有趣的数阵图(一)
09 第九讲 有趣的数阵图(一)
第7讲有趣的数阵图（一）【知识导航】1、认真分析数阵图中隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口。
通常选择使用次数多的数作为关键数。
2、依据数阵图中的条件，建立所求的和与关键数的关系式，一般采用试验的方法，确定关键数的数值及相等的和。
3、数字比较复杂的图形，可采用化简数据，消去公共部分，设立未知量等方法。
基本训练1、把1—7这七个数分别填入下图中的七个圆圈内，使每条直线上的三个圆圈内各数之和都相等。
2、把1--11这11个数，分别填入下图的辐射型数阵图中，使每条线上三个○内数的和相等。
3、将1--9这9个数分别填入下图中，使每条线段上五个○内数的和相等。
4、把1—7这七个数分别填入圆圈内，使图中每个圆和每条直线上的三个数和都相等。
5、把1—9这九个数填入圆圈内，使每条对角线五数之和相等，大小正方形四角上四数之和也相等。
拓展提高6、下图中四个圆被相互分割成八个部分，在这八个部分中分别填入1或2，使得各圆内三个数字之和互不相同。
7、把1--10这10个数分别填入下图复合型数阵图中，使每条线上四个○内数的和相等，每个三角形三个顶点上○内的和边相等。
8、把4—9分别填入下图中的圈内，使每个圆周上四个数的和尽可能最大。
9、下图的六条线分别连着九个圆圈，其中一个圆圈里的数是6，请选出九个连续自然数（包括6在内），填入圈内，使每条线上各数的和都等于23。
10、把1-10这十个自然数填入图中的10个方格中，要求图中3个2×2的正方形中四数之和相等，那么这个和的最小值是几？想一想，算一算下图像十字路口的红绿灯吗？请你在每盏灯处分别填入1～9中的任何一个数字，让相连的每三个数相乘的得数都相同。
你能行吗？。
五年级下册数学奥数有趣的数阵图人教版
例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
假设重叠数是a、b、c 5+6+7+8+9+10+a+b+c=24×3
45+a+b+c=72 a+b+c=27
8+9+10=27
8 76 9 5 10
2 9 561 3 8 45～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
中间的三个数只加一次， 三个角上的数都加了两次， 有三个数要设字母吗？
例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
1
3
2
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6
5
36+a+b=42 a+b=6
4
8
7
1+5=6或2+4=6
将1、3、5、7、9、11、13、15这八个数，分别填入图中的 八个○内，使得每个大圆上五个○内数的和都是39。
1+3+5+……+15=64
3
5
1
39×2-64=14
7
9
中间的两个圆圈数重叠一次， 15 13 11
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
假设重叠数是a、b
2
3
1
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6
《有趣的数阵图》PPT课件
精选课件
14
把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每 个圆圈里的四个数之和都等于13。
2 4 17 635
精选课件
15
把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每 个圆圈里的四个数之和都等于15。
6 31 5 4 72
精选课件
16
将1-6这六个数字填入下图的圆圈中，使每个大 圆圈上4个数字之和为14。
1+2+3+4+5+6+7=28 A：（30-28）÷2=1 134567八个数分为两 组，使每组中两个数 字之和：
10-1=9 则2+7=3+6=4+5
精选课件
5
练一练：将 1～7入下图的○内，使得每条边上的三个数 字之和都等于12。
通关小诀窍：确定中间值
3 5 4 6 2
7 1
三条数之和： 3×12=36 2-8数之和：
精选课件
9
将2-10这九个数填入下图圆圈内，使每条线上三个数字相加之和为 22.
