潍坊市高考模拟数学试卷
山东省潍坊市2024高三冲刺(高考数学)部编版模拟(预测卷)完整试卷
山东省潍坊市2024高三冲刺（高考数学）部编版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，则的值为（）A．B．C．D．第(2)题如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（）A．B．C．D．第(3)题已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值是( )A．B．1C．2D．第(5)题椭圆短轴是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线的距离为A．B．C．D．第(6)题已知，其中，是实数，为虚数单位，则（）A．B．C．D．第(7)题已知函数在定义域上是单调函数，且，当在上与在R上的单调性相同时，实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为，甲、乙分到同一组的概率为，则的值分别为A ．,B．,C ．,D．,二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知等差数列的公差为d，前n项和是，满足，则（）．A．的最小值为B．C．满足的n的最大值为4D．第(2)题是各项均为正数的等差数列，其公差，是等比数列，若，，则（）A．B．C．D．第(3)题古希腊数学家欧几里得在《几何原本》卷11中这样定义棱柱：一个棱柱是一个立体图形，它是由一些平面构成的，其中有两个面是相对的､相等的，相似且平行的，其它各面都是平行四边形.显然这个定义是有缺陷的，由于《几何原本》作为“数学圣经”的巨大影响，该定义在后世可谓谬种流传，直到1916年，美国数学家斯顿（J.C.Stone）和米利斯（lis）首次给出欧氏定义的反例.如图1，八面体的每一个面都是边长为2的正三角形，且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，取各棱的中点，切割成欧氏反例（如图2），则该欧氏反例（）A．共有12个顶点B．共有24条棱C．表面积为D．体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，则的最小值为______________________ .第(2)题已知函数在R上是增函数，则的最大值为_____________．第(3)题已知中，边上的高为2，H为上一动点，满足，则的最小值是__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2．(1)求双曲线的方程；(2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围．第(2)题在中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，，点，分别在边，上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值.第(3)题已知动点与两个定点，的距离的比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与曲线交于、两点，求线段长度的最小值；（3）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围.第(4)题假定射手甲每次射击命中目标的概率为其中．(1)当时，若甲射击次，命中目标的次数为．①求；②若其中求的值．(2)射击积分规则如下：单次未命中目标得分，单次命中目标得分，若连续命中目标次，则其中第一次命中目标得1分，后一次命中目标的得分为前一次得分的2倍．记射手甲射击4次的总得分为，若对任意有成立，求所有满足上述条件的有序实数对．第(5)题山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.举例说明.某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为，，求得.四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；（ii）求物理原始分在区间的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望.（附：若随机变量，则，，）。
2020届山东省潍坊市高考模拟训练文科数学模拟试题(三)有答案(加精)
高考模拟训练试题文科数学(三)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分为150分，考试用时120分钟，考试结束后将答题卡交回．注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米规格黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米规格黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其他笔．4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效．第I 卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1.若复数z =，则z =A. 12B.2 C.1 D.2 2.已知集合(){}{}22ln ,90A x y x xB x x ==-=-≤，则A B ⋂= A. [][]3,01,3-⋃B. [)[]3,01,3-⋃C. ()0,1D.[]3,3-3.在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若3,2a b B A ==∠=∠，则cos A 的值为A.3B. 3C. 6D. 84.设0a >且1a ≠，则“函数()()log 0a f x x =+∞是，上的增函数”是“函数()()1x g x a a =-g 是R 上的减函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列命题：①若,//m n m n αα⊥⊥，则；②若//,m m ααββ⊥⊥，则； ③若,//m m βαβα⊥⊥，则；④若,m n m n αβ⊥⊥⊥，，则αβ⊥. 其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.36.若不等式组0,0,,24x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数s 的取值范围是 A. 024s s <≤≥或 B. 02s <≤C. 4s ≥D. 24x x ≤≥或7.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为A. 89B. 910C. 1011D. 11128.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是A. 22cmB. 333cmC. 33cmD. 33cm 9.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，124,F F P =是双曲线右支上的一点，2F P y 与轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若=1PQ ，则双曲线的离心率是A.3B.2C. 3D. 2 10.对定义域为D 的函数，若存在距离为d 的两条平行直线1122::l y kx m l y kx m =+=+和()12m m <，使得当x D ∈时，()12kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()()f x x D ∈在有一个宽度为d 的通道.有下列函数：①()1f x x =；②()sin f x x =；③()21f x x =-；④()31f x x =+.其中在[)1,+∞上有一个通道宽度为1的函数是A.①②B.③④C.①③D.①④ 第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.11.某高校从参加今年自主招生考试的1000名学生中随机抽取100名学生的成绩进行统计，得到如图所示的样本频率分布直方图.若规定60分及以上为合格，则估计这1000名学生中合格人数有________名.12.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________.13.已知直线10x y -+=与圆心为C 的圆22240x y x y a ++-+=相交于A,B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为________.14.设0,0,22x y x y >>+=，则211x y++的最小值为_______. 15.设()()()22,sin 52012x x f x g x a a a x π==+->+，若对于任意[]10,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x =成立，则a 的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数()()4cos sin 06f x x x a πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭g图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求a ω和的值； （II ）求函数()[]0f x π在，上的单调递减区间.17. （本小题满分12分）某市一水电站的年发电量y （单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x （单位：毫米）有如下统计数据：（I ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0亿千瓦时的概率；（II ）由表中数据求得线性回归方程为$$=0.004y x a+.该水电站计划2015年的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉2015年的降雨量约为1800毫米，请你预测2015年能否完成发电任务.若不能，缺口约为多少亿千瓦时？18. （本小题满分12分）如图，斜三棱柱1111111ABC A B C A B AC -=中，，点E ，F 分别是1111,B C A B 的中点，111,60AA AB BE A AB ===∠=o .（I ）求证：1//AC 平面1A BE ；（II ）求证：BF ⊥平面111A B C .19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 表示数列{}n a 的前n 项的和，且22n n n S a a =+.（I ）求1a ；（II ）数列{}n a 的通项公式；（III ）设11n n n b a a +=g ，记数列{}n b 的前n 项和n T .若对(),4n n N T k n *∈≤+恒成立，求实数k 的取值范围.20. （本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，右项点为B ，离心率2,e O =为坐标原点，圆222:3O x y +=与直线AB 相切. （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）直线()():20l y k x k =-≠与椭圆C 相交于E ，F 两不同点，若椭圆C 上一点P 满足OP//l ，求EPF ∆面积的最大值及此时的2k .21. （本小题满分14分） 已知函数()()ln ,2a f x x g x x==-（a 为实数）. （I ）当1a =时，求函数()()()x f x g x ϕ=-的最小值； （II ）若方程()()2 1.5f x eg x =（其中e=2.71828…）在区间[]0.5,2上有解，求实数a 的取值范围.（III ）若()()()22,u x f x x mx y u x =++=当存在极值时，求m 的取值范围，并证明极值之和小于3ln 2--.。
(附加15套模拟试卷)山东省潍坊市2020年高考模拟训练试题(五)数学【理】试题及答案
绩（百分制）分
人数 n； 甲、乙、丙三所 有一名男生的
概率为 3 ，求 n 名毕业生中男、女各几人（男、 5
两人）？
女人数均至少
（III）在（II）的结论下，设随机变量 表示 n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求
则 1 1 取最小值时，向量 a m, n 的模为_______.
mn
15.已知命题：
①设随机变量 ~ N 0,1,若P 2 =P 2 0 = 1 p ；
2 ②命题“ x R, x2 x 1 0 ”的否定是“ x R, x2 x 1 0 ”； ③在 ABC中，A B 的充要条件是 sin A sin B ；
山东省潍坊市 2020 年高考模拟训练试题（五）数学【理】试题及答案
理科数学(五) 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 5 页，满分为 150 分，考试用时 120 分钟，考试结束后将答题卡 交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用 0.5 毫米规格黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的 位置上． 2．第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号． 3．第 II 卷必须用 0.5 毫米规格黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置； 如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案，不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其他笔． 4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效．
B. m , n m n
C. m , n , n / /m / /
D.
n ,n
6. 点 A 是 抛 物 线 C1 : y2 2 px p 0 与 双 曲 线
x2 C2 : a2
山东省潍坊市新高考2020届模拟考试数学试题
山东省潍坊市新高考2020届模拟考试数学试卷本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2110,60P x x Q x x x =≤≤=+-=，则P Q ⋂等于 A.{}1,2,3B.{}2,3C.{}1,2D.{}22.将一直角三角形绕其一直角边旋转一周后所形成的几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是 A.23π B.2π C.5πD.3π3.某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是A.该教职工具有本科学历的概率低于60%B.该教职工具有研究生学历的概率超过50%C.该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%D.该职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%4.已知向量()31,3,,3a b λ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，若3a b a b ⊥+，则与a 的夹角为 A.6πB.4π C.3πD.23π5.函数()()231ln 31xxx f x -=+的部分图像大致为6.若20200x x a x>+≥，则恒成立的一个充分条件是 A.80a >B.80a <C.0a >10D.0a <107.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马刺先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问相逢时良马比驽马多行几里？ A.540B.426C.963D.1148.已知函数()f x 的导函数()()()()324123f x x x x x '=---，则下列结论正确的是A.()f x 在0x =处有极大值B.()f x 在2x =处有极小值C.()f x 在[]1,3上单调递减D.()f x 至少有3个零点二、多项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.设复数122z =-+，则以下结论正确的是 A.20z ≥B.2z z =C.31z =D.2020z z =10.已知,m n 是两条不重合的直线，,,αβγ是三个两两不重合的平面，则下列命题正确的是 A.若,,////m n m n αβαβ⊥⊥，则B.若//αγβγαβ⊥⊥，，则C.若//,//,,//m n m n ββααβ⊂，则D.若,n n αβαβ⊂⊥⊥，则11.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！函数()()71sin 2121i i x f x i =-⎡⎤⎣⎦=-∑的图像就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是A.函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πB.函数()f x 为奇函数C.函数()y f x =的图像关于直线2x π=对称D.函数()f x 的导函数()f x '的最大值为712.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是A.1QF QP +的最小值为21a -B.椭圆C 的短轴长可能为2C.椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.若11PF FQ =，则椭圆C+ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()ln ,0,1,0,2x x x f x x >⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩则1f f e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________. 14.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()22:23F x y -+=相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为____________. 15.在2ABC A π∆∠=中，，点D 在线段AC 上，且满足32,cos 5AD CD C ==，则sin CBD ∠=____________.16．如图1，四边形ABCD 是边长为10的菱形，其对角线AC=12，现将△ABC 沿对角线AC 折起，连接BD ，形成如图2的四面体ABCD ，则异面直线AC 与BD 所成角的大小为__________；在图2中，设棱AC 的中点为M ，BD 的中点为N ，若四面体ABCD 的外接球的球心在四面体的内部，则线段MN 长度的取值范围为________．(注：第一空2分，第二空3分)四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图像如图所示． (1)求()f x 的解析式； (2)将函数()f x 的图像向右平移6π个单位长度，得到函数()()(),y g x h x g x ==+设()f x ，求函数()02h x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，上的最大值．18．(12分)如图，点C 是以AB 为直径的圆上的动点(异于A ，B)，已知2,7,AB AE EB ==⊥平面ABC ，四边形BEDC 为平行四边形． (1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)当三棱锥A BCE -的体积最大时，求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．19．(12分)为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件，并测量其内径(单位：cm)．根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X 服从正态分布()2Nμσ，．如果加工的零件内径小于3μσ-或大于3μσ+均为不合格品，其余为合格品．(1)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少； (2)若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润L (单位：元)与零件的内径X 有如下关系：5343=6353.X X L X X μσμσμσμσμσμσ-<-⎧⎪-≤<-⎪⎨-≤<+⎪⎪->+⎩，，，，，，， 求该企业一天从生产线上随机抽取10000个零件的平均利润． 附：若随机变量X 服从正态分布()()2,=0.6826NP X μσμσμσ-<≤+，有，()()22=0.954433=0.9974P X P X μσμσμσμσ-<≤+-<≤+，．20．(12分)设抛物线()220E x py p =>：的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为(1，1)．(1)求抛物线E 的标准方程；(2)若B ，C 为抛物线E 上的两个动点(异于点A)，且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围．21．(12分)已知函数()()()21121ln ,2x x e f x x x mx m R g x x e e e+-=-∈=--+． (1)若函数()()()11f x f 在，处的切线与直线10x y -+=平行，求m ；(2)证明：在(1)的条件下，对任意()()()1212,0,,x x f x g x ∈+∞>成立．22．(12分)设()n f x 是数列()()()21,1,1,,1nx x x ++⋅⋅⋅+的各项和，2,n n N ≥∈．(1)设()()()1202n n n g x f x g x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，证明：在，内有且只有一个零点； (2)当1x >-时，设存在一个与上述数列的首项、项数、末项都相同的等差数列，其各项和为()n h x ，比较()n f x 与()n h x 的大小，并说明理由；(3)给出由公式sin 22sin cos x x x =推导出公式22cos 2cos sin x x x =-的一种方法如下： 在公式sin 22sin cos x x x =中两边求导得：2cos22cos cos 2sin sin x x x x x =⋅-⋅所以22cos 2cos sin x x x =-成立．请类比该方法，利用上述数列的末项()1nx +的二项展开式证明： n ≥2时，()110nkk n i kC =-=∑(其中k n C 表示组合数)。
山东省潍坊市昌乐第一中学2024届高三上学期模拟预测数学试题(解析版)
