泊松过程
第三章泊松(Poisson)过程.
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
第三章泊松过程
定理 设是{N (t), t≥0}一个强度为l的泊松过程，则对任 意固定的t, N(t)服从泊松分布，即
P(N (t) = k ) = (lt)k e-l t
k!
k = 0,1, 2,L
二、泊松过程的数字特征与特征函数
1. 泊松过程的均值函数
mN (t) = E[N(t)]= lt
2. 泊松过程的方差函数
DN (t) = D[N(t)]= lt
3. 泊松过程的均方值函数
y
2 N
(t)
=
E[N
2
(t)]
=
DN
(t)
+
mN2
(t)
=
lt
+
(lt)2
4. 泊松过程的自相关函数
E(N (t1)N (t2 ))
令t2 ³ t1E{[N (t1)- N (0)][N (t2 )- N (t1)+ N (t1)]} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]+ [N(t1)- N(0)]N(t1)} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N (0)]N (t1)} 增量独立E{[N(t1)- N(0)][N(t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N(0)]N(t1)} 增量独立E[N (t1)- N (0)]E[N (t2 )- N (t1)]+ E{[N (t1)- N (0)]N (t1)}
mN (t) = 4t = DN (t)
RN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 ) + 16t1t2 , t1,t2 Î T
CN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 )
泊松过程的性质
到达时刻的分布
01
到达时刻的分布是均匀分布。在泊 松过程中，到达时刻的概率密度函 数为$f(t) = lambda e^{-lambda t}$，其中$t$是到达时刻。
02
到达时刻的期望和方差分别为 $E(T) = frac{1}{lambda}$和 $Var(T) = frac{1}{lambda^2}$ 。
泊松过程的性质
目录
CONTENTS
• 泊松过程的定义 • 泊松过程的性质 • 泊松过程的统计特性 • 泊松过程的扩展和推广 • 泊松过程的应用
01
CHAPTER
泊松过程的定义
泊松过程的基本概念
01
02
03
随机性
泊松过程是一种随机过程， 其事件的发生具有随机性。
独立性
泊松过程中，任意两个不 相交的时间区间内发生的 事件相互独立。
马尔科夫到达过程是一 种特殊的泊松过程，其 中事件的发生概率只与 当前状态有关，而与过 去的状态无关。
在马尔科夫到达过程中 ，事件的发生是一个马 尔科夫链的过程，即下 一个事件的发生概率只 取决于当前事件是否发 生，而与之前的事件无 关。这种过程具有无记 忆性。
马尔科夫到达过程的数 学表达通常使用马尔科 夫链和概率论，通过状 态转移概率和转移矩阵 来描述。
平稳性
总结词
平稳性是指泊松过程的事件发生频率与时间无关，即单位时间内发生的事件数 是一个常数。
详细描述
在泊松过程中，事件的发生频率是恒定的，不随时间的推移而改变。这意味着 在任意一个固定的时间间隔内，事件发生的次数是一个随机变量，但其均值等 于单位时间间隔内的事件发生率。
无后效性
总结词
无后效性是指泊松过程中，过去的事件不会影响未来的事件。
第三章 泊松过程
第一节、泊松过程的基本概念
证明： （1） 0 N (0) N1 (0) N2 (0) 可得 N1 (0) N2 (0) 0 （2）由N(t)的独立增量性可得，N1 (t ), N2 (t ) 也为独立增量过程； （3）记 N (t s) N (t ) N (t , t s) P[ N1 (t , t s ) k1 ]
泊松过程（Poisson process）最早由法国人Poisson于 1837年引入。
主 要 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
泊松过程的基本概念 相邻时间的时间间隔 剩余寿命与年龄 非时齐泊松过程 复合泊松过程 更新过程
第一节、泊松过程的基本概念
一、定义 一随机过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）是一计数过程，且N(0)=0; （零初值性) （2）任取 0 t1 t2 tn , （独立增量过程） N (t1 ), N (t2 ) N (t1 ), , N (tn ) N (tn1 ) 相互独立； （3）s, t 0, n 0, P[ N (s t ) N (s) n] P[ N (t ) n] （增量平稳性） （4）对任意 t 0 和充分小的 t 0 ，有 P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ) P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t ) 称N (t ), t 0 是强度 为的时齐泊松过程。 其中 0 称 为强度常数。
即 N (s t ) N ( s) 是参数为 t 的泊松分布。
证明
第一节、泊松过程的基本概念
泊松过程的等价定义： 一计数过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）N(0)=0; （2）N(t)是独立增量过程； （3）对 s, t 0, N (s t ) N (s) P(t ) ，即
泊松过程poisson
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
泊松过程
泊松过程一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
Poisson过程（Poisson process，大陆译泊松过程、普阿松过程等，台译卜瓦松过程、布瓦松过程、布阿松过程、波以松过程、卜氏过程等），是以法国数学家泊松（1781 - 1840）的名字命名的。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个随机过程N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重叠）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间内发生的事件的数目的概率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间之中事件发生的数目，则随机变数呈现泊松分布，其参数为。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得•在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变数是独立的。
•在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变数。
）泊松过程是莱维过程（Lévy process）中最有名的过程之一。
时间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
一个时间齐次、一维的泊松过程是一个纯出生过程，是一个出生-死亡过程的最简单例子。
随机过程 第3章 泊松过程
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程， 若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有
3.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
