函数含绝对值
含绝对值的函数方程解法
含绝对值的函数方程解法
对于含有绝对值的函数方程，求解的过程需要考虑绝对值的两种情况：正数和负数。
下面将介绍两种常见的解法。
1. 正数解法
当绝对值中的变量取正数时，可以将绝对值去除，直接求解函数方程。
例如，对于方程 $f(x) = |x - a| + b = c$，其中 $a,b,c$ 都是已知的实数常数，我们可以按照以下步骤求解：
1. 当 $x - a > 0$ 时，$|x - a| = x - a$，因此方程可转化为 $f(x) = x - a + b = c$；
2. 将方程整理为 $x = c - b + a$。
因此，当 $x - a > 0$ 时，方程的解为 $x = c - b + a$。
2. 负数解法
当绝对值中的变量取负数时，可以将绝对值去除，并加上负号，再求解函数方程。
例如，对于方程 $f(x) = |x - a| + b = c$，我们可以按照以下步骤
求解：
1. 当 $x - a < 0$ 时，$|x - a| = -(x - a)$，因此方程可转化为 $f(x) = -(x - a) + b = c$；
2. 将方程整理为 $x = a + c - b$。
因此，当 $x - a < 0$ 时，方程的解为 $x = a + c - b$。
需要注意的是，在求解含有绝对值的函数方程时，我们需要分
别考虑正数和负数的情况，并得到两组解。
最后，我们可以将两组
解合并为一个解集。
以上就是含绝对值的函数方程的解法。
希望以上内容能对你有
所帮助！。
含绝对值的函数
1、ABS函数函数名称：ABS主要功能：求出相应数字的绝对值。
使用格式：ABS(number)参数说明：number代表需要求绝对值的数值或引用的单元格。
应用举例：如果在B2单元格中输入公式：=ABS(A2)，则在A2单元格中无论输入正数（如100）还是负数（如-100），B2中均显示出正数（如100）。
特别提醒：如果number参数不是数值，而是一些字符（如A等），则B2中返回错误值“#VALUE！”。
2、AND函数函数名称：AND主要功能：返回逻辑值：如果所有参数值均为逻辑“真（TRUE）”，则返回逻辑“真（TRUE）”，反之返回逻辑“假（FALSE）”。
使用格式：AND(logical1,logical2, ...)参数说明：Logical1,Logical2,Logical3……：表示待测试的条件值或表达式，最多这30个。
应用举例：在C5单元格输入公式：=AND(A5>=60,B5>=60)，确认。
如果C5中返回TRUE，说明A5和B5中的数值均大于等于60，如果返回FALSE，说明A5和B5中的数值至少有一个小于60。
特别提醒：如果指定的逻辑条件参数中包含非逻辑值时，则函数返回错误值“#VALUE!”或“#NAME”。
3、AVERAGE函数函数名称：AVERAGE主要功能：求出所有参数的算术平均值。
使用格式：AVERAGE(number1,number2,……)参数说明：number1,number2,……：需要求平均值的数值或引用单元格（区域），参数不超过30个。
应用举例：在B8单元格中输入公式：=AVERAGE(B7:D7,F7:H7,7,8)，确认后，即可求出B7至D7区域、F7至H7区域中的数值和7、8的平均值。
特别提醒：如果引用区域中包含“0”值单元格，则计算在内；如果引用区域中包含空白或字符单元格，则不计算在内。
含绝对值的函数
含绝对值的函数知识定位灵活的掌握含有绝对值的函数，主要包括图像画法、函数解析式、与分段函数之间的联系。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中与二次函数相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用知识梳理1、用“三点定形法”画单绝对值函数)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象：)0()(≠+-=a k h x a x f 与)0()()(2≠+-=a k h x a x g 的图象类似，它们的顶点都是（k h ,），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。
所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。
所以可用三点定其型。
三点中，顶点（k h ,）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象。
2.用“两点定形法”作双绝对值差式函数b x a x x f ---=)(的图象（1）当a<b 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+<-=---=)()(2)()(b x a b b x a ba x a x ba b x a x x f ，可见其图象是由两端为两条平行的射线，中间为连接两射线的端点构成的图形，而图象总是在两个绝对值代数式的零点处转折。
（2）当a>b 时同理。
据此，可以点))(,()),(,(b f b a f a 确定函数b x a x x f ---=)(的图象3.用“多点定形法”作多绝对值函数)()(212211i i i a a a a x m a x m a x m x f <<<-++-+-= 的图象因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+++-++++<≤+++-+---+<++++----=)()()()()()()()()()(221121212211211221121i i i i i i i i i i a x a m a m a m x m m m a x a a m a m a m x m m m a x a m a m a m x m m m x f可知其图象是由i 个顶点i A A A 21、、、 决定的折线图，各顶点横坐标由各绝对值代数式的零点决定，中间由1-i 条顺次连接相邻两点的线段组成，两端为两条射线。
