【安全课件】第14讲—序列密码
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m序列的统计特性 1、 m序列的“0、1”信号的频次规律
性质1 ：r级m序列的一个周期中，1出现 2r1个， 0出现 2r1 1个。
11
m序列的游程分布规律
若干个信号连续出现的现象称游程。对于序列 a，称a中形如01…10或10…01的段为一个1游 程或0游程，游程中所含1或0的个数称为该游 程的长度，如0110为一个长为2的1游程，101 为一个长为1的0游程。
将上式中的D用符号x代替，引入多项式：
f (x) cr xr cr1xr1 c1x 1
从而有：f (D)an 0, (n r) 那么对于序列a， f (D)a 0
18
生活中的辛苦阻挠不了我对生活的热 爱。20.12.720.12.7Monday, December 07, 2020
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。13:57:5213:57:5213:5712/7/2020 1:57:52 PM
8
序列和周期
一般地，一个移存器序列表示为：a a0a1a2 ai • 对于序列 a a0a1a2 ，ai 若 存在整数p使得对任
意正整数k有ak ak p 成立，称满足该式的最小 正整数p为序列的周期。 r级线性反馈移存器的最长周期: 2r 1 ，能达 到最长周期的线性移存器序列称为m序列。
相信命运，让自己成长，慢慢的长大 。2020年12月7日星期 一1时57分52秒Monday, December 07, 2020
爱情，亲情，友情，让人无法割舍。20.12.72020年12月7日 星期一 1时57分52秒20.12.7
谢谢大家！
15
二、m序列特性
（三）自相关特性
若 a (a0a1a2 )是一个周期为p的0、1序列， 定义{0 1}上的映射η为：(0) 1, (1) 1 ，定义 序列 a (a0a1a2 ) 的自相关函数为
p 1
C(t) (ai )(ait ) i0
性质5：若 a (a0a1a2 ) 是一个r级m序列，那么
17
反馈多项式的含义
一个r级线性移存器的线性递推式表示为：
an c1an1 c2an2 cr anr (n r)
引进迟延算子D：Dak ak1, Diak aki , D0 I 递推式可改写为：c0Ian c1Dan c2D2an cr Dran 0 即：(c0 c1D c2D2 cr Dr )an 0 c0 1
2
实例（画出移存器的逻辑框图，写出相应的线性
递推式）
多项式
f (x) x4 x3 x2 1
答案： 线性递推式： at=at-4+at-3+at-2
x1
x2
x3
x4
3
非退化的移位寄存器
若反馈函数形如：f (x1, x2, , xn ) cnx1 cn1x2 c1xn
，其中 ci GF(q),1 i n ，则称其为线性反馈寄存 器；否则称其为非线性反馈移为寄存器。
加强自身建设，增强个人的休养。2020年12月7日下 午1时57分20.12.720.12.7
精益求精，追求卓越，因为相信而伟 大。2020年12月7日星 期一下 午1时57分52秒13:57:5220.12.7
让自己更加强大，更加专业，这才能 让自己 更好。2020年12月下 午1时57分20.12.713:57December 7, 2020
a G( f ),b G( f ), a b G( f ), , GF (q)
特例：当q=2时，G(f)中任意两个序列之和仍然 属于G(f)。
5
(不)可约多项式
(不)可约多项式 定义：若存在g(x),h(x)，使得f(x)=g(x)h(x)，则
称f(x)是可约多项式；否则，称其为不可约多 项式。
这些年的努力就为了得到相应的回报 。2020年12月7日星期 一1时57分52秒13:57:527 December 2020
科学，你是国力的灵魂；同时又是社 会发展 的标志 。下午1时57分 52秒下 午1时57分13:57:5220.12.7
每天都是美好的一天，新的一天开启 。20.12.720.12.713:5713:57:5213:57:52Dec- 20
2r 2
2r 1,
t0
C(t) (ai )(ait )
i0
1,
0 t 2r 1
16
习题
一、一个线性移存器如图，
（1）写出该线性移存器的线性递推式。 （2）写出该线性移存器的联接多项式。 （3）写出该线性移存器生成的序列。
1
2
3
4
二、已知 f (x) x6 x 1 是6次本原多项式，a是 f (x) 生 成的m序列， （1） a的周期是多少？ （2） a在的一个周期内，0、1各出现多少次？ （3） a在的一个周期内，游程分布如何？
6
定理2：若f(x)|h(x)，则G(f) G(h).
