圆周角定理及其推论2
圆周角定理 课件
与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可 以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线 段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算．
1.如图，直径为 10 的⊙A 经过点 C(0,5)和点
O(0,0)，B 是 y 轴右侧⊙A 弧上一点，则
cos∠OBC 的值为
()
A.12
B.
3 2
解：∵ AB＝ AC ， ∴∠ADB＝∠CDE. 又∵ BD＝ BD，∴∠BAD＝∠ECD. ∴△ABD∽△CED. ∴ACDD＝BEDD， 即63＝E5D. ∴ED＝2.5 (cm)．
3.如图，△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它 的外接圆于点 E. (1)证明：△A B E ∽△A DC； (2)若△ABC 的面积 S＝1AD·AE， 2 求∠BAC 的大小． 解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角， 所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
C.3
D.4
5
5
解析：法一：设⊙A与x轴另一个交点为D，
连接CD，如图所示．
因为∠COD＝90°，
所以CD为⊙A的直径．
又因为∠CBO 与∠CDO 为圆弧 CO 所对 的圆周角， 所以∠CBO＝∠CDO. 又因为 C(0,5)， 所以 OC＝5. 在 Rt△CDO 中，CD＝10，CO＝5， 根据勾股定理得 OD＝ CD2－OC2＝5 3. 所以 cos∠OBC＝cos∠CDO＝OCDD＝5103＝ 23，故选 B.
利用圆周角定理证明等量关系时，主要是分析圆周 角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时需添加辅助线 构造等弧、等角、等弦的条件．
[例2] 如图，已知BC为半⊙O的直径， AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于点E，且AE＝ BE.
3.5.2 圆周角定理的推论2 课件(共18张PPT)2023-2024学年浙教版九年级上册数学
都等于
∠AOB
E
∠C=∠D=∠E
同圆或等圆中，同弧或等弧
所对的圆周角相等.
反之，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是否
也相等？
圆周角定理的推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等.
做一做
如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上.
C
找出图中分别与∠1，∠2，∠3相等的角.
D
1
2
∠1=∠ABD
.O
3
∠2=∠CAB
∠2=∠CBD
A
B
例1 已知：如图，△ABC内接于圆O，∠ACB=2∠ABC，点D平
Ⴃ
分.求证：AC=BD.
D
【提示】
B
先构造等弧所对的圆周角，再利用
圆周角定理的推论是解题关键.
A
C
证明：连结CD.
Ⴃ
Ⴃ
∵ = ，∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB(在同圆或等圆中，
例3 如图，在世界杯足球比赛中，甲运动员带球向对方球门PQ
进攻，当他带球冲到A点时，同伴乙已经冲到B点，有两种
射门方式，第一种是甲直接射门，第二种是甲将球传给乙，
由乙射门，仅从射门角度考虑，应选择第____种射门方式．
二
例4
求证：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
解：已知：AB，CD是⊙O的两条弦，且
以从测量船到两个灯塔的张角(∠ASB)去考虑，船与暗礁区
的相对位置可以通过∠ASB与∠ACB的大小关系来确定.
解：如图，∠ASB交圆于点E，点F，连接EB，
由圆周角定理知，∠AEB=∠ACB=50°，
∵∠AEB是△SEB的一个外角，
圆周角2
小结： 小结：
1、圆周角定理： 圆周角定理：
(1)同弧或等弧所对的圆周角都相等, (1)同弧或等弧所对的圆周角都相等,都等于该弧 同弧或等弧所对的圆周角都相等 所对的圆心角的一半. 所对的圆心角的一半. (2)同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 (2)同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 同圆或等圆中
用于找相 等的弧
(2)同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 (2)同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 同圆或等圆中
圆周角定理的推论： 圆周角定理的推论：
用于判断某 个圆周角是 否是直角
半圆（或直径）所对的圆周角是直角； (1) 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。 (2) 90°的圆周角所对的弦是直径。
为直径的圆交BC于 交 于 以AB为直径的圆交 于D,交AC于E, 为直径的圆交 求证： 求证：⌒ ⌒ BD=DE
A E D C
证明：连结 证明：连结AD.
