卡方分布表,t分布表,F分布表,标准正态分布
三大分布及其分位数
泊松分布的均值和方差相等，且随着均值 的增大，泊松分布逐渐趋近于正态分布。 此外，泊松分布具有可加性，即两个独立 泊松分布的和仍然服从泊松分布。
泊松分布的分位数计算
分位数定义
分位数是指将一个随机变量的概率分 布划分为几个等份的数值点，如中位 数就是50%分位数。
泊松分布分位数计算
泊松分布的分位数可以通过查表或使用 统计软件进行计算。对于给定的泊松分 布参数λ和概率p，可以计算出对应的分分位数的概念
分布
分布是指一组数据在各个取值范围内的频数或频率。在统计 学中，分布通常用概率密度函数或累积分布函数来描述。
分位数
分位数是指将一个随机变量的概率分布范围分为几个等份的 数值点。常用的分位数有四分位数、百分位数等。例如，中 位数就是50%分位数，表示有一半的数据小于或等于该值， 另一半的数据大于该值。
和优化提供理论支持。
生物学和医学
在生物学和医学研究中，泊松分布 可以用来描述放射性物质的衰变次 数、基因突变数等随机事件的发生
次数。
04 指数分布及其分位数
指数分布的定义和性质
定义
01
指数分布是一种连续概率分布，通常用于描述事件之间的时间
间隔。
性质
02
指数分布具有无记忆性，即事件发生的概率与自上次事件发生
排队论
在排队系统中，指数分布可用于描述顾客到达和 服务时间的概率分布，从而分析系统的性能指标 。
金融风险管理
指数分布可用于评估金融风险，如信用风险和市 场风险等，帮助金融机构制定风险管理策略。
05 三大分布的比较与联系
三大分布的特征比较
正态分布
呈钟形曲线，两侧对称，均值、 中位数、众数相等，标准差决定
[课件]概率与统计 6.2 常用统计分布
![[课件]概率与统计 6.2 常用统计分布](https://img.taocdn.com/s3/m/1b84a2116c175f0e7cd1370c.png)
2 Y = ∑ Xi 2 i =n +1 1
电子科技大学
n +n2 1
常用统计分布
则
Y +Y = ∑ 1 2
n +n2 1 i =1
2 Xi
相互独立, 且Xi , i=1,2,…,n1+n2 相互独立,Xi～N(0,1), 从而 Y1+Y2～ χ2 (n1+n2).
电子科技大学
常用统计分布
总体, 总体,个体 简单随机样本 正态总体的 2个抽样定理 个抽样定理
统计量
样本均值 样本方差 样本矩(样本相关系数) 样本矩(样本相关系数)
统计量的分布
χ2分布
t 分布 F分布 分布
分位数 结构定理
电子科技大学
常用统计分布
设随机变量X 服从正态分布N(0,1), 对给 例6.2.1 设随机变量 服从正态分布 定的α(0<α<1),数uα满足 , 定的 , P{X > uα} = α
电子科技大学
T～t(n) ～
又称学生氏分布--第一个研究者以 又称学生氏分布--第一个研究者以Student --第一个研究者
常用统计分布
定理6.2.2 设随机变量 Y 相互独立 X 设随机变量X, 相互独立, 定理 ~N(0,1),Y～ χ2(n),则 , ～ ,
X T= ~ t(n) Yn
即随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布 服从自由度为 分布.