[精品]含绝对值的函数的图像
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含绝对值的函数的图像———给朱正怡同学答疑大罕含绝对值的函数，如去掉绝对值符号，则是分段函数。
化为分段函数，是作这类函数图像的“保底”的方法。
含绝对值的函数，其绝对值符号出现的方式无非以下三种情况⑴整“绝”（函数式右边整个加绝对值）：y=|f(x)| ,例如y=|x－1|；⑵x“绝”（函数式右边纯x处均加绝对值）：y=f(|x|)，例如y=|x|－1；⑶乱“绝”（函数式右边杂乱无章地加绝对值）：例如y=x2-2|x+1| -1乱“绝”函数的图像，一般需要先化为分段函数，再画图。
整“绝”函数的图像，一般用翻折法画图，方法是“上留下翻”：先画y=f(x)图像，将x轴上方部分留着，将在x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上边去，即得 y=|f(x)|图像。
x“绝”函数的图像，一般用翻折法画图，方法是“右留翻左”：先画y=f(x)图像，将y轴右方部分留着，并将它以y轴为对称轴翻折到y轴右边去，即得y=f(|x|)图像。
两个或多个整“绝”的一次函数的和，有乱“绝”之嫌，当然可以先化为分段函数再画图之，但是，由于其图像是三段直线型（一条线段和二条射线）图像组成，可以用折点（拐点）作图法：先逐个找出每个绝对值的零点（局部零点），再以此为横坐标算出相应的纵坐标，得到若干个折点，并将诸折点连接成线段，然后在最左边和最右边的折点的两边，利用函数式得到各得到一个辅助点，并连成射线。
于是函数的图像大功告成。
例1 作函数y=| x-1|+|x+2|图像。
解：图像如图1，作法从略。
利用函数图像，可以简捷地解决一些问题，如解不等式，求取值范围，证明恒成立。
例2 解不等式：| x-1|+|x+2|≤4解：在同一直角坐标系下，分别作出y=| x-1|+|x+2|和y=4的图像如图2；再解方程| x-1|+|x+2|＝4得，x1=-3/2，x2=5/2，由图可知，-3/2≤x≤5/2为所求。
思考题：解不等式：| x-1|－|x+2|＞3（提示：方法与例2一样。
带绝对值的函数-高中数学知识点讲解
带绝对值的函数
1．带绝对值的函数
1．当函数体中包含绝对值，就需要对绝对值内的部分的正负情况进行讨论，因此含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图象进行研究．
2．①形如的函数，由于={
푓
―
(푥
푓
)
(，푥)푓(푥)≥0
，푓(푥)＜0，因此研究此类函数往往结合函数图象，可以看y＝| （f x）| | （f x）|
成由的图象在轴上方部分不变，下方部分关于轴对称得到，例如的图象如下图：
x x y＝| x2﹣1|
②（）＝| ﹣﹣|，（＜）的图象是以A（m，（f m）），B（n，（f n））为折点的折线．
f x a x m b x n m n
当时，两端向上无限延伸，故存在最小值，最小值为；
a b＞0 min{（f m），（f n）}
当时，两端向下无限延伸，故存在最大值，最大值为；
a b＜0 Max{（f m），（f n）}
当时，两端无限延伸且平行轴，故既有最大值又有最小值，最大值为；最小值
a b＝0 x Max{（f m），（f n）}
为；例如：和的图象分别为
min{（f m），（f n）} y＝2 | x﹣1 3 x﹣2 | y＝2 | x﹣1|﹣3| x﹣2 |
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高一含绝对值的对数函数问题
高一含绝对值的对数函数问题高一数学中，绝对值的对数函数是一个常见的题型。
这类题目通常涉及到对数函数的性质和图像，以及绝对值函数的性质和图像。
我将从不同角度来解答这类问题。
首先，我们来看绝对值的对数函数的定义。
绝对值的对数函数通常表示为f(x) = log |x|，其中log表示以10为底的对数。
这个函数的定义域是所有实数，而值域是负无穷到正无穷。
当x大于0时，f(x) = log x；当x小于0时，f(x) = log(-x)。
这意味着函数图像会在x轴的正半轴和负半轴分别有一条对称的分支。
其次，我们可以讨论绝对值的对数函数的性质。
由于对数函数的性质，绝对值的对数函数在x大于0时是单调递增的，在x小于0时是单调递减的。
另外，绝对值的对数函数的图像会经过点（1, 0），并且在x=1处有一个垂直渐近线。
接着，我们可以探讨绝对值的对数函数的图像特点。
由于绝对值的对数函数的特殊性质，它的图像会呈现出两条分支，分别位于x轴的正负半轴。
这两条分支会在（1, 0）这一点相交，并且在这一点有一个水平切线。
最后，我们可以考虑一些与绝对值的对数函数相关的典型问题。
比如，求函数的定义域、值域；求函数在某个区间上的增减性；求函数与坐标轴的交点等等。
这些问题需要运用对数函数和绝对值函数的性质，以及图像特点来进行分析和解答。
综上所述，高一含绝对值的对数函数问题涉及到对数函数和绝对值函数的性质、图像特点以及相关的典型问题。
在解答这类问题时，我们需要全面理解和掌握这两类函数的知识，从而能够准确地分析和解决问题。
函数绝对值
函数绝对值函数绝对值是数学中最常用的概念之一，它可以使任意一个数的绝对值即正负号均可以成为正数。
它用来取出任意一个数的绝对值。
它有着多种属性，并可以用来解决许多数学问题。
一、函数绝对值的定义函数绝对值是一个复数（有理数或无理数），它代表一个数的绝对值，即正负号无关，只与该数的大小有关。
