段AB 的起 点不在整点上，则覆盖整点个数为2016个，故选C ．【总结】考查数轴上的一段距离中点的个数，注意起点位置的差别．【练习13】 如果a 、b 表示的是有理数，并且20a b +=，那么（ ）A ．a 、b 互为相反数B ．a = b = 0C ．a 和b 符号相反D ．a 、b 的值不存在【难度】★★【答案】B【解析】由20a b +=，0a ≥，20b ≥，可得20a b ==，则有0a b ==，故选B ． 【总结】考查平方和绝对值的非负性的应用．【练习14】 如果3x =，4y =，那么x y +的结果是（ ）A ．1B ．7C ．1或7D ．1-或7-【难度】★★【答案】C【解析】由3x =，4y =，可得3x =±，4y =±，则1x y +=±或7±，1x y +=或7． 【总结】考查根据绝对值得到对应的未知数的取值进行解题和应用．【练习15】 下列等式，一定成立的是（ ）A ．0a a +-=B ．0a a --=C ．0a a --=D ．0a a --=【难度】★★【答案】C【解析】互为相反数的两数的绝对值相等，则有a a =-，故选C ． 【总结】考查互为相反数的两数的关系．【练习16】 两个不为零的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置而商不变，那么这两个数一定是（ ） A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．相等或互为相反数【难度】★★【答案】D【解析】除数与被除数交换位置商不变，说明商与商的倒数相等，即商只能为1±，由此可得 除数与被除数相等或互为相反数，故选D ． 【总结】考查根据特殊条件确定相应的未知数的关系．【练习17】 某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（250.1±）千克，（250.2±）千克，（250.3±）千克的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ） A ．0.8千克B ．0.6千克C ．0.5千克D ．0.4千克【难度】★★【答案】B【解析】根据面粉上的标识，可分别得到面粉产品质量范围为24.9~25.1kg ，24.8~25.2kg ， 24.7~25.3kg ，质量相差最多，则应为25.324.70.6kg -=，故选B ． 【总结】考查“±”符号的应用，表示一定的取值范围．【练习18】 1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第7次后剩下的小棒长为（ ）米A ．114B ．164C ．1128D ．1256【难度】★★★【答案】C【解析】第一次截去一半，剩余长度为12m ，第二次再截去一半，则剩余长度为212m ⎛⎫⎪⎝⎭，则第7次截得剩余长度为7112128m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选C ．【总结】考查找规律计算的应用．【练习19】 若0a ba b+=，则下列结论中成立的是（ ） A ．0ab > B ．0ab = C ．0ab < D ．0a b +<【难度】★★★【答案】C 【解析】对任一非0有理数，必有1x x=±，由0a ba b+=，可知一个为1，一个为1-，即 a 、b 两数一个为正，一个为负，得0ab <，故选C ．【总结】考查根据1xx =±的应用判断未知数的正负．【练习20】 如果abcd < 0，a + b = 0，cd > 0，那么这四个数中负因数的个数至少有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【难度】★★★【答案】D【解析】由0abcd <，可知a 、b 、c 、d 都不为0，由0a b +=，可知a 、b 必为一正一 负，由0cd >，可知c 、d 同号，则负因数应为1个或3个，即至少1个，故选D ． 【总结】考查根据题目条件确定未知数的正负．【练习21】 如果1+表示比赛中赢了1局，那么2-表示___________________． 【难度】★ 【答案】输了2局．【解析】正负号表示相反意义的量，“+”表示赢，则“-”号表示输，即得“2-”表示输 了2局．【总结】考查正负号表示相反意义的量．填空题【练习22】 下列有理数中：2-， 1.0305-，47+，0，3，56-，5.21，0.016-，25.4%中，正数有_______个，负数有______个，正整数有______个，负分数有_____个． 【难度】★【答案】4，4，1，3．【解析】正数分别为47+、3、5.21、25.4%，共4个；负数分别为2-、1.0305-、56-、0.016-，共4个；正整数为3，共1个；负分数分别为 1.0305-、56-、0.016-，共3个．【总结】考查有理数的分类．【练习23】 在数轴上，距离原点3个单位长度的点表示的数为______． 【难度】★【答案】3±．【解析】根据数轴的定义，距离原点距离为3的点在原点左右两边各有一个，为3±． 【总结】考查数轴上到原点距离为定值的点，一般来说有两个，且这两个数互为相反数．【练习24】 绝对值不小于1但小于4的整数是____________________． 【难度】★【答案】1±，2±，3±．【解析】绝对值不小于1但小于4的整数，则其绝对值为1，2，3，即得相应的整数分别为1±， 2±，3±．【总结】考查数轴上的绝对值相等的点有两个，注意临界值是否能取得．【练习25】 计算：（1）22133⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______，（2）11232⎛⎫-÷⨯= ⎪⎝⎭______，（3）321120162016⎛⎫⎛⎫-÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______，（4）()4433-+-=______． 【难度】★【答案】（1）1-；（2）112-；（3）12016-；（4）0． 【解析】（1）原式221133=-=-；（2）原式()1133224=-⨯⨯=-； （3）原式12016=-； （4）原式81810=-+=． 【总结】考查有理数的计算，注意计算中一些常见易错点，运算顺序的把握等．【练习26】 2010年，我国的第6次人口普查时，全国总共约13.4亿人，写成科学记数法形式为__________人．【难度】★【答案】91.3410⨯．【解析】根据科学计数法的原则，写作()10110n a a ⨯≤<的形式，913.4 1.3410=⨯亿．【总结】考查有理数的科学计数法．【练习27】 相反数等于它本身的数是______，倒数等于它本身的数是______，平方等于它本身的数是______，立方等于它本身的数是______． 【难度】★★【答案】略【解析】0，1±，0和1，0和1±． 【总结】考查有理数中的一些满足特殊条件的数字值．【练习28】 观察下列数字的排列规律，然后填入适当的数：3，7-，11，15-，19，23-，______，______． 【难度】★★【答案】27，31-．【解析】观察数字的变化规律，发现后面一个数字的绝对值比前面一个数字的绝对值大4， 同时数字的变化满足一正一负的变化规律，可知后面两个数字分别为27和31-． 【总结】考查找规律问题，注意符号的变化．【练习29】 已知：0a b <-<，比较a 、b 、a -、b -的大小得到：______ > ______ > ______ > ______． 【难度】★★【答案】a -，b ，b -，a【解析】由0a b <-<，可知0b a <-<，即0b a <<-，由此可得a b b a ->>->． 【总结】考查根据绝对值的大小确定相应未知数以及其相反数的大小关系．【练习30】 一个有理数的倒数是327的相反数，则这个数的80%是______．【难度】★★【答案】2885-． 【解析】327的相反数的倒数即这个有理数为717-，这个数的80%即为72880%1785-⨯=-．【总结】考查根据题目条件确定相关有理数的取值解决问题．【练习31】 若3x =，则x =______；若15x-=，则x =______． 【难度】★★【答案】3±，15±．【解析】由3x =，得3x =±；由15x -=，得15x-=±，则15x =±． 【总结】考查根据数字的绝对值确定相应数字的取值．【练习32】 已知2x >，则11x x +--=______． 【难度】★★【答案】2．【解析】由2x >，则有10x +>，10x -<，则()()11112x x x x +--=++-=． 【总结】考查根据题目条件进行去绝对值的化简计算．【练习33】 如果规定运算a b a b *=--，那么()31 1.24⎛⎫*-= ⎪⎝⎭______．【难度】★★【答案】1120-．【解析】根据运算法则，可知()()33111 1.21 1.24420⎛⎫*-=---=- ⎪⎝⎭．【总结】考查新定义计算，根据新定义计算的法则用数值替换字母计算即可．【练习34】 数轴上原点右边4厘米处的点表示的有理数是32，那么数轴上原点左边10厘米处的点表示的有理数是______． 【难度】★★【答案】80-．【解析】距原点4厘米处表示的点是32，则距原点10厘米处表示的数的绝对值即为()1032480⨯÷=，点在原点左边，故为负值，即为80-． 【总结】考查数轴的单位长度处处相等．【练习35】 两滴墨水洒在一个数轴上，如图所示．试根据图中标出的数值，计算墨迹盖住的整数共有______个． 【难度】★★ 【答案】277．【解析】墨迹盖住负数部分所包含的整数从109~12--，盖住的整数个数为()()12109198---+=，墨迹盖住的正数部分包含的整数从11~189，则整数个数为 18911117-+=，即墨迹盖住的整数共98179277+=个．【总结】考查数轴上的某一段距离的整点个数，计头计尾，同时注意数轴上点的大小的变化．【练习36】 已知4x =，5y =，且x y >，则y x -=______． 【难度】★★【答案】9-或1-．【解析】由4x =，5y =，可得4x =±，5y =±，由x y >，得，5y =-，由此则 有9y x -=-或1-．【总结】考查根据题目条件确定相应未知数的值进行解题计算．109.2-11.9-10.3【练习37】 你知道20162除以3的余数是多少吗？我们通过下面的实践来解决这个问题：（1）12032=⨯+，显然12除以3的余数为2； （2）22131=⨯+，显然22除以3的余数为1； （3）32=_______，显然32除以3的余数为_______； （4）42=_______，显然42除以3的余数为_______； ……观察右侧的结果所反映的规律，我们可以猜想出20162除以3的余数是______． 【难度】★★【答案】232⨯+，2，531⨯+，1，1．【解析】由以上过程，可知2的奇数次幂除以3的余数为2，2的偶数次幂除以3的余数为1， 即猜想得到20162除以3的余数是1． 【总结】考查找规律的方法并进行猜想应用．