留数理论及应用
复变函数-留数
三、杂例
z3 的二级极点， 解: z 0是f ( z ) 5 sin z 1 d 2 Re s[ f ( z ) ,0] lim [ z f ( z )] ( 2 1)! z0 dz
d z 5 z 4 sinz z cos z lim ( ) lim5( ) z 0 dz sinz z 0 sinz sin2 z
C
1
.
例1 求 Re s{e ：
e
z z 1
z z 1
, 1}. Re s{e
z z 1
1 e , n n 0 n! ( z 1)
, 1} e.
解:
sinz z2 z4 ( 1)n z 2n 1 , z 3! 5! ( 2n 1)!
解:
z sin z z 0是 在 | z | 1的孤立奇点， z 3 (1 e )
z3 z5 z( z ) z sinz 3! 5! f ( z) z2 z3 (1 e z )3 3 ( z ) 2! 3!
z2 z4 (1 ) z2 1 3! 5! 3 (1 1 z 2 z 2 ). z z2 z z 3 (1 ) 2! 3! z2 z4 (1 ) 3! 5! 在z 0解 析. 2 z z (1 )3 2! 3!
1 c 1 , 9!
sinz 1 Re s{ 10 , 0} c1 . z 9!
1 Re , 1}. 例3: 求 ： s{ 2 z( z 1) 1 点 . 解: z 1是 z( z 1 2 的 孤 立 奇 点 （ 二 级 极 ） ）
1 在0 | z 1 1解 析. 2 z( z 1 ） 0 | z 1 1, 1 1 1 2 2 z( z 1 ） ( z 1 1 ( z 1) ）
留数定理在考研中应用
留数定理在考研中应用
留数定理是复变函数理论中的重要定理，它在考研中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 计算复积分：留数定理可以用于计算复积分，特别是围道积分。
通过找到被积函数在围道内的奇点，并计算出这些奇点的留数，可以将复积分转化为留数的求和，从而简化计算过程。
2. 求解微分方程：留数定理可以用于求解一些特殊的微分方程，如常微分方程的初值问题、线性微分方程的特解等。
通过将微分方程转化为复变函数的问题，并利用留数定理求解奇点的留数，可以得到微分方程的解析解。
3. 求解极限：留数定理可以用于求解一些复变函数的极限。
通过将复变函数转化为有理函数，并利用留数定理求解奇点的留数，可以得到复变函数在某些点处的极限值。
4. 解析函数的性质研究：留数定理可以用于研究解析函数的性质，如奇点的分类、奇点的留数与函数的性质之间的关系等。
通过计算奇点的留数，可以得到解析函数在奇点处的性质，进而推导出整个函数的性质。
总之，留数定理在考研中的应用非常广泛，涉及到复积分、微分方程、极限和解析函数的性质等多个方面。
掌握留数定理的应用，可以帮助我们更好地理解和应用复变函数理论。
(完整版)复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用§1.留数1.（定理6.1 柯西留数定理）：∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k)nk=1C2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，f(z)=φ(z) (z−a)n,其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则Res(f(z),a)=φ(n−1)(a) (n−1)!3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，φ(z)=(z−a)f(z),则Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点φ(z)=(z−a)2f(z)则Res(f(z),a)=φ′(a)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：Res(f(z),∞)=12πi∫f(z)dzΓ−=−c−1即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1z这一项系数的反号7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。
注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。
8.计算留数的另一公式：Res (f (z ),∞)=−Res (f (1t )1t 2,0)§2.用留数定理计算实积分一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ注：注意偶函数二.∫P(x)Q(x)dx +∞−∞型积分1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上lim R→+∞zf (z )=λ则lim R→+∞∫f(z)dz S R=i(θ2−θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中P (z )=c 0z m +c 1z m−1+⋯+c m (c 0≠0)Q (z )=b 0z n +b 1z n−1+⋯+b n (b 0≠0)为互质多项式，且符合条件：（1）n-m ≥2;（2）Q(z)没有实零点于是有∫f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0+∞−∞注：lim R→R+∞∫f(x)dx +R −R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞−∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞−∞型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且lim R→+∞g (z )=0在ΓR 上一致成立。