高三数学试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()121,1,0,1z z ，则12z z 的虚部为（ ）A. 1B. i- C. iD. 1-【答案】D 【解析】【分析】求出复平面内12,z z 的点对应的复数，利用复数的除法法则计算得出答案．【详解】由题意得11i z =+，2i z =，所以()121i i 1i 1i i i·iz z ++===-，故D 正确.故选：D.2. “sin cos αα=”是“4πα=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据sin cos αα=求出α的值，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】由sin cos αα=得tan 1α=，()4k k Z παπ∴=+∈，因此，“sin cos αα=”是“4πα=”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．3. 若正数,a b 满足3ab a b =++，则a b +的取值范围是（ ）A. [6,)+∞ B. [9,)+∞ C. (]0,6 D. ()0,9【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式即可求解..【详解】由题意知,a b 为正数，且3ab a b =++，所以232a b ab a b +⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，化简得()()24120a b a b +-+-≥，解得6a b +≥，当且仅当3a b ==时取等号，所以[)6,a b +∈+∞，故A 正确.故选：A.4. 具有线性相关关系的变量,x y 的一组数据如下：x 0123y-5-4.5-4.2-3.5其线性回归直线方程为y bx a =+$$$，则回归直线经过（ ）A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限【答案】D 【解析】【分析】根据x ，y 呈正相关，得到0b> ，再由样本中心在第四象限判断.【详解】解：由图表中的数据知：x ，y 呈正相关，所以0b > ，又()()110123 1.5,5 4.5 4.2 3.5 4.344x y =+++==----=-，则样本中心为()1.5, 4.3-，在第四象限，所以回归直线经过第一、三、四象限，故选：D5. 已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C 的焦点的距离是A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】【分析】将点()2,4M 的坐标代入抛物线方程，求出4p =，即得焦点(2,0)F ，利用抛物线的定义，即可求出．【详解】由点()2,4M 在抛物线22y px =上，可得164p =，解得4p =，即抛物线2:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-．所以，点M 到抛物线C 焦点的距离为：()224--=．故选：A ．【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题．6. 在ABC 中，2AB AC AD += ，20AE DE +=，若EB xAB y AC =+ ，则（ ）A. 2y x = B. 2y x=- C. 2x y= D. 2x y=-【答案】D 【解析】【分析】画出图形，将,AB AC 作为基底向量，将EB向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解【详解】如图，由题可知，点D 为BC 的中点，点E 为AD 上靠近D 的三等分点，()()111121326233EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=-，21,,233x y x y∴==-∴=-故选：D【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题7. 已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =，则（）A. 233231(log (2)(2)4g g g -->>B. 233231(log (2)(2)4g g g -->>C. 233231(2)(2)(log )4g g g -->>D. 233231(2)(2)(log )4g g g -->>【答案】B 【解析】【分析】先利用定义判断出()g x 为偶函数，0x >时单调递增，0x <时，函数单调递减，再根据距离对称轴越远函数值越大，即可比较大小．【详解】解：由奇函数()f x 是R 上增函数可得，当0x >时，()0f x >，又()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数，且当0x >时单调递增，根据偶函数的对称性可知，当0x <时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，因为331(log )(log 4)4g g =，23(2)g g -=，32(2)g g -=，而3log 41>，23322012-->>>，即3log 43222->>，所以233231(log )(2)(2)4g g g -->>故选：B ．.8. 已知双曲线C :22221x y a b -=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F , O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m == ,(0m >),212PF PF m ⋅=,则双曲线C 的渐近线方程为A. 12y x =±B. y x =C. y x=± D. y =【答案】D 【解析】【分析】利用双曲线的定义求出2m a =，由向量的数量积，可求出12F PF ∠，利用余弦定理可得,a c 的关系式，结合222c a b =+，即可求出．【详解】因为122PF PF a -=，1222PF PF m == 可得2m a =，由212PF PF m ⋅=可得21242cos 4a a F PF a ⋅∠=，所以1260F PF ︒∠=，即有222214416242122c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，即22223c a b a =+=，所以ba=所以双曲线的渐近线方程为：y =．故选：D ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义,向量数量积的定义以及余弦定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分．9. （多选题）下列命题中的真命题是（ ）A. 1R,20x x -∀∈> B. ()2N ,10x x *∀∈->C. 00R,lg 1x x ∃∈< D. 00R,tan 2x x ∃∈=【答案】ACD 【解析】【分析】根据对应函数的性质，判断命题的真假.【详解】指数函数值域为()0,∞+，所以1R,20x x -∀∈>，A 选项正确；当1x =时，()210x -=，所以()2N ,10x x *∀∈->是假命题，B 选项错误；当01x =时，0lg 01x =<，所以00R,lg 1x x ∃∈<，C 选项正确；函数tan y x =值域为R ，所以00R,tan 2x x ∃∈=，D 选项正确.故选：ACD.10. 将函数()sin 2f x x =的图象向右平移π4个单位后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 具有性质（ ）A. 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B. 最大值为1，图象关于直线3π2x =-对称C. 在3ππ,88⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D. 周期为π，图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ABD 【解析】【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】由题意可得()ππsin 2sin 2cos 242g x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对A 、C ：因为π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π20,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且()()()cos 2cos 2g x x x g x -=--=-=，得()g x 为偶函数，故A 正确，C 错误；对B ：由()cos 2g x x =-得其最大值为1，当3π2x =-时，()3πcos 3π12g ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，为最大值，所以3π2x =-为对称轴，故B 正确；对D ：周期2ππ2T ==，3π3π3πcos 2cos0442g ⎛⎫⎛⎫=-⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以图像关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确.故选：ABD.11. 已知m n 、为两条不重合的直线,αβ、为两个不重合的平面,则下列说法正确的是A. 若//,//m n αβ且//,αβ则//m n B. 若//,,,m n m n αβ⊥⊥则//αβC. 若//,,//,m n n m ααββ⊂⊄，则//m βD. 若//,,m n n ααβ⊥⊥，则//m β【答案】BC 【解析】【分析】根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若//,//m n αβ且//,αβ则可以//m n ，,m n 异面，或,m n 相交，故A 错误；B. 若//,,m n m α⊥则n α⊥，又,n β⊥故//αβ，B 正确；C. 若//,,m n n α⊂则m α 或m α⊆，又//,m αββ⊄，故//m β，C 正确；D. 若//,,m n n α⊥则m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊆，D 错误；故选：BC【点睛】本题考查了直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a > ，201920201a a > ，20192020101a a -<-，下列结论正确的是（ ）A. 20192020S S <B. 2019202010S S -<C. 2020T 是数列{}n T 中的最大值D. 数列{}n T 无最大值【答案】A 【解析】【分析】根据11a > ，201920201a a > ，20192020101a a -<-，可判断数列{}n a 的01q <<，进而可知数列{}n a 是单调递减的等比数列，结合选项，即可逐一求解.【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，201920201a a >，则有20192020201920191a a a a q ⋅>=，有0q >，又由2019202011a a --＜0，即()()20192020110a a -<- ，必有202020191a a <<，01q << 由此分析选项：对于A ，2020201920200S S a -=> ，故20192020S S < ，A 正确；对于B ，等比数列{}n a 中，11a >，01q <<，则202120191S S >> ，则201920211S S > ，即2019202110S S -> ，B 错误；对于C ，202020191a a << ，则2019T 是数列{}n T 中的最大项，C 错误；对于D ，由C 的结论，D 错误；故选：A.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知直线0x y a -+=与圆22:2o x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________；【答案】【解析】【分析】根据直角三角形的性质与垂径定理求得圆心O 到直线0x y a -+=的距离,再用公式求解即可.【详解】由题,因为AOB ∆为等腰直角三角形,故2AB ==,故圆心O 到直线0x y a -+=的距离1d ==.1a =⇒=故答案为：【点睛】本题主要考查了根据直线与圆相交求参数的问题,重点在于垂径定理的运用.属于基础题.14. 已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a = 【答案】3【解析】【分析】设切点为（x 0，y 0），求出函数y ＝ln （x+a ）的导数为y '＝1x a +，得k 切＝01x a +＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），进而求出a ．【详解】设切点为（x 0，y 0），由题意可得：曲线的方程为y ＝ln （x+a ），所以y '＝1x a+．所以k 切＝01x a+＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），解得：y 0＝0，x 0＝﹣2，a ＝3．故答案3．【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题.15. 2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t (单位：年)的衰变规律满足．573002(t N N N -=⋅表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的_____；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至1,2据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到_____年之间．(参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48)【答案】 ①.12②. 6876【解析】【分析】为把5730t =代入573002t N N -=⋅，即可求出；再令3573072t ->，两边同时取以2为底的对数，即可求出t 的范围．【详解】∵573002tN N -=⋅，∴当5730t =时，100122N N N -=⋅=，∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12，由题意可知：5730327t ->，两边同时取以2为底的对数得：5730223log 2log 7t ->，∴3lglg 3lg 77 1.25730lg 2lg 2t -->=≈-，6876t ∴<，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．故答案为：12；6876．【点睛】关键点睛：本题主要考查了对数的运算，解答本题的关键是由5730327t->，两边同时取以2为底的对数得：5730223log 2log 7t ->，∴3lg lg 3lg 775730lg 2lg 2t -->=，属于中档题.16. 已知四面体ABCD 中，5,8AB AD BC DC BD AC ======，则四面体ABCD 的体积为_____【解析】【分析】取BD 中点O ，AC 中点E ，连结,,AO CO OE ，计算出AOC S ∆=B AOC V -，所求四面体的体积为它的2倍.【详解】取BD 中点O ，AC 中点E ，连结,,AO CO OE ， ∵四面体ABCD 中，5,8AB AD BC DC BD AC ======，∴AO BD ⊥，CO BD ⊥，AO CO ===，∵AO CO O = ，∴BD ⊥平面AOC ，又OEAC ⊥，∴182AOC S ∆=⨯=，152232A BCD B AOC V V --==⨯⨯⨯=【点睛】三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算. 有时还需把复 这些几何体可能有相同的高或相同的底面，或者它们的高或底面的面积的比值为定值．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC ∆,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且()2228sin 3ab C b c a =+-,若a =,5c =.(1)求cos A ;(2)求ABC ∆的面积S .【答案】(1)45;(2)152或92.【解析】【分析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得4sin 3cos A A =，再结合平方关系即可求出cos A ；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即可求出边b ，再根据三角形面积公式1sin 2S bc A =⋅即可求出．【详解】(1)由题意得()22238sin 22b c a ab C bc bc+-=由余弦定理得:4sin 3cos a C A c=由正弦定理得4sin 3cos A A =所以3tan 4A =，∴ABC ∆中，4cos 5A =．(2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得28150b b -+=解得3b =或5b =∵3tan 4A =，∴3sin 5A =由1sin 2S bc A =⋅得152S =或92S =．【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111,21,N n n a S S n *+=-=∈．（1）证明：{}1n S +为等比数列，求出{}n a 的通项公式；（2）若n nn b a =，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析，12n n a -= （2）1242n n n T -+=-【解析】【分析】（1）根据121n n S S +-=可推出()1121n n S S ++=+，即得1121n n S S ++=+，即可证明{}1n S +为等比数列，由此可求得n S 表达式，继而求得{}n a 的通项公式；（2）由（1）的结果可得n nn b a =的表达式，利用错位相减法求数列的和，即可得答案.【小问1详解】的∵121n n S S +-= ∴()*1121,N n n S S n ++=+∈，∴1121n n S S ++=+，∴{}1n S +为等比数列；∵11a =，故{}1n S +的首项为112S +=，公比为2，∴12n n S +=，则21n n S =-，当2n ≥时，1121n n S --=-，则112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n n a -=；【小问2详解】由（1）可得12n n n n n b a -==，则01112222n n n T -=++⋅⋅⋅+，故121122222n nn T =++⋅⋅⋅+，两式相减得：0111111112221222222212n n n n n n n n n T --+=++⋅⋅⋅+-=-=--，故1242n n n T -+=-.19. 如图所示的多面体中，底面ABCD 为矩形，BE ⊥平面ABCD ，1CC ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，1//AF EC ，且AB =4，BC =2，13CC =，BE =1．（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求直线1CC 与平面1AEC F成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ.【解析】【分析】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，由向量平行求得F 点坐标，由向量模的坐标表示求得线段长；（Ⅱ）求出平面1AEC F 的一个法向量，由直线1CC 的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值得线面角的正弦值．【详解】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,4,0)B ，(2,0,0)A ，(0,4,0)C ，(2,4,1)E ，1(0,4,3)C ，设(0,0,)F z ．∵1AF EC ，由1AF EC ∥得(2,0,)(2,0,2)z λ-=-，解得2z =，∴(0,0,2)F ．∴(2,4,2)BF =-- ，于是||BF = ，即BF的长为．（Ⅱ）设1n u r 为平面1AEC F 的法向量，设1(,,)n x y z = ，由1100n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得0402020x y z x y z ⨯+⨯+=⎧⎨-⨯+⨯+=⎩，即40220y z x z +=⎧⎨-+=⎩，取1z =，得114x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩．又1(0,0,3)CC = ，设1CC 与1n u r 的夹角为α，则1111cos CC n CC n α⋅===⋅ ．所以，直线1CC 与平面1AEC F．【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，求线面角的正弦值，解题方法是空间向量法，即建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角的关系求解．这是求空间角的常用方法，特别是图形中含有垂直关系用此种方法更加简便．20. 2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲乙两个养殖场提供技术服务，方案和收费标准如下：方案一，公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收费；方案二，公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过部分每天收取药费8元.（1）设日收费为y （单位：元），每天需要用药的猪的数量为n N ∈，试写出两种方案中y 与n 的函数关系式.（2）若该医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和10月份猪的发病数量进行了统计，得到如下22⨯列联表.9月份10月份合计未发病4085125发病652085合计105105210根据以上列联表，判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++（3）当地的丙养殖场对过去100天猪的发病情况进行了统计，得到如上图所示的条形统计图.依据该统计数据，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验从两个方案中选择一个，那么选择哪个方案更合适，并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关；（3）从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二.【解析】【分析】（1）根据题意写出函数关系式即可；（2）根据22⨯列联表，代入公式计算2K ，比较临界值得出结论即可；（3）分别按不同方案计算总费用，比较大小即可求解.【详解】（1）方案一，402,y n n N =+∈，方案二，120,45,8240,45,n n N y n n n N≤∈⎧=⎨->∈⎩（2）22210(40206585)105105140.0210.8282585K ⨯⨯-⨯=⨯≈>⨯⨯，所以有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关；（3）若采用方案一，则这100天的总费用为40×100+2×(42×20+44×40+46×20+48×10+50×10)=13000元，若采用方案二，则这100天的总费用为120×100+(46-45)×20×8+(48-45)×10×8+(50-45)×10×8=12800元，所以，从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二【点睛】本题主要考查了实际问题中的函数问题，独立性检验，频率分布直方图，属于中档题.21. 