【练习38】 a 、b 、c 三个有理数在数轴上的位置如图所示，则1c a -、1c b -、1a b-中最大的 是______． 【难度】★★★【答案】1a b-． 【解析】根据数轴上点的位置关系，可知c b a <<，则有0c a -<，0c b -<，0a b ->，由此可得10c a <-，10c b <-，10a b >-，由此可知1a b -最大． 【总结】考查根据数轴上点的位置关系确定相应字母的大小关系进行解题应用．【练习39】 ()()242340x y z ++-+-+=，则y z x x +=______． 【难度】★★★【答案】8．【解析】由()()242340x y z ++-+-+=，根据20x +≥，()230y -≥，()440z -+≥， 可得203040x y z +=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得234x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则有()()34228168y z x x +=-+-=-+=．【总结】考查偶次方和绝对值的非负性．【练习40】 如果51x x -++是一个常数，则这个常数的值为______． 【难度】★★★【答案】6．【解析】分类讨论得：当5x ≤时，原式()51516x x x x =--++=-+++=；当5x >时，原式()5124x x x =-++=-；综上，当5x ≤时，式子值为常数，即得常数值为6． 【总结】考查绝对值的分类去绝对值计算．【练习41】 将 2.5-，12，2，0，2--，()3--在数轴上表示出来，并用“>”把它们连接起来．【难度】★★【答案】()13202 2.52-->>>>-->-，数轴略． 【解析】22--=-，()33--=，根据数轴的特性，数轴上的数从左往右依次增大，由此 可知()13202 2.52-->>>>-->-． 【总结】考查数轴上点的表示和相应数轴上表示数的大小的变化．【练习42】 数轴上表示数a 的点到原点的距离为5，求5a -的值． 【难度】★★【答案】0或10-．【解析】表示数a 的点到原点的距离为5，可知5a =±，则有50a -=或10-． 【总结】考查数轴上到原点距离相等的点有两个，互为相反数．【练习43】 某班学生上体育课，对男生做俯卧撑测试，以规定时间内做40个为达到标准，问：（1）这10名男生成绩的达标率为多少？ （2）他们共做了多少个俯卧撑？【难度】★★【答案】（1）70%；（2）408个．【解析】（1）达到40个即为达标，用正负表示0页包含在内，即达标的有7人，达标率为 710100%70÷⨯=；（2）共做俯卧撑()()()23103123231040408++-++-++-++++⨯=⎡⎤⎣⎦个． 【总结】考查相应计量标准的应用，注意计算总数量时不要忘记标准值．解答题【练习44】 已知x 、y 是有理数，且()()221210x y -++=，求x + y ．【难度】★★【答案】12或32-． 【解析】由()()221210x y -++=，()210x -≥，()2210y +≥，即得10x -=，210y +=， 解得：1x =±，12y =-，由此得12x y +=或32-．【总结】考查平方的非负性，根据性质即可求得对应字母取值．【练习45】 计算：（1）()()23551110.420.2119.711.73232⎡⎤⎡⎤--+--÷-⨯+⨯⎣⎦⎢⎥⎣⎦； （2）()()()323520.3873410⎧⎫⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯-+⨯-÷-+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭；（3）()()2222213923133413⎡⎤-⎛⎫⎛⎫+---÷-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （4）22223211218538232492255⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷-+⨯÷ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⨯-÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）32；（2）56-；（3）9352；（4）252-． 【解析】（1）原式()()()5553111211.719.71281323222=----⨯⨯-=--⨯⨯-=-+=⎡⎤⎣⎦； （2）原式()()()()238422856=-⨯-⨯-+=-⨯=-⎡⎤⎣⎦； （3）原式419947794779329139413133613135252⎛⎫=+-+÷⨯=+⨯=+=⎪⎝⎭； （4）原式()351498882553492436122922525⎛⎫⨯-⨯-+⨯÷+ ⎪⎝⎭===--⨯÷-． 【总结】考查有理数的四则混合运算，注意运算顺序和运算律的运用．【练习46】 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，若11m a b b a c c =+------，求1000m 的值．【难度】★★【答案】2000-．【解析】根据数轴上字母顺序，可知01b a c <<<<，则有0a b +<，10b -<，0a c -<， 10c ->，则有()()()()112m a b b a c c =-++-+---=-，得10002000m =-．【总结】考查去绝对值的运算，先根据绝对值中式子与0的大小关系去绝对值再代值计算．【练习47】 若201522016x =，求12345x x x x x x +-+-+-+-+-的值． 【难度】★★【答案】9．【解析】由201522016x =，可得23x <<，则0x >，10x ->，20x ->，30x -<，40x -<，50x -<，则原式()()()()()123459x x x x x x =+-+-------=．【总结】考查去绝对值的运算，先根据绝对值中式子与0的大小关系去绝对值再代值计算．【练习48】 已知三个有理数a 、b 、c 的积为负数，它们的和是正数，当a b c x abc=++时，求2018201620182017x x -+的值． 【难度】★★★【答案】2015．【解析】三个有理数积为负数，则必有三个同为负数或二正一负，又根据三数和为正数，可知必为二正一负，对任一非零数而言，必有1kk =±，本题中即可得()1111x =++-=，则20182016201820172016201820172015x x -+=-+=．【总结】考查根据条件确定数字的正负，结合1kk =±进行计算．【练习49】 化简32x x ++-． 【难度】★★★【答案】略．【解析】本题中未给出x 的具体取值范围，不能确定各绝对值中式子与0的大小关系，由此 需进行分类讨论，按照式子为0的相应x 值作为取值范围的分段： 当3x ≤-时，原式()()323221x x x x x =-+--=---+=--； 当32x -<<时，原式()()32325x x x x =+--=+-+=； 当2x ≥时，原式()()323221x x x x x =++-=++-=+． 【总结】考查绝对值的分类去绝对值计算．【练习50】 如果31x x -+-是一个常数，求x 的取值范围和这个常数的值． 【难度】★★★【答案】2，13x ≤≤．【解析】本题去绝对值需进行分类讨论，按照式子为0的相应x 值作为取值范围的分段：当1x <时，原式()()313124x x x x x =----=-+-+=-+； 当13x ≤≤时，原式()()31312x x x x =--+-=-++-=； 当3x >时，原式()()313124x x x x x =-+-=-+-=-； 综上，式子值为常数时，即为2，此时取值范围为13x ≤≤． 【总结】考查绝对值的分类去绝对值计算．。
第2讲 绝对值的化简(教师版)
，
①当 ， ， 都是正数时，
②当 ， ， 都是负数时，
③当 ， ， 有一个负数时，
④当 ， ， 有两个负数时，
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
例题5
若
，求
的值．
答案 -3或1
解析 当
中有三个负数或一个负数 中有三个负数时，
当 中有一个负数时，
； ；
； ．
或． 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
例题1
、 、 在数轴上的位置如图所示，化简
．
答案 ． 解析 略 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
设 ， ， 为非零实数，且
，
，
．化简
．
答案 解析
，
，；
，
；
，
，
所以可以得到 ， ， ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
模块二 绝对值的无条件化简
考点 零点分段法
知识导航
时，
．
答案
解析 由题：
，
，
∴ 、 、 两正一负，
∴
，
原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
作业8
已知 是非 有理数，求
．
答案
解析 若 是非 有理数，则 或 ； 当 时，
当 时，
∴
．
； ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
教师备选
若 、 、 为整数，且
，试计算
答案
解析 ， ， 均为整数，则 ， 也应为整数，且
数与式热点问题(三)绝对值问题(教师版)
数与式热点问题（三）---绝对值问题一、知识要点：（一）绝对值的代数意义及性质：1.绝对值的代数意义：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的性质：①非负性：0a ≥②双解性：(0)ab b =≥⇒a b=±③a a =⇔0a ≥，a a =-⇔0a ≤④ab a b=⑤(0)a a b b b=≠⑥222a a a ==⑦ab a b a b -≤+≤+，左边等号当且仅当0ab ≤时取到，右边等号当且仅当0ab ≥时取到。
⑧a b a b a b -≤-≤+，左边等号当且仅当0ab ≥时取到，右边等号当且仅当0ab ≤时取到。