书上P123:10 书上P123:10
是圆的直径， 在圆上， ∵AB是圆的直径，点D在圆上， 是圆的直径 在圆上 ∴AD⊥BC， ⊥ ， 又∵AB=AC， ，
用于判断 某条线是 否过圆心
如图：AB是的 是的⊙ 的直径， CD与 例1、如图：AB是的⊙O的直径，弦CD与AB 相交于点E 相交于点E，∠ACD=60°,∠ADC=50°,求 ACD=60° ADC=50° CEB的度数 的度数。 ∠CEB的度数。
C
60° °
O A
E
50° ° 60° °
B
强调： 强调：
B
●
O
C
图1
图2
半圆)所对的 命题:直径(半圆 所对的 圆周角 是_____. 直径 半圆 所对的_______ 直角 所对的弦是____. 命题: 90 的圆周角所对的弦是直径
垂径定理和圆周角圆心角
一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 二、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 三、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==DBABA∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
2.1 圆周角定理 课件(人教A选修4-1)(2)
返回
本课时考点常与相似三角形、平行线分线段成比 例定理等问题相结合考查，2012年江苏高考以证明
题的形式重点考查圆周角定理、圆心角定理及三角形
边角关系．
返回
[考题印证] (2012·江苏高考)如图，AB是圆O的 直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两
点，连结BD并延长至点C，BD＝DC，
连结AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C. [命题立意] 本题主要考查圆周角定理和三角形的边角
返回
[悟一法] 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是 直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角、线
段又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明
比例式相等．
返回
[通一类] 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝
10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边 交于点P，求BP长．
解：连接 CP，∵AC 为圆的直径， ∴∠CPA＝90° ，即 CP⊥AB. 又∵∠ACB＝90° ， ∴由射影定理可知 AC2＝AP· AB. AC2 36 ∴AP＝ ＝ ＝3.6. AB 10 ∴BP＝AB－AP＝10－3.6＝6.4.
∴ BE 和 BC 的度数均为 80° .
∴∠EOC＝80° ＋80° ＝160° . ∴∠OEC＝10° .
返回
[悟一法] 圆周角定理可以理解成一条弧所对的圆心角是它所 对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对弧的度数 的一半．
返回
[通一类] 1．已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径， 求证：∠BAE＝∠DAC. 证明：连接BE，因为AE为直径，
∴∠1＝∠2.∴AE＝BE. 又∵∠1＋∠BFA＝90° ， ∠2＋∠DAF＝90° ， ∴∠BFA＝∠DAF， ∴AE＝EF，∴BE＝EF.
3.4.2圆周角定理的推论2,3(教案)
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的几何直观和空间想象能力，使其能够通过观察、操作和推理，理解并应用圆周角定理的推论2和推论3。
2.提高学生的逻辑推理能力，使其能够运用所学知识进行严密的数学推理，证明圆周角定理的推论。
3.增强学生的问题解决能力，使其在解决实际问题时，能够运用圆周角定理及其推论进行分析和求解。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆周角定理推论2，3的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对推论2，3的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决与圆相关的几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角定理推论2，3在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对圆周角定理推论2，3的理解程度有所不同。有些学生能够迅速掌握推论的原理，并在实际问题中灵活运用；而部分学生则对这两个推论之间的关系感到困惑。针对这种情况，我认为在今后的教学中，需要注意以下几点：
1.强化直观教学：通过动态演示、实物操作等方式，让学生更直观地感受圆周角定理推论2，3的内涵。这样有助于学生形成清晰的几何直观，从而更好地理解这两个推论。
苏科版九年级上册圆周角定理的推论(第2课时)
2.4 第2课时 圆周角定理的推论
知识回顾
问题1：什么是圆周角？
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征： ① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
D
B
E
O
●
A
C
问题2：圆周角与圆心角有什么样的数量关系？
圆周角定理：
①圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
55°，求∠D90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
课堂小结
直径所对的圆周角是直角
圆周角
定理的
推论
90°的圆周角所对的弦是直径
A
由∠BAC=90°，
可知∠BOC=180°,
∴BC是⊙O的直径.