2
3
4
5
1A0
6
7
8
9
精选课件
10
将1、2、3、4、5、6填在下图中，使每条边上 三个数之和等于9。
A1
6
5
B2
4
C3
三条边数字总和： 3×9=27
1-6六数之和： 1+2+3+4+5+6=21
A+B+C=27-21=6 故只能选1，2，3
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 A：48-45=3 12456789八个数分为两组， 使每组中四个数字之和：
奥数：有趣的数阵图
有趣的数阵图（一）教学要求：1、使学生掌握解答有趣的数阵图的方法。
2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联想、试探归纳等思维能力。
教学过程：一、导入新课语：如果把一些数按照一定的规律填在特定的图形里，那么这种图形，我们就称它为数阵图。
它是一种趣味性很强的游戏，它的形式很多，大概分为三种：封闭型数阵、辐射型数阵、复合型数阵。
二、探索新课：1、教学例1：将2、4、6、8、10填入“十字形数阵图中，使横行、竖列三个数的和相解题思路：找出中间数，填在中间的公关位置，再剩下的数中，找一对和相等的数。
再分别填入。
2、教学例2：把1～6形式尝试，练习。
解题思路：由于三个顶点上的数要加二次，所以我们先假设，顶点，再推出，其它的点。
3、教学例3：把1～9这九个数，填入到方格中，使横、竖、斜上的三个数和相等。
解题思路：先观察数，1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6而5在中间其余的成对来填。
方法有多种。
4、教学例4：把1、2、3、5、6、7、填入右表，使每行三个数和相等，竖列二数也相等。
解题思路：有2行3列，而1＋2＋3＋5＋6＋7 ＝24，所以每行为12，这样分成（1、5、6）；（2、3、7）两组。
每列和是24÷3＝8，所以：（1、7）；（2、6）；（3、5）。
答案多种。
三、课堂练习：1、填上合适的数,2、用1～534、使横、竖、斜和相等。
余数的妙用（二）教学要求：1、使学生掌握正确计算有余数的除法。
2、培养学生活跃的思维能力，提高学习奥数的兴趣。
教学过程：一、导入新课：同学们都会正确计算有余数的除法，其实有余数除法还蕴含着丰富的数学知识，所以我们运用它还可以解决不少的数学难题。
今天，我们将继续学习余数的妙用（二）。
二、探索新知：1、教学例4：体育课排队，老师让同学们按1、2、3、4、5循环报数，最后一个人报2，这一排有（）人。
A、26B、27C、28D、32《吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题》解题思路：答案必须是5的倍数还要加2，所以我们经过计算发现可以选B D。
第四讲-有趣的数阵图学生版-奥数教程-讲义
第四讲有趣的数阵图经典精讲:数阵图: 将一些数按照一定的要求排列成各种各样的图形。
数阵图是一种趣味性很强的填数游戏, 它的形式多样, 绚丽奇妙。
这里给同学们介绍三种形式的数阵图, 即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
（一）辐射型数阵图（像雪花）从一个中心出发, 向外作若干条射线, 在每条射线上安放同样多个数, 使其和是一个不变的数。
突破关键：确定中间数, 多算的次数, 公共的和线数x公共的和=数和+中心数x重复次数【例1】把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中, 使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
【例2】把1—7这七个数分别填入图1中的各○内, 使每条线段上三个○内数的和相等。
【课堂练习】将1～11这11个数分别填入图11中的方格内, 每个数只许用一次, 使相邻两个或三个方格内数的和都相等。
（二）封闭型数阵图（像围墙）多边形的每条边放同样多的数, 使它们的和都等于一个不变的数。
突破关键：确定顶点上的数字, 公共的和边数x公和=数和+重叠数和【例3】把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个○内, 使每条边上三个○内数的和相等。
（本题有24种填法, 你能想出几种？）【例4】将2—9这八个数分别填入右图的○里, 使每条边上的三个数之和都等于18。
【课堂练习】1.1—10这十个数, 分别填在图9中五边形五条边上的十个○内, 并使五条边上的三个○内数的和相等。
2.把1—8这8个数, 填入图13中的八个○内, 使每条线段上的四个数的和, 与每个四边形四个顶点上的四个数的和都相等。
（三）复合型数阵图既有辐射型数阵图的特点, 又有封闭型数阵图的特点。
突破点: 找出关键位置重复次数。
【例5】将1～7这七个数分别填入下图的○里, 使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
【课堂练习】1.将1.2.3.4.5.6六个数字填入图中的小圆圈内, 使每个大圆上四个数字的和是16。
2. 将1—8这八个数, 分别填入图10中两个圆圈的八个○内, 使每个圆圈上五个○内数的和分别为20、21.22。
第五讲有趣的数阵图
例2 把1~7填入下图中,使每条线段上三个 内的数的和相等.
分析： 中心圆填入的数是公共数，它参与3条线的连加， 这意味着每一条线的另外两数相加的和相等即可，将1-7 这7个自然数分组组合便可得到如下的结果： （1）1、（2，7）、（3，6）、（4，5）由此可得中心 圆是1。 （2）4、（1，7）、（2，6）、（3，5）由此可得中心 圆是4。 （3）7、（1，6）、（2，5）、（3，4）由此可得中心 圆是7。
分析：每个面上4个数之和为18， 把这几个数前后配对（1，8）、 （2，7）、（3，6）、（4，5）。
小数学家们，接下来是你们大 展身手的时候咯！加油！
ห้องสมุดไป่ตู้
小朋友们，周六晚上见 ~~
例（3）在下图各圆空余部分填上1、2、4、 6，使每个圆中4个数的和都是15。
3 7
5
分析：由于每个圆中4个数的和为15， 求出上圆的和为15-3-5=7，易知1+6=7； 左圆另外两个圆的和为15-3-7=5，易知1+4=5； 右圆另外两个圆的和为15-5-7=3，易知1+2=3。 则中间数一定为1。
有趣的数阵图
让猴博士告诉你
将一些数按照一定的规律排列而成的图 形，通常叫做数阵图。 数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只 向大家介绍三种数阵图: 封闭型数阵图 辐射型数阵图 复合型数阵图
例1 将1~6分别填在图中,使每条边上的三个 内的数的和都等于9.
