趣味数学专题讲座

专题讲座

初中数学数与代数

数与代数在这一部分内容主要涉及到 6 个话题，前三个是和内容有关系的，第一个话题是数与式，第二个话题方程与不等式，第三个话题是函数；另外三个话题，是基于知识之上侧重培养学生的一些方面的能力，一是运算能力，一是符号意识，再一个是模型思想。

话题一数与式

一、重点

关于数与式的主要内容，包括有理数、实数、代数式和二次根式，代数式主要是整式和分式。这一部分内容的重点应当是强调理解数的意义，建立数感，理解代数式的表述功能，建立符号感，同时理解运算的意义，强调运算的必要性。

二、内容的变化

（一）降低了对于实数运算的要求。比如“会用平方运算求某些非负数的平方根与算术平方根，用立方运算求某些数的立方根”转化为“会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根”。

（二）取消了对“有效数字”的要求，但重视学生的估算能力，要求学生理解近似数。例如“能用有理数估计一个无理数的大致范围”, “了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值”。

（三）与实验稿比较，加强了对二次根式的要求，比如对二次根式的化简，分母有理化，但二次根式的运算仅仅限于根号下是数的情况。

（四）在具体情境中理解字母表示数的意义。例如要求“借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。”

（五）注重代数式的实际应用和实际意义。例如要求“能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。”以及“会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。”

（六）对于代数式的意义，除了关注数学意义外，还关注现实的意义。

（七）强调几何直观的作用。

（八）知道｜a｜的含义（这里a表示有理数）。

三、价值及作用

数与式这部分内容，在代数当中甚至在整个数学领域当中，都是非常重要的。具体的来讲，有下面的几点：

第一点，通过数与式的学习，使学生体会到数学与现实生活的密切联系，感受到数学的价值，能够培养学生对数学学习的兴趣，增强学生的应用意识。

关于数学和生活的联系，以及培养学生具有应用意识，可以举如下的例子：在我们学习数轴的时候，学生通过观察温度计、天平的标尺以及常见的两个相反方向行走的例子，能够从这些现

象当中得到数轴、抽象出数轴的这样一个概念。接下来我们就可以利用数轴联系数学内部的一些知识，即应用于数学内部。同时数轴作为一种工具，它又能很好地帮助学生理解其他生活中的问题，比如时区问题，化学中的一些常见的问题等等。

这就是我们说的核心的概念：几何直观。从温度计抽象出数轴来，同时数轴又帮助学生理解有理数及实数的概念。学习有理数之后数轴还不能被充满，但是学了实数之后这个数轴就被充满了。这样直观的一个工具，对于学生来理解实数是非常有帮助的。

第二点，我们来谈谈关于数的概念和运算、代数式的建立、以及推导与探究性的活动，有利于学生形成数感、符号感的问题。学习数的概念和数的运算，除了学生会运算之外，数感和符号感也都是在这个过程当中逐渐发展起来的，而且通过学习数的概念和数的运算，不仅能够提高学生的运算能力，同时也能够发展学生的推理能力，对于提高学生的思维水平都是非常重要的载体。如：对于一般化的处理方法，因为字母表示数，实际上就是把数的概念和运算进行了一般化的处理，这样就把学生的思维水平提高到抽象化的水平，同时也会逐渐通过式的建立以及对式的进一步学习，逐步形成模型的思想。

我们在学习幂的运算这一部分内容时，教师们通常是让学生在原有的一些知识基础之上，猜想观察猜想出幂的运算规律，从数的计算开始，103 × 102= 10 5=10 3+2，a 4× a 3 =a 7 =a4+3，a m· a n ＝ a m + n逐步地提升到用字母来表示。再将这个公式应用于数

学问题，这样的话，学生经历了从特殊到一般，再从一般到特殊这样一个过程，体会了这样一个数学思想。但这个过程我想其实充分体现了符号对数学学习的意义。

我们观察幂的运算公式，会发现幂之间所做的运算，如果幂之间做的是乘除运算，到了指数上它就会变为加减运算，运算等级降了一级，幂做乘方的运算，在指数上就变为了乘法的运算，其实也是降了一级。而学生无论通过观察，还是在教师的适当引导下，他都能够认识这样的规律，产生这样的意识，这正是学生积累了一定的符号感。符号感的获得一方面基于对算理的理解，也是基于学生不断的归纳和类比和各种方法的运用，就可以逐步获得这样一种意识。

这个例子挺好，里面就体现了符号表示的一般化作用，因为在前面通过具体的数字产生了一种猜想，有可能这个同底的幂做乘法是指数相加，然后再根据指数幂的意义进行计算，就得到一个一般化结论，所以这个过程中除了有符号感，也有合情推理的成分。因此我们认为，这部分内容不仅能够发展学生的运算能力，而且也发展了学生的符号感还有推理能力。

第三点价值，体现在数学里面，我们经常看到一些对立统一思想。例如在一些概念、一些量中我们会发现，正数与负数，精确与近似，还有已知与未知之间的转换等等这些概念中都蕴含着

统一思想。这些内容的学习确实有助于学生提高他们用唯物主义的思想和科学的观点来认识客观事件的能力。而且也体现模型思想，比如正数与负数，在生活中我们表示东与西就用正数与负数，所以正数负数它不单纯就是我们所学的计算等等，最后它已经成为表示具有相反意义的量的一个数学模型。

话题二方程与不等式

一、重点

方程与不等式在初中阶段主要涉及到这样一些内容，一个就是关于方程的，比方说一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，可化为一元一次方程的分式方程。不等式主要是一元一次不等式，和一元一次不等式组。

方程和不等式这个话题里面，这部分内容一个我们强调方程和不等式的模型思想，也就是说如何从现实生活中去把问题进行抽象，用这种方程的形式和不等式的关系刻划出来，然后进行讲学，最后运用到现实问题。所以这一部分内容就是一个重点，还是突出它的模型思想，当然另外一个部分，也是我们在这部分内容所突出的一个重点，那就是如何解这个方程和不等式。

二、内容的变化

在方程部分变化的内容为：

（一）与实验稿相比，有些内容适当增加：如一元二次方程的根与系数的关系，但不要求应用这个关系解决其他问题，了解就可以了，不要深挖洞。