B
●
O
图2
C
归纳总结
圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径．
用于判断某个圆周角是否是直角
用于判断某条弦是否是直径
问题
回归到最初的问题，你能确定圆形模具的圆心吗？
例题讲授
例1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD
E
O
50°
D
B
例2 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足
(
(
为D，AE＝AB，BE分别交AD、AC于点F、G．判断△FAG的形状，
并说明理由．
解：△FAG是等腰三角形.
∵ BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°(直径所对的圆周角是直角).
∴∠AB +∠AGB＝90°.
沪科版数学九年级下册 圆周角定理及其推论
O
E
B DC
8. 已知 ⊙O 的弦 AB 的长等于 ⊙O 的半径，求此弦 AB
所对的圆周角的度数．
解：分下面两种情况：
(1) 如图①所示，连接 OA，OB，在优弧 ACB 上任取
一点 C，连接 CA，CB.
∵ AB＝OA＝OB，
∴ 在等边△AOB 中，∠AOB＝60°． ∴∠ACB＝ 1 ∠AOB＝30°. 即弦 AB 所对2的圆周角等于 30°.
图①
(2) 如图②所示，连接 OA，OB，在劣弧 AB 上任取一点
D，连接 AD，OD，BD.
则∠BAD＝ 1 ∠BOD，∠ABD＝ 1∠AOD.
∴∠BAD＋∠2 ABD＝
1 2
(∠BOD＋2∠AOD)＝
同 (1) 可知∠AOB＝60°，
1 2
∠AOB.
∴∠BAD＋∠ABD＝30°.
∴∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)＝150°，
∠ACD = 60°，∠ADC = 70°. 求∠APC 的度数.
解：连接 BC，如图，则∠ACB = 90°，
C
∠DCB =∠ACB－∠ACD = 90°－60° = 30°.
又∵∠BAD =∠DCB = 30°，
A
∴∠APC =∠BAD +∠ADC = 30° + 70°
O PB
= 100°.
D
∵ BAC 1 BOC，BDC 1 BOC，
2
2
∴∠BAC =∠BDC.
问题2 如图，若 CD EF，∠A 与∠B 相等吗？
解：相等.
AB
CD EF， COD EOF.
A 1 COD， B 1 EOF，
2
高中数学 2.1 圆周角定理教案 选修4-1
一圆周角定理课标解读1.了解圆心角定理．2.理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题.1．圆周角定理及其推论(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(3)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数． 1．圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】 不一定相等．一般有两种情况：相等或互补，弦所对的优弧与所对劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补．2．在推论1中，把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话，结论还成立吗？ 【提示】 不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的． 3．“相等的圆周角所对的弧相等”，正确吗？【提示】 不正确．“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图．若AB ∥DG ，则∠BAC ＝∠EDF ，但BC ≠EF .利用圆周角定理和圆心角定理进行计算在半径为5 cm 的圆内有长为5 3 cm 的弦，求此弦所对的圆周角．【思路探究】 过圆心作弦的垂线构造直角三角形．先求弦所对的圆心角度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数．【自主解答】 如图所示，过点O 作OD ⊥AB 于点D . ∵OD ⊥AB ，OD 经过圆心O ， ∴AD ＝BD ＝532 cm.在Rt △AOD 中，OD ＝OA 2－AD 2＝52cm ，∴∠OAD ＝30°，∴∠AOD ＝60°. ∴∠AOB ＝2∠AOD ＝120°. ∴∠ACB ＝12∠AOB ＝60°.∵∠AOB ＝120°，∴劣弧AEB 的度数为120°，优弧ACB 的度数为240°. ∴∠AEB ＝12×240°＝120°，∴此弦所对的圆周角为60°或120°.1．解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它们互为补角．2．和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时，还可以通过比例线段，相似比来计算．图2－1－1已知如图2－1－1，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 是BC 上任意一点，AD ＝6 cm ，BD ＝5 cm ，CD ＝3 cm ，求DE 的长．【解】 ∵AB ＝AC ， ∴∠ADB ＝∠CDE . 又∵BD ＝BD ， ∴∠BAD ＝∠ECD . ∴△ABD ∽△CED . ∴AD CD ＝BD ED .即63＝5ED. ∴ED ＝2.5 cm.与圆周角定理相关的证明如图2－1－2，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .图2－1－2(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．【思路探究】 (1)通过证明角相等来证明三角形相似．(2)利用(1)的结论及面积相等求sin ∠BAC 的大小，从而求∠BAC 的大小．【自主解答】 (1)由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .(2)因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC，即AB ·AC ＝AD ·AE . 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.1．解答本题(2)时关键是利用AB ·AC ＝AD ·AE 以及面积S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 确定sin∠BAC 的值．2．利用圆中角的关系证明时应注意的问题(1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；(2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题．如图2－1－3，△ABC 内接于⊙O ，高AD 、BE 相交于H ，AD 的延长线交⊙O 于F ，求证：BF ＝BH .图2－1－3【证明】 ∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC ， ∴∠AHE ＝∠C .∵∠AHE ＝∠BHF ，∠F ＝∠C ， ∴∠BHF ＝∠F . ∴BF ＝BH .直径所对的圆周角问题 如图2－1－4所示，AB 是半圆的直径，AC 为弦，且AC ∶BC ＝4∶3，AB ＝10 cm ，OD ⊥AC 于D .求四边形OBCD 的面积．【思路探究】 由AB 是半圆的直径知∠C ＝90°，再由条件求出OD 、CD 、BC 的长可得四边形OBCD 的面积．【自主解答】 ∵AB 是半圆的直径，∴∠C ＝90°. ∵AC ∶BC ＝4∶3，AB ＝10 cm ， ∴AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm. 又∵OD ⊥AC ，∴OD ∥BC . ∴OD 是△ABC 的中位线，∴CD ＝12AC ＝4 cm ，OD ＝12BC ＝3 cm.∴S 四边形OBCD ＝12(OD ＋BC )·DC＝12(3＋6)×4＝18 cm 2. 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等．图2－1－5如图2－1－5，已知等腰三角形ABC 中，以腰AC 为直径作半圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，若∠BAC ＝50°，则EF 的度数为( )A ．25°B ．50°C ．100° D．120° 【解析】 如图，连接AF . ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠AFC ＝90°， ∴AF ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴∠BAF ＝12∠BAC ＝25°，∴EF 的度数为50°. 【答案】 B(教材第26页习题2.1第3题)图2－1－6如图2－1－6，BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB ＝AF ，BF 和AD 相交于E ，求证：AE ＝BE .(2013·陕西高考)如图2－1－7，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.图2－1－7【命题意图】 本题主要考查圆周角定理、三角形相似等知识，证明三角形相似考查了逻辑推理能力，求线段的长度考查了知识的应用能力及转化意识．【解析】 ∵BC ∥PE ，∴∠C ＝∠PED . ∵∠C ＝∠A ，∴∠A ＝∠PED . 在△PED 和△PAE 中， ∠PED ＝∠A ，∠P ＝∠P ， ∴△PED ∽△PAE ，∴PE PA ＝PD PE. ∵PA ＝PD ＋DA ＝3，PD ＝2， ∴PE 2＝PA ·PD ＝3×2＝6， ∴PE ＝ 6. 【答案】61．如图2－1－8，在⊙O 中，∠BAC ＝60°，则∠BDC ＝( )图2－1－8A ．30°B ．45°C ．60° D．75°【解析】 ⊙O 中，∠BAC 与∠BDC 都是BC 所对的圆周角，故∠BDC ＝∠BAC ＝60°. 【答案】 C2．在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，则AB 所对的圆心角为( ) A ．22.5° B．45° C ．90° D．不确定【解析】 ∵∠ACB ＝45°，∴AB 所对的圆心角为2∠ACB ＝90°. 【答案】 C3．(2013·焦作模拟)如图2－1－9，A 、B 、C 是⊙O 的圆周上三点，若∠BOC ＝3∠BOA ，则∠CAB 是∠ACB 的________倍．图2－1－9【解析】∵∠BOC＝3∠BOA，∴BC＝3AB，∴∠CAB＝3∠ACB.【答案】 34．如图2－1－10所示，两个同心圆中，CmD的度数是30°，且大圆半径R＝4，小圆半径r＝2，则AnB的度数是________．图2－1－10【解析】AnB的度数等于∠AOB，又CmD的度数等于∠AOB，则AnB的度数是30°.【答案】30°一、选择题图2－1－111．如图2－1－11所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有( ) A．1对B．2对C．3对 D．