04 留数理论及其应用
数学物理方法
物理学院 邓胜华
第四章 留数理论 一、留数定理 二、利用留数理论求积分 三、在无穷远点的留数 四NG S.H
1/41
物理学院 邓胜华
18:53:44
第 4 章 留数理论
一、留数的引入
设 z 0 为 f ( z )的一个孤立奇点，
z0 的某去心邻域：0
证
f (z) cm (z z0 )m c2 (z z0 )2
c 1 ( z z0 ) 1 c0 c1 ( z z0 )
(z z0 )m f (z) cm cm1(z z0 ) c1(z z0 )m1
c0 ( z z0 )m c1 ( z z0 )m 1
C1 C2 Cn
2πiRes[ f ( z ), z1 ] Res[ f ( z ), z2 ] Res[ f ( z ), zn ]
1 1 1 f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 2πi 2πi C 2 2πi C n 2πi C 1
10/15/2015 DENG S.H 14/41
,
物理学院 邓胜华
第 4 章 留数理论 1 2π 1 iθ iθ f ( ρ e ) ie dθ Res[ f ( z),] f ( z ) d z 0 2πi 2i C 1 2π 1 i f i i d . 2π i 0 re re
P ( z 0 ) 0 , Q ( z 0 ) 0 , Q ( z 0 ) 0 ,
P ( z0 ) 则有 Res[ f ( z ), z0 ] . Q ( z 0 )
6.2.函数在无穷远点的留数及其应用
∫
Γ−
− 2π i , dz = n z 0,
n = 1 n ≠ 1
f ( z) = L+ c−2 z−2 + c−1 z −1 + c0 + c1 z + L+ cn zn + L
dz −2π i , n = 1 及∫ − n = 可推出 Γ z n≠1 0,
∫
z=∞
Γ
f (z) =L+ c−2z + c−1z + c0 + c1z +L+ cnz +L 1)在0 <| t |≤ 1 内的洛朗展式为 则f ( t r
n
再利用洛朗级数证明这个公式 设f ( z)在r ≤| z |< +∞内的洛朗展式为
−2 −1
1) = L+ c t 2 + c t + c + c t −1 +L+ c t −n +L f (t 0 1 n −2 −1 1) 1 =L+ c + c t−1 + c t−2 + c t−3 +L+ c t−n−2 +L f ( t t2 0 1 n −2 −1
15
I = 2π i[− Re s f (z)]
z=∞
Re s f (z) = −c−1
z=∞
I = 2π i ⋅ c−1
z 易知z = ∞是f ( z) = 2 的一阶零点 2 4 3 ( z + 1) ( z + 2)
15
∴c−1 = limzf (z) = lim
z→∞ z→∞
在∞ 的去心邻域内有 c −1 c −2 ∴ f (z) = + 2 +L z cz ∴ zf ( z ) = c−1 + −2 + L 16 z z
留数的求法及应用总结
留数的求法及应用总结留数是一种在复变函数理论中用于计算复数函数在奇点处的残留的方法。
留数的计算方法有多种，例如通过直接计算留数公式、Laurent级数展开、辅助函数法、计算围道积分等。
留数的应用非常广泛，包括在计算复积分、求解微分方程、计算极限、求解物理问题等方面都有重要的应用。
首先，我们来看留数的求法。
在复变函数中，函数在奇点点处的留数可以通过以下方法求解：1. 直接计算留数公式：对于简单的函数，可以直接使用留数公式计算。
对于一阶奇点，留数可通过函数在该点的极限值计算：Res[f(z), z=a] = lim(z->a) [(z-a) * f(z)]。
对于高阶奇点，留数可以通过多次取导数再计算极限来求解。
2. Laurent级数展开：对于复变函数，在奇点附近可以进行Laurent级数展开。
然后通过观察Laurent级数的形式，可以读出相应奇点的留数。
3. 辅助函数法：对于一些复杂的函数，可以通过引入辅助函数来计算留数。
通过构造辅助函数，可以使得计算留数的过程变得更加简单。
4. 计算围道积分：复平面上的围道积分可以通过计算围道上的奇点处的留数之和来求解。
通过将围道逐步缩小，将围道上的奇点都计算在内，然后将结果相加即可得到围道积分值。
接下来，我们来看留数的应用。
1. 计算复积分：复积分可以通过计算围道上的奇点处的留数之和来进行计算。
通过围道积分的方法，可以将复积分转化为留数的求和问题，从而简化计算过程。
2. 求解微分方程：在微分方程的求解过程中，往往需要对复函数积分。
通过留数的方法，可以将复积分转化为留数的计算，从而简化问题的求解过程。
3. 计算极限：对于一些复杂的极限问题，可以通过计算极限点处的留数来进行求解。
通过将极限问题转化为留数问题，可以简化问题的求解过程。
4. 物理问题求解：在物理学中，通过留数的方法可以求解一些边界值问题、传热问题、电磁问题等。
通过将物理问题转化为留数问题，可以利用留数的性质来求解物理问题。
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
注 2：条件可减弱为：f(z)连续到边界 C，且沿 C 有 f(z)≠0 4.（辅角原理）：
5.（定理 鲁歇（Rouche）定理）：设 C 是一条周线，函数 f(z)及 (z)满足条 件：
（1）它们在 C 的内部均解析，且连续到 C；
（2）在 C 上，|f(z)|>| (z)|
则函数 f(z)与 f(z)+ (z)在 C 内部有同样多（几阶算几个）的零点，即
§2.用留数定理计算实积分
一. 注：注意偶函数
→ 引入
二.