( t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
Φ X ( ) E[e
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1}
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P (T t 0 ) e t dt t0 ( k 1)! n k 1 ( t ) 0 P [ X (t 0 ) k ] e t
0
n0
n!
(3) 到达时间的条件分布
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E(X ) ,
泊松过程
泊松过程
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
它是一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数的过程。
一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变数是独立的。
在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变数。
）泊松过程是莱维过程（Lévy pro cess）中最有名的过程之一。
时间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
一个时间齐次、一维的泊松过程是一个纯出生过程，是一个出生——死亡过程的最简单例子。
对泊松过程，通常可取它的每个样本函数都是跃度为1的左（或右）连续阶梯函数。
可以证明，样本函数具有这一性质的、随机连续的独立增量过程必是泊松过程，因而泊松过程是描写随机事件累计发生次数的基本数学模型之一。
直观上，只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的，而且在充分小的区间上最多只发生一次，它们的累
计次数就是一个泊松过程。
泊松过程
泊松过程泊松过程是指一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个 随机过程 N(t)是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重迭）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间[t,t + τ]内发生的事件的数目标机率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间[t,t + τ]之中事件发生的数目，则随机变量N(t + τ) - N(t)呈现泊松分布，其参数为λτ。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重迭）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变量是独立的。
在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变量。
） 考虑一个泊松过程，我们将第一个事件到达的时间记为T1。
此外，对于n>1，以Tn记在第n-1个事件与第n个事件之间用去的时间。
序列{Tn,n=1,2,...}称为到达间隔时间列。
Tn(n=1,2,...)是独立同分布的指数随机变量，具有均值1/λ。
Definition of the Poisson processWe describe the situation by the counting process N(t), t > 0, which counts the number of events that have occurred between time 0 and time t. Our model has a single parameter, λ > 0, which isthe average arrival rate per unit time. Before defining the model formally, we make some preliminary calculations based on the following three natural assumptions:• The probability of an event occurring in a short interval of time [t,t+h] is λh+o(h) as h → 0.• The probability of two or more events occurring in interval [t, t + h] is o(h) as h → 0.• The numbers of events occurring in disjoint time intervals are independent.Examples:1.Insurance claims. Insurance companies often model customers’ claims using renewalideas. In this case the interarrival distribution is a crucial element of the calculation ofwhat insurance premium to charge.2.Counter processes. Many devices can be described as counters in that they attempt torecord the occurrence of successive signal pulses impinging on some instrument. Forexample Geiger counters for recording ionization events, or scintillation counters forrecording passage of a subatomic particle.3.Traffic flow. The times at which successive cars pass a monitoring station on a longsingle- lane road can be modelled as a renewal process. Much more generally, any sort of “traffic” can fit a similar model, such as data packets arriving at a server across a network connection. Questions of congestion can be answered using renewal theory and therelated theory of queues.4.Inventory systems. A large department store needs to know how much stock of aparticular item to hold, and a schedule for replenishment. The pattern of demands canoften be modelled as a renewal process.In any of these or other similar situations in which events occur randomly in time at some uniform average rate, an assumption of ‘total randomness’ leads to the Poisson process as a model.。
4-泊松过程
n kn1
k1 !(k2 k1 )!(kn kn 1 )!