（二）绝对值的几何意义及基本结论：1.绝对值的几何意义①x 的几何意义：数轴上表示数x 的点与原点的距离；②x a -的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 的点之间的距离；③||||x a x b -+-的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 、b 两点的距离之和．2.基本结论：令123n a a a a ≤≤≤≤…，123||||||+||n x a x a x a x a -+-+-+-… ①当n 为奇数时，当12nx a +=时取最小值；②当n 为偶数时，当122n n a x a +≤≤时取最小值．方法：直接套用几何意义画数轴．（三）零点及零点分段法：1.零点：使绝对值为0的未知数值即为零点．2.零点分段法：①寻找所有零点，并在数轴上表示；②依据零点将数轴进行分段；③分别根据每段未知数的范围去绝对值．二、题型：（一）利用绝对值的性质进行化简1.已知223x y -=，化简21x y x y-----解：移项，得232y x -=-，32020x y -≥⎧⎨-≥⎩，解得：3,22x y ≤≥；21(2)(1)()32x y x y x y y x y-----=-----=-2.已知实数,,a b c 在数轴上对应点的位置如图所示，化简2b c c a a b -++--．解：由图可知，0c a b <<<，∴0b c ->，0c a +<，0a b -<．∴22()()()223b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c -++--=--++-=---+-=-．3.已知一次函数(3)2y m x n =-+-（,m n 为常数）的图象如图所示，则化简21n m n m -----的结果为（D ）A、23n -+B、23m -+C、3m -D、1-解：观察图象可得：30,20m n ->-<,3,2m n ∴><21()(2)(1)1n m n m m n n m -----=-----=-故选：D4.化简：（1）|5||23|x x ++-（2）||1|3|x +-解：（1）先找零点.50x +=，5x =-；230x -=，32x =，零点可以将数轴分成三段．当32x ≥，50x +>，230x -≥，|5||23|32x x x ++-=+；当352x -<≤，50x +≥，230x -<，|5||23|8x x x ++-=-；当5x <-，50x +<，230x -<，|5||23|32x x x ++-=--．（2）先找零点．由10x +=得1x =-；由|1|30x +-=得4x =-或2x =．所以零点共有4-，1-，2三个，故将数轴分为4个部分．当4x <-时，原式|(1)3||4|4x x x =-+-=--=--；当41x -≤<-时，原式|(1)3||4|4x x x =-+-=--=+；当12x -≤<时，原式|(1)3||2|2x x x =+-=-=-；当2x ≥时，原式|(1)3||2|2x x x =+-=-=-．（二）根据绝对值的性质求值1.已知：13a -=，||5b =，且||a b b a -=-，求ab 的值．分析:利用绝对值的定义先求出,a b 的可能取值，再求ab 的值即可．解：∵|1|3a -=，||5b =，∴13a -=±，4a =或2-，5b =±，∵||a b b a -=-，∴0a b -<，∴a b <，∴4a =或2-时，5b =，∴20ab =或10-．2.已知1a =，2b =，3c =，且a b c >>，则a b c -+=0或2-解：∵1a =，，2b =，3c =∴1a =±，2b =±，3c =±又∵0a b >>，∴1a =±，2b =-，3c =-当1a =时，1230a b c -+=+-=，当1a =-时，1232a b c -+=-+-=-3.若,,a b c 为整数，且202320231a b c a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值.解：,,a b c 为整数，且202320231a b c a -+-=，10a b c a -=⎧∴⎨-=⎩或01a b c a -=⎧⎨-=⎩，1c b ∴-=2c a a b b c ∴-+-+-=4.如果,,a b c 是非零实数，且0a b c ++=,那么a b c abc a b c abc+++的所有可能值为(A )A.0 B.1或1- C.2或2- D.0或2-解析:由已知可得：,,a b c 为两正一负或两负一正.①,,a b c 为两正一负时，1a b c a b c ++=，1abc abc =-，0a b c abc a b c abc∴+++=②,,a b c 为两负一正时，1a b c a b c ++=-，1abc abc =，0a b c abc a b c abc ∴+++=由①②知a b c abc a b c abc+++的所有可能值为05.阅读下列材料：(0)0(0)(0)x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，即当0x <时，1||x x x x ==--．用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a 、b 是实数，当0ab >时，求||||a b a b +的值；（2）已知a 、b 、c 是实数，当0abc >时，求||||||a b c a b c ++的值；（3）已知a 、b 、c 是实数，0a b c ++=，0abc <，求||||||b c a c a b a b c +++++的值．分析:（1）确定a 、b 的符号，再根据绝对值的性质进行计算即可；（2）确定a 、b 、c 三个数中负数的个数，再根据绝对值的性质进行计算即可；（3））根据0a b c ++=，可得a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，进而得出||||||||||||b c a c a b a b c a b c a b c +++++=---，再由0abc <，确定a 、b 、c 三个数中负数的个数，再根据绝对值的性质进行计算即可；解：（1）∵0ab >，∴a 、b 同号，即0a >，0b >或0a <，0b <，∴112||||a b a b +=+=或112||||a b a b +=--=-；（2）∵0abc >，∴a 、b 、c 中有3个正数或一正两负，当a 、b 、c 都是正数时，1113||||||a b c a b c ++=++=；当a 、b 、c 中有一正两负时，1111||||||a b c a b c ++=--=-；（3）∵0a b c ++=，∴a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，∴||||||||||||b c a c a b a b c a b c a b c +++++=---，又∵0abc <，0a b c ++=，∴a 、b 、c 中一负两正，∴1111||||||||||||b c a c a b a b c a b c a b c +++++=---=--=-；答：||||||b c a c a b a b c +++++的值为﹣1．点评：本题考查绝对值，理解绝对值的意义，确定当0a >，0a <时||a a 的值是正确解答的关键．6.对于一个数x ，我们用(]x 表示小于x 的最大整数，例如：(]2.62=，(]34-=-．（1）填空：(]10=．(]2022-=，17⎛⎤= ⎥⎝⎦；（2）若,a b 都是整数，且(]a 和(]b 互为相反数，求代数式()3a a b b -+⨯+的值；（3）若(](]26x x +-=，求x 的取值范围．分析:（1）根据(]x 表示的意义，这个进行计算即可；（2）根据,a b 都是整数，且(]a 和(]b 互为相反数，得到2a b +=，进而求值即可；（3）分原点在表示数x 的点的右侧和在表示数2x -数的左侧两种情况进行解答．解：（1）根据(]x 表示的意义得：(]109=，(]20222023-=-，107⎛⎤= ⎥⎝⎦，故答案为：9，﹣2020，0；（2）∵,a b 都是整数，∴(]1a a =-，(]1b b =-，而(]a 和(]b 互为相反数，∴110a b -+-=，即2a b +=，因此()3332()4a a b b a a b b a b -+⨯+=--+=-+=-，答：代数式()3a a b b -+⨯+的值为4-；（3）当原点在大数的右侧时，有(]2x =-，此时，21x -<≤-，当原点在小数的左侧时，有(]4x =，此时，45x <≤，故x 的取值范围为21x -<≤-或45x <≤．点评：本题考查绝对值、相反数的意义，理解(]x 的意义是正确解答的关键．（三）解含绝对值的方程1.解下列方程（1）213x -=（2）211x -=【解析】（1）∵213x -=，∴213x -=±，∴2x =或1-．故答案为：2或1-．（2）∵211x -=，∴211x -=±∴22x =或20x =∴2x =0x =2.方程236x x -++=的解是:学科网]法1（代数法）：当3x <-时，由236x x -++=得(2)(3)6x x ---+=，即27x =-，解得 3.5x =-当32x -≤≤时，由236x x -++=得(2)(3)6x x --++=，即56=，无解当2x >时，由236x x -++=得(2)(3)6x x -++=，即25x =，解得 2.5x =综上所述，方程236x x -++=的解是 3.5x =-或2.5法2（几何法）：分析:236x x -++=的意义是:数轴上一动点()P x 到定点(2)与定点(-3)的距离之和为6，我们画出数轴如图：当点()P x 在点(-3)与(2)之间移动时，()P x 到定点(2)与定点(-3)的距离之和始终为5.所以要想达到6就必须移动到点(2)的右边或点(-3)的左边，当继续向右移动到点(2.5)时，如图3.容易求出()P x 到定点(2)的距离为0.5，到定点(-3)的距离为5. 5.所以 2.5x =满足题意，同理 3.5x =-也满足题意所以方程236x x -++=的解是 3.5x =-或2.5（四）解绝对值不等式1.解下列不等式(1)232x -≤(2)134x x -+->．解：(1)由232x -≤得2232x -≤-≤，则125x ≤≤，所以1522x ≤≤(2)法一（代数法）：由10x -=，得1=x ；由30x -=，得3x =；①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即244x -+>，解得0x <，又1<x ，∴0x <；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即14>，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即244x ->，解得4x >．又3x ≥，∴4x >．综上所述，原不等式的解为0x <或4x >．法二（几何法）：如图，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离PA ，即1PA x =-；3x -表示x 轴上点P 到坐标为3的点B 之间的距离PB ，即3PB x =-．所以，不等式134x x -+->的几何意义即为4PA PB +>．