型积分
1.（引理 大弧引理）： 上
则
2.（定理）设
为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有
注：
可记为
三.
型积分
3.（引理 若尔当引理）：设函数 g(z)沿半圆周 上连续，且
在 上一致成立。则
2
4.（定理）：设 （1）Q 的次数比 P 高； （2）Q 无实数解； （3）m>0 则有
（2）设 b 为 f(z)的 m 阶极点，则 b 必为函数 的一阶极点，并且
3
3.（定理 对数留数定理）：设 C 是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在 C 的内部是亚纯的； （2）f(z)在 C 上解析且不为零。 则有
注 1：当条件更改为：（1）f 在 Int(C)+C 上解析；（2）C 上有 f≠0，有 ，即
，其中 P(z)及 Q(z)为互质多项式，且符合条件：
特别的，上式可拆分成： 及
四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理 小弧引理）：
于 上一致成立，则有
五.杂例 六.应用多值函数的积分
§3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数：
数学物理基本方法5.2留数
通过构造合适的复变函数，将微分方程的求解转化为复平面上留数 的计算。
典型例题的解析
例题1
例题3
求解一阶常系数线性微分方程。通过 构造指数形式的复变函数，利用留数 定理求解。
求解带有初值条件的一阶非线性微分 方程。通过构造满足初值条件的复变 函数，利用留数定理进行求解。
例题2
计算实轴上的定积分
利用留数定理，可以将某些实 轴上的定积分转化为复平面上 的围道积分，从而简化计算过 程。
计算围道上的线积分
对于某些围道上的线积分，可 以通过计算围道内奇点的留数 之和来得到积分结果。
判断函数的解析性
如果一个函数在某区域内解析 ，那么该函数在该区域内的任 意闭曲线上的积分为零。利用 留数定理可以判断一个函数是 否在某区域内解析。
留数定理的应用举例
计算实函数的定积分
通过构造复变函数，将实函数的定积分转化为复变 函数的线积分，再利用留数定理计算。
计算复变函数的线积分
对于某些特殊的复变函数，可以直接利用留数定理 计算其在某条曲线上的线积分。
解决物理问题
在物理学中，许多问题可以通过构造复变函数并应 用留数定理来解决，如计算电场、磁场等物理量的 分布。
求解二阶常系数齐次线性微分方程。 通过构造多项式形式的复变函数，利 用留数定理求解。
06
总结与展望
本文工作总结
研究背景
介绍了数学物理基本方法5.2留数 的研究背景和意义，了本文的主要研究内容， 包括留数的定义、性质、计算方法 和应用等方面的研究。
研究结果
通过洛必达法则，可以将求留数的问题转化为求导数的问题，从 而简化计算过程。
其他方法
幂级数展开法
当函数$f(z)$在奇点$z_0$处可以展开为幂级数时，可以通过幂级数的系数来计算留数。具体地，如果 $f(z) = sum_{n=0}^{infty} a_n (z - z_0)^n$，则留数可以表示为$text{Res}[f(z), z_0] = a_{-1}$，即幂 级数中$(z - z_0)^{-1}$的系数。
第五章 留数 留数在定积分计算中的应用
个有界区域，函数 f(z) 在 D 内除有限个孤立
奇点 z1 , z2 ,..., zn外处处解析. C是D内包围各 奇点的一条正向简单闭曲线,那么我们有：
n
C
f ( z )dz 2i Res[ f理的基本思想
D
zn C3 Cn z1 z2
z3
C1
显然，函数在z0处的留数C1就是积分 1 f ( z )dz 2 i C 的值.