一般来说，函数绝对值的定义为：函数绝对值=|f(x)|=max{f(x),-f(x)}，其中x为任意实数。
使用该定义，可以得出一个绝对值的函数f(x)的函数绝对值公式如下：f|x|=max{f(x),-f(x)}=begin{cases}f(x) & text{if } f(x)>0-f(x) & text{if } f(x)leq 0end{cases}二、函数绝对值的性质函数绝对值有着以下几种性质：（1）函数绝对值的取值范围：若f(x)满足非负定义，则有0≤f|x|≤∞；（2）函数绝对值的奇偶性：f|x|是一个偶函数；（3）函数绝对值的最值：函数f|x|在x=0处取得最大值f|0|；（4）函数绝对值的单调性：如果f(x)为单调递增函数，则f|x|也是单调递增的；（5）函数绝对值的反函数：如果f(x)有反函数，则f|x|也有反函数，反函数为f-1|x|=f-1(|x|)；（6）函数绝对值的可导性：f|x|是可导的函数，其导数为：f|x|/x=sgn(f(x))*f’(x)，其中sgn(f(x))表示f(x)的符号函数，取值为：sgn(f(x))=1 为 f(x)>0；sgn(f(x))=0 为 f(x)=0；sgn(f(x))=-1 为 f(x)<0。
三、函数绝对值的应用函数绝对值在数学中有着重要的作用，它可以用来解决许多数学问题。
例如：（1）求函数的极值问题。
对于任何一个复变量函数f(x)，若满足f(x)=0，则f(x)可能处于极值点；但由于存在正负号的问题，因此可以用函数绝对值来解决这一问题。
26.7 含绝对值符号的函数+雷刚
第五节 含绝对值符号的函数26.7 含绝对值符号的函数1.形如)(x f y =的函数试一试 如何作出函数21+=x y 的图像？ 根据绝对值的定义，函数21+=x y 可以表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-≥+=021021x x x x y ，， （1）作当x ≥0时，21+=x y 的图像，即图26.7.1中的射线AC ； （2）作当x >0时，21+-=x y 的图像，即图26.7.1的射线AB ； （3）图26.7.1中的折线BAC 即为函数21+=x y 的图像。
由上面我们可以看出，对于函数)(x f y =，当自变量x 取值互为相反数时，所得到的函数值相等，即)()(x f x f -=，因此函数)(x f =图像就是函数)(x f y =（x ≥0）的图像与)0)((<-=x x f y 的图像的全部，并且函数)(x f 的图像关于y 轴对称。
例1 作函数3412--=x x y 的图像解 因为222x x x ==，所以3412--=x x y 是)(x f y =类型的函数 （1）作出当x ≥0时，3412--=x x y 的图像，这是一个开口向上的抛物线在y 轴右边的部分。
由03412=--x x 可以得知，抛物线与x 轴的交点为（2-，0）和（6，0），与y 轴的交点为（0，－3）.抛物线的顶点坐标为（2，－4），如图26.7.2所示，曲线ABC 就是当x ≥0时，3412--=x x y 的图像； （2）以y 轴为对称轴，作曲线ABC 的对称图形''C AB ；（3）图中的曲线ABC B C ''即为3412--=x x y 的图像由此，我们可以发现： 画函数)(x f y =的图像的一般步骤：①先作出)0)((>=x x f y 的图像；②将)0)((>=x x f y 的图像沿y 轴翻折到y 轴左侧，就得到了函数)(x f y =的图像例2 已知方程1+=ax x ，有一个负根且无一正根，求a 的取值范围分析 可以把等号两边的式子看作是函数，从函数图像入手比较直观地解决问题 解 原方程即ax x =-1，如图26.7.3，在同一坐标系作函数1-=x y 与ax y =的图像 1-=x y 是尖点（0，－1）的“V ”字形折线，而ax y =是过原点斜率为a 的直线，如图虚线OA 是ax y =的一个极根位置，y 轴是它的另一根限位置，易见当1≥a （即直线OA 的向上的方向与x 轴正方向的夹角不小于︒45）时，OA 与1-=x y 的图像交点位于第三 象限，即方程ax x =-1有一个负根且没有正根。
含有绝对值函数的性质
含有绝对值函数的性质及应用函数是高中阶段数学的核心内容,贯穿着整个高中数学的教学过程.含有绝对值的函数是一类常见的函数类型,这类函数看起来是由一次函数、二次函数等基本函数组成的,但又与它们有很大差异,并且通常与函数的值域(最值)、不等式、方程等知识联系在一起,综合性比较强,学生在处理这类问题时,往往由于考虑不严密而引起种种错误,如何解决这类问题呢？分段讨论是基本的策略, 逐段处理,将问题转化为基本函数后,再各个击破,最后归纳总结.这一过程包含着分类、转化、数形结合等多种数学思想的综合运用.下面就其常见类型及解题策略举例说明.一 与一次函数有关的绝对值函数 1 函数h k x a +-=||y 的性质及应用函数||y x =的图象是由第一、二象限的角平分线构成的V 字形(如图1),而函数h k x a +-=||y 是由函数||y x =的图象经过平移翻折等图形变换得到的,其中a 的符号决定V 字开口方向:当0>a 时,V 字开口向上;当0<a 时,沿着x 轴翻折后V 字开口向下.||a 的大小决定V 字开口大小:若1||=a ,则张口角度为直角;若1||>a ,则张口角度为锐角;则1||<a ,则张口角度为钝角.把函数||y x a =的图象沿着x 轴向左（0<k ）或向右（0>k ）平移||k 个单位,再沿着y 轴向上（0>h ）或向下（0<h ）平移||h 个单位后得到h k x a +-=||y 的图象,即顶点为),(h k 的V 字形(如图2).