分析： 因为 1＋2＋3＋4＋5＋6 = 21 ，而 每条边上的三个数的和为9，则三条边上的和 为 9×3 = 27 ， 27－21 = 6 ， 这个 6 就是由于 三个顶点都被重复算了一次。所以三个顶点的 和为 6 ，在 1-----6中，只能选1、2、3 填入三 个顶点中，再将4、5、6填入另外的三个圈即可。
有趣的数阵图
有趣的数阵图
例1 把1，2，3，4，5，6这六个数填在如下图的6个○中，使每条边上的三个数之和都等于9。
例2.将1，2，3，4，5，6填在如下图中○里，使每条边上的三个数之和相等，有几个基本解？共有多少种填法？
例3.将1—12这十二个数分别填在如图中正方形四条边上的十二个○内，使每条边上四个○内数的和都等于22，试求出一个基本解。
例4 把1—7这七个数分别填入如下图中各个○内，使每条线段上三个○内的数的和都相等。
例5 将1—9这九个数，分别填入如下图中的各个○内。
使每条线段上三个○内的数的和相等。
例6 把1—11这个十一个数分别填入如下图中的各个○内，使每条线段上三个○内的数的和都等于22。
随堂练习
1.将数字1，2，3，4，5，6填入图中小圆圈内，使每个大圆上的4个数字的和都是16。
2.将1—5这五个数分别填入如图中的○内，使每条线上的三个○内的数的和相等。
3.将6—10这五个数分别填入如图中的○内，使每条线上三个○内的数的和相等级。
练习题：
1.如图，将数1，2，3，4分别填入图中的小圆圈内，使每条线段上3个数之和与每个圆圈上3个数之和都等于12。
2如下图，只能用图中已有的3个数填满其余的空格，并要求每个数必须再使用2次，而且每行，每列及每条对角线上的3个数之和相等。
有趣的数阵图1
4+5+6=15
•把剩下的圆圈填出来
【练一练】换一个图案，你们能填出来吗？
把1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11。这11个数 填在下图的11个 里，不能重复。使每 条线段上3个 内的数之和都等于22。
•所有圆圈的总和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11= 66 •5条边的总和
22×5 = 110 •算出两个总和的差
1+2+3=6
里面是 1 2 3
9
已知每条边的和为9， 你们能把剩下的填出来吗？
解题思路
•所有圆圈的总和 1+2+3+4+5+6= 21
•3条边的总和
9
9×3 = 27
•算出两个总和的差、找出多计算的圆圈
27-21 = 6
＋ ＋ ＝6
•列出多计算的圆圈能填哪些数 1+2+3=6
•把剩下的圆圈填出来
110-66 = 44 •找出多计算的圆圈
22 11
11
＋ ＋ ＋ ＝ 44
22 - 11 = 11
11 11
＝ 4 4 ÷ 4 = 11
把所有两个数相加和为11的方式都列出来 1+10=11 2+9=11 3+8=11 4+7=11 5+6=11
练习
把1,2,3,4,5,6,7。这7个数填在下图的7 个 里，不能重复。使每条线段上3个 内的数之和都相等。
有趣的数阵图
3+8+1= 12
3+7+2= 12
3 81
五年级下册数学奥数课件有趣的数阵图人教版共25张
解答数阵图的关键是重叠数，所以 填数阵时，一般优先考虑重叠数。可 以把这个数用括号或字母表示，列出 等式，再根据条件解答出来。
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
假设重叠数是a、b
2
3
1
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6
4
36+a+b=42
5
7
8
a+b=6
1+5=6或2+4=6
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
假设重叠数是a、b
不论这5个数填在哪里，从整体来 看，5个数都加了1次，其中有1 个数还多加了一次，得到了2个和， 也就是6个数相加等于2×9=18。
例1：把1～5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内， 使相交成十字的两条直线上三个数之和等于9。
假设重叠数是a 1+2+3+4+5+a=9×2
15+a=18 a=3
将1～9分别填入下图的九个圆圈中，使每条边相加的和等于17。
1+2+…+8+9=45
17×3-45=6 三个顶点重叠一次，即三个 顶点数之和为6
6=1+2+3
1
89
6
4
2573
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
按照前面学习的方法， 先列出一个等式，再考虑三 个未知的数吧。
四年级奥数讲义：有趣的数阵图(一)
