运筹学复习题目

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运筹学题库60题带答案

目录Chapter 2 Linear programming (2)Solution： (4)Chapter 3 Simplex (6)Solution: (7)Chapter 4 Sensitivity Analysis and duality (11)Solution： (14)Chapter 5 Network (18)Solution: (20)Chapter 6 Integer Programming (23)Solution: (25)Chapter 7 Nonlinear Programming (28)Solution: (28)Chapter 8 Decision making under uncertainty (29)Solution: (31)Chapter 9 Game theory (34)Solution： (36)Chapter 10 Markov chains (39)Solution: (41)Chapter 11 Deterministic dynamic programming (43)Solution: (43)Expanded Projects (44)Chapter 2 Linear programming1. A firm manufactures chicken feed by mixing three different ingredients. Eachingredien t contains three key nutrients protein, fat and vitamin. The amount of each nutrient contained in 1 kilogram of the three basic ingredients is summarized in the following table:Ingredient Protein(grams)F at(grams)Vitamin(units)12511235245101603327190The costs per kilogram of Ingredients 1, 2, and 3 are $0.55, $0.42 and $0.38, respectively. Each kilogram of the feed must contain at least 35 grams of protein, a minimum of 8 grams of fat and a maximum of 10 grams of fat and at least 200 units of vitamin s. Formulate a linear programming model for finding the feed mix that has the minimum cost per kilogram.2.For a supermarket, the following clerks are required:Days Min. number of clerksMon 20T ue16Wed13Th u16F ri19Sat14Sun12Each clerk works 5 consecutive days per week and may start working on Monday, Wednesday or Friday.The objective is to find the smallest number of clerks required to comply with the above requirements. Formulate the problem as a linear programming model.3.Consider the following LP problem:12121212126841634243412,0MaxZ x x Subject tox x x x x x x x =++≤+≤-≤≥ (a) Sketch the feasible region.(b) Find two alternative optimal extreme (corner) points.(c) Find an infinite set of optimal solutions.4. A power plant has three thermal generators. The generators’ generation costsare $36/MW, $30/MW, and $25/MW, respectively. The output limitation for the generators is shown in the table. Some moment, the power demand for thisplant is 360MW, please set up an LP optimization model and find out the optimal output for each generator (with lowest operation cost).5. Use the Graphical Solution to find the optimal solutions to the following LP:12121212max 4.. 36 20 ,0z x x s t x x x x x x =-++≤-+≤≥Solution ：1. Let x 1 = the amoun t of Ingredien t 1 mixed in 1 kilogram of thechicken feedx 2 = the amoun t of Ingredien t 2 mixed in 1 kilogram of the chicken feedx 3 = the amoun t of Ingredien t 3 mixed in 1 kilogram of the chicken feedThe LP model is:1231231231231231231230.550.420.382545323511107811107102351601902001,,0Min Z x x x Subject tox x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++≥++≥++≤++≥++=≥2.Let x1 = number of clerks start working on Mondayx2 =number of clerks start working on Wednesday x3 =number of clerks start working on Friday The LP model is:12313131212123232312320161316191412,,0Min Z x x x Subject tox x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++≥+≥+≥+≥++≥+≥+≥≥3. (a)(b) The t w o alternativ e optimal extreme points are (4, 3) and (6,3/2 ). (c) The infinite set of optimal solutions: {λ(4, 3) + (1 − λ)(6,3/2) : 0 ≤ λ ≤ 14. Model:123123111123max 363025.. 360 5020050150 50150 ,,0z x x x s t x x x x x x x x x =++++=≤≤≤≤≤≤≥Solution:x 1=60(MW); x 2=150(MW); x 3=150(MW)5. According to the figure, the solution is: x 1=0; x 2=0Chapter 3 Simplex1. Show that if ties are broken in favor of lower-numbered rows, then cyclingoccurs when the simplex method is used to solve the following LP: 123123412341234369920/32/3099210(1,2,3,4)i Max Z x x x Subject tox x x x x x x x x x x x x i =-+-+--≤+--≤--++≤≥= 2. Use the simplex algorithm to find two optimal solutions to the following LP:123123123123max 53.. 36 53615 ,,0z x x x s t x x x x x x x x x =++++≤++≤≥3. Use the Big M method to find the optimal solution to the following LP:1212121212max 5.. 26 4 25 ,0z x x s t x x x x x x x x =-+=+≤+≤≥4. Use the simplex algorithm to find two optimal solutions to the following LP .123123123123max 53.. 3653615 ,,0z x x x s t x x x x x x x x x =++++≤++≤≥5. For a linear programming problem:1212121234241232850(1,2)i Max Z x x Subject tox x x x x x x i =++≤+≤+≤≥= Find the optimal solution using the simplex algorithm.Solution:1.Here are the pivots:BV={S1,S2,S3}.BV={X2,S2,S3}.We now enter X3 into the basis in Row 2.BV={X2,X3,S3}.We now enter X4 into the basis in Row 1.BV={X4,X3,S3}.X1 now enters basis in Row 2.BV={X4,X1,S3}.We now choose to enter S1 in Row 1.BV={S1,X1,S3}.S2 would now enter basis in Row 2. This will bring us back to the initial tableau, so cycling has occurred. 2. Standard form:1231231123212312max 53.. 36 53615 ,,,,0z x x x s t x x x s x x x s x x x s s =+++++=+++=≥Tableau:So: z=15; x 1=3 ; x 2=0;x 3=03. Standard form:12121211221212max 5.. 26 4 25 ,,,0z x x s t x x x x s x x s x x s s =-+=++=++=≥=>12112112112212121max 5.. 26 4 25 ,,,,0z x x a M s t x x a x x s x x s x x s s a =--++=++=++=≥ Tableau: => => So, the solution is z=15, x 1=3, x 2=04. Standard form:1231231123212312max 53.. 36 53615 ,,,,0z x x x s t x x x s x x x s x x x s s =+++++=+++=≥So, the solution is z=15,x 1=0,x 2=5 or z=15,x 1=3,x 2=0 5. Optimal solution:Chapter 4 Sensitivity Analysis and duality1. Consider the following linear program (LP):1212232420(1,2)i Max Z x x Subject tox x x x i =++≤≤≥=(a). De termin e the shadow price for b 2, the right-hand side of the constrai n t x 2 ≤ b 2. (b). De t e rmin e th e allowable r ange to s tay optimal for c 1, the co e ffic i e n t of x 1 in theob jec tiv e function Z = c 1x 1 + 3x 2.