电子科技大学
常用统计分布
χ2分布的三条性质: 分布的三条性质 三条性质:
性质1. 数字特征 数字特征) 性质 (数字特征 设 χ2 ~ χ2(n) ,则有 E( χ2 ) = n , 证明 D( χ2 ) = 2n
标准正态分布对照表
标准正态分布对照表摘要：一、标准正态分布的定义与性质1.标准正态分布的定义2.标准正态分布的概率密度函数3.标准正态分布的累积分布函数二、标准正态分布对照表的应用1.对照表的构成与意义2.对照表的使用方法3.对照表在实际问题中的应用举例三、标准正态分布与其他分布的关系1.标准正态分布与正态分布的关系2.标准正态分布与t 分布的关系3.标准正态分布与卡方分布的关系四、标准正态分布在统计学中的重要性1.描述性统计分析中的应用2.推断性统计分析中的应用3.概率论与数理统计的基础知识正文：标准正态分布，又称为高斯分布（Gaussian distribution），是一种连续型概率分布。
它具有对称的钟形曲线，其分布的均值（μ）为0，标准差（σ）为1。
标准正态分布广泛应用于统计学、概率论、工程学等领域，其对照表是研究和解决实际问题的关键工具。
一、标准正态分布的定义与性质标准正态分布的定义可以追溯到19 世纪初，德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）对这一分布的深入研究。
标准正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / (√(2π))) * e^(-(x^2) / 2)其累积分布函数为：F(x) = 1 / (√(2π)) * ∫[e^(-(t^2) / 2), t ≤ x] dt二、标准正态分布对照表的应用标准正态分布对照表是一个重要的工具，它可以帮助我们快速查找标准正态分布在一定置信水平下的临界值。
对照表通常包括正态分布的累积分布函数值、z 分数（Z-score）以及对应的概率。
使用对照表时，我们可以根据实际问题中所给的置信水平，找到对应的z 分数，从而求解问题。
例如，在产品质量控制中，我们希望确定一个产品的合格率。
已知过去经验表明，合格率约为95%。
我们可以使用对照表查找标准正态分布在95% 置信水平下的z 分数，得到±1.96。
然后，将这个z 分数代入到正态分布的累积分布函数中，得到产品的合格率。
统计分布
2
x
2
,
x
2
其中 和 都是常数， 任意， >0，
则称X服从参数为 和 的正态分布.
记作 X ~ N (, 2 )
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线。
13
正态曲线图形的特点
正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线。
A
连续型随机变量取任何一个特 定的值的概率都等于0，通常 研究它取某一区间值的概率。
B
一般用密度函数和分 布函数来描述连续型 随机变量的分布。
9
概率密度函数
设X为一连续型随机变量，其概率密度函数为p(x) （x 为任意实数），则p(x) 满足以下条件：
(1) p(x) 0
(2) p(x)dx 1
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5 -4
11
均匀分布
f(x)=
b
1
a
(a x b)
0 (x a, x b)
12
正态分布和有关概率计算
若随机变量 X 的概率密度为
f (x)
1
e
1 2
Z 0
0.6217
Z 1
0
Z=？
Z .00 .01 0.2 0.0 .5000 .5040 .5080 0.1 .5398 .5438 .5478 0.2 .5793 .5832 .5871 0.3 .6179 .6217 .6255
Z=0.31
22
对于已知的概率求X 值 0.6217
0.6217
F
X Y
f分布t分布与卡方分布
布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
2当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=v X i 的i2(n)，它的分分布称为自由度等于 布密度p(z )=n 的1 AnX22- n2 0,n-1.+处 2 -u , 0u 2e du ,2分布，记作Zz _2e其他,称为Gamma 函数，且】1 =1，式中的『-=I2分布是非对称分布，具有可加性，即当丫与Z_I - = n 。
2相互独立，且丫2(n )， Z 2(m )，贝y Y+Z 〜2(n+m )。
Y+Z= X+§1.4 常用的分布及其分位数 1.卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分证明：先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独 立且都服从N(0,1)，再根据 2分布的定义以及上述随机变 量的相互独立性，令 丫=X 2+X 2+…+X -, z=x 备+X 2+2+…+Xn+m ，即可得到丫+Z 〜2(n +m )。
2. t 分布若X 与丫相互独立，且X 〜N(0,1) , 丫〜2(n ),则Z =x . 丫的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z〜t (n),它的分布密度；z2 V .n丿n 1 ~Y。
”心LP(z)=―；=时(殳)I请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时，t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3. F分布若X与丫相互独立，且X〜2(n)，丫〜2(m), 则Z=X丫的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于n mm的F分布，记作Z〜F (n, m)，它的分布密度2P (Z(m nz) 2n mn m------ in——1 z2-,z 0 n m2 20,其他。
请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度1的次序有关，当 Z 〜F (n , m )时，刁〜F (m ,n )。
卡方分布
χ2分布的和也是χ2分布,即χ2分布具有可加性。 Σ χ2是一个遵从df= df1+df2+…+dfk的χ2分布.
