线性空间的基与维数

任一不超过4次的多项式 p a 4 x 4 a 3 x 3 a 2 x 2 a1 x a 0 可表示为 p a 0 p1 a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 p 4 a 4 p 5
因此 p 在这个基下的坐标为 ( a 0 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 )
线性空间的基与维数
已知：在 R 中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
n
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间 V 中，最多能有多少线性无关的向量？
定义１ 满足：
在线性空间 V 中，如果存在 n 个元素 1 , 2 ,, n
(1) 1 , 2 ,, n线性无关;
而矩阵A在这组基下的坐标是 (a 11, a 12, a 21, a 22) .
T
例3 在线性空间R [ x ]n中, 取一组基
1 1, 2 ( x a ), 3 ( x a ) , , n ( x a )
则由泰勒公式知
2
n 1
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是
f ''(a ) (a ) f ( f (a ), f '(a ), , , ) . 2! ( n 1)!
( n 1) T
三、线性空间的同构
设 1 , 2 , , n 是n维线性空间V n 的一组基, 在 这组基下,V n 中的每个向量都有唯一 确定的坐标. 而向量的坐标可以看作R n 中的元素,因此向量与它 n 的坐标之间的对应就是 V n 到 R 的一个映射. 由于 R n 中的每个元素都有 V n 中的向量与之对 应,同时V n 中不同的向量的坐标不 同,因而对应 R n
设该齐次线性方程组的 系数矩阵为A, 则
1 0 3 4 初等行变换 0 1 2 1 A ~ 0 0 0 0 0 0 0 0 因此, f 1 ( x ), f 2 ( x )线性无关, 是 f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 3 ( x ),
n维线性空间
Vn
R
n
x1 1 x2 2 xn n
x ( x1 , x2 , , xn )
T
( 2)设
( x1 , x2 ,, xn )T ( y1 , y2 ,, yn )T
( x1 , x2 ,, xn ) ( y1 , y2 ,, yn )
( 2) V中任一元素总可由 1 , 2 ,, n线性 表示, 那末, 1 , 2 ,, n 就称为线性空间 V 的一个
基, n 称为线性空间V 的维数.
维数为n的线性空间称为n 维线性空间, 记作Vn .
当一个线性空间 V 中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 V 是无限维的．
x1 1 x2 2 xn n ,
有序数组x1 , x2 , , xn 称为元素在 1 , 2 , , n 这个 基下的坐标 , 并记作
T x1 , x2 ,, xn .
例1 在线性空间P[ x ]4中, p1 1, p 2 x , p 3 x 2 , p 4 x 3 , p 5 x 4 就是它的一个基 .
即 E 11 , E 12 , E 21 , E 22线性无关.
对于任意二阶实矩阵 a 11 a 12 A V , a 21 a 22
有 A a 11 E 11 a 12 E 12 a 21 E 21 a 22 E 22
因此 E 11 , E 12 , E 21 , E 22为V的一组基.
定义 设U、V是两个线性空间，如果它们的元素 之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性 组合的对应，那末就称线性空间 U 与 V 同构.
例如
Vn x11 x2 2 xn n x1 , x2 ,, xn R
与 n 维数组向量空间 R n 同构. 因为 T (1) Vn中的元素与R n中的元素( x1 , x2 ,, xn ) 形成一一对应关系；
f 2 ( x ) 2 x 3 3 x 2 9 x 1,
f 3 ( x ) x 6 x 5,
3
f4 ( x) 2 x 5 x 7 x 5
3 2
生成的子空间的基与维数.
思考题解答
解 令 k1 f 1 ( x) k 2 f 2 ( x) k 3 f 3 ( x) k 4 f 4 ( x) 0 则得
k1 k 2 , k 1 E 11 k 2 E 12 k 3 E 21 k 4 E 22 k3 k4
因此 0 0 , k 1 E 11 k 2 E 12 k 3 E 21 k 4 E 22 O 0 0
k 1 k 2 k 3 k 3 0,
若 1 , 2 ,, n为Vn的一个基, 则Vn可表示为
Vn x1 1 x2 2 xn n x1 , x2 ,, xn R
二、元素在给定基下的坐标
定义２ 设 1 , 2 , , n是线性空间Vn的一个基, 对
于任一元素 Vn , 总有且仅有一组有序 数x1 , x 2 , , x n , 使
T
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 V ，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性 空间．对于 V 中的矩阵
有
1 E 11 0 0 E 21 1
0 0 1 , E 12 , 0 0 0 0 0 0 , E 22 0 0 1
n 中的不同元素.我们称这样的映射是 与 V n R 的一个
1 1对应的映射.这个对应的重要性表现 在它与运 算的关系上.
设
a1 1 a 2 2 a n n b1 1 b2 2 bn n 即向量 , V在基 1 , 2 , , n 下的坐标分别为
T T
于是 与k的坐标分别为 T (a 1 b1,a 2 b 2,,a n b n )
(a 1,a 2,,a n ) (b1,b 2,,b n ) T T ( k a 1,k a 2,,k a n ) k (a 1,a 2,,a n )
Tຫໍສະໝຸດ Baidu
T
上式表明: 在向量用坐标表示后 , 它们的运算 就归结为坐标的运算 ,因而线性空间 V n 的讨论就 归结为 R n 的讨论. 下面更确切地说明这一 点.
四、小结
１．线性空间的基与维数；
２．线性空间的元素在给定基下的坐标； 坐标：（１）把抽象的向量与具体的数组向 量联系起来； （２）把抽象的线性运算与数组向量 的线性运算联系起来． ３．线性空间的同构．
思考题
求由P x 3中元素
f1 ( x ) x 2 x 4 x 1,
3 2
(a 1,a 2 ,,a n ) 和 (b1,b 2 ,,b n ) , 则 ( a 1 b1 ) 1 ( a 2 b 2 ) 2 ( a n b n ) n
k k a 1 1 k a 2 2 k a n n
T
若取另一基q1 1, q 2 1 x , q 3 2 x 2 , q 4 x 3 , q5 x4 , 则 1 p (a 0 a 1 )q1 a 1 q 2 a 2 q 3 a 3 q 4 a 4 q 5 2 因此 p 在这个基下的坐标为
1 ( a 0 a 1, a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意 线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的．
( k 1 2 k 2 k 3 2 k 4 ) x 3 ( 2 k 1 3 k 2 5 k 4 ) x 2 (4 k 1 9 k 2 6 k 3 7 k 4 ) x ( k 1 k 2 5 k 3 5 k 4 ) 0. 2 1 2 k 1 0 1 2 3 0 5 k 2 0 因此 . 4 9 6 7 k3 0 1 1 5 5 0 k 4
, 该子空间的维数为 2, 且 f 4 ( x )所生成的子空间的基 有
f 3 ( x ) 3 f 1 ( x ) 2 f 2 ( x ), f 4 ( x ) 4 f 1 ( x ) f 2 ( x ).
T T
则有
( x1 , x2 ,, xn )
T
结论 １．数域 P上任意两个n 维线性空间都同 构． ２．同构的线性空间之间具有反身性、对称性 与传递性． ３．同维数的线性空间必同构．
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．