四年级奥数讲义:有趣的数阵图（一）大家都知道了历史悠久的三阶幻方.再推广一些，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，习惯上称为“数阵图”.幻方是特殊的数阵图，幻方发展较快，因为它后来与试验方案设计及一些高深数学分支有关，成为数阵图中最重要课题.本讲主要介绍一般数阵图及解此类题的推理思考方法，由于它既有数字之间运算，又要结合图形，对开发学生综合思考和形象思维很有益.先看例题.例 1 下面图形包括六个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使六个算式都成立，那么最右边圆圈中的数最少是几？分析为便于说理，各圆圈内欲填的数依次用字母A、B、C、D、E、F、G、H、I代替（上右图）.经观察，I=A+B+C+D.题目要I尽可能小，最极端的想法，希望A、B、C、D只占用1、2、3、4.但这会产生矛盾.因为1总要和2、3、4中的某两个实施加法，但1＋2给予G、H、E、F 中某值为3与A、B、C、D中已有的3冲突；同样1+3给于G、H、E、F中某值为4又与A、B、C、D中已有的4冲突；所以A、B、C、D不能是1、2、3、4.那么退而求之，不妨先设A=1.如先考虑B，B尽可能小，最好，B=2，从而决定了E=3，C≠3，D≠3.这样一来，C，D只能取4和5.但如C=4导致G=5和D=5冲突，而C=5，D=4，又导致G=A+C=6和H=B+D=2+4=6冲突.在碰了钉子后，回看在A=1设定后，不应随随便便先填B的值.从结构上看，因为B，C 地位对称，不妨先考虑D.D尽可能小，最好设D=2，B、C至少取3、5，若如此，由B+D或C+D产生的5会与B、C中已有的5矛盾.所以，B、C可能取3、6.从而形成了:A=1、D=2、B、C取3、6（B，C地位对称）.这样一来其他字母所代表的值就立即推出，不妨设B=3，C=6，A+B=E=4，C+D=6+2=8=F；A+C=1+6=7=G，B+D=3+2=5=H，恰好满足E+F=4+8=12=I；G+H=7+5=12=I；综上所述:A=1，D=2，B=3，C=6决定了其他值，且决定了I=12.是一个较小的I的值，自然要问I值还可能比12小吗？分析I的值有三种不同的获得方式:I=A+B+C+D=E+F=G+H.3I=A+B+C+D+E+F+G+H，而8个字母最少是代表1、2、…、7、8的情况.3I≥（1+2+…+7+8）=36，I≥12.现已推出了使I=12的一种填法，所以是最佳方案了.例2 如右图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，请找出规律，并求出x所代表的数.分析经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如:（26+18）÷2=22.（30+26）÷2=28.（24+30）÷2=27.解: x+18=17×2x=16.经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.例3 在下图中的各题中，将从1开始的连续自然数填入各题的圆圈中，要使每边上的数字之和都相等，中心处各有几种填法？（每小题请给出一个解）分析1 图（A）中的中心圆填入的数设为x，x参与3条线的连加，设每条线数字和都为S.由题意:1+2+3+…+7+2x=3S即28+2x=3S或28+2x≡0（mod 3）借用同余工具，是在两个未知数的不定方程中先缩小x应该取值的范围.在mod3情况下，只要试探x≡0，1，2三个值，很轻松地解出:x≡1（mod3），回复到x取值范围为1，2，…，7.有x1=1，x2=4，x3=7，得到:x1=1，S1=10；x2=4，S2=12；x3=7，S3=14；由此看出关键在求S（公共和）及x（参与相加次数最多的圆中值）.此方法对下面解（B）、（C）、（D）.都适用.注意:每条线上的数字之和随着中心数的变化而变化.分析2 我们分析图（B），首先应该考虑中心数，（B）题共10个数，由于中心数比其他数多使用了二次（总共使用三次）.如果中心数用x表示，三条边的数码总和应为:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+2x=55+2x同理，因为是3条边，所以55+2x应是3的倍数55+2x≡0（mod 3），把x≡0、1、2代入试验，得x≡1（mod 3），即x=1、4、7、10.四种解.①当x=1时，55+2x=57，57÷3=19②当x=4时，55+2x=63，63÷3=21③当x=7时，55+2x=69，69÷3=23④当x=10时，55+2x=75，75÷3=25读者可按照上面相似的规律自己去分析一下图中（C）、（D）两题.解:（A）图:中心数可以为1、4、7，有三种填法，请读者补充其他两种解法.（B）图:中心数可以为1、4、7、10.有四种填法，请你补充其他三种填法.（C）图:中心数可以为1、5、9.有三种填法，请你补充其他两种填法.（D）图:中心数可以为1、6、11.有3种填法，请你补充其他两种填法.例 4 在下左图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x是多少？分析为了便于说明问题，我们用字母表示各个圆圈内所表示的数，如上右图所示:根据题意，我们观察:因为每一条直线上的三个数中，当中的数是两边的两个数的平均数.所以可以得出:D=（13+17）÷2=15.还可以得出以下三式:C=（B+15）÷2 （1）A=（13+B）÷2 （2）C=（A+17）÷2 （3）将上述三个算式进行变形，成下面三个算式:2C=B+15 （4）2A=13+B （5）2C=A+17 （6）用（4）式减去（5）式得出:2C-2A=2C-A=1C=A+1将C=A+1代入（6）式得到:2（A+1）=A+17，A=15.x=19.即:解:（略）例5 如下左图有5个圆，它们相交后相互分成几个区域，现在两个区域里已分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圈内的数的和都是15.分析为了便于说明，我们用字母表示其他的7个区域.如上右图.