(c). De termin e the allowable range to stay feasible for b 1, th e right-hand side of theconstrai n t 2x 1 + x 2 ≤ b 1.2. There is a LP model as following,1212121234524123280(1,2)i Max Z x x Subject tox x x x x x x i =++≤+≤+≤≥= The optimal simplex tableau is1） Give the dual problem of the primal problem.2） If C2 increases from 4 to 5, will the optimal solution change? Why? 3） If b2 changes from 12 to 15, will the optimal solution change? Why? 3. There is a LP model as following12312312312236222333280(1,2)j Min Z x x x Subject tox x x x x x x x x j =++++≥-++≤-+≤≥= 1) give its dual problem.2) Use the graphical solution to solve the dual problem.4. You have a constraint that limits the amount of labor available to 40 hours perweek. If your shadow price is $10/hour for the labor constraint, and the market price for the labor is $11/hour. Should you pay to obtain additional labor? 5. Consider the following LP model of a production plan of tables and chairs:Max 3T + 2C (profit) Subject to the constraints:2T + C ≤100 (carpentry hrs) T + C ≤80 (painting hrs)T ≤ 40T, C ≥ 0 (non-negativity)1) Draw the feasible region. 2) Find the optimal solution.3)Does the optimal solution change if the profit contribution for tables changed from $3 to $4 per table?4) What if painting hours available changed from 80 to 100?6. For a linear programming problem:11221212121234524123280(1,2)i Max Z c x c x x x Subject tox x x x x x x i =+=++≤+≤+≤≥=Suppose C2 rising from 4 to 5, if the optimal solution will change? Explain the reason. 7. For a linear programming problem:112212121221234524123280(1,2)i Max Z c x c x x x Subject tox x x x b x x x i =+=++≤+≤=+≤≥=Suppose b2 rising from 12 to 15, if the optimal solution will change? Explain thereason.8. For a linear programming problem:112212121221234524123280(1,2)i Max Z c x c x x x Subject tox x x x b x x x i =+=++≤+≤=+≤≥=Calculate the shadow price of all of the three constraints. 9.1) Use the simplex algorithm to find the optimal solution to the model below(10 points)1212125231250(1,2)i Max Z x x Subject tox x x x x i =++≤+≤≥=2) For which objective function coefficient value ranges of x 1 and x 2 does thesolution remain optimal? (10 points) 3) Find the dual of the model; (5 points)4) Find the shadow prices of constraints. (5 points)5) If x1 and x2 are all integers, using the branch-and-bound to solve it.( 15points)10. A factory is going to produce Products I, II and III by using raw materials A and B.1) Please arrange production plan to make the profit maximization. (15) 2) Write the dual problem of the primal problem. (5)3) If one more kg of raw material A is available, how much the total profit will be increased? (5) 4) If the profit of product II changes from 1 to 2，will the optimal solution change? (5)Solution ：1.(a) T h e shadow pr ic e for b 2 is 2.5. Replace th e constrai n t x 2 ≤ 2 by the constrain t x 2 ≤ 3.The new optimal solution is (x 1, x 2) = (0.5, 3) with Z = 9.5. Thus, a unit increas e in b 2 leads t o a 2.5 unit increase in Z .(b) The all o wabl e range to s tay optimal i s 0 ≤ c 1 ≤ 6. The ob j e ctiv e fun c t ion Z =c 1x 1 + 3x 2 is p arall e l to th e c on s tr ain t boundary equation 2x 1 + x 2 = 4 when c 1 = 6. The ob j e ctiv e function Z = c 1x 1 + 3x 2 is parallel to t he c on s tr ain t boundary equation x 2 = 2 wh e n c 1 = 0.(c) T h e allowable range to stay feasible is 2 ≤ b 1 < ∞. The righ t -h and sideb 1 can b e decreased un t il thec on s tr ain t boundary e qu ation 2x 1 + x 2 = 4 intersects th e solution (x 1, x 2) = (0, 2). This occurs when b 1 = 2. T h e right-hand side b 1 can b e in c r e ase d w i thou t i nte r s ec t ing a s olu tion .2.1) the dual problem:123123123125128..233424,0Min w y y y S ty y y y y y y y =++++≥++≥≥2) when C2 changes from 4 to 5, the optimal basic variable will not change, because the coefficient of the nonbasic variable remain positive.3) when b2 changes from 12 to 15, the optimal basic variable will not change. 3.1） the dual problem of the primal problem is ：121212121223..222336,0Max w y y S ty y y y y y y y =--≤+≤+≤≥ 2） using the graphical solution, the optimal solution of the dual problem is: w= 19/5, y1=8/5, y2=-1/5.4. No. If you obtain one additional labor, you should pay $11. But by the shadowprice, you can only earn $10. So we should not pay to obtain additional labor. 5.2) The optimal solution is T=20, C=60 and the maximum profit is 180.3) If the profit contribution for tables changed from $3 to $4 per table, therewill be two optimal solutions, says T=20, C=60 and T=40, C=20, and the maximum profit is 200.4) Because painting hrs is a constraint condition for T=20, C=60, so theoptimal solution will change. The new optimal solution is T=0, C=100, and the maximum profit is 200.6. Parameter is calculated below:1212311211[,,][,][0,4,3][0,0]11104202311/81/403/81/401/41/2111240320001001BV NBV s j BV NBVBV s x x NBV s s C C B B a a a N c c B N c --====⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-If c2 rising from 4 to 5, then ，and >0，so the optimal solution will not change.7. If b2 rising from 12 to 15, every element of =[9/8,29/8,1/4] is large thenzero,so the optimal solution will not change. 8. Shadow price is calculated by 。