由2AB =，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．所以原不等式的解为0x <或4x >．2.阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即0x x =-；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离.绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：例1：解方程4x =.容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的4x =±；例2：解方程125x x ++-=.由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的x 的值.在数轴上，-1和2的距离为3，满足方程的x 对应的点在2的右边或在-1的左边.若x 对应的点在2的右边，如图1可以看出3x =；同理，若x 对应点在-1的左边，可得2x =-.所以原方程的解是3x =或2x =-.图1例3：解不等式13x ->.在数轴上找出13x ->的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2，4，如图2，在-2的左边或在4的右边的值就满足13x ->，所以13x ->的解为2x <-或4x >.图2参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程35x +=的解为________；（2）方程201712020x x -++=的解为________；（3）若4311x x ++-≥，求x 的取值范围.【分析】（1）根据例1的方法，求出方程的解即可；（2）根据例2的方法，求出方程的解即可；（3）根据例3的方法，求出x 的范围即可．解：（1）方程35x +=的解为2x =或8x =-；故答案为：2x =或8x =-；（2）方程201712020x x -++=的解为2x =-或2018x =；故答案为：2x =-或2018x =；（3）∵4311x x ++-≥表示的几何意义是在数轴上分别与4-和3的点的距离之和，而4-与3之间的距离为7，当x 在4-和3时之间，不存在x ，使4311x x ++-≥成立，当x 在3的右边时，如图3所示，易知当5x ≥时，满足4311x x ++-≥，当x 在4-的左边时，如图所示，易知当6x ≤-时，满足4311x x ++-≥，所以x 的取值范围是5x ≥或6x ≤-．图3（五）求最值1.式子36m -+的值随着m 的变化而变化，当m =时，36m -+有最小值，最小值是．分析:直接利用绝对值的性质分析得出答案．解：式子36m -+的值随着m 的变化而变化，当3m =时，36m -+有最小值，最小值是：6．故答案为：3，6．2.已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于()(A)1(B)5(C)8(D)3分析:2323a a a a -+-=-+-而式子23a a -+-的意义是:数轴上一动点()P a 到两定点(2)和(3)的距离之和.又04a ≤≤,作出数轴，如图.所以当点()P a 在两定点(2)和(3)之间(包括与两定点重合)时，23a a -+-取最小值为1;当点()P a 与原点(0)重合时，23a a -+-取得最大值为5，故选B.3.同学们都知道，5(2)--表示5与2-之差的绝对值，实际上也可理解为5与2-两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求5(2)--=；（2）同样道理10081005x x +=-表示数轴上有理数x 所对点到1008-和1005所对的两点距离相等，则x =（3）类似的52x x ++-表示数轴上有理数x 所对点到5-和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x ，使得527x x ++-=，这样的整数是．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x ，36x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．分析:（1）5与2-两数在数轴上所对的两点之间的距离为5(2)7--=；（2）在数轴上，找到1008-和1005的中点坐标即可求解；（3）利用数轴解决：把527x x ++-=理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，然后根据数轴可写出满足条件的整数x ；（4）把36x x -+-理解为：在数轴上表示x 到3和6的距离之和，求出表示3和6的两点之间的距离即可．解：（1）5(2)7--=；（2）(10081005)2 1.5-+÷=-；（3）式子527x x ++-=理解为：在数轴上，某点到5-所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，所以满足条件的整数x 可为5-，4-，3-，2-，1-，0，1，2；（4）有，最小值为3(6)3---=．4.阅读下面材料：如图，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，则A 、B 两点之间的距离可以表示为a b -．根据阅读材料与你的理解回答下列问题：（1）数轴上表示4与3-的两点之间的距离是；（2）数轴上有理数x 与有理数6所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为；（3）代数式5x +可以表示数轴上有理数x 与有理数所对应的两点之间的距离：若53x +=，则x =；（4）求代数式10085041007x x x ++++-的最小值．并直接写出这时x 的值为．分析:（1）代入a b -求解即可；（2）由两点之间的距离用绝对值的表达式表示即可；（3）由绝对值的定义求解即可；（4）画出数轴图，可得10085041007x x x ++++-的最小值为当504x =-时，代数式的最小值为1007(1008)--．解：（1）4(3)7--=；故答案为：7；（2）数轴上有理数x 与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为6x -；故答案为：6x -；（3）代数式5x +可以表示数轴上有理数x 与有理数5-所对应的两点之间的距离；若53x +=，则2x =-或8-，故答案为：2-或8-；（4）如图，10085041007x x x ++++-的最小值为当504x =-时，代数式的最小值为504100850450450410072015-++-++--=．5.在式子1234x x x x +++++++中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是()A.1 B.2 C.3 D.4[分析:式子1234x x x x +++++++的意义是:数轴上动点()P x 到定点(-1),(-2),(-3),(-4)的距离之和如图.显然当点()P x 在定点(-2),(-3)之间(包括与两定点重合)时，式子1234x x x x +++++++取得最小值，此时点()P x 到定点(-1),(-2),(-3),(-4)的距离之和为4，故选D.6.求|1||23||34|x x x -+-+-的最小值及此时x 的取值．解：原式34|1|2||3||23x x x =-+-+-，中位项为43x -，故43x =，最小值为23．7.求111|1||2||3|234x x x -+-+-的最小值及此时x 的取值．解：原式111|2||6||12|234x x x =-+-+-1(6|2|4|6|3|12|)12x x x =-+-+-，括号里的中位项为|6|x -，故6x =，最小值为72．8.在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化.材料一：我们知道a 的几何意义是：数轴上表示数a 的点到原点的距离；a b -的几何意义是：数轴上表示数a ，b 的两点之间的距离；a b +的几何意义是：数轴上表示数a ，b -的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解.（1）34x -=解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x 表示的点到3的距离等于4，∴7x =或1x =-（2）25x +=解：∵2(2)x x +=--，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x 表示的点到2-的距离等于5.∴3x =或7x =-材料二：如何求12x x -++的最小值.由12x x -++的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数1和2-两点的距离的和，要使和最小，则表示数x 的这点必在2-和1之间（包括这两个端点）取值.∴12x x -++的最小值是3；由此可求解方程124x x -++=，把数轴上表示x 的点记为点P ，由绝对值的几何意义知：当21x -≤≤时，12x x -++恒有最小值3，所以要使124x x -++=成立，则点P 必在2-的左边或1的右边，且到表示数2-或1的点的距离均为0.5个单位.故方程124x x -++=的解为： 2.5x =-或 1.5x =.阅读以上材料，解决以下问题：（1）填空：32x x -++的最小值为________；（2）已知有理数x 满足：31015x x ++-=，有理数y 使得325y y y -+++-的值最小，求x y -的值.（3）试找到符合条件的x ，使12x x x n -+-+⋅⋅⋅+-的值最小，并求出此时的最小值及x 的取值范围.【答案】（1）5（2）解：310x x ++-的最小值为13，∵31015x x ++-=，∴4x =-或11x =，∵325y y y -+++-表示数轴上表示y 到2-，3，5之间的距离和最小，∴当3y =时，有最小值7，∴7x y -=-或8x y -=；（3）解：12x x x n -+-+⋅⋅⋅+-表示数轴上点x 到1，2，3，…，n 之间的距离和最小，当n 是奇数时，中间的点为12n +，∴当12n x +=时，2112024(3)(1)4n x x x n n n --+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+-+-=，∴最小值为214n -；当n 是偶数时，中间的两个点相同为2n ，∴当2n x =时，212135(3)(1)4n x x x n n n -+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+-+-=，∴最小值为24n .9.