例1 （07安徽）图3中的图象所表示的函数的解析式为（ ） (A)|1|23-=x y(0≤x ≤2) (B) |1|2323--=x y (0≤x ≤2) (C) |1|23--=x y (0≤x ≤2) (D) |1|1--=x y (0≤x ≤2) 分析与解：由上述性质容易得到应选B.例2 已知不等式||22t x x --<有负数解,求t 的取值范围.xy 图1xykOh图2图3图4分析与解：原不等式等价于“||2x -2t x ->+”, ||y t x -=表示顶点在x 轴上的V 字, 如 图4.从图象上来看,要使该不等式有负数解,则在左半平面抛物线2-x y 2+=上至少有一点在V 字形的上方,所以当V 字顶点在线段AB 之间时,原不等式有负数解,对应t 的取值范围是:)2,49(-.2 形如∑=-=ni i ik x a1||y 的函数对于含有多个绝对值的形如∑=-=ni i i k x a 1||y 的函数,一般是先根据n 个分界点i k 将函数分成1+n 段,去掉绝对值符号写出分段函数形式,然后根据一次函数的性质或由图象(折线)解答问题..例3 (09 重庆) 设函数|1||3|)(--+=x x x f ,若不等式a a x f 3)(2-≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A (,1][4,)-∞-+∞ B (,2][5,)-∞-+∞C [1,2]D (,1][2,)-∞+∞解:由图象（图5）可知,当1≥x 时,函数4)(max =x f .所以有: 432≥-a a ,解得1-≤a 或4≥a .故本题选:A例4 (08山东) 设函数|||1|)(a x x x f -++=的图象关于直线1=x 对称,则=a ___. 解: 因为分界点1-=x 和a x =是关于直线1=x 对称的,所以3=a . 例5 (08宁夏) 已知函数|4||12|)(---=x x x f . （1） 解不等式2)(>x f . （2） 求函数)(x f y =的最小值.解: (1) 原函数可化为:⎪⎩⎪⎨⎧+---=.5,335)(x x x x f ，，，.442121≥<<--≤x x x 作出函数)(x f y =的图象,图5它与直线的交点为: )2,7(- 和 )2,35(.所以2)(>x f 的解集是: ),35()7,(+∞⋃--∞. （2）由函数)(x f y =的图象可知,当21-=x 时,函数取得最小值29-. 二 与二次函数有关的含有绝对值函数1 形如)0(||y 2≠++=a c bx ax 的函数函数)0(||y 2≠++=a c bx ax 的图象是：函数 c bx ax ++=2y 位于x 轴下方的图象沿x 轴向上翻折后与其上方的部分组成.例6设1,0≠>a a ,函数||log )(2x ax x f a -=在]4,3[上是增函数,求实数a 的取值范围.解:令||)(2x ax x g -=(如图6).若1>a ,由),1(]4,3[+∞⊆a,则)(x g 在]4,3[上是增函数.所以,)(x f 在]4,3[上是增函数. 若1>a ,欲使)(x f 在]4,3[是增函数, )(x g 在]4,3[上应为减函数,则)1,21[]4,3[a a ⊆,所以aa 14,213<≥,即4161<≤a .故a 的取值范围是1>a 或4161<≤a . 例7（08浙江）已知t 为常数，函数|2|y 2t x x --=在区间]20[，上最大值为2，求t .解:因为函数|2|y 2t x x --=在]20[，上只有在2,1,0=x 处才有可能取得最大值.若在0=x 或2处取得最大值2, 解得2±=t ,其中2=t 不合题意舍去; 若在1=x 处取得最大值2,解得1=t 或3-,其中3-=t 不合题意舍去.所以2-=t 或1. 2 形如)(,0(||)()(y 21x f a b x b x a x f ≠+++=至多为二次函数）先由分界点2b -去掉绝对值符号,把函数写成分段形式后逐段讨论,最后再归纳总结. 例8 (09 江苏) 设a 为实数，函数||)(2)(2a x a x x x f --+=. (1) 若1)0(≥f ,求a 的取值范围; (2) 求)(x f 的最小值；(3) 设函数),(),()(+∞∈=a x x f x h ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式1)(≥x h 的解集.解:（1）若1)0(≥f ,则1101||2-≤⇒⎩⎨⎧≥<⇒≥-a a a a a .(2) 当a x ≥时,,23)(22a ax x x f +-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,320,20),3(0),()(22min a a a a a a f a a f x f 当a x ≤时,,2)(22a ax x x f -+=⎩⎨⎧<≥-=⎩⎨⎧<≥-=0,20,20),(0),()(22min a a a a a a f a a f x f 综上得 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=0,320,2)(22min a a a a x f .(3)),(+∞∈a x 时,由1)(≥x h 得,012322≥-+-a ax x .812)1(124222a a a -=--=∆① 当26-≤a 或26≥a 时, .0≤∆此时不等式的解集为:);,(+∞∈a x ② 当2626<<-a 时, ,0>∆所以有⎪⎩⎪⎨⎧>≥-+----a x a a x a a x 0)323)(323(22 )26,22(∈a 时,原不等式的解集为:);,(+∞∈a x ]22,22[-∈a 时, 原不等式的解集为:);,323[2+∞-+∈a a x )22,26(--∈a 时, 原不等式的解集为:).,323[]323,(22+∞-+--∈a a a a a x 本题第(2)问也可以分0≥a 和0<a 两种情况分别画出函数的草图:在分界点a x =处由两支抛物线拼接而成的.