运筹学复习题及参考答案

《运筹学》一、判断题：在下列各题中，你认为题中描述的内容为正确者，在题尾括号内写“T”，错误者写“F”。

1. T2. F3. T4.T5.T6.T7. F8. T9. F10.T 11. F 12. F 13.T 14. T 15. F1. 线性规划问题的每一个基本可行解对应可行域的一个顶点。

( T )2. 用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函数求最小值时，若所有的检验数C j-Z j≤0，则问题达到最优。

( F )3. 若线性规划的可行域非空有界，则其顶点中必存在最优解。

( T )4. 满足线性规划问题所有约束条件的解称为可行解。

( T )5. 在线性规划问题的求解过程中，基变量和非机变量的个数是固定的。

( T )6. 对偶问题的对偶是原问题。

( T )7. 在可行解的状态下，原问题与对偶问题的目标函数值是相等的。

( F )8. 运输问题的可行解中基变量的个数不一定遵循m＋n－1的规则。

( T )9. 指派问题的解中基变量的个数为m＋n。

( F )10. 网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权和最小的路线。

( T )11. 网络最大流量是网络起点至终点的一条增流链上的最大流量。

( F)12. 工程计划网络中的关键路线上事项的最早时间和最迟时间往往是不相等。

( F )13. 在确定性存贮模型中不许缺货的条件下，当费用项目相同时，生产模型的间隔时间比订购模型的间隔时间长。

(T )14. 单目标决策时，用不同方法确定的最佳方案往往是不一致的。

( T )15. 动态规则中运用图解法的顺推方法和网络最短路径的标号法上是一致的。

( F )二、单项选择题1.A2.B3.D4.B5.A6.C7.B8.C9. D 10.B11.A 12.D 13.C 14.C 15.B1、对于线性规划问题标准型：maxZ=CX, AX=b, X≥0, 利用单纯形法求解时，每作一次迭代，都能保证它相应的目标函数值Z必为（ A ）。

运筹学复习题目加答案

一、单选题1．目标函数取极小（minZ ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大的线性规划问题求解，原问题的目标函数值等于（）。

A. maxZB. max(-Z)C. –max(-Z)D.-maxZ2．下列说法中正确的是（）。

A ．基本解一定是可行解B ．基本可行解的每个分量一定非负C ．若B 是基，则B 一定是可逆D ．非基变量的系数列向量一定是线性相关的3．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为（）A.多余变量 B ．松弛变量 C ．人工变量 D ．自由变量4. 当满足最优解，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得（）。

A ．多重解B ．无解C ．正则解D ．退化解 5．对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足（）。

A ．等式约束B ．“≤”型约束C ．“≥”约束D ．非负约束6. 原问题的第ｉ个约束方程是“＝”型，则对偶问题的变量i y 是（）。

A ．多余变量B ．自由变量C ．松弛变量D ．非负变量7.在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目( )。

A.等于m+nB.大于m+n-1C.小于m+n-1D.等于m+n-1二、判断题1．线性规划问题的一般模型中不能有等式约束。

2．对偶问题的对偶一定是原问题。

3．产地数与销地数相等的运输问题是产销平衡运输问题。

4．对于一个动态规划问题，应用顺推或逆解法可能会得出不同的最优解。

5．线性规划问题的每一个基本可行解对应可行域上的一个顶点。

6．线性规划问题的基本解就是基本可行解。

三、填空题1．如果某一整数规划：MaxZ=X 1+X 2 X 1+9/14X 2≤51/14 -2X 1+X 2≤1/3X 1,X 2≥0且均为整数所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X 1=3/2，X 2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X 1进行分枝，应该分为和。

2．如希望I 的2 倍产量21x 恰好等于II 的产量2x ，用目标规划约束可表为：3. 线性规划解的情形有4. 求解指派问题的方法是。

运筹学试题及答案

运筹学试题及答案大家不妨来看看小编推送的运筹学试题及答案，希望给大家带来帮助！《运筹学》复习试题及答案(一)一、填空题1、线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。

2、图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。

3、线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。

4、在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。

5、在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关6、若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点(极点)达到。

7、线性规划问题有可行解，则必有基可行解。

8、如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。

9、满足非负条件的基本解称为基本可行解。

10、在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。

11、将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。

12、线性规划模型包括决策(可控)变量，约束条件，目标函数三个要素。

13、线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。

14、线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。

15、线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解16、在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。

17、求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。

18、19、如果某个变量Xj为自由变量，则应引进两个非负变量Xj , Xj,同时令Xj=Xj- Xj。

20、表达线性规划的简式中目标函数为ijij21、、(2、1 P5))线性规划一般表达式中，aij表示该元素位置在二、单选题1、如果一个线性规划问题有n个变量，m个约束方程(m<n)，系数矩阵的数为m，则基可行解的个数最为_C_。

运筹学复习题及答案

运筹学复习题及答案一、一个毛纺厂用羊毛和涤纶生产A、B、C混纺毛料，生产1单位A、B、C分别需要羊毛和涤纶3、2；1、1；4、4单位，三种产品的单位利润分别为4、1、5。