若(12)(21)(31)36x x y y z z ++--++-++=，则23x y z ++的最大值是，最小值是.分析:式子12x x ++-的意义是:数轴上动点()P x 到定点(-1)与定点(2)的距离之和，显然这个距离之和存在最小值.如图，当点()P x 在定点(-1)与定点(2)之间时(包括与两定点重合)时，这个距离之和最小为3，此时x 的取值为12x -≤≤.同理可得21y y -++的最小值也为3，此时y 的取值为12y -≤≤.31z z -++的最小值为4，此时z 的取值为13z -≤≤.而(12)(21)(31)36334x x y y z z ++--++-++==××，即式子12x x ++-、21y y -++、31z z -++均取最小值时原等式成立，也即当12x -≤≤、12y -≤≤、13z -≤≤时原等式成立，所以当x 取最小值-1,y 取最小值-1，z 取最小值-1时，式子23x y z ++有最小值-6.所以当x 取最大值2,y 取最大值2,z 取最大值3时，式子23x y z ++有最大值15.即23x y z ++的最大值是15，最小值是-6.10.求|1||5|y x x =--+的最大值和最小值．解：零点为5-，1．当5x ≤-时，(1)(5)6y x x =--++=；当51x -<<时，(1)(5)24y x x x =---+=--，有66y -<<；当1x ≥时，(1)(5)6y x x =--+=-．故最大值为6，最小值为6-．11.已知759x -≤≤，求x 取何值时|1||3|x x --+取最大值与最小值．解：|1||3|x x --+表示x 到点1和3-的距离差，画出数轴，可得当79x =时两者的距离差最小为329-，即min 32(|1||3|)9x x --+=-；当53x --≤≤时，两者的距离差最大为4，即max (|1||3|)4x x --+=．12.阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离,即x x =-，也就是说，表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为1x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程2=．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的2x =±；例2：解不等式1->．如图，在数轴上找出12-=的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1，3，则12->的解为1x <-或3x >；例3：解方程125x -++=．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x 的值．在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或2-的左边．若x 对应点在1的右边，如图可以看出2x =；同理，若x 对应点在2-的左边，可得3x =-．故原方程的解是2x =或3x =-．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程34+=的解为______；（2）解不等式349x -++≥；（3）若34x a --+≤对任意的x 都成立，求a 的取值范围．解：（1）根据绝对值得意义，方程34x +=表示求在数轴上与3-的距离为4的点对应的x 的值为1或7-．（2）∵3和4-的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与4-的两侧．当x 在3的右边时，如图，易知4x ≥．当x 在-4的左边时，如图，易知5x ≤-．∴原不等式的解为4x ≥或5x ≤-（3）原问题转化为：a 大于或等于34x x --+最大值．当3x ≥时，347x x --+=-，当43x -<<，3421x x x --+=--随x 的增大而减小，当4x ≤-时，347x x --+=，即34x x --+的最大值为7．故7a ≥．。
4.1 指数函数-(必修第一册) (教师版)
指数函数1 指数运算(1) n 次方根与分数指数幂一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N ∗. 式子√a n叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.注意：(1) (√a n)n =a (2)当n 是奇数时，√a n n =a ，当n 是偶数时，√a n n =|a |={a,a ≥0−a,a <0.(2) 正数的正分数指数幂的意义① 正数的正分数指数幂的意义，规定：a m n=√a m n(a >0,m,n ∈N ∗,且n >1) 巧记“子内母外”(根号内的m 作分子，根号外的n 作为分母) Eg √x =x12，√x 53=x 53.② 正数的正分数指数幂的意义：a −mn =1a m n=√a mn>0,m,n ∈N ∗,且n >1)③ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. (3) 实数指数幂的运算性质① a s ∙a r =a r+s (a >0,r,s ∈R) ② (a s )r =a rs (a >0,r,s ∈R) ③ (ab)r =a r b r (a >0,r ∈R) 2 指数函数概念一般地，函数y =a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 3 图像与性质【题型一】指数幂的化简与求值【典题1】 求值(279)12−(2√3−π)0－(21027)−13+0.125−23+√3∙√(34)3.【解析】原式=(259)12−1−(6427)−13+(18)−23+312∙(34)32=53−1−(2764)13+(2−3)−23+32∙(14)32=23−34+4+98=12124.【点拨】一般可以带分数化假分数、小数化分数、根式化幂、整数化幂.【典题2】已知x 12−x −12=√5，则x 2+1x 2的值为______.【解析】由x 12−x−12=√5，两边平方得x −2+x −1=5，则x +1x =7，所以(x +1x )2=49⇒x 2+1x 2+2=49⇒x 2+1x 2=47. 【点拨】注意x 12−x −12，x +1x ，x 2+1x 2之间平方的关系. 【典题3】化简√11+6√2√11−6√2=________.【解析】√11+6√2+√11−6√2=√(3+√2)2+√(3−√2)2=3+√2+3−√2=6.【点拨】化简形如√a+b√m的式子，利用完全平方数处理.巩固练习1(★) 化简√a√a3a76(a>0)=.【答案】a−2 3【解析】原式=a 12÷a76=a12−76=a−23．2(★★)如果45x=3，45y=5，那么2x+y=．【答案】 1【解析】由45x=3，得(45x)2=9,45y=5，则452x×45y=9×5=45=1．∴452x+y=45．∴2x+y=1故答案为1．3(★★)已知a+1a=7，则a12+a−12=．【答案】3【解析】由a+1a=7，可得a>0，a12+a−12>0，∴a 12+a−12=√(a12+a−12)2=√7+2=3．故选：A．4(★★) (214)12−(−2)0−(278)−23+(32)−2=．【答案】1 2【解析】(214)12−(−2)0−(278)−23+(32)−2=[(32)2]12−1−[(32)3]−23+(23)2=32−1−49+49=12．5(★★)求值√7+4√3+√7−4√3=．【答案】4【解析】√7+4√3√7−4√3=√(2+√3)2+√(2−√3)2=2+√3+2−√3=4. 6(★★★) 已知实数x,y 满足3x +3y =9x +9y ，则27x +27y 3x +3y的取值范围是 .【答案】(1,98] 【解析】设3x+3y=t ≥2√3x+y ，∴3x+y≤t 24， 又3x +3y =9x +9y =(3x +3y )2－2×3x+y ， ∴3x+y=t 2−t2>0，∴t >1；∴t 2−t 2≤t 24即t 2－2t ≤0，解得0≤t ≤2；∴1<t ≤2； 由已知，27x +27y 3x +3y=(3x +3y )(9x −3x+y +9y )3x +3y=9x −3x+y +9y =3x +3y －3x+y=t −t 2−t 2=−12t 2+32t =−12(t −32)2+98，∴t =32时，27x +27y 3x +3y 的最大值为98；t =1时27x +27y 3x +3y 的最小值为1；所以27x +27y 3x +3y的取值范围是(1,98]．故答案为：(1,98]．7(★★★) 已知2a =3b =6，则a,b 不可能满足的关系是( ) A ．a +b =abB ．a +b >4C ．(a −1)2+(b −1)2<2D ．a 2+b 2>8【答案】C【解析】∵2a =3b =6，∴(2a )b =6b ,(3b )a=6a ， ∴2ab =6b ，3ba =6a ， ∴2ab •3ba =6b •6a ， ∴6ab =6a+b ，∴ab =a +b ，则有ab =a +b ≥2√ab ， ∵a ≠b ，∴ab >2√ab ， ∴a +b =ab >4，∴(a －1)2+(b －1)2=a 2+b 2－2(a +b)+2>2ab －2(a +b)+2>2， ∵a 2+b 2>2ab >8，故C 错误 故选：C ．【题型二】指数函数的图象及应用【典题1】函数y =2|1−x |的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解析】方法1 函数y =2|1−x |={2x−1,x >121−x ,x ≤1， (利用|x |={x,x ≥0−x,x <0去掉绝对值把函数变成分段函数)∴当x >1时，y =2x−1是增函数，当x ≤1时，y =21−x 的减函数， 且x =1时，y =1，即图象过(1,1)点； ∴符合条件的图象是A ． 故选：A ．方法2 利用函数的图象变换去掉y 轴左侧图象作关于y 轴右侧对称⇒右移1个单位⇒故选：A ．【典题2】设函数f(x)=|2x −1|，c <b <a ，且f(c)>f(a)>f(b)，判断2a +2c 与2的大小关系. 【解析】 f(x)=|2x −1|的图象可看成f (x )=2x 向下平移一个单位，再把x 轴下方的图象做翻转得到，其图象如下图所示，由图可知，要使c <b <a 且f(c)>f(a)>f(b)成立， 则有c <0且a >0， 故必有2c <1且2a >1，又f (c )−f(a)>0，即为1−2c −(2a −1)>0， ∴2a +2c <2．【点拨】涉及指数函数型的函数y=f(x)，往往需要得到其图象，方法有：①利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；②利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.