再根据草图求出函数的最小值表达式.三 与其他基本函数有关的绝对值函数与指数、对数及三角函数有关的绝对值函数,一般利用数形结合的思想,通过图形解决问题. 例9 (08 江西)函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是( ).解:因为函数⎩⎨⎧>≤=--+=)sin (tan sin 2)sin (tan tan 2|sin tan |sin tan x x x x x x x x x x y ,所以本题应选（D ）.例10 若函数|log |)(3x x f =,若)5.3()(f x f >,则x 的取值范围是___________. 解:画出函数|log |)(3x x f =的图象,由图象可知x 的取值范围是:720<<x 或27>x .ABCD-。
含绝对值函数的图象
含绝对值函数的图象【基础内容与方法】1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像；2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像；3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数 1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y kx b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12kx b x +＞的解集．【答案】（1）3242y x =-++；（2）当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少；（3）60x -<<．【解析】（1）根据在函数+2y k x b =+中，把点（2-，4）和（6-，2-）代入，可以求得该函数的表达式；（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象，根据函数图像增减性几块得出结论；（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集．解：（1）根据题意，得4622=⎧⎨⋅-++=-⎩b k b解方程组，得324⎧=-⎪⎨⎪=⎩k b 所求函数表达式为3242y x =-++．（2）列表如下：描点并连线,函数的图象如图所示，由图像可知，3242y x =-++性质为：当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少．（3）由图象可知：1+2+12kx b x +＞的解集是：60x -<<．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．类型二：含绝对值的二次函数 （一）绝对值在自变量上2．某班“数学兴趣小组”对函数y ＝﹣x 2+2|x |+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中，m ＝ ．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现：①方程﹣x 2+2|x |+1＝0有 个实数根；②关于x 的方程﹣x 2+2|x |+1＝a 有4个实数根时，a 的取值范围是 ．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x ＞1时，y随x的增大而减小；（4）①2；②1＜a＜2．【解析】（1）根据对称可得m=1；（2）画出图形；（3）①写函数的最大值和最小值问题；②确定一个范围写增减性问题；（4）①当y=0时，与x轴的交点有两个，则有2个实数根；②当y=a时，有4个实根，就是有4个交点，确定其a的值即可．解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m＝1，故答案为：1；（2）如图所示；（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①由图象得：抛物线与x轴有两个交点∴方程﹣x2+2|x|+1＝0有2个实数根；故答案为2；。
高考数学基础知识综合复习专题1含绝对值的函数课件
答案 [-1,
2+1
]
2
的取值范围是
.
解析 因为|bx-a|≤b-ax2,且 b>0,所以丨 x- 丨≤1- x2.令 t= ,则原不等
式为|x-t|≤1-tx2,即 tx2-1≤x-t≤1-tx2,
+1
1
且
t≥,
2 +1
+1
2+1
t∈[-1,
].
(ⅲ)当a>1时,因为x∈[-1,1],
1
2
1
4
所以 f(x)=|x2-a|+|a2-x|=a-x2+a2-x=-(x+ )2+a2+a+ ,
1
1
2
此时 M=f(- )=a +a+ ,
2
4
1
3
2 + + ≤ 4,
4
由
得 1<a≤ .
2
> 1,
3
2
综上所述,a 的取值范围为[-1, ].
5.(2020年1月浙江学考)设a,b∈R,函数f(x)=ax2+bx-3,g(x)=|x-a|,
.
答案 2+2 3
解析 因为函数f(x)=|x2+ax-2|-6在[2,b]上恰有两个零点,则必在x=2
与x=b时恰好取到零点的边界.
若x=2,f(x)的零点满足f(2)=|22+2a-2|-6=0,解得a=2或a=-4.
当a=2时,f(x)=|x2+2x-2|-6,满足f(x)在[2,b]上恰好有两个零点,则
高考数学微专题含有绝对值函数的取值范围问题
变1：已知f (x) = x3 - 3x，对任意x1，x2 ? [0, 2],| f (x1) f (x2 ) |? c恒成立,求c的取值范围.