已知函数()()ln 0a f x x a a x=-+>．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，求a 的值；（2）求函数()f x 在区间()1,e 上的零点个数．【答案】（1）1a =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；（2）由()0f x '=，求得x a =，分类讨论x a =与()1,e 的位置关系，结合函数的单调性，以及零点存在定理，即可判断出函数的零点个数.【小问1详解】由题意得()()ln 0a f x x a a x=-+>定义域为(0,)+∞，()221a x a f x x x x'-=-=，因为()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，且()10f =．所以()110f a '=-=，解得1a =．经检验1a =符合题意．【小问2详解】由（1）知()2x a f x x-'=，令()0f x '=，得x a =，当x a <时，()0f x '<，当x a >时，()0f x ¢>，（i ）当01a <≤时，()1,e x ∈，()0f x ¢>，函数()f x 在区间()1,e 上单调递增．所以()()10f x f >=，所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点；（ii ）当1e a <<时，若1x a <<，则()0f x '<，若e a x <<，则()0f x ¢>．函数()f x 在区间()1,a 上单调递减，在区间(),e a 上单调递增．且()10f =，则()(1)0f a f <<，而()e 1e a f a =-+．当()e 10ea f a =-+>，即e 1e 1a <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点；当()e 10ea f a =-+≤时，印当e e e 1a ≤<-时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点；（iii ）当e a ≥时，()1,e x ∈，()0f x '<，函数()f x 在区间()1,e 上单调递减．所以()()10f x f <=，所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点．综上：当01a <≤或e e 1a ≥-时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点；当e 1e 1a <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点．【点睛】方法点睛：求解函数()f x 在区间()1,e 上的零点个数时，利用导数可求得函数的极值点，因此要分类讨论极值点与所给区间的位置关系，再结合函数的单调性，即可求解得结论.22. 给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在原点O 的圆是椭圆C 的“卫星圆”，若椭圆C ，点(在C 上.（1）求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点，过点P 作直线1l 、2l 使得12l l ⊥，与椭圆C 都只有一个交点，且1l 、2l 分别交其“卫星圆”于点M 、N ，证明：弦长MN 为定值.【答案】（1）22184x y +=，2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）本题可根据题意得出c e a ==22421a b +=，然后通过计算得出a 、b 的值以及椭圆方程，最后根据r =即可求出卫星圆的方程；（2）本题可先讨论1l 、2l 中有一条无斜率的情况，通过求出1l 与2l 的方程即可求出MN 的值，然后讨论1l 、2l 都有斜率的情况，设点()00,P x y 以及经过点P 且与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，再然后通过联立方程以及韦达定理的应用得出满足条件的两直线1l 、2l 垂直，判断出此时线段MN 应为“卫星圆”的直径以及MN 的值，最后综合两种情况即可得出结果.【详解】（1）因为椭圆C，点(在C 上，所以22421c e a a b ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得a =2b =，椭圆方程为22184x y +=，因为r ==，圆心为原点O ，所以卫星圆方程为2212x y +=.（2）①当1l 、2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，所以其方程为x =x =-当1l方程为x =1l 与“卫星圆”交于点()和()2-，此时经过点()或()2-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或=2y -，即2l 为2y =或=2y -，此时12l l ⊥，线段MN 应为“卫星圆”的直径，MN =②当1l 、2l 都有斜率时，设点()00,Px y ，其中220012x y +=，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y=-+，联立方程()0022184y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到()()()2220000124280tx t y tx x y tx ++-+--=，则()2220000648163280x t x y t y D=-++-=，()2200122200328123281648648x y t t x x ---×===---，满足条件的两直线1l 、2l 垂直，此时线段MN 应为“卫星圆”的直径，MN =综合①②可知，MN为定值，MN =【点睛】本题考查椭圆方程的求法以及圆的方程的求法，考查椭圆、直线以及圆相交的综合问题的求解，考查韦达定理以及判别式的灵活应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.的。
2024年山东潍坊市高三三模数学高考试卷试题(含答案详解)
潍坊市高考模拟考试（潍坊三模）数学2024.5一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1．设复数πsin 2i 4z θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是纯虚数，则θ的值可以为（）A ．π4B ．5π4C ．2023π4D ．2025π42．已知集合{}{}3,2,1,0,1,2,3,|3,Z A B x x n n =---==∈，则A B ⋂的子集个数是（）A ．3个B ．4个C ．8个D ．16个3．如图，半径为1的圆M 与x 轴相切于原点O ，切点处有一个标志，该圆沿x 轴向右滚动，当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N )，标志位于点A 处，圆N 与x 轴相切于点B ，则阴影部分的面积是（）A ．2B ．1C ．π3D ．π44．某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1:2，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（）A B ．12C ．2D 5．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值()0,x f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为()1,x f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，一直继续下去，得到12,,,n x x x ，它们越来越接近r ．设函数()2f x x bx =+，02x =，用牛顿迭代法得到11619x =，则实数b =（）A ．1B ．12C ．23D ．346．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：22162x y+=的左、右焦点，点()00,P x y 在C 上，若12F PF ∠大于π3，则0x 的取值范围是（）A ．(),-∞+∞B ．(C ．(),-∞+∞D ．(7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()1e f =，当0x >时，()1e xf x x<'+，则不等式()ln 1e xf x x ->的解集为（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．()1,∞+D ．()()0,11,∞⋃+8．已知()()()()()()828901289321111x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ ，则8a =（）A ．8B ．10C ．82D ．92二、多项选择题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为棱111,C D C C 的中点，则（）A ．直线BN 与1MB 是异面直线B ．直线MN 与AC 所成的角是3πC ．直线MN ⊥平面ADND ．平面BMN 截正方体所得的截面面积为98.10．下列说法正确的是（）A ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”是互斥事件B ．掷一枚质地均匀的骰子两次，“第一次向上的点数是1”与“两次向上的点数之和是7”是相互独立事件C ．若123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，方差是6，则12345,,,,x x x x x 的方差是65D ．某人在10次射击中，设击中目标的次数为X ，且()10,0.8B X ，则8X =的概率最大11．已知12F F ，双曲线()222:104x y C b b-=>的左、右焦点，点P 在C 上，设12PF F △的内切圆圆心为I ，半径为r ，直线PI 交12F F 于Q ，若53PQ PI = ，1215PI PF t PF =+，R t ∈则（）A ．25t =B ．圆心I 的横坐标为1C ．5r =D ．C 的离心率为2三、填空题:本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12．已知向量()()()1,2,4,2,1,a b c λ==-=，若()20c a b ⋅+= ，则实数λ=13．已知关于x 的方程()()2cos 0x k ωϕω+=≠的所有正实根从小到大排列构成等差数列，请写出实数k 的一个取值为14．已知,,a b c 均为正实数，函数()()22ln f x x a b x x =+++．（1）若()f x 的图象过点()1,2，则12a b+的最小值为；（2）若()f x 的图象过点(),ln c ab c +，且()3a b t c +≥恒成立，则实数t 的最小值为．四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB AC AB AC AA ⊥==，E 是棱BC的中点．(1)求证：1//A C 平面1AB E ；(2)求二面角11A B E A --的大小．16．已知正项等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且12311S S S ++，，成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若()1,1sin ,2nn n n S b n S n π⎧⎪⎪=⎨-⎪⋅⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前4n 项和.17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，E 为直线:1l y =-上一点，动点F 满足FE l ⊥，OF OE ⊥ .(1)求动点F 的轨迹C 的方程;(2)若过点1,02T ⎛⎫⎪⎝⎭作直线与C 交于不同的两点,M N ，点()1,1P ，过点M 作y 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B .证明：A 为线段BM 的中点.18．某高校为了提升学校餐厅的服务水平，组织4000名师生对学校餐厅满意度进行评分调查，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分(满分100分)作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级:满意度评分[0,60)[60,80)[80,90)[]90100，满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求图中a 的值，并估计满意度评分的25%分位数;(2)若样本中男性师生比为1:4，且男教师评分为80分以上的概率为0.8，男学生评分为80分以上的概率0.55，现从男性师生中随机抽取一人，其评分为80分以上的概率为多少?(3)设在样本中，学生、教师的人数分别为()1200m n n m ≤≤≤，，记所有学生的评分为12,,m x x x ，，其平均数为x ，方差为2x s ，所有教师的评分为12,,n y y y ，，其平均数为y ，方差为2y s ，总样本的平均数为z ，方差为2s ，若245x y x y s s s ==，试求m 的最小值.19．一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程e e 2x xccc y -⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x x x -+=，类似地双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式sin22sin cos x x x =；②平方关系22sin cos 1x x +=；③求导公式()()''sin cos cos sin x x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；(2)当0x >时，双曲正弦函数()sh y x =图象总在直线y kx =的上方，求实数k 的取值范围；(3)若1200x x >>，，证明：()()()()()2221112121ch sh 1ch sh sin sin cos .x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+--⋅+>+--⎣⎦⎣⎦1．C【分析】根据题意得到πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将四个选项代入检验，得到答案.【详解】由题意得πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A 选项，当π4θ=时，ππsin 144⎛⎫+= ⎪⎝⎭，不合题意，A 错误；B 选项，当5π4θ=时，5ππsin 144⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，不合要求，B 错误；C 选项，当2023π4θ=时，2023ππsin sin 506π044⎛⎫+==⎪⎝⎭，故C 正确；D 选项，当2025π4θ=时，2025ππsin 144⎛⎫+=⎝⎭，D 错误.故选：C 2．C【分析】由交集的定义求得A B ⋂，根据子集个数的计算方法即可求解．【详解】由题意得，{3,0,3}A B ⋂=-，则A B ⋂的子集有328=个，故选：C ．3．B【分析】根据给定条件，求出劣弧AB 的长，再利用扇形面积公式计算即得．【详解】由圆M 与圆N 外切，得2MN =，又圆M ，圆N 与x 轴分别相切于原点O 和点B ，则2OB MN ==，所以劣弧AB 长等于2OB =，所以劣弧AB 对应的扇形面积为12112⨯⨯=.故选：B 4．A【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可．【详解】设上、下两圆锥的底面半径为r ，高分别为12,h h ，体积分别为12,V V ，因为上圆锥的高与底面半径相等，所以1h r =，则2111222221π1312π3r h V h r V h h r h ====得，22h r =，=，5=，故选：A ．5．D【分析】求得()f x 在()()22f ,的切线方程，代入16,019⎛⎫⎪⎝⎭求解即可．【详解】()2f x x b '=+，(2)4f b '=+，()242f b =+，则()f x 在()()22f ,处的切线方程为()()()4242y b b x -+=+-，由题意得，切线过16,019⎛⎫⎪⎝⎭代入得，()()16424219b b ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，解得34b =，故选：D ．6．D【分析】由已知可知1PF ，2PF的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于0x 的不等关系，即可求解.【详解】因为椭圆C ：22162x y +=，所以26a =，22b =，所以2224c a b =-=，所以()12,0F -，()22,0F ，因为点()00,P x y 在C 上，所以2200162x y +=，所以2200123y x =-，0x <<，又()1002,PF x y =--- ，()2002,PF x y =-- ，所以222120002423PF PF x y x ⋅=+-=- ，又)10033PF x ==+=+ ，)2003PF x x ==-=- ，所以121212cos PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠ ，因为12F PF ∠大于π3，所以121212πcos cos 3PF PF F PF PF PF ⋅∠<⋅ ，所以()()2000221233332x x x -<+⋅-⋅，解得0x <<所以0x 的取值范围是(.故选：D .7．A【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.【详解】不等式()ln 1exf x x->等价于()e ln x f x x >+，即()e ln 0x f x x -+>，构造函数()()e ln ,0x g x f x x x =-+>，所以1()()e xg x f x x''=--，因为0x >时，()1e xf x x<'+，所以()0g x '<对(0,)∀∈+∞x 恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调递减，又因为(1)(1)e ln10g f =--=，所以不等式()e ln 0x f x x -+>等价于()(1)g x g >，所以01x <<，即()ln 1exf x x->的解集为()0,1.故选：A.8．B【分析】由()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，利用二项式定理求解指定项的系数.【详解】()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，其中()811x ⎡⎤++⎣⎦展开式的通项为()()88188C 11C 1rrr r rr T x x --+=+⋅=+，N r ∈且8r ≤，当0r =时，()()8818C 11T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的2，可得()821x +；当1r =时，()()77128C 181T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的()1x +，可得()881x +.所以82810a =+=.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把()()832x x ++表示成()()81211x x ⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦，利用即可二项式定理求解.9．ABD【分析】根据异面直线成角，线面垂直的判定定理，梯形面积公式逐项判断即可.【详解】对于A ，由于BN ⊂平面11BB C C ，1MB 平面1111BB C C B ,B BN =∉，故直线BN 与1MB 是异面直线，故A 正确；对于B ，如图，连接1CD ，因为M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，所以1∥MN CD ，所以直线MN 与AC 所成的角即为直线1CD 与AC 所成的角，又因为1ACD △是等边三角形，所以直线1CD 与AC 所成的角为π3，故直线MN 与AC 所成的角是π3，故B 正确；对于C ，如图，假设直线MN ⊥平面ADN ，又因为DN ⊂平面ADN ，所以MN DN ⊥，而222MN DN DM ===，这三边不能构成直角三角形，所以DN 与MN 不垂直，故假设错误，故C 错误；对于D ，如图，连接11,A B A M ，因为111,A B CD CD MN ∥∥，所以1//A B MN ，所以平面BMN 截正方体所得的截面为梯形1A BNM ，且11,2MN A B A M BN ====4，所以截面面积为19(2248⨯+⨯=，故D 正确.故选：ABD.10．BCD【分析】由互斥事件的定义即可判断A ；由独立事件的乘法公式验证即可判断B ；由平均值及方差的公式即可判断C ；由二项分布的概率公式即可判断D ．【详解】对于A ，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，所以不是互斥事件，故A 错误；对于B ，设A =“第一次向上的点数是1”，B =“两次向上的点数之和是7”，则()16P A =，()61366P B ==，()136P AB =，因为()()()P AB P A P B =⋅，所以事件A 与B 互相独立，故B 正确；对于C ，由123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，得12345,,,,x x x x x 的平均数为8，由123452,,,,,x x x x x 方差是6，则()()222222123451234514752536xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯+=，所以()()222222123451234516856x x x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，所以12345,,,,x x x x x 的方差()()22222212345123451685655xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，故C 正确；对于D ，由()10,0.8B X 得，当()110,Z x r r r =≤≤∈时，()101041C 55rrr P x r -⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当2r ≥时，令()()()101011111041C 411551141C 55r rr r r r P x r r P x r k ----⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=-⎝⎭⎝⎭==≥=-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即445r ≤，令()()()10101911041C 1551141041C 55r rrr r r P x r r P x r k -+-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝⎭==≥=+-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得395r ≥，即394455r ≤≤，所以当8r =时，()8P X =最大，故D 正确，故选：BCD ．