12
二、泊松过程的数字特征与一维特征函数
设 {N (t ), t 0} 是强度为 的泊松过程，则
1. 均值函数 mN (t ) E( N (t )) t 2. 方差函数 DN (t ) D( N (t )) t
[例1] 设 N (t )为[0,t)时段内某电话交换台收到的
呼叫次数， t [0, )，N (t ) 的状态空间为 {0,1, 2,}，
且具有如下性质： （1） N (0) 0，即初始时刻未收到任何呼叫； （2）在[t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与 时间间隔s-t有关，而与时间起点t无关； （3）在任意多个不相重叠的时间间隔内收到
注:(4)中实际上假设了在足够小的时间间隔 内出现一个质点的概率与时间间隔成正比，而 出现质点数不少于2的概率是关于时间间隔的 高阶无穷小——这一般是与实际情况相吻合的。
思考：试举个例子是计数过程而不是泊松过程。
9
[定理1]设 {N (t ), t T [0, )}是一强度为 的泊 松过程，则对任意固定的 t 0，N (t ) 服从泊松 一维分布 分布 (t ) ，即 k
P{N (t1 ) N (0) k1, N (t2 ) N (t1 ) k2 k1,, N (tn ) N (tn1 ) kn kn1}
P{N (t1 ) N (0) k1} P{N (t2 ) N (t1 ) k2 k1} P{N (tn ) N (tn 1 ) kn kn 1}
2 1
则称{N (t ), t T [0, )}是强度为 的泊松过程。
k!
排队论大学课件6-泊松过程
复杂系统建模
02
对于复杂的服务系统，如多服务台、多队列等，基于泊松过程
的排队论模型建模难度较大。
数据获取与处理03在实际应用中，获取准确的顾客到达和服务时间数据较为困难，
对模型的验证和应用带来挑战。
未来发展趋势及研究方向
A
非齐次泊松过程研究
针对事件发生率变化的情况，研究非齐次泊松 过程在排队论中的应用。
均值与方差
指数分布的均值和方差都是1/λ，其中λ是单位时间内事件的平 均到达率。因此，到达时间间隔的期望值（均值）和波动程度 （方差）都与事件到达率成反比。
到达次数分布
泊松分布
在给定时间区间内，事件到达的次数服从泊松分布。泊松分布是一种离散型概率分布，用于描述在固 定时间或空间范围内随机事件发生的次数。
泊松过程应用场景
01 02
电话交换系统
在电话交换系统中，用户呼叫的到达可以看作是一个泊松过程。通过泊 松过程可以预测在给定时间内呼叫到达的次数，从而合理安排交换机的 容量。
交通流
道路上车辆到达的情况也可以看作是一个泊松过程。通过泊松过程可以 分析交通流的特性，如车流量、车速等，为交通规划和管理提供依据。
期望值与方差
对于单个事件的等待时间，其期望值（均值）是1/λ，方差也是1/λ。对于多个事件的等待时间，其期望值（均值） 和方差都与事件数量成正比。因此，等待时间的期望值（均值）和波动程度（方差）都与事件到达率成反比。
泊松过程参数估计与检验
03
参数估计方法
01
矩估计法
利用样本矩来估计总体矩，从而获得泊松过程参数的估 计值。
02
最大似然估计法
根据样本数据，构造似然函数，通过最大化似然函数得 到参数的估计值。
随机过程第三章泊松过程
随机过程第三章泊松过程泊松过程是随机过程中的一类重要过程，在许多领域都有广泛应用，如排队论、可靠性分析、金融工程等。
泊松过程的概念由法国数学家泊松提出，它具有无记忆性、独立增量和平稳增量等重要特征。
在本文中，我们将介绍泊松过程的定义、性质以及一些实际应用。
泊松过程的定义：设N(t)是在区间[0,t]内发生的事件个数，若满足以下三个条件，则称N(t)是具有独立增量和平稳增量的泊松过程：1.N(0)=0，表示在时间0之前没有事件发生；2.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布只与时间间隔t-s有关，与s时刻之前的事件个数无关，这表明泊松过程具有无记忆性；3.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布是一个参数为λ(t-s)的泊松分布，其中λ是过程的强度参数。
泊松过程具有很多重要的性质。
首先，泊松过程的均值和方差等于其强度参数λ。
其次，泊松过程的增量独立，即在非重叠区间上的增量相互独立。
此外，泊松过程的时间间隔也是独立同分布的指数分布。
泊松过程具有广泛的应用。
在排队论中，泊松过程可用于描述到达队列的顾客数量。
在可靠性分析领域，泊松过程可用于描述设备的故障次数。
在金融工程中，泊松过程可用于模拟股票价格的变动和交易的发生。
在实际应用中，对于给定的泊松过程，我们通常感兴趣的是估计其强度参数λ。