如果df＞2,χ2分布的平均数:μ χ2=df,方差σ χ2
=2df.
χ2分布是连续型分布,有些离散型的分布也近似
χ2分布.
2
χ2分布密度曲线
n=1
n=4 n=10
n=20
概述-3
知道了同一总体不同样本的方 差比率分布,即可分析任意两样 本方差是否取自同一总体了.
F分布密度曲线
m=10，n=∞ m=10，n=50 m=10，n=10 m=10，n=4
F分布的特点-1
1. F分布形态是一个正偏态分布，它的分布 曲线随分子、分母的自由度不同而不同， 随df1与df2的增加而渐趋正态分布。
这无限多个F的分布称做F分布.
概述-112FFra bibliotek
2 2
df1
df2
概
述
2
(Xi X )2
2
(n 1)sn21
2
-2
概 述
代入F
12
df1
2 2
df2
(n1
1)
s2 n1
1
2 1
(n1
1)
(n2
1)
s2 n2
1
22 (n2 1)
-2
s2 n1 1
χ2分布表-1
χ2分布表是根据χ2分布函数计算出 来的，χ2分布曲线下的面积都是1.
随自由度不同，同一χ2 值以下或 以上所含面积与总面积之比率不同。
χ2表要列出自由度及某一χ2值以上 χ2分布曲线下的概率.
§5.4三大抽样分布
所以 Y ( y1 ,, yn )T 的各分量相互独立.
n 1 由于 x y1 , ( n 1) s 2 yi2 . x与s 2相互独立. n i 2
1 n 1 21 1 A 3 2 1 n( n 1)
n
( n 1) s 2 yi2，
i2
yi N (0, ), i 2,3, , n.
2
y2 ,, yn相互独立.
( n 1)
2
yi 2 s ~ (n 1). i 2
n
2
2
15
定理2：设( X 1 , X 2 ,, X n )是来自正态总体N ( , )的
1 n 1 21 1 3 2 1 n( n 1)
1 n 0
1 3 2 1 n( n 1)
0 0 1 n( n 1) 1 n
14
(3)
( n 1)
2
s 2 ~ 2 ( n 1).
2 i 1 2 i 2 1 2 2 n 2 n
服从自由度为n的 2分布， 记作 2 ~ 2 (n) . 注：服从 2分布的随机变量取值非负，其密度函数为 n x 1 1 x2 e 2 , x 0 n 2 n 2 ( x; n) 2 ( ) Γ ( s ) x s1e x dx , s 0, 2 0 0, x0
4
n=4
2 分布的性质：
n=6 n=10
1、随n的增大，其偏度越来越小。
2、 2分布表——P425 附表三
2
即是分布函数数值表.
2
n 1 3、 分布是Ga分布的特例，即有 ( n) Ga( , ) . 2 2 4、 2分布具有可加性：
f分布t分布和卡方分布
§1、4 常用得分布及其分位数1、 卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都就是由正态分布所导出得分布，它们与正态分布一起，就是试验统计中常用得分布。
当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑ii X 2 得分布称为自由度等于n 得2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它得分布密度p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中得⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1，⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21=π。
2χ分布就是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。
证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布得定义以及上述随机变量得相互独立性，令Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。
2、 t 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n Y X得分布称为自由度等于n 得t 分布，记作Z ～ t (n )，它得分布密度 P(z)=)()(221n nn ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。
请注意：t 分布得分布密度也就是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。
这时， t 分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。