11．ACD【分析】由121533PQ PF t PF =+ ，且12,,F Q F 三点共线，得到25t =，可判定A 正确；根据双曲线的定义和122EF EF c +=，求得12,EF a c EF c a =+=-，可判定B 错误；利用角平分线定理得到11222PF QF PF QF ==，结合三角形的面积公式，分别求得,c r 的值，可判定C 正确；结合离心率的定义和求法，可判定D 正确.【详解】对于A 中，因为12515333PQ PI PF t PF ==+，且12,,F Q F 三点共线，所以15133t +=，可得25t =，所以A 正确；对于B 中，设切点分别为,,E F G ，则12122EF EF PF PF a -=-=，又因为122EF EF c +=，所以12,EF a c EF c a =+=-，所以点E 为右顶点，圆心I 的横坐标为2，所以B 错误；对于C 中，因为121233PQ PF PF =+ ，所以122QF QF =，由角平分线定理，得11222PF QF PF QF ==，又因为1224PF PF a -==，所以128,4PF PF ==，由53PQ PI = 可得52P y r =，所以()121152122222PF F S c r c r =+⋅=⨯⨯ ，可得4c =，所以128F F =，则12PF F △为等腰三角形，所以1211(812)422PF F S r =+⋅=⨯⨯ 5r =，所以C 正确；对于D 中，由离心率422c e a ===，所以D 正确.【点睛】方法点拨：对于双曲线的综合问题的求解策略：1、与双曲线的两焦点有关的问题，在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合122PF PF a -=，运用平方的方法，建立12PF PF ⋅的联系；2、当与直线有关的问题，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式，根与系数的关系构造相关变量关系式进行求解；3、当与向量有关相结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系转化为点的坐标问题，再根据与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解.12．3-【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.【详解】()()()22,44,26,2a b +=+-=，()()()21,6,2620c a b λλ⋅+=⋅=+=，解得3λ=-.故答案为：3-13．10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）【分析】根据三角降幂公式化简，再结合图象求得k 的取值即可.【详解】因为()()2cos 0x k ωϕω+=≠，所以cos 2()12x k ωϕ++=，即cos 2()21x k ωϕ+=-，要想方程所有正实根从小到大排列构成等差数列，则需要210k -=或1±，所以10,1,2k =.故答案为：10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）.14．9113【分析】（1）由()f x 的图象过点()1,2得21a b +=，根据基本不等式“1”的妙用计算即可；（2）由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得()22c ac b a c +=-，进而得出22c ac b a c+=-，利用换元法及基本不等式即可求得3ca b+的最大值，即可得出t 的最小值．【详解】（1）由()f x 的图象过点()1,2得，(1)122f a b =++=，即21a b +=，所以()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时等号成立．由()3a b t c +≥恒成立得，3ct a b≥+，（2）因为()f x 的图象过点(),ln c ab c +，则()()22ln ln f c c a b c c ab c =+++=+，即()22c ac b a c +=-，当2a c =时，0c =不合题意舍，所以2a c ≠，即2a c ≠，则22c acb a c+=-，则由0b >得2a c >，所以222222233533512ac c c ac a ac c c a b a ac c a a a c c c --===+-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭+-，设20am c-=>，所以()()222237332521351a m m c m m a a m m c c -==+++-++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1131337m m =≤++，当且仅当33m m=，即1m =，则3,4a c b c ==时，等号成立，故答案为：9；113．【点睛】方法点睛：第二空由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得出22c acb a c+=-，代入消元得出关于,a c 的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得．15．(1)证明见解析(2)30︒【分析】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，先得出平面1//A DC 平面1AB E ，由面面平行证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式计算即可．【详解】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，由直三棱柱111ABC A B C -得，1111,//B C BC B C BC =，1111,//AA BB AA BB =，因为E 是棱BC 的中点，点D 是11B C 的中点，所以1B D CE =，所以四边形1ECDB 为平行四边形，所以1//CD B E ，同理可得四边形1BEDB 为平行四边形，所以11,//,BB DE BB DE =所以11,//AA DE AA DE =，所以四边形1AEDA 为平行四边形，所以1//A D AE ，因为AE ⊂平面1AB E ，1A D ⊄平面1AB E ，所以1A D //平面1AB E ，同理可得//CD 平面1AB E ，又1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1A DC ，所以平面1//A DC 平面1AB E ，又1AC ⊂平面1A DC ，所以1//A C 平面1AB E ．（2）设122AB AC AA ===，以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()110,0,0,0,0,1,2,0,1,1,1,0A A B E ，所以()()()()11111,1,0,2,0,1,2,0,0,1,1,1AE AB A B EA ====--，设平面1AEB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由11100AE n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，1111020x y x z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，的()11,1,2n =-- ，设平面11A EB 的一个法向量为()2222,,n x y z =，由112120A B n EA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，2222200x x y z =⎧⎨--+=⎩，取21y =，的()20,1,1n = ，设平面1AEB 与平面11A EB 的夹角为θ，则1212cos n n n n θ⋅===由图可知二面角11A B E A --为锐角，则二面角11A B E A --的大小为30︒．16．(1)21n a n =+(2)28(1)41nn n n -++【分析】（1）根据12311S S S ++，，成等比数列求得1a ，即可求得{}n a 的通项公式.（2）根据{}n a 的通项公式求得n S ，分奇偶项分别求出n b 再求和，即可求得{}n b 的前4n 项和.【详解】（1）因为2213(1)(1)S S S =++，所以2111(22)(1)(37)a a a +=++，即11(1)(3)0a a +-=，解得11a =-或3，又因为0n a >，所以13a =，所以32(1)21n a n n =+-=+.（2）1()(2)2n n n a a S n n +==+，所以1111()22nS n n =-+，所以n 为奇数时，1341134111111111111(1()()2323524141n n b b b S S S n n --+++=+=-+-++--+ 11(1)241n =-+，n 为偶数时，424424(42)44(42)16n n n n b b S S n n n n n--+=-=-⨯-⨯+=-24416(12)8(1)n b b b n n n +++=-+++=-+ ，所以前4n 项和4112(1)8(1)8(1)24141n nT n n n n n n =--+=-+++.17．(1)2y x =(2)证明见详解.【分析】（1）设动点F 的坐标为(),x y ，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点F 的轨迹方程；（2）要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，设直线的方程为12x my =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，由直线OP ，ON 可求得点,A B ，计算120B A x x x +-=即可证.【详解】（1）设点(),F x y ，则(),1E x -，因为OF OE ⊥，所以0OF OE =⋅ ，所以20x y -=，即2x y =，所以动点F 的轨迹方程为：2y x =；（2）因为BM y ⊥轴，所以设()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，若要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，当直线MN 斜率不存在或斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不满足题意，所以直线MN 斜率存在且不为0，12120x x y y ≠，设直线MN ：12x my =+，0m ≠，由212x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22210mx x -+=，442148m m ∆=-⨯⨯=-，由题意可知，直线MN 与抛物线C 有两个交点，所以0∆>，即480m ->，所以12m <，由根与系数的关系得，121x x m +=，1212x x m=，由题意得，直线OP 方程y x =，所以()11,A y y ，直线ON 方程22y y x x =，所以2112,x y B y y ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22212111111111222222212B A x y x x x x x x x y x x x x y x x ⎛⎫⋅+-=+-=+-=+- ⎪⎝⎭()121211112122222112202x x x x x x x x x x x x x x m m +-⎛⎫=⋅=+-=-⨯= ⎪⎝⎭，所以A 为线段BM 的中点.18．(1)0.035a =；72.5(2)0.6(3)160【分析】（1）由频率分布直方图的概率和为1，列出方程，求得0.035a =，再利用百分位数的计算方法，即可求解；（2）设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，结合全概率公式，即可求解；（3）根据题意，利用方差的计算公式，求得245x y s s s =，得到160y x y x s s m n s s +=，令x y s t s =，得到160n my t +=，利用基本不等式求得nmy t+≥200n m =-，得出不等式160≥m 的范围，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得：(0.0020.0040.00140.00200.0025)101a +++++⨯=，解得0.035a =，设25%分位数为0x ，由分布直方图得0.020,040.140.2++=，所以0700.05100.2x -=，解得072.5x =.（2）解：设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，可得()0.8,(|)0.55,()0.2,(|)0.8P A P B A P A P B A ====，由全概率公式得()()(|)()(|)0.80.550.20.80.6P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（3）解：由x y =，可得mx n yz x m n+==+，所以22222111111[()()][()()]200200m n m ni i i i i j i j s x z y z x x y y =====-+-=-+-∑∑∑∑2214()2005x y x y ms ns s s =+=，所以22160x y x y ms ns s s +=，即160y xy xs s mn s s +=，令x y s t s =，则160nmy t+=，由于n my t +≥=n my t =时，等号成立，又因为200n m =-，可得160≥=220064000m m -+≥，解得40m ≤或160m ≥，因为1200n m ≤≤≤且200m n +=，所以160m ≥，所以实数m 的最大值为160.19．(1)答案见解析，证明见解析(2)(],1-∞(3)证明见解析【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明；（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，求导，分1k ≤和1k >两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；（3）结合新定义将所证变为()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，先利用导数求得()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，再设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，利用导数得其单调性及()0h x >，从而()()()111f x x f x xf x >+'+，得证.【详解】（1）平方关系：()()22chsh 1x x -=；倍角公式：()()()sh 22sh ch x x x =；导数：()()sh()ch()ch()sh()x x x x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩.理由如下：平方关系，()()2222e e e e ch sh 22x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222e e e e 12244x x x x --++=--=+；倍角公式：()()()()()22e e e e e e sh 22sh ch 22x x x x x x x x x ----+-===；导数：()()e e ee sh()ch 22x xxxx x --'--+===，()e e ch()sh 2x x x x -'-==；以上三个结论，证对一个即可.（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，由（1）可知()()ch F x x k ='-，①当1k ≤时，由e e ch()12x xx -+=≥，又因为0x >，故e e x x -≠，等号不成立，所以()()ch 0F x x k '=->，故()F x 为严格增函数，此时()(0)0F x F >=，故对任意0x >，()sh x kx >恒成立，满足题意；②当1k >时，令()()(),0,G x F x x ∞∈'=+，则()()sh 0G x x ='>，可知()G x 是严格增函数，答案第15页，共15页由(0)10G k =-<与1(ln 2)04G k k=>可知，存在唯一0(0,ln 2)x k ∈，使得0()0G x =，故当0(0,)x x ∈时，0()()()0F x G x G x =<='，则()F x 在0(0,)x 上为严格减函数，故对任意0(0,)x x ∈，()()00F x F <=，即()sh x kx >，矛盾；综上所述，实数k 的取值范围为(],1-∞；（3）因为()()ch sh e xx x +=，所以原式变为()()21212121e 1e sin sin cos x x x x x x x x --⋅>+--，即证()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，()=e cos x f x x -'，设()()=e cos x t x f x x =-'，()e sin x t x x '=+，0x >时()0t x '>，()t x 在()0,∞+上单调递增，即()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，则()()()11h x f x x f x =+'-''，由于()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，11x x x +>，所以()()11f x x f x +>''，即()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上单调递增，又()00h =，所以0x >时，()0h x >，所以()()()1110f x x f x xf x +-->'，即()()()111f x x f x xf x >+'+，因此()()()12121f x x f x x f x >+'+恒成立，所以原不等式成立，得证.【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.。
山东省潍坊市2024年数学(高考)部编版模拟(评估卷)模拟试卷
山东省潍坊市2024年数学（高考）部编版模拟(评估卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题如图，在长方体中，底面ABCD为正方形，E，F分别为，CD的中点，直线BE与平面所成角为，给出下列结论：①平面；②；③异面直线BE与所成角为；④三棱锥的体积为长方体体积的．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④第(2)题有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀甲班10乙班30附：（），0.050.0250.0100.0053.8415.0246.6357.879已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（）A．甲班人数少于乙班人数B．甲班的优秀率高于乙班的优秀率C．表中的值为15，的值为50D．根据表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”第(3)题已知正三棱柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（）A．B．C．D．第(4)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题某商场有四类食品，其中粮食类､植物油类､动物性食品类以及果蔬类分别有40种､10种､30种､20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A．4B．5C．6D．7第(6)题等差数列中，，则此数列的前项和等于（）A．160B．180C．200D．220第(7)题如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是A．B．C．D．第(8)题已知直线经过点，则的最小值为（）A．4B．8C．9D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
山东省潍坊市2024年数学(高考)统编版真题(强化卷)模拟试卷
山东省潍坊市2024年数学（高考）统编版真题(强化卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知数列，，，，，，，，，，…，其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n项记为，则满足且的n的最小值为（）A．47B．48C．57D．58第(2)题已知点是椭圆：上异于顶点的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为的中点，的平分线与直线交于点，则四边形的面积的最大值为（）A．1B．2C．3D．第(3)题若，其中为虚数单位，则（）A．B．C．D．第(4)题记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（）A．2阶区间B．3阶区间C．4阶区间D．5阶区间第(5)题“，”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(6)题已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为8，是双曲线右支上的一点，直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3第(7)题设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．第(8)题向量，．若，则（ ）A ．－2B．±C．±2D．2二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题在平面直角坐标系xOy中，为曲线上任意一点，则（）A．E与曲线有4个公共点B．P点不可能在圆外C．满足且的点P有5个D．P到x轴的最大距离为第(2)题如图为“苍松迎客快餐店”两种类型的套餐在2024年前3个月的销售情况统计图，已知套餐卖出一份盈利20元，套餐卖出一份盈利10元.图中点的纵坐标分别表示套餐2024年前3个月的销售量，点的纵坐标分别表示套餐2024年前3个月的销售量.根据图中信息，下列结论中正确的是（）A．2月两种套饏的总销售量最多B．3月两种套餐的总销售量最多C．1月两种套餐的总利润最多D．2月两种套餐的总利润最多第(3)题医学上判断体重是否超标有一种简易方法，就是用一个人身高的厘米数减去所得差值即为该人的标准体重.比如身高的人，其标准体重为公斤，一个人实际体重超过了标准体重，我们就说该人体重超标了，现分析某班学生的身高和体重的相关性时，随机抽测了8人的身高和体重，数据如下表所示：编号12345678身高165168170172173174175177体重5589616567707575由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定有一个样本点为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的7组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为，则（）A．B．C．D．三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