常用的估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计通过最大化观测到的事件发生次数和估计的事件发生率之间的似然函数，来估计λ的值。
矩估计则是通过将观测到的事件个数的平均值等于λ的估计值，来确定λ的值。
此外，在泊松过程的应用中，我们还可能遇到泊松过程的两个重要扩展：非齐次泊松过程和二维泊松过程。
非齐次泊松过程是指强度参数λ是时间的一个函数，而不是常数。
二维泊松过程是指同时考虑两个独立的泊松过程，其事件发生次数可能影响到对方的发生次数。
综上所述，泊松过程是一种重要的随机过程，具有无记忆性、独立增量和平稳增量等特征。
第三章泊松过程
exp {mX
(t)},
n0
例题3.8
设{X(t),t≥0}是具有跳跃强度
定理3.2： 设{X(t),t≥0}为具有参数λ的泊松过程，{Tn,n≥1}是 对应的时间间隔序列，则随机变量Tn是独立同分布 的均值为1/λ的指数分布。
即:对于任意n=1,2, …事件A相继到达的时间 间隔Tn的分布为
1 et , t 0
FTn
(t )
P{Tn
t}
0,
t0
其概率密度为
e t , t 0
设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A 发生n次，求这n次到达事件W1<W2, …<Wn的 联合概率密度函数。
解：
例题3.4
设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对 于0<k<n，求P{X(s)=k|X(t)=n}
解：
例题3.5设在[0,t]内事件A已经发生n次，求 第k(k<n)次事件A发生的时间Wk的条件概率 密度函数。
• 独立增量过程 • 平稳增量过程
计数过程
定义：
称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程，若N(t) 表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数， 且N(t)满足下列条件：
1. N(t) ≥0;
2. N(t)取正整数值以及0；
3. 若s<t，则N(s) ≤N(t)； 4. 当s<t时，N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的
y y
W1(2)
合Leabharlann y非齐次泊松过程定义3.4： 允许速率或强度是t的函数
称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数 λ(t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：
第三章 泊松(Poisson)过程
从而非齐次泊松过程不再具有平稳增量性.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
例1 某路公交车从早晨5时到晚上9时有车,乘客 流量如下:5时平均乘客为200人/小时;5时至8时 乘客平均到达率线性增加,8时到达率为1400人/ 小时;8时至18时保持平均到达率不变;18时到21 时到达率线性下降,到21时为200人/小时,假定 乘客数在不重叠的区间内是相互独立的,求 (1)7时至9时来站乘车人数的数学期望； (2)12时至14时有2000人乘车的概率. 解 设t=0为早晨5时,t=16为晚上9时,则均值函数 0 t 3 200 400t , ( t ) 1400, 3 t 13 1400 400( t 13),13 t 16
2、齐次泊松过程的概念
考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件： (1)自电子管阴极发射的电子到达阳极; (2)意外事故或意外差错的发生; (3)要求服务的顾客到达服务站. 电子到达阳极、顾客到达服务站等事件会随 时间推移随机发生在时间轴上的不同时刻.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
用N (t ), t 0表示在时间间隔 (0, t ]内发生的某种
由于Wn Ti , 利用矩母函数容易证明
i 1
n
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
t ( t )n 1 ,t 0 e fWn ( t ) ( n 1)! 0 , t 0
基础部张守成 2014年6月18日星期三
二、泊松过程的推广
2600
(2) 12时至14时有2000人来站乘车的概率为
2000 (2800) 2800 P{ N (9) N (7) 2000} e 2000!