其中，C为函数f ( z )的去心邻域0 z - z0 R 内绕z0的闭曲线，方向为逆时针方向.
注：留数Res[f(z), z0] 与圆C的半径r无关.
二、留数定理
定理 5.1 （留数定理）设 D 是复平面上的一
C
f ( z )dz 0
如果z0是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不 一定等于零。
定义5.1 设z0是解析函数f ( z )的孤立奇点， 我们把f ( z )在z0处的洛朗展开式中负一次 幂项的系数C1称为f ( z )在z0处的留数.记作 Re s[ f ( z ), z0 ]，即 Re s[ f ( z ), z0 ] C-1
求沿闭曲线C积分 求C内各孤立奇点处的留数.
三、留数的计算
求函数在孤立奇点处的留数的一般方法 ——将函数在以z0为中心的圆环内展开为 洛朗级数，求出级数中C-1(z-z0)-1项的系数C-1
如果z0是可去奇点，则Res[f(z), z0]=0;
如果z0是本性奇点，则往往只能用展开成洛朗
级数的方法来求C-1.
Res[f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
z z0
P( z ) lim( z z0 ) z z0 Q ( z ) Q ( z0 ) P( z0 ) / Q '( z0 ).
留数理论及其在计算实积分中的应用
指导教师：论文题目：留数理论及其在计算实积分中的应用学院：专业：班级：学号：姓名：留数理论及其在计算实积分中的应用摘要：留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物。
留数定理为某些类型积分的计算，提供了极为有效的方法。
在此主要探讨留数定理对实积分的计算。
把求实变函数的积分化为复变函数沿围线的积分，然后应用留数定理，使沿围线的积分计算，归结为留数计算。
本文主要介绍留数定义、留数定理定义、留数计算方法、利用留数定理计算实积分的方法。
关键词：留数，留数定理，实积分。
引言：留数的一个很重要的应用是计算一些特殊类型的实积分。
如，在研究阻尼振动时计算积分dx x x sin 0⎰∞；在研究光的衍射时，需要计算菲涅尔积分dx 2sinx 0⎰∞；在热学中需要计算积分⎰∞-0cos e bxdx ax （a>0，b 为任意实数）等。
如果用实函数分析中的方法来计算这些积分几乎是不可能的，即便能计算某些积分，过程也很繁琐且易出错。
因此，利用留数定理将实变函数的积分化为复变函数沿围线的积分来进行计算，就相对简单多了。
要使用留数计算，需要两个条件：一是被积函数与某个解析函数有关；其次，实积分可化为某个沿闭路的积分。
下面主要介绍留数及留数定理的定义和计算，还有利用留数定理计算类型为⎰πθθ20)sin ,(cos R ，dx e x Q x P dx x i a -)()(,Q(x )P(x )⎰⎰+∞∞-+∞∞（a>0）的实积分和积分路径上有奇点的积分。
另外还会介绍利用留数定理计算物理学中常用的实积分。
一、留数 1.1留数定义设0z 是解析函数f(z)的孤立奇点，我们把f(z)在0z 处的洛朗展开式中负一次幂项的系数1-C 称为f(z)在0z 处的留数。
记作Res[f(z),0z ],即 Res[f(z),0z ]=1-C 。
显然，留数1-C 就是积分⎰c dz z f )(i21π 的值，其中C 为解析函数f(z)在0z 的去心邻域内绕0z 的闭曲线。
留数理论及其应用ch 6 6.1
推论6.3: 设a为f(z)的一级极点, (z) (z a) f (z),
则 Re s f (z) (a) lim(z a) f (z).
za
za
(6.4)
推论6.4:设a为f(z)的二级极点, (z) (z a)2 f (z),
则 Re s f (z) '(a) lim(z a)2 f (z).
1
z5 z6
11
z
1
1 z
1 z
n0
1n
1 z
n
1 z
n1
1n
1 z
n1
Re s f (z) 1 0 z
Re s f (z) 等于f(z)在点∞的罗朗展式中1/z这一项的系数反号 z
定理6.6 如果f(z)在C∞上只有有限个孤立点 (包括无穷远点在内),a1,a2,…，an,∞,则f(z)在各点 的留数总和为零.
Re s za
f (z)
(n1) (a)
(n 1)!
n
1
1!
lim
za
z
1n
f
(
z
)
n1
.