巩固练习)x的交点个数有()1(★) 二次函数y=−x2−4x(x>−2)与指数函数y=(12A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】C【解析】因为二次函数y=－x2－4x=－(x+2)2+4(x>－2)，)x=2，且x=－1时，y=－x2－4x=3，y=(12)x的图象：则在坐标系中画出y=－x2－4x(x>－2)与y=(12由图可得，两个函数图象的交点个数是1个，故选C．2(★★)若函数y=a|x|+m−1(0<a<1)的图象和x轴有交点，则实数m的取值范围是() A．[1,+∞)B．(0,1)C．(－∞,1)D．[0,1)【答案】D【解析】0<a<1时，0<a|x|<1，∴m－1<a|x|+m－1<m；由函数y的图象和x轴有交点，∴m(m－1)≤0，0≤m≤1，综上，实数m的取值范围是[0,1)．故选：D．3(★★) 如图所示，函数y=|2x−2|的图象是()A．B．C．D．【答案】 B【解析】∵y =|2x －2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0．故选B ．4(★★) 已知实数a,b 满足等式2a =3b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0； ③0<a <b ；④b <a <0；⑤a =b ．其中可能成立的关系式有( ) A ．①②③ B ．①②⑤ C ．①③⑤D ．③④⑤【答案】 B【解析】令f(x)=2x 和g(x)=3x ，2a =3b 即f(a)=g(b)，如图所示 由图象可知①②⑤正确，故选B ．5(★★★) 若2x −5−x ≤2−y −5y ，则有( ) A ．x +y ≥0 B ．x +y ≤0 C ．x −y ≤0 D ．x −y ≥0【答案】B【解析】构造函数f(x)=2x －5−x ，易得函数f(x)单调递增， 由2x －5−x ≤2−y －5y ，可得f(x)≤f(－y) ∴x ≤－y ⇒x +y ≤0， 故选：B ．【题型三】指数函数的性质及应用 角度1 比较指数式的大小 【典题1】 设y 1=40.9,y 2=80.48,y 3=(12)−1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2【解析】利用幂的运算性质可得，y 1=40.9=21.8，y 2=80.48=21.44，y 3=(12)﹣1.5=21.5，再由y =2x 是增函数，知y 1>y 3>y 2． 故选：D ．【典题2】已知a =0.72.1，b =0.72.5．c =2.10.7，则这三个数的大小关系为( )A．b<a<c B．a<b<c C．c<a<b D．c<b<a【解析】根据指数函数的性质可得：函数y=0.7x是减函数，∵2.1<2.5，∴0.72.1>0.72.5，即a>b．又∵c=2.10.7>2.10=1，a=0.72.1<0.70=1，∴c<a，∴b<a<c，故选：A．【点拨】比较指数式的大小，主要是利用指数函数的单调性，具体方法有①把指数幂化为同底，再利用指数函数的单调性比较大小；②若不能化为同底，可对指数幂进行估值，一般可以与0，1比较大小；③利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.角度2 求解指数型不等式和方程【典题1】方程4x+1−3×2x+2－16=0的解是．【解析】4x+1−3×2x+2−16=0，即为4×(2x)2−12×2x−16=0令t=2x>0则有4t2−12t−16=0，解得t=4,t=−1(舍)所以2x=4，x=2故答案为x=2．【点拨】利用换元法，要注意幂的底数之间的关系，同时换元后t=2x>0是容易忽略的.【典题2】解不等式：a2x+1<a x+2+a x−2(a>0)【解析】∵a x+2+a x−2=(a2+1a2)a x,令t=a x原不等式变形得t2−(a2+1a2)t+1<0，即(t−a2)(t−1a2)<0，(注意因式分解)(1)当a2<1a2，即0<a<1时，则a2<t<1a2，即a2<a x<1a2，∴−2<x<2(2)当a2>1a2，即a>1时，则1a2<t<a2，即a−2<a x<a2，∴−2<x<2(3)当a 2=1a 2，即a =1时，无解．综上，当a ≠1时，−2<x <2；当a =1时无解． 【点拨】① 求解指数型不等式，特别要注意底数大于1还是小于1再利用对应指数函数的单调性求解；本题还要注意a =1；② 本题利用了换元法，题目不等式为含涉及含参的一元二次不等式的求解，对a 2，1a 2的大小比较是关键.角度3 指数型函数综合问题【典题1】已知定义在R 上的函数y =f(x)满足：①对于任意的x ∈R ，都有f(x +1)=1f(x)；②函数y =f(x)是偶函数；③当x ∈(0,1]时，f (x )=x +e x ，则f(−32)，f(214)，f(223)从小到大的排列是 . 【解析】由题意f(x +1)=1f (x )=f(x −1)，故函数y =f(x)为周期为2的函数； f(−32)=f(12)；f(223)=f(8−23)=f(−23)=f(23)；f(214)=f(6−34)=f(34)； (把自变量数值向(0,1]靠拢)∵当x ∈(0,1]时，f (x )=x +e x 是增函数， 故f(12)<f(23)<f(34)，即f(−32)<f(223)<f(214)．【典题2】若e a +πb ≥e −b +π−a ，则有( ) A ．a +b ≤0B ．a −b ≥0C ．a −b ≤0D ．a +b ≥0【解析】解法一：取特殊值排除法取a =0，b =1得1+π≥1e +1，满足题意，排除A,B ； 取a =1，b =0得e +1≥1+1π，满足题意，排除C ；故选：D ．法二：构造函数利用单调性令f(x)=e x −π−x ，则f(x)是增函数，∵e a +πb ≥e −b +π−a ⇒e a −π−a ≥e −b −πb ， ∴f(a)≥f(−b)，即a +b ≥0．故选：D．【点拨】①做选择题，利用“取特殊值排除法”是较快的一种方法，一般取数都是利于计算的；②遇到类似这样的题目，不等式e a+πb≥e−b+π−a的两边形式较为“一致”，一般都采取构造函数的方法处理，把不等式e a+πb≥e−b+π−a变形成e a−π−a≥e−b−πb，就较容易联想到构造函数f(x)=e x−π−x；③判断函数的单调性，可以采取“性质法”：增+增=增，减+减=减.【典题3】已知函数f(x)=a x，g(x)=a2x+m，其中m>0，a>0且a≠1．当x∈[−1,1]时，y=f(x)的最大值与最小值之和为52．(1)求a的值；(2)若a>1，记函数ℎ(x)=g(x)−2mf(x)，求当x∈[0,1]时，ℎ(x)的最小值H(m)．【解析】(1)∵f(x)在[－1,1]上为单调函数，f(x)的最大值与最小值之和为a+a−1=52，∴a=2或12．(2)∵a>1∴a=2则ℎ(x)=22x+m−2m×2x，令t=2x，∵x∈[0,1]时，∴t∈[1,2]，ℎ(x)=t2−2mt+m，对称轴为t=m(二次函数动轴定区间最值问题)当0<m<1时，H(m)=ℎ(1)=−m+1；当1≤m≤2时，H(m)=ℎ(m)=−m2+m；当m>2时，H(m)=ℎ(2)=−3m+4．综上所述，H(m)={−m+1,(0<m<1)−m2+m,(1≤m≤2)−3m+4,(m>2)．【点拨】本题第二问最后把问题转化为“二次函数在闭区间上的最值问题”中的“动轴定区间”，对对称轴t= m在区间[1,2]“左、中、右”进行分类讨论.【典题4】已知函数f(x)=9x−3x+1+c(其中c是常数)．(1)若当x ∈[0,1]时，恒有f(x)<0成立，求实数c 的取值范围；(2)若存在x 0∈[0,1]，使f(x 0)<0成立，求实数c 的取值范围；(3)若方程f(x)=c ∙3x 在[0,1]上有唯一实数解，求实数c 的取值范围.思路痕迹(1) 恒成立问题可转化为求函数y =f(x)的最大值，见到9x ，3x+1可以考虑换元法，则函数可变成二次函数的最值问题：(2) 该问是存在性问题，可转化为求函数y =f(x)的最小值.(3) 该问转化为方程t 2－(3+c)t +c =0在[1,3]上有唯一实数解，属于二次方程根的分布问题.【解析】(1)f (x )=9x −3x+1+c =(3x )2−3×3x +c ，令3x =t ，当x ∈[0,1]时，t ∈[1,3]， (利用换元法要注意新变量的求值范围)问题转化为当t ∈[1,3]时，g (t )=t 2−3t +c <0恒成立，于是只需g(t)在[1,3]上的最大值g(3)<0，即9−9+c <0，解得c <0．∴实数c 的取值范围是(−∞,0)；(2)若存在x 0∈[0,1]，使f(x 0)<0，则存在t ∈[1,3]，使g (t )=t 2−3t +c <0．于是只需g(t)在[1,3]上的最小值g (32)=(32)2−3∙32+c <0，解得c <94； ∴实数c 的取值范围是(−∞，94)；(3)若方程f(x)=c ∙3x 在[0,1]上有唯一实数解，则方程t 2−(3+c)t +c =0在[1,3]上有唯一实数解，(一元二次方程根的分布问题)因△=(3+c )2−4c =c 2+2c +9=(c +1)2+8>0，故t 2−(3+c)t +c =0在[1,3]上不可能有两个相等的实数解，令ℎ(t )=t 2−(3+c)t +c ．则ℎ(1)ℎ(3)≤0，所以−2∙(−2c )≤0，解得c ≤0．∴实数c 的取值范围是(−∞,0]．【点拨】 利用换元法把问题转化为二次函数问题；恒成立、能成立问题最终转化为最值问题，注意函数单调性.【典题5】 已知定义在(−1,1)上的奇函数f(x)．在x ∈(−1,0)时，f (x )=2x +2−x ．(1)试求f(x)的表达式；(2)若对于x ∈(0,1)上的每一个值，不等式t ·2x ·f (x )<4x −1恒成立，求实数t 的取值范围．【解析】(1)∵f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，∴f (0)=0，设x ∈(0,1)，则−x ∈(−1,0)，则f (x )=−f (−x )=−(2x +2−x )，故f (x )={2x +2−x 0−2x −2−x x ∈(−1,0)x =0x ∈(0,1)(2)由题意，t ·2x ·f (x )<4x −1可化为t ·2x ·(−2x −2−x )<4x −1化简可得t >−4x +14x +1，(此处恒成立问题用到“分离参数法”转化为最值问题)令g (x )=−4x +14x +1=−1+24x +1， (分离常数法) 易得g (x )在(0,1)上递减，∴g (x )<g (0)=−1+240+1=0，故t ≥0．(t 可取到0)【点拨】① 恒成立问题可转化为最值问题，其中手段常见分离参数法、直接构造函数法、数形结合法、变换主元法等；② 判断形如y =a∙f (x )+b m∙f (x )+n 函数的单调性，可用分离常数法；比如y =−x+12x+1，y =2x 2−3x 2+1，y =2x−1+12x +1等.