随机过程第三章-泊松过程
N (t)
定理3.6 设 X (t) Yi 是一复合泊松过程,其中泊松 i 1
过程 N(t) 的强度为 ,则
(1) X (t) 具有独立增量;
(2)若E(Yi ) 1, E(Yi2 ) 2 均存在,则
E[ X (t)] t1,
D[ X (t)] t2
证 (1) 令 t0 t1 tn ,由于N(t)具有独立增量性,故
的泊松分布,故
P{N (10) N (0) 1} (4.5)e4.5
二.复合泊松过程
定义3.6 称随机过程 {X (t),t 0}为复合泊松过程,如果对
于 t 0 ,它可以表示为如下形式
N (t)
X (t) Yi i 1
其中 {N(t),t 0} 是一个泊松过程, Y1, ,Yn 是一族独立同 分布的随机变量,并且与 {N(t),t 0} 独立.
(5)4 e5 4!(7)5 e7 (12)9 e12 9!
5! C94
5 12
4
1
5 12
94
.
(5) E[N(5)]=5, D N 5 5,
Cov[N(5), N(12)] D N 5 5.
例2 事件A的发生形成强度为 的泊松过程 {N(t),t 0}.如 果每次事件发生时以概率 p能够记录下来,并以 M (t)表示到 t时刻被记录下来的事件总数,证明{M (t),t 0} 是一个强度为
(1) N(0) 0;
(2) N(t) 有独立增量;
(3)对任意的 s,t 0,有
P{N (t s) N (s) n} (t)n et ,
n!
n 0,1,2,
由条件(3)可知泊松过程有平稳增量并且在任一长度为t
的区间中事件的个数服从参数(均值)为 t 的泊松分布.
第三章泊松过程(随机过程刘次华版本)
P
W (1) k
W1(2)
0
e
1 x
x1
(1x)k 1
(k 1)!
2e2 ydydx
1k
x e dx k 1 (1 2 ) x
(k 1)! 0
1
1 2
k
32
3.2.3 到达时间Wn的条件分布
3.2 泊松过程的性质
假设在[0, t]内事件A已经发生1次，确定这一事
件到达时间W1的条件分布密度
求
P
W (1) k
W (2) 1
即第一个泊松过程第k次事件发生比第二个泊松过 程第1次事件发生早的概率.
29
3.2 泊松过程的性质
解
设
W (1) k
的取值为x，W1(2)
的取值为y，
fWk(1)
(
x)
1e
0
1 x
,
(1
(k x
x ) k 1 1)! 0
,
x
0
fW1( 2)
(
y)
2e
2
0 ,
y, y
nn
P
P[X[(Xt) (tX(0h))]
nX(tj)|]X([tX (ht))XX(t()0)]j
j0j 0
PnX|(tX(ht )hX)(t)X (jt) j PX(t h) X(t)
n
P[X(t) X(0)] n j | X(t h) X(t)10 j j0
3.1 泊松过程的定义
D[ X (s)] （E[ X (s)]）2
s(t s) s (s)2 s(t 1)
17
3.2 泊松过程的性质
BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) s 若t s,则BX (s, t) t, 从而 BX (s, t) min(s, t)
第三章泊松过程
设X ( ),即服从参数为的泊松分布。则：
1.P( X
k) e
k
k!