4对【解析】由推论知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.【答案】 B2．在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是( )A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°【解析】弦所对的圆心角为60°，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选B.【答案】 B3．如图2－1－12所示，等腰△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠A ＝40°，D 是BC 的中点，E 是AC 的中点，分别连接BD 、DE 、BE ，则△BDE 的三内角的度数分别是( )图2－1－12A ．50°，30°，100° B．55°，20°，105° C ．60°，10°，110° D．40°，20°，120° 【解析】 如图所示，连接AD . ∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD 过圆心O . ∵∠A ＝40°，∴∠BED ＝∠BAD ＝20 °， ∠CBD ＝∠CAD ＝20°. ∵E 是AC 的中点， ∴∠CBE ＝12∠CBA ＝35°，∴∠EBD ＝∠CBE ＋∠CBD ＝55°. ∴∠BDE ＝180°－20°－55°＝105°， 故选B. 【答案】 B4．如图2－1－13，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝30°，则圆O 的面积等于( )图2－1－13A ．4π B．8π C ．12π D．16π 【解析】 连接OA ，OB . ∵∠ACB ＝30°， ∴∠AOB ＝60°， 又∵OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形． 又AB ＝4，∴OA ＝OB ＝4.∴S ⊙O ＝π·42＝16π. 【答案】 D 二、填空题图2－1－145．(2013·平顶山模拟)如图2－1－14，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BDDA＝________. 【解析】 连接CD ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠CDA ＝90°.由射影定理得BC 2＝BD ·BA ，AC 2＝AD ·AB ，∴BC 2AC 2＝BD DA ，即BD DA ＝169. 【答案】1696．如图2－1－15，AB 为⊙O 的直径，弦AC ，BD 交于点P ，若AB ＝3，CD ＝1，则sin ∠APD ＝__________.图2－1－15【解析】 由于AB 为⊙O 的直径，则∠ADP ＝90°， 所以△APD 是直角三角形． 则sin ∠APD ＝AD AP ，cos ∠APD ＝PD AP， 由题意知，∠DCP ＝∠ABP ，∠CDP ＝BAP ， 所以△PCD ∽△PBA . 所以PD AP ＝CD AB ，又AB ＝3，CD ＝1，则PD AP ＝13.∴cos ∠APD ＝13.又∵sin 2∠APD ＋cos 2∠APD ＝1，∴sin ∠APD ＝223.【答案】223三、解答题7．如图2－1－16，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD 、AD .(1)求证：DB 平分∠ADC ；(2)若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长．图2－1－16【解】 (1)证明：∵AB ＝BC ，∴AB ＝BC ， ∴∠BDC ＝∠ADB ， ∴DB 平分∠ADC . (2)由(1)可知AB ＝BC . ∴∠BAC ＝∠ADB . ∵∠ABE ＝∠ABD .∴△ABE ∽△DBA .∴AB BE ＝BD AB. ∵BE ＝3，ED ＝6，∴BD ＝9. ∴AB 2＝BE ·BD ＝3×9＝27. ∴AB ＝3 3.8．如图2－1－17, △ABC 是圆O 的内接等边三角形，AD ⊥AB ，与BC 的延长线相交于点D ，与圆O 相交于点E ，若圆O 的半径r ＝1，求DE 的长度．图2－1－17【解】 连接BE ，∴AD ⊥AB ， ∴BE 为⊙O 的直径，且BE ＝2r ＝2. 又∵∠AEB ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABE ＝30°，∠EBD ＝30°. 又∵∠ABD ＝60°， ∴∠D ＝∠EBD ＝30°， ∴DE ＝BE ＝2.9．如图2－1－18①所示，在圆内接△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的一点，E 是直线AD 和△ABC 外接圆的交点．图2－1－18(1)求证：AB 2＝AD ·AE ；(2)如图2－1－18②所示，当D 为BC 延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由．【解】 (1)证明：如右图①，连接BE.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠ACB＝∠AEB，∴∠ABC＝∠AEB.又∠BAD＝∠EAB.∴△ABD∽△AEB.∴AB∶AE＝AD∶AB，即AB2＝AD·AE.(2)如图②，连接BE，结论仍然成立，证法同(1)．10.已知：如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是BF的中点，AD ⊥BC于点D，BF交AD于点E.(1)求证：BE·BF＝BD·BC；(2)试比较线段BD与AE的大小，并说明道理．【解】(1)证明：连接FC，则BF⊥FC.在△BDE和△BCF中，∵∠BFC＝∠EDB＝90°∠FBC＝∠EBD，∴△BDE∽△BFC.∴BEBC＝BDBF.即BE·BF＝BD·BC.(2)连接AC、AB，则∠BAC＝90°.∵AF＝AB，∴∠1＝∠2.又∵∠2＋∠ABC＝90°，∠3＋∠ABD＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.∴AE＝BE.在Rt△EBD中，BE>BD，∴AE>BD.。