(6.3)
证 1 (z)
(n1) (a)
Re s f (z)
za
2 i
(z a)n dz
. (n 1)!
n 1, 2,
这里符号(0)(a)=(a) ,且有 (n1)(a) lim(n1)(z). z a
n
Res f (z) Res f (z) 0.
k1 zak
z
n
Re s f (z) Re s f (z).
k 1 zak
z
定理6.6 如果f(z)在C∞上只有有限个孤立点
留数定义以及应用
留数留数理论，是一个积分，，是一个工具，没有什么新的理论，这样可以得到围线积分，也可以帮助我们得到一个重要的定理：用来研究一个解析函数的0点的个数和奇点的个数问题。
首先介绍什么叫常数，假设A为孤立奇点，前面我们说过一个函数的奇点的个数并不多，但是这些奇点决定着函数的一些特性，也就是在去心邻域的是解析，我们成这样的一个积分，称为A点的留数，有的叫常数，就是f(Z)沿着某一条围线的积分，其中在这个圆周内部呢不一定解析，因为A是一个孤立奇点，去心邻域解析，所以这个积分不一定为0，如果A也是一个解析点，整个元的内部都解析了，由柯西古萨定理积分为0，这个数称为留数，记号：围线的选取和半径大小没有关系，这可以复围线的积分定理可以得到结论，因为不管半径大小，在外围的积分和里面的积分一样，因为在多连通是解析，因为这个数之和A点有关，A为孤立奇点，和半径的选取无关，这个留数的计算办法，描述了围线的积分，就等于什么呢？就等以负一次方的系数，洛朗展示中的，为什么？我们回想，把洛朗展示写出来，就可以知道这一点的留数，留数到底起什么作用？是围线的积分，如果留数好求，就可以用来求围线的积分，当只有一个奇点的情况下，这个围线积分就等于乘以留数，就是公式变形，就是除A没有其他奇点，对于一般的怎么做呢，用定理：这个围线积分=在所有奇点上的常数之和乘以2i，就是求围线的积分=看看里面有多少奇点，再把每一个点的留数求出来相加就是这个围线的积分，因此复变函数的积分不见得要根据原来的方法来算，根据定数定理，主要看多少个奇点，没有奇点就=0，多少个奇点，就把所有的留数算出来，就等于留数之后，就可以把留数作为工具，只要计算留数，怎么证明，就是复围线的柯西积分定理，设想把这些奇点挖掉，即做一些小圆，两两不相交，在围线内部，每一个都是孤立奇点，在围线里面挖掉了小圆，构成多连通区域，根据复围线的柯西积分的定理：外围的积分=内部的及分支和，每一个小圆的积分都等留数乘以2i，要计算围线积分，只要计算这个函数在围线里面的奇点的留数，那么如何来求留数，最好的方法是：洛朗展示的系数，只要把罗兰展示求出来看系数,除了这个方法，还有对极点的话还可以用别的。
留数定理及其应用重点难点
第四章 留数定理及其应用 重点难点第一节 留数定理1．留数定义的由来：若函数在单连通区域D 中解析，在D 中作一围线C ，如果在围线C 的内部，)(z f 是解析的，则由柯西定理可知0)(=∫Cdz z f ；如果在围线C 的内部，a z =是)(z f 的奇点，则)(Re 2)(a sf i dz z f Cπ=∫，即留下了一个有限数，因而可把 )(Re a sf 称为留数（留数也可等于零）。
2．留数计算公式：在奇点a 邻域中展成的洛朗级数中1()z a −−项的系数1−c 就是留数Re ()sf a ，这是求留数的一般方法。
但是，在某些情况下，有更简便的方法。
例如，若a 是)(z f 的m 阶极点，则111Re ()[()()](1)!m m z a m d s f a f z z a m dz −=−=−−又如，当a 是函数的可去奇点时，由于此时洛朗级数中不含负幂项，于是留数等于零。
3. 讨论解析函数在无限远点的留数时，要注意：函数在无限远点的留数定义中围线的方向是顺时针转向的。
第二节 留数定理的应用1．应用留数定理计算实变函数的积分是复变函数留数理论的一个重要应用，找到适当的闭合回路或变换是这种方法的关键。
2．若函数在单连（通）区域D 中解析，在D 中作一围线C ，如果在围线C 的内部，)(z f 是解析的，则由柯西定理可知0)(=∫Cdz z f ，如果在围线C 的内部，a z =是)(z f 的奇点，则)(Re 2)(a sf i dz z f Cπ=∫，即留下了一个有限数，因而可把)(Re a sf 称为留数（留数也可等于零）。
通过柯西公式和柯西导数公式可导出一阶极点和m 阶极点的留数计算公式。
3. 应用级数分析留数定理。
在奇点k a 邻域中展成的洛朗级数中1)(−−k a z 项的系数1−c 就是留数)(Re k a sf 。
当k a 是函数的本性奇点时，一般只能用洛朗级数展开方法来求留数；当k a 是函数的极点时，也可用这种方法来求取留数；当k a 是函数的可去奇点时，由于此时洛朗级数中不含负幂项，于是留数等于零。
第5章：留数理论及其应用
[
]
16
四、本性奇点处留数的计算 对本性奇点或奇性不明的奇点，没有一般的公式， 只能作Laurent展开，然后取负一次幂的系数！当 极点的阶数较高时，也直接作Laurent展开求留数。 例
cos x = ( z + z ) / 2; sin x = ( z − z ) /( 2i ); dx = dz /(iz )
21
−1
−1
原积分变成
z + z −1 z − z −1 dz , I= R iz | z |=1 2 2 i
∫
• 0 y
• 2π
x
z平面 1 o • x
例题：计算积分
I=
∫
2π
0
cos 2ϑ dϑ , (0 < p < 1). 2 1 − 2 p cosϑ + p
分析：因 1-2pcosϑ+p2=(1-p)2+2p(1-cosϑ)，当0<p<1, 在 0≤ϑ ≤2π, 分母大于0， 因而在实轴上无零点。
22
cos 2ϑ = ( e 2iϑ + e −2iϑ ) / 2 = ( z 2 + z −2 ) / 2