每月购进的原料限额羊毛为8000单位，涤纶为3000单位，问此毛纺厂如何安排生产能获得最大利润？（要求：建立该问题的数学模型）解：设生产混纺毛料ABC各x1、x2、x3单位max z＝x1+x2+5x33x1+x2+4x3≤80002x1+x2+4x3≤3000x1,x2,x3≥0二、写出下述线性规划问题的对偶问题max s=2x1+3x2-5x3+x4x1+x2-3x3+x4≥52x1 +2x3-x4≤4x2 +x3+x4=6x1,x2,x3≥0；x4无约束解：先将原问题标准化为：max s=2x1+3x2-5x3+x4-x1-x2+3x3-x4≤-52x1 +2x3-x4≤4x2 +x3+x4=6x1,x2,x3≥0；x4无约束则对偶问题为：min z=-5y1+4y2+6y3-y1+2y2≥2-y1+ y2≥33y1+ 2y2+y3≥-5-y1-y2+y3=1y1,y2≥0,y3无约束三、求下述线性规划问题min S =2x1＋3x2－5x3x 1＋x 2－3x 3 ≥5 2x 1 ＋2x 3 ≤4x 1，x 2，x 3≥0解：引入松弛变量x4，x5，原问题化为标准型：max Z=-S =-2x 1-3x 2+5x 3x 1＋x 2－3x 3 －x 4=5 2x 1 ＋2x 3 +x 5=4x 1，x 2，x 3, x 4,x 5≥0 对应基B 0＝（P2,P5T(B 0)=x1的检验数为正，x1进基，由min ｛5/1,4/2｝=4/2知，x5出基，迭代得新基B1=(P2,P1),对应的单纯形表为T(B 1)=至此，检验数全为非正，已为最优单纯形表。

对应的最优解为： x1=2,x2=3,x3=x4=x5=0,max z=-13,故原问题的最优解为： x1=2,x2=3,x3 =0,min s=13。

《运筹学》课程考试试卷试题(含答案)

《运筹学》课程考试试卷试题(含答案)一、选择题（每题5分，共25分）1. 运筹学的核心思想是（）A. 最优化B. 系统分析C. 预测D. 决策答案：A2. 在线性规划中，约束条件可以用（）表示。

A. 等式B. 不等式C. 方程组D. 矩阵答案：B3. 以下哪个不是运筹学的基本模型？（）A. 线性规划B. 整数规划C. 非线性规划D. 随机规划答案：D4. 在目标规划中，以下哪个术语描述的是决策变量的偏离程度？（）A. 目标函数B. 约束条件C. 偏差变量D. 权重系数答案：C5. 在动态规划中，以下哪个概念描述的是在决策过程中，某一阶段的最优决策对后续阶段的影响？（）A. 最优子结构B. 无后效性C. 最优性原理D. 阶段性答案：B二、填空题（每题5分，共25分）1. 运筹学是一门研究在复杂系统中的______、______和______的科学。

答案：决策、优化、实施2. 在线性规划中，若目标函数为最大化，则其标准形式为______。

答案：max z = c^T x3. 在非线性规划中，若目标函数和约束条件均为凸函数，则该规划问题为______。

答案：凸规划4. 在目标规划中，若决策变量x_i的权重系数为w_i，则目标函数可以表示为______。

答案：min Σ(w_i d_i^+ + w_i d_i^-)5. 在动态规划中，若状态变量为s_n，决策变量为u_n，则状态转移方程可以表示为______。

答案：s_{n+1} = f(s_n, u_n)三、判断题（每题5分，共25分）1. 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点处取得。

（）答案：正确2. 在整数规划中，若决策变量为整数，则目标函数和约束条件也必须为整数。

（）答案：错误3. 目标规划中的偏差变量可以是负数。

（）答案：正确4. 在动态规划中，最优策略具有最优子结构。

（）答案：正确5. 在非线性规划中，若目标函数为凸函数，则约束条件也必须为凸函数。

运筹学复习题

运筹学复习题运筹学复习题⼀、填空题1、线性规划的解有唯⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解和⽆可⾏解四种。

2、在求运费最少的调度运输问题中，如果某⼀⾮基变量的检验数为4，则说明如果在该空格中增加⼀个运量运费将增加4 。

3、“如果线性规划的原问题存在可⾏解，则其对偶问题⼀定存在可⾏解”，这句话对还是错？错4、如果某⼀整数规划：MaxZ=X1+X2X1+9/14X2≤51/14-2X1+X2≤1/3X1,X2≥0且均为整数所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X1=3/2，X2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X1进⾏分枝，应该分为X1≤1和X1≥2 。

5．线性规划的⽬标函数的系数是其对偶问题的右端常数6．为求解需求量⼤于供应量的运输问题，可虚设⼀个供应点7．线性规划的解有唯⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解和⽆可⾏解四种。

8．在求运费最少的调度运输问题中，如果某⼀⾮基变量的检验数4，则说明如果在该空格中增加⼀个运量，运费将增加 4 9．考虑下列线性规划：Max Z(x) = -5x1 + 5x2+ 13x3S.t. - x1 + x2+ 3x3≤2012x1 + 4x2+ 10x3≤90x1 , x2, x3≥0最优单纯形表为：写出此线性规划的最优基B和B -110.上⼀题中的线性规划的对偶问题的最优解是 Y ＝(2,5,0,0,0,0)T11. 线性规划问题如果有⽆穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有某⼀个⾮基变量的检验数为__0__；11、在⽤逆向解法求动态规划时，f k (s k )的含义是：从第k 个阶段到第n 个阶段的最优解。