3、 F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=m Y n X得分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 得F 分布，记作Z ～F (n , m )，它得分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。
天津大学研究生应用统计学第一章第二节课内容
总体p分位数
分位数
设p满足0 p 1，若x p 使P{ X x p } F ( x p ) p，则 1 称x p 为该分布的p分位数。当p 时，x 1 称为中位数。 2 2
样本p分位数与总体p分位数的关系
定理： 设总体X具有密度函数f ( x)，x p 为p分位数(0 p 1)， 若f ( x)在x x p处连续且不为零，则样 本p分位数x 渐
数理统计的应用
• 数理统计是应用性很强的学科。在工农业 生产、医药卫生、生物、环境、经济、管 理、金融、保险等领域发挥着重大作用。 • 软件： • Matlab、SPSS、 SAS、 • R软件 /bin/windows/base/
教学参考书
5
10
15
20
25
Cochran 分解定理 设X 1 , X 2 , , X n是独立同分布的随机变 量，X i 服从N(0, 1),i 1, 2, n，Qi(i 1, 2, k ) 是X 1 , X 2 , , X n的二次型，其秩为 ni . 如果Q1 Q2 Qn
当给定次序统计量的观测值 x(1) x(2) ... x(n) 时， 对任意实数x,
0, x x(1) , k Fn ( x) , x( k ) x x( k 1) , n 1, x( n ) x;
n ( x) 个数，则称 Fn ( x ) 为经验分布函数。 n
Rnn X ( n ) X (1)为极差. 称D
注 : X (1 ), X ( 2 ), , X ( n )不 独 立
2.经验分布函数 定义6.1.4 设 X1 ,, X n 是取自总体X的样本
用 n ( x ) 表示 ( X 1 , X 2 , , X n )中不超过 x Байду номын сангаас观测值的
5.3卡方分布、t分布及F分布
F分布的分位数
自由度为n, m的F分布的分位数记作 F (n, m ). 1) F ( n, m ) 0, 非对称分布。 2) 当F ~ F (n, m )时，P{F F (n, m )} .
3) 当较小时，表中查不出 F (n, m )， 可先查F1 (m, n)，
知道自由度n和α可查t分布的分位数表。
n 30, t n u
卡方分布的分位数
2 自由度n的 2分布的分位数记作 ( n).
1) ( n) 0, 非对称分布。
2
2) 当Z ~ ( n)时， P{ Z ( n)} .
2
2
自由度n, , 可以从 3) 给出概率和 2 2 中查出 ( n). 分布的分位数表
§5.3 卡方分布，t分布及F分布
与F分布的关系
5.常用分布的分位数
1.卡方分布
什么是卡方分布
设随机变量X 1 , X 2 , , X n相互独立, 且都服从
n i 1 2 i
N (0,1), 则随机变量Z X 服从自由度为n的
分布，记作Z ~ ( n).
3) u u1
0.005 ，u0.995 2.58.
t分布的分位数
自由度为n的t分布的分位数记作 t ( n).
为对称分布，记号方式类似标准正态分布。
1) 当T ~ t (n)时，P{T t ( n)} .
2) 0.5时，t n 0,
3) t (n) t1 (n),
，
又根据 F 分布的定义，
1 ~ F (n, m) ， X
1 P F n , m 所以 X ，
1 F n, m 因此 F1 (m, n)
概率论中三个重要分布
t分布的α分为点
对于给定的α(0<α<1)，称满足条件
P{t t (n)}
的点tα(n)为t分布上的α分为点 由t分布概率密度函数的对称性有
t1 (n) t (n)
t分布α分为点的求法
t分布α分为点的求法：
对于n≤45的α分为点可查表求得； 当n充分大（n>45）时，近似地有
F分布
χ2分布的α分为点
对于给定的α(0<α<1) ，称满足条件
P( (n) (n))
2 2
的点 (n) 为χ2(n)分布的α分为点
2
χ2分布α分为点的求法
χ2分布α分为点的求法：
对于n≤45的α分为点可查表求得； 当n充分大（n>45）时，近似地有
1 (n) (u 2n 1) 2 2
三个重要分布
χ2分布 t分布 F分布
2分布 χ
χ2分布的定义
设X为正态分布总体的随机变量，其平均数及 X 方差分别为μ和σ2，即X~N(μ,σ2)， 为来自该 总体的n个样本值x1, x2, …, xn的样本平均数，则 样本统计量
( xi X ) 2
i 1 n
2
2 ~ 2 (n 1)
2
其中uα为标准正态分布上的α分为点
例题分析
1. 2. 3.