1 Resf ( z0 ) ≡ f ( z )dz ∫ 2πi C
为函数f(z)在奇点z0处数f(z)在奇点 z0处作Laurent展开
f ( z) =
n = −∞
∑
∞
an ( z − bk ) n
利用公式
0, (C 不包围z0 ) 1 dz = ∫ 2πi C z − z0 1, (C 包 围 z0 ) 1 n ( z − z ) 0 dz = 0. (n ≠ −1) ∫ 2πi C
留数定理的计算及应用
留数及其应用摘 要 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．关键词 留数定理；留数计算；应用引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．一. 预备知识 孤立奇点1．设()f z 在点a 的某去心邻域内解析，但在点a 不解析，则称a 为f 的孤立奇点.例如sin zz，1z e 以0=z 为孤立奇点.z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.11sinz 以0=z 为奇点（又由1sin0=z ，得1(1, 2...,)π==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有1()()()，∞∞-===+-∑∑-nnnnn n f z c z a c z a 称()n=1∞-∑-nnc z a 为()f z 在点a 的主要部分，称()∞=-∑nnn z a c 为()f z 在点a 的正则部分，当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点；当主要部分为有限项时，设为(1)11(0)()()------+++≠---m mm m m c c c c z a z a z a称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点.二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…nC -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1[]1（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分） ()()12Re k nz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰． （1）证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得()()1knk Cf z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，由留数的定义，有()()2Re kkz a f z dz i s f z π=Γ=⎰．特别地，由定义得 ()2Re kkz a f z dz i s π=Γ=⎰，代入（1）式得 ()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．定理2 设a 为()f z 的n 阶极点，()()()nz f z z a ϕ=-，其中()z ϕ在点a 解析，()0a ϕ≠，则()()()()11!n z aa Res f z n ϕ-==-．这里符号()()0a ϕ代表()a ϕ，且有()()()()11lim n n z aa z ϕϕ--→=． 推论3 设a 为()f z 的一阶极点，()()()z z a f z ϕ=-， 则 ()()z aRes f z a ϕ==．推论4 设a 为()f z 的二阶极点，()()()2z z a f z ϕ=-， 则 ()()'z aRes f z a ϕ==．3. 留数的引理引理1 设()f z 沿圆弧:i R S z Re θ= (12θθθ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim R zf z λ→+∞=于R S 上一致成立(即与12θθθ≤≤中的θ无关)，则()()21limRS R f z dz i θθλ→+∞=-⎰．引理2(若尔当引理) 设函数()g z 沿半圆周:i R z Re θΓ= (0θπ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim 0R g z →+∞=在R Γ上一致成立，则()()lim00Rimz R g z e dz m Γ→+∞=>⎰．引理3 (1)设a 为()f z 的n 阶零点，则a 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且 ()()'z a f z Res n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； (2)设b 为()f z 的m 阶极点，则b 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且()()'z bf z Res m f z =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．三. 留数的计算1. 函数在极点的留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（. 2. 函数在无穷远点的留数定理 1 如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则 4： 211Re [,]Re [(),0]s f z s f z z∞=-⋅（）. 