12. 假设某线性规划的可⾏解的集合为D ，⽽其所对应的整数规划的可⾏解集合为B ，那么D 和B 的关系为 D 包含 B ；13. 线性规划问题如果有⽆穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有某⼀个⾮基变量的检验数为 0 ；14. 知下表是制订⽣产计划问题的⼀张LP 最优单纯形表（极⼤化问题，问：(1)对偶问题的最优解： Y ＝(4,0,9,0,0,0)T .（2）写出B -1=611401102 .15 、使⽤⼈⼯变量法求解极⼤化线性规划问题时，当所有的检验数0j σ≤，在基变量中仍含有⾮零的⼈⼯变量，表明该线性规划问题（）A. 有唯⼀的最优解；B. 有⽆穷多个最优解；C. ⽆可⾏解；D. 为⽆界解16、对偶单纯形法解最⼤化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中（）A ．b 列元素不⼩于零B ．检验数都⼤于零C ．检验数都不⼩于零D ．检验数都不⼤于零17、在产销平衡运输问题中，设产地为m 个，销地为n 个，那么基可⾏解中⾮零变量的个数（） A. 不能⼤于(m+n-1)； B. 不能⼩于(m+n-1)； C. 等于(m+n-1)； D. 不确定。

运筹学考试试卷及答案

运筹学考试试卷及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 线性规划问题的标准形式是：A. 所有变量都非负B. 目标函数是最大化C. 所有约束条件都是等式D. 所有约束条件都是不等式答案：A2. 单纯形法中，如果某个变量的检验数为负数，那么：A. 该变量可以增大B. 该变量可以减小C. 该变量保持不变D. 该变量不能进入基答案：A3. 在运输问题中，如果某种资源的供应量大于需求量，那么应该：A. 增加供应量B. 减少需求量C. 增加需求量D. 减少供应量答案：C4. 动态规划的基本原理是：A. 递归B. 迭代C. 回溯D. 分解答案：D5. 决策树中，每个节点代表：A. 一个决策B. 一个状态C. 一个结果D. 一个概率答案：A6. 排队论中，M/M/1队列的特点是：A. 到达时间服从泊松分布，服务时间服从指数分布，且只有一个服务台B. 到达时间服从指数分布，服务时间服从泊松分布，且只有一个服务台C. 到达时间服从泊松分布，服务时间服从指数分布，且有两个服务台D. 到达时间服从指数分布，服务时间服从泊松分布，且有两个服务台答案：A7. 网络流问题中，最大流最小割定理说明：A. 最大流等于最小割B. 最大流小于最小割C. 最大流大于最小割D. 最大流与最小割无关答案：A8. 整数规划问题中，分支定界法的基本思想是：A. 将问题分解为多个子问题B. 将问题转化为线性规划问题C. 将问题转化为非线性规划问题D. 将问题转化为动态规划问题答案：A9. 在多目标决策中，如果目标之间存在冲突，通常采用的方法是：A. 目标排序B. 目标加权C. 目标合并D. 目标替换答案：B10. 敏感性分析的目的是：A. 确定最优解的稳定性B. 确定最优解的唯一性C. 确定最优解的可行性D. 确定最优解的最优性答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 线性规划问题的可行域是由所有_________约束条件构成的集合。

答案：可行2. 在单纯形法中，如果目标函数的系数都是正数，则该问题为_________问题。

运筹学-总复习(整理全部重点题目)-

《管理运筹学》总复习第一天：1)（★★★★★）课本Page59第5题（租赁问题）：某公司在今后四个月内需租用仓库堆放物资。

已知各个月所需的仓库面积数字如下所示：设第个月签订的打算租用个月合同仓库面积为，那么这个月共有可能有如下合同：第一个月：第二个月：第三个月：第一个月：因此目标函数为：约束条件为：2)（★★★）讲义Page8例1（人力资源问题）：福安商场是个中型百货商场，他对销售员的需求经过统计分析如下表。

为了保证售货人员充分的休息，售货人员每周工作5天，休息2天，并且要求休息的两天是连续的。

问如何安排售货人员的工作作息，才能做到既满足工作需要，又使配备的工作人员最少？解：设在星期开始休息的人数为，表示星期一到星期日那么，目标函数为：约束条件为：周一：周二：周三：周四：周五：周六：周日：非负约束：3)（★）【据说出题时会和整数规划相融合】讲义Page10例5（投资问题）：某部门现有资金200万，今后五年内考虑给以下项目投资。

已知，项目A：从第一年到第五年都每年年初都可以投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年都每年年初都可以投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万；项目C：需在第三年初投资，第五年末收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万；项目D：须知第二年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万；据测定每万元每次投资的风险指数如下表：1)应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？2)应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万的基础上使得其投资总的风险系数最小？解：设第年初投资在项目上的金额为，其中，。

第一年初：，，不能浪费资金，所以有，第一年年末收回：第二年初：，，，用第一年年末的收回投资，所以有：，第二年年末收回：第三年初：，，，用第二年年末收回投资，所以有：，第三年年末收回：第四年初：，，用第三年年末收回进行投资，所以有：，第四年年末收回：第五年初：用第四年年末回收进行投资，所以有：，第五年年末收回：同时，根据项目的要求，有：第（1）问答如下：目标函数为：约束条件为：第（2）问答如下：目标函数为：约束条件为：4)（★★★★）讲义Page11分析讨论题3（工厂布局问题）：设有某种原料产地A1,A2,A3，把这种原料经过加工，制成成品，再运往销地。

最全的运筹学复习题及答案

四、把下列线性规划问题化成标准形式：2、minZ=2x1-x2+2x3五、按各题要求。

建立线性规划数学模型1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。

月销售分别为250，280和120件。

问如何安排生产计划，使总利润最大。

2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省?1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。