,k
0,1, 2,...
2.E( X ) Var( X )
3. X 的生成函数（或母函数）
g(t) E(s X ) e (s1) , 0 s 1
证明：(3)g(t)
浙大数学随机过程
6
定理：（泊松分布的可加性和可分性）
（1）设X ( ),Y (), 且相互独立，则X Y ( )
(2)设N ()，N个事件独立地(也独立于个数N）以概率
pi为类型i，这里i 1, 2，..., n, p1 ... pn 1.
i0
(t)i
i!
f Sn
t
பைடு நூலகம் t n1
n 1!
0,
et ,
t0 其他
即Sn ~ n,
2 记Ti Si Si1 i 1, 2, (S0 0)
称为第i 1个事件和第i个事件发生的时间间隔
N(t)
4 3 2 1
T1 S1T2 S2 T3 S3
e p1
( p1)i1
i1 !
...e pn
( pn )in
in !
浙大数学随机过程
8
§2 泊松过程的定义
以N (t) 表示在时间间隔0, t内事件发生的数目， N (t), t 0是取非负整数、时间连续的随机过程，
称为计数过程。
计数过程{N (t)}称作参数为的泊松过程,如果: 1. N (0) 0
泊松过程且与{N (u)：u s}独立。
对t s, n m：
第4讲第三章泊松过程
k 1
n
et EDk E[eWk N (t) n]（Dk 与N(t), Wk相互独立） k 1
n
et ED1 E[eWk N (t) n]
k 1
n
E(D1)et E[ eWk N (t) n]
k 1 n
E(D1)et E[
eUk ]
(根据定理3.4 )
k 1
E(D1)et E[ n eUk ] nE(D1)et E(eU1 ) k 1
注： 复合poisson过程 X(t)是包含泊松过程的一 个复合模型，通常不是泊松过程。
N (t)
定理3.6 设 X (t) 是Y复n ,t合 0泊松过程 n1
其中{N( t ),t≥0}是强度为λ的泊松过程,Yn,n=1, 2, …相互独立且同分布，则
1） {X( t ),t≥0 }是独立平稳、增量过程
P{N(s)=k | N(t)=n}, 0<k<n,0<s<t
证明：
P{N(s)=k | N(t)=n}
PN (s) k, N (t) n
P{N (t) n}
PN (s) k, N (t) N (s) n k
P{N (t) n}
PN (s) k PN (t) N (s) n k
当过程的到达率随时间而变化, 此假设就不合理 了.
若过程的增量平稳条件不满足，到达率随时间改变， 设到达率为时间函数λ( t ),则引入非齐次泊松过程概念：
定义：如果计数过程满足下列条件 1）N(0)=0； 2）{N( t ),t≥0 }是一个独立增量过程；
3) P{N(t t) N(t) 1} (t)t o(t);
N (t)
iu Yk E e k 1
泊松过程
泊松过程
泊松过程可以用数学语言来表达。
满足以下三个条件的随机过程X = {X（t），t ≥0}被称为泊松过程。
在基础书中，泊松过程是及时定义的过程。
①P（X（0）= 0）= 1。
②不相交区间的增量是相互独立的，即对于0≤t1<t2 <... <tn，X（t1），X（t2）-X（t1），...，X（tn）-X（tn-1）独立。
③增量X （t）-X（s）（t> s）的概率分布为泊松分布，即Λ（t）为非递减非负函数。
如果X仍然满足④X（t）-X（s）的分布仅取决于ts，则X被称为齐次泊松过程；那么Λ（t）=λt，其中常数λ> 0称为过程强度，因为EX（t）=Λ（t）=λt，所以λ等于每单位时间的平均事件数。
通过时间尺度的转换，非均匀泊松过程可以转化为均匀泊松过程。
对于泊松过程，通常它的每个样本函数都是一个左跳（或右跳）连续阶跃函数，跳跃为1。
