利用轴对称破解最短路径问题

第一章平移、对称与旋转

第4讲利用轴对称破解最短路径问题

一、学习目标

1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。

2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。

二、基础知识·轻松学

与轴对称有关的最短路径问题

关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：

（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；

（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。

（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直”。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。）

三、重难疑点·轻松破

最短路径问题

在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。

（1）“一线同侧两点”问题

例1 如图，点A、B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m于点P．（1）AB′与AP+PB相等吗为什么

（2）在m上再取一点N，并连接AN与NB，比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由．

解析：（1）∵点B′是点B关于m的对称点，

∴PB=PB′，∵AB′=AP+PB′，

∴AB′=AP+PB．

（2）如图：连接AN，BN，B′N，

∵AB′=AP+PB，

∴AN+NB=AN+NB′＞AB′，

∴AN+NB＞AP+PB．

点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短得出结果。这类题主考实际问题转化为数学问题的能力，关键是利用轴对称、“两点之间，线段最短”及三角形三边的关系等．

变式1 需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场

到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．

（2）“两点两线（平行）”问题

例2 如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短解析：虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸．关

键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法

使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的．

如图，作BB'垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，

连接AB′，与河岸EF相交于P，作PD⊥GH，

则PD∥BB′且PD=BB′，于是PDBB′为平行四边形，故

PD=BB′．根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AP+BD最短．

故桥建立在PD处符合题意．

点评：此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，解决“造桥选址”的简单的实际问题．但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．此类题往往需要利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．变式2 如图，两个村庄A和B被一条河隔开，现要在河

上架设一座桥CD．请你为两村设计桥址，使由A村到B村的距

离最小（假定两河岸m、n是平行的，且桥要与河垂直）．要求写出作法，并说明理由．（3）“一点两线（相交）”解决周长最短问题

例3：如图所示，∠ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一

点P1、P2，使△PP1P2的周长最小．

解析：依据两点之间线段最短，可分别作点P关于AB，AC

的对称点，如图，以BC为对称轴作P的对称点M，

以BA为对称轴作出P的对称点N，

连MN交BA、BC于点P1、P2

∴△PP1P2为所求作三角形．

点评：解题关键是转化“直线上同一侧两点与此直线

上一动点距离和最小”问题（将军饮马问题），其核心是化折为直（两点之间线段最短）的思想，转化技巧是能够运用轴对称性质及作图求解问题．

变式3 城关中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如

图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站

在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图

帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短

（4）“一线异侧两点”“差最大”问题

例4 在定直线XY异侧有两点A、B，在直线XY上求作

一点P，使PA与PB之差的绝对值最大．

解析：作法：作点B关于直线XY的对称点B′，

作直线AB′交XY于P点，

则点P为所求点（如图）；若B′A∥XY（即B′、A到直

线XY的距离相等），则点P不存在．

证明：连接BP，在XY上任意取点P′，

连接P′A、P′B，则PB=PB′，P′B=P′B，

因为|P′B﹣P′A|=|P′B′﹣P′A|＜AB′=|P′B﹣

PA|=|PB﹣PA|，

所以，此时点P使|PA﹣PB|最大．

点评：本题考查的是最短线路问题，解答此类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形，再由两点之间线段最短的知识求解．