根据题意可以得出:A=5、G=9，九个区域中数的总和为:（2+3+4+5+6+7+9）+10+6=52，而每个圆圈内数的和是15，五个圆圈内数的总和为:15×5=75，又75-52=23，由此得出重叠的部分的四个数A、C、E、G的和是23.由于A=5和G=9已经填好，因此，余下的两个部分C+E 的和是:23-5-9=9，此时9只有两种分解的可能:2+7=9、3+6=9.在E、F、G这个圆圈内，∵G=9，∴E不能填6、7.也不能填3（否则F也等于3），只能填2，这样，E=2，C=7.解:例6 如下左图所示4个小三角形的顶点处共有6个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三顶点上的数之和相等，问这6个质数的积是多少？分析为了叙述方便，我们用字母表示图中圆圈里的数.如上右图所示.通过观察，我们不难发现，小三角形A1B2C2和小三角形A2B2C2有两个共同的顶点B2，C2，而这两个小三角形顶点上数字的和相等.因此A1=A2.同理有B1=B2，C1=C2，所以，此图只能填A、B、C三个质数（两个A、两个B、两个C.以下:A1=A2记为A，B1=B2记为B，C1=C2记为C）∵6个圆圈中的6个质数之和为20，即:2×（A+B+C）=20A+B+C=10.∴10分成三个质数之和只能是10=2+3+5.这样，A、B、C分别是2、3、5.这时所填6个数的积是:2×2×3×3×5×5=900.解:例7 能否将自然数1～10填入五角星各交点的“○”内使每条直线上的4个数字之和都相等？分析与解答不能，用反证法.假设可以填成数阵图，观察发现:十个点中的每一个点恰好是两条直线的公共点.因而全部直线（共5条）上数字总和，应该等于全部点上数字总和的2倍.记每条直线上数字和为S，则有5S=（1+2+3+…+10）×2，从而解出S=22.10和1必同在某一直线上.不然，如含有10的两条直线都不含有1，这样，这两条线上8个数字（10自然被计上两次）之和（本应为2S）大于等于2×10+2+3+4+5+6+7=47＞44=2S.形成矛盾.所以10、1必处同一直线.此外，有三个数字与10不同线，不妨记为x、y、z.显然x+y+z=｛10数总和｝-｛其余七个数和｝而这｛其余七个数和｝恰好为2S-10.所以x+y+z=55-2×22+10=21.已推出10，1共线.进一步看出，1无论在什么位置都与x、y、z三数中的两个共线.设1与x、y共线，此线上另一数设为v.则有1+x+y+v=22，从而x+y+v=21.前已证x+y+z=21，因而导致v=z的矛盾.其他情况推证类似，所以没有题设的填法.习题九1.将1～9这九个数字分别填入右图中的九个圆圈中，使各条边上的四个圆圈内的数的和相等.2.将0.01、0.02、…、0.09这九个数分别填入右图九个圆圈内，使每条边上的四个圆圈内的数之和都等于0.2.（此题与题1共用一图）3.在右图的空白的区域内分别填上1、2、4、6四个数，使每个圆中的四个数的和都是15.。
有趣的数阵图一
教学内容：有趣的数阵图（一）教学时间：第一、二课时教学目的：1、掌握数阵图的基本特征。
2、按要求填出数阵。
教学重难点：寻找解题突破口。
教学过程：一、宣布本课学习内容：二、通过例题学习数阵的知识。
1、例1：将1—6填入右图的6个圆圈内，使三角形每条边上的三个数的和都等于S，请你指出S的取值范围。
①试着独立填一填。
②如果让你把所有的答案都填出，你能做到吗？③讲解：三个角上的三个数最小是1、2、3；最大是4、5、6，所以，S的取值范围是9、10、11、12。
④从9、10、11、12四个和中选一个，填出数阵。
2、例2：将1—6填入下图的6个圆圈内，要求四条线上的数字之和都相等。
⑴当每条线上的和是10时，A是多少？⑵当每条线上的和是9时，B是多少？①观察：这6个数哪一个数最特殊？为什么？②求A：1~6的和是21，用21×2-40=2③求B：如右图，用21-18=3④独立填出两个答案。
⑤小结：观察、找特征。
3、例3：将1—9这9个数字填入下图的9个圆圈内，使每个三角形和直线上的3个数字的和都相等。
①计算出1~9的和，用45除以3得15，所以每个和是15。
（为什么？②找规律：在1—9中，三个数的和为15的，只有两种情况：1+9+5和1+8+6。
③填数，调整。
4、例4：将1—9这9个数字填入下图的9个小三角形中，使大三角形每条边上的5个小三角形之和相等，那么这个和的最大值是多少？最小值是多少？①观察：找出每个数用几次。
②如右图，三个阴影三角形上的数字各用了一次，其它的都用了两次。
这三个数最大是7、8、9；最小是1、2、3。
所以，和最小是45×2-24=66；最大是45×2-6=84。
③试验填出：5、例5：把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、14这11个数填入右图的11个○内，使7个加法算式成立，求出□中的数，并填入□中。
①观察数阵，你发现了什么规律？②讲解：将数阵划分为三个区。
(完整)小学三年级奥数--数阵图
数阵图（一）在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。
试一试：练习与思考第1题。
例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
四年级上册数学思维训练讲义-第六讲 有趣的数阵图(一) 人教版
第六讲有趣的数阵图（一）第一部分：趣味数学有趣的数独技巧数独技巧是建立在数独基础上的，数独顾名思义——每个数字只能出现一次。
数独是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数字谜题。