六、用单纯形法求解下列线性规划问题：七、用大M法求解下列线性规划问题。

并指出问题的解属于哪一类。

八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。

已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10X l X2X3X4—10 b -1 f gX3 2 C O 1 1／5X l a d e 0 1(1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解?（1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解第四章线性规划的对偶理论五、写出下列线性规划问题的对偶问题1．minZ=2x1+2x2+4x3六、已知线性规划问题应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于25七、已知线性规划问题maxZ=2x1+x2+5x3+6x4其对偶问题的最优解为Y l﹡=4，Y2﹡=1，试应用对偶问题的性质求原问题的最优解。

运筹学复习题

运筹学补考复习题一、判断题(每小题2.5分，共计50分)1．求目标函数最小值问题不可能转换为求目标函数最大值问题。

（×）2．不平衡运输问题不一定有最优解。

（×）3．部分变量要求是整数的规划问题称为纯整数规划。

（×）4．在任一图G中，当点集V确定后，树图是G中边数最少的连通图。

（√）5．对于一个动态规划问题，应用顺推或者逆推解法可能会得出不同的最优解。

（×）6．排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响。

（×）7．在折中主义准则中，乐观系数a的确定与决策者对风险的偏好有关。

（√）8．用层次分析法解决问题，构造好问题的层次结构图是解决问题的关键。

（√）9．目标规划模型中的目标函数按问题要求分别表示为求min或max。

（×）10．所谓主观概率基本上是对事件发生可能性做出的一种主观猜想和臆测，缺乏必要科学依据。

（×）11．任何线性规划问题一定有最优解.（×）12．若运输问题中的产量和销量为整数，则其最优解也一定为整数.（×）13．整数规划的可行解集合是离散型集合.（√）14．求网络最大流的问题可归结为求解一个线性规划模型.（√）15．在动态规划模型中，问题的阶段数等于问题中子问题的数目.（√）16．若到达排队系统的顾客为泊松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布.（√）17.风险情况下采用EMV决策准则的前提是决策应重复相当大的次数.（√）18.根据决策者对物体之间两两相比的关系，主观做出比值的判断，这样得到的矩阵称作判断矩阵.（√）19.目标规划的目标函数中既包含决策变量，又包含偏差变量.（×）20．先验概率和后验概率是相对的概念.如对先验概率在调查后进行修正得到的后验概率，再次调查修正，则修正前的后验概率又成了先验概率.（√）二、选择题（每小题2.5分，共50分）1．关于互为对偶的两个模型的解的存在情况，下列说法不正确的是（ C ）。

运筹学基础试题及答案

运筹学基础试题及答案一、选择题（每题3分，共60分）1. 运筹学是一门____学科。

A. 自然B. 社会C. 工程D. 经济2. 操作研究的核心思想是____。

A. 获取最优解B. 制定合理方案C. 理论研究D. 编写代码3. 下列哪个是运筹学常用的数学方法？A. 微积分B. 高等代数C. 线性规划D. 概率论4. 在线性规划模型中，目标函数和约束条件都需要满足____。

A. 线性性质B. 非线性性质C. 相等性质D. 不等性质5. 运筹学的问题求解过程中，常用的算法有____。

A. 最小二乘法B. 广度优先搜索C. 动态规划D. 模拟退火算法二、填空题（每题5分，共50分）1. 线性规划的基本组成部分有____。

2. 在最优化理论中，拉格朗日乘数法与约束条件称为____。

3. 渐进分析是一种用大O记号表示算法____的性质。

4. 在整数规划中，变量需要满足的条件是____。

5. PERT网络中，关键路径是指项目完成所需的____。

三、解答题（每题20分，共80分）1. 简述线性规划的基本模型和求解方法。

2. 什么是整数规划？请举例说明整数规划的实际应用场景。

3. 简述Pareto最优解的概念和求解方法。

4. 从项目管理的角度出发，详细解释PERT网络的作用及其使用步骤。

四、问答题（每题30分，共60分）1. 运筹学在现实生活中的应用领域有哪些？请举例说明。

2. 运筹学方法在企业管理中的作用是什么？举例说明。

答案：一、选择题1. B2. A3. C4. A5. C二、填空题1. 目标函数、约束条件、决策变量2. Lagrange乘数3. 时间复杂度4. 整数取值5. 最长时间三、解答题1. 线性规划是一种优化问题，其基本模型由目标函数、约束条件和决策变量组成。

目标函数为线性函数，约束条件为一系列线性等式或不等式。

线性规划的求解方法包括图解法、单纯形法和内点法等。

2. 整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量需要满足整数取值的条件。

运筹学考试题

运筹学考试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 运筹学的主要目标是：A. 最大化利润B. 最小化成本C. 优化决策D. 以上都是2. 线性规划问题的解的特性是：A. 唯一最优解B. 多个最优解C. 无界解D. 可能无解3. 动态规划主要用于解决：A. 线性问题B. 非线性问题C. 静态问题D. 多阶段决策问题4. 在整数规划中，决策变量必须是：A. 连续的B. 离散的C. 非负的D. 正整数5. 运输问题通常使用哪种方法求解：A. 单纯形法B. 动态规划C. 整数规划D. Vogel's近似法二、填空题（每题2分，共10分）1. 运筹学中，_________方法是一种通过逐步逼近最优解的方法。