2 0.05 (12) n=12, α=0.05, 求 2 0.95 (12) n=12, α=0.95, 求 2 2 ) n=18, α=0.95, 求 0.95 (18和 0.05 (18) 使得 2 2 2 P( 0.95 (18) 0.05 (18)) 0.9 2 n=50, α=0.05, 求 0.05 (50)
生物统计机率值换算表
生物统计机率值换算表
生物统计中常用的概率值换算表主要包括正态分布、t分布、卡方分布和F分布。
下面我将从多个角度对这些概率分布进行全面的解释。
1. 正态分布，正态分布是自然界中广泛存在的一种连续概率分布。
它的概率密度函数呈钟形曲线，均值为μ，标准差为σ。
正态分布的重要性在于许多自然现象和统计推断都可以近似地使用正态分布进行描述。
在生物统计中，我们经常使用正态分布来进行假设检验、置信区间估计等统计推断。
2. t分布，t分布是用于小样本情况下的概率分布。
当总体标准差未知且样本量较小时，我们通常使用t分布来进行统计推断。
与正态分布相比，t分布的曲线形状更加扁平，尾部更厚，这是由于样本量较小所导致的。
在生物统计中，t分布常用于比较两个样本均值是否显著不同。
3. 卡方分布，卡方分布是一种非负的连续概率分布，常用于描述随机变量的分布情况。
在生物统计中，卡方分布常用于拟合度检验和方差分析等。
例如，我们可以使用卡方分布来判断观察到的数
据是否与理论期望值一致。
4. F分布，F分布是一种比率分布，常用于比较两个或多个总体方差是否相等。
在生物统计中，F分布常用于方差分析和回归分析等。
例如，在进行药物治疗实验时，我们可以使用F分布来比较不同治疗组之间的方差差异。
需要注意的是，生物统计中的概率值换算表并不是一个固定的表格，而是根据具体的问题和使用的统计方法而定。
因此，在实际应用中，我们通常使用统计软件或者查找相应的统计参考书来获取具体的概率值。
希望以上解释能够对你有所帮助。
如果你还有其他问题，欢迎继续提问。
x分布,t分布,f分布的概念
X分布、t分布和F分布是三种不同的统计分布。
X分布：X分布是一个自由度为n的卡方分布，它通常用于描述一组相互独立的标准正态分布随机变量的平方和。
t分布：t分布是一个自由度为n的t-分布，它通常用于描述小样本情况下样本均值的分布。
在统计推断中，它经常用于估计总体均值或进行假设检验。
F分布：F分布是两个独立卡方分布的比值的分布，它通常用于描述两个方差估计值的比较。
在方差分析和回归分析中，F分布用于检验多个总体方差是否相等。
这些分布在统计学中起着重要的作用，用于推断统计模型、假设检验和参数估计等方面。
(完整word版)卡方分布概念及表和查表方法
卡方分布概念及表和查表方法目录1简介2定义3性质4概率表简介分布在数理统计中具有重要意义。
分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。
定义若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution），卡方分布其中参数称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。
记为或者（其中，为限制条件数）。
卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度很大时，分布近似为正态分布。
对于任意正整数x，自由度为的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。
性质1) 分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1。
2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。
3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。
4) 若互相独立，则：服从分布，自由度为。
5) 分布的均数为自由度，记为E( ) = 。
6) 分布的方差为2倍的自由度( )，记为D( ) = 。
概率表分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在分布中得对每个分布编制相应的概率值，这通过分布表中列出不同的自由度来表示，卡方分布临界值表在分布表中还需要如标准正态分布表中给出不同P 值一样，列出概率值，只不过这里的概率值是值以上分布曲线以下的概率。