解：因为对任意x1，x2 ? [0, 2],| f (x1) f (x2 ) |? c恒成立, 所以 | f (x1) - f (x2 ) |max ? c, 即 f ( x )max - f ( x )min Ｎc, x [0, 2] 求导可知，f (x)max =f (- 1) = 2, f (x)min =f (1) = - 2,所以f (x)max - f (x)min = 4.
例1：已知函数f (x) =| x |,求f (x)的最小值.
1 为什么？
绝对值总是非负的？
正数的绝对值是它本身， 负数的绝对值是它的相反数， 2 0的绝对值是0.
为什么？
3 绝对值的定义
是什么？
一个数在数轴上所对应的点到 原点的距离叫做这个数的绝对值.
变1：已知函数f (x) =| x - 1| +| x - 4 |,求f (x)的最小值.
3 代数上如何
严谨表达？
变3：已知函数f (x) = 3 | x - 1| +2 | x - a |,求f (x)的最小值g(a).
解：因为f (x) ? 2 | (x 1) - (x - a) | +| x - 1|? 2 | a 1| +0 = 2 | a - 1|，且f (1)=2 | a - 1|， 所以f (x)的最小值是f (1)=2 | a - 1| .
=4
-
3 e3,所以4 4
3 e3 4
?
a
0.
处理不等式 恒成立
看几何意义
可转化为函数图像的上下关系
含有绝对值函数的取值范围问题
含有绝对值函数的取值范围问题在数学高考中，函数问题一直占有较大的分量，而绝对值函数是函数中较为困难的一例题：已知函数f(x)＝x|x－4|，x∈[0，m]，其中m>0.(1)当m＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的值域为[0，4]，求实数m的取值范围．变式1已知函数f(x)＝x|x－a|在[0，2]上的值域为[0，4]，求实数a的取值范围．变式2设函数f(x)＝x|x－a|，若对于任意的x1，x2∈[2 ，＋∞)，x1≠x2，不等式f（x1）－f（x2）＞0恒成立，求实数a的取值范围．x1－x2串讲1若函数f(x)＝x 2|x －a|在区间[0，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．串讲2若不等式|x －2a|≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________________．(2018·南京二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax －1， x ≤0，x 3－ax ＋|x －2|，x ＞0的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________________．已知函数f (x )＝e x |x 2－a |(a ≥0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调减区间；(2)若方程f (x )＝m 恰好有一正根和一负根，求实数m 的最大值．答案：(1)f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，[－1－2，－1]；(2)4e2.解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧e x （x 2－1），|x |＞1，e x （1－x 2），|x |≤1.当|x |＞1时，f ′(x )＝e x (x 2＋2x －1)，由f ′(x )≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋ 2.所以f (x )的单调减区间为[－1－2，－1)，3分 当|x |≤1，f ′(x )＝－e x (x 2＋2x －1)，由f ′(x )≤0，解得x ≤－1－2或x ≥－1＋2， 所以f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，4分综上：f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，[－1－2，－1].6分 (2)当a ＝0时，f (x )＝e x ·x 2，则f ′(x )＝e x ·x 2＋2x ·e x ＝e x x (x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2，所以f (x )有极大值f (－2)＝4e 2，极小值f (0)＝0，当a ＞0时，f (x )＝⎩⎨⎧e x （x 2－a ），|x |＞a ，e x （a －x 2），|x |≤a .同(1)讨论得f (x )在(－∞，－a ＋1－1)上单调递增，在(－a ＋1－1，－a )上单调递减， 在(－a ，a ＋1－1)上单调递增，在(a ＋1－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．且函数y ＝f (x )有两个极大值点，9分f (－a ＋1－1)＝2e －a ＋1－1(a ＋1＋1)＝2e －a ＋1（a ＋1＋1）e.f (a ＋1－1)＝2ea ＋1－1(a ＋1－1)＝2e a ＋1（a ＋1－1）e.11分且当x ＝a ＋1时，f (a ＋1)＝e a ＋1(a 2＋a ＋1)＞ea ＋1(a ＋1－1)＞2ea ＋1（a ＋1－1）e.所以若方程f (x )＝m 恰好有正根，则m ＞f (a ＋1－1)(否则至少有两个正根)． 又方程f (x )＝m 恰好有一负根，则m ＝f (－a ＋1－1).13分令g (x )＝e －x (x ＋1)，x ≥1，则g ′(x )＝－x e －x ＜0，所以g (x )＝e －x (x ＋1)在[1，＋∞)上单调递减，即g (x )≤g (1)＝2e.等号当且仅当x ＝1时取到.14分所以f (－a ＋1－1)≤⎝⎛⎭⎫2e 2，等号当且仅当a ＝0时取到．且此时f (a ＋1－1)＝ 2ea ＋1－1(a ＋1－1)＝0，即f (－a ＋1－1)＞f (a ＋1－1)，所以要使方程f (x )＝m 恰好有一个正根和一个负根，m 的最大值为4e2.16分例题1答案：(1)[0，4]；(2)[2，2＋22]．