例 1 求函数2()1ize f z z=+在奇点处的留数． 解 ()f z 有两个一阶极点z i =±，于是根据（6.5）得2()Re (,)()22i P i e is f i Q i i e===-'2()Re (,)()22i P i e is f i e Q i i ---==='--例 2 求函数3cos ()zf z z=在奇点处的留数． 解 ()f z 有一个三阶极点0z =，故由（6.7）得33001cos 11Re (,0)lim()lim(cos )222z z z s f z z z →→''=⋅=-=-四. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．1. 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。
第六章 留数理论及其应用
例题6.5
计算积分： e
1 z2 z 1
dz
分析：z 0是本质奇点，在该点的 去心领域 内有洛朗展式：
1
e
z2
1 1 1 1 2 4 z 2! z
z 1
e z dz 2 i Re s f ( z ) 2 i.c1 0
2
1
z 0
由此例可以看出可去奇点处留数为零，但是留数为零 的点不一定是可去奇点
( z a) f ( z ) (a) Re s f ( z ) lim z a z a (n 1)! (n 1)!
( n 1) n
( n 1)
1 ( z) ( n1) (a) 证明： s f ( z ) Re ( z a)n dz (n 1)! z a 2i
2
再设z u, 注意当z绕一周，u在上面绕两周
2du 于是I 2 i (u 2 6u 1) 4 1 2i. Re s 2 2 i u 3 8 u 6u 1
详细参考P236--237
例题6.10 计算积分：I
0
cos mx dx 5 4 cos x
( n 2 )( n 1) 2
1 1 1 f( ) 2 2 n t t t (1 t )(1 2t ) (1 nt)
以 t 0 为一级极点。
所以
1 1 1 1 Re s f ( ) 2 lim t f ( ) 2 1 t 0 t 0 t t t t
I 2i ( Re s f ( z )) 2i.
Re s f ( z ) lim z1 f ( z )
z 0 z 0
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2.函数的零点与极点的关系
不恒等于零的解析函数f (z)如果能表示成：
f (z) (z z0 )m(z) 其中(z)在z0处解析，且(z0 ) 0, m为一正整数，那么z0称为f (z)的m级零点。
例如：z 0和z 1分别是函数 f (z) z(z 1)3的一级和三级零点。
结论：如果f (z)在z0处解析，那么z0为f (z)的m级零点的充分必要条件是： f (n) (z0 ) 0, (n 0,1,2....m 1) , f (m) (z0 ) 0
如果函数：
f (z) cn z n c0 cn z n
n1
n1
(t) cnt n c0 cnt n
n1
n1
则：t 0是(t)的
(1)：不含负幂项(可去奇点)
(2)：含有限多个负幂项，t m为最高负幂项(m级奇点)
(3)：含无限多个负幂项(本性奇点)
对应：z 是f (z)的 (1)：不含正幂项(可去奇点) (2)：含有限多个正幂项，z m为最高正幂项(m级奇点) (3)：含无限多个正幂项(本性奇点)
那么我们说 z0 是f(z)的可去奇点，或者说f(z)在 z0 有可去奇点。
这是因为令 f (z0 ) 0 ，就得到在整个圆盘
| z z0 | R 内的解析函数f(z)。
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：z 0是 sin z 的可去奇点 z
孤立奇点的分类-极点：
（2）如果只有有限个（至少一个）负整数n，
使得 n 0,
(sinz)3
§5.2 留数定理
1.留数的定义及留数定理
1. 留数定理
设 C 为分段光滑的简单闭合曲线，f (z) 在 C 内除有限孤立
奇点b1,b2 ,L L ,bN 外处处解析，则
N
N
Ñ f (z)dz 2i C
a(k) 1
2 i
Re sf (bk ) （1）
k 1
k 1
式
中
a(k ) 1
例如：函数f (z) z 在环域1 z 内展开： z 1
f (z) 1 1 1 1 1 ....... (1)n 1
1 1
z z2 z3
zn
z
则是f (z)的可去奇点。若取 f () 1，那么f (z)在解析
例2：函数f (z) (z 2 1)(z 2)3 在扩充平面内有些什么类型的奇点？
具有支点的函
数f (z),称为多值函数。
例如：f (z) z，显然零是其一个支点 。
当沿着以原点为圆心， 充分大的正数 R为半径 的圆周顺时针旋转一周 时，函数值将发生变化 。
这是因为，若令 z 1 t
则有f (z) z 1 t
相当于t绕t 0旋转一圈回到原处，函数值将发生改变，
则z 也是函数的一个支点。
Re sf
(bk ) 是
f
(z) 在孤立奇点 bk
的洛朗展开式中的
1
的系数，称其为留数。
(z bk )
证明：
作回路（逆时针）C1,C2 ,L ,Ck ,L ,CN 。根据复连通域柯
西定理得：
N
i i f (z)dz
f (z)dz
C
k 1 Ck
把 f (z)在孤立奇点 z bk 处展开，
(0 z z0 R)
则：令z
z0
,
f
(
z
)的极限随z趋近于z
的方式而定，例如：
0
1
ez
1
z 1
1
z 2
.......