巩固练习1(★) 设a =0.60.4,b =0.40.6,c =0.40.4，则a,b,c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a 【答案】 B【解析】∵a =0.60.4，c =0.40.4，由幂函数y =x 0.4的性质可得a >c ，b =0.40.6，c =0.40.4，由指数函数y =0.4x 的性质可得b <c ，∴b <c <a ．故选：B ．2(★★) 已知实数a ，b 满足12>(12)a >(√22)b >14，则( )A ．b <2√b −aB ．b >2√b −aC ．a <√b −aD ．a >√b −a【答案】B 【解析】由12>(12)a ，得a >1，由(12)a >(√22)b ，得(√22)2a >(√22)b ，得2a <b ， 由(√22)b >14，得(√22)b >(√22)4，得b <4．由2a <b ，得b >2a >2，a <b 2<2，∴1<a <2，2<b <4．取a=32,b =72，得√b −a =√72−32=√2，有a >√b −a ，排除C ；b >2√b −a ，排除A ；取a =1110,b =3910得，√b −a =√3910−1110=√145，有a <√b −a ，排除D ．故选：B ．3(★★) 设a >0,b >0，下列命题中正确的是( )A ．若2a +2a =2b +3b ，则a >bB ．若2a +2a =2b +3b ，则a <bC ．若2a −2a =2b −3b ，则a >bD ．若2a −2a =2b −3b ，则a <b 【答案】 A【解析】∵a ≤b 时，2a +2a ≤2b +2b <2b +3b ，∴若2a +2a =2b +3b ，则a >b ，故A 正确，B 错误；对于2a ﹣2a =2b ﹣3b ，若a ≥b 成立，则必有2a ≥2b ，故必有2a ≥3b ，即有a ≥32b ，而不是a >b 排除C ，也不是a <b ，排除D ．故选：A ．4(★★) 方程4x+1−3×2x+2−16=0的解是 .【答案】 x =2【解析】4x+1－3•2x+2－16=0即为4•(2x )2－12•2x －16=0令2x =t 则有4t 2－12t －16=0，解得t =4,t =－1(舍)所以2x =4,x =2故答案为x =2．5(★★) 若方程(14)x +(12)x −1+a =0有正数解，则实数a 的取值范围是 .【答案】(−3,0)【解析】设t =(12)x ，则有：a =－[(12)2x +2(12)x ]=－t 2－2t =－(t +1)2+1． 原方程有正数解x >0，则0<t =(12)x <(12)0=1， 即关于t 的方程t 2+2t +a =0在(0,1)上有实根．又因为a =－(t +1)2+1．所以当0<t <1时有1<t +1<2，即1<(t +1)2<4，即－4<－(t +1)2<－1，即－3<－(t +1)2+1<0，即得：－3<a <0，故选：B ．6(★★★) 已知函数f(x)=a x (a >0,a ≠1)在[−2,1]上的值域为[m,4]，且函数g(x)=3m−1x 在(0,+∞)上是减函数，则m +a = ．【答案】 1【解析】当a >1时，函数f(x)=a x 在[－2,1]上的值域为[m,4]，∴a =4，m =116， 函数g (x )=3m−1x =−1316x 在(0,+∞)上是增函数，不满足题意；当0<a <1时，函数f(x)=a x 在[－2,1]上的值域为[m,4]，∴a －2=4，a =12，此时m =12，函数g(x)=3m−1x =12x 在(0,+∞)上是减函数，满足题意； 综上知m +a =1．故答案为：1．7(★★★) 设不等式4x −m(4x +2x +1)≥0对于任意的x ∈[0,1]恒成立，则实数m 的取值范围是 ．【答案】(−∞,13]【解析】由4x －m(4x +2x +1)≥0，得m(4x +2x +1)≤4x ，即m ≤4x 4x +2x +1=11+12x +14x ， ∵x ∈[0,1]，∴12x ∈[12,1]，则(12x )2+12x +1=(12x +12)2+34∈[74,3]，∴11+12x +14x ∈[13,47]，则m ≤13．8(★★★)已知f(x)=a−23x+1(a∈R)：(1)证明f(x)是R上的增函数；(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)略，提示：定义法(2) a=1【解析】(1)证明：对任意x∈R都有3x+1≠0,∴f(x)的定义域是R，设x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=23x2+1−23x1+1=2(3x1−3x2)(3x1+1)(3x2+1)∵y=3x在R上是增函数，且x1<x2∴3x1<3x2且(3x1+1)(3x2 +1)>0⇒f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)<f(x2)∴f(x)是R上的增函数．(2)解：若存在实数a使函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)=0⇒a=1下面证明a=1时f(x)=1−23x+1是奇函数∵f(−x)=1−23−x+1=1−2⋅3x1+3x=1−2(3x+1)−21+3x=−1+21+3x=−f(x)∴f(x)为R上的奇函数∴存在实数a=1，使函数f(x)为R上的奇函数．9(★★★)设函数f(x)=a x−a−x(a>0且a≠1)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(1)<0，试判断函数f(x)的单调性．并求使不等式f(x2+tx)+f(4−x)<0对一切x∈R恒成立的t 的取值范围；(3)若f(1)=32，g(x)=a2x+a−2x−2mf(x)且g(x)在[1,+∞)上的最小值为−2，求m的值．【答案】(1)奇函数(2)−3<t<5(3) m=2【解析】(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)=a−x－a x=－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)f(x)=a x－a－x (a>0且a≠1)．∵f(1)<0，∴a－1a<0，又a>0，且a≠1，∴0<a<1，故f(x)在R上单调递减，不等式化为f(x2+tx)<f(x－4)，∴x2+tx>x－4，即x2+(t－1)x+4>0恒成立，∴△=(t－1)2－16<0，解得－3<t<5；(3)∵f(1)=32，∴a －1a =32，即2a 2－3a －2=0， 解得a =2或a =－12(舍去)，∴g(x)=a 2x +a −2x －2mf(x)=(2x －2−x )2－2m(2x －2−x )+2， 令t =f(x)=2x －2−x ，由(1)可知f(x)=2x －2−x 为增函数，∵x ≥1，∴t ≥f(1)=32， 令ℎ(t )=t 2−2mt +2=(t −m )2+2−m 2 (t ≥32)，若m ≥32，当t =m 时，ℎ(t )min =2−m 2=−2，∴m =2； 若m <32时，当t =32时，ℎ(t )min =－2，解得m =2512>32，无解；综上，m =210 (★★★) 已知函数f (x )=a ∙4x −2x+1+a +3.(1)若a =0，解方程f (2x )=−5；(2)若a =1，求f(x)的单调区间；(3)若存在实数x 0∈[−1,1]，使f (x 0)=4，求实数a 的取值范围.【答案】 (1) x =1 (2) 单调增区间是[0,+∞)，单调减区间是(−∞,0](3){a|1≤a ≤1+√52}【解析】⑴若0a =, 由()25f x =-，即21235x +-+=-，解得x =1 ⑵若1a =,则()1424x x f x +=-+，设12,x x R ∈，且12x x <，()()21f x f x -=221424x x +-+()111424x x +--+ ()()212144222x x x x =---()()212122222x x x x =-+-21220x x ->当[)12,0,x x ∈+∞时,有212220x x +->，()()2121222220x x x x ∴-+->， ()()21f x f x ∴>,()f x ∴在[)0,+∞上是增函数; 当(]12,,0x x ∈-∞时,有212220x x +-<，()()2121222220x x x x ∴-+-<，()()21f x f x ∴<,()f x ∴在(],0-∞上是减函数()f x ∴的单调增区间是[0,+∞)，单调减区间是(−∞,0] ⑶设2x t =,由[]01,1x ∈-,得1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,且()1242323x x f x a a a t t a +=⋅-++=⋅-++ ∴存在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得2234a t t a ⋅-++=,即2210a t t a ⋅-+-= 令()221g t a t t a =⋅-+-,若0a ≠,则函数()g t 的对称轴是1t a = 由已知得:方程()0g t =在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有实数解, ()()12012g g ⎛⎫∴⋅≤ ⎪⎝⎭,或由不等式()1得:()582550,145a a a ⎛⎫-⋅-≤∴≤≤ ⎪⎝⎭ 由不等式组()2得: 012285851a a a a a a >⎧⎪⎪≤≤⎪∴≤≤≤≤⎪⎪≥⎪⎪≥⎪⎩所以,实数a 的取值范围是{a|1≤a ≤1+√52}。
【精品】第03讲绝对值(教师版)A4
【解析】 x a 的几何意义是数轴上表示 x 的点与表示 a 的点之间的距离
例 1.2.3 如果对于某一给定范围内的 x 的取值范围是 ___________ 【答案】 4； 1 x 3
x 值， p x 1 x 3 为定值，则此定值为 ________，此时
【解析】 利用绝对值的几何意义，结合数轴解题．当
2． 一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值．即对于任意实数
a， a a ．
3． 乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商．
即对于任意实数 a、 b， ab a b ， a
a (b 0) ．
bb
4． 绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面．
例如： 2a 2 a ， a2b a2 b ．