解析：(1)当m ＝2时，f(x)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，当x∈[0，2]时，f(x)单调递增，所以f(x)的值域为[0，4]．(2)由函数f(x)＝x|x －4|图象可知，当x>4时，令x|x －4|＝4，即x 2－4x －4＝0，解得x ＝2＋22，若函数f(x)的值域为[0，4]，所以实数m 的取值范围是[2，2＋22]．变式联想变式1答案：a ＝0或a ＝4.解析：(1)当a<0时，f(x)＝x(x －a)，f(2)＝2(2－a)＞4，显然不满足条件；(2)当a ＝0时，f(x)＝x 2，在[0，2]上的值域为[0，4]，满足条件；(3)当a>0时，①当0<a≤2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 24－a 22＝a 24≤1，f(x)＝|x 2－ax|，f(0)＝0，f(2)＝|4－2a|＝4－2a ＜4，不满足条件；②当2<a<4时，f(x)＝－x 2＋ax ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 24≤a24＜4，不满足条件；③当a ＝4时，f(x)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，满足条件；④当a>4时，f(x)＝－x 2＋ax ，f(2)＝－4＋2a>4，不满足条件． 综上所述，a ＝0或a ＝4. 变式2答案：(－∞，2]． 解析：作出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x ＜a ，的图象，当a 变化时，易得a 的取值范围为(－∞，2]． 说明：变式1和2都是抓住形如y ＝x|x －a|函数的图象特征，抓住图象关键，从而解决问题．串讲激活串讲1答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)．解析：(1)当a≤0时，f(x)＝x 3－ax 2，显然在区间[0，2]上是增函数；(2)当a ＞0时，记g(x)＝x 3－ax 2，令g′(x)＝3x 2－2ax ＝0，解得x ＝0，x ＝2a 3，g(x)在(－∞，0)上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，＋∞上单调递增，又g(0)＝g(a)＝0，所以f(x)＝|g(x)|在(－∞，0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使f(x)在区间[0，2]上是增函数，只要2a3≥2，即a≥3.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．串讲2答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. 解析：作出y ＝|x －2a|和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a≤2－2a ，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.新题在线答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)．解析：因为f(0)＝－1，x →＋∞时，f(x)→＋∞，所以，函数f(x)过第一、三象限，①若a ＜0，显然成立；②若a≥0，只需x ＞0时，f(x)min ＜0即可，即存在x ＞0，使得f(x)＜0分离参数，得⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋|x －2|x min ＜a ，易求得⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋|x －2|x min ＝2，所以，此时a ＞2，综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．。
含绝对值的函数求导
含绝对值的函数求导含绝对值的函数是数学中常见的一种函数形式，其导数的计算需要根据绝对值函数的特性进行分段讨论。
本文将介绍含绝对值的函数求导的方法，并通过具体的例子进行说明。
一、绝对值函数的定义绝对值函数是指以自变量的绝对值作为函数值的函数。
一般来说，绝对值函数的定义可以表示为f(x) = |x|，其中x为实数。
二、绝对值函数的导数计算对于不含绝对值的函数，我们可以直接使用导数的定义进行求导。
但对于含有绝对值的函数，我们需要根据绝对值函数的性质进行分段讨论。
当x>0时，绝对值函数f(x) = x，此时导数为f'(x) = 1；当x<0时，绝对值函数f(x) = -x，此时导数为f'(x) = -1；当x=0时，绝对值函数f(x) = 0，此时导数为f'(x) = 0。
含绝对值的函数在不同区间内的导数有不同的取值。
下面通过具体的例子进行说明。
例1：求函数f(x) = |x|的导数。
根据前面的讨论，当x>0时，f(x) = x，导数为f'(x) = 1；当x<0时，f(x) = -x，导数为f'(x) = -1；当x=0时，f(x) = 0，导数为f'(x) = 0。
函数f(x) = |x|的导数为：f'(x) =1, x>0；-1, x<0；0, x=0。
例2：求函数f(x) = |x-2|的导数。
根据前面的讨论，当x>2时，f(x) = x-2，导数为f'(x) = 1；当x<2时，f(x) = -(x-2)，导数为f'(x) = -1；当x=2时，f(x) = 0，导数为f'(x) = 0。
函数f(x) = |x-2|的导数为：f'(x) =1, x>2；-1, x<2；0, x=2。
通过以上两个例子，我们可以看出含绝对值的函数求导的方法是根据不同区间的定义来进行分段讨论，并求出相应的导数值。
《函数》第08讲 含有绝对值的函数
A.(,0) C.(,0),(0, )
[练习2] 函数 y a
x
B.(0, ) D.不存在
在 ( ,0)上是增函数，则a .ຫໍສະໝຸດ 的取值范围是 0 a 1
3.形如 y = f(x) +|g(x)|的函数 [例题3].已知函数 f(x)=x2+|x-a|+1, a是实数.