由于分布概率表中要列出很多分布的概率值，所以分布中所给出的P 值就不象标准正态分布中那样给出了400个不同的P 值，而只给出了有代表性的13个值，因此分布概率表的精度就更差，不过给出了常用的几个值，足够在实际中使用了。
标准正态分布表
标准正态分布表
标准正态分布表是统计学中常用的一种表格，用于帮助计算标准正态分布的概率。
在统计学中，正态分布是一种连续概率分布，其形状呈钟形曲线，均值为0，标准差为1。
标准正态分布表则是帮助查找标准正态分布的概率值的工具。
标准正态分布表的横纵坐标分别表示了标准正态分布的变量Z和对应的概率值。
其中，Z是标准正态分布的变量，而概率值则表示了Z 在某一数值以下的面积。
通过查找Z值和对应的概率值，我们可以快速计算出标准正态分布在某一数值以下的概率，从而进行统计分析和推断。
在标准正态分布表中，通常会给出Z值对应的概率值。
当需要计算某个Z值对应的概率时，我们只需查表找到对应的值即可。
例如，如果需要计算Z值为1.96对应的概率，只需在表格中找到1.9列和0.06行的交叉点，即可得到对应的概率值为0.9750。
这样，我们就可以快速准确地获取标准正态分布的概率值，方便我们进行统计分析。
总之，标准正态分布表是统计学中一种重要的工具，能够帮助我们计算标准正态分布的概率，进行统计推断和分析。
通过查找表格中的数值，我们可以快速准确地获取需要的概率值，为数据分析提供有力支持。
因此，熟练掌握标准正态分布表的使用方法对于统计学学习和实践具有重要意义。
第七讲正态分布
e
x
2
2
2
N , 标准分以均值基点，以标准差为度量
2
，
N 0,1
• 某地家庭平均娱乐费支出为120元，标准差 为5元，如果某家庭的娱乐费支出为130元， 标准分为多少？
和标准正态分布N 0,1 二、正态分布 面积之间的对应关系
N ,
2
• 二者分布图的区别只在于对称轴不同，前者以µ 为轴，后者以0为轴。 三、几个典型取值区间
• 一、标准分——Z值： • 概率密度： • 当 ，
Z x
1 z 2
时
e
z 2
2
x
1 2
1 • 因此，标准正态分布可以看作一般正态分布的一个特例。
• 当 • • ， 时，记做
0 1 一般正态分布记做
0
x z
k1 k 2 2 k1 k 2 2 2 k 1 k2 k1 k 2 2 2
z k k1z k 2 z
2
k
2
k1 1
当z>0
1
2
k2
• F（ k1 ，k2 ）， k1为第一自由度（分子）， k2为 第二自由度（分母）。
p x
• 的tα值
• 已知：k=10，a=0.05，求 t0.05(10)=
三：F分布
• 1、设随机变量 与 独立，且都服从X2分布，自 由度分别为k1及k2。
• • • 则随机变量
F
的分布密度为：
k
1
F z
第七讲正态分布第七分布第七讲正态分布正态分布表
（完整word版）卡方分布概念及表和查表方法
（完整word版）卡⽅分布概念及表和查表⽅法卡⽅分布概念及表和查表⽅法⽬录1简介2定义3性质4概率表简介分布在数理统计中具有重要意义。
分布是由阿贝(Abbe)于1863年⾸先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基⼈之⼀的卡·⽪尔逊(C K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的⼀个⾮常有⽤的著名分布。
定义若n个相互独⽴的随机变量ξ?、ξ?、……、ξn，均服从标准正态分布（也称独⽴同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平⽅和构成⼀新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution），卡⽅分布其中参数称为⾃由度，正如正态分布中均数或⽅差不同就是另⼀个正态分布⼀样，⾃由度不同就是另⼀个分布。
记为或者（其中，为限制条件数）。
卡⽅分布是由正态分布构造⽽成的⼀个新的分布，当⾃由度很⼤时，分布近似为正态分布。
对于任意正整数x，⾃由度为的卡⽅分布是⼀个随机变量X的机率分布。
性质1) 分布在第⼀象限内，卡⽅值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数的增⼤，分布趋近于正态分布；卡⽅分布密度曲线下的⾯积都是1。
2) 分布的均值与⽅差可以看出，随着⾃由度的增⼤，分布向正⽆穷⽅向延伸（因为均值越来越⼤），分布曲线也越来越低阔（因为⽅差越来越⼤）。
3）不同的⾃由度决定不同的卡⽅分布，⾃由度越⼩，分布越偏斜。
4) 若互相独⽴，则：服从分布，⾃由度为。