山东省潍坊市(新版)2024高考数学统编版(五四制)真题(预测卷)完整试卷
山东省潍坊市（新版）2024高考数学统编版（五四制）真题(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知等比数列中所有项均为正数，，若，则的最小值为（）A．B．C．D．第(2)题已知，若函数有4个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(3)题数列满足，，则等于（）A．B．C．D．第(4)题我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数的图象大致为（）A．B．C．D．第(5)题若，则（）A．55B．56C．45D．46第(6)题已知抛物线与双曲线（）的一个交点为为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．第(7)题第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}．集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（）A．A B B．B C C．A∩B=C D．B∪C=A第(8)题且是的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题“，数列”在通信技术有着重要应用，它是指各项的值都等于或的数列．设是一个有限，数列，表示把中每个都变为，，每个都变为，，所得到的新的，数列，例如，则．设是一个有限，数列，定义，、、、．则下列说法正确的是（）A．若，则B．对任意有限，数列、中和的个数总相等C．中的，数对的个数总与中的，数对的个数相等D．若，则中，数对的个数为第(2)题已知函数分别与直线交于点A，B，则下列说法正确的（ ）A．的最小值为B．，使得曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线平行C．函数的最小值小于2D．若，则第(3)题两位大学毕业生甲､乙同时开始工作．甲第1个月工资为4000元，以后每月增加100元．乙第一个月工资为4500元，以后每月增加50元，则（）A．第5个月甲的月工资低于乙B．甲与乙在第11个月时月工资相等C．甲､乙前11个月的工资总收入相等D．甲比乙前11个月的工资总收入要低三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线与这个平面平行；③如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么该直线垂直于这个平面；⑤如果一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么直线也和斜线垂直．其中正确命题的序号为______．第(2)题173，174，166，172，170，165，165，168，164，173，175，178，则这组数据的上四分位数为________．第(3)题“”是“直线和直线平行”的______条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在直角坐标系中，曲线（为参数），直线（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C与直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交，交点为，直线与x轴交于Q点，求的取值范围．第(2)题如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和，其中在轴的同一侧.（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）是否存在题设中的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.第(3)题如图，A，B，C，D四点共面，．(1)若，求的面积；(2)当为变化时，求的最大值．第(4)题已知函数，其中为常数．（1）当时，若在区间上的最大值为，求的值；（2）当时，若函数存在零点，求实数的取值范围．第(5)题已知的内角对应的边分别为，的面积为．(1)求证：；(2)点在边上，若，求．。
数学--潍坊市2023届高三第三次模拟考试
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数 学本试卷共6页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U={x ∈N|x ²-4x -5≤0}，A={0，2}，B ={1，3，5}，则A∩(C U B )=A.{2}B.{0，5}C.{0，2}D.{0，2，4}2.已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“复数1a bi z i+=+是纯虚数”是“|a |+|b |≠0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知平面向量a 与b 的夹角是60°,且|a |=2，b =(1,2)，则a ·(2a -b )=A.8+B.4C.8D.4+4.我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈.欲斩末为方亭，令上方六尺.问：斩高几何?”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少?”按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为(注：1丈=10尺)A.11676立方尺B.3892立方尺 立方尺 5.已知函数()f x 的定义域为R , ()1f x +为偶函数, ()()4f x f x +=-，则A.函数()f x 为偶函数B. ()30f =C. 1522f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()20230f =6.若P 为函数()12x f x e =-图象上的一个动点，以P 为切点作曲线()y f x =的切线，则切线倾斜角的取值范围是 A. 20,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C .2,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭7.已知事件()()()131,,,342A B P B P B A P B A ===，，则P(A)= A.14 B. 12 C. 23 D. 128.已知2024202320222022,2023,2024a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为A. b >c> aB. b> a > cC. a >c>bD. a > b> c二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.如图所示的几何体，是将棱长为3 的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面所得，且其所有棱长均为1，则A.直线BD 与直线JL 所成角为3πB.直线CG 与平面EFHILK 所成角为6πC.该几何体的体积为23212D.该几何体中，二面角A-BC-D 的余弦值为13 10.将函数()()sin 066f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象,若0,πω⎛⎫ ⎪⎝⎭,是()g x 的一个单调递增区间，则 A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 在 24,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 C.函数()()()F x f x g x =+的最大值为3D.方程()12f x =-在[0，2π]上有5个实数根 11.函数()0b y ax ab x =+>的图象是双曲线，且直线x =0和y=ax 是它的渐近线.已知函数313y x x=+，则下列说法正确的是 A. 420,3x y ≠≥ B.对称轴方程是33,3y x y x ==- C.实轴长为 23D.离心率为233 12.已知函数()112sin x x f x e e x ππ--=-+，实数a 满足不等式()()210f a f a +->，则a 的取值可以是A.0B.1C.2 D .3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知()()5234560123456311x x a a x a x a x a x a x a x -+=++++++，则246a a a ++= .(用数字作答)14.已知圆C:x²+y²-4xcosθ -4ysinθ=0 ，则与圆C 总相切的圆D 的方程是 .15.已知函数()()()log log 21x a a f x x a a =-->有两个零点，则实数a 的取值范围是 .16.已知过点A(-1,0)的直线l 1与抛物线C:y²=2x 交于B ，D 两点，过点A 作抛物线的切线l 2,切点是M(在x 轴的上方)，直线MB 和MD 的倾斜角分别是α，β，则tan (α+β)的取值范围为 .四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列{}n a 和{}n b 满足11113,2,2,2n n n n n n a b a a b b a b ++===+=+(1)证明：{}n n a b +和{}n n a b -都是等比数列；(2)求{}n n a b 的前n 项和S n .18.(12分)定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于180°的四边形.已知在平面凸四边形ABCD 中，∠ABC=105°，∠ADB=60°，AB= 3，∠ADB 的平分线为DE ，且2AE EB =.(1)求△ABD 的面积；(2)求CD 的取值范围.19.(12分)某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100 件产品，统计其性能指数并绘制频率分布直方图(如图1).产品的性能指数在[50，70)的适合儿童使用(简称A 类产品)，在[70，90)的适合少年使用(简称B 类产品)，在[90，110]的适合青年使用(简称C 类产品)，A ，B ，C 三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5(单位：元).以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.(1)该公司为了解年营销费用x(单位：万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用x ᵢ和年销售量y ᵢ(i=1，2，3，4，5)的数据做了初步处理，得到散点图(如图2)及一些统计量的值(如下表).根据散点图判断，b y a x =可以作为年销售量y(万件)关于年营销费用x(万元)的回归方程，求y 关于x 的回归方程；(取 4.15964e =)(2)求每件产品的平均销售利润；并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大?(收益=销售利润－营销费用)参考公式:对于一组数据(u ₁,v ₁),(u ₂,v ₂),…,(u n , v n ),其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为20.(12分)如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，△ABD 为底面圆O 的内接正三角形，且边长为3 ,点E 在母线PC 上，且AE =3，CE =1.(1)求证:直线PO ∥平面BDE ；(2)求证:平面BED ⊥平面ABD ；(3)若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离.21.(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点D ⎭. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线()1:122l y x m m =-+≤≤与椭圆C 交于A ，B 两点，且在坐标平面内存在两个定点P ，Q ，使得PA PB QA QB k k k k λ== (定值)，其中PA PB k k ，分别是直线PA ，PB 的斜率，QA QB k k ，分别是直线QA ，QB 的斜率.①求λ的值;②求四边形PAQB 面积的最大值.22.(12分)已知函数()()2x f x x ax e a R =+-∈有两个极值点12,x x .(1)求实数a 的取值范围；(2)证明: x ₁ +x ₂< 1n4。
2021年山东省潍坊市高考数学模拟试卷(三模)
2021年山东省潍坊市高考数学模拟试卷（三模）一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{3，4}，则集合{5}＝（）A．∁U（A∪B）B．（∁U A）∪（∁U B）C．（∁U A）∪B D．（∁U B）∪A2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i，则z1z2＝（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）某学校参加志愿服务社团的学生中，高一年级有50人，高二年级有30人，高三年级有20人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高三年级的学生中应抽取的人数为（）A．2B．3C．4D．54．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，，若，则λ+μ＝（）A．﹣B．1C．D．5．（5分）“tanα＝2”是“cos（2α﹣）＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）某地区为落实乡村振兴战略，帮助农民脱贫致富，引入一种特色农产品种植，该农产品上市时间仅能维持5个月，预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．经研究其价格模拟函数为f（t）＝t（t﹣3）2+n，（0≤t≤5，其中t＝0表示5月1日，t＝1表示6月1日，以此类推），若f（2）＝6，为保护农户的经济效益，当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销，请你预测该农产品价格下跌的月份为（）A．5月和6月B．6月和7月C．7月和8月D．8月和9月7．（5分）双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的右支在第一象限的交点为A，与y轴的交点为B，且△ABF2为等边三角形，则以下说法正确的是（）A．双曲线C的渐近线方程为y＝±xB．若双曲线C的实轴长为2，则＝C．若双曲线C的焦距为2，则点A的纵坐标为D．点F2在以AF1为直径的圆上8．（5分）定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a＝b（modm），比如：26＝16（mod10）．已知n＝，满足n＝p（mod10），则p可以是（）A．23B．21C．19D．17二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）已知函数y＝a x（a＞0且a≠1）的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（）A．B．C．D．10．（5分）已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列结论正确的是（）A．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥nB．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥βC．如果α∥β，m⊂α，那么m∥βD．如果m∥α，n∥β且α∥β，那么m∥n11．（5分）已知函数f（x）＝2sin x﹣sin2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）的周期为2πB．y＝f（x）的图象关于x＝对称C．f（x）的最大值为D．f（x）在区间（）上单调递减12．（5分）如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（）A．第6行第1个数为192B．第10行的数从左到右构成公差为210的等差数列C．第10行前10个数的和为95×29D．数表中第2021行第2021个数为6061×22020三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在一次期中考试中某学校高三全部学生的数学成绩X服从正态分布N（μ，σ2），若P（X≥90）＝0.5，且P（X≥110）＝0.2，则P（X≤70）＝．14．（5分）设函数f（x）＝，则不等式f（1﹣|x|）+f（2）＞0的解集为．15．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且满足＝0，则椭圆C的离心率为．16．（5分）阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知正项等比数列{a n}，其中a1，a2，a3分别是如表第一、二、三行中的某一个数，令b n＝2log2a n．第一列第二列第三列第一行532第二行4109第三行18811（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，证明：T n＜．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是AC上的点，BM平分∠ABC，△ABM的面积是△BCM面积的2倍．（1）求；（2）若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积．19．（12分）如图，已知△ABC是以AC为底边的等腰三角形，将△ABC绕AB转动到△P AB 位置，使得平面P AB⊥平面ABC，连接PC，E，F分别是P A，CA的中点．（1）证明：EF⊥AB；（2）在①S△ABC＝3，②点P到平面ABC的距离为3，③直线PB与平面ABC所成的角为60°，这三个条件中选择两个作为已知条件，求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．20．（12分）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，1998年中国女子冰壶队第一次参加奥运会冰壶比赛就获得了铜牌．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心0的远近决定胜负．某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．（1）求甲通过测试的概率；（2）设Y为本次测试中乙的得分，求Y的分布列；（3）请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁的水平较高？21．（12分）设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P（m，2）（m＞0）在抛物线C 上，且满足|PF|＝3．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点G（0，4）的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别以A，B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q，求三角形PQG周长的最小值．22．（12分）设函数f（x）＝xlnx．（1）求曲线y＝f（x）在点（e﹣2，f（e﹣2））处的切线方程；（2）若关于x的方程f（x）＝a有两个实根，设为x1，x2（x1＜x2），证明：x2﹣x1＜1+2a+e ﹣2．2021年山东省潍坊市高考数学模拟试卷（三模）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2024年潍坊市高考模拟考试试题(数学)