数独盘面是个九宫，每一宫又分为九个小格。
在这八十一格中给出一定的已知数字和解题条件，利用逻辑和推理，在其他的空格上填入1-9的数字。
使1-9每个数字在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次。
所以不少教育者认为数独是训练头脑的绝佳方式。
数独解法全是由规则衍生出来。
基本解法分为两类思路，一类为排除法，一类为唯一法。
更负责的解法，最终也会归结到这两大类中。
第二部分：奥数小练观察是解决问题的根据。
通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
【例题1】请你把1～7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等，应怎样填？【思路导航】为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如上图（2）。
设a+b+e=a+c+f=a+d+g=k，则（a+b+e）+（a+c+f）+（a+d+g）=3k3a+b+c+d+e+f+g=3k2a+（a+b+c+d+e+f+g）=3k2a+（1+2+3+4+5+6+7）=3k2a+28=3ka为1、4或7.若a=1，则k=10，直线上另外两个数的和为9.在2、3、4、5、6、7中，2+7=3+6=4+5=9，因此得到一个解为：a=1，b=2，c=3，d=4，e=7，f=6，g=5.若a=4，则k=12，直线上另外两个数的和为8.在1、2、3、5、6、7中，1+7=2+6=3+5=8，因此得到第二个解为：a=4，b=1，c=2，d=3，e=7，f=6，g=5.若a=7，则k=14，直线上另外两个数的和为7.在1、2、3、4、5、6中，1+6=2+5=3+4=7，因此得到第三个解为：a=7，b=1， c=2，d=3，e=6，f=5，g=4.【答案】共得到三个解：如下图练习1：1.把1～7这七个数分别填入下图的○内，使每条线段上三个○内数的和相等，请给出所有填法。
有趣的数阵图
宝安奥数网培训——（下册）第九讲有趣的数阵图（一）（下册）第九讲有趣的数阵图（一）第九讲有趣的数阵图（一）大家都知道了历史悠久的三阶幻方.再推广一些，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，习惯上称为“数阵图”.幻方是特殊的数阵图，幻方发展较快，因为它后来与试验方案设计及一些高深数学分支有关，成为数阵图中最重要课题.本讲主要介绍一般数阵图及解此类题的推理思考方法，由于它既有数字之间运算，又要结合图形，对开发学生综合思考和形象思维很有益.先看例题.例1 下面图形包括六个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使六个算式都成立，那么最右边圆圈中的数最少是几？分析为便于说理，各圆圈内欲填的数依次用字母A、B、C、D、E、F、G、H、I 代替（上右图）.经观察，I=A+B+C+D.题目要I尽可能小，最极端的想法，希望A、B、C、D 只占用1、2、3、4.但这会产生矛盾.因为1总要和2、3、4中的某两个实施加法，但1＋2给予G、H、E、F中某值为3与A、B、C、D中已有的3冲突；同样1+3给于G、H、E、F中某值为4又与A、B、C、D中已有的4冲突；所以A、B、C、D不能是1、2、3、4.那么退而求之，不妨先设A=1.如先考虑B，B尽可能小，最好，B=2，从而决定了E=3，C≠3，D≠3.这样一来，C，D只能取4和5.但如C=4导致G=5和D=5冲突，而C=5，D=4，又导致G=A+C=6和H=B+D=2+4=6冲突.在碰了钉子后，回看在A=1设定后，不应随随便便先填B的值.从结构上看，因为B，C地位对称，不妨先考虑D.D尽可能小，最好设D=2，B、C至少取3、5，若如此，由B+D或C+D产生的5会与B、C中已有的5矛盾.所以，B、C可能取3、6.从而形成了：A=1、D=2、B、C取3、6（B，C地位对称）.这样一来其他字母所代表的值就立即推出，不妨设B=3，C=6，A+B=E=4，C+D=6+2=8=F；A+C=1+6=7=G，B+D=3+2=5=H，恰好满足E+F=4+8=12=I；G+H=7+5=12=I；综上所述：A=1，D=2，B=3，C=6决定了其他值，且决定了I=12.是一个较小的I的值，自然要问I值还可能比12小吗？分析I的值有三种不同的获得方式：I=A+B+C+D=E+F=G+H.3I=A+B+C+D+E+F+G+H，而8个字母最少是代表1、2、…、7、8的情况.3I≥（1+2+…+7+8）=36，I≥12.现已推出了使I=12的一种填法，所以是最佳方案了.例2 如右图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，请找出规律，并求出x所代表的数.分析经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如：（26+18）÷2=22.（30+26）÷2=28.（24+30）÷2=27.解： x+18=17×2x=16.经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.例3 在下图中的各题中，将从1开始的连续自然数填入各题的圆圈中，要使每边上的数字之和都相等，中心处各有几种填法？（每小题请给出一个解）分析1 图（A）中的中心圆填入的数设为x，x参与3条线的连加，设每条线数字和都为S.