2. 在运筹学中，目标函数表示了决策方案的_________或_________。

3. _________图是一种用于求解最大流最小割问题的图形化方法。

4. 排队论主要研究等待服务的对象的_________和_________。

5. 多目标决策分析中，常用的决策方法是_________法和_________法。

三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述单纯形法的基本思想及其在解决线性规划问题中的应用。

2. 描述动态规划的基本步骤，并给出一个实际问题的例子说明其应用。

3. 解释整数规划的概念，并讨论其在实际问题中的重要性。

四、计算题（每题20分，共40分）1. 某工厂生产两种产品A和B，每个单位产品A的利润为20元，每个单位产品B的利润为30元。

生产一个产品A需要2小时的加工时间和1小时的装配时间，生产一个产品B需要3小时的加工时间和2小时的装配时间。

工厂每天有16小时的加工时间和12小时的装配时间，请使用线性规划方法确定每天生产多少个产品A和B以最大化利润。

2. 一个项目需要采购材料，有两种供应商可供选择。

供应商X提供的材料单价为100元，供应商Y提供的材料单价为80元。

项目需要至少采购200个单位的材料，且供应商X最多只能提供100个单位。

运筹学试题及答案4套汇总

《运筹学》试卷一一、（15分）用图解法求解下列线性规划问题二、（20分）下表为某求极大值线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表，、为松弛变量，试求表中到的值及各变量下标到的值。

-1311611 -2 002 -111/21/214 07三、（15分）用图解法求解矩阵对策，其中四、（20分）（1）某项工程由8个工序组成，各工序之间的关系为工序 a b c d e f g h —— a a b,c b,c,d b,c,d e 紧前工序试画出该工程的网络图。

（2）试计算下面工程网络图中各事项发生的最早、最迟时间及关键线路（箭线下的数字是完成该工序的所需时间，单位：天）五、（15分）已知线性规划问题其对偶问题最优解为，试根据对偶理论求原问题的最优解。

六、（15分）用动态规划法求解下面问题：七、（30分）已知线性规划问题用单纯形法求得最优单纯形表如下，试分析在下列各种条件单独变化的情况下，最优解将如何变化。

2-11 02311311111610-3-1-2（1）目标函数变为；（2）约束条件右端项由变为；（3）增加一个新的约束：八、（20分）某地区有A、B、C三个化肥厂向甲、乙、丙、丁四个销地供应同一种化肥，已知产地产量、销地需求量和各产地运往不同销地单位运价如下表，试用最小元素法确定初始调运方案，并调整求最优运输方案销地甲乙丙丁产量产地A 4 12 4 11 16B 2 10 3 9 10C 8 5 11 6 22 需求量8 14 12 14 48《运筹学》试卷二一、（20分）已知线性规划问题：（a）写出其对偶问题；（b）用图解法求对偶问题的解；（c）利用（b）的结果及对偶性质求原问题的解。

二、（20分）已知运输表如下：销地B1B2B3B4供应量产地A1 3 2 7 6 50A2 7 5 2 3 60A3 2 5 4 5 25需求量60 40 20 15（1）用最小元素法确定初始调运方案；（2）确定最优运输方案及最低运费。

运筹学题库及详解答案

运筹学题库及详解答案1. 简述线性规划的基本假设条件。

答案：线性规划的基本假设条件包括目标函数和约束条件都是线性的，所有变量的取值范围都是连续的，并且目标函数和约束条件都是确定的。

2. 解释单纯形法的基本原理。

答案：单纯形法是一种求解线性规划问题的算法。

它从一个初始可行解开始，通过迭代的方式，每次选择一个非基变量，通过行操作将其变为基变量，同时保持解的可行性，直到达到最优解。

3. 什么是对偶问题？请给出一个例子。

答案：对偶问题是指一个线性规划问题与其对应的另一个线性规划问题之间的关系。

它们共享相同的技术系数矩阵，但目标函数和约束条件互换。

例如，如果原问题是最大化目标函数 $ c^T x $ 受约束$ Ax \leq b $，对偶问题则是最小化 $ b^T y $ 受约束 $ A^T y \geq c $。

4. 如何确定一个线性规划问题的最优解？答案：确定线性规划问题的最优解通常需要满足以下条件：(1) 所有约束条件都得到满足；(2) 目标函数的值达到可能的最大值（最大化问题）或最小值（最小化问题）；(3) 存在至少一个基解，使得所有非基变量的值都为零。

5. 解释灵敏度分析在运筹学中的作用。

答案：灵敏度分析用于评估当线性规划问题中的参数发生变化时，对最优解的影响。

它可以帮助决策者了解哪些参数的变化对结果影响最大，从而在实际应用中做出更灵活的决策。

6. 什么是运输问题，它与一般线性规划问题有何不同？答案：运输问题是线性规划的一个特例，它涉及将一种或多种商品从一个地点运输到另一个地点，以满足不同地点的需求，同时最小化运输成本。

与一般线性规划问题不同，运输问题通常具有特定的结构，可以通过特定的算法（如西北角法或最小元素法）来求解。

7. 描述网络流问题的基本特征。

答案：网络流问题涉及在网络中流动的资源或商品，目标是最大化或最小化流的总价值或成本。

网络由节点和边组成，节点代表资源的供应点或需求点，边代表资源流动的路径。

《运筹学》试题及答案大全

《运筹学》试题及参考答案一、填空题（每空2分，共10分）1、在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为可行解。

2、在线性规划问题中，图解法适合用于处理变量为两个的线性规划问题。

3、求解不平衡的运输问题的基本思想是设立虚供地或虚需求点，化为供求平衡的标准形式。

4、在图论中，称无圈的连通图为树。

5、运输问题中求初始基本可行解的方法通常有最小费用法、西北角法两种方法。

二、（每小题5分，共10分）用图解法求解下列线性规划问题：1）max z =6x 1+4x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0781022122121x x x x x x x ，解：此题在“《运筹学》复习参考资料.doc ”中已有，不再重复。

2）min z =－3x 1+2x 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤-≤-≤+-≤+0,137210422422121212121x x x x x x x x x x 解：可行解域为abcda ，最优解为b 点。