1
z n
2!
n!
z0
1
0是函数e z的本性奇点。当 z沿正实轴趋近于零
,则1 z
1
，e z
而：当 z沿负实轴趋近于零
,则1
1
，e z
0
z
当：z沿
i
1
趋近于零 , 则，e z e2n 1
定理：如果 z0是f (z)的m级极点，则 z0就是
1 的m级零点。反之亦然 f (z)
这个定理为判断函数的 极点提供了一个简便的 方法
例1：找出函数 1 和 e z 1的奇点 ? sin z z 2
5.函数在无穷远处的形态
如果函数f (z)在无穷远点z 的去心邻域R z 内解析， 那么称点为f (z)的孤立奇点。
2n
总结以上论述: 0分别是
sin z
z
,
sin z2
z
,
e
1 z
的可去奇点、单极点及本性奇点。
对于多值函数而言还有 一类奇点即支点。
定义：对于一个给定的点z0和给定的函数f (z),如果自变量
z在z 0 点的充分小邻域内绕z 0 转一周回到原来点时，函数值
与原
来之不同，则称z
点为函
0
数f
(
z
)的支点。
1.解析函数的孤立奇点：
设函数f(z)在去掉圆心的圆盘
B : 0 | z z0 | R(0 R )
内确定并且解析，那么我们称 z0 为f(z)的孤立
奇点。在D内，f(z)有洛朗展式 f (z) n (z z0 )n ,
n
其中n
1
2i
C (
f (
z0
) )n1
d
,
(n
0,1,2,...)
C 是圆 | z z0 | (0 R).
若在z
0的无论多么小的邻域内总可以找到除z
以外的不可导
0
的点，则称z0为f (z)的非孤立奇点
孤立奇点的分类—可去奇点：
一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式 含负数幂的情况，可以把孤立奇点分类如下：
（1）、如果当时n=-1,-2,-3,…， n 0
来说，z
1是函数的一个三级极点
z i是函数的一级极点。
孤立奇点的分类—本性奇点：
（3）如果有无限个整数n<0，使得
n 0
那么我们说 z0 是f(z)的本性奇点。
在本性奇点的邻域内， 函数f (z)有以下性质
如果z0为函数f (z)的本性奇点，就是说在环域0 z z0 R上的洛朗级数为：
f (z) n (z z0 )n , n
作变换t 1 ,则实现了z平面上的去心邻域R z 到t平面原点的 z
去心邻域0 t 1 的变换 R f (z) f (1) (t) t
显然，(t)在去心邻域0 t 1 内是解析的，所以t 0是(t)的孤立奇点。
R
我们规定：如果t 0是(t)的可去奇点，m级极点或本性奇点，那么
就称z 是f (z)的可去奇点，m级极点或本性奇点。
那么我们说 z0 是f(z)的极点。
设对于正整数m， m 0,
而当n<-m时，n 0,
那么我们 z0 是f(z)的m阶极点。按照m=1或m>1 ，我们也称 z0 是f(z)的单极点或m重极点。
如果z0为f
(z)的极点，则：lim zz0
f (z)
例如：有理分式函数f
(z)
(z2
z2 1)(z 1)3