由题意：1+2+3+…+7+2x=3S即28+2x=3S或28+2x≡0（mod 3）借用同余工具，是在两个未知数的不定方程中先缩小x应该取值的范围.在mod3情况下，只要试探x≡0，1，2三个值，很轻松地解出：x≡1（mod3），回复到x取值范围为1，2，…，7.有x1=1，x2=4，x3=7，得到：x1=1，S1=10；x2=4，S2=12；x3=7，S3=14；由此看出关键在求S（公共和）及x（参与相加次数最多的圆中值）.此方法对下面解（B）、（C）、（D）.都适用.注意：每条线上的数字之和随着中心数的变化而变化.分析2 我们分析图（B），首先应该考虑中心数，（B）题共10个数，由于中心数比其他数多使用了二次（总共使用三次）.如果中心数用x表示，三条边的数码总和应为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+2x=55+2x同理，因为是3条边，所以55+2x应是3的倍数55+2x≡0（mod 3），把x≡0、1、 2代入试验，得x≡1（mod 3），即x=1、4、7、10.四种解.①当x=1时，55+2x=57，57÷3=19②当x=4时，55+2x=63，63÷3=21③当x=7时，55+2x=69，69÷3=23④当x=10时，55+2x=75，75÷3=25读者可按照上面相似的规律自己去分析一下图中（C）、（D）两题.解：（A）图：中心数可以为1、4、7，有三种填法，请读者补充其他两种解法.（B）图：中心数可以为1、4、7、10.有四种填法，请你补充其他三种填法.（C）图：中心数可以为1、5、9.有三种填法，请你补充其他两种填法.（D）图：中心数可以为1、6、11.有3种填法，请你补充其他两种填法.例4 在下左图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x是多少？分析为了便于说明问题，我们用字母表示各个圆圈内所表示的数，如上右图所示：根据题意，我们观察：因为每一条直线上的三个数中，当中的数是两边的两个数的平均数.所以可以得出：D=（13+17）÷2=15.还可以得出以下三式：C=（B+15）÷2 （1）A=（13+B）÷2 （2）C=（A+17）÷2 （3）将上述三个算式进行变形，成下面三个算式：2C=B+15 （4）2A=13+B （5）2C=A+17 （6）用（4）式减去（5）式得出：2C-2A=2C-A=1C=A+1将C=A+1代入（6）式得到：2（A+1）=A+17，A=15.x=19.即：解：（略）例5 如下左图有5个圆，它们相交后相互分成几个区域，现在两个区域里已分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圈内的数的和都是15.分析为了便于说明，我们用字母表示其他的7个区域.如上右图.根据题意可以得出：A=5、G=9，九个区域中数的总和为：（2+3+4+5+6+7+9）+10+6=52，而每个圆圈内数的和是15，五个圆圈内数的总和为：15×5=75，又75-52=23，由此得出重叠的部分的四个数A、C、E、G的和是23.由于A=5和G=9已经填好，因此，余下的两个部分C+E的和是：23-5-9=9，此时9只有两种分解的可能：2+7=9、3+6=9.在E、F、G这个圆圈内，∵G=9，∴E不能填6、7.也不能填3（否则F也等于3），只能填2，这样，E=2，C=7.解：例6 如下左图所示4个小三角形的顶点处共有6个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三顶点上的数之和相等，问这6个质数的积是多少？分析为了叙述方便，我们用字母表示图中圆圈里的数.如上右图所示.通过观察，我们不难发现，小三角形A1B2C2和小三角形A2B2C2有两个共同的顶点B2，C2，而这两个小三角形顶点上数字的和相等.因此A1=A2.同理有B1=B2，C1=C2，所以，此图只能填A、B、C三个质数（两个A、两个B、两个C.以下：A1=A2记为A，B1=B2记为B，C1=C2记为C）∵6个圆圈中的6个质数之和为20，即：2×（A+B+C）=20A+B+C=10.∴10分成三个质数之和只能是10=2+3+5.这样，A、B、C分别是2、3、5.这时所填6个数的积是：2×2×3×3×5×5=900.解：例7 能否将自然数1～10填入五角星各交点的“○”内使每条直线上的4个数字之和都相等？分析与解答不能，用反证法.假设可以填成数阵图，观察发现：十个点中的每一个点恰好是两条直线的公共点.因而全部直线（共5条）上数字总和，应该等于全部点上数字总和的2倍.记每条直线上数字和为S，则有5S=（1+2+3+…+10）×2，从而解出S=22.10和1必同在某一直线上.不然，如含有10的两条直线都不含有1，这样，这两条线上8个数字（10自然被计上两次）之和（本应为2S）大于等于2×10+2+3+4+5+6+7=47＞44=2S.形成矛盾.所以10、1必处同一直线.此外，有三个数字与10不同线，不妨记为x、y、z.显然x+y+z=｛10数总和｝-｛其余七个数和｝而这｛其余七个数和｝恰好为2S-10.所以x+y+z=55-2×22+10=21.已推出10，1共线.进一步看出，1无论在什么位置都与x、y、z三数中的两个共线.设1与x、y共线，此线上另一数设为v.则有1+x+y+v=22，从而x+y+v=21.前已证x+y+z=21，因而导致v=z的矛盾.其他情况推证类似，所以没有题设的填法.。
(完整版)小学三年级奥数--数阵图
