圆周角定理及其推论2
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100º ，所对的圆周角等于 1、 100º 的弧所对的圆心角等于 _______
_______ 50º 。
2、一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则
36º 或144º 。 这弦所对的圆周角度数为________________
3、如图，在⊙O中，∠BAC=32º ，则∠BOC=________ 。 64º 4、如图，⊙O中，∠ACB = 130º ，则∠AOB=______。 A 5、下列命题中是真命题的是（ D ） （A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
B
●
O C
E
B
O 图2
C
B
●
O
C
A
图1
图3
三、新知探究
1、圆周角定理的推论1：
用于找相等的 角
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 2、圆周角定理的推论2：
半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
用于判断某个 圆周角是否是 直角 用于判断某 条线是否过 圆心 用于找相 等的弧
求证：△ABC是等边三角形
C
6.一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知 桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人 工湖的直径.
C
O
A
B
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥 AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工 C 湖的直径.
D
A
B
7. 船在航行过程中，船长常常通过测定角 度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯 塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区 域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是 “危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于 “危险角”时，就有可能触礁。 P
弓形所含的圆周角 ∠C=50°,问船在航 行时怎样才能保证不 进入暗礁区?
E C
OБайду номын сангаас
A
B
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？ （2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？
P E C
O
A
B
六、拓展探究
1.如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO 的中点,DE // AB,求证: ⌒ ⌒
四、例题讲解
A 已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证：⌒ ⌒ BD=DE B D E C
五、当堂清
1.试找出图中所有相等的圆周角.
2.在圆中，一条弧所对的 圆心角和圆周角分别为 （2x＋100）°和（5x－ 30）°，求这条弧所对的 圆心角和圆周角的度数.
特征：
① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆还另有 一个交点.
一、旧知回放:
2、圆心角与所对的弧的关系
3、圆周角与所对的弧的关系
4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
即
A C
●
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C
●
A C B
●
O
O
O
B
B
二、课前热身
圆周角和圆心角的关系（第二课时） 学习目标:掌握圆周角定理几个推论的内容,会 熟练运用推论解决问题. 学习重点:圆周角定理几个推论的应用. 学习难点:理解几个推论的”题设”和”结 论”． 学习方法:指导探索法.
一、旧知回放:
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边 都和圆还另有一个交点的角叫圆周角.
100º
O C
B
（B）60º 的圆周角所对的弧的度数是30º
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。 O （D）120º 的弧所对的圆周角是60º A B
C
三、新知探究
问题 1 、如图 1, 在⊙ O 中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关 系?为什么? ∠B = ∠D= ∠E
问题2、如图2，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点， 你能确定∠BAC的度数吗? ∠BAC =90º 问题3、如图3，圆周角∠BAC =90º ，弦BC经过圆心O 吗？为什么？ A D A
（第 1 题）
3.说出命题”圆的两条平行弦所夹的弧相等” 的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗?请 说明理由. 4.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分 ∠ABC,且AB∥CD.求证:BC=CD
D C
A
B
5.如图，P是△ABC的外接圆上的一点, ∠APC=∠CPB=60°。 A P · O B
EC=2 EA
C E A
D
O B
2. 已知BC为半圆O的直径， AB=AF,AC 交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交 BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？ 为什么？ F
A M E B D O C
小结
1. 【圆周角的定义】 顶点在圆上，两边都与 圆相交，这样的角叫圆周角。 2. 【圆周角的性质】 （1）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等 于90°（直角）． 90°的圆周角所对的弦是 圆的直径 （2）一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆 心角的一半； （3）在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆 周角所对的弧相等；
_______ 50º 。
2、一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则
36º 或144º 。 这弦所对的圆周角度数为________________
3、如图，在⊙O中，∠BAC=32º ，则∠BOC=________ 。 64º 4、如图，⊙O中，∠ACB = 130º ，则∠AOB=______。 A 5、下列命题中是真命题的是（ D ） （A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
B
●
O C
E
B
O 图2
C
B
●
O
C
A
图1
图3
三、新知探究
1、圆周角定理的推论1：
用于找相等的 角
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 2、圆周角定理的推论2：
半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
用于判断某个 圆周角是否是 直角 用于判断某 条线是否过 圆心 用于找相 等的弧
求证：△ABC是等边三角形
C
6.一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知 桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人 工湖的直径.
C
O
A
B
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥 AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工 C 湖的直径.
D
A
B
7. 船在航行过程中，船长常常通过测定角 度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯 塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区 域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是 “危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于 “危险角”时，就有可能触礁。 P
弓形所含的圆周角 ∠C=50°,问船在航 行时怎样才能保证不 进入暗礁区?
E C
OБайду номын сангаас
A
B
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？ （2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？
P E C
O
A
B
六、拓展探究
1.如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO 的中点,DE // AB,求证: ⌒ ⌒
四、例题讲解
A 已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证：⌒ ⌒ BD=DE B D E C
五、当堂清
1.试找出图中所有相等的圆周角.
2.在圆中，一条弧所对的 圆心角和圆周角分别为 （2x＋100）°和（5x－ 30）°，求这条弧所对的 圆心角和圆周角的度数.
特征：
① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆还另有 一个交点.
一、旧知回放:
2、圆心角与所对的弧的关系
3、圆周角与所对的弧的关系
4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
即
A C
●
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C
●
A C B
●
O
O
O
B
B
二、课前热身
圆周角和圆心角的关系（第二课时） 学习目标:掌握圆周角定理几个推论的内容,会 熟练运用推论解决问题. 学习重点:圆周角定理几个推论的应用. 学习难点:理解几个推论的”题设”和”结 论”． 学习方法:指导探索法.
一、旧知回放:
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边 都和圆还另有一个交点的角叫圆周角.
100º
O C
B
（B）60º 的圆周角所对的弧的度数是30º
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。 O （D）120º 的弧所对的圆周角是60º A B
C
三、新知探究
问题 1 、如图 1, 在⊙ O 中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关 系?为什么? ∠B = ∠D= ∠E
问题2、如图2，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点， 你能确定∠BAC的度数吗? ∠BAC =90º 问题3、如图3，圆周角∠BAC =90º ，弦BC经过圆心O 吗？为什么？ A D A
（第 1 题）
3.说出命题”圆的两条平行弦所夹的弧相等” 的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗?请 说明理由. 4.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分 ∠ABC,且AB∥CD.求证:BC=CD
D C
A
B
5.如图，P是△ABC的外接圆上的一点, ∠APC=∠CPB=60°。 A P · O B
EC=2 EA
C E A
D
O B
2. 已知BC为半圆O的直径， AB=AF,AC 交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交 BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？ 为什么？ F
A M E B D O C
小结
1. 【圆周角的定义】 顶点在圆上，两边都与 圆相交，这样的角叫圆周角。 2. 【圆周角的性质】 （1）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等 于90°（直角）． 90°的圆周角所对的弦是 圆的直径 （2）一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆 心角的一半； （3）在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆 周角所对的弧相等；