试卷类型潍坊市高考模拟考试数学2024.3本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．2．回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知平面向量(1,2),(1,)a b λ==−，若a b ⊥,则实数λ=（ ）A ．12B ．12− C ．2− D ．2 2．已知抛物线2:C x y =上点M 的纵坐标为1，则M 到C 的焦点的距离为（ ）A ．1B ．54C ．32D ．2 3．已知集合{}3log (21)2A x x =+=∣,集合{2,}B a =,其中a ∈R ．若AB B =,则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为114,1,510n S a S a =−=+,则4S =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．105．12世纪以前的某时期．盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：I V X L C D M1 5 10 50 100 500 1000例如：58=LVIII ，464=CCCCLXIIII ．依据此记数方法，MMXXXV=（ ）A ．2025B ．2035C ．2050D ．20556．如图所示，在梭长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，点P 为截面11AC B 上的动点，若1DP A C ⊥,则点P 的轨迹长度是（ ）A ．22B 2C ．12D ．1 7．已知数列{}n a 满足120,1a a ==．若数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列，则2004a =（ ）A ．2023213+B ．2024213+ C ．101221− D ．101121− 8．已知直三棱柱111ABC A B C −外接球的直径为6，且,2AB BC BC ⊥=,则该棱柱体积的最大值为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．24二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如右图所示．已知这6人年龄的极差为14，则（ ）A ．8a =B ．6人年龄的平均数为35C ．6人年龄的75%分位数为36D ．6人年龄的方差为64310．函数2()23cos 2cos 1(01)f x x x x ωωωω=+−<<的图象如图所示，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．23y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数 C ．cos 6y f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线12x π=对称D ．若()(0)y f tx t =>在[0,]π上有且仅有两个零点，则1117,66t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ,记()()g x f x '=,且()()2f x f x x −−=,()(2)0g x g x +−=,则（ ）A ．(0)1g =B ．()f x y x =的图象关于点(0,1)对称 C ．()(2)0f x f x +−= D ．()2*1()N 2n k n n g k n =−=∈∑ 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．已知i 是虚数单位，若复数z 满足(2i)i z +=,则2iz =−____________． 13．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有____________种．（结果用数值表示）14．已知平面直角坐标系xOy 中，直线12:2,:2l y x l y x ==−,点P 为平面内一动点，过P 作2DP l ∥交1l 于D ,作1EP l ∥,交2l 于E ,得到的平行四边形ODPE 面积为1,记点P 的轨迹为曲线Γ．若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则实数t 的取值范围是____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC △中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知(sin cos )a B B c +=．（1）求A ；（2）若2,5,c a D ==为BC 的中点，求AD ．16．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>中，点A,C 分别是E 的左、上顶点，||5AC =，且E 的焦距为23（1）求E 的方程和离心率；（2）过点(1,0)且斜率不为零的直线交椭圆于R,S 两点，设直线,,RS CR CS 的斜率分别为12,,k k k ,若123k k +=−，求k 的值．17．（15分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D −中，下底面ABCD 是平行四边形，111120,22,8,42ABC AB A B BC A A ∠====︒=,1,DD DC M ⊥为BC 的中点．（1）求证：平面11CDD C ⊥平面1D DM ;（2）若14D D =,求直线DM 与平面11BCC B 所成角的正弦值．18．（17分）若,ξη是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(,)ξη是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设(,)ξη的一切可能取值为(),,,1,2,i j a b i j =,记p η表示(),i j a b 在Ω中出现的概率，其中()()(),i j i j p P a b P a b ηξηξη⎡⎤======⎣⎦．（1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(,)ξη是一个二维随机变量．①写出该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值；②若(,)m n 是①中的值，求(,)P m n ξη==（结果用m,n 表示）；（2）()i P a ξ=称为二维离散型随机变量(,)ξη关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：()1i j P a p ηξ+∞===∑． 19．（17分） 已知函数1()2ln (0)f x m x x m x=−+>． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：()2*3222211111111e N ,2234n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<∈≥ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）若函数221()ln 2g x m x x x =−−+有三个不同的零点，求m 的取值范围．。
潍坊市2022年高考模拟考试数学试题及答案解析
潍坊市2022年高考模拟考试数学一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}4A x y x ==-，{}1,2,3,4,5B =，则A B ⋂=（ ）．A ．{}2,3B ．{}1,2,3C ．{}1,2,3,4D ．{}2,3,42．已知复数z 满足345i z z +=+，则在复平面内复数z 对应的点在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知0a >，则“3a a a >”是“3a >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为（ ）． A ．2πB ．8πC ．2π3D ．8π35．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos2sin 1αα+=，则（ ）． A ．()2sin π3α-= B ．()2cos π3α-=-C ．π5sin 23α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D ．π5cos 23α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭6．如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y 轴上的双曲线()222210,0y x a b a b-=>>上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F 到下顶点的距离为36，F 到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为（ ）．A ．53B ．54C ．43D ．457．第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有（ ）．A ．72种B ．84种C ．96种D ．124种8．设函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的最大值为()1g t ，最小值为()2g t ，则()()12g t g t -的最小值为（ ）．A ．1B ．22C ．212D ．222- 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某市共青团委统计了甲、乙两名同学近十期“青年大学习”答题得分情况，整理成如图所示的茎叶图．则下列说法中正确的是（ ）．A ．甲得分的30%分位数是31B ．乙得分的众数是48C ．甲得分的中位数小于乙得分的中位数D ．甲得分的极差等于乙得分的极差10．已知向量()1,2OP =，将OP 绕原点O 旋转﹣30°，30°，60°到123,,OP OP OP 的位置，则（ ）． A ．130OP OP ⋅=B ．12PP PP =C ．312OP OP OP OP ⋅=⋅D ．点1P 坐标为31123,22⎛+ ⎝⎭11．已知圆22:430C x y y +-+=，一条光线从点()2,1P 射出经x 轴反射，下列结论正确的是（ ）．A ．圆C 关于x 轴的对称圆的方程为22430x y y +++=B ．若反射光线平分圆C 的周长，则入射光线所在直线方程为3240x y --= C ．若反射光线与圆C 相切于A ，与x 轴相交于点B ，则2PB BA +=D ．若反射光线与圆C 交于M 、N 两点，则CNM △面积的最大值为1212．已知同底面的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -均内接于球O ，且正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成角的大小为π4，则下列说法正确的是（ ）． A ．//PA 平面QBCB ．设三棱锥Q ABC -和P ABC -的体积分别为Q ABC V -和P ABC V -，则4Q ABC P ABC V V --= C ．平面ABC 截球O 所得的截面面积是球O 表面积的425倍 D ．二面角P AB Q --的正切值为53-三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．抛物线2:4C x ay =的焦点坐标为()0,2，则C 的准线方程为______．14．已知函数()()212log 1,1,3,1,x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩则()()31log 12f f -+=______．15．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的日晷长的和为______尺．16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，且()1f x +为偶函数，当01x ≤≤时，()f x x =x 的方程()()f x f x ax +=有4个不同实根，则实数a 的取值范围是______．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，336S a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ． 18．（12分） 在①7a =，②AC 边上的高为332，③21sin 7B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答．问题：记ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60A ∠=︒，1c b =+，______． （1）求c 的值；（2）设AD 是ABC △的角平分线，求AD 的长．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答积分． 19．（12分）根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D 模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为35，每位选手每次编程都互不影响． （1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大． 20．（12分）图1是由矩形11ACC A 、等边ABC △和平行四边形12ABB A 组成的一个平面图形，其中2AB =，121AA AA ==，N 为11A C 的中点．将其沿AC ，AB 折起使得1AA 与2AA 重合，连结11B C ，BN ，如图2．（1）证明：在图2中，AC BN ⊥，且B ，C ，1C ，1B 四点共面； （2）在图2中，若二面角1A AC B --的大小为θ，且1tan 2θ=-，求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为2，点21,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在C 上． （1）求C 的方程；（2）若过动点P 的两条直线1l ，2l 均与C 相切，且1l ，2l 的斜率之积为﹣1，点()3,0A -，问是否存在定点B ，使得0PA PB ⋅=？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（12分）已知函数()xf x e ax a =--，a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调区间；（2）当1a =时，令()()22f x g x x =． ①证明：当0x >时，()1g x >；②若数列{}()*n x n ∈N 满足113x =，()1n xn e g x +=，证明：()211n x n e -<．高三数学参考答案及评分标准1．C 2．A3．B 4．B 5．A 6．B 7．C 8．D 9．BCD 10．ABC11．ABD12．BCD13．2y =- 14．7 15．8416．2222,,5995⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 17．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由12a =，336S a =+，得()221116a q q q a ++=+，解得2q =，所以2nn a =； （2）2log n n b a n ==，所以2nn n a b n =⋅，231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()22121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-+⋅，所以2122222n n n T n +-=+⨯++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-11222n n n ++=--⋅，所以()1122n n T n +=-+．18．解：选条件①：（1）a =2221cos 22b c a A bc +-==， 整理得260b b +-=，因0b >，解得2b =，3c =． （2）因AD 是ABC △的角平分线，所以30BAD ∠=︒，222cos 2a c b B ac +-===sin B ===， 则()1sin sin 30727214ADB B ∠=+︒=⨯+=， 由正弦定理sin sin AD AB B ADB =∠，3sin sin 5AB B AD ADB ===∠． 选条件②； （1）AC边上的高为2，由三角形的面积公式()11sin 24b b A +=，解得2b =，3c =． （2）因AD 是ABC △的角平分线，所以30BAD ∠=︒，222cos 27a c b B ac +-===，sin 7B ===， 则()1sin sin 3072ADB B ∠=+︒=+=由正弦定理sin sin AD AB B ADB =∠，3sin sin 5AB B AD ADB ===∠． 选条件③： （1）sin 7B =， 由题意可知B C <，所以cos 7B ===， 因为πA BC ++=，()1sin sin sin cos cos sin 272714C A B A B A B =+=+=+⨯=， 由正弦定理sin sin B bC c =1b b =+，解得2b =，3c =． （2）因为AD 是ABC △的角平分线，所以30BAD ∠=︒，则()1sin sin 30727214ADB B ∠=+︒=⨯+= 由正弦定理sin sin AD AB B ADB =∠，3sin sin 5AB B AD ADB ⨯===∠． 19．解：（1）记乙闯关成功为事件A ，所以()232332381555125P A C ⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）由题意知随机变量X 是所有可能取值为0，1，2，3，()343101030C P X C ===，()12643103110C C P X C ⋅===， ()2164310122C C P X C ===，()36310136C P X C ===，所以()901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 所以甲闯关成功的概率为112263+=，因为8121253<，所以甲比乙闯关成功的可能性大． 20．（1）证明：取AC 的中点M ，连接NM ，BM ，因为11ACC A 为矩形，所以AC MN ⊥，又因为ABC为等边三角形，则AC MB ⊥，MN MB M ⋂=，所以AC ⊥平面BMN ，又BN ⊂平面BMN ，所以AC BN ⊥． 在图2中11AA CC ∥，11AA BB ∥，所以11BB CC ∥，故B ，C ，1C ，1B 四点共面．（2）由（1）知MN AC ⊥，BM AC ⊥，所以NMB ∠为二面角1C AC B --的平面角，以M 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，()1,0,0A ，()0,3,0B ，()1,0,0C -，()0,cos ,sin N θθ，()11,cos ,sin C θθ-，()1,3,0CB =，()10,cos ,sin CC θθ=，设平面11BCC B 的法向量为(),,x y z =n ，由10,0,CB CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得30,cos sin 0,x y y z θθ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =-，则3x =，cos sin z θθ=，则13,1,tan θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭n ， 由1tan 2θ=-得()3,1,2=--n ，()1,3,0AB =-，设直线AB 与平面11BCC B 所成角为α，则6sin cos ,4AB AB ABα⋅===n n n ．21．解：（1）由题意知，1c =，焦点分别为()1,0-，()1,0．由椭圆定义得：()()2222222110110222a ⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2a = 所以椭圆C 的方程为2212x y +=； （2）设点()00,P x y ，易知02x ≠±，过点P 的直线方程为()00y y k x x -=-，联立()0022,1,2y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()()2220000124220k x k y kx x y kx ++-+--=，因为直线l 与C 相切，故()()()222200001681210ky kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦，得()220012y kx k -=+，即()22200002210x k x y k y --+-=，设直线1l ，2l 的斜率分为1k ，2k ，则201220112y k k x -==--，得2203x y +=， 即点P 到坐标原点O 的距离3PO =所以点P 在以O 为圆心的圆上，且点A 为圆上一点，故若满足0PA PB ⋅=，则AB 为圆O 的直径，所以存在点)B满足题意．22．解：（1）()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增，当0a >时，令()0xf x e a '=->，解得ln x a >，令()0xf x e a '=-<，解得ln x a <，所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增， 综上可知，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增． （2）由（1）知()()221x e x g x x --=，①要证()2211xe x x-->成立，只需证：212xx e x >++，即证21121x x x e ++<． 令()21121xx x F x e ++=-，()2120x x F x e-'=<恒成立， 所以()F x 在()0,+∞上单调递减，()()01010F x F e<=-=，所以21121xx x e ++<成立，所以当0x >时，()1g x >得证．②证明：由①可知，当()0,x ∈+∞时，()1g x >，要证：()211nx ne -<，只需证112nnx e ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，因为113x =，所以11311xe e -=-，又3327028e e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，所以1332e <，则1131112x e e =--<；再证：()11112n n xx e e +-<-，即证()11122n x n g x e -<-．只需证当()0,x ∈+∞时，()()()()2224442220x xx e x x x x e x -+++=-+++>，即证()2102x x e x -+>+成立，令()()212x x e h x x -=++，()()202xe h x x '=>+恒成立，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，()()020102e h x h -⋅>=+=． 所以2102x x e x -⋅+>+恒成立，即()11122n x n g x e -<-成立．所以()()()11121111111112222n n n x x x x n n ee e e +-+-<-<-<<-<成立，即112n nx e ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立，故原不等式得证．。
2022年潍坊市昌乐二中高考数学模拟试卷(4月)附答案解析