例1：联结多项式为
f(x)=x4+x3+x+1=(x+1)2(x2+x+1)
线性递推式：at=at-4+at-3+at-1 输出序列：000111//000111//…… 周期为6
011//011//……
周期为3
001//001//……
• 在密码学中，我们希望参与变换的序列周期越 长越好，因此对线性反馈移存器我们更感兴趣 的是能达到最长周期的序列，即m序列。
9Βιβλιοθήκη Baidu
本原多项式
若n次多项式f(x)是不可约多项式且 p(f)=qn-1，则称f(x)是GF(q)上的本原多项式。
以本原多项式为连接多项式产生的非零序 列均是m序列。
10
m序列特性
做一枚螺丝钉，那里需要那里上。20.12.713:57:5213:57Dec -207-D ec-20
日复一日的努力只为成就美好的明天 。13:57:5213:57:5213:57Monday, December 07, 2020
安全放在第一位，防微杜渐。20.12.720.12.713:57:5213:57:52December 7, 2020
12
m序列的游程分布规律
性质2：将r级m序列的一个周期段首尾相接，其游程 总数为N=2r-1；其中没有长度大于r的游程；有1个长 度为r的1游程，没有长度为r的0游程；没有长度为
r-1的1游程，有1个长度为r-1的0游程；有 2r2k个长 度为k(1 k r 2) 的1游程，有2r2k 个长度
周期为3
01//01//……
周期为2
111111…..
周期为1
000000……
周期为1
7
极小多项式
定义：对于一条移位寄存器序列a，称其联 结多项式中次数最低的多项式为a的极小多 项式。
定义：满足f(x)|1-xr 的最小正整数r为f(x)的
周期，记为p(f(x))，简记为p(f)。
例子：x4+x3+x2+x+1的周期为5 (x4+x3+x2+x+1)(x+1)=x5+1
14
二、m序列特性
（二）移加特性
L(t)(a)是左移变换，就是将序列 a 左移t位所得 到的序列。
性质3：若 a 是由r级本原线性移存器产生的m序列, 则 a L(t) (a) (t 0 mod 2r 1) 是与 a 平移等价的m序列。 性质4：周期为p的m序列 a ，左移t (t 0 mod 2r 1) 位 得到序列 b ，将 a 与 b 按位对齐。则在一个周期 段中，序列 a 与序列 b （0，0）的有(p-3)/4对，（1， 1）、（1、0）、（0、1）的各有(p+1)/4对。
为k(1 k r 2) 的0游程。
13
二、m序列特性
（一）统计特性
1、“0、1”信号频次
性质1 ：r级m序列的一个周期中，1出现 2r1 个， 0出现 2r1 1 个。
2、游程分布 性质2：在r级m序列的一个周期中，有1个长度为r的 1游程和1个长度为r-1的0游程；长度为 k(1 k r 2) 的1游程和0游程各有 2r2k 个。
线性移位寄存器
量子密码研究室
王滨
2005年3月29日
1
移位寄存器序列的三种表示方法：
线性递推式（一元多项式）： at+n=c1at+n-1+c2at+n-2+…+cnat ,t>=0
联结多项式： f(x)=1+c1x+c2x2+…+cnxn
状态转移矩阵： 满足：st+1=stTf 称st=(at,at+1,at+2,…,at+n-1)为n维状态
其中 cn 0 ，若 cn 0 我们说该寄存器是退化 的，否则是非退化的。
4
移位寄存器序列空间
符号说明：G(f)表示以f(x)为联结多项式的n级线 性移位寄存器序列构成的空间
定理1：G(f)是GF(q)上的一个n维线性空间。 证明：只需证明G(f)中的任意两个序列的任意线
性组合也属于G(f)即可。即证：
性质1 ：r级m序列的一个周期中，1出现 2r1个， 0出现 2r1 1个。
11
m序列的游程分布规律
若干个信号连续出现的现象称游程。对于序列 a，称a中形如01…10或10…01的段为一个1游 程或0游程，游程中所含1或0的个数称为该游 程的长度，如0110为一个长为2的1游程，101 为一个长为1的0游程。
将上式中的D用符号x代替，引入多项式：
f (x) cr xr cr1xr1 c1x 1
从而有：f (D)an 0, (n r) 那么对于序列a， f (D)a 0
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生活中的辛苦阻挠不了我对生活的热 爱。20.12.720.12.7Monday, December 07, 2020