5) 分布的均数为⾃由度，记为E( ) = 。
6) 分布的⽅差为2倍的⾃由度( )，记为D( ) = 。
概率表分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在分布中得对每个分布编制相应的概率值，这通过分布表中列出不同的⾃由度来表⽰，卡⽅分布临界值表在分布表中还需要如标准正态分布表中给出不同P 值⼀样，列出概率值，只不过这⾥的概率值是值以上分布曲线以下的概率。
正态分布卡方分布t分布f分布的特点
正态分布卡方分布t分布f分布的特点正态分布（Normal Distribution）是统计学中最重要的概率分布之一，也是最常见的概率分布之一。
它的形状类似于一个钟形曲线，两头低，中间高，呈对称分布。
正态分布具有许多独特的特点，其中一些特点包括对称性、峰度和偏度的性质、标准正态分布等。
首先，正态分布的最重要特点之一是它的对称性。
这意味着分布的左侧和右侧是镜像对称的。
换句话说，正态分布的均值（mean）、中位数（median）和众数（mode）是相等的，这是它对称性的一个基本特征。
这也意味着在正态分布中，随机变量的概率密度在均值处达到最大值，并且向两侧逐渐减小，形成了典型的钟形曲线。
其次，正态分布具有一个重要的特点是其峰度（kurtosis）和偏度（skewness）的性质。
峰度描述了分布曲线的尖锐程度，它是描述分布形态的重要指标之一。
正态分布的峰度为3，这意味着它的尖峰程度与标准正态分布相当。
偏度则描述了分布曲线的偏斜程度，正态分布的偏度为0，这意味着它是对称的。
这些特点使得正态分布在统计学中有着广泛的应用，特别是在假设检验和统计推断中被广泛使用。
另外，正态分布还有一个重要的特点是标准正态分布。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
它是统计学中非常重要的一种分布，因为许多统计量都服从于标准正态分布，比如t值、z值等。
正态分布的重要性在于中心极限定理，它指出了当随机变量的数量足够大时，它们的总和或者平均值会接近于正态分布，这使得正态分布在实际问题中有着广泛的应用。
除了正态分布外，卡方分布（Chi-square Distribution）也是统计学中重要的概率分布之一。
卡方分布是以卡方统计量为基础的分布，它在统计学中有着重要的应用。
卡方分布的特点包括其形状、参数和性质等。
首先，卡方分布的形状是非对称的。
它是一个正偏分布，即分布的右侧长尾较长，左侧短尾较短。
这与正态分布的对称性形成了鲜明的对比。
t分布f分布和卡方分布的关系 -回复
t分布f分布和卡方分布的关系-回复t分布、F分布和卡方分布都是常见的概率分布函数，主要用于统计学中的假设检验、置信区间估计等方面。
虽然它们在某些方面有一定的相似性，但每种分布都有其独特的特点和应用场景。
首先，让我们从概念上一步一步地介绍这三个分布函数。
1. t分布：t分布是由英国统计学家威廉·塞奥尼茨·高斯特（William Sealy Gosset）于1908年提出的，因其发表论文时使用了笔名“学生（Student）”，所以被称为t分布。
t分布是一种与正态分布相关的概率分布，它的特点是形状近似于正态分布，但是比正态分布的尖峰程度略高，而且尾部较厚。
t分布的形状由自由度参数决定，自由度越小，t分布的尾部越厚。
2. F分布：F分布是由英国统计学家罗纳德·费舍尔（Ronald Fisher）于1925年提出的，用于比较两个样本方差是否存在显著差异。
F分布是一种非对称的概率分布，其形状取决于两个自由度参数：分子自由度和分母自由度。
F分布通常用于方差分析和回归分析中，用于比较组间和组内的方差。
3. 卡方分布：卡方分布是由丹麦数学家托瑟·布伦塞利斯（Thorvald Thorvaldsen）于1900年提出的，用于计算独立性检验、拟合度检验和方差分析等问题。
卡方分布是一种右偏且非对称的概率分布，其形状由自由度参数决定。
卡方分布常用于计算观察值与期望值之间的差异。
虽然t分布、F分布和卡方分布在定义和特点上存在差异，但它们之间存在着紧密的关系。
1. 关系方面：t分布是由正态分布标准化得到的，其中正态分布的标准化变量被称为t 变量。
在实际应用中，t分布通常用于小样本情况下对总体均值的检验。
而F分布和卡方分布则都是基于t分布定义的。
2. 应用方面：t分布常用于小样本的统计推断中，特别是对总体均值的估计和假设检验。
F分布常用于分析方差来源的显著性差异以及回归分析的F检验。
卡方分布常用于在给定的显著性水平上检验观察数据与理论预期之间的差异。