可以证明具有样本函数此属性的随机连续独立增量过程必须是泊松过程。
因此，泊松过程是描述随机事件累积发生的基本数学模型之一。
凭直觉，只要随机事件在不相交的时间间隔内独立发生，并且仅在足够小的间隔内发生一次，它们的累积数就是一个泊松过程。
在许多应用中，这些条件都可以满足。
例如，可以将某个系统在周期[0，t）内的故障数量以及加热t 秒钟后真空管的阴极发射的电子总数视为泊松过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
泊松过程
泊松过程是随机过程的一个经典模型，是一种累积随机事件的发生次数的独立增量过程。
也就是说，每次事件的发生是相互独立的。
那么泊松分布和泊松过程又什么关系呢？可以说泊松分布是描述稀有事件的统计规律，即可以描述一段时间内发生某个次数的概率。
而泊松过程呢，就适合刻画“稀有事件流”的概率特性。
比较：泊松分布
泊松过程的主要公式：
其实没多少不一样对不对？不一样的是泊松过程是一个可以查看在时间t内发生次数的概率，这个t是可变的。
泊松分布则是给定了时间。
泊松过程的关键在于，它的到达间隔序列Tn，即每两次发生的时间是服从的独立同指数分布的。
如果每次发生的间隔时间不服从指数分布，那么这个随机过程就会更一般化，我们成为是更新过程，这也是随机过程的推广。
泊松过程分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程，齐次的意思很简单，就是说过程并不依赖于初始时刻，强度函数是一个常数，从上面的公式也看得出来。
而非齐次则是变成了,这意味着什么呢？这以为着随着与时间的改变，强度是会改变的，改变服从强度函数，说了这么久，强度究竟是个什么概念？强度的意思就是泊松过程的该事件发生的
频率，或者说快慢，泊松分布中我们知道期望就是,实际含义就是，在一段时间内，发生的次数平均水平是次。
复合泊松过程：泊松过程我们已经知道，用描述一段时间累积发生的次数，但是如果每次发生带来的后果都是不一样的，我们怎么描述这个过程呢？比如，火车站到达的乘客是服从泊松过程的，但是每个乘客携带有不同重量的行李，我们如何刻画在[0,t]时间内行李总重量呢，这个过程就是复合泊松过程。
复合泊松过程的均值函数和方差函数一般可以用全期望和全方差公式进行计算，因为简单泊松过程的期望很容易求。
更新过程：
上文已经说到，更新过程作为泊松过程的推广，更具有一般性，那么在讨论更新过程时，我们更多地讨来更新函数，更新函数是更新过程的均值函数m(t)=E[N(t)]，怎么理解呢，就是说需要用t时刻的累积计数的期望特性来表达更新过程。
有一条定理：
这个定理是可以证明的，Fn（t）是分布函数，就是说：在t时刻，更新函数值就是在这个时刻，n取遍所有值的分布之和。
那么是否可以这样理解，更新过程和泊松过程的区别就是更新间隔序列不同，那么如果已知了更新间隔序列的概率密度函数，就可以求解该过程的更新函数了，详细的推导就不写了。
扔结论出来：
对间隔序列概率密度函数做拉氏变换得到Lf(s),然后求
Lm(s)=Lf(s)/s(1-Lf(s)),再对Lm(s)进行逆变换，就得到了m(t),
这就是更新函数。
拉普拉斯变换就是对原函数乘以e^(-st)再对t求积分，于是消去了t，单位变成了s，具体的物理意义就不在这里谈了，什么拉氏变换，傅里叶变换，Z变换，多得很，大家觉得很麻烦啊，就在实数域运算多简洁明了，但是有一点，进行变换一定不是为了问题复杂化，而是为了简化问题。
列一些常用的拉氏变换表：
另外，更新过程中还有一些定理：
基本更新定理：就是说时间趋于无穷时，更新速率收敛于1/平均更新时间。
关键更新定理，和blackwell定理差不多，大致也是讲的是和平均更新时间有关的一些东西，在数学上比较严谨，但是原理不难。