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。13:57:5213:57:5213:5712/7/2020 1:57:52 PM
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序列和周期
一般地，一个移存器序列表示为：a a0a1a2 ai • 对于序列 a a0a1a2 ，ai 若 存在整数p使得对任
意正整数k有ak ak p 成立，称满足该式的最小 正整数p为序列的周期。 r级线性反馈移存器的最长周期: 2r 1 ，能达 到最长周期的线性移存器序列称为m序列。
相信命运，让自己成长，慢慢的长大 。2020年12月7日星期 一1时57分52秒Monday, December 07, 2020
爱情，亲情，友情，让人无法割舍。20.12.72020年12月7日 星期一 1时57分52秒20.12.7
谢谢大家！
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二、m序列特性
（三）自相关特性
若 a (a0a1a2 )是一个周期为p的0、1序列， 定义{0 1}上的映射η为：(0) 1, (1) 1 ，定义 序列 a (a0a1a2 ) 的自相关函数为
p 1
C(t) (ai )(ait ) i0
性质5：若 a (a0a1a2 ) 是一个r级m序列，那么
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反馈多项式的含义
一个r级线性移存器的线性递推式表示为：
an c1an1 c2an2 cr anr (n r)
引进迟延算子D：Dak ak1, Diak aki , D0 I 递推式可改写为：c0Ian c1Dan c2D2an cr Dran 0 即：(c0 c1D c2D2 cr Dr )an 0 c0 1
2
实例（画出移存器的逻辑框图，写出相应的线性
递推式）
多项式
f (x) x4 x3 x2 1
答案： 线性递推式： at=at-4+at-3+at-2
x1
x2
x3
x4
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非退化的移位寄存器
若反馈函数形如：f (x1, x2, , xn ) cnx1 cn1x2 c1xn
，其中 ci GF(q),1 i n ，则称其为线性反馈寄存 器；否则称其为非线性反馈移为寄存器。
加强自身建设，增强个人的休养。2020年12月7日下 午1时57分20.12.720.12.7
精益求精，追求卓越，因为相信而伟 大。2020年12月7日星 期一下 午1时57分52秒13:57:5220.12.7
让自己更加强大，更加专业，这才能 让自己 更好。2020年12月下 午1时57分20.12.713:57December 7, 2020
a G( f ),b G( f ), a b G( f ), , GF (q)
特例：当q=2时，G(f)中任意两个序列之和仍然 属于G(f)。
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(不)可约多项式
(不)可约多项式 定义：若存在g(x),h(x)，使得f(x)=g(x)h(x)，则
称f(x)是可约多项式；否则，称其为不可约多 项式。
这些年的努力就为了得到相应的回报 。2020年12月7日星期 一1时57分52秒13:57:527 December 2020
科学，你是国力的灵魂；同时又是社 会发展 的标志 。下午1时57分 52秒下 午1时57分13:57:5220.12.7
每天都是美好的一天，新的一天开启 。20.12.720.12.713:5713:57:5213:57:52Dec- 20
2r 2
2r 1,
t0
C(t) (ai )(ait )
i0
1,
0 t 2r 1
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习题
一、一个线性移存器如图，
（1）写出该线性移存器的线性递推式。 （2）写出该线性移存器的联接多项式。 （3）写出该线性移存器生成的序列。
1
2
3
4
二、已知 f (x) x6 x 1 是6次本原多项式，a是 f (x) 生 成的m序列， （1） a的周期是多少？ （2） a在的一个周期内，0、1各出现多少次？ （3） a在的一个周期内，游程分布如何？
6
定理2：若f(x)|h(x)，则G(f) G(h).