2022年潍坊市昌乐二中高考数学模拟试卷(4月)一、单选题1．集合{}2,0,1,2A =-，{}2,1,3B =-，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}2-B ．{}0,1,3C ．{}0,2,3D ．{}1,2,32．复平面内表示复数622iz i+=-的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若抛物线2x my =上一点(),2t 到其焦点的距离等于4，则m =（ ） A ．8B ．4C ．2D ．124．设向量()1,a x =，(),9b x =，若//a b ，则x =（ ） A ．－3B ．0C ．3D ．3或－35．已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．[3,)-+∞D ．(,3]-∞-6．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．167．在边长为6的菱形ABCD 中，3A π∠=，现将ABD △沿BD 折起，当三棱锥A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．60πB ．30πC ．70πD ．50π8．PQ 为经过抛物线22y px =焦点的任一弦，抛物线的准线为l ，PM 垂直于l 于M ，QN 垂直于l 于N ，PQ 绕l 一周所得旋转面面积为1S ，以MN 为直径的球面积为2S ，则（ ）A ．12S S >B ．12S S <C ．12S S ≥D ．12S S ≤二、多选题9．经研究，变量y 与变量x 具有线性相关关系，数据统计如下表，并且由表中数据，求得y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.8yx a =+，下列正确的是（ ）A ．变量y 与x 呈正相关B ．样本点的中心为（10，14.4）C ．ˆ 6.8a= D ．当16x =时，y 的估计值为1310．已知函数()()()cos 2sin 244f x x x ππ⎡⎤⎡⎤=--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则（ ）A ．函数()f x 的图象关于y 轴对称B ．[]2,4x ∈时，函数()f x 的值域为⎡⎣C ．函数()f x 的图象关于点()5,0中心对称D ．函数()f x 的最小正周期是811．已知函数()2ln x f x x-=，若()0.20.3a f =，()2log 3b f =，()3log 4c f =，则（ ） A ．()f x 在()0,1上恒为正 B ．()f x 在()1,+∞上单调递减 C ．a ，b ，c 中最大的是aD ．a ，b ，c 中最小的是b12．在平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是BCD △面积的2倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，恒有()()1122n n n nBD a BA aBC --=-++，设{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．{}n a 为等比数列B ．{}n a 为递减数列C ．2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列D ．()152210n n S n +=--三、填空题 13．6(x 展开式中的常数项为__________．14．若()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为__________.15．设函数(),0ln ,0x a x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，已知12x x <，且()()12f x f x =，若21x x -的最小值为e ，则a 的值为______.16．已知向量()11,1a =，1,0n b n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()*111n n n n n a a a b b n +++=-⋅∈N ，则13249112222310a b a b a b ⋅⋅⋅+++=______. 四、解答题17．在sin cos a C c A =+，①()2sin 12sin 2A B C ++，sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，已知______.(1)求A ；(2)若6S =，3b =，求a .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()213n n S a =-，*n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记sin2n n n b a π=⋅，求数列{}n b 的前100项的和100T . 19．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，AD BC ∥，AD DC ⊥，PA AB ⊥，12BC CD AD ==，E 是边AD 的中点，异面直线P A 与CD 所成角为2π.(1)在平面P AB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(2)若二面角P —CD —A 的大小为6π，求直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值.20．某工厂“对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立. (1)若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为150元/件，现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以10元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为20元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8，记X 为生产一件零件获得的利润，求X 的分布列和数学期望.21．已知函数()()21ln f x ax x x =++.(1)若0a =，证明：当1x >时，()0f x >；(2)令()()()23212x f x ax a x ϕ=-+-，若1x =是()x ϕ极大值点，求实数a 的值.22．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率e =P 为椭圆上一动点，12PF F △面积的最大值为2. (1)求椭圆E 的方程；(2)若C ，D 分别是椭圆E 长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM 交椭圆于点N ，O 为坐标原点.证明：OM ON ⋅为定值；(3)平面内到两定点距离之比是常数()1λλ≠的点的轨迹是圆.椭圆E 的短轴上端点为A ，点Q 在圆228x y +=上，求22QA QP PF +-的最小值.【答案与解析】1．C 解析：由韦恩图，直接求得.因为{}2,0,1,2A =-，{}2,1,3B =-， 所以阴影部分表示的集合为{}0,2,3. 故选：C 2．A 解析：利用复数代数形式的乘除法运算化简为a bi +（a ，b ①R ）的形式，则答案可求． 62(62)(2)1010222(2)(2)5i i i iz i i i i ++++====+--+，z ∴在复平面对应的点()2,2在第一象限. 故选A本题考查复数代数形式的乘除运算，及复数的几何意义，属于基础题． 3．A 解析：由抛物线的定义和焦半径的计算公式即可求解. 由题可知，2484mm +=⇒=. 故选：A. 4．D 解析：由向量平行的坐标表示可得290x 求解即可.由题设，有290x ，可得3x =±.故选：D 5．A 解析：由不等式的解法和命题的否定的概念，分别求得p ⌝和q ⌝，结合p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，利用集合的包含关系，即可求解.由不等式12x +>，可得1x >或3x <-，所以p ⌝：31x -≤≤， 又由q ⌝：x a ≤，因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以1a ≥，所以实数a 的取值范围为[1,)+∞. 故选：A. 6．C 解析：数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论．最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a=，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是由题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解． 7．A 解析：当三棱锥A BCD -的体积最大值时，平面ABD ⊥平面BCD ，即可求出外接圆的半径，从而求出面积.当三棱锥A BCD -的体积最大值时，平面ABD ⊥平面BCD ，如图，取BD 的中点为H ，连接,AH CH ，则AH BD ⊥.设12,O O 分别为ABD △，BCD △外接圆的圆心，O 为三棱锥A BCD -的外接球的球心，则1O 在AH 上，2O 在CH 上，且11223AO O H AH ===, 且21,O H BD OO ⊥⊥平面ABD ，2OO ⊥平面BCD .平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面=BCD BD ，AH ⊂平面ABDAH ⊥平面ABD ，2//AH O O ，同理1//CH O O∴四边形12O OO H 为平行四边形 AH ⊥平面BCD ，2O H ⊂平面BCD2AH O H ∴⊥，即四边形12O OO H 为矩形.21OO O H ∴=2263CO ==∴外接球半径R =∴外接球的表面积为2460R ππ=故选：A. 8．C 解析：解：设设PQ 与x 轴夹角为θ，令PF m =，QF n =，由抛物线的定义可知PM m =，QN n =，再由圆台的侧面积公式及球的表面积公式得到()21S m n π=+、()222sin S m n πθ=+，即可判断； 解：设PQ 与x 轴夹角为θ，令PF m =，QF n =，则PM m =，QN n =，则()()21S PM QN PQ m n ππ=+⋅=+，()2222sin S MN m n ππθ==+，所以12S S ≥当且仅当90θ=︒时等号成立；故选：C 9．AB 解析：先由回归方程可判断选项A ，求出样本中心，结合回归方程可判断B,C,D ，得出答案.由线性回归方程为ˆˆ0.8yx a =+可得变量y 与x 呈正相关，故选项A 正确. 由表中数据可得247101522106x +++++==，8.19.41214.418.52414.46y +++++==故样本点的中心为（10，14.4），所以选项B 正确.将样本点的中心为（10，14.4）代入ˆˆ0.8yx a =+，可得14.40.810a =⨯+，解得 6.4a =，故选项C 不正确.将16x =代入回归方程可得ˆ0.816 6.419.2y=⨯+=，故选项D 不正确.故选：AB 10．BCD 解析：利用诱导公式和辅助角公式化简，然后由正弦函数的性质求解可得. ()()()cos 2sin 244f x x x ππ⎡⎤⎡⎤=--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()sin()sin cos )42424444x x x x x ππππππππ=--+=-=- 由,442x k k ππππ-=+∈Z ，得43,x k k =+∈Z ，故A 错误；因为[]2,4x ∈，则34444x ππππ≤-≤sin()144x ππ≤-≤，所以1sin()44x ππ≤-≤B 正确；由,44x k k πππ-=∈Z ，得41,x k k =+∈Z ，所以()f x 的对称中心为(41,0)k +，故C 正确；因为284T ππ==，故D 正确.故选：BCD. 11．AC 解析：由当(0,1)x ∈时，ln 020x x <-<，即可判断A ；利用导数讨论函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，进而求出函数的最小值即可判断B ； 结合选项A 和对数函数的单调性可得00b c <<，即可判断C ；利用作差法和结合选项B 可得b c >，由C 的分析过程可知0c b a <<<，进而判断D. A ：当(0,1)x ∈时，ln 020x x <-<，，所以2()0ln x f x x-=>，故A 正确； B ：函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2222ln ln 1()(ln )(ln )x x x x xf x x x --+-'==， 令2()ln 1(1)g x x x x=+->，则22122()x g x x x x -'=-=，当12x <<时，()0g x '<；当2x >时，()0g x '>， 所以函数()g x 在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增， 故min ()(2)ln 20g x g ==>，所以()0f x '>在(1,)+∞上恒成立， 即函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，故B 错误； C ：由选项A 可知，当(0,1)x ∈时，所以()0f x >，因为0.2000.30.31<<=，所以0.2(0.3)0f >，即0a >； 当(1,2)x ∈时，ln 020x x >-<，，得2()0ln x f x x-=<， 因为2221log 2log 3log 42=<<=，3331log 3log 4log 92=<<=， 所以2(log 3)0f <，3(log 4)0f <，即00b c <<，，所以a b c 、、中最大的是a ，故C 正确；D ：223lg 3lg 4(lg 3)lg 2lg 4log 3log 4lg 2lg 3lg 2lg 3-⋅-=-=⋅ 12222222lg 2lg 41(lg3)()(lg3)(lg8)(lg3)(lg8)22lg 2lg3lg 2lg3lg 2lg3+--->==⋅⋅⋅1222(lg3)(lg8)0lg 2lg3-===>⋅，所以321log 4log 32<<<，由选项B 可知函数()f x 在(1,)+∞上单调递增， 所以32(log 4)(log 3)f f <，即b c >，由选项C 可知00b c <<，，有0c b a <<<，所以a b c 、、中最小的是c ，故D 错误； 故选：AC 12．BCD 解析：设AC 与BD 交于点E ，由面积比得2AECE=，由平面向量基本定理得BD 与,BA BC 关系，从而得数列{}n a 递推关系，然后由各选项求解数列，判断结论，其中选项D 需要用错位相减法求和．设AC 与BD 交于点E ，1sin 221sin 2ABD CBDBD AE AEBS AE SCE BD CE CEB ⋅∠===⋅∠，2212()3333BE BA AE BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+， ,,B E D 共线，所以存在实数(0)λλ≠，使得BD BE λ=，所以()()1122n nn nBD a BA aBC --=-++1233BA BC λλ=+， 所以11123223n n n n a a λλ--⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以1122(2)n n n n a a --+=-，1122n n n a a +-=-，所以12a =，24a =-，324a =-，{}n a 不是等比数列，A 错；因为1122n n n a a +-=-，所以11222n n n n a a --=-，即11222n n n n a a ---=-，所以{}2nn a 是等差数列，C 正确； 又因为12a =，则112a =，即12(1)322n n an n =--=-，(32)2n n a n =-⋅， 所以当2n ≥时，()()()11132232121220n n n n n a a n n n ----=-⋅---⋅=-⋅<⎡⎤⎣⎦，即1n n a a -<，所以{}n a 是递减数列，B 正确； 因为231212(1)2(3)2(32)2n n n S a a a n =+++=⨯+-⨯+-⨯++-⨯，231212(1)2(52)2(32)2n n n S n n +=⨯+-⨯++-⨯+-⨯，所以两式相减得2312(2)2(2)2(2)2(32)2n n n S n +-=+-⨯+-⨯++-⨯--⨯21112(12)2(2)(32)210(52)212n n n n n -++-=+-⨯--⨯=--⨯-，所以1(52)210n n S n +=-⨯-，D 正确．故选：BCD ．13．1516解析：36621661(()2r r rrr r r T C x C x --+==-，令3602r -=，得4r =，①常数项为446115()216C -=． 14．3π##13π 解析：由x ①[],a a -求出3x π-的范围A ，由余弦函数单调性可知A ⊆[],0π-，列出不等式组求解出a 的范围即可求其最大值. x ①[],a a -，则,333x a a πππ⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦，由题可知，[],,033a a πππ⎡⎤---⊆-⎢⎥⎣⎦，则3303a a a ππππ⎧--≥-⎪⎪⇒≤⎨⎪-≤⎪⎩， 则a 的最大值为3π. 故答案为：3π. 15．1e -##e 1-+ 解析：令()()12f x f x t ==，由图象可知(,]t a ∈-∞-，构造函数()g t =21e tx x t a -=--()t a ≤-，利用导数求函数最小值即得.令()()12f x f x t ==，由图象如图所示可知(,]t a ∈-∞-．因为12x x <，则1x a t -=，2ln x t =，得12,e t x t a x =+=，即21e tx x t a -=--．令()e ()t g t t a t a =--≤-，则()e 1()t g t t a =-≤-'，①当0a -≤时，即0a ≥时，()0g t '≤，则()g t 在(,]a -∞-上单调递减，所以min ()()e e e a ag t g a a a --=-=+-==，解得1a =-（不满足，舍去）；①当0a ->时，即0a <时，(0)0g '=，①()g t 在(,0]-∞上单调递减，在(0,]a -上单调递增，所以0min ()(0)e 0e g t g a ==--=，解得1e 0a =-<满足题意．综上可得，1a e =-． 故答案为：1e -. 16．27220解析：先通过数学归纳法证明出*1,1,2n n a n n +⎛⎫=∈⎪⎝⎭N ，然后代入式子中，利用裂项相消法进行求和计算. ()()211221131,1,0,1224a a a b b ⎛⎫⎛⎫=-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()322333114,1,0,14436a a a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……*1,1,2n n a n n +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N .下面用数学归纳法进行证明：当1n =时，()111,11,121a +⎛⎫==⎪⨯⎝⎭满足题意； 假设当n k =时，1,12k k a k +⎛⎫=⎪⎝⎭， 则当1n k =+时，()1111111,1,1,0,02211k k k k k k k a a a b b k k k k +++⎡⎤++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()211,1,12121k k k k ⎛⎫⎛⎫+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 故*1,1,2n n a n n +⎛⎫=∈⎪⎝⎭N . ①()()()()()22211,1,0111122(1)(1)2124112n n n a b n n n n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⋅+⎝⎭⎝⎭===- ⎪ ⎪+++++++⎝⎭， ①13249112222310a b a b a b ⋅⋅⋅+++=11111114122323349101011⎛⎫-+-++-⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭1112742110220⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 故答案为：27220. 17．(1)π4；解析：（1）若选①，先用正弦定理进行边化角，进而结合辅助角公式求得答案；若选①，先通过诱导公式和二倍角公式化简，进而通过辅助角公式求得答案；若选①，先通过诱导公式和二倍角公式化简，进而求得答案；（2）先通过三角形的面积公式求出c ，进而由余弦定理求得答案. (1)若选①sin sin sin cos C A C C A =+，因为0πC <<，所以sin 0C ≠，则sin cos sin 144A A A A ππ⎛⎫⎛⎫=+=+⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0πA <<，于是π4A =.若选①，依题意，()sin πcos sin cos A A A A -⇒+=，则sin 144A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0πA <<，于是π4A =.若选①sin cos A A A =2，因为0πA <<，所以sin 0A ≠，则πcos 4A A =⇒=. (2)依题意，13sin 622S bc A c c ===⇒=2cos 2A a ==⇒= 18．(1)()2nn a =-，n *∈N (2)101225-解析：（1）利用1n n n a S S -=-，整理可得数列{}n a 是等比数列，求其通项公式即可； （2）求出4414243,,,k k k k b b b b ---，然后分组求和. (1)当2n ≥时，()()11221133n n n n n a S S a a --=-=---， 整理得12nn a a -=-， 又()111213a S a ==-，得12a =- 则数列{}n a 是以-2为首项，-2为公比的等比数列. 则()2nn a =-，n *∈N (2)当4,n k k N *=∈时，()4442sin 02k kk b π=-⋅=， 当41,n k k N *=-∈时，()()444111412sin22k k k k b π----=-⋅=，当42,n k k N *=-∈时，()()4242422sin 02k k k b π---=-⋅=， 当43,n k k N *=-∈时，()()444333432sin 22k k k k b π----=-⋅=-， 则()()5973799100123100222222T b b b b =++++=-+++++++()()25254334101442222222212125-⋅-⋅-=-+=--19．(1)在平面P AB 内存在一点M ，为AB ，CD 延长后的交点，使得直线CM //平面PBE解析：（1）将AB ，CD 延长交于一点M ，先证明CM //BE ，利用线面平行的判定定理即可证明CM //平面PBE .（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解. (1)将AB ，CD 延长交于一点M ，则M 在平面P AB 内. ①12BC CD AD ==，BC //AD ①CE //BM 且CE =BM ， ①四边形BCDE 为平行四边形，①CM //BE .①BE ⊂平面PBE ，CM ⊄平面PBE ，所以CM //平面PBE .所以在平面P AB 内存在一点M ，为AB ，CD 延长后的交点，使得直线CM //平面PBE (2)由已知可得，AD ①DC ，CD ①P A ，P A ∩AD =A ，所以CD ①平面P AD ，从而CD ①PD. 所以①PDA 为二面角P —CD —A 的平面角，所以①PDA =30°.建立如图空间直角坐标系，设AP =2则A (0，0，0)，P (0，0，2)，()C ，)E，①()0,0,2AP =，()3,0,2PE =-，()3,EC =设平面PCE 的法向量为(),,n x y z =，由·3020·300n PE x z n EC x ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩，不妨设x =2，则(2,n =-.设直线P A 与平面PCE 所成角为θ，则0sin cos ,2AP n AP n AP nθ+====⨯⨯，所以直线P A 与平面PCE . 20．(1)0.02916(2)分布列见解析；()65.2E X =（元） 解析：（1）若此批零件检测未通过，恰好检测5次，则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，再由独立重复实验的概率公式即可得解；（2）X 可取70,50,90-，求出对应概率，即可求出分布列，再由期望公式计算即可. (1)解：若此批零件检测未通过，恰好检测5次， 则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，故恰好检测5次的概率()3140.110.10.10.02916P C =⨯⨯-⨯=； (2)解：依题意，合格产品利润为70元， 不合格产品修复合格后利润为50元， 不合格产品修复后不合格的利润为90-元， 则X 可取70,50,90-，()700.9P X ==，()500.10.80.08P X ==⨯=， ()900.10.20.02P X =-=⨯=，故分布列为：所以()700.9500.08900.0265.2E X =⨯+⨯-⨯=（元）.21．