(1)若 f(x)是偶函数，求 a 的值；
几何方法
x轴下方部分 翻折
偶函数 关于y轴对称
y = f(x) +|g(x)| 讨论g(x) 的正负
分段函数图象
[例题4].函数 f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是 [变式1].函数 f(x)=|x-1|+|x|+|x+1|取得最小值 时 ,x = ；
；
[变式2].函数 f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的
(2)若 a=1，求 f(x)在[-1，2]上的最小值. (1).a =0；
x x ,x1 (2). f ( x ) 2 x x 2, x 1
2
□方法与小结
类型
y =| f(x) | y = f(|x|)
代数方法
f ( x) f ( x) 0 y f ( x) f ( x) f ( x) 0 f ( x) , x 0 y f (x) f ( x), x 0
最小值是 ；
[变式3].函数 f(x)=|x-1|+|2x+1|的最小值是
；
2
(1)写出函数的单调区间; (2)求在(-2,2]上的最值.
-3 -2 -1
高考数学复习含有绝对值函数的取值范围问题
f(x) － g(x) 恰 有 4 个 零 点 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 (2,3] ．
解析：由题意，当 y＝f(x)－g(x)＝2[f(x)－1]＝0 时，即方程 f(x)＝1 有 4 个解． 又由函数 y＝a－|x＋1|与函数 y＝(x－a)2 的大致形状可知，
a－|x＋1|，x≤1， 直线 y＝1 与函数 f(x)＝ 的左右两支曲线都有 2 x－a ，x＞1
5．设函数 f(x)＝x|x＋2|，则不等式 f[f(x)]≤3 的解集为 (－∞， 2－1] .
解析： 设 f(x)＝t， 则 f(t)≤3， 由函数 f(x)＝x|x＋2|图象可得 t≤1， 即 f(x)≤1， 所以，x≤ 2－1，不等式 f[f(x)]≤3 的解集为(－∞， 2－1]．
a－|x＋1|，x≤1， 6．已知函数 f(x)＝ 函数 g(x)＝2－f(x)，若函数 y＝ 2 x－a ，x＞1，
9 答案：1，8.
x2－a－2x，x≥a， 解析：f(x)＝x|x－a|＋2x＝ 2 －x ＋a＋2x，x＜a，
2 a － 2 x－a－22－ ，x≥a， 4 2 f(x)＝ 2 a ＋ 2 a＋22 －x－ 2 ＋ 4 ，x＜a，
(3)若函数 f(x)只有两个单调区间，则 Δ≤0，所以，a 的取值范围是 [－2 3，2 3]． a (4)若函数 g(x)＝x －a|x|＋3 只有两个单调区间，则2≤0，所以，a
2
的取值范围是(－∞，0]．
8．已知函数 f(x)＝x|x－a|＋2x，若存在 a∈[0,4]，使得关于 x 的方程 f(x) ＝tf(a)有三个不相等的实根，求实数 t 的取值范围．
a－ 2 因为 0≤a≤4，所以， 2 ＜a，
函数绝对值(DOC)
辅导讲义154年高三第二次模拟文科）函数D ）( 2.+∞对任意两个不相等的正数a、b22+|a b ab22+a b ab[3,)+∞……………………………………………………时，在区间[12]，上，1当2当∴综上，解：8 、（2012届高三一模徐汇区理23）对定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[],a b D ⊆和常数C ，使得对任意的[],x a b ∈都有()f x C =，且对任意的[],x a b ∉都有()f x C >恒成立，则称函数()f x 为区间D 上的“U 型”函数。
（1）求证：函数()13f x x x =-+-是R 上的“U 型”函数；（2）设()f x 是（1）中的“U 型”函数，若不等式12()t t f x -+-≤对一切的x R ∈恒成立，求实数t 的取值范围；（3）若函数2()2g x mx x x n =+++是区间[)2,-+∞上的“U 型”函数，求实数m 和n 的值.解：（1）当[]1,3x ∈时，1()132f x x x =-+-= 当[]1,3x ∉时，1()|1||3||13|2f x x x x x =-+->-+-=故存在闭区间[][],1,3a b R =⊆和常数C=2符合条件，…………………………4分 所以函数1()13f x x x =-+-是R 上的“U 型”函数…………………………5分 （2）因为不等式12()t t f x -+-≤对一切的x R ∈恒成立， 所以min 12()t t f x -+-≤…………………………7分 由（1）可知min min ()(13)2f x x x =-+-=…………………8分所以122,t t -+-≤…………………………9分 解得：1522t ≤≤…………………………11分 （3）由“U 型”函数定义知，存在闭区间[][),2,a b ⊆-+∞和常数C ，使得对任意的[],x a b ∈，(23)a -23a =-；,)+∞上递增；21,2aa =当且仅当时，函数y =时，函数(y f x =时，函数y =因为2>a ，所以a a <+22，所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上单调递减．…………（5分）综上，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a ， 单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22．………………（6分） （3）①当22≤≤-a 时，022≤-a ，022≥+a ，所以)(x f 在),(∞+-∞上是增函数，关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=不可能有三个不相等的实数解．…………（2分）②当42≤<a 时，由（1）知)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a 上分别是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上是减函数，当且仅当4)2()(22+<⋅<a a f t a 时，方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解．即⎪⎭⎫⎝⎛+4+=+<<4818)2(12a a a a t ．…………（5分） 令aa a g 4)(+=，)(a g 在]4,2(∈a 时是增函数，故5)(max =a g ．…………（7分）所以，实数t 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛89,1．…………（8分）13 已知函数()(),f x x a x a R =⋅-∈。