例1：联结多项式为
f(x)=x4+x3+x+1=(x+1)2(x2+x+1)
线性递推式：at=at-4+at-3+at-1 输出序列：000111//000111//…… 周期为6
011//011//……
周期为3
001//001//……
• 在密码学中，我们希望参与变换的序列周期越 长越好，因此对线性反馈移存器我们更感兴趣 的是能达到最长周期的序列，即m序列。
9Βιβλιοθήκη Baidu
本原多项式
若n次多项式f(x)是不可约多项式且 p(f)=qn-1，则称f(x)是GF(q)上的本原多项式。
以本原多项式为连接多项式产生的非零序 列均是m序列。
10
m序列特性
做一枚螺丝钉，那里需要那里上。20.12.713:57:5213:57Dec -207-D ec-20
日复一日的努力只为成就美好的明天 。13:57:5213:57:5213:57Monday, December 07, 2020
安全放在第一位，防微杜渐。20.12.720.12.713:57:5213:57:52December 7, 2020
12
m序列的游程分布规律
性质2：将r级m序列的一个周期段首尾相接，其游程 总数为N=2r-1；其中没有长度大于r的游程；有1个长 度为r的1游程，没有长度为r的0游程；没有长度为
r-1的1游程，有1个长度为r-1的0游程；有 2r2k个长 度为k(1 k r 2) 的1游程，有2r2k 个长度
周期为3
01//01//……
周期为2
111111…..
周期为1
000000……
周期为1
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极小多项式
定义：对于一条移位寄存器序列a，称其联 结多项式中次数最低的多项式为a的极小多 项式。
定义：满足f(x)|1-xr 的最小正整数r为f(x)的
周期，记为p(f(x))，简记为p(f)。
例子：x4+x3+x2+x+1的周期为5 (x4+x3+x2+x+1)(x+1)=x5+1
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二、m序列特性
（二）移加特性
L(t)(a)是左移变换，就是将序列 a 左移t位所得 到的序列。
性质3：若 a 是由r级本原线性移存器产生的m序列, 则 a L(t) (a) (t 0 mod 2r 1) 是与 a 平移等价的m序列。 性质4：周期为p的m序列 a ，左移t (t 0 mod 2r 1) 位 得到序列 b ，将 a 与 b 按位对齐。则在一个周期 段中，序列 a 与序列 b （0，0）的有(p-3)/4对，（1， 1）、（1、0）、（0、1）的各有(p+1)/4对。
为k(1 k r 2) 的0游程。
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二、m序列特性
（一）统计特性
1、“0、1”信号频次
性质1 ：r级m序列的一个周期中，1出现 2r1 个， 0出现 2r1 1 个。
2、游程分布 性质2：在r级m序列的一个周期中，有1个长度为r的 1游程和1个长度为r-1的0游程；长度为 k(1 k r 2) 的1游程和0游程各有 2r2k 个。
线性移位寄存器
量子密码研究室
王滨
2005年3月29日
1
移位寄存器序列的三种表示方法：
线性递推式（一元多项式）： at+n=c1at+n-1+c2at+n-2+…+cnat ,t>=0
联结多项式： f(x)=1+c1x+c2x2+…+cnxn
状态转移矩阵： 满足：st+1=stTf 称st=(at,at+1,at+2,…,at+n-1)为n维状态
其中 cn 0 ，若 cn 0 我们说该寄存器是退化 的，否则是非退化的。
4
移位寄存器序列空间
符号说明：G(f)表示以f(x)为联结多项式的n级线 性移位寄存器序列构成的空间
定理1：G(f)是GF(q)上的一个n维线性空间。 证明：只需证明G(f)中的任意两个序列的任意线
性组合也属于G(f)即可。即证：