圆周角定理及其推论
圆周角定理及其推论
观察：
•在圆A上点C、G固定，观察点B运动的同时弧CB圆周角大小与它的圆心角大小的关系。
结论：同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一
半。
观察：
•保持圆A的大小不变固定C点F点，点G在圆上任意移动，观察圆周角CGF的大小的变化？
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
观察：
•在圆A中，点T沿圆运动，观察直径RS所对圆周角的大小。
结论：半圆或直径所对的圆周角是直角。
观察：
•任意改变圆内接四边形的形状，观察对角的和。
结论:圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都它的内对
角。
总结:
定理：同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。
推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推理2：半圆或直径所对的圆周角是直角。
推理3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都它的内对角。
圆周角的定理及推论的应用
圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。
本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。
一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。
一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。
二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。
证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。
由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。
2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。
证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。
则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。
3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。
连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。
因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。
设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。
将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。
4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。
圆周角定理
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
例４． 如图，AB与CD相交于圆内一点P．求证：
∠BAC= ∠BOC
∠BAC= ∠BOC
Ｂ Ｄ Ｃ 例1:如图:AB,AC是⊙O的两条弦,延长CA到D,
３．方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法． (2)等弦所对的圆周角相等或互补；
一．圆周角定理
A
A
O●
●
C
O
B
C
B
A
C O●
B
一. 圆周角定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半．
已知：如图，在⊙O中，B C
A
A
所对的圆周角和圆心角分别
是∠BAC, ∠BOC ．
O ●
●
求证：∠ BAC=
1
∠
BOC
B
O
C
C
2
B
分析２: 以直径为分界线，可以得到另外两类圆周角及 相应的圆心角，如下图（２），（３）所示．只要能将它们 化归为（１）的特殊情形，问题就能解决．
延长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 的度数与 的度数和的一半等于∠APD的度数．
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？ 已知：如图，在⊙O中， 所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC, ∠BOC ．
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？ 的度数与 的度数和的一半等于∠APD的度数．
（2）半圆（直径）所对的圆心角是多少度？圆周角是多少度？
小结： 圆周角／圆心角定理