⑴⑵⑶⑷⑸⑹、⑺由方程组⎩⎨⎧==+02242221x x x 解出x 1=11，x 2=0∴X *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x =（11，0）T∴min z =－3×11+2×0=－33三、（15分）某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：AB C 甲94370乙46101203602003001）建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型；（5分）2）用单纯形法求该问题的最优解。

（10分）解：1）建立线性规划数学模型：设甲、乙产品的生产数量应为x 1、x 2，则x 1、x 2≥0，设z 是产品售后的总利润，则max z =70x 1+120x 2s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+0300103200643604921212121x x x x x x x x ，2）用单纯形法求最优解：加入松弛变量x 3，x 4，x 5，得到等效的标准模型：max z =70x 1+120x 2+0x 3+0x 4+0x 5s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=++=++5,...,2,1,03001032006436049521421321j x x x x x x x x x x j 列表计算如下：四、（10分）用大M 法或对偶单纯形法求解如下线性规划模型：min z =5x 1＋2x 2＋4x 3⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++0,,10536423321321321x x x x x x x x x 解：用大M 法，先化为等效的标准模型：max z /=－5x 1－2x 2－4x 3s.t.⎪⎩⎪⎨⎧=≥=-++=-++5,...,2,1,010********214321j y x x x x x x x x j增加人工变量x 6、x 7，得到：max z /=－5x 1－2x 2－4x 3－M x 6－M x 7s.t⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+-++=+-++7,...,2,1,010*********2164321j x x x x x x x x x x x j大M 法单纯形表求解过程如下：五、（15分）给定下列运输问题：（表中数据为产地A i 到销地B j 的单位运费）B 1B 2B 3B 4s iA 1A 2A 312348765910119108015d j82212181）用最小费用法求初始运输方案，并写出相应的总运费；（5分）2）用1）得到的基本可行解，继续迭代求该问题的最优解。

运筹学总复习题

线性规划部分1. 试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系2. 对偶问题和对偶变量(即影子价值)的经济意义是什么? 什么是资源的影子价格?它与相应的市场价格有什么区别?3. 如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系,找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系?4. 试述整数规划分枝定界法的思路5.线性规划具有无界解是指 (C)A.可行解集合无界B.有相同的最小比值C.存在某个检验数0,0,(1,2,,)k ik a i m λ≥≤=D.最优表中所有非基变量的检验数非零6.线性规划具有唯一最优解是指 (A)A.最优表中非基变量检验数全部非零B.不加入人工变量就可进行单纯形法计算C.最优表中存在非基变量的检验数为零D.可行解集合有界7.线性规划具有多重最优解是指 (B)A.目标函数系数与某约束系数对应成比例B.最优表中存在非基变量的检验数为零C.可行解集合无界D.基变量全部大于零8.线性规划的退化基可行解是指 (B)A.基可行解中存在为零的非基变量B.基可行解中存在为零的基变量C.非基变量的检验数为零D.所有基变量不等于零9.线性规划无可行解是指 (C)A.第一阶段最优目标函数值等于零B.进基列系数非正C.用大M 法求解时,最优解中还有非零的人工变量D.有两个相同的最小比值10.若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算 (B)A.一定有最优解B.一定有可行解C.可能无可行解D.全部约束是小于等于的形式11.线性规划可行域的顶点一定是 (A)A.可行解B.非基本解C.非可行D.是最优解12.X 是线性规划的基本可行解则有 (A)A.X 中的基变量非负，非基变量为零B.X 中的基变量非零，非基变量为零C. X 不是基本解D.X 不一定满足约束条件13.下例错误的说法是 (C)A.标准型的目标函数是求最大值B.标准型的目标函数是求最小值C.标准型的常数项非正D.标准型的变量一定要非负14.为什么单纯形法迭代的每一个解都是可行解？答：因为遵循了下列规则 (A)A.按最小比值规则选择出基变量B.先进基后出基规则C.标准型要求变量非负规则D.按检验数最大的变量进基规则15.线性规划标准型的系数矩阵A m ×n ，要求 (B)A.秩(A)=m 并且m<nB.秩(A)=m 并且m<=nC.秩(A)=m 并且m=nD.秩(A)=n 并且n<m16.下例错误的结论是 (D)A.检验数是用来检验可行解是否是最优解的数B.检验数是目标函数用非基变量表达的系数C.不同检验数的定义其检验标准也不同D.检验数就是目标函数的系数17.对偶单纯形法的最小比值规划则是为了保证 (B)A.使原问题保持可行B.使对偶问题保持可行C.逐步消除原问题不可行性D.逐步消除对偶问题不可行性18.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 (A)A.一个问题具有无界解，另一问题无可行解 B 原问题无可行解，对偶问题也无可行解C.若最优解存在，则最优解相同D.一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解19.原问题与对偶问题都有可行解，则 (D)A. 原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B. 原问题与对偶问题可能都没有最优解C.可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D.原问题与对偶问题都有最优解20.某个常数b i 波动时，最优表中引起变化的有 (A)A.B －1bB.1N B C C B N --C.B －1D.B －1N 21.当基变量x i 的系数c i 波动时，最优表中引起变化的有 (B)A. 最优基BB.所有非基变量的检验数C.第i 列的系数i ND.基变量X B 22.当非基变量x j 的系数c j 波动时，最优表中引起变化的有 (C )A.00单纯形乘子B.目标值C.非基变量的检验数D. 常数项23.若线性规划问题的最优解同时在可行解域的两个顶点处达到，那么该线性规划问题最优解为（ C ）A.两个B.零个C.无穷多个D.有限多个24.原问题与对偶问题的最优（B ）相同。

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