0，则每一
4
初中数学
ab
ab ba
ab ．
ab
∴上式 x x 1 x 2 3 x 4 x 5 x 9 ．
随练 1.6 探究题： （ 1）比较下列各式的大小：
2 3 ______ 2 3 ， 3 5 ______ 3 5 ， 0 5 ______ 0 5 ． （ 2）通过（ 1）的比较，请你分析，归纳出当 a、 b 为有理数时， a b 与 a b 的大小关系． （ 3）根据（ 2）中你得出的结论，求当 x 5 x 5 时，求 x 的取值范围．
A． ﹣ 1 【答案】 B
B． 1
C． 3
【解析】 当 1 ＜ a＜ 2 时 ，
|a ﹣ 2|+|1 ﹣ a|=2 ﹣ a+a ﹣ 1=1 ．
） D． ﹣ 3
例 1.1.5 若 |m-n|=n-m ，且 |m|=4 ，|n|=3 ，则（ m+n） 2=____或 ____（按从小到大顺序填写）． 【答案】 1； 49
第3讲 绝对值的几何意义(教师版)
“当式子
取最小值时，相应的 的取值范围是
，最小值是
”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”
他们把数轴分为三段：
，
和 ，经研究发现，当
时，值最小为 ．
请你根据他们的解题解决下面的问题．
当式子
取最小值时，相应的 的取值范围是
，最小值
是
．
已知
，求相应的 的取值范围及 的最大值．写出解答过程．
表示数 所在的点到数 、 、 三点的距离之和， 则当数 所在的点落在数 所在的点上时，
取最小值，最小值为 ． ，
零点为 、 、 ，
则当
时，
取最小值，
最小值为
．
考点
数 有理数 数轴 数轴比较大小 数轴上的距离问题 绝对值的几何意义 绝对值的几何意义求最小值 绝对值化简 结合数轴化简绝对值
作业7
小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
当 为奇数时， 应设在第 台的位置．
．
当 为偶数时， 应设在第 台和
台之间任何地方；
当 为奇数时， 应设在第 台的位置．
当
时，原式的值最小，最小值是 ．
考点
数 有理数 绝对值化简 零点分段法 绝对值的综合应用
教师备选
同学们都知道，
表示 与 之差的绝对值，实际上也可理解为 与 两数在数轴上所对的两
点之间的距离．试探索：
答案
1． 2．
时，有最大值 ．
解析
当式子
，最小值是 ．
当
，时
当
，时
取最小值时，相应的 的取值范围是
． ．
当
，时
．
化简求值-教师版
（1）代数式；（2）单项式；单项式的次数；单项式的系数； （3）多项式；多项式的项；多项式的次数； （4）整式；（5）同类项；合并同类项； （6）整式的加减；一、代入法（1）求代数式的值最常用的方法就是代入法，即把字母所表示的数值直接代入，计算求值 （2）有时给出的不是字母的具体数值，就先进行简单的化简，求出字母的值。
（3）有时给出的是几个字母之间的关系时，可以把代数式化简成只含一个字母的式子，再去代入二、整体法（1）有些时候很难求出字母的数值或者根本就求不出字母的数值，这时可以题目的特点，将代数式的值进行整体代入；（2）整体与部分的辩证。
只有相对于部分所组成的整体而言，才是一个确定的部分，没有整体，也就无所谓的部分。
部分作为整体的组成，有时也可以当做一个整体。
在数学上，从一个问题的性质整体出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握他们之间的关联，进行有目的的，有意识的整体处理，所谓善于用“集成”的思想，譬如航天飞机有无数多的元件构成，某些元件发生故障，把该元器件所在的集成板整体换掉。
三、降次法当代数式是高次多项式时，可以通过已知的关系去代换降次。
化简求值同步练习知识回顾知识讲解模块一 代入求值【例1】 先化简，再求值（1）233(4333)(4)a a a a a +-+--+，其中2a =-；【解析】233(4333)(4)a a a a a +-+--+23533a a a =+--【答案】原式=7（2）22222222(22)(33)(33)x y xy x y x y x y xy ⎡⎤---++-⎣⎦，其中1,2x y =-=. 【解析】22222222(22)(33)(33)x y xy x y x y x y xy ⎡⎤---++-⎣⎦2222x y xy =-【答案】原式=12【变式练习】当211-=a 时，求代数式}3]9)2(85[4{1522222a a a a a a a a -+---+--的值。
七年级数学上册《绝对值》专项训练(教师版)
肃七年级数学上册《绝对值》专项训练辑一.选择题妍1,若」^1= — 1,则a为（）a蝇A. a> 0 B. a<0 C. 0v av 1 D. Tvav0菜考点：绝对值。
妨分析：根据―个负数的绝对值是它的相反数”求解.敢解答：解：<上」二—1,a鬟|a|=- a,着,「a是分母，不能为0,肃. . a v 0.聿故选B.蜗点评：绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.噩2.若ab>0,贝U占+4+_^_的值为（）Ib| |b| |ab|蒙A. 3 B. - 1 C. 土或i3 D.3 或—1衿考点：绝对值。
票分析：首先根据两数相乘，同号得正，得到a, b符号相同；再根据同正、同负进行分情况讨论.肄解答：解：因为ab>0,所以a, b同号.辐①若a, b同正，贝U &+&+_^_=1+1+1=3 ；lb I |b| |ab|薄②若a, b 同负，贝U -r^T+~r^T+ ।」＞=—1 — 1 + 1= — 1 .lb I |b| |ab|荽故选D.藏点评：考查了绝对值的性质，要求绝对值里的相关性质要牢记：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.该题易错点是分析a, b的符号不透彻，漏掉一种情况.筮3.已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，那么a+b+|c| 等于（）展A.TB.0 C. 1 D.2薇考点：有理数的加法。
薄分析：先根据有理数的相关知识确定a、b、c的值，然后将它们代入a+b+|c|中求解.腿解答：解：由题意知：a=1, b= - 1, c=0;犀所以a+b+|c|=1 — 1+0=0 .覆故选B.蜜点评：本题主要考查的是有理数的相关知识.最小的正整数是1,最大的负整数是-1,绝对值最小的有理数是0.蔻4.已知|a|=3, |b|=5,且abv0,那么a+b的值等于（）袁A. 8 B. - 2 C. 8 或—8 D. 2 或—2莆考点：绝对值；有理数的加法。
整式与绝对值的化简教案(优秀经典公开课教案)
整式与绝对值的化简三、师生合作，共同解题1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图，（1） c－b____0，则|c－b|= ；a＋b 0，则|a＋b|= .(2)化简：|c－b|＋|a＋b|.老师给出一个练习，让学生先进行思考后，老师做引导，总结出带有绝对值的整式如何化简？如何利用所学的知识对整式化简。
学生自己思考题目后，交流、讨论，先自己思考对于带有绝对值的整式应如何化简？再跟着老师一起理解并掌握整式与绝对值的化简。
鼓励学生相互交流，让他们先想、先说、先做，再规范学生的解题过程，避免了老师的单独说教，又激发了学习兴趣。
四、课堂练习2.已知a，b，c在数轴上的位置如图．化简：|a＋1|－|c－b|＋|b－1|.3.有理数a ,b，c在数轴上的位置如图，且表示数a的点和数b的点与原点的距离相等..bcaba--++化简：c ab04.若a<0，b>0，化简|b－a|＝___．|a－b|＝ .5．已知a，b，c在数轴上的位置如图,化简：|2a－b|＋|b－c|－2|c－a|.师生共同总结了绝对值与整式的化简方法后，老师给出课堂练习，巡视课堂，对还不太懂的同学进行单独指导。
学生在掌握了绝对值与整式的化简的方法后，进行课堂练习，做好后学生小组相互交流，最终学生展示答案。
通过练习来进一步掌握绝对值域整式的化简。
通过学生展示答案来培养学生的口头表达能力。
a b c1。
初一数学_第三讲_绝对值_教师版
第三讲 绝对值绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。
绝对值的定义及性质绝对值 简单的绝对值方程化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）绝对值几何意义的使用绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。
绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）-a (a ＜0)（3） 若|a|=a ，则a ≥0； 若|a|= -a ，则a ≤0；（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5） 若|a|=|b|，则a=b 或 a= -b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2；[例1]（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）A.a ＜0，b ＜0B.a ＞0，b ＜0C.a ＜0，b ＞0D.ab ＜0（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2（4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 练习1, 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？2,有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ）A.a ＞bB.a=bC.a<bD.无法确定3,若|x-3|=3-x ，则x 的取值范围是____________4,设a ，b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？5,若3|x-2|+|y+3|=0，则xy 的值是多少？[例2]有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|练习1,数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||2、有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|c b 0a例3】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值求|x-a 1|+|x-a 2|+…+|x-a n |的最小值：当n 为奇数时，把a 1、a 2、…a n 从小到大排列，x 等于最中间的数值时，该式子的值最小。