• １．圆心角（central angle）：顶点在圆心上的角叫做圆 心角．(1)在同圆或等圆中，两圆心角相等⇔其所对的弦 （或弧）也相等；(2)圆心角的度数等于它所对的弧的度 数．
2.2.3圆周角定理的推论 (2)
3.(2018年贵港第9题3分）如图，点A，B，C均在⊙O上， 若∠A=66 ° ，则∠ OCB的度数是（ ） A. 24 ° B. 28 ° C.33 ° D.48 °
C
D
A
C A
E
O
MD
O
A
O
B 第1题
B
C 第2题
第3题 B
知识梳理
知识点1：圆的有关概念 知识点2：圆的性质 知识点3：垂径定理及其推论 知识点4：圆周角定理及其推论 知识点5：圆心角定理及其推论 知识点6：圆内接四边形及其性质
1.(2016年贵港第16题3分）如图，AB是半圆O的直径， C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若 AB=6，AD=5，则DE的长为 11/5
若∠A=66 °
OCC.B3的3 度°数D是.4（8 °）A
C A
O
B
课堂小结：
布置作业：
掌控中考（课外提升作业）
P211---212
2016年贵港第16题3分如图ab是半圆o的直径c是半圆o上一点弦ad平分bac交bc于点e若ab6ad5则de的长为1111个点b是弧ac的中点m是半径od上任意一点若bdc40则amb的度数不可能是3
第六章 圆
第一节 2.2.3圆周角定理的推论
（复习）
桂平市石龙一中 李孟钐
一、复习目标:
1.复习圆的有关概念，掌握圆的基本性质。 2. 理解圆的对称性，掌握圆的三个定理。 3.会运用圆的基本性质定理进行推理和计算。
圆周角定理推论2
9
辅助线2：已知直径，构造直径所对的 圆周角
10
11
例5.已知，如图，在⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径的 圆交BC于D．求证：D为BC的中点．
A
C
D
B
12
13
14
15
16
谢谢观看！
3
想一想 （1）在下图中，BC是⊙O的直径，则 ∠A=
A
B
O
C
4
（ 2 ）在下图中，圆周角∠ A=90°，弦 BC是直径吗？
A
B C
O
5
推论2
直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径．
A B O C
6
例1.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC ＝60°，则∠BAC的度数是( ) A．75° B．60° C．45° D．30°
圆周角定理的推论2
求图中角x的度数：
C
D 150°
O 70° A x B
C
A
O
x B
（1）x=_______ 35° ；
（2）x=_______ 60° ；
2
D
C
B
40°
x
B
20°
D 30°
x
O
O
C
A
A
（3）x=_______ 40° ；
ห้องสมุดไป่ตู้
（4）x=_______ 50° ．
F
E
这节课我们继续来学习圆周角定理的相关推论．
7
例2.如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则 ∠CAB的度数为( ) A．20° B．40° C．50° D．70°
8
例3.如图，小华同学设计了一个量直径的测量器， 标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它 们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读 得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直 径为( ) A．12个单位 B．10个单位 C．4个单位 D. 15个单位
《圆周角定理的推论》课件
所以 AB 为☉O 的直径.
探究点二
圆周角定理的推论2
[例2] 如图所示,AB为☉O的直径,CF⊥AB于点E,交☉O于点D,AF交☉O于点G.求证:
∠FGD=∠ADC.
[导学探究]
1.根据圆内接四边形的性质,可得∠ACD+ ∠AGD =180°,从而可得∠FGD= ∠ACD .
圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角,这一
结论在探求角的相等或互补关系时常常用到.
点击进入
训练案
BE=DE,求证:AB为☉O的直径.
[导学探究]
,则∠DAE= ∠BAE
90° .
2.欲证 AB 为☉O 的直径,可证明∠AEB=
1.连结 AE,由 BE=DE 可得=
.
证明:如图所示,连结 AE,
因为 BE=DE,
所以=.
所以∠DAE=∠BAE.
因为 AB=AC,
所以 AE⊥BC.
第2课时
圆周角定理的推论
一、圆周角定理的推论
直径
1.90°的圆周角所对的弦是
2.圆内接四边形的对角 互补 .
.
二、外接圆、内接多边形
如果一个圆经过一个多边形的各个顶点,这个圆叫做这个多边形的
个多边形叫做这个圆的 内接多边形 .
外接圆 ,这
探究点一
圆周角定理的推论1
[例1] 已知等腰△ABC的顶点A,B在☉O上,AC=AB,AC,BC分别交☉O于点D,点E,若
2.根据垂径定理,可得=
,则∠ADC=
∠ACD
,从而可得结论.
证明:因为四边形 ACDG 内接于☉O,
所以∠ACD+∠AGD=180°.
圆周角定理
证明：作辅助线
O
DCB
1 2
DOB
1 2
3
1 2
1
A
DCB 3
（12 DOB 1）
4
1 2
2
即 所对的圆周角是它所对圆心角的1/2
C
3 4
B
二、圆周角与圆心角的关系
C
C
O
O
O
C
A
B
A
B
A
B
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对
圆心角的一半.