数阵图(一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
例1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。
重叠数求出来了，其余各数就好填了（见右上图）。
试一试：练习与思考第1 题。
例2 把1～5 这五个数填入下页左上图中的○里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：与例1 不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1 的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[（1+2+3+4+5）+5] ÷2=10。
有趣的数阵图
有趣的数阵图在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
例1：辐射型数阵图（1） 把1～5这五个数填入图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
（2） 把1～5这五个数分别填在图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数一．当堂小启发二．经典例题之和都等于9。
（1）将1～9这九个数分别填入图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。
还有其他填法吗？例2：封闭型数阵将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
知识总结：辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。
具体方法是：通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数。
（1）把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。
（1）将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11 。
知识总结：封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。
为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。
小试牛刀三．举一反三四．大显身手A．强化自我（1）将2、3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中的9个方格中，使每行、每列及对角线之和相等，小明已经填了5个数，请将其余4个数填入。
（2）如图，在每个小圆圈里填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和。
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教学内容：有趣的数阵图(一）
教学时间：第一、二课时
教学目的：
1、掌握数阵图的基本特征。
2、按要求填出数阵。
教学重难点：寻找解题突破口。
教学过程：
一、宣布本课学习内容:
二、通过例题学习数阵的知识。
1、例1:将1—6填入右图的６个圆圈内,
使三角形每条边上的三个数的和都等
于S,请你指出S的取值范围。
①试着独立填一填。
②如果让你把所有的答案都填出，你能做到吗？
③讲解:三个角上的三个数最小是1、2、3；最大是４、5、
６，所以,Ｓ的取值范围是９、10、1１、１2。
④从９、10、１1、12四个和中选一个,填出数阵。
2、例2：将1—6填入下图的6个圆圈内，要求四条线上
的数字之和都相等。
⑴当每条线上的和是10时,A是多少？
⑵当每条线上的和是9时，B是多少?
①观察:这６个数哪一个数最特殊？为什么?
②求Ａ:1～6的和是21,用２1×2-４０＝
２
③求B:如右图，用２１-18=３
④独立填出两个答案。
⑤小结：观察、找特征。
3、例３：将1—9这9个数字填入下图的9个圆圈内，使
每个三角形和直线上的３
个数字的和都相等。
①计算出１～9的和,用45除以3
得15，所以每个和是15。
(为
什么?
②找规律：在１—9中，三个数的和为１5的,只有两种情
况:1+９+５和１+8+6。
③填数，调整。
4、例４:将1—9这9个数字填入下图的９个小三角形中，
使大三角形每条边上的５个小三角形之
和相等,那么这个和的最大值是多少?最
小值是多少?
①观察：找出每个数用几次。
②如右图，三个阴影三角形上的数字各用了
一次，其它的都用了两次。
这三个数最大是7、8、9；最小是1、2、3。
所以，和最小是45×2-24=6６;最大是45
×２-6=84。
③试验填出：
5、例5：把1、２、3、４、5、
6、７、８、９、10、14
这１1个数填入右图的１1个
○内,使7个加法算式成立，求
出□中的数，并填入□中。
①观察数阵,你发现了什么规律？
②讲解:将数阵划分为三个区。
如下图:这样，就可以求出□
中的数为:（１＋２+3＋4+5+6＋7+8＋9+10+１4)÷3=23。
③填数:问:填时要先填甲、乙、丙
哪个区的？为什么？
④先填丙，再填乙，最后填甲。
通过调整，有以下两种填法。
三、课堂小结:通过这节课的学习，你有什么收获？
四、家庭作业:课后第２、3、4题。
课后小结：
学生的学习兴趣非常浓厚，但观察能力较差，在以后要多培养。