(1)证明见解析； (2)12a =-.解析：(1)利用求导公式和运算法则求出()'f x ，由1x >时()0f x '>，进而得出函数单调性，结合(1)0f =即可证明；(2)由求导公式和运算法则求出()()()x x x ϕϕϕ''''''、、，利用()x ϕ'''的取值讨论()x ϕ''的单调性，得出()x ϕ''的取值，进而得出()x ϕ'的单调性，结合极大值点的定义即可得出结果.(1)依题意知，函数()f x 的定义域为(0)+∞，， 当0a =时，()(1)ln ln ln f x x x x x x =+=+，1()ln 1f x x x'=++，当1x >时，1ln 00x x>>，，所以()0f x '>，即当1x >时，函数()f x 单调递增，又(1)0f =，故()0f x >在(1,)+∞上恒成立，即证； (2)函数()ϕx 的定义域为(0)+∞，， 22233()()2(1)(1)ln 2(1)(0)22x f x ax a x ax x x ax a x x ϕ=-+-=++-+->，所以1()(21)ln 221x ax x ax a xϕ'=+-++-， 又1x =为()ϕx 的极大值，所以(1)0ϕ'=且1x =周围是单调递减的趋势， 要使()x ϕ'单调递减，需()0x ϕ''<在()0,+∞上恒成立，211()2ln x a x x xϕ''=+-，且(1)0ϕ''=， 所以需()x ϕ''在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 即当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'''>，当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'''<， 且(1)0ϕ'''=，又223321222()a ax x x x x x x ϕ-+'''=-+=， 所以2(1)21120a ϕ'''=⨯-+=，解得12a =-；当12a =-时，()0x ϕ''≤恒成立，即()x ϕ'在(0)+∞，上单调递减， 又(1)0ϕ'=，所以1x =为()ϕx 的极大值，综上，12a =-.22．(1)22142x y +=；(2)见解析；4. 解析：（1）结合离心率和12PF F △面积的最大值列出关于,,a b c 的方程，解方程即可；（2）设直线CM 方程，写出点M 坐标，联立椭圆方程，求点N 坐标，通过向量数量积计算即可；（3）设点R 坐标，借助点Q 在圆228x y +=上，将2QA 转化成RA ，再借助椭圆定义将2PF 转化成14PF -，最后通过1,,R P F 三点共线求出最小值. (1)当P 为短轴端点时，12PF F △的面积最大，2bc =，2222,c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c === 故椭圆E 的方程为22142x y +=. (2)由（1）知，()2,0,(2,0)C D -, 设直线():2CM y k x =+，11(,)N x y ，,(2,4)MD CD M k ⊥∴，联立221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()22222218840k x k x k +++-=， 由21284221k x k --=+得2122421k x k -=+，1124(2)21k y k x k =+=+，222244(,)2121k k N k k -∴++,2222442442121k kOM ON k k k -⋅=⨯+⨯=++，故OM ON ⋅为定值4. (3)依题意(A ，设()(0,),,R m Q x y ，使2QA QR =，()()22222,4QR x y m QA x y +-==+，整理得22283m x y y -+=， 又点Q 在圆228x y +=上，20,883m =∴⎨-⎪=⎪⎩解得m =(R 由椭圆定义得124PF PF =-，2112(4)4QA QP PF QR QP PF QR QP PF +-=+--∴=++-， 当1,,R P F三点共线时，(1,(R F 22QA QP PF +-∴4. （1）关键在于建立,,a b c 的方程；（2）关键在于设出直线方程，联立得出点N 坐标；（3）关键在于利用题目中给出的圆的定义将2QA 转化成RA ，再结合椭圆定义，将问题简化成共线问题.。
2025届山东省潍坊市昌乐、临朐等四县高考全国统考预测密卷数学试卷含解析
2025届山东省潍坊市昌乐、临朐等四县高考全国统考预测密卷数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数2．已知向量()34OA =-，，()15OA OB +=-，，则向量OA 在向量OB 上的投影是（ ）A ．255-B ．255C ．25-D ．253．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆的面积为b 2233，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．34．若()*13nx n N x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则22aaa x dx --=⎰（ ） A ．36πB ．812πC ．252πD ．25π5．已知函数2()ln(1)f x x x-=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知集合{}2(,)|1A x y y x ==-，{}(,)|2B x y y x ==，则AB 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．07．已知复数z 满足：((1)11)i z i +-=-，则z 的共轭复数为（ ） A ．12i - B ．1i +C ．1i -+D ．12i +8．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<< D ．116a >10．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D--的余弦值的最小值是（ ）A 5B 3C ．12D ．111．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．21,06e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( )A ．132B ．299C ．68D ．99二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省潍坊市2023届高三2月高考模拟考试(一模)数学试题含答案
试卷类型：A潍坊市高考模拟考试数学（答案在最后）2023.2本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数2i 2i+-对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二索限C.第三象限D.第四象限2.“()2,2b ∈-”是“2,10x R x bx ∀∈-+成立”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.某学校共1000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分布()2100,N σ，若()801000.45P ξ=，则估计成结在120分以上的学生人数为（ ）A.25B.50C.75D.1004.存在函数()f x 满足：对任意x R ∈都有（ ） A.()3f x x = B.()2sin f x x = C.()22f x x x += D.()21x x ⎰=+5.已知角α在第四象限内，31sin 222πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A.12-B.12C.4D.2- 6.如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为13，则圆台的侧面积为（ ）A.83πB.2C.163πD.8π 7，过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能.超重耐力､失重飞行､飞行跳伞､着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ）A.24种B.36种C.48种D.60种8.单位圆22:1O x y +=上有两定点()()1,0,0,1A B 及两动点,C D ，且12OC OD ⋅=.则CA CB DA DB ⋅+⋅的最大值是（ ）A.2+B.2+ 2 D.2二､多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.若非空集合,,M N P 满足：,M N N M P P ⋂=⋃=，则（ ）A.P M ⊆B.M P M ⋂=C.N P P ⋃=D.p M N ⋂=∅10.将函数sin2y x x =+的图象向左平移12π个单位，得到()y f x =的图象，则（ ）A.()f x 是奇函数B.()f x 的周期为πC.()f x 的图象关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D.()f x 的单调递增区间为(),2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦11.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知12,F F 分别为双曲线22:13x C y -=的左，右焦点，过C 右支上一点()(000,A x y x >作直线l 交x 轴于点03,0M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，交y 轴于点N .则（ ）A.C的渐近线方程为3y x =± B.点N 的坐标为010,y ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.过点1F 作1F H AM ⊥，垂足为H，则OH =D.四边形12AF NF 面积的最小值为412.已知1m n <<，过点()2,log m m 和()2,log n n 的直线为1l .过点()8,log m m 和()8,log n n 的直线为21,l l 与2l 在y 轴上的截距相等，设函数()nx mx f x m n -=+.则（ ）A.()f x 在R 上单周递增B.若2m =，则()132f =C.若()26f =，则()434f =D.,m n 圴不为(e e 为自然对数的底数）三､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5796a a a ++=，则13S =__________. 14.已知抛物线C 经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于4，请写出一个满足条件的C 的标准方程__________.15.在半径为1的球中作一个圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的母线长为__________. 16.乒乓球被称为我国的“国球”.甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为34，乙获胜的概率为14，每局比赛都是相互独立的. ①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为__________.②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为__________.附：当01q <<时，lim 0,lim 0n n n n q n q →+∞→+∞=⋅=. 四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且满足()2nn S m m R =+∈. （1）求m 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）设2log 5n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）在①tan tan 1A C A C =+；②()2cos cos c B A =；③()sin sin sin a A c C b B +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. 问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________.（1）求角B 的大小；（2）已知1c b =+，且角A 有两解，求b 的范围.19.（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PC PD ⊥，二面角A CD P --为直二面角.（1）求证：PB PD ⊥；（2）当PC PD =吋，求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.20.（12分）某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y （单位：cm ）与父亲身高x （单位：cm ）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？（2）记ˆˆˆˆ(1,2,,)i i i i i e y y y bx a i n =-=--=，其中i y 为观测值，ˆi y为预测值，ˆi e 为对应(),i i x y 的残差.求（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由.参考数据及公式：555521111880,155450,885,156045i i i i i i i i i x x y x y ========∑∑∑∑ ()()()121ˆˆˆ,n i ii n ii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ 21.（12分）已知函数()()12ln ,x f x e x g x x x -==-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当()0,2x ∈吋，()()f x g x .22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦距为():1(0)l y k x k =+>与E 交于不同的两点,M N .（1）求E 的方程；（2）设点()1,0P ，直线,PM PN 与E 分别交于点,C D .①判段直线CD 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由： ②记直线,CD MN 的倾斜角分别为,αβ，当αβ-取得最大值时，求直线CD 的方程.高三数学参考答案及评分标准一､单项选择题（每小题5分，共40分）1-4AABD 5-8DCBA二､多项选择题（每小题5分，选对但不全的得2分，共20分）9.BC 10.BCD 11.ACD 12.BCD三､填空题（每小题5分，共20分）13.26 14.216x y =（答案不唯一）15.316.27161285 四､解答题（本大题共6小题，共70分）17.解：（1）因为2n n S m =+，所以2n 时，112n n S m --=+，所以()122n n a n -=.又由数列{}n a 为等比数列，所以12n n a -=.又因为11111221a S m -==+==，所以1m =-，综上11,2n n m a -=-=.（2）由（1）知6n b n =-，当16n 时，2561122n n n n T n -+--=-⨯=， 当6n >时，()61662n n T T n +-=+⨯- ()()56152n n --=+ 211602n n -+= 所以2211,1621160,62n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩ 18.解：（1）若选①：整理得)1tan tan tan tan A C A C -=+，因为A B C π++=，所以()tan tan tan tan 1tan tan A C B A C A C +=-+=-=-，因为()0,B π∈，所以6B π=；若选②：因为()2cos cos c B A =，由正弦定理得()2sin cos cos C A B B A =，所以()2sin cos ,sin 0C B A B C C =+=>，所以cos B =， 因为()0,B π∈，所以6B π=；若选③：由正弦定理整理得222a c b +-=，所以2222a c b ac +-=即cos B =，因为()0,B π∈，所以6B π=； （2）将1c b =+代入正弦定理sin sin b c B C =， 得1sin sin b b B C+=， 所以1sin 2b C b+=， 因为6B π=，角A 的解有两个，所以角C 的解也有两个，所以1sin 12C <<， 即11122b b+<<，又0b >，所以12b b b <+<，解得1b >. 19.解：（1）证明：由题意知平面PCD ⊥平面ABCD 且BC CD ⊥则BC ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以BC PD ⊥，又因为,PO PC BC PC C ⊥⋂=，所以PD ⊥平面PBC ，所以PD PB ⊥.（2）以点D 为坐标原点，,DA DC 所在直线分别为,x y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0D A B C ，因为224PC PD +=，所以PC PD ==()0,1,1P ，所以()()()2,1,1,0,2,0,0,1,1AP AB PC =-==-，设平面PAB 的法向量(),,m x y z =，则0,0,m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20,x y z y -++=⎧⎨=⎩令1x =，所以()1,0,2m =，设直线PC 与平面PAB 所成的角为θ，sin cos ,55m PCm PCm PC θ⋅-====⨯ 所以直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为5. 20.解：（1）由题意得176,177x y ==，515222151560455176177156045155760285ˆ0.515545051761554501548805705i ii i i x y xy b xx ==--⨯⨯-=====-⨯--∑∑，ˆˆ1770.517689ay bx =-=-⨯=， 所以回归直线方程为0.589y x =+，令0.5890x x +->得178x <，即178x <时，儿子比父亲高；令0.5890x x --<得178x >，即178x >时，儿子比父亲矮，可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.（意思对即可）（2）12345169,174,176.5,181.5,184y y y y y =====，所以51ˆ885i i y==∑，又51885i i y==∑，所以51ˆ0i i e ==∑， 结论：对任意具有线性相关关系的变量1ˆ0n i i e ==∑，证明：()()111ˆˆˆn n n i i i i i i i i e y y y bx a ====-=--∑∑∑ 11ˆˆˆˆ()0n n i i i i y b x na ny nbxn y bx ===--=---=∑∑. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，因为()111e 1e ln e ln x x x f x x x x x ---⎛⎫=+=+ ⎝'⎪⎭， 记()1ln h x x x =+，则()22111x h x x x x='-=-， 所以当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当1x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，所以()()11h x h =，所以()11e ln 0x f x x x -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭'，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）证明：原不等式为()12eln 1x x x x x x --=-， 即1ln 1e x x x x--， 即证ln 1ln 1e e x x xx --在()0,2x ∈上恒成立， 设()e x x l x =，则()()2e e 1e e x x x x x x l x --=='， 所以，当1x <时，()l x 单调递增；当1x >时，()l x 单调递减， 令()()1ln 1,1t x x x t x x'=-+=-， 易知()t x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，当1x =时，max ()0t x =，所以ln 1x x -，且在()0,2x ∈上有ln 1,11,x x <⎧⎨-<⎩所以可得到()()ln 1l x l x -，即ln 1ln 1e e x x xx --， 所以在()0,2x ∈时，有()()f x gx 成立.22.解：（1）由题意得2c c a⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2c a ==，所以1b =，所以E 的方程为2214x y +=. （2）①由题意得()221,41,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()2222148440k x k x k +++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，22121222844,1414k k x x x x k k--+==++， 直线MC 的方程为1111x x y y -=+， 代入2214x y +=整理得，()()2112211121430x x y y y y ⎡⎤--++-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 设()33,C x y ，则()22113122111335214y y y y x x y --==--+，所以131325y y x =-， 1315825x x x -=-，即1111583,2525x y C x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭， 同理2222583,2525x y D x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.()()2112212112213321252575858932525CD y y k x x x x k k x x x x x x ----===------， 所以直线CD 的方程为1111358725325y x k y x x x ⎛⎫--=- ⎪--⎝⎭，即71337k y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以直线CD 过定点13,07⎛⎫⎪⎝⎭. ②因为73CD k k =，所以tan α与tan β正负相同，且αβ>，所以02παβ<-<， 当αβ-取得最大值时，()tan αβ-取得最大值.由0k >时，()2244443tan 373721221713kk k k k k αβ-====+++；所以当且仅当k =()tan αβ-取得最大值，αβ-取得最大值， 此时直线CD 的方程为137y x ⎫=-⎪⎝⎭.。