·10
O
B
∵CD平分∠ACB，
D
∴AD= BD. ∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
课后练习 1.试找出下图中所有相等的圆周角。
D
A1
87
2
3
6
45
B
C
∠2=∠7 ∠1=∠4
∠3=∠6 ∠5=∠8
练习2：
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，CO= 1 AB,
2
∴AO=BO=CO.
A
· O
B
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径, ∴∠ACB= 90°. ∴ △ABC 为直角三角形.
合作交流
如图，如何确定一个圆形纸片的圆心吗？交流一下．
方法三
方法一
O
A
B
C
O
方法二
A D
地调学校数学教研组
预习与反馈
知识回顾 ：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆还另有 一个交点.
一、旧知回放:
2、圆心角与所对的弧的关系
3、圆周角与所对的弧的关系
4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
即
A C
●
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C
●
A C B
●
O
O
O
B
B
二、课前热身
（第 1 题）
3.说出命题”圆的两条平行弦所夹的弧相等” 的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗?请 说明理由. 4.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分 ∠ABC,且AB∥CD.求证:BC=CD
D C
A
B
5.如图，P是△ABC的外接圆上的一点, ∠APC=∠CPB=60°。 A P · O B
B
●
O C
E
B
O 图2
C
B
●
O
C
A
图1
图3
三、新知探究
1、圆周角定理的推论1：
用于找相等的 角
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 2、圆周角定理的推论2：
半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
用于判断某个 圆周角是否是 直角 用于判断某 条线是否过 圆心 用于找相 等的弧
求证：△ABC是等边三角形
C
6.一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知 桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人 工湖的直径.
C
O
A
B
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥 AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工 C 湖的直径.
D
A
B
7. 船在航行过程中，船长常常通过测定角 度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯 塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区 域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是 “危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于 “危险角”时，就有可能触礁。 P
弓形所含的圆周角 ∠C=50°,问船在航 行时怎样才能保证不 进入暗礁区?
E C
O
A
B
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？ （2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？
P E C
O
A
B
六、拓展探究
1.如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO 的中点,DE // AB,求证: ⌒ ⌒
圆周角和圆心角的关系（第二课时） 学习目标:掌握圆周角定理几个推论的内容,会 熟练运用推论解决问题. 学习重点:圆周角定理几个推论的应用. 学习难点:理解几个推论的”题设”和”结 论”． 学习方法:指导探索法.
一、旧知回放:
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边 都和圆还另有一个交点的角叫圆周角.
100º
O C
B
（B）60º 的圆周角所对的弧的度数是30º
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。 O （D）120º 的弧所对的圆周角是60º A B
C
三、新知探究
问题 1 、如图 1, 在⊙ O 中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关 系?为什么? ∠B = ∠D= ∠E
问题2、如图2，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点， 你能确定∠BAC的度数吗? ∠BAC =90º 问题3、如图3，圆周角∠BAC =90º ，弦BC经过圆心O 吗？为什么？ A D A
EC=2 EA
C E A
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱO B
2. 已知BC为半圆O的直径， AB=AF,AC 交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交 BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？ 为什么？ F
A M E B D O C
小结
1. 【圆周角的定义】 顶点在圆上，两边都与 圆相交，这样的角叫圆周角。 2. 【圆周角的性质】 （1）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等 于90°（直角）． 90°的圆周角所对的弦是 圆的直径 （2）一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆 心角的一半； （3）在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆 周角所对的弧相等；
100º ，所对的圆周角等于 1、 100º 的弧所对的圆心角等于 _______
_______ 50º 。
2、一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则
36º 或144º 。 这弦所对的圆周角度数为________________
3、如图，在⊙O中，∠BAC=32º ，则∠BOC=________ 。 64º 4、如图，⊙O中，∠ACB = 130º ，则∠AOB=______。 A 5、下列命题中是真命题的是（ D ） （A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
四、例题讲解
A 已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证：⌒ ⌒ BD=DE B D E C
五、当堂清
1.试找出图中所有相等的圆周角.
2.在圆中，一条弧所对的 圆心角和圆周角分别为 （2x＋100）°和（5x－